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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Circumscribed ellipsoid

Given by a set of points $a_1, \ldots, a_m \in R^n$, find an ellipsoid $W$, which contains all points $\left{a_i\right}$ and which volume is as small as possible.
Let us pose this problem in a formal way. First of all note, that any bounded ellipsoid $W \subset R^n$ can be represented as
$$W=\left{x \in R^n \mid x=H^{-1}(v+u),|u| \leq 1\right},$$
where $H \in \operatorname{int} \mathcal{P}_n$ and $v \in R^n$. Then inclusion $a \in W$ is equivalent to inequality $|H a-v| \leq 1$. Note also that
$$\operatorname{vol}_n W=\operatorname{vol}_n B_2(0,1) \cdot \operatorname{det} H^{-1}=\frac{\operatorname{vol}_n B_2(0,1)}{\operatorname{det} H} .$$

Thus, our problem is as follows:
$$\begin{array}{ll} & \min _{H, v, \tau} \tau, \ \text { s.t. } & -\ln \operatorname{det} H \leq \tau, \ & \left|H a_i-v\right| \leq 1, i=1 \ldots m, \ & H \in \mathcal{P}_n, v \in R^n, \tau \in R^1 . \end{array}$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Inscribed ellipsoid with fixed center

Let $Q$ be a convex polytope defined by a set of linear inequalities:
$$Q=\left{x \in R^n \mid\left\langle a_i, x\right\rangle \leq b_i, i=1 \ldots m\right}$$
and let $v \in \operatorname{int} Q$. Find an ellipsoid $W$, centered at $v$, such that $W \subset Q$ and which volume is as big as possible.

