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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Gauss-Seidel Method and SOR

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Gauss-Seidel Method and SOR

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Gauss-Seidel Method and SOR

Closely related to the Jacobi Method is an iteration called the Gauss-Seidel Method. The only difference between Gauss-Seidel and Jacobi is that in the former, the most recently updated values of the unknowns are used at each step, even if the updating occurs in the current step. Returning to Example 2.19, we see that Gauss-Seidel looks like this:
$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{l}
u_0 \
v_0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \
0
\end{array}\right]} \
& {\left[\begin{array}{l}
u_1 \
v_1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\frac{5-v_0}{3} \
\frac{5-u_1}{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{5-0}{3} \
\frac{5-5 / 3}{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{5}{3} \
\frac{5}{3}
\end{array}\right]} \
& {\left[\begin{array}{l}
u_2 \
v_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\frac{5-v_1}{3} \
\frac{5-u_2}{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{5-5 / 3}{3} \
\frac{5-10 / 9}{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{10}{9} \
\frac{35}{18}
\end{array}\right]} \
& {\left[\begin{array}{l}
u_3 \
v_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\frac{5-v_2}{3} \
\frac{5-u_3}{2}
\end{array}\right]=\left[\frac{5-35 / 18}{3}\right]=\left[\begin{array}{c}
\frac{55}{54} \
\frac{5-55 / 54}{2}
\end{array}\right] .}
\end{aligned}
$$
Note the difference between Gauss-Seidel and Jacobi: The definition of $v_1$ uses $u_1$, not $u_0$. We see the approach to the solution $[1,2]$ as with the Jacobi Method, but somewhat more accurately at the same number of steps. Gauss-Seidel often converges faster than Jacobi if the method is convergent. Theorem 2.11 verifies that the GaussSeidel Method, like Jacobi, converges to the solution as long as the coefficient matrix is strictly diagonally dominant.

Gauss-Seidel can be written in matrix form and identified as a fixed-point iteration where we isolate the equation $(L+D+U) x=b$ as
$$
(L+D) x_{k+1}=-U x_k+b
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Convergence of iterative methods

In this section we prove that the Jacobi and Gauss-Seidel Methods converge for strictly diagonally dominant matrices. This is the content of Theorems 2.10 and 2.11 .
The Jacobi Method is written as
$$
x_{k+1}=-D^{-1}(L+U) x_k+D^{-1} b
$$
Theorem A.7 of Appendix A governs convergence of such an iteration. According to this theorem, we need to know that the spectral radius $\rho\left(D^{-1}(L+U)\right)<1$ in order to guarantee convergence of the Jacobi Method. This is exactly what strict diagonal dominance implies, as shown next.

Proof of Theorem 2.10. Let $R=L+U$ denote the nondiagonal part of the matrix. To check $\rho\left(D^{-1} R\right)<1$, let $\lambda$ be an eigenvalue of $D^{-1} R$ with corresponding eigenvector $v$. Choose this $v$ so that $|v|_{\infty}=1$, so that for some $1 \leq m \leq n$, the component $v_m=1$ and all other components are no larger than 1 . (This can be achieved by starting with any eigenvector and dividing by the largest component. Any constant multiple of an eigenvector is again an eigenvector with the same eigenvalue.) The definition of eigenvalue means that $D^{-1} R v=\lambda v$, or $R v=\lambda D v$.

Since $r_{m m}=0$, taking absolute values of the $m$ th component of this vector equation implies
$$
\begin{aligned}
& \left|r_{m 1} v_1+r_{m 2} v_2+\cdots+r_{m, m-1} v_{m-1}+r_{m, m+1} v_{m+1}+\cdots+r_{m n} v_n\right| \
& \quad=\left|\lambda d_{m m} v_m\right|=|\lambda|\left|d_{m m}\right| .
\end{aligned}
$$
Since all $\left|v_i\right| \leq 1$, the left-hand side is at most $\sum_{j \neq m}\left|r_{m j}\right|$, which, according to the strict diagonal dominance hypothesis, is less than $\left|d_{m m}\right|$. This implies that $|\lambda|\left|d_{m m}\right|<$ $\left|d_{m m}\right|$, which in turn forces $|\lambda|<1$. Since $\lambda$ was an arbitrary eigenvalue, we have shown $\rho\left(D^{-1} R\right)<1$, as desired. Now Theorem A.7 from Appendix A implies that Jacobi converges to a solution of $A x=b$. Finally, since $A x=b$ has a solution for arbitrary $b$, $A$ is a nonsingular matrix.
Putting the Gauss-Seidel Method into the form of (2.43) yields
$$
x_{k+1}=-(L+D)^{-1} U x_k+(L+D)^{-1} b
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Gauss-Seidel Method and SOR

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Gauss-Seidel Method and SOR

与雅可比方法密切相关的是称为高斯-褰德尔方法的迭代。Gauss-Seidel 和 Jacobi 之间的唯一区别是，在前 者中，即使更新发生在当前步骙中，每一步都使用最近更新的末知数值。回到示例 2.19 ，我们看到 GaussSeidel 看起来像这样：
$$
\left[\begin{array}{ll}
u_0 & v_0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0
\end{array}\right] \quad\left[u_1 v_1\right]=\left[\frac{5-v_0}{3} \frac{5-u_1}{2}\right]=\left[\frac{5-0}{3} \frac{5-5 / 3}{2}\right]=\left[\frac{5}{3} \frac{5}{3}\right]\left[u_2 v_2\right]=\left[\frac{5-v_1}{3} \frac{5-u_2}{2}\right]=\left[\frac{5-5 / 3}{3} \frac{5-10 / 9}{2}\right]=\left[\frac{10}{9} \frac{35}{18}\right]
$$
注意 Gauss-Seidel 和 Jacobi 的区别: $v_1$ 使用 $u_1$ ，不是 $u_0$. 我们看到解决方案的方法 $[1,2]$ 与雅可比方法一 样，但在相同的步数下更准确。如果方法收敛，Gauss-Seidel 通常比 Jacobi 收敛得更快。定理 2.11 验证了 只要系数矩阵严格对角占优，GaussSeidel 方法与雅可比一样收敛于解。
Gauss-Seidel 可以写成矩阵形式并确定为定点迭代，我们在其中分离方程 $(L+D+U) x=b$ 作为
$$
(L+D) x_{k+1}=-U x_k+b
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Convergence of iterative methods

