Category: Convex optimization

如果你也在 怎样代写凸优化Convex optimization 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。凸优化Convex optimization凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP-hard。

凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Circumscribed ellipsoid

Given by a set of points $a_1, \ldots, a_m \in R^n$, find an ellipsoid $W$, which contains all points $\left{a_i\right}$ and which volume is as small as possible.
Let us pose this problem in a formal way. First of all note, that any bounded ellipsoid $W \subset R^n$ can be represented as
$$
W=\left{x \in R^n \mid x=H^{-1}(v+u),|u| \leq 1\right},
$$
where $H \in \operatorname{int} \mathcal{P}_n$ and $v \in R^n$. Then inclusion $a \in W$ is equivalent to inequality $|H a-v| \leq 1$. Note also that
$$
\operatorname{vol}_n W=\operatorname{vol}_n B_2(0,1) \cdot \operatorname{det} H^{-1}=\frac{\operatorname{vol}_n B_2(0,1)}{\operatorname{det} H} .
$$

Thus, our problem is as follows:
$$
\begin{array}{ll}
& \min _{H, v, \tau} \tau, \
\text { s.t. } & -\ln \operatorname{det} H \leq \tau, \
& \left|H a_i-v\right| \leq 1, i=1 \ldots m, \
& H \in \mathcal{P}_n, v \in R^n, \tau \in R^1 .
\end{array}
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Inscribed ellipsoid with fixed center

Let $Q$ be a convex polytope defined by a set of linear inequalities:
$$
Q=\left{x \in R^n \mid\left\langle a_i, x\right\rangle \leq b_i, i=1 \ldots m\right}
$$
and let $v \in \operatorname{int} Q$. Find an ellipsoid $W$, centered at $v$, such that $W \subset Q$ and which volume is as big as possible.

Let us fix some $H \in \operatorname{int} \mathcal{P}n$. We can represent the ellipsoid $W$ as $$ W=\left{x \in R^n \mid\left\langle H^{-1}(x-v), x-v\right\rangle \leq 1\right} $$ We need the following simple result. LEMMA 4.3.8 Let $\langle a, v\rangle{x \in W}\langle a, x\rangle & =\max _{x \in W}[\langle a, x-v\rangle+\langle a, v\rangle] \
& =\langle a, v\rangle+\max _x\left{\langle a, u\rangle \mid\left\langle H^{-1} u, u\right\rangle \leq 1\right} \
& =\langle a, v\rangle+\langle H a, a\rangle^{1 / 2} \leq b .
\end{aligned}
$$
This proves our statement since $\langle a, v\rangle<b$.

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Circumscribed ellipsoid

给定R^n$中的一组点$a_1， \ldots, a_m \，找到一个椭球$W$，它包含所有点$\左{a_i\右}$，并且体积尽可能小。
让我们以正式的方式提出这个问题。首先注意，任何有界椭球W \子集R^n$都可以表示为
＄$
W = \离开{x \ R ^ n \中期x = H ^ {1} (v + u) | | \ u leq 1 },
＄$
其中$H \in \operatorname{int} \mathcal{P}_n$和$v \in R^n$。那么在W$中包含$a \等价于不等式$|H a-v| \leq 1$。还要注意的是
＄$
\operatorname{vol}_n W=\operatorname{vol}_n B_2(0,1) \cdot \operatorname{det} H^{-1}=\frac{\operatorname{vol}_n B_2(0,1)}{\operatorname{det} H}。
＄$

因此，我们的问题如下:
$$
\begin{array}{ll}
& \min _{H, v, \tau} \tau, \
\text { s.t. } & -\ln \operatorname{det} H \leq \tau, \
& \left|H a_i-v\right| \leq 1, i=1 \ldots m, \
& H \in \mathcal{P}_n, v \in R^n, \tau \in R^1 .
\end{array}
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Inscribed ellipsoid with fixed center

设$Q$是由一组线性不等式定义的凸多面体:
＄$
Q=\left{x \in R^n \mid\left\langle a_i, x\right\rangle \leq b_i, i=1 \ldots m\right}
＄$
并让$v \in \operatorname{int} Q$。找到一个以v为中心的椭球W，使W \子集Q，且体积尽可能大。

让我们在\operatorname{int} \mathcal{P}n$中固定一些$H。我们可以将椭球体$W$表示为$$ W=\left{x \in R^n \mid\left\langle H^{-1}(x-v)， x-v\right\rangle \leq 1\right} $$我们需要以下简单的结果。让$\langle a, v\rangle{x \in W}\langle a, x\rangle & =\max _{x \in W}[\langle a, x-v\rangle+\langle a, v\rangle
& =\langle a, v\rangle+\max _x\left{\langle a, u\rangle \mid\left\langle H^{-1} u, u\right\rangle \leq 1\right} \
& =\角a, v\角+\角H a, a\角^{1 / 2}\leq b。
结束{对齐}
＄$
这证明了我们的命题，自从$\ rangle a, v\rangle<b$。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Definition of self-concordant barriers

DeFINITION 4.2.2 Let $F(x)$ be a standard self-concordant function. We call it a $\nu$-self-concordant barrier for set $\operatorname{Dom} F$, if
$$
\sup _{u \in R^n}\left[2\left\langle F^{\prime}(x), u\right\rangle-\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle\right] \leq \nu
$$

for all $x \in \operatorname{dom} F$. The value $\nu$ is called the parameter of the barrier.
Note that we do not assume $F^{\prime \prime}(x)$ to be nondegenerate. However, if this is the case, then the inequality (4.2.3) is equivalent to
$$
\left\langle\left[F^{\prime \prime}(x)\right]^{-1} F^{\prime}(x), F^{\prime}(x)\right\rangle \leq \nu .
$$
We will use also another equivalent form of inequality (4.2.3):
$$
\left\langle F^{\prime}(x), u\right\rangle^2 \leq \nu\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle \quad \forall u \in R^n \text {. }
$$
(To see that for $u$ with $\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle>0$, replace $u$ in (4.2.3) by $\lambda u$ and find the maximum of the left-hand side in $\lambda$.) Note that the condition (4.2.5) can be written in a matrix notation:
$$
F^{\prime \prime}(x) \succeq \frac{1}{\nu} F^{\prime}(x) F^{\prime}(x)^T
$$
Let us check now which self-concordant functions given by Example 4.1.1 are also self-concordant barriers.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Main inequalities

Let us show that the local characteristics of a self-concordant barrier (the gradient and the Hessian) provide us with global information about the structure of the domain.

