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## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|Minimizing Boolean Expressions with the Quine-McCluskey Method

One of the first algorithms for minimizing Boolean expressions was developed by Willard V. Quine (1908-2000) and improved by Edward J. McCluskey (1929–2016) and is known as the “Quine-McCluskey Method” (hereinafter referred to as “QMM”).

The QM-M is an algorithm that translates the manual procedure of the Karnaugh maps, and it is made up of two phases. The first is the “expansion” phase where all the implicants of the function to be minimized (Karnaugh’s “cubes”) are generated. The prime implicants are identified, and the others are eliminated. The second phase known as “covering” is where the smallest number of prime implicants needed to make the function equivalent to the starting function is chosen. That is, all the minterms of the function are “covered.” There are tables for these two phases that help keep track of the steps in the algorithm and are easy to calculate.

## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|TheExpansionPhase

In the preparatory phase, the QM-M uses a simple approach to identify minterms: an $n$ variable minterm is identified by an $n$-bit binary number where a direct variable is denoted with the value 1 and a negated variable, with 0 . Let’s look at this threevariable function as an example:
$$F(X, Y, Z)=\bar{X} \bar{Y} \bar{Z}+\bar{X} Y \bar{Z}+\bar{X} Y Z+X \bar{Y} \bar{Z}+X Y \bar{Z}+X Y Z$$
Minterms are identified by the binary numbers ( $000,010,011,100,110,111)$, which in decimal are $(0,2,3,4,6,7)$, so we can use this encoding to write the compact form of the function:
$$F(X, Y, Z)=\Sigma(0,2,3,4,6,7)$$
The latter can be described through the map below.

## 电子工程代写数字系统设计代写Digital System Design代考|Minimizing Boolean Expressions with the Quine-McCluskey Method

$\mathrm{QM}-\mathrm{M}$ 是一种淮译卡诺图的手动过程的算法，它由两个阶段组成。第一个是“扩展”阶段，其中生成要最小化的函数的所有蕴涵项 (卡诺的“立方体”)。主要葅涵被识别，其他的被消除。第二个阶段称为“覆盖”，是选择使函数等效于起始函数所需的最少数量的

## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|TheExpansionPhase

$$F(X, Y, Z)=\bar{X} \bar{Y} \bar{Z}+\bar{X} Y \bar{Z}+\bar{X} Y Z+X \bar{Y} \bar{Z}+X Y \bar{Z}+X Y Z$$

$$F(X, Y, Z)=\Sigma(0,2,3,4,6,7)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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The network in the figure below (ripple carry adder) allows us to calculate the sum of two 4-bit numbers, and it is extendable to any number with $m$ bits:

Because the carries are propagated from one stage to another, the execution time of a sum $T_s$ is proportional to $m$.
$$T_s=(m-1) \cdot t_{f a}+t_{h a}$$
where $t_{f a}$ is the propagation delay of the full adders (FA), and $t_{h a}$ that of the half adders (HA). The $C_o$, and therefore the sum, is valid only after all the intermediate carries are propagated along the network.

This is why, when we need high-speed calculation on a large number of bits, we rely on more efficient architectures where the carries are calculated, not in ripple fashion but in parallel, as in the Carry Look Ahead networks (not dealt with in this book).

## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|ArithmeticLogicUnit(ALU)

The ALU is a combinational network that makes it possible to do different operations on two binary numbers ( $A$ and $B)$. The figure below shows an example of an 8-bit ALU (from the Deeds library):

The operands are $A 7 . . A 0$ and $B 7 . . B 0$, while the result is taken from the outputs $F 7$..F $F$. For addition and subtraction, there is one input $C i$ and one carry output $\mathrm{Co}$

Outputs $V$ and $Z$ are also available: $V=1$ shows that the arithmetic operation gave rise to an overflow, while $Z=1$ is activated when the result of the operation is zero. The operations are selected by the group of inputs $S 4 . . S 0$, according to the table below:

