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## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Application to signal recovery

Application to signal recovery. Proposition $4.37$ allows us to build computation-based lower risk bounds in the signal recovery problem considered in Section 4.2, in particular, the problem where one wants to recover the linear image $B x$ of an unknown signal $x$ known to belong to a given ellitope
$$\mathcal{X}=\left{x \in \mathbf{R}^n: \exists t \in \mathcal{T}: x^T S_{\ell} x \leq t_{\ell}, \ell \leq L\right}$$
(with our usual restriction on $S_{\ell}$ and $\mathcal{T}$ ) via observation
$$\omega=A x+\sigma \xi, \xi \sim \mathcal{N}\left(0, I_m\right)$$
and the risk of a candidate estimate, as in Section 4.2, is defined according to (4.113). ${ }^{22}$ It is convenient to assume that the matrix $B$ (which in our general setup can be an arbitrary $\nu \times n$ matrix) is a nonsingular $n \times n$ matrix. ${ }^{23}$ Under this assumption, setting
$$\mathcal{Y}=B^{-1} \mathcal{X}=\left{y \in \mathbf{R}^n: \exists t \in \mathcal{T}: y^T\left[B^{-1}\right]^T S_{\ell} B^{-1} y \leq t_{\ell}, \ell \leq L\right}$$
and $\bar{A}=A B^{-1}$, we lose nothing when replacing the sensing matrix $A$ with $\bar{A}$ and treating as our signal $y \in \mathcal{Y}$ rather than $\mathcal{X}$. Note that in our new situation $A$ is replaced with $\bar{A}, \mathcal{X}$ with $\mathcal{Y}$, and $B$ is the unit matrix $I_n$. For the sake of simplicity, we assume from now on that $A$ (and therefore $\bar{A}$ ) has trivial kernel. Finally, let $\tilde{S}{\ell} \succeq S{\ell}$ be close to $S_k$ positive definite matrices, e.g., $\tilde{S}{\ell}=S{\ell}+10^{-100} I_n$. Setting $\bar{S}{\ell}=\left[B^{-1}\right]^T \tilde{S}{\ell} B^{-1}$ and
$$\overline{\mathcal{Y}}=\left{y \in \mathbf{R}^n: \exists t \in \mathcal{T}: y^T \bar{S}{\ell} y \leq t{\ell}, \ell \leq L\right}$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower-bounding

Lower-bounding Risk $\mathrm{opt}$. In order to make the bounding scheme just outlined give its best, we need a mechanism which allows us to generate $k$-dimensional “disks” $\Theta \subset \overline{\mathcal{Y}}$ along with associated quantities $r, \gamma$. In order to design such a mechanism, it is convenient to represent $k$-dimensional linear subspaces of $\mathbf{R}^n$ as the image spaces of orthogonal $n \times n$ projectors $P$ of rank $k$. Such a projector $P$ gives rise to the disk $\Theta_P$ of the radius $r=r_P$ contained in $\overline{\mathcal{Y}}$, where $r_P$ is the largest $\rho$ such that the set $\left{y \in \operatorname{Im} P: y^T P y \leq \rho^2\right}$ is contained in $\overline{\mathcal{Y}}$ (“condition $\left.\mathcal{C}(r)^{\prime \prime}\right)$, and we can equip the disk with $\gamma$ satisfying (ii) if and only if
$$\operatorname{Tr}\left(P \bar{A}^T \bar{A} P\right) \leq \gamma$$
or, which is the same (recall that $P$ is an orthogonal projector)
$$\operatorname{Tr}\left(\bar{A} P \bar{A}^T\right) \leq \gamma$$
(“condition $\mathcal{D}(\gamma)$ “). Now, when $P$ is a nonzero orthogonal projector, the simplest sufficient condition for the validity of $\mathcal{C}(r)$ is the existence of $t \in \mathcal{T}$ such that
$$\forall\left(y \in \mathbf{R}^n, \ell \leq L\right): y^T P \bar{S}{\ell} P y \leq t{\ell} r^{-2} y^T P y$$
or, which is the same,
$$\exists s: r^2 s \in \mathcal{T} \& P \bar{S}{\ell} P \preceq s{\ell} P, \ell \leq L$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Application to signal recovery

《left 缺少或无法识别的分隔符
(我们通常限制 $S_{\ell}$ 和 $\mathcal{T}$ ) 通过观察
$$\omega=A x+\sigma \xi, \xi \sim \mathcal{N}\left(0, I_m\right)$$