THEOREM 4.2.4 1 . Let $F(x)$ be a $\nu$-self-concordant barrier. For any $x$ and $y$ from $\operatorname{dom} F$, we have
$$
\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle<\nu .
$$

Moreover, if $\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq 0$, then
$$
\left\langle F^{\prime}(y)-F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq \frac{\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle^2}{\nu-\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle} .
$$

A standard self-concordant function $F(x)$ is a $\nu$-self-concordant barrier if and only if
$$
F(y) \geq F(x)-\nu \ln \left(1-\frac{1}{\nu}\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle\right) \quad \forall x, y \in \operatorname{dom} F .
$$

up to a logarithmic transformation of both sides of the inequality.
THEOREM 4.2.5 Let $F(x)$ be a $\nu$-self-concordant barrier. Then for any $x \in \operatorname{dom} F$ and $y \in \operatorname{Dom} F$ such that
$$
\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq 0,
$$
we have
$$
|y-x|_x \leq \nu+2 \sqrt{\nu} \text {. }
$$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Definition of self-concordant barriers

4.2.2设$F(x)$为标准自调和函数。我们称它为$\nu$ -自和谐势垒对于集合$\operatorname{Dom} F$，如果
$$
\sup _{u \in R^n}\left[2\left\langle F^{\prime}(x), u\right\rangle-\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle\right] \leq \nu
$$

对于所有$x \in \operatorname{dom} F$。值$\nu$被称为屏障的参数。
注意，我们不假设$F^{\prime \prime}(x)$是非简并的。然而，如果是这种情况，则不等式(4.2.3)等价于
$$
\left\langle\left[F^{\prime \prime}(x)\right]^{-1} F^{\prime}(x), F^{\prime}(x)\right\rangle \leq \nu .
$$
我们还将使用另一种等价形式的不等式(4.2.3):
$$
\left\langle F^{\prime}(x), u\right\rangle^2 \leq \nu\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle \quad \forall u \in R^n \text {. }
$$
(要用$\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle>0$查看$u$，请将(4.2.3)中的$u$替换为$\lambda u$，并在$\lambda$中找到左侧的最大值。)注意，条件(4.2.5)可以写成矩阵表示法:
$$
F^{\prime \prime}(x) \succeq \frac{1}{\nu} F^{\prime}(x) F^{\prime}(x)^T
$$
现在让我们检查一下例4.1.1给出的哪些自和谐函数也是自和谐障碍。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Main inequalities

让我们证明自和谐势垒的局部特征(梯度和Hessian)为我们提供了关于该域结构的全局信息。

定理4.2.4让$F(x)$成为一个$\nu$ -自我和谐的屏障。关于$\operatorname{dom} F$的$x$和$y$，我们有
$$
\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle<\nu .
$$

此外，如果$\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq 0$，那么
$$
\left\langle F^{\prime}(y)-F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq \frac{\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle^2}{\nu-\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle} .
$$

标准自调和函数$F(x)$是一个$\nu$ -自调和势垒当且仅当
$$
F(y) \geq F(x)-\nu \ln \left(1-\frac{1}{\nu}\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle\right) \quad \forall x, y \in \operatorname{dom} F .
$$

直到不等式两边的对数变换。
定理4.2.5设$F(x)$为$\nu$ -自协调障壁。然后对于任何$x \in \operatorname{dom} F$和$y \in \operatorname{Dom} F$这样
$$
\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq 0,
$$
我们有
$$
|y-x|_x \leq \nu+2 \sqrt{\nu} \text {. }
$$

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Constrained minimization

Let us demonstrate how we can use the models for solving constrained minimization problems. Consider the problem
$$
\begin{array}{ll}
& \min f(x), \
\text { s.t. } & f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m, \
& x \in Q,
\end{array}
$$
where $Q$ is a bounded closed convex set, and functions $f(x), f_j(x)$ are Lipschitz continuous on $Q$.

Let us rewrite this problem as a problem with a single functional constraint. Denote $\bar{f}(x)=\max {1 \leq j \leq m} f_j(x)$. Then we obtain the equivalent problem $$ \begin{array}{ll} & \min f(x), \ \text { s.t. } & \bar{f}(x) \leq 0, \ & x \in Q . \end{array} $$ Note that $f(x)$ and $\bar{f}(x)$ are convex and Lipschitz continuous. In this section we will try to solve (3.3.5) using the models for both of them. Let us define the corresponding models. Consider a sequence $X=$ $\left{x_k\right}{k=0}^{\infty}$. Denote
$$
\begin{gathered}
\hat{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[f\left(x_j\right)+\left\langle g\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq f(x), \
\check{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[\bar{f}\left(x_j\right)+\left\langle\bar{g}\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq \bar{f}(x),
\end{gathered}
$$
where $g\left(x_j\right) \in \partial f\left(x_j\right)$ and $\bar{g}\left(x_j\right) \in \partial \bar{f}\left(x_j\right)$.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Black box concept in convex optimization

In this chapter we are going to present the main ideas underlying the modern polynomial-time interior-point methods in nonlinear optimization. In order to start, let us look first at the traditional formulation of a minimization problem.

Suppose we want to solve a minimization problem in the following form:
$$
\min _{x \in R^n}\left{f_0(x) \mid f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m\right} .
$$
We assume that the functional components of this problem are convex. Note that all standard convex optimization schemes for solving this problem are based on the black-box concept. This means that we assume our problem to be equipped with an oracle, which provides us with some information on the functional components of the problem at some test point $x$. This oracle is local: If we change the shape of a component far enough from the test point, the answer of the oracle does not change. These answers comprise the only information available for numerical methods. ${ }^1$

However, if we look carefully at the above situation, we can see a certain contradiction. Indeed, in order to apply the convex optimization methods, we need to be sure that our functional components are convex. However, we can check convexity only by analyzing the structure of these functions ${ }^2$ : If our function is obtained from the basic convex functions by convex operations (summation, maximum, etc.), we conclude that it is convex.