## 数字系统设计代写

$$T_s=(m-1) \cdot t_{f a}+t_{h a}$$

## 电子工程代写数字系统设计代写Digital System Design代考|ArithmeticLogicUnit(ALU)

$\mathrm{ALU}$ 是一个组合网终，可以对两个二进制数进行不同的运算 $(A$ 和 $B)$. 下图显示了一个 8 位 $\mathrm{ALU}$ 的示例（来自 Deeds 库）：

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|Converting from Decimal System to Binary

A natural number $N$ (with $N \geq 2$ ) can be expressed as:
$$N=2 \cdot q_0+r_0 \quad \text { with } \quad r_0=(0,1)$$
where $q_0$ is the quotient and $r_0$ is the remainder of the division of $N$ by 2 . We can repeat the process if $q_0 \geq 2$, by writing that:
$$q_0=2 \cdot q_1+r_1 \quad \text { with } \quad r_1=(0,1)$$
By substituting the latter expression in the former one, we obtain:
$$N=2 \cdot\left(2 \cdot q_1+r_1\right)+r_0$$
Continuing, if $q_1 \geq 2$, we derive:
$$N=2 \cdot\left(2 \cdot\left(2 \cdot q_2+r_2\right)+r_1\right)+r_0=2^3 \cdot q_2+2^2 \cdot r_2+2^1 \cdot r_1+2^0 \cdot r_0$$
and so on as long as $q_k \geq 2$, giving us:
$$N=2^k \cdot q_{k-1}+2^{k-1} \cdot r_{k-1}+\ldots+2^1 \cdot r_1+2^0 \cdot r_0 .$$

## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|Maximum Representable Number

Given a set of $m$ bits, the largest natural number that can be represented is:
$$N_{\max }=2^m-1$$
For example, if we consider a byte $(m=8)$, where every bit equals 1 , we will add all the magnitudes present among them.
\begin{aligned} 11111111_2 &=128+64+32+16+8+4+2+1=\ &=255=256-1=\ &=2^8-1 \end{aligned}

## 电子工程代写数字系统设计代写Digital System Design代考|Converting from Decimal System to Binary

$$N=2 \cdot q_0+r_0 \quad \text { with } \quad r_0=(0,1)$$

$$q_0=2 \cdot q_1+r_1 \quad \text { with } \quad r_1=(0,1)$$

$$N=2 \cdot\left(2 \cdot q_1+r_1\right)+r_0$$

$$N=2 \cdot\left(2 \cdot\left(2 \cdot q_2+r_2\right)+r_1\right)+r_0=2^3 \cdot q_2+2^2 \cdot r_2+2^1 \cdot r_1+2^0 \cdot r_0$$

$$N=2^k \cdot q_{k-1}+2^{k-1} \cdot r_{k-1}+\ldots+2^1 \cdot r_1+2^0 \cdot r_0 .$$

## 电子工程代写数字系统设计代写Digital System Design代考|Maximum Representable Number

$$N_{\max }=2^m-1$$

$$11111111_2=128+64+32+16+8+4+2+1=\quad=255=256-1==2^8-1$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|NAND-NAND Synthesis

Once we have the AND-OR synthesis, we can implement the function with a network composed exclusively of NANDs (NAND-NAND synthesis) by substituting every OR or AND with a NAND, as in the figure below:
Proof:
Let’s substitute the ANDs on the left with NANDs followed by NOT. Then, let’s apply De Morgan’s Theorem to the OR gate, transforming it into AND, whose inputs and output are negated:

Let’s merge the AND gate with the NOT that follows and obtains a NAND, and then separates the two NANDS on the left from the NOTs.

Finally, when we eliminate the double negation, we get the NAND-NAND network. If the AND-OR function has one or more inputs that go directly to the OR gate, they must be negated.

## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|NOR-NOR Synthesis

Starting from an OR-AND network, we substitute each OR or AND with a NOR gate and get a NOR-NOR synthesis as in the example below. The proof is analogous to the NAND-NAND network.

Standard Combinational Networks

These are general-use combinational networks with a regular circuit structure that are available to the user as functional blocks.