Let us fix some $H \in \operatorname{int} \mathcal{P}n$. We can represent the ellipsoid $W$ as $$W=\left{x \in R^n \mid\left\langle H^{-1}(x-v), x-v\right\rangle \leq 1\right}$$ We need the following simple result. LEMMA 4.3.8 Let \langle a, v\rangle{x \in W}\langle a, x\rangle & =\max _{x \in W}[\langle a, x-v\rangle+\langle a, v\rangle] \ & =\langle a, v\rangle+\max _x\left{\langle a, u\rangle \mid\left\langle H^{-1} u, u\right\rangle \leq 1\right} \ & =\langle a, v\rangle+\langle H a, a\rangle^{1 / 2} \leq b . \end{aligned} $$This proves our statement since \langle a, v\rangle<b. 凸优化代写 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Circumscribed ellipsoid 给定R^n中的一组点a_1， \ldots, a_m \，找到一个椭球W，它包含所有点\左{a_i\右}，并且体积尽可能小。 让我们以正式的方式提出这个问题。首先注意，任何有界椭球W \子集R^n都可以表示为 ＄ W = \离开{x \ R ^ n \中期x = H ^ {1} (v + u) | | \ u leq 1 }, ＄ 其中H \in \operatorname{int} \mathcal{P}_n和v \in R^n。那么在W中包含a \等价于不等式|H a-v| \leq 1。还要注意的是 ＄ \operatorname{vol}_n W=\operatorname{vol}_n B_2(0,1) \cdot \operatorname{det} H^{-1}=\frac{\operatorname{vol}_n B_2(0,1)}{\operatorname{det} H}。 ＄ 因此，我们的问题如下:$$ \begin{array}{ll} & \min _{H, v, \tau} \tau, \ \text { s.t. } & -\ln \operatorname{det} H \leq \tau, \ & \left|H a_i-v\right| \leq 1, i=1 \ldots m, \ & H \in \mathcal{P}_n, v \in R^n, \tau \in R^1 . \end{array} $$数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Inscribed ellipsoid with fixed center 设Q是由一组线性不等式定义的凸多面体: ＄ Q=\left{x \in R^n \mid\left\langle a_i, x\right\rangle \leq b_i, i=1 \ldots m\right} ＄ 并让v \in \operatorname{int} Q。找到一个以v为中心的椭球W，使W \子集Q，且体积尽可能大。 让我们在\operatorname{int} \mathcal{P}n中固定一些H。我们可以将椭球体W表示为$$ W=\left{x \in R^n \mid\left\langle H^{-1}(x-v)， x-v\right\rangle \leq 1\right} $$我们需要以下简单的结果。让\langle a, v\rangle{x \in W}\langle a, x\rangle & =\max _{x \in W}[\langle a, x-v\rangle+\langle a, v\rangle & =\langle a, v\rangle+\max _x\left{\langle a, u\rangle \mid\left\langle H^{-1} u, u\right\rangle \leq 1\right} \ & =\角a, v\角+\角H a, a\角^{1 / 2}\leq b。 结束{对齐} ＄ 这证明了我们的命题，自从\ rangle a, v\rangle<b。 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Convex optimization, 凸优化, 数学代写 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Definition of self-concordant barriers 如果你也在 怎样代写凸优化Convex optimization 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。凸优化Convex optimization凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP-hard。 凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。 凸优化Convex optimization代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的凸优化Convex optimization作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此凸优化Convex optimization作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在凸优化Convex optimization代写方面经验极为丰富，各种凸优化Convex optimization相关的作业也就用不着 说。 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Definition of self-concordant barriers DeFINITION 4.2.2 Let F(x) be a standard self-concordant function. We call it a \nu-self-concordant barrier for set \operatorname{Dom} F, if$$ \sup _{u \in R^n}\left[2\left\langle F^{\prime}(x), u\right\rangle-\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle\right] \leq \nu $$for all x \in \operatorname{dom} F. The value \nu is called the parameter of the barrier. Note that we do not assume F^{\prime \prime}(x) to be nondegenerate. However, if this is the case, then the inequality (4.2.3) is equivalent to$$ \left\langle\left[F^{\prime \prime}(x)\right]^{-1} F^{\prime}(x), F^{\prime}(x)\right\rangle \leq \nu . $$We will use also another equivalent form of inequality (4.2.3):$$ \left\langle F^{\prime}(x), u\right\rangle^2 \leq \nu\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle \quad \forall u \in R^n \text {. } $$(To see that for u with \left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle>0, replace u in (4.2.3) by \lambda u and find the maximum of the left-hand side in \lambda.) Note that the condition (4.2.5) can be written in a matrix notation:$$ F^{\prime \prime}(x) \succeq \frac{1}{\nu} F^{\prime}(x) F^{\prime}(x)^T $$Let us check now which self-concordant functions given by Example 4.1.1 are also self-concordant barriers. 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Main inequalities Let us show that the local characteristics of a self-concordant barrier (the gradient and the Hessian) provide us with global information about the structure of the domain. THEOREM 4.2.4 1 . Let F(x) be a \nu-self-concordant barrier. For any x and y from \operatorname{dom} F, we have$$ \left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle<\nu . $$Moreover, if \left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq 0, then$$ \left\langle F^{\prime}(y)-F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq \frac{\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle^2}{\nu-\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle} . $$A standard self-concordant function F(x) is a \nu-self-concordant barrier if and only if$$ F(y) \geq F(x)-\nu \ln \left(1-\frac{1}{\nu}\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle\right) \quad \forall x, y \in \operatorname{dom} F . $$up to a logarithmic transformation of both sides of the inequality. THEOREM 4.2.5 Let F(x) be a \nu-self-concordant barrier. Then for any x \in \operatorname{dom} F and y \in \operatorname{Dom} F such that$$ \left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq 0, $$we have$$ |y-x|_x \leq \nu+2 \sqrt{\nu} \text {. } $$凸优化代写 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Definition of self-concordant barriers 4.2.2设F(x)为标准自调和函数。我们称它为\nu -自和谐势垒对于集合\operatorname{Dom} F，如果$$ \sup _{u \in R^n}\left[2\left\langle F^{\prime}(x), u\right\rangle-\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle\right] \leq \nu $$对于所有x \in \operatorname{dom} F。值\nu被称为屏障的参数。 注意，我们不假设F^{\prime \prime}(x)是非简并的。然而，如果是这种情况，则不等式(4.2.3)等价于$$ \left\langle\left[F^{\prime \prime}(x)\right]^{-1} F^{\prime}(x), F^{\prime}(x)\right\rangle \leq \nu . $$我们还将使用另一种等价形式的不等式(4.2.3):$$ \left\langle F^{\prime}(x), u\right\rangle^2 \leq \nu\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle \quad \forall u \in R^n \text {. } $$(要用\left\langle F^{\prime \prime}(x) u, u\right\rangle>0查看u，请将(4.2.3)中的u替换为\lambda u，并在\lambda中找到左侧的最大值。)