Thus, the functional components of the problem are not in a black box at the moment we check their convexity and choose a minimization scheme. But we put them in a black box for numerical methods. That is the main conceptual contradiction of the standard convex optimization theory. $^3$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Constrained minimization

让我们演示如何使用模型来解决约束最小化问题。考虑这个问题
$$
\begin{array}{ll}
& \min f(x), \
\text { s.t. } & f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m, \
& x \in Q,
\end{array}
$$
其中$Q$是有界闭凸集，函数$f(x), f_j(x)$在$Q$上是Lipschitz连续的。

我们把这个问题改写成一个有单一函数约束的问题。表示$\bar{f}(x)=\max {1 \leq j \leq m} f_j(x)$。然后我们得到等价问题$$ \begin{array}{ll} & \min f(x), \ \text { s.t. } & \bar{f}(x) \leq 0, \ & x \in Q . \end{array} $$注意$f(x)$和$\bar{f}(x)$是凸的，并且是Lipschitz连续的。在本节中，我们将尝试使用这两个模型来解决(3.3.5)。让我们定义相应的模型。考虑一个序列$X=$$\left{x_k\right}{k=0}^{\infty}$。表示
$$
\begin{gathered}
\hat{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[f\left(x_j\right)+\left\langle g\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq f(x), \
\check{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[\bar{f}\left(x_j\right)+\left\langle\bar{g}\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq \bar{f}(x),
\end{gathered}
$$
其中$g\left(x_j\right) \in \partial f\left(x_j\right)$和$\bar{g}\left(x_j\right) \in \partial \bar{f}\left(x_j\right)$。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Black box concept in convex optimization

在本章中，我们将介绍非线性优化中现代多项式时间内点方法的主要思想。为了开始，让我们先看看最小化问题的传统表述。

假设我们要以以下形式解决最小化问题:
$$
\min _{x \in R^n}\left{f_0(x) \mid f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m\right} .
$$
我们假设这个问题的函数分量是凸的。注意，解决这个问题的所有标准凸优化方案都是基于黑盒概念的。这意味着我们假设我们的问题配备了一个oracle，它在某个测试点$x$为我们提供了关于问题的功能组件的一些信息。这个oracle是本地的:如果我们在离测试点足够远的地方改变组件的形状，oracle的答案不会改变。这些答案包含了数值方法可用的唯一信息。 ${ }^1$

然而，如果我们仔细观察上述情况，我们可以看到一定的矛盾。实际上，为了应用凸优化方法，我们需要确保我们的功能组件是凸的。然而，我们只能通过分析这些函数的结构来检验凸性${ }^2$:如果我们的函数是通过凸操作(求和、极大等)从基本凸函数中得到的，我们就得出它是凸的结论。

因此，当我们检查问题的凸性并选择最小化方案时，问题的功能组件并不在黑盒中。但是我们把它们放在一个黑盒子里用于数值方法。这是标准凸优化理论的主要概念矛盾。 $^3$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写凸优化Convex optimization 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。凸优化Convex optimization凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP-hard。

凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。

凸优化Convex optimization代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的凸优化Convex optimization作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此凸优化Convex optimization作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Minimization with functional constraints

Let us apply a subgradient method to a constrained minimization problem with functional constraints. Consider the problem
$$
\min \left{f(x) \mid x \in Q, f_j(x) \leq 0, i=1 \ldots m\right}
$$
with convex $f$ and $f_j$, and a simple bounded closed convex set $Q$ :
$$
|x-y| \leq R, \quad \forall x, y \in Q .
$$
Let us form an aggregate constraint $\bar{f}(x)=\left(\max {1 \leq j \leq m} f_j(x)\right){+}$. Then our problem can be written as follows:
$$
\min {f(x) \mid x \in Q, \bar{f}(x) \leq 0} .
$$
Note that we can easily compute a subgradient $\bar{g}(x)$ of function $\bar{f}$, provided that we can do so for functions $f_j$ (see Lemma 3.1.10).

Let us fix some $x^$, a solution to (3.2.11). Note that $\bar{f}\left(x^\right)=0$ and $v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right) \geq 0$ for all $x \in R^n$. Therefore, in view of Lemma 3.2.1 we have
$$
\bar{f}(x) \leq \omega_{\bar{f}}\left(x^* ; v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right)\right) .
$$
If $f_j$ are Lipschitz continuous on $Q$ with constant $M$, then for any $x$ from $R^n$ we have the estimate
$$
\bar{f}(x) \leq M \cdot v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right) .
$$
Let us write down a subgradient minimization scheme for constrained minimization problem (3.2.12). We assume that $R$ is known.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Complexity bounds in finite dimension

Let us look at the unconstrained minimization problem again, assuming that its dimension is relatively small. This means that our computational resources allow us to perform the number of iterations of a minimization method, proportional to the dimension of the space of variables. What will be the lower complexity bounds in this case?
In this section we obtain a finite-dimensional lower complexity bound for a problem, which is closely related to minimization problem. This is the feasibility problem:
Find $x^* \in Q$,
where $Q$ is a convex set. We assume that this problem is endowed with an oracle, which answers our request at point $\bar{x} \in R^n$ in the following way:

• Either it reports that $\bar{x} \in Q$.
• Or, it returns a vector $\bar{g}$, separating $\bar{x}$ from $Q$ :
  $$
  \langle\bar{g}, \bar{x}-x\rangle \geq 0 \quad \forall x \in Q .
  $$
  To estimate the complexity of this problem, we introduce the following assumption.

Assumption 3.2.1 There exists a point $x^* \in Q$ such that for some $\epsilon>0$ the ball $B_2\left(x^*, \epsilon\right)$ belongs to $Q$.

For example, if we know an optimal value $f^$ for problem (3.2.3), we can treat this problem as a feasibility problem with $$ \bar{Q}=\left{(t, x) \in R^{n+1} \mid t \geq f(x), t \leq f^+\bar{\epsilon}, x \in Q\right} .
$$

凸优化代写

学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Minimization with functional constraints

我们将子梯度法应用于具有函数约束的约束最小化问题。考虑这个问题
$$
\min \left{f(x) \mid x \in Q, f_j(x) \leq 0, i=1 \ldots m\right}
$$
具有凸$f$和$f_j$，以及一个简单有界闭凸集$Q$:
$$
|x-y| \leq R, \quad \forall x, y \in Q .
$$
让我们形成一个聚合约束$\bar{f}(x)=\left(\max {1 \leq j \leq m} f_j(x)\right){+}$。那么我们的问题可以写成:
$$
\min {f(x) \mid x \in Q, \bar{f}(x) \leq 0} .
$$
注意，我们可以很容易地计算函数$\bar{f}$的子梯度$\bar{g}(x)$，前提是我们可以对函数$f_j$这样做(参见引理3.1.10)。