〈left 缺少或无法识别的分隔符

、left 缺少或无法识别的分隔符

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower-bounding

$$\operatorname{Tr}\left(P \bar{A}^T \bar{A} P\right) \leq \gamma$$

$$\operatorname{Tr}\left(\bar{A} P \bar{A}^T\right) \leq \gamma$$
(“健康) 状兄 $\mathcal{D}(\gamma)$ “) 。现在，当 $P$ 是一个非零正交投影仪，是有效的最简单的充分条件 $\mathcal{C}(r)$ 是存在的 $t \in \mathcal{T}$ 这样
$$\forall\left(y \in \mathbf{R}^n, \ell \leq L\right): y^T P \bar{S} \ell P y \leq t \ell r^{-2} y^T P y$$

$$\exists s: r^2 s \in \mathcal{T} \& P \bar{S} \ell P \preceq s \ell P, \ell \leq L$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Combined bound

Combined bound. We can combine the above bounds, specifically, as follows:
7) Prove that the efficiently computable convex function
$$\Phi_{L B S}(H)=\inf {\left(\Lambda{\pm}, C_{\pm}, \mu, \mu_{+}\right) \in \mathcal{R}} \max {i, j} \mathcal{G}{i j}\left(H, \Lambda_{\pm}, C_{\pm}, \mu, \mu_{+}\right)$$
where
\begin{aligned} & \mathcal{G}{i j}\left(H, \Lambda{\pm}, C_{\pm}, \mu, \mu_{+}\right):=-\mu^T F g_i+\mu_{+}^T W v_{i j}+\min t{|t|: \ & \left.t \geq \operatorname{Max}\left[\left[\left(B-H^T A-\Lambda{+} F\right) g_i+C_{+}^T W v_{i j}\right]{+},\left[\left(-B+H^T A-\Lambda{-} F\right) g_i+C_{-}^T W v_{i j}\right]{+}\right]\right}, \ & \mathcal{R}=\left{\left(\Lambda{\pm}, C_{\pm}, \mu, \mu_{+}\right): \Lambda_{\pm} \in \mathbf{R}{+}^{\nu \times(p+2 q)}, C{\pm} \in \mathbf{R}^{(p+q) \times \nu}, \mu \in \mathbf{R}{+}^{p+2 q}, \mu{+} \in \mathbf{R}^{p+q}\right} \end{aligned}
is an upper bound on $\Phi(H)$, and that this Combined bound is at least as good as any of the Lagrange, Basic, or Sherali-Adams bounds.

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|How to select α?

H. How to select $\alpha$ ? A shortcoming of the Sherali-Adams and the combined upper bounds on $\Phi$ is the presence of a “degree of freedom” – on the positive vector $\alpha$. Intuitively, we would like to select $\alpha$ to make the simplex $\Delta[\alpha] \supset Z$ to be “as small as possible.” It is unclear, however, what “as small as possible” is in our context, not to speak of how to select the required $\alpha$ after we agree on how we measure the “size” of $\Delta[\alpha]$. It turns out, however, that we can efficiently select $\alpha$ resulting in the smallest volume $\Delta[\alpha]$.
8) Prove that minimizing the volume of $\Delta[\alpha] \supset Z$ in $\alpha$ reduces to solving the following convex optimization problem:
$$\inf {\alpha, u, v}\left{-\sum{s=1}^p \ln \left(\alpha_s\right): 0 \leq \alpha \leq-v, E^T u+G^T v \leq \mathbf{1}_n\right}$$
9) Run numerical experiments to evaluate the quality of the above bounds. It makes sense to generate problems where we know in advance the actual value of $\Phi$, e.g., to take
$$\mathcal{X}=\left{x \in \boldsymbol{\Delta}_n: x \geq a\right}$$
with $a \geq 0$ such that $\sum_i a_i \leq 1$. In this case, we can easily list the extreme points of $\mathcal{X}$ (how?) and thus can easily compute $\Phi(H)$.

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Combined bound

7) 证明可高效计算的凸函数
$$\Phi_{L B S}(H)=\inf \left(\Lambda \pm, C_{\pm}, \mu, \mu_{+}\right) \in \mathcal{R} \max i, j \mathcal{G} i j\left(H, \Lambda_{\pm}, C_{\pm}, \mu, \mu_{+}\right)$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|How to select $\alpha$ ?