Decoders have $n$ inputs and $2^n$ outputs: every combination of inputs activates one and only one output.
A $3 \rightarrow 8$ decoder has 3 inputs and 8 outputs:
As we can see in the truth table below, output activation occurs in order. The combination $A 2 A 1 A 0=$ “000” activates the output $Y 0$ and so on until $A 2 A 1 A 0=” 111$ ” activates output $Y 7$ :

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|Combinational Networks

A combinational network is defined as a logical circuit whose output depends only on the combination of its inputs. In Chap.5, we will discuss sequential networks whose output does not only depend on the values of the inputs in that time but also on the “inputs history.” In other words, we will see that these networks have memory capacity.

A combinational network can be described in terms of a Boolean function. Note some examples of combinational networks.

We want to analyze the following circuit, obtaining its truth table:
It is composed of two known gates, so we can complete the truth table directly:
\begin{tabular}{cc|c|c}
$A$ & $B$ & Out 1 & Out 2 \
\hline 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 \
1 & 0 & 1 & 0 \
1 & 1 & 0 & 1
\end{tabular}
We will find this circuit again in Chap. 2, being an arithmetic circuit.

## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|Example: Two-Level Logical Network Analysis

As above, we will analyze the circuit, compiling its truth table:
By analyzing all the circuit paths, we must determine the output value $F$ for all the combination of $A, B, C$, and $D$. It is useful to include the intermediate outputs in the truth table. The result of the analysis is:

Example: Circuit Schematic of a Logical Network (1)
We want to draw the logical schematic of a circuit, given its Boolean expression:
$$F=A D+\bar{C} B$$
The result is:

## 电子工程代写数字系统设计代写Digital System Design代考|Example: Two-Level Logical Network Analysis

$$F=A D+\bar{C} B$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|Boolean Functions

If we have the Boolean variables $X_1, X_2, \ldots, X_n$, the following:
$$f\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$$
is called a Boolean function, and it can assume only the values 0 and 1 . This function associates a Boolean value to every element in its domain.

The domain of a function of $n$-variables is composed of all the $2^n$ combination$s$ of their values. Therefore, domain’s elements are countable. Two functions are equivalent if they assume the same value for any combination of their variables’ values.

## 电子工程代写|数字系统设计代写Digital System Design代考|Truth Tables

The Principle of Perfect Induction (that is, carrying out all the calculations) makes it possible to prove the value of $f$ for all the $2^n$ points of the domain. The function is represented in the truth table.

Let’s assume a three-variable function $X_1, X_2, X_3$. We can construct a table with all the values assumed by $f$ :
\begin{tabular}{ccc|c}
$X_1$ & $X_2$ & $X_3$ & $f$ \
\hline 0 & 0 & 0 & \
0 & 0 & 1 & values \
0 & 1 & 0 & \
0 & 1 & 1 & assumed \
1 & 0 & 0 & \
1 & 0 & 1 & by \
1 & 1 & 0 & \
1 & 1 & 1 & f
\end{tabular}
Observation: To write the $2^3=8$ elements of the domain, we begin at the farthest right column $\left(X_3\right)$, from the top and alternate between one 0 and one 1 . In the next column, we alternate between two 0 s and two 1s, while in the column after that, four 0 s and four $1 \mathrm{~s}$ and so on, doubling the number of $0 \mathrm{~s}$ and $1 \mathrm{~s}$ with each new column.
Examples:
Derive the truth tables from the verbal definitions:

$U$ is true if $C$ is true or if $B$ and $A$ are both true.

$Z$ is true if the number of ones in the inputs $M, G, D$ is equal to two.

## 电子工程代写|数字系统设计代写数字系统设计代考|布尔函数

$$f\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$$

## 电子工程代写|数字系统设计代写数字系统设计代考|真值表

$X_1$ & $X_2$ & $X_3$ & $f$ \
\hline 0 & 0 & 0 & \
0 & 0 & 1 & values \
0 & 1 & 0 & \
0 & 1 & 1 & assumed \
1 & 0 & 0 & \
1 & 0 & 1 & by \
1 & 1 & 0 & \
1 & 1 & 1 & f
\end{tabular}

$Z$为真，如果输入$M, G, D$中1的个数等于2

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。