让我们修复一些$x^$，一个解决方案(3.2.11)。请注意，所有的$x \in R^n$都是$\bar{f}\left(x^\right)=0$和$v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right) \geq 0$。因此，根据引理3.2.1，我们有
$$
\bar{f}(x) \leq \omega_{\bar{f}}\left(x^* ; v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right)\right) .
$$
如果$f_j$在$Q$上是Lipschitz连续且常数$M$，那么对于$R^n$上的任何$x$我们都有估计
$$
\bar{f}(x) \leq M \cdot v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right) .
$$
让我们写下约束最小化问题(3.2.12)的一个次梯度最小化方案。假设$R$是已知的。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Complexity bounds in finite dimension

让我们再看一下无约束最小化问题，假设它的维度相对较小。这意味着我们的计算资源允许我们执行最小化方法的迭代次数，与变量空间的维度成正比。在这种情况下复杂度的下限是多少?
在本节中，我们得到了一个与最小化问题密切相关的问题的有限维下复杂度界。这是可行性问题:
找到$x^* \in Q$，
其中$Q$为凸集。我们假设这个问题被赋予了一个oracle，它以以下方式回答我们在$\bar{x} \in R^n$点的请求:

要么报告$\bar{x} \in Q$。

或者，它返回一个向量$\bar{g}$，将$\bar{x}$与$Q$分开:
$$
\langle\bar{g}, \bar{x}-x\rangle \geq 0 \quad \forall x \in Q .
$$
为了估计这个问题的复杂性，我们引入以下假设。

假设3.2.1存在一个点$x^* \in Q$，使得对于某些$\epsilon>0$球$B_2\left(x^*, \epsilon\right)$属于$Q$。

例如，如果我们知道问题(3.2.3)的最优值$f^$，我们可以将此问题视为可行性问题 $$ \bar{Q}=\left{(t, x) \in R^{n+1} \mid t \geq f(x), t \leq f^+\bar{\epsilon}, x \in Q\right} .
$$

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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Main lemma

At this moment we are interested in the following problem:
$$
\min {f(x) \mid x \in Q}
$$
where $Q$ is a closed convex set, and $f$ is a function, which is convex on $R^n$. We are going to study some methods for solving (3.2.3), which employ subgradients $g(x)$ of the objective function. As compared with the smooth problem, our goal now is much more complicated. Indeed, even in the simplest situation, when $Q \equiv R^n$, the subgradient seems to be a poor replacement for the gradient of smooth function. For example, we cannot be sure that the value of the objective function is decreasing in the direction $-g(x)$. We cannot expect that $g(x) \rightarrow 0$ as $x$ approaches a solution of our problem, etc.

Fortunately, there is one property of subgradients that makes our goals reachable. We have proved this property in Corollary 3.1.4:
At any $x \in Q$ the following inequality holds:
$$
\left\langle g(x), x-x^*\right\rangle \geq 0
$$
This simple inequality leads to two consequences, which form a basis for any nonsmooth minimization method. Namely:

• The distance between $x$ and $x^*$ is decreasing in the direction $-g(x)$.
• Inequality (3.2.4) cuts $R^n$ on two half-spaces. Only one of them contains $x^*$.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Subgradient method

Now we are ready to analyze the behavior of some minimization schemes. Consider the problem
$$
\min {f(x) \mid x \in Q}
$$
where $f$ is a convex on $R^n$ function and $Q$ is a simple closed convex set. The term “simple” means that we can solve explicitly some simple minimization problems over $Q$. In accordance to the goals of this section, we have to be able to find in a reasonably cheap way a Euclidean projection of any point onto $Q$.

We assume that problem (3.2.7) is equipped with a first-order oracle, which at any test point $\bar{x}$ provides us with the value of objective function $f(\bar{x})$ and with one of its subgradients $g(\bar{x})$.

As usual, we try first a version of a gradient method. Note that for nonsmooth problems the norm of the subgradient, $|g(x)|$, is not very informative. Therefore in the subgradient scheme we use a normalized direction $g(\bar{x}) /|g(\bar{x})|$.
Subgradient method. Unconstrained minimization

0. Choose $x_0 \in Q$ and a sequence $\left{h_k\right}_{k=0}^{\infty}$ :
   $$
   h_k>0, \quad h_k \rightarrow 0, \quad \sum_{k=0}^{\infty} h_k=\infty .
   $$
1. $k$ th iteration $(k \geq 0)$.
   Compute $f\left(x_k\right), g\left(x_k\right)$ and set
   $$
   x_{k+1}=\pi_Q\left(x_k-h_k \frac{g\left(x_k\right)}{\left|g\left(x_k\right)\right|}\right) .
   $$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Main lemma

现在我们感兴趣的问题是:
$$
\min {f(x) \mid x \in Q}
$$
其中$Q$是一个封闭凸集，$f$是一个函数，它在$R^n$上是凸的。我们将研究一些求解(3.2.3)的方法，这些方法使用目标函数的子梯度$g(x)$。与平滑问题相比，我们现在的目标要复杂得多。事实上，即使在最简单的情况下，当$Q \equiv R^n$时，子梯度似乎也不能很好地替代光滑函数的梯度。例如，我们不能确定目标函数的值在$-g(x)$方向上是递减的。我们不能指望$g(x) \rightarrow 0$当$x$接近我们问题的解决方案时，等等。

幸运的是，子梯度的一个特性使我们的目标可以实现。我们已经在推论3.1.4中证明了这个性质:
对于任意$x \in Q$，下列不等式成立:
$$
\left\langle g(x), x-x^*\right\rangle \geq 0
$$
这个简单的不等式导致两个结果，它们构成了任何非光滑最小化方法的基础。即:

$x$和$x^*$之间的距离沿$-g(x)$方向减小。

不等式(3.2.4)在两个半空间上切割$R^n$。其中只有一个包含$x^*$。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Subgradient method

现在我们准备分析一些最小化方案的行为。考虑这个问题
$$
\min {f(x) \mid x \in Q}
$$
其中$f$是$R^n$上的一个凸函数，$Q$是一个简单的闭凸集。术语“简单”意味着我们可以显式地解决$Q$上的一些简单的最小化问题。根据本节的目标，我们必须能够以一种合理便宜的方式找到任意点在$Q$上的欧几里得投影。

我们假设问题(3.2.7)配备了一个一阶oracle，该oracle在任意测试点$\bar{x}$为我们提供目标函数$f(\bar{x})$的值及其一个子梯度$g(\bar{x})$。