注意，条件(4.2.5)可以写成矩阵表示法:$$ F^{\prime \prime}(x) \succeq \frac{1}{\nu} F^{\prime}(x) F^{\prime}(x)^T $$现在让我们检查一下例4.1.1给出的哪些自和谐函数也是自和谐障碍。 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Main inequalities 让我们证明自和谐势垒的局部特征(梯度和Hessian)为我们提供了关于该域结构的全局信息。 定理4.2.4让F(x)成为一个\nu -自我和谐的屏障。关于\operatorname{dom} F的x和y，我们有$$ \left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle<\nu . $$此外，如果\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq 0，那么$$ \left\langle F^{\prime}(y)-F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq \frac{\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle^2}{\nu-\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle} . $$标准自调和函数F(x)是一个\nu -自调和势垒当且仅当$$ F(y) \geq F(x)-\nu \ln \left(1-\frac{1}{\nu}\left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle\right) \quad \forall x, y \in \operatorname{dom} F . $$直到不等式两边的对数变换。 定理4.2.5设F(x)为\nu -自协调障壁。然后对于任何x \in \operatorname{dom} F和y \in \operatorname{Dom} F这样$$ \left\langle F^{\prime}(x), y-x\right\rangle \geq 0, $$我们有$$ |y-x|_x \leq \nu+2 \sqrt{\nu} \text {. } $$数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Convex optimization, 凸优化, 数学代写 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Constrained minimization 如果你也在 怎样代写凸优化Convex optimization 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。凸优化Convex optimization凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP-hard。 凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。 凸优化Convex optimization代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的凸优化Convex optimization作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此凸优化Convex optimization作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在凸优化Convex optimization代写方面经验极为丰富，各种凸优化Convex optimization相关的作业也就用不着 说。 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Constrained minimization Let us demonstrate how we can use the models for solving constrained minimization problems. Consider the problem$$ \begin{array}{ll} & \min f(x), \ \text { s.t. } & f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m, \ & x \in Q, \end{array} $$where Q is a bounded closed convex set, and functions f(x), f_j(x) are Lipschitz continuous on Q. Let us rewrite this problem as a problem with a single functional constraint. Denote \bar{f}(x)=\max {1 \leq j \leq m} f_j(x). Then we obtain the equivalent problem$$ \begin{array}{ll} & \min f(x), \ \text { s.t. } & \bar{f}(x) \leq 0, \ & x \in Q . \end{array} $$Note that f(x) and \bar{f}(x) are convex and Lipschitz continuous. In this section we will try to solve (3.3.5) using the models for both of them. Let us define the corresponding models. Consider a sequence X= \left{x_k\right}{k=0}^{\infty}. Denote$$ \begin{gathered} \hat{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[f\left(x_j\right)+\left\langle g\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq f(x), \ \check{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[\bar{f}\left(x_j\right)+\left\langle\bar{g}\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq \bar{f}(x), \end{gathered} $$where g\left(x_j\right) \in \partial f\left(x_j\right) and \bar{g}\left(x_j\right) \in \partial \bar{f}\left(x_j\right). 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Black box concept in convex optimization In this chapter we are going to present the main ideas underlying the modern polynomial-time interior-point methods in nonlinear optimization. In order to start, let us look first at the traditional formulation of a minimization problem. Suppose we want to solve a minimization problem in the following form:$$ \min _{x \in R^n}\left{f_0(x) \mid f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m\right} . $$We assume that the functional components of this problem are convex. Note that all standard convex optimization schemes for solving this problem are based on the black-box concept. This means that we assume our problem to be equipped with an oracle, which provides us with some information on the functional components of the problem at some test point x. This oracle is local: If we change the shape of a component far enough from the test point, the answer of the oracle does not change. These answers comprise the only information available for numerical methods. { }^1 However, if we look carefully at the above situation, we can see a certain contradiction. Indeed, in order to apply the convex optimization methods, we need to be sure that our functional components are convex. However, we can check convexity only by analyzing the structure of these functions { }^2 : If our function is obtained from the basic convex functions by convex operations (summation, maximum, etc.), we conclude that it is convex. Thus, the functional components of the problem are not in a black box at the moment we check their convexity and choose a minimization scheme. But we put them in a black box for numerical methods. That is the main conceptual contradiction of the standard convex optimization theory. ^3 凸优化代写 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Constrained minimization 让我们演示如何使用模型来解决约束最小化问题。考虑这个问题$$ \begin{array}{ll} & \min f(x), \ \text { s.t. } & f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m, \ & x \in Q, \end{array} $$其中Q是有界闭凸集，函数f(x), f_j(x)在Q上是Lipschitz连续的。 我们把这个问题改写成一个有单一函数约束的问题。表示\bar{f}(x)=\max {1 \leq j \leq m} f_j(x)。然后我们得到等价问题$$ \begin{array}{ll} & \min f(x), \ \text { s.t. } & \bar{f}(x) \leq 0, \ & x \in Q . \end{array} $$注意f(x)和\bar{f}(x)是凸的，并且是Lipschitz连续的。在本节中，我们将尝试使用这两个模型来解决(3.3.5)。让我们定义相应的模型。考虑一个序列X=$$\left{x_k\right}{k=0}^{\infty}。表示
$$\begin{gathered} \hat{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[f\left(x_j\right)+\left\langle g\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq f(x), \ \check{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[\bar{f}\left(x_j\right)+\left\langle\bar{g}\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq \bar{f}(x), \end{gathered}$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Black box concept in convex optimization