在本节中，我们证明 Jacobi 和 Gauss-Seidel 方法收敛于严格对角占优矩阵。这就是定理 2.10 和 2.11 的内 容。
雅可比方法写为
$$
x_{k+1}=-D^{-1}(L+U) x_k+D^{-1} b
$$
附录 A 的定理 A.7 控制此类迭代的收敛。根据这个定理，我们需要知道光谱半径 $\rho\left(D^{-1}(L+U)\right)<1$ 为了 保证雅可比方法的收敛性。这正是严格的对角线优势所暗示的，如下所示。
定理 2.10 的证明。让 $R=L+U$ 表示矩阵的非对角线部分。去检查 $\rho\left(D^{-1} R\right)<1$ ，让 $\lambda$ 是一个特征值 $D^{-1} R$ 具有相应的特征向量 $v$. 选择这个 $v$ 以便 $|v|{\infty}=1$, 所以对于一些 $1 \leq m \leq n$, 组件 $v_m=1$ 和所有其他 组件不大于 1。。这可以通过从任何特征向量开始并除以最大分量来实现。特征向量的任何常数倍数也是具有 相同特征值的特征向量。）特征值的定义意味着 $D^{-1} R v=\lambda v$ ，或者 $R v=\lambda D v$. 自从 $r{m m}=0$ ，取的绝对值 $m$ 这个向量方程的第 th 个分量意味着
$$
\left|r_{m 1} v_1+r_{m 2} v_2+\cdots+r_{m, m-1} v_{m-1}+r_{m, m+1} v_{m+1}+\cdots+r_{m n} v_n\right| \quad=\left|\lambda d_{m m} v_m\right|=|\lambda|\left|d_{m m}\right| .
$$
由于所有 $\left|v_i\right| \leq 1$ ，左边最多 $\sum_{j \neq m}\left|r_{m j}\right|$ ，根据严格的对角优势假设，它小于 $\left|d_{m m}\right|$. 这意味蒠 $|\lambda|\left|d_{m m}\right|<$ $\left|d_{m m}\right|$ ，这反过来又迫使 $|\lambda|<1$. 自从 $\lambda$ 是一个任意的特征值，我们已经证明 $\rho\left(D^{-1} R\right)<1$ ，如预期的。 现在附录 A 中的定理 A.7 意味着 Jacobi 收玫到一个解 $A x=b$. 最后，由于 $A x=b$ 有任意解 $b, A$ 是非奇异矩 阵。
将 Gauss-Seidel 方法转化为 (2.43) 的形式得到
$$
x_{k+1}=-(L+D)^{-1} U x_k+(L+D)^{-1} b
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Partial pivoting

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Partial pivoting

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Partial pivoting

At the start of classical Gaussian elimination of $n$ equations in $n$ unknowns, the first step is to use the diagonal element $a_{11}$ as a pivot to eliminate the first column. The partial pivoting protocol consists of comparing numbers before carrying out each elimination step. The largest entry of the first column is located, and its row is swapped with the pivot row, in this case the top row.

In other words, at the start of Gaussian elimination, partial pivoting asks that we select the $p$ th row, where
$$
\left|a_{p 1}\right| \geq\left|a_{i 1}\right|
$$
for all $1 \leq i \leq n$, and exchange rows 1 and $p$. Next, elimination of column 1 proceeds as usual, using the “new” version of $a_{11}$ as the pivot. The multiplier used to eliminate $a_{i 1}$ will be
$$
m_{i 1}=\frac{a_{i 1}}{a_{11}}
$$
and $\left|m_{i 1}\right| \leq 1$
The same check is applied to every choice of pivot during the algorithm. When deciding on the second pivot, we start with the current $a_{22}$ and check all entries directly below. We select the row $p$ such that
$$
\left|a_{p 2}\right| \geq\left|a_{i 2}\right|
$$
for all $2 \leq i \leq n$, and if $p \neq 2$, rows 2 and $p$ are exchanged. Row 1 is never involved in this step. If $\left|a_{22}\right|$ is already the largest, no row exchange is made.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Permutation matrices

Before showing how row exchanges can be used with the $L U$ factorization approach to Gaussian elimination, we will discuss the fundamental properties of permutation matrices.

A permutation matrix is an $n \times n$ matrix consisting of all zeros, except for a single 1 in every row and column.

Equivalently, a permutation matrix $P$ is created by applying arbitrary row exchanges to the $n \times n$ identity matrix (or arbitrary column exchanges). For example,
$$
\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 1
\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \
1 & 0
\end{array}\right]
$$
are the only $2 \times 2$ permutation matrices, and
$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0
\end{array}\right],} \
& {\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 \
1 & 0 & 0
\end{array}\right]}
\end{aligned}
$$
are the $\operatorname{six} 3 \times 3$ permutation matrices.
The next theorem tells us at a glance what action a permutation matrix causes when multiplied on the left of another matrix.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Partial pivoting

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Partial pivoting

在经典高斯消除的开始 $n$ 中的方程式 $n$ 末知数，第一步是使用对角线元莍 $a_{11}$ 作为消除第一列的枢轴。部分旋转协议包括在执行每 个消除步骤之前比较数字。找到第一列的最大条目，并且它的行与数据透视行交换，在本例中是顶行。
换句话脱，在高斯消元开始时，部分旋转要求我们选择 $p$ th行，哪里
$$
\left|a_{p 1}\right| \geq\left|a_{i 1}\right|
$$
对全部 $1 \leq i \leq n$ ，并交换第 1 行和 $p$. 接下来，像往常一样删除第 1 列，使用“新”版本 $a_{11}$ 作为支点。用于消除的乘数 $a_{i 1}$ 将
$$
m_{i 1}=\frac{a_{i 1}}{a_{11}}
$$
和 $\left|m_{i 1}\right| \leq 1$
在算法过程中，相同的检育应用于每一个枢轴的选择。在决定第二个支点时，我们从当前开始 $a_{22}$ 并直接检音下面的所有条目。我 们选择行 $p$ 这样
$$
\left|a_{p 2}\right| \geq\left|a_{i 2}\right|
$$
对全部 $2 \leq i \leq n$ ，而如果 $p \neq 2$ ，第 2 行和 $p$ 被交换。第 1 行从不参与此步骤。如果 $\left|a_{22}\right|$ 已经是最大的，不进行行交换。

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Permutation matrices

在展示行交换如何与 $L U$ 在介绍高斯消去法的因式分解方法之前，我们将讨论置换矩阵的基本性质。
置换矩阵是 $n \times n$ 由全雪组成的矩阵，除了毎行和每列中的单个 1 。
等价地，置换矩阵 $P$ 是通过状任意行交换应用于 $n \times n$ 单位矩阵（或任意列交换）。例如，
$$
\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 1
\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \
1 & 0
\end{array}\right]
$$
are the only $2 \times 2$ permutation matrices, and
$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0
\end{array}\right],} \
& {\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 \
1 & 0 & 0
\end{array}\right]}
\end{aligned}
$$
是唯一的 $2 \times 2$ 置换矩阵，和
是six $3 \times 3$ 置换矩阵。
下一个定理一目了然地告诉我们一个置换矩阵在另一个矩阵的左边相乘时会产生什么作用。

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the elimination step of Gaussian elimination

如果你也在 怎样代写数值分析Numerical analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数值分析Numerical analysis是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

数值分析Numerical analysis是研究使用数值近似的算法（相对于符号操作）来解决数学分析的问题（区别于离散数学）。它是研究试图寻找问题的近似解而不是精确解的数值方法。数值分析在工程和物理科学的所有领域都有应用，在21世纪还包括生命科学和社会科学、医学、商业甚至艺术领域。目前计算能力的增长使得更复杂的数值分析的使用成为可能，在科学和工程中提供详细和现实的数学模型。数值分析的例子包括：天体力学中的常微分方程（预测行星、恒星和星系的运动），数据分析中的数值线性代数，以及用于模拟医学和生物学中活细胞的随机微分方程和马尔科夫链。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the elimination step of Gaussian elimination

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the elimination step of Gaussian elimination

The elimination step for a system of $n$ equations in $n$ variables can be completed in $\frac{2}{3} n^3$ $+\frac{1}{2} n^2-\frac{7}{6} n$ operations.