像往常一样，我们首先尝试一个版本的梯度方法。注意，对于非光滑问题，子梯度的范数$|g(x)|$不是很有用。因此，在次梯度方案中，我们使用归一化方向$g(\bar{x}) /|g(\bar{x})|$。
亚梯度法。无约束最小化

选择$x_0 \in Q$和一个序列$\left{h_k\right}{k=0}^{\infty}$: $$ h_k>0, \quad h_k \rightarrow 0, \quad \sum{k=0}^{\infty} h_k=\infty .
$$

$k$ 迭代$(k \geq 0)$。
计算$f\left(x_k\right), g\left(x_k\right)$并设置
$$
x_{k+1}=\pi_Q\left(x_k-h_k \frac{g\left(x_k\right)}{\left|g\left(x_k\right)\right|}\right) .
$$

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微观经济学代写

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线性代数代写

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博弈论代写

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写凸优化Convex optimization 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。凸优化Convex optimization凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP-hard。

凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。

凸优化Convex optimization代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的凸优化Convex optimization作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此凸优化Convex optimization作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Convex sets

Let us try to understand which constrained minimization problem we can solve. Let us start from the simplest problem of this type, the problem without functional constraints:
$$
\min _{x \in Q} f(x)
$$
where $Q$ is some subset of $R^n$. In order to make our problem tractable, we should impose some assumptions on the set $Q$. And first of all, let us answer the following question: Which sets fit naturally the class of convex functions? From definition of convex function,
$$
f(\alpha x+(1-\alpha) y) \leq \alpha f(x)+(1-\alpha) f(y), \quad \forall x, y \in R^n, \alpha \in[0,1],
$$
we see that it is implicitly assumed that it is possible to check this inequality at any point of the segment $[x, y]$ :
$$
[x, y]={z=\alpha x+(1-\alpha) y, \alpha \in[0,1]} .
$$
Thus, it would be natural to consider a set that contains the whole segment $[x, y]$ provided that the end points $x$ and $y$ belong to the set. Such sets are called convex.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Gradient mapping

In the constrained minimization problem the gradient of the objective function should be treated differently as compared to the unconstrained situation. In the previous section we have already seen that its role in optimality conditions is changing. Moreover, we cannot use it anymore in a gradient step since the result could be infeasible, etc. If we look at the main properties of the gradient, which we have used for $f \in \mathcal{F}_L^{1,1}\left(R^n\right)$, we can see that two of them are of the most importance. The first one is that the gradient step decreases the function value by an amount comparable with the squared norm of the gradient:
$$
f\left(x-\frac{1}{L} f^{\prime}(x)\right) \leq f(x)-\frac{1}{2 L}\left|f^{\prime}(x)\right|^2 .
$$
And the second one is the inequality
$$
\left\langle f^{\prime}(x), x-x^*\right\rangle \geq \frac{1}{L}\left|f^{\prime}(x)\right|^2
$$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Convex sets

让我们试着理解我们可以解决哪些约束最小化问题。让我们从这类问题中最简单的问题开始，即没有功能约束的问题:
$$
\min _{x \in Q} f(x)
$$
其中$Q$是$R^n$的子集。为了使问题易于处理，我们应该对集合$Q$施加一些假设。首先，让我们回答下面的问题:哪些集合适合凸函数?从凸函数的定义，
$$
f(\alpha x+(1-\alpha) y) \leq \alpha f(x)+(1-\alpha) f(y), \quad \forall x, y \in R^n, \alpha \in[0,1],
$$
我们看到，这里隐含地假设可以在线段$[x, y]$的任何一点检查这个不等式:
$$
[x, y]={z=\alpha x+(1-\alpha) y, \alpha \in[0,1]} .
$$
因此，考虑一个包含整个段$[x, y]$的集合是很自然的，前提是端点$x$和$y$属于该集合。这样的集合称为凸集。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Gradient mapping

在有约束最小化问题中，目标函数的梯度应与无约束最小化问题区别对待。在前一节中，我们已经看到它在最优性条件中的作用正在发生变化。此外，我们不能再在梯度阶跃中使用它，因为结果可能是不可行的，等等。如果我们看一下我们用于$f \in \mathcal{F}_L^{1,1}\left(R^n\right)$的梯度的主要属性，我们可以看到其中两个是最重要的。第一个是梯度阶跃减少函数值的量与梯度的平方范数相当:
$$
f\left(x-\frac{1}{L} f^{\prime}(x)\right) \leq f(x)-\frac{1}{2 L}\left|f^{\prime}(x)\right|^2 .
$$
第二个是不等式
$$
\left\langle f^{\prime}(x), x-x^*\right\rangle \geq \frac{1}{L}\left|f^{\prime}(x)\right|^2
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower complexity bounds for $\mathcal{F}_L^{\infty, 1}\left(R^n\right)$

Before we go forward with optimization methods, let us check our possibilities in minimizing smooth convex functions. In this section we obtain the lower complexity bounds for optimization problems with objective functions from $\mathcal{F}_L^{\infty, 1}\left(R^n\right)$ (and, consequently, $\mathcal{F}_L^{1,1}\left(R^n\right)$ ).
Recall that our problem class is as follows.

In order to make our considerations simpler, let us introduce the following assumption on iterative processes.

Assumption 2.1.4 An iterative method $\mathcal{M}$ generates a sequence of test points $\left{x_k\right}$ such that
$$
x_k \in x_0+\operatorname{Lin}\left{f^{\prime}\left(x_0\right), \ldots, f^{\prime}\left(x_{k-1}\right)\right}, \quad k \geq 1 .
$$
This assumption is not absolutely necessary and it can be avoided by a more sophisticated reasoning. However, it holds for the majority of practical methods.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower complexity bounds for $\mathcal{S}_{\mu, L}^{\infty, 1}\left(R^n\right)$

Let us get the lower complexity bounds for unconstrained minimization of functions from the class $\mathcal{S}{\mu, L}^{\infty, 1}\left(R^n\right) \subset \mathcal{S}{\mu, L}^{1,1}\left(R^n\right)$. Consider the following problem class.

As in the previous section, we consider the methods satisfying Assumption 2.1.4. We are going to find the lower complexity bounds for our problem in terms of condition number $Q_f=\frac{L}{\mu}$.

Note that in the description of our problem class we do not say anything about the dimension of the space of variables. Therefore formally, this class includes also the infinite-dimensional problems.

We are going to give an example of some bad function defined in the infinite-dimensional space. We could do that also in a finite dimension, but the corresponding reasoning is more complicated.