$$\min _{x \in R^n}\left{f_0(x) \mid f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m\right} .$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Minimization with functional constraints

Let us apply a subgradient method to a constrained minimization problem with functional constraints. Consider the problem
$$\min \left{f(x) \mid x \in Q, f_j(x) \leq 0, i=1 \ldots m\right}$$
with convex $f$ and $f_j$, and a simple bounded closed convex set $Q$ :
$$|x-y| \leq R, \quad \forall x, y \in Q .$$
Let us form an aggregate constraint $\bar{f}(x)=\left(\max {1 \leq j \leq m} f_j(x)\right){+}$. Then our problem can be written as follows:
$$\min {f(x) \mid x \in Q, \bar{f}(x) \leq 0} .$$
Note that we can easily compute a subgradient $\bar{g}(x)$ of function $\bar{f}$, provided that we can do so for functions $f_j$ (see Lemma 3.1.10).

Let us fix some $x^$, a solution to (3.2.11). Note that $\bar{f}\left(x^\right)=0$ and $v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right) \geq 0$ for all $x \in R^n$. Therefore, in view of Lemma 3.2.1 we have
$$\bar{f}(x) \leq \omega_{\bar{f}}\left(x^* ; v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right)\right) .$$
If $f_j$ are Lipschitz continuous on $Q$ with constant $M$, then for any $x$ from $R^n$ we have the estimate
$$\bar{f}(x) \leq M \cdot v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right) .$$
Let us write down a subgradient minimization scheme for constrained minimization problem (3.2.12). We assume that $R$ is known.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Complexity bounds in finite dimension

Let us look at the unconstrained minimization problem again, assuming that its dimension is relatively small. This means that our computational resources allow us to perform the number of iterations of a minimization method, proportional to the dimension of the space of variables. What will be the lower complexity bounds in this case?
In this section we obtain a finite-dimensional lower complexity bound for a problem, which is closely related to minimization problem. This is the feasibility problem:
Find $x^* \in Q$,
where $Q$ is a convex set. We assume that this problem is endowed with an oracle, which answers our request at point $\bar{x} \in R^n$ in the following way:

• Either it reports that $\bar{x} \in Q$.
• Or, it returns a vector $\bar{g}$, separating $\bar{x}$ from $Q$ :
$$\langle\bar{g}, \bar{x}-x\rangle \geq 0 \quad \forall x \in Q .$$
To estimate the complexity of this problem, we introduce the following assumption.