Normally, the exact operation count is less important than order-of-magnitude estimates, since the details of implementation on various computer processors differ. The main point is that the number of operations is approximately proportional to the execution time of the algorithm. We will commonly make the approximation of $\frac{2}{3} n^3$ operations for elimination, which is a reasonably accurate approximation when $n$ is large.
After the elimination is completed, the tableau is upper triangular:
$$
\left[\begin{array}{cccc:c}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} & b_1 \
0 & a_{22} & \ldots & a_{2 n} & b_2 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \
0 & 0 & \ldots & a_{n n} & b_n
\end{array}\right]
$$
In equation form,
$$
\begin{aligned}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n & =b_1 \
a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n & =b_2 \
& \vdots \
a_{n n} x_n & =b_n,
\end{aligned}
$$
where, again, the $a_{i j}$ refer to the revised, not original, entries. To complete the computation of the solution $x$, we must carry out the back-substitution step, which is simply a rewriting of $(2.8)$ :
$$
\begin{aligned}
x_1 & =\frac{b_1-a_{12} x_2-\cdots-a_{1 n} x_n}{a_{11}} \
x_2 & =\frac{b_2-a_{23} x_3-\cdots-a_{2 n} x_n}{a_{22}} \
& \vdots \
x_n & =\frac{b_n}{a_{n n}} .
\end{aligned}
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the back-substitution step of Gaussian elimination

The back-substitution step for a triangular system of $n$ equations in $n$ variables can be completed in $n^2$ operations.

The two operation counts, taken together, show that Gaussian elimination is made up of two unequal parts: the relatively expensive elimination step and the relatively cheap back-substitution step. If we ignore the lower order terms in the expressions for the number of multiplication/divisions, we find that elimination takes on the order of $2 n^3 / 3$ operations and that back substitution takes on the order of $n^2$.

We will often use the shorthand terminology of “big-O” to mean “on the order of,” saying that elimination is an $O\left(n^3\right)$ algorithm and that back substitution is $O\left(n^2\right)$. This usage implies that the emphasis is on large $n$, where lower powers of $n$ become negligible by comparison. For example, if $n=100$, only about 1 percent or so of the calculation time of Gaussian elimination goes into the back-substitution step. Overall, Gaussian elimination takes $2 n^3 / 3+n^2 \approx 2 n^3 / 3$ operations. In other words, for large $n$, the lower order terms in the complexity count will not have a large effect on the estimate for running time of the algorithm and can be ignored if only an estimated time is required.

Estimate the time required to carry out back substitution on a system of 500 equations in 500 unknowns, on a computer where elimination takes 1 second.

Since we have just established that elimination is far more time consuming than back substitution, the answer will be a fraction of a second. Using the approximate number $2(500)^3 / 3$ for the number of multiply/divide operations for the elimination step, and $(500)^2$ for the back-substitution step, we estimate the time for back substitution to be
$$
\frac{(500)^2}{2(500)^3 / 3}=\frac{3}{2(500)}=0.003 \mathrm{sec} .
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the elimination step of Gaussian elimination

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the elimination step of Gaussian elimination

系统的消除步骤 $n$ 中的方程式 $n$ 变量可以完成 $\frac{2}{3} n^3+\frac{1}{2} n^2-\frac{7}{6} n$ 操作。
通常，准确的操作计数不如数量级估计重要，因为不同计算机处理器的实现细节不同。要点是运算次数与算法 的执行时间大致成正比。我们通常会做出近似值 $\frac{2}{3} n^3$ 消除操作，这是一个相当准确的近似值，当 $n$ 很大。 消元完成后，画面为上三角:
在方程式中，
$$
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n \quad=b_2 \vdots a_{n n} x_n \quad=b_n,
$$
又是哪里 $a_{i j}$ 请参阅修订后的条目，而非原始条目。完成解的计算 $x$ ，我们必须执行反向替换步骙，这只是重写 $(2.8):$
$$
x_1=\frac{b_1-a_{12} x_2-\cdots-a_{1 n} x_n}{a_{11}} x_2=\frac{b_2-a_{23} x_3-\cdots-a_{2 n} x_n}{a_{22}} \vdots x_n \quad=\frac{b_n}{a_{n n}} .
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Operation count for the back-substitution step of Gaussian elimination

三角系统的反代换步骤 $n$ 中的方程式 $n$ 变量可以完成 $n^2$ 操作。
这两个操作计数加在一起表明高斯消元由两个不相等的部分组成: 相对昂贵的消元步骙和相对便宜的反向代入 步骤。如果我们忽略乘法/除法次数表达式中的低阶项，我们会发现消元法的顺序为 $2 n^3 / 3$ 操作和反向替换的顺 序 $n^2$.
我们经常使用“big-O”的简写术语来表示“按顺序”，表示消除是一种 $O\left(n^3\right)$ 算法和反向替换是 $O\left(n^2\right)$. 这种用 法意味着重点是大 $n$ ，其中较低的权力 $n$ 相比之下变得微不足道。例如，如果 $n=100$ ，只有约 $1 \%$ 左右的高斯 消元计算时间进入了反向代入步骤。总的来说，高斯消元法需要 $2 n^3 / 3+n^2 \approx 2 n^3 / 3$ 操作。换句话说，对 于大 $n$ ，筫杂度计数中的低阶项不会对算法运行时间的估计产生很大影响，如果只需要估计时间，则可以忽略。
估计在计算机上对包含 500 个方程和 500 个末知数的系统进行反向替换所需的时间，其中消除需要 1 秒。
由于我们刚刚确定消除比回代更耗时，所以答案将是几分之一秒。使用近似数 $2(500)^3 / 3$ 对于消除步骙的乘 法/除法运算次数，以及 $(500)^2$ 对于反向替换步骙，我们估计反向替换的时间为
$$
\frac{(500)^2}{2(500)^3 / 3}=\frac{3}{2(500)}=0.003 \mathrm{sec}
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT434 Forward and backward error

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数值分析Numerical analysis是研究使用数值近似的算法（相对于符号操作）来解决数学分析的问题（区别于离散数学）。它是研究试图寻找问题的近似解而不是精确解的数值方法。数值分析在工程和物理科学的所有领域都有应用，在21世纪还包括生命科学和社会科学、医学、商业甚至艺术领域。目前计算能力的增长使得更复杂的数值分析的使用成为可能，在科学和工程中提供详细和现实的数学模型。数值分析的例子包括：天体力学中的常微分方程（预测行星、恒星和星系的运动），数据分析中的数值线性代数，以及用于模拟医学和生物学中活细胞的随机微分方程和马尔科夫链。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT434 Forward and backward error

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Forward and backward error

The first example shows that, in some cases, pencil and paper can still outperform a computer.

Use the Bisection Method to find the root of $f(x)=x^3-2 x^2+\frac{4}{3} x-\frac{8}{27}$ to within six correct significant digits.

Note that $f(0) f(1)=(-8 / 27)(1 / 27)<0$, so the Intermediate Value Theorem guarantees a solution in $[0,1]$. According to Example 1.2, 20 bisection steps should be sufficient for six correct places.