Consider $R^{\infty} \equiv l_2$, the space of all sequences $x=\left{x^{(i)}\right}_{i=1}^{\infty}$ with finite norm
$$
|x|^2=\sum_{i=1}^{\infty}\left(x^{(i)}\right)^2<\infty
$$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower complexity bounds for $\mathcal{F}_L^{\infty, 1}\left(R^n\right)$

在我们继续优化方法之前，让我们检查一下最小化光滑凸函数的可能性。在本节中，我们从$\mathcal{F}_L^{\infty, 1}\left(R^n\right)$(因此，$\mathcal{F}_L^{1,1}\left(R^n\right)$)获得了具有目标函数的优化问题的低复杂度界限。
回想一下，我们的问题类如下所示。

为了使我们的考虑更简单，让我们引入以下关于迭代过程的假设。

假设2.1.4迭代方法$\mathcal{M}$生成一系列测试点$\left{x_k\right}$，这样
$$
x_k \in x_0+\operatorname{Lin}\left{f^{\prime}\left(x_0\right), \ldots, f^{\prime}\left(x_{k-1}\right)\right}, \quad k \geq 1 .
$$
这种假设不是绝对必要的，可以通过更复杂的推理来避免。然而，它适用于大多数实际方法。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower complexity bounds for $\mathcal{S}_{\mu, L}^{\infty, 1}\left(R^n\right)$

让我们从类$\mathcal{S}{\mu, L}^{\infty, 1}\left(R^n\right) \subset \mathcal{S}{\mu, L}^{1,1}\left(R^n\right)$中得到函数的无约束最小化的较低复杂度界限。考虑下面的问题类。

与前一节一样，我们考虑满足假设2.1.4的方法。我们要根据条件号$Q_f=\frac{L}{\mu}$找到问题的低复杂度界限。

注意，在问题类的描述中，我们没有提到变量空间的维数。因此，形式上，这门课也包括了无限维问题。

我们将给出一个在无限维空间中定义的坏函数的例子。我们也可以在有限维中这样做，但相应的推理要复杂得多。

考虑$R^{\infty} \equiv l_2$，所有具有有限范数的序列$x=\left{x^{(i)}\right}{i=1}^{\infty}$的空间 $$ |x|^2=\sum{i=1}^{\infty}\left(x^{(i)}\right)^2<\infty
$$

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微观经济学代写

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Complexity bounds for global optimization

Let us try to apply the formal language, introduced in the previous section, to a particular problem class. Consider, for example, the following problem:
$$
\min _{x \in B_n} f(x)
$$
In our terminology, this is a constrained minimization problem without functional constraints. The basic feasible set of this problem is $B_n$, an $n$-dimensional box in $R^n$ :
$$
B_n=\left{x \in R^n \mid 0 \leq x^{(i)} \leq 1, i=1 \ldots n\right} .
$$
Let us measure distances in $R^n$ using $l_{\infty}$-norm:
$$
|x|_{\infty}=\max {1 \leq i \leq n}\left|x^{(i)}\right| . $$ Assume that, with respect to this norm, the objective function $f(x)$ is Lipschitz continuous on $B_n$ : $$ |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|{\infty} \quad \forall x, y \in B_n,
$$
with some constant $L$ (Lipschitz constant).

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Identity cards of the fields

After the pessimistic results of the previous section, first of all we should understand what could be our goal in theoretical analysis of optimization problems. It seems, everything is clear for general global optimization. But maybe the goals of this field are too ambitious? Maybe in some practical problems we would be satisfied by much less “optimal” solution? Or, maybe there are some interesting problem classes, which are not so dangerous as the class of general continuous functions?
In fact, each of these questions can be answered in a different way. And this way defines the style of research (or rules of the game) in the different fields of nonlinear optimization. If we try to classify these fields, we can easily see that they differ one from another in the following aspects:
Goals of the methods.
Classes of functional components.

Description of the oracle.
These aspects define in a natural way the list of desired properties of the optimization methods. Let us present the “identity cards” of the fields,

• which we are going to consider in the book.
• Name: General global optimization. (Section 1.1)
• Goals: Find a global minimum.
• Functional class: Continuous functions.
• Oracle: $0-1-2$ order black box.
• Desired properties: Convergence to a global minimum.
• Features: From theoretical point of view, this game is too short. We always lose it.
• Problem sizes: There are examples of solving problems with thousands of variables. However, no guarantee for success even for very small problems.
• History: Starts from 1955. Several local peaks of interest related to new heuristic ideas simulated annealing, neural networks, genetic algorithms.

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Complexity bounds for global optimization

让我们尝试将前一节介绍的形式语言应用于一个特定的问题类。例如，考虑以下问题:
$$
\min {x \in B_n} f(x) $$ 用我们的术语来说，这是一个没有功能约束的约束最小化问题。本问题的基本可行集为$B_n$，是$R^n$中的一个$n$维方框: $$ B_n=\left{x \in R^n \mid 0 \leq x^{(i)} \leq 1, i=1 \ldots n\right} . $$ 让我们使用$l{\infty}$ -norm来测量$R^n$中的距离:
$$
|x|_{\infty}=\max {1 \leq i \leq n}\left|x^{(i)}\right| . $$假设，对于这个范数，目标函数$f(x)$在$B_n$: $$ |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|{\infty} \quad \forall x, y \in B_n,
$$上是Lipschitz连续的
有一个常数$L$ (Lipschitz常数)。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Identity cards of the fields

在上一节的悲观结果之后，首先我们应该了解在优化问题的理论分析中我们的目标是什么。似乎，对于一般全局优化来说，一切都是清楚的。但也许这个领域的目标过于远大了?也许在一些实际问题中，我们会对不那么“最优”的解决方案感到满意?或者，也许有一些有趣的问题类，它们不像一般连续函数类那么危险?
事实上，这些问题都可以用不同的方式来回答。这种方法定义了非线性优化不同领域的研究风格(或游戏规则)。如果我们尝试对这些领域进行分类，我们可以很容易地看到它们在以下几个方面有所不同:
方法的目的。
功能组件的类。

oracle的描述。
这些方面以一种自然的方式定义了优化方法的期望属性列表。让我们拿出田野的“身份证”，

我们将在书中考虑到这一点。

名称:通用全局优化。(第1.1节)

目标:找到一个全局最小值。

函数类:连续函数。

Oracle: $0-1-2$订单黑盒子。

期望性质:收敛到全局最小值。

特点:从理论角度来看，这款游戏太短了。我们总是失去它。

问题的大小:有一些解决包含数千个变量的问题的例子。然而，即使是很小的问题，也不能保证成功。

历史:始于1955年。几个感兴趣的局部峰值与新的启发式思想有关，模拟退火，神经网络，遗传算法。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写凸优化Convex optimization 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。凸优化Convex optimization凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP-hard。

凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。

凸优化Convex optimization代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的凸优化Convex optimization作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此凸优化Convex optimization作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Gradient-Dominated Functions

Let us now look at another interesting class of nonconvex functions.
Definition 4.1.3 A function $f(\cdot)$ is called gradient dominated of degree $p \in[1,2]$ if it attains a global minimum at some point $x^$ and for any $x \in \mathscr{F}$ we have $$ f(x)-f\left(x^\right) \leq \tau_f|\nabla f(x)|^p
$$
where $\tau_f$ is a positive constant. The parameter $p$ is called the degree of domination.
We do not assume here that the global minimum of function $f$ is unique. Let us give several examples of gradient dominated functions.