Assumption 3.2.1 There exists a point $x^* \in Q$ such that for some $\epsilon>0$ the ball $B_2\left(x^*, \epsilon\right)$ belongs to $Q$.

For example, if we know an optimal value $f^$ for problem (3.2.3), we can treat this problem as a feasibility problem with $$\bar{Q}=\left{(t, x) \in R^{n+1} \mid t \geq f(x), t \leq f^+\bar{\epsilon}, x \in Q\right} .$$

学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Minimization with functional constraints

$$\min \left{f(x) \mid x \in Q, f_j(x) \leq 0, i=1 \ldots m\right}$$

$$|x-y| \leq R, \quad \forall x, y \in Q .$$

$$\min {f(x) \mid x \in Q, \bar{f}(x) \leq 0} .$$

$$\bar{f}(x) \leq \omega_{\bar{f}}\left(x^* ; v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right)\right) .$$

$$\bar{f}(x) \leq M \cdot v_{\bar{f}}\left(x^* ; x\right) .$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Complexity bounds in finite dimension

$$\langle\bar{g}, \bar{x}-x\rangle \geq 0 \quad \forall x \in Q .$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Main lemma

At this moment we are interested in the following problem:
$$\min {f(x) \mid x \in Q}$$
where $Q$ is a closed convex set, and $f$ is a function, which is convex on $R^n$. We are going to study some methods for solving (3.2.3), which employ subgradients $g(x)$ of the objective function. As compared with the smooth problem, our goal now is much more complicated. Indeed, even in the simplest situation, when $Q \equiv R^n$, the subgradient seems to be a poor replacement for the gradient of smooth function. For example, we cannot be sure that the value of the objective function is decreasing in the direction $-g(x)$. We cannot expect that $g(x) \rightarrow 0$ as $x$ approaches a solution of our problem, etc.

Fortunately, there is one property of subgradients that makes our goals reachable. We have proved this property in Corollary 3.1.4:
At any $x \in Q$ the following inequality holds:
$$\left\langle g(x), x-x^*\right\rangle \geq 0$$
This simple inequality leads to two consequences, which form a basis for any nonsmooth minimization method. Namely:

• The distance between $x$ and $x^*$ is decreasing in the direction $-g(x)$.
• Inequality (3.2.4) cuts $R^n$ on two half-spaces. Only one of them contains $x^*$.

Now we are ready to analyze the behavior of some minimization schemes. Consider the problem
$$\min {f(x) \mid x \in Q}$$
where $f$ is a convex on $R^n$ function and $Q$ is a simple closed convex set. The term “simple” means that we can solve explicitly some simple minimization problems over $Q$. In accordance to the goals of this section, we have to be able to find in a reasonably cheap way a Euclidean projection of any point onto $Q$.

We assume that problem (3.2.7) is equipped with a first-order oracle, which at any test point $\bar{x}$ provides us with the value of objective function $f(\bar{x})$ and with one of its subgradients $g(\bar{x})$.

As usual, we try first a version of a gradient method. Note that for nonsmooth problems the norm of the subgradient, $|g(x)|$, is not very informative. Therefore in the subgradient scheme we use a normalized direction $g(\bar{x}) /|g(\bar{x})|$.

1. Choose $x_0 \in Q$ and a sequence $\left{h_k\right}_{k=0}^{\infty}$ :
$$h_k>0, \quad h_k \rightarrow 0, \quad \sum_{k=0}^{\infty} h_k=\infty .$$
2. $k$ th iteration $(k \geq 0)$.
Compute $f\left(x_k\right), g\left(x_k\right)$ and set
$$x_{k+1}=\pi_Q\left(x_k-h_k \frac{g\left(x_k\right)}{\left|g\left(x_k\right)\right|}\right) .$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Main lemma

$$\min {f(x) \mid x \in Q}$$

$$\left\langle g(x), x-x^*\right\rangle \geq 0$$

$x$和$x^*$之间的距离沿$-g(x)$方向减小。

$$\min {f(x) \mid x \in Q}$$

$k$ 迭代$(k \geq 0)$。

$$x_{k+1}=\pi_Q\left(x_k-h_k \frac{g\left(x_k\right)}{\left|g\left(x_k\right)\right|}\right) .$$