In fact, it is easy to check without a computer that $r=2 / 3=0.666666666 \ldots$ is a root:
$$
f(2 / 3)=\frac{8}{27}-2\left(\frac{4}{9}\right)+\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)-\frac{8}{27}=0 .
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The Wilkinson polynomial

A famous example with simple roots that are hard to determine numerically is discussed in Wilkinson [1994]. The Wilkinson polynomial is
$$
W(x)=(x-1)(x-2) \cdots(x-20)
$$
which, when multiplied out, is
$$
\begin{aligned}
W(x)= & x^{20}-210 x^{19}+20615 x^{18}-1256850 x^{17}+53327946 x^{16}-1672280820 x^{15} \
& +40171771630 x^{14}-756111184500 x^{13}+11310276995381 x^{12} \
& -135585182899530 x^{11}+1307535010540395 x^{10}-10142299865511450 x^9
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& +63030812099294896 x^8-311333643161390640 x^7 \
& +1206647803780373360 x^6-3599979517947607200 x^5 \
& +8037811822645051776 x^4-12870931245150988800 x^3 \
& +13803759753640704000 x^2-8752948036761600000 x \
& +2432902008176640000 .
\end{aligned}
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT434 Forward and backward error

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Forward and backward error


第一个例子表明，在某些情况下，铅笔和纸仍然可以胜过计算机。
使用二分法求根 $f(x)=x^3-2 x^2+\frac{4}{3} x-\frac{8}{27}$ 在六位正确的有效数字以内。
注意 $f(0) f(1)=(-8 / 27)(1 / 27)<0$, 所以中值定理保证了一个解决方案 $[0,1]$. 根据示例 $1.2 ， 20$ 个二分步 骤应该足够六个正确的位置。
其实不用电脑也很容易查到 $r=2 / 3=0.666666666 \ldots$ 是根：
$$
f(2 / 3)=\frac{8}{27}-2\left(\frac{4}{9}\right)+\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)-\frac{8}{27}=0 .
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The Wilkinson polynomial


Wilkinson [1994] 讨论了一个著名的例子，它的单根很难用数值确定。威尔金森多项式是
$$
W(x)=(x-1)(x-2) \cdots(x-20)
$$
当相乘时，它是
$$
\begin{aligned}
& W(x)=x^{20}-210 x^{19}+20615 x^{18}-1256850 x^{17}+53327946 x^{16}-1672280820 x^{15}+40171771630 x^{14}-756111184500 x^{13}+11310276995381 x^{1 \digamma} \
& +63030812099294896 x^8-311333643161390640 x^7+1206647803780373360 x^6-3599979517947607200 x^5+8037811822645051776 x^4-128
\end{aligned}
$$

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT434 Bracketing a root

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT434 Bracketing a root

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Bracketing a root

The function $f(x)$ has a root at $x=r$ if $f(r)=0$.
The first step to solving an equation is to verify that a root exists. One way to ensure this is to bracket the root: to find an interval $[a, b]$ on the real line for which one of the pair ${f(a), f(b)}$ is positive and the other is negative. This can be expressed as $f(a) f(b)<0$. If $f$ is a continuous function, then there will be a root: an $r$ between $a$ and $b$ for which $f(r)=0$. This fact is summarized in the following corollary of the Intermediate Value Theorem 0.4 :

Let $f$ be a continuous function on $[a, b]$, satisfying $f(a) f(b)<0$. Then $f$ has a root between $a$ and $b$, that is, there exists a number $r$ satisfying $a<r<b$ and $f(r)=0$.

In Figure $1.1, f(0) f(1)=(-1)(1)<0$. There is a root just to the left of 0.7 . How can we refine our first guess of the root’s location to more decimal places?

We’ll take a cue from the way our eye finds a solution when given a plot of a function. It is unlikely that we start at the left end of the interval and move to the right, stopping at the root. Perhaps a better model of what happens is that the eye first decides the general location, such as whether the root is toward the left or the right of the interval. It then follows that up by deciding more precisely just how far right or left the root lies and gradually improves its accuracy, just like looking up a name in the phone book. This general approach is made quite specific in the Bisection Method, shown in Figure 1.2.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|How accurate and how fast?

If $[a, b]$ is the starting interval, then after $n$ bisection steps, the interval $\left[a_n, b_n\right]$ has length $(b-a) / 2^n$. Choosing the midpoint $x_c=\left(a_n+b_n\right) / 2$ gives a best estimate of the solution $r$, which is within half the interval length of the true solution. Summarizing, after $n$ steps of the Bisection Method, we find that
Solution error $=\left|x_c-r\right|<\frac{b-a}{2^{n+1}}$
and
Function evaluations $=n+2$.
A good way to assess the efficiency of the Bisection Method is to ask how much accuracy can be bought per function evaluation. Each step, or each function evaluation, cuts the uncertainty in the root by a factor of two.

A solution is correct within $p$ decimal places if the error is less than $0.5 \times 10^{-p}$.
Use the Bisection Method to find a root of $f(x)=\cos x-x$ in the interval $[0,1]$ to within six correct places.

First we decide how many steps of bisection are required. According to (1.1), the error after $n$ steps is $(b-a) / 2^{n+1}=1 / 2^{n+1}$. From the definition of $p$ decimal places, we require that
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2^{n+1}} & <0.5 \times 10^{-6} \ n & >\frac{6}{\log _{10} 2} \approx \frac{6}{0.301}=19.9
\end{aligned}
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT434 Bracketing a root

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Bracketing a root

功能 $f(x)$ 根位于 $x=r$ 如果 $f(r)=0$.
求解方程的第一步是验证根是否存在。确保这一点的一种方法是将根括起来: 找到一个区间 $[a, b]$ 在真实的线 上，一对中的哪一个 $f(a), f(b)$ 一个是正的，另一个是负的。这可以表示为 $f(a) f(b)<0$. 如果 $f$ 是连续函数， 则有根: $\operatorname{an} r$ 之间 $a$ 和 $b$ 为了哪个 $f(r)=0$. 这一事实总结在中值定理 0.4 的以下推论中:
让 $f$ 是一个连续函数 $[a, b]$, 令人满意 $f(a) f(b)<0$. 然后 $f$ 之间有一个根 $a$ 和 $b$, 即存在一个数 $r$ 令人满意 $a<r<b$ 和 $f(r)=0$.
在图中 $1.1, f(0) f(1)=(-1)(1)<0.0 .7$ 的左边有一个根。我们如何才能将我们对根位置的第一次猜测精确 到更多的小数位?
当给定函数图时，我们将从我们的眼睛寻找解决方案的方式中获取线索。我们不太可能从区间的左端开始并向 右移动，在根处停止。也许更好的模型是眼睛首先决定大致位置，例如根是朝向间隔的左侧还是右侧。然后它 通过更精确地确定根位于多远或多远并逐渐提高其准确性来进行后续处理，就像在电话簿中查找姓名一样。这 种通用方法在二分法中变得非常具体，如图 1.2 所示。

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|How accurate and how fast?