Example 4.1.1 (Convex Functions) Let $f$ be convex on $\mathbb{R}^n$. Assume it achieves its minimum at point $x^$. Then, for any $x \in \mathbb{R}^n$ with $\left|x-x^\right|<R$, we have
$$
f(x)-f\left(x^\right) \stackrel{(2.1 .2)}{\leq}\left\langle\nabla f(x), x-x^\right\rangle \leq|\nabla f(x)| \cdot R
$$
Thus, the function $f$ is a gradient dominated function of degree one on the set $\mathscr{F}=\left{x:\left|x-x^*\right|<R\right}$ with $\tau_f=R$.

Example 4.1.2 (Strongly Convex Functions) Let $f$ be differentiable and strongly convex on $\mathbb{R}^n$. This means that there exists a constant $\mu>0$ such that
$$
f(y) \stackrel{(2.1 .20)}{\geq} f(x)+\langle\nabla f(x), y-x\rangle+\frac{1}{2} \mu|y-x|^2
$$
for all $x, y \in \mathbb{R}^n$. Then, minimizing both sides of this inequality in $y$, we obtain,
$$
f(x)-f\left(x^*\right) \leq \frac{1}{2 \mu}|\nabla f(x)|^2 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Nonlinear Transformations of Convex Functions

Let $u(x): \quad \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ be a non-degenerate vector function. Denote by $v(u)$ its inverse:
$$
v(u): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n, \quad v(u(x)) \equiv x
$$
Consider the following function:
$$
f(x)=\phi(u(x))
$$
where $\phi(u)$ is a convex function with bounded level sets. Denote by $x^* \equiv v\left(u^\right)$ its minimum. Let us fix some $x_0 \in \mathbb{R}^n$. Define $$ \begin{aligned} & \sigma=\max _u\left{\left|v^{\prime}(u)\right|: \phi(u) \leq f\left(x_0\right)\right}, \ & D=\max _u\left{\left|u-u^\right|: \phi(u) \leq f\left(x_0\right)\right} .
\end{aligned}
$$
The following result is straightforward.

Lemma 4.1.9 For any $x, y \in \mathscr{L}\left(f\left(x_0\right)\right)$ we have
$$
|x-y| \leq \sigma|u(x)-u(y)| .
$$
Proof Indeed, for $x, y \in \mathscr{L}\left(f\left(x_0\right)\right)$, we have $\phi(u(x)) \leq f\left(x_0\right)$ and $\phi(u(y)) \leq$ $f\left(x_0\right)$. Consider the trajectory $x(t)=v(t u(y)+(1-t) u(x)), t \in[0,1]$. Then
$$
y-x=\int_0^1 x^{\prime}(t) d t=\left(\int_0^1 v^{\prime}(t u(y)+(1-t) u(x)) d t\right) \cdot(u(y)-u(x)),
$$
and (4.1.42) follows.
The following result is very similar to Theorem 4.1.4.

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Gradient-Dominated Functions

现在我们来看另一类有趣的非凸函数。
定义4.1.3一个函数$f(\cdot)$被称为梯度支配度$p \in[1,2]$，如果它在某点$x^$达到全局最小值，对于任何$x \in \mathscr{F}$我们有$$ f(x)-f\left(x^\right) \leq \tau_f|\nabla f(x)|^p
$$
其中$\tau_f$是一个正常数。参数$p$称为支配度。
这里我们不假设函数$f$的全局最小值是唯一的。让我们举几个梯度控制函数的例子。

例4.1.1(凸函数)设$f$在$\mathbb{R}^n$上是凸的。假设它在$x^$点达到最小值。然后，对于任何含有$\left|x-x^\right|<R$的$x \in \mathbb{R}^n$，我们有
$$
f(x)-f\left(x^\right) \stackrel{(2.1 .2)}{\leq}\left\langle\nabla f(x), x-x^\right\rangle \leq|\nabla f(x)| \cdot R
$$
因此，函数$f$是集$\mathscr{F}=\left{x:\left|x-x^*\right|<R\right}$与$\tau_f=R$上的一次梯度支配函数。

例4.1.2(强凸函数)设$f$在$\mathbb{R}^n$上是可微且强凸的。这意味着存在一个常数$\mu>0$，使得
$$
f(y) \stackrel{(2.1 .20)}{\geq} f(x)+\langle\nabla f(x), y-x\rangle+\frac{1}{2} \mu|y-x|^2
$$
对于所有$x, y \in \mathbb{R}^n$。然后，最小化$y$中不等式的两边，我们得到，
$$
f(x)-f\left(x^*\right) \leq \frac{1}{2 \mu}|\nabla f(x)|^2 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Nonlinear Transformations of Convex Functions

设$u(x): \quad \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$为非简并向量函数。用$v(u)$表示它的逆:
$$
v(u): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n, \quad v(u(x)) \equiv x
$$
考虑下面的函数:
$$
f(x)=\phi(u(x))
$$
其中$\phi(u)$是有界水平集的凸函数。用$x^* \equiv v\left(u^\right)$表示其最小值。让我们修复一些$x_0 \in \mathbb{R}^n$。定义$$ \begin{aligned} & \sigma=\max _u\left{\left|v^{\prime}(u)\right|: \phi(u) \leq f\left(x_0\right)\right}, \ & D=\max _u\left{\left|u-u^\right|: \phi(u) \leq f\left(x_0\right)\right} .
\end{aligned}
$$
下面的结果很简单。