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Convex sets

Let us try to understand which constrained minimization problem we can solve. Let us start from the simplest problem of this type, the problem without functional constraints:
$$\min _{x \in Q} f(x)$$
where $Q$ is some subset of $R^n$. In order to make our problem tractable, we should impose some assumptions on the set $Q$. And first of all, let us answer the following question: Which sets fit naturally the class of convex functions? From definition of convex function,
$$f(\alpha x+(1-\alpha) y) \leq \alpha f(x)+(1-\alpha) f(y), \quad \forall x, y \in R^n, \alpha \in[0,1],$$
we see that it is implicitly assumed that it is possible to check this inequality at any point of the segment $[x, y]$ :
$$[x, y]={z=\alpha x+(1-\alpha) y, \alpha \in[0,1]} .$$
Thus, it would be natural to consider a set that contains the whole segment $[x, y]$ provided that the end points $x$ and $y$ belong to the set. Such sets are called convex.

In the constrained minimization problem the gradient of the objective function should be treated differently as compared to the unconstrained situation. In the previous section we have already seen that its role in optimality conditions is changing. Moreover, we cannot use it anymore in a gradient step since the result could be infeasible, etc. If we look at the main properties of the gradient, which we have used for $f \in \mathcal{F}_L^{1,1}\left(R^n\right)$, we can see that two of them are of the most importance. The first one is that the gradient step decreases the function value by an amount comparable with the squared norm of the gradient:
$$f\left(x-\frac{1}{L} f^{\prime}(x)\right) \leq f(x)-\frac{1}{2 L}\left|f^{\prime}(x)\right|^2 .$$
And the second one is the inequality
$$\left\langle f^{\prime}(x), x-x^*\right\rangle \geq \frac{1}{L}\left|f^{\prime}(x)\right|^2$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Convex sets

$$\min _{x \in Q} f(x)$$

$$f(\alpha x+(1-\alpha) y) \leq \alpha f(x)+(1-\alpha) f(y), \quad \forall x, y \in R^n, \alpha \in[0,1],$$

$$[x, y]={z=\alpha x+(1-\alpha) y, \alpha \in[0,1]} .$$

$$f\left(x-\frac{1}{L} f^{\prime}(x)\right) \leq f(x)-\frac{1}{2 L}\left|f^{\prime}(x)\right|^2 .$$

$$\left\langle f^{\prime}(x), x-x^*\right\rangle \geq \frac{1}{L}\left|f^{\prime}(x)\right|^2$$

MATLAB代写

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower complexity bounds for $\mathcal{F}_L^{\infty, 1}\left(R^n\right)$

Before we go forward with optimization methods, let us check our possibilities in minimizing smooth convex functions. In this section we obtain the lower complexity bounds for optimization problems with objective functions from $\mathcal{F}_L^{\infty, 1}\left(R^n\right)$ (and, consequently, $\mathcal{F}_L^{1,1}\left(R^n\right)$ ).
Recall that our problem class is as follows.

In order to make our considerations simpler, let us introduce the following assumption on iterative processes.

Assumption 2.1.4 An iterative method $\mathcal{M}$ generates a sequence of test points $\left{x_k\right}$ such that
$$x_k \in x_0+\operatorname{Lin}\left{f^{\prime}\left(x_0\right), \ldots, f^{\prime}\left(x_{k-1}\right)\right}, \quad k \geq 1 .$$
This assumption is not absolutely necessary and it can be avoided by a more sophisticated reasoning. However, it holds for the majority of practical methods.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower complexity bounds for $\mathcal{S}_{\mu, L}^{\infty, 1}\left(R^n\right)$

Let us get the lower complexity bounds for unconstrained minimization of functions from the class $\mathcal{S}{\mu, L}^{\infty, 1}\left(R^n\right) \subset \mathcal{S}{\mu, L}^{1,1}\left(R^n\right)$. Consider the following problem class.