如果 $[a, b]$ 是起始区间，那么之后 $n$ 二分步，区间 $\left[a_n, b_n\right]$ 有长度 $(b-a) / 2^n$. 选择中点 $x_c=\left(a_n+b_n\right) / 2$ 给出 解决方案的最佳估计 $r$ ，这是在真解的区间长度的一半以内。总结一下，经过 $n$ 二分法的步骙，我们发现 解决方案错误 $=\left|x_c-r\right|<\frac{b-a}{2^{n+1}}$ 和 功能评估 $=n+2$. 评估二分法效率的一个好方法是询问每次函数评估可以购买多少精度。每个步骤，或每个函数评估，都将根中 的不确定性减少了两倍。 一个解决方案是正确的 $p$ 如果误差小于小数点 $0.5 \times 10^{-p}$. 使用二分法求根 $f(x)=\cos x-x$ 在区间 $[0,1]$ 在六个正确的地方。 首先我们决定需要多少个二分步骙。根据 (1.1)，错误后 $n$ 步祭是 $(b-a) / 2^{n+1}=1 / 2^{n+1}$. 从定义 $p$ 小数位， 我们要求 $$ \frac{1}{2^{n+1}}<0.5 \times 10^{-6} n \quad>\frac{6}{\log _{10} 2} \approx \frac{6}{0.301}=19.9
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Machine representation

如果你也在 怎样代写数值分析Numerical analysis STAT721这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数值分析Numerical analysis是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

数值分析Numerical analysis是研究使用数值近似的算法（相对于符号操作）来解决数学分析的问题（区别于离散数学）。它是研究试图寻找问题的近似解而不是精确解的数值方法。数值分析在工程和物理科学的所有领域都有应用，在21世纪还包括生命科学和社会科学、医学、商业甚至艺术领域。目前计算能力的增长使得更复杂的数值分析的使用成为可能，在科学和工程中提供详细和现实的数学模型。数值分析的例子包括：天体力学中的常微分方程（预测行星、恒星和星系的运动），数据分析中的数值线性代数，以及用于模拟医学和生物学中活细胞的随机微分方程和马尔科夫链。

数值分析Numerical analysis代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的数值分析Numerical analysis作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此数值分析Numerical analysis作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Machine representation

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Machine representation

So far, we have described a floating point representation in the abstract. Here are a few more details about how this representation is implemented on a computer. Again, in this section we will discuss the double precision format; the other formats are very similar.

Each double precision floating point number is assigned an 8-byte word, or 64 bits, to store its three parts. Each such word has the form
$$
s e_1 e_2 \ldots e_{11} b_1 b_2 \ldots b_{52}
$$
where the sign is stored, followed by 11 bits representing the exponent and the 52 bits following the decimal point, representing the mantissa. The sign bit $s$ is 0 for a positive number and 1 for a negative number. The 11 bits representing the exponent come from the positive binary integer resulting from adding $2^{10}-1=1023$ to the exponent, at least for exponents between -1022 and 1023 . This covers values of $e_1 \ldots e_{11}$ from 1 to 2046 , leaving 0 and 2047 for special purposes, which we will return to later.

The number 1023 is called the exponent bias of the double precision format. It is used to convert both positive and negative exponents to positive binary numbers for storage in the exponent bits. For single and long-double precision, the exponent bias values are 127 and 16383 , respectively.

MATLAB’s format hex consists simply of expressing the 64 bits of the machine number $(0.10)$ as 16 successive hexadecimal, or base 16 , numbers. Thus, the first 3 hex numerals represent the sign and exponent combined, while the last 13 contain the mantissa.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Addition of floating point numbers

Machine addition consists of lining up the decimal points of the two numbers to be added, adding them, and then storing the result again as a floating point number. The addition itself can be done in higher precision (with more than 52 bits) since it takes place in a register dedicated just to that purpose. Following the addition, the result must be rounded back to 52 bits beyond the binary point for storage as a machine number.
For example, adding 1 to $2^{-53}$ would appear as follows:
$$
\begin{aligned}
& 1.00 \ldots 0 \times 2^0+1.00 \ldots 0 \times 2^{-53} \
= & 1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000 \times 2^0 \

  • & 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000 \times 2^0 \
    = & 1.00000000000000000000000000000000000000000000000000001 \times 2^0
    \end{aligned}
    $$
    This is saved as $1 . \times 2^0=1$, according to the rounding rule. Therefore, $1+2^{-53}$ is equal to 1 in double precision IEEE arithmetic. Note that $2^{-53}$ is the largest floating point number with this property; anything larger added to 1 would result in a sum greater than 1 under computer arithmetic.

The fact that $\epsilon_{\text {mach }}=2^{-52}$ does not mean that numbers smaller than $\epsilon_{\text {mach }}$ are negligible in the IEEE model. As long as they are representable in the model, computations with numbers of this size are just as accurate, assuming that they are not added or subtracted to numbers of unit size.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Machine representation

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Machine representation

到目前为止，我们已经抽象地描述了浮点表示。下面是有关如何在计算机上实现此表示的更多详细信息。同 样，在本节中，我们将讨论双精度格式；其他格式非常相似。
每个双精度浮点数都分配有一个 8 字节的字或 64 位，用于存储它的三个部分。每个这样的词都有形式
$$
s e_1 e_2 \ldots e_{11} b_1 b_2 \ldots b_{52}
$$
存储符号的位置，后跟代表指数的 11 位和小数点后的 52 位，代表尾数。符号位 $s$ 对于正数为 0 ，对于负数为 1。表示指数的 11 位来自二进制正整数加上 $2^{10}-1=1023$ 到指数，至少对于 -1022 和 1023 之间的指数。这 包括值 $e_1 \ldots e_{11}$ 从 1 到 2046，留下 0 和 2047 用于特殊用途，我们将在稍后返回。
数字 1023 称为双精度格式的指数偏差。它用于将正指数和负指数转换为正二进制数以存储在指数位中。对于单 精度和长双精度，指数偏差值分别为 127 和 16383 。
MATLAB 的 format hex 只是表示机器号的 64 位 $(0.10)$ 作为 16 个连续的十六进制数或以 16 为基数的数字。 因此，前 3 个十六进制数字代表符号和指数的组合，而后 13 个包含尾数。

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Addition of floating point numbers

机器加法包括将要相加的两个数的小数点对彥，将它们相加，然后将结果再次存储为浮点数。加法本身可以以 更高的精度 (超过 52 位) 完成，因为它发生在专用于该目的的寄存器中。添加后，结果必须舍入到二进制小数 点后的 52 位，以作为机器号存储。
例如，将 1 添加到 $2^{-53}$ 将显示如下:
$\$ \$$
|begin ${$ aligned $}$
$\& 1.00 \backslash$ Idots $0 \backslash$ times $2 \wedge 0+1.00 \backslash$ Idots $0 \backslash$ times $2 \wedge{-53} \backslash=\&$
1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000 |times $2 \wedge 0$
1

  • \& $0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000 \backslash$ times $2 \wedge 0 \backslash$
    $=\& 1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 \backslash$ times保存为
    $\$$
    {end\$align $2 \wedge 0}$
  1. $\times 2^0=1$ ，根据舍入规则。所以， $1+2^{-53}$ 在双精度 IEEE 算术中等于 1 。注意 $2^{-53}$ 是具有此属性的最 大浮点数；在计算机算法下，加到 1 上的任何更大的值都会导致总和大于 1 。
    事实上 $\epsilon_{\text {mach }}=2^{-52}$ 并不意味着数字小于 $\epsilon_{\text {mach }}$ 在 IEEE 模型中可以忽略不计。只要它们在模型中是可表示 的，使用这种大小的数字进行的计算就同样准确，假设它们没有添加或减去单位大小的数字。
数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考

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微观经济学代写

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博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数值分析Numerical analysis是研究使用数值近似的算法（相对于符号操作）来解决数学分析的问题（区别于离散数学）。它是研究试图寻找问题的近似解而不是精确解的数值方法。数值分析在工程和物理科学的所有领域都有应用，在21世纪还包括生命科学和社会科学、医学、商业甚至艺术领域。目前计算能力的增长使得更复杂的数值分析的使用成为可能，在科学和工程中提供详细和现实的数学模型。数值分析的例子包括：天体力学中的常微分方程（预测行星、恒星和星系的运动），数据分析中的数值线性代数，以及用于模拟医学和生物学中活细胞的随机微分方程和马尔科夫链。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Initial value problems