引理4.1.9对于任何$x, y \in \mathscr{L}\left(f\left(x_0\right)\right)$
$$
|x-y| \leq \sigma|u(x)-u(y)| .
$$
确实，对于$x, y \in \mathscr{L}\left(f\left(x_0\right)\right)$，我们有$\phi(u(x)) \leq f\left(x_0\right)$和$\phi(u(y)) \leq$$f\left(x_0\right)$。考虑轨道$x(t)=v(t u(y)+(1-t) u(x)), t \in[0,1]$。然后
$$
y-x=\int_0^1 x^{\prime}(t) d t=\left(\int_0^1 v^{\prime}(t u(y)+(1-t) u(x)) d t\right) \cdot(u(y)-u(x)),
$$
(4.1.42)
下面的结果与定理4.1.4非常相似。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Constrained Minimization

Let us show how to use piece-wise linear models to solve constrained minimization problems. Consider the problem
$$
\begin{gathered}
\qquad \min _{x \in Q} f(x), \
\text { s.t. } f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m,
\end{gathered}
$$
where $Q$ is a bounded closed convex set, and functions $f(\cdot), f_j(\cdot)$ are Lipschitz continuous on $Q$.

Note that the functions $f(\cdot)$ and $\bar{f}(\cdot)$ are convex and Lipschitz continuous. In this section, we will try to solve (3.3.5) using the models for both of them.

Let us define the corresponding models. Consider a sequence $X=\left{x_k\right}_{k=0}^{\infty}$. Define
$$
\begin{aligned}
& \hat{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[f\left(x_j\right)+\left\langle g\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq f(x), \
& \check{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[\bar{f}\left(x_j\right)+\left\langle\bar{g}\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq \bar{f}(x),
\end{aligned}
$$
where $g\left(x_j\right) \in \partial f\left(x_j\right)$ and $\bar{g}\left(x_j\right) \in \partial \bar{f}\left(x_j\right)$.
As in Sect. 2.3.4, our scheme is based on the parametric function
$$
\begin{aligned}
f(t ; x) & =\max {f(x)-t, \bar{f}(x)}, \
f^*(t) & =\min _{x \in Q} f(t ; x) .
\end{aligned}
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Cubic Regularization of Quadratic Approximation

In this section, we consider the simplest unconstrained minimization problem
$$
\min _{x \in \mathbb{R}^n} f(x)
$$

with a twice continuously differentiable objective function. The standard secondorder scheme for this problem, Newton’s method, is as follows:
$$
x_{k+1}=x_k-\left[\nabla^2 f\left(x_k\right)\right]^{-1} \nabla f\left(x_k\right)
$$
We have already looked at this method in Sect. 1.2.
Despite its very natural motivation, this scheme has several hidden drawbacks. First of all, it may happen that at the current test point the Hessian is degenerate; in this case the method is not well-defined. Secondly, it may happen that this scheme diverges or converges to a saddle point or even to a point of local maximum. In order to overcome these difficulties, there are three standard recipes.

• Levenberg-Marquardt regularization. If $\nabla^2 f\left(x_k\right)$ is indefinite, let us regularize it with a unit matrix. Namely, use the matrix $G_k=\nabla^2 f\left(x_k\right)+\gamma I_n \succ 0$ in order to perform the step:
  $$
  x_{k+1}=x_k-G_k^{-1} \nabla f\left(x_k\right)
  $$
  This strategy is sometimes considered as a way of mixing Newton’s method with the gradient method.
• Line search. Since we are interested in minimization, it is reasonable to introduce in method (4.1.1) a certain step size $h_k>0$ :
  $$
  x_{k+1}=x_k-h_k\left[\nabla^2 f\left(x_k\right)\right]^{-1} \nabla f\left(x_k\right)
  $$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Constrained Minimization

让我们展示如何使用分段线性模型来解决约束最小化问题。考虑这个问题
$$
\begin{gathered}
\qquad \min _{x \in Q} f(x), \
\text { s.t. } f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m,
\end{gathered}
$$
其中$Q$是有界闭凸集，函数$f(\cdot), f_j(\cdot)$在$Q$上是Lipschitz连续的。

注意，函数$f(\cdot)$和$\bar{f}(\cdot)$是凸的，是Lipschitz连续的。在本节中，我们将尝试使用这两个模型来解决(3.3.5)。

让我们定义相应的模型。考虑一个序列$X=\left{x_k\right}{k=0}^{\infty}$。定义 $$ \begin{aligned} & \hat{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[f\left(x_j\right)+\left\langle g\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq f(x), \ & \check{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[\bar{f}\left(x_j\right)+\left\langle\bar{g}\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq \bar{f}(x), \end{aligned} $$ 其中$g\left(x_j\right) \in \partial f\left(x_j\right)$和$\bar{g}\left(x_j\right) \in \partial \bar{f}\left(x_j\right)$。 如第2.3.4节所述，我们的方案基于参数函数 $$ \begin{aligned} f(t ; x) & =\max {f(x)-t, \bar{f}(x)}, \ f^*(t) & =\min {x \in Q} f(t ; x) .
\end{aligned}
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Cubic Regularization of Quadratic Approximation

在本节中，我们考虑最简单的无约束最小化问题
$$
\min _{x \in \mathbb{R}^n} f(x)
$$

具有两次连续可微的目标函数。该问题的标准二阶格式，即牛顿法，如下:
$$
x_{k+1}=x_k-\left[\nabla^2 f\left(x_k\right)\right]^{-1} \nabla f\left(x_k\right)
$$
我们已经在1.2节中看过这种方法。
尽管其动机非常自然，但该方案有几个隐藏的缺点。首先，在当前测试点可能发生黑森简并;在这种情况下，方法没有定义好。其次，该方案可能发散或收敛到鞍点，甚至局部极大值点。为了克服这些困难，有三种标准的食谱。

Levenberg-Marquardt正则化。如果$\nabla^2 f\left(x_k\right)$是不定的，让我们用单位矩阵正则化它。也就是说，使用矩阵$G_k=\nabla^2 f\left(x_k\right)+\gamma I_n \succ 0$来执行步骤:
$$
x_{k+1}=x_k-G_k^{-1} \nabla f\left(x_k\right)
$$
这种策略有时被认为是牛顿法与梯度法的混合。

线搜索。由于我们对最小化感兴趣，在方法(4.1.1)中引入一定的步长$h_k>0$是合理的:
$$
x_{k+1}=x_k-h_k\left[\nabla^2 f\left(x_k\right)\right]^{-1} \nabla f\left(x_k\right)
$$

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