As in the previous section, we consider the methods satisfying Assumption 2.1.4. We are going to find the lower complexity bounds for our problem in terms of condition number $Q_f=\frac{L}{\mu}$.

Note that in the description of our problem class we do not say anything about the dimension of the space of variables. Therefore formally, this class includes also the infinite-dimensional problems.

We are going to give an example of some bad function defined in the infinite-dimensional space. We could do that also in a finite dimension, but the corresponding reasoning is more complicated.

Consider $R^{\infty} \equiv l_2$, the space of all sequences $x=\left{x^{(i)}\right}_{i=1}^{\infty}$ with finite norm
$$|x|^2=\sum_{i=1}^{\infty}\left(x^{(i)}\right)^2<\infty$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower complexity bounds for $\mathcal{F}_L^{\infty, 1}\left(R^n\right)$

$$x_k \in x_0+\operatorname{Lin}\left{f^{\prime}\left(x_0\right), \ldots, f^{\prime}\left(x_{k-1}\right)\right}, \quad k \geq 1 .$$

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Complexity bounds for global optimization

Let us try to apply the formal language, introduced in the previous section, to a particular problem class. Consider, for example, the following problem:
$$\min _{x \in B_n} f(x)$$
In our terminology, this is a constrained minimization problem without functional constraints. The basic feasible set of this problem is $B_n$, an $n$-dimensional box in $R^n$ :
$$B_n=\left{x \in R^n \mid 0 \leq x^{(i)} \leq 1, i=1 \ldots n\right} .$$
Let us measure distances in $R^n$ using $l_{\infty}$-norm:
$$|x|_{\infty}=\max {1 \leq i \leq n}\left|x^{(i)}\right| .$$ Assume that, with respect to this norm, the objective function $f(x)$ is Lipschitz continuous on $B_n$ : $$|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|{\infty} \quad \forall x, y \in B_n,$$
with some constant $L$ (Lipschitz constant).

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Identity cards of the fields

After the pessimistic results of the previous section, first of all we should understand what could be our goal in theoretical analysis of optimization problems. It seems, everything is clear for general global optimization. But maybe the goals of this field are too ambitious? Maybe in some practical problems we would be satisfied by much less “optimal” solution? Or, maybe there are some interesting problem classes, which are not so dangerous as the class of general continuous functions?
In fact, each of these questions can be answered in a different way. And this way defines the style of research (or rules of the game) in the different fields of nonlinear optimization. If we try to classify these fields, we can easily see that they differ one from another in the following aspects:
Goals of the methods.
Classes of functional components.

Description of the oracle.
These aspects define in a natural way the list of desired properties of the optimization methods. Let us present the “identity cards” of the fields,

• which we are going to consider in the book.
• Name: General global optimization. (Section 1.1)
• Goals: Find a global minimum.
• Functional class: Continuous functions.
• Oracle: $0-1-2$ order black box.
• Desired properties: Convergence to a global minimum.
• Features: From theoretical point of view, this game is too short. We always lose it.
• Problem sizes: There are examples of solving problems with thousands of variables. However, no guarantee for success even for very small problems.
• History: Starts from 1955. Several local peaks of interest related to new heuristic ideas simulated annealing, neural networks, genetic algorithms.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Complexity bounds for global optimization

$$\min {x \in B_n} f(x)$$ 用我们的术语来说，这是一个没有功能约束的约束最小化问题。本问题的基本可行集为$B_n$，是$R^n$中的一个$n$维方框: $$B_n=\left{x \in R^n \mid 0 \leq x^{(i)} \leq 1, i=1 \ldots n\right} .$$ 让我们使用$l{\infty}$ -norm来测量$R^n$中的距离:
$$|x|_{\infty}=\max {1 \leq i \leq n}\left|x^{(i)}\right| .$$假设，对于这个范数，目标函数$f(x)$在$B_n$: $$|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|{\infty} \quad \forall x, y \in B_n,$$上是Lipschitz连续的

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Identity cards of the fields

oracle的描述。

Oracle: $0-1-2$订单黑盒子。

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Let us now look at another interesting class of nonconvex functions.
Definition 4.1.3 A function $f(\cdot)$ is called gradient dominated of degree $p \in[1,2]$ if it attains a global minimum at some point $x^$ and for any $x \in \mathscr{F}$ we have $$f(x)-f\left(x^\right) \leq \tau_f|\nabla f(x)|^p$$
where $\tau_f$ is a positive constant. The parameter $p$ is called the degree of domination.
We do not assume here that the global minimum of function $f$ is unique. Let us give several examples of gradient dominated functions.