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Initial value problems

In this chapter, we consider numerical methods for solving first-order initial value problems (IVPs) of the form
$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}(t)=f(t, y), \quad t_0 \leq t \leq T, \
& y\left(t_0\right)=y_0,
\end{aligned}
$$
where $t_0$ is the start time, $T$ is the end time, and $y_0$ is the initial condition.
While students generally learn about certain types of IVPs in a sophomore differential equations course, they typically only learn about IVPs of very specific types, where exact solutions can be derived as closed-form expressions. While theoretically this may be possible for many types of IVPs, it is unknown and maybe even not possible for most. Moreover, if one cannot find an exact solution in a book, deriving the exact solution one’s self can be very difficult and time consuming, and may not be possible in a reasonable amount of time. The methods we discuss in this chapter approximate the solution at some finite number of $t$-points, and from this we can interpolate the values at every $t$ in the interval $\left[t_0, T\right]$. That is, the “solution” of a numerical ODE solver is a set of points
$$
\left(t_0, y_0\right),\left(t_1, y_1\right), \ldots,\left(T, y_n\right)
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Reduction of higher order IVPs to first order

This section reviews that many higher order ODEs can be written as vector systems of first-order ODEs. Recall that the order of an ODE is the highest number of derivatives in any of its terms. For example, the ODE
$$
y^{\prime \prime \prime}(t)+y(t) y^{\prime \prime}(t)-t^2=0
$$
is a third-order ODE. Provided the ODE can be written in the form
$$
y^{(n)}(t)=F\left(t, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right)
$$
then it can be written as a first-order vector ODE by the following process:

  • An $n$th order ODE will be turned into a first-order ODE with $n$ equations.
  • Define functions $u_1, u_2, \ldots, u_n$ by $u_1(t)=y(t)$ and $u_i(t)=y^{(i-1)}(t)$ for $i=2,3, \ldots, n$.
  • The equations (identities) $u_i^{\prime}=u_{i+1}$ for $i=1,2, \ldots, n-1$ form the first $n-1$ equations.
  • For the last equation, use that $u_n^{\prime}=y^{(n)}(t)=F\left(t, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right)=F\left(t, u_1, u_2, u_3\right.$, $\left.\ldots, u_n\right)$
    Consider the following example.
数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Initial value problems

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Initial value problems


在本章中，我们考虑用数值方法求解形式为的一阶初值问题 (IVP)
$$
y^{\prime}(t)=f(t, y), \quad t_0 \leq t \leq T, \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$
在哪里 $t_0$ 是开始时间， $T$ 是结束时间，并且 $y_0$ 是初始条件。
虽然学生通常在二年级微分方程课程中学习某些类型的 IVP，但他们通常只学习非常具体类型的 IVP，其中精确 解可以作为封闭形式的表达式导出。虽然理论上这对于许多类型的 IVP 都是可能的，但它是末知的，甚至对于 大多数 IVP 来说可能是不可能的。此外，如果无法在书中找到精确解，则自己推导出精确解会非常困难且耗
时，并且可能无法在合理的时间内完成。我们在本章中讨论的方法近似于某些有限数量的解决方案 $t$ – 点，由此 我们可以在每个点内揷值 $t$ 在区间 $\left[t_0, T\right]$. 也就是说，数值 ODE 求解器的“解”是一组点
$$
\left(t_0, y_0\right),\left(t_1, y_1\right), \ldots,\left(T, y_n\right)
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Reduction of higher order NPs to first order


本节回顾了许多高阶 ODE 可以写成一阶 ODE 的向量系统。回想一下，ODE 的阶数是其任何项中导数的最高数 量。例如，常微分方程
$$
y^{\prime \prime \prime}(t)+y(t) y^{\prime \prime}(t)-t^2=0
$$
是三阶 ODE。假设 ODE 可以写成以下形式
$$
y^{(n)}(t)=F\left(t, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right)
$$
那么它可以通过以下过程写成一阶向量 ODE:

  • 一个 $n$th order ODE 将变成一阶 ODE $n$ 方程式。
  • 定义函数 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 经过 $u_1(t)=y(t)$ 和 $u_i(t)=y^{(i-1)}(t)$ 为了 $i=2,3, \ldots, n$.
  • 方程式 (恒等式) $u_i^{\prime}=u_{i+1}$ 为了 $i=1,2, \ldots, n-1$ 形成第一个 $n-1$ 方程式。
  • 对于最后一个等式，使用那个 $u_n^{\prime}=y^{(n)}(t)=F\left(t, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right)=F\left(t, u_1, u_2, u_3\right.$ ， $\ldots, u_n$ )
    考虑以下示例。
数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MAT12004 Clenshaw–Curtis quadrature

如果你也在 怎样代写数值分析Numerical analysis MAT12004这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数值分析Numerical analysis是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

数值分析Numerical analysis是研究使用数值近似的算法（相对于符号操作）来解决数学分析的问题（区别于离散数学）。它是研究试图寻找问题的近似解而不是精确解的数值方法。数值分析在工程和物理科学的所有领域都有应用，在21世纪还包括生命科学和社会科学、医学、商业甚至艺术领域。目前计算能力的增长使得更复杂的数值分析的使用成为可能，在科学和工程中提供详细和现实的数学模型。数值分析的例子包括：天体力学中的常微分方程（预测行星、恒星和星系的运动），数据分析中的数值线性代数，以及用于模拟医学和生物学中活细胞的随机微分方程和马尔科夫链。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MAT12004 Clenshaw–Curtis quadrature

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Clenshaw–Curtis quadrature

Quadrature rules based on equispaced nodes seem natural, as one would wonder what we can achieve if nonequispaced nodes are used. In fact, using carefully chosen nonequispaced nodes may develop highly efficient and accurate quadrature rules, which converge to the integrals of $f \in C^{\infty}([a, b])$ exponentially as the number of nodes increases, asymptotically outperforming all previously discussed quadrature rules with errors on the order of $\mathcal{O}\left(h^p\right)$ for any integer $p>0$. We shall discuss two rules: Clenshaw-Curtis and Gauss. 1
Clenshaw-Curtis Quadrature. The Clenshaw-Curtis quadrature for $\int_a^b f(x) d x$ is
$$
Q_{2 C}^n(f)=\int_a^b p_n(x) d x=\sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)
$$
where $p_n(x)$ is the Chebyshev interpolant for $f(x)$, and the quadrature nodes $x_k=$ $-\cos \left(\frac{k \pi}{n}\right) \frac{b-a}{2}+\frac{a+b}{2}$ are the Chebyshev points. For an odd $n$, the weights $w_k=\int_a^b L_k(x) d x$ satisfy
$$
w_k= \begin{cases}\frac{b-a}{2 n^2} & k=0, n, \ \frac{b-a}{n}\left{1-\sum_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \frac{2}{4 j^2-1} \cos \left(\frac{2 k j \pi}{n}\right)\right} & 1 \leq k \leq n-1,\end{cases}
$$
and for an even $n$,
$$
w_k= \begin{cases}\frac{b-a}{2\left(n^2-1\right)} & k=0, n \ \frac{b-a}{n}\left{1-\frac{(-1)^k}{n^2-1}-\sum_{j=1}^{\frac{n}{2}-1} \frac{2}{4 j^2-1} \cos \left(\frac{2 k j \pi}{n}\right)\right} & 1 \leq k \leq n-1\end{cases}
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Gauss quadrature

Another type of quadrature that converges exponentially for analytic integrand is the Gauss quadrature. Though Gauss quadrature is much more well-known than Clenshaw-Curtis, they are comparable in many aspects.