H. 如何选择 $\alpha$ ? Sherali-Adams 的缺点和组合上限 $\Phi$ 是“自由度”的存在一-在正向量上 $\alpha$. 直觉上，我们想选择 $\alpha$ 使单纯形 $\Delta[\alpha] \supset Z^{\prime}$ 尽可能小”。然而，在我们的上下文中，“尽可能小”是什么还不清楚，更不用说如何选择 所需的 $\alpha$ 在我们就如何测量“尺寸”达成一致后 $\Delta[\alpha]$. 然而，事实证明，我们可以有效地选择 $\alpha$ 导致体积最小 $\Delta[\alpha]$
8) 证明最小化体积 $\Delta[\alpha] \supset Z$ 在 $\alpha$ 简化为解决以下凸优化问题:
\left 缺少或无法识别的分隔符
9) 运行数值实验来评估上述界限的质量。在我们事先知道实际价值的地方产生问题是有意义的 $\Phi$ ，例如，采取
\left 缺少或无法识别的分隔符

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

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## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Simple case

4.11.A. Simple case. There is a trivial case where (4.88) is really easy; this is the case where the right orthogonal factors in the singular value decompositions of $A$ and $B$ are the same, that is, when
$$B=W F V^T, A=U D V^T$$
with orthogonal $n \times n$ matrices $W, U, V$ and diagonal $F, D$. This very special case is in fact of some importance-it covers the denoising situation where $B=A$, so that our goal is to denoise our observation of $A x$ given a priori information $x \in \mathcal{X}$ on $x$. In this situation, setting $W^T H^T U=G$, problem (4.88) becomes
$$\mathrm{Opt}=\min G\left{|F-G D|^2+\sigma^2|G|_F^2\right}$$ Now goes the concluding part of the exercise: 4) Prove that in the situation in question an optimal solution $G*$ to (4.90) can be selected to be diagonal, with diagonal entries $\gamma_i, 1 \leq i \leq n$, yielded by the optimal solution to the optimization problem
$$\mathrm{Opt}=\min \gamma\left{f(G):=\max {i \leq n}\left(\phi_i-\gamma_i \delta_i\right)^2+\sigma^2 \sum_{i=1}^n \gamma_i^2\right} \quad\left[\phi_i=F_{i i}, \delta_i=D_{i i}\right] .$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|The construction

The construction. Our key observation is that when passing from representations of $x$ and $\omega$ “as they are” to their Discrete Fourier Transforms, the situation simplifies dramatically. Specifically, for matrices $y, x$ of the same sizes, let $y \bullet z$ be the entrywise product of $y$ and $z:[y \bullet z]{p q}=y{p q} z_{p q}$. Setting
$$\alpha=2 \mu+m, \beta=2 \nu+n$$
let $F_{\alpha, \beta}$ be the 2D discrete Fourier Transform-a linear mapping from the space

$\mathbf{C}^{\alpha \times \beta}$ onto itself given by
$$\left[F_{\alpha, \beta} y\right]{r s}=\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} \sum{\substack{0 \leq p<\alpha, 0 \leq q<\beta}} y_{p q} \exp \left{-\frac{2 \pi i r}{\alpha}-\frac{2 \pi i s}{\beta}\right},$$
where $i$ is the imaginary unit. It is well known that it is a unitary transformation which is easy to compute (it can be computed in $O(\alpha \beta \ln (\alpha \beta))$ arithmetic operations) which “nearly diagonalizes” the convolution: whenever $x \in \mathbf{R}^{m \times n}$, setting
$$x^{+}=\left[\begin{array}{c|c} x & 0_{m \times 2 \nu} \ \hline 0_{2 \mu \times n} & 0_{2 \mu \times 2 \nu} \end{array}\right] \in \mathbf{R}^{\alpha \times \beta}$$
we have
$$F_{\alpha, \beta}(x \star \kappa)=\chi \bullet\left[F_{\alpha, \beta} x^{+}\right]$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Simple case

4.11.A. 简单的穼例。有一个简单的情况，其中 (4.88) 真的很容易；在这种情况下，奇异值分解中的右正交因子 $A$ 和 $B$ 是一样的，也就是说，当
$$B=W F V^T, A=U D V^T$$

\left 缺少或无法识别的分隔符

\left 缺少或无法识别的分隔符

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|The construction

$$\alpha=2 \mu+m, \beta=2 \nu+n$$

\left 缺少或无法识别的分隔符

$$F_{\alpha, \beta}(x \star \kappa)=\chi \bullet\left[F_{\alpha, \beta} x^{+}\right]$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|General case

4.7.C. General case. Now consider the case when both $\mathcal{X}$ and the unit ball $\mathcal{B}_*$ of the norm conjugate to $|\cdot|$ are spectratopes. As we are about to see, this case is essentially more difficult than the case of $|\cdot|=|\cdot|_2$, but something still can be done.
3) Prove the following statement:

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