Example 4.1.1 (Convex Functions) Let $f$ be convex on $\mathbb{R}^n$. Assume it achieves its minimum at point $x^$. Then, for any $x \in \mathbb{R}^n$ with $\left|x-x^\right|<R$, we have
$$f(x)-f\left(x^\right) \stackrel{(2.1 .2)}{\leq}\left\langle\nabla f(x), x-x^\right\rangle \leq|\nabla f(x)| \cdot R$$
Thus, the function $f$ is a gradient dominated function of degree one on the set $\mathscr{F}=\left{x:\left|x-x^*\right|<R\right}$ with $\tau_f=R$.

Example 4.1.2 (Strongly Convex Functions) Let $f$ be differentiable and strongly convex on $\mathbb{R}^n$. This means that there exists a constant $\mu>0$ such that
$$f(y) \stackrel{(2.1 .20)}{\geq} f(x)+\langle\nabla f(x), y-x\rangle+\frac{1}{2} \mu|y-x|^2$$
for all $x, y \in \mathbb{R}^n$. Then, minimizing both sides of this inequality in $y$, we obtain,
$$f(x)-f\left(x^*\right) \leq \frac{1}{2 \mu}|\nabla f(x)|^2 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Nonlinear Transformations of Convex Functions

Let $u(x): \quad \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ be a non-degenerate vector function. Denote by $v(u)$ its inverse:
$$v(u): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n, \quad v(u(x)) \equiv x$$
Consider the following function:
$$f(x)=\phi(u(x))$$
where $\phi(u)$ is a convex function with bounded level sets. Denote by $x^* \equiv v\left(u^\right)$ its minimum. Let us fix some $x_0 \in \mathbb{R}^n$. Define \begin{aligned} & \sigma=\max _u\left{\left|v^{\prime}(u)\right|: \phi(u) \leq f\left(x_0\right)\right}, \ & D=\max _u\left{\left|u-u^\right|: \phi(u) \leq f\left(x_0\right)\right} . \end{aligned}
The following result is straightforward.

Lemma 4.1.9 For any $x, y \in \mathscr{L}\left(f\left(x_0\right)\right)$ we have
$$|x-y| \leq \sigma|u(x)-u(y)| .$$
Proof Indeed, for $x, y \in \mathscr{L}\left(f\left(x_0\right)\right)$, we have $\phi(u(x)) \leq f\left(x_0\right)$ and $\phi(u(y)) \leq$ $f\left(x_0\right)$. Consider the trajectory $x(t)=v(t u(y)+(1-t) u(x)), t \in[0,1]$. Then
$$y-x=\int_0^1 x^{\prime}(t) d t=\left(\int_0^1 v^{\prime}(t u(y)+(1-t) u(x)) d t\right) \cdot(u(y)-u(x)),$$
and (4.1.42) follows.
The following result is very similar to Theorem 4.1.4.

凸优化代写

$$f(x)-f\left(x^\right) \stackrel{(2.1 .2)}{\leq}\left\langle\nabla f(x), x-x^\right\rangle \leq|\nabla f(x)| \cdot R$$

$$f(y) \stackrel{(2.1 .20)}{\geq} f(x)+\langle\nabla f(x), y-x\rangle+\frac{1}{2} \mu|y-x|^2$$

$$f(x)-f\left(x^*\right) \leq \frac{1}{2 \mu}|\nabla f(x)|^2 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Nonlinear Transformations of Convex Functions

$$v(u): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n, \quad v(u(x)) \equiv x$$

$$f(x)=\phi(u(x))$$

$$|x-y| \leq \sigma|u(x)-u(y)| .$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。