Consider the quadrature $I_f=\int_a^b f(x) \rho(x) d x$, where $\rho(x)>0$ is a weight function. A quadrature $Q(f)=\sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)$ (note that it does not evaluate $\rho(x)$ anywhere) is an $(n+1)$-node Gauss quadrature if its degree of accuracy is $2 n+1$. The nodes and weights of Gauss quadrature can be constructed directly: we set up the nonlinear system of equations $\int_a^b x^{\ell} \rho(x) d x=\sum_{k=0}^n w_k x_k^{\ell}$ for $0 \leq \ell \leq 2 n+1$, and solve for all nodes and weights, for example, by Newton’s method. This approach is fine for small $n$, but not a good choice for large $n$, because each iteration of Newton’s method needs to solve a linear system of equations involving $2 n+2$ unknowns, taking $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ flops per iteration.

Example 67. Determine the 2-point $(n=1)$ Gauss quadrature rule for $\rho(x)=1$ on $[-1,1]$ by hand. Let the quadrature rule be $Q=w_0 f\left(x_0\right)+w_1 f\left(x_1\right)$, which is exact for polynomial integrand of degree $\leq 2 n+1=3$. Therefore, we have the following equations for the unknowns $w_0, w_1, x_1$, and $x_2$ :
$$
\begin{aligned}
& w_0+w_1=\int_{-1}^1 1 d x=2 \quad w_0 x_0+w_1 x_1=\int_{-1}^1 x d x=0 \
& w_0 x_0^2+w_1 x_1^2=\int_{-1}^1 x^2 d x=\frac{2}{3} \quad w_0 x_0^3+w_1 x_1^3=\int_{-1}^1 x^3 d x=0
\end{aligned}
$$
This system of nonlinear equations seem hard to solve by hand. However, we note that the quadrature rule should be symmetric with respect to the origin; that is, $x_0=-x_1$ and $w_0=w_1$. This observation easily leads to $w_0=w_1=1, x_0=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, and $x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$. We can determine the 3-point Gauss quadrature similarly.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MAT12004 Clenshaw–Curtis quadrature

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Clenshaw-Curtis quadrature


基于等间距节点的正交规则看起来很自然，因为人们会想知道如果使用非等间距节点我们能实现什么。事实 上，使用精心选择的非等距节点可以开发出高效且准确的正交规则，这些规则收敛到积分 $f \in C^{\infty}([a, b])$ 随看 节点数量的增加呈指数增长，渐进地优于所有先前讨论的正交规则，误差为 $\mathcal{O}\left(h^p\right)$ 对于任何整数 $p>0$. 我们将 讨论两个规则: Clenshaw-Curtis 和 Gauss。 1
克伦肖-柯蒂斯正交。Clenshaw-Curtis 正交为 $\int_a^b f(x) d x$ 是
$$
Q_{2 C}^n(f)=\int_a^b p_n(x) d x=\sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)
$$
在哪里 $p_n(x)$ 是切比雪夫揷值 $f(x)$, 和正交节点 $x_k=-\cos \left(\frac{k \pi}{n}\right) \frac{b-a}{2}+\frac{a+b}{2}$ 是切比雪夫点。对于一个奇怪的 $n$, 权重 $w_k=\int_a^b L_k(x) d x$ 满足
\left 缺少或无法识别的分隔符
甚至 $n$,
$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Gauss quadrature


另一种对解析被积函数呈指数收敛的正交是高斯正交。尽管高斯正交比 Clenshaw-Curtis 更为人所知，但它 们在许多方面具有可比性。
考虑正交 $I_f=\int_a^b f(x) \rho(x) d x$ ，在哪里 $\rho(x)>0$ 是权重函数。正交 $Q(f)=\sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)$ (注意它不 评估 $\rho(x)$ 任何地方) 是一个 $(n+1)$-节点高斯正交，如果它的准确度是 $2 n+1$. 高斯求积的节点和权值可以直 接构造: 我们建立非线性方程组 $\int_a^b x^{\ell} \rho(x) d x=\sum_{k=0}^n w_k x_k^{\ell}$ 为了 $0 \leq \ell \leq 2 n+1$ ，并求解所有节点和权 重，例如，通过牛顿法。这种方法适合小 $n$ ，但不是大型的好选择 $n$ ，因为牛顿法的每次迭代都需要求解一个线 性方程组，其中包含 $2 n+2$ 末知数，采取 $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ 每次迭代失败。
例子 67. 确定 2 点 $(n=1)$ 高斯求积法则 $\rho(x)=1$ 在 $[-1,1]$ 用手。让正交规则是
$Q=w_0 f\left(x_0\right)+w_1 f\left(x_1\right)$ ，这对于次数的多项式被积函数是精确的 $\leq 2 n+1=3$. 因此，对于末知数，我 们有以下方程 $w_0, w_1, x_1$ ，和 $x_2$ :
$$
w_0+w_1=\int_{-1}^1 1 d x=2 \quad w_0 x_0+w_1 x_1=\int_{-1}^1 x d x=0 \quad w_0 x_0^2+w_1 x_1^2=\int_{-1}^1 x^2 d x=\frac{2}{3} \quad w_0 x_0^3+w_1 x_1^3=\int_{-1}^1 x^3 d x=0
$$
这个非线性方程组似乎很难用手求解。然而，我们注意到求积法则应该关于原点对称；那是， $x_0=-x_1$ 和 $w_0=w_1$. 这种观察很容易导致 $w_0=w_1=1, x_0=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， 和 $x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$. 我们可以类似地确定 3 点高斯求 积。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Numerical integration

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Numerical integration

In this chapter, we study algorithms for approximating the definite integral
$$
\int_a^b f(x) d x
$$
We assume that $[a, b]$ is finite and $f(x)$ is continuous. We have the experience with Calculus that finding the elementary antiderivative of $f(x)$ can be rather challenging, and in many cases impossible even for $f(x)$ with quite simple expressions, such as $f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}, \frac{1}{\ln x}, \frac{\sin x}{x}, e^{-x^2}$, and so on. In addition, we may not have an analytic expression of $f(x)$ but instead can only evaluate it wherever convenient. In these cases, a most commonly used solution is to find an approximate value of the integral by numerical integration (or quadrature). Our focus would be on a variety of quadrature rules that strike different levels of balance between the accuracy and evaluation cost.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Preliminaries

A fundamental idea for quadrature is to use a polynomial $p_n(x)$ to approximate $f(x)$ on $[a, b]$, so that $\int_a^b f(x) d x$ can be approximated by $\int_a^b p_n(x) d x$, and the integration of polynomials is relatively easy. The first thought here is to let $p_n(x)=\sum_{k=0}^n f\left(x_k\right) L_k(x)$ be a Lagrange interpolation of $f(x)$ at distinct nodes $x_0, x_1, \ldots, x_n \in[a, b]$. Let $w_k=$ $\int_a^b L_k(x) d x$, and it follows that
$$
Q(f) \equiv \sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)=\int_a^b \sum_{k=0}^n f\left(x_k\right) L_k(x) d x=\int_a^b p_n(x) d x
$$
Here, $\left{x_k\right}_{k=0}^n$ and $\left{w_k\right}_{k=0}^n$ are called the quadrature nodes and weights, respectively. The weights usually depend on the nodes, which should be independent of $f(x)$. A quadrature rule is defined by the choice of nodes and weights.

The generic quadrature rule above is a linear functional. For any continuous functions $f, g$ and scalars $\alpha, \beta, Q(\alpha f+\beta g)=\sum_{k=0}^n w_k\left(\alpha f\left(x_k\right)+\beta g\left(x_k\right)\right)=\alpha\left(\sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)\right)+$ $\beta\left(\sum_{k=0}^n w_k g\left(x_k\right)\right)=\alpha Q(f)+\beta Q(g)$.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Numerical integration

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Numerical integration

在本章中，我们研究逼近定积分的算法
$$
\int_a^b f(x) d x
$$
我们假设 $[a, b]$ 是有限的并且 $f(x)$ 是连续的。我们有微积分的经验，可以找到的基本反导数 $f(x)$ 可 能相当具有挑战性，并且在许多情况下即使对于 $f(x)$ 使用非常简单的表达式，例如
$f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}, \frac{1}{\ln x}, \frac{\sin x}{x}, e^{-x^2}$ ，等等。此外，我们可能没有解析表达式 $f(x)$ 但只能在方便的 时候对其进行评估。在这些情况下，最常用的解决方案是通过数值积分（或积分）找到积分的近似 值。我们的重点将放在各种正交规则上，这些规则在准确性和评估成本之间取得不同程度的平衡。

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正交的一个基本思想是使用多项式 $p_n(x)$ 近似 $f(x)$ 在 $[a, b]$ ，以便 $\int_a^b f(x) d x$ 可以近似为 $\int_a^b p_n(x) d x$ ，并且多项式的积分相对容易。这里的第一个想法是让 $p_n(x)=\sum_{k=0}^n f\left(x_k\right) L_k(x)$ 是拉格朗日揷值 $f(x)$ 在不同的节点 $x_0, x_1, \ldots, x_n \in[a, b]$. 让 $w_k=\int_a^b L_k(x) d x$ ，它遵循
$$
Q(f) \equiv \sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)=\int_a^b \sum_{k=0}^n f\left(x_k\right) L_k(x) d x=\int_a^b p_n(x) d x
$$
这里，\1eft 缺少或无法识别的分隔符
和
$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符
分别称为正交节点和权重。权重通常取决于节 点，节点应该独立于 $f(x)$. 正交规则由节点和权重的选择定义。
上面的通用正交规则是线性泛函。对于任何连续函数 $f, g$ 和标量
$$
\begin{aligned}
& \alpha, \beta, Q(\alpha f+\beta g)=\sum_{k=0}^n w_k\left(\alpha f\left(x_k\right)+\beta g\left(x_k\right)\right)=\alpha\left(\sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)\right)+ \
& \beta\left(\sum_{k=0}^n w_k g\left(x_k\right)\right)=\alpha Q(f)+\beta Q(g) .
\end{aligned}
$$

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Interpolation

如果你也在 怎样代写数值分析Numerical analysis STAT721这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数值分析Numerical analysis是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

数值分析Numerical analysis是研究使用数值近似的算法（相对于符号操作）来解决数学分析的问题（区别于离散数学）。它是研究试图寻找问题的近似解而不是精确解的数值方法。数值分析在工程和物理科学的所有领域都有应用，在21世纪还包括生命科学和社会科学、医学、商业甚至艺术领域。目前计算能力的增长使得更复杂的数值分析的使用成为可能，在科学和工程中提供详细和现实的数学模型。数值分析的例子包括：天体力学中的常微分方程（预测行星、恒星和星系的运动），数据分析中的数值线性代数，以及用于模拟医学和生物学中活细胞的随机微分方程和马尔科夫链。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Interpolation

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Interpolation

It is both helpful and convenient to express relations in data with functions. This allows for estimating the dependent variables at values of the independent variables not given in the data, taking derivatives, integrating, and even solving differential equations. In this chapter, we will look at one of the common classes of such methods: interpolants. An interpolant of a set of points is a function that passes through each of the data points. For example, given the points $(0,0),(\pi / 2,1)$, and $(-\pi / 2,-1)$, both
$$
f(x)=\sin (x)
$$
and
$$
g(x)=\frac{2 x}{\pi}
$$
would be interpolating functions, as shown in the plot below.

There are many applications where we would prefer to describe data with an interpolant. In this chapter, we will consider interpolation by a single polynomial, as well as piecewise-polynomial interpolation.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Interpolation by a single polynomial

Given $n$ distinct points: $\left(x_i, y_i\right), i=1,2, \ldots, n$, a polynomial of degree $n-1$ can be found that passes through each of the $n$ points (assuming the $x_i$ ‘s are distinct of course). Such a polynomial would then be an interpolant of the data points. Since the interpolating polynomial is degree $n-1$, it must be of the form
$$
p(x)=c_1+c_2 x+c_3 x^2+\cdots+c_n x^{n-1} .
$$
Thus, there are $n$ unknowns $\left(c_1, \ldots, c_n\right)$ that, if we could determine them, would give us the interpolating polynomial.

Requiring $p(x)$ to interpolate the data leads to $n$ equations. That is, if $p(x)$ is to pass through data point $\left(x_i, y_i\right)$, then it must hold that $y_i=p\left(x_i\right)$. Thus, for each $i(1 \leq i \leq n)$, we get the equation
$$
y_i=c_1+c_2 x_i+c_3 x_i^2+\cdots+c_n x_i^{n-1} .
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Interpolation

数值分析代写

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Interpolation


用函数表达数据中的关系既有帮助又方便。这允许根据数据中末给出的自变量值估计因变量、求导数、积分， 甚至求解微分方程。在本章中，我们将研究此类方法的一个常见类：揷值法。一组点的揷值是通过每个数据点 的函数。例如，给定点 $(0,0),(\pi / 2,1)$ ，和 $(-\pi / 2,-1)$ ，两个都
$$
f(x)=\sin (x)
$$
和
$$
g(x)=\frac{2 x}{\pi}
$$
将是揷值函数，如下图所示。
在许多应用中，我们更愿意使用揷值来描述数据。在本章中，我们将考虑单个多项式揷值以及分段多项式揷 值。

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Interpolation by a single polynomial


鉴于 $n$ 不同点: $\left(x_i, y_i\right), i=1,2, \ldots, n$, 一次多项式 $n-1$ 可以发现，通过每个 $n$ 点（假设 $x_i$ 当然是不同 的) 。这样的多项式将是数据点的揷值。由于揷值多项式是度数 $n-1$ ，它的形式必须是
$$
p(x)=c_1+c_2 x+c_3 x^2+\cdots+c_n x^{n-1} .
$$
因此，有 $n$ 末知数 $\left(c_1, \ldots, c_n\right)$ 那，如果我们能确定它们，就会給我们揷值多项式。
要求 $p(x)$ 揷入数据导致 $n$ 方程式。也就是说，如果 $p(x)$ 是通过数据点 $\left(x_i, y_i\right)$ ，那么它必须持有 $y_i=p\left(x_i\right)$. 因 此，对于每个 $i(1 \leq i \leq n)$ ，我们得到方程
$$
y_i=c_1+c_2 x_i+c_3 x_i^2+\cdots+c_n x_i^{n-1} .
$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。