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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CSE276

如果你也在 怎样代写最优化Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。最优化Optimization Theory是对给定区域上目标函数求最小值或最大值问题的数学研究。这包括对解的存在性、结构性质以及算法方面的研究。处理优化理论的重要性在不断增加。这是由于优化发挥作用的各种领域，包括应用数学，计算机科学，工程，经济学，仅举几例。

最优化Optimization Theory在不同学科中出现的(确定性)优化问题的结构可能具有相当不同的性质，研究它们的技术也是如此。影响所使用方法的一个关键准则是定义优化问题的域的拓扑结构。如果在一个有限的或可数的无限集合中寻找一个极值点，就会得到一个离散优化问题。策略通常具有组合的性质，这就是为什么组合优化这个术语在这类问题中变得流行的原因。对于像实数这样的不可数域，使用的技术很多时候是基于微积分和连续数学的概念，取决于所涉及的函数的特定性质(例如可微性)。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Conjugate Direction, Variable Metric

As a motivation we consider the minimization of a function $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ having the following special form:
$$
f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n f_i\left(x_i\right)
$$
Note that each function $f_i$ in (10.1.1) is a function of only one variable. Then, it is easily seen that $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ minimizes $f$ iff the component $\bar{x}i$ minimizes $f_i, i=1, \ldots, n$. Consequently, the minimization of $f$ can be achieved by successively minimizing along the coordinate axes. Next, consider a quadratic function $f$ : $$ f(x)=\frac{1}{2} x^{\top} A x+b^{\top} x $$ where $A$ is a symmetric, positive definite $(n, n)$-matrix. Let $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n$ be a basis for $\mathbb{R}^n$. Putting $x=\sum{i=1}^n \nu_i v_i$, we obtain:
$$
\begin{aligned}
f(x)=\varphi(\nu)=\sum_{i=1}^n \underbrace{\left(b^{\top} v_i\right)}{\beta_i} \nu_i & +\frac{1}{2} \sum{i=1}^n \underbrace{\left(v_i^{\top} A v_i\right)}{\alpha_i} \nu_i^2 \ & +\frac{1}{2} \sum{\substack{i, j \
i \neq j}}\left(v_i^{\top} A v_j\right) \nu_i \nu_j .
\end{aligned}
$$
If $v_i^{\top} A v_j=0, i \neq j$, then it follows:
$$
f(x)=\varphi(\nu)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{2} \alpha_i \nu_i^2+\beta_i \nu_i\right)=: \sum_{i=1}^n \varphi_i\left(\nu_i\right),
$$
and, hence, $\varphi(\nu)$ is a function of the type (10.1.1). This gives rise to (or motivates) the following definition.

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Conjugate Gradient-, DFP-, BFGS-Method

For practical applications of the idea of conjugate directions it is important to construct algorithms that automatically generate new conjugate directions from the data known at a specific step in the optimization procedure. This will be studied in the present section.

Lemma 10.2.1 According to Algorithm $\mathcal{A}$, let $x^1, x^2, \ldots, x^{\ell}, \ell \leq n$, be generated, where $v_1, v_2, \ldots, v_{\ell} \in \mathbb{R}^n \backslash{0}$ are pairwise conjugate with respect to A. Then, it holds:
$$
D f\left(x^{\ell}\right) v_i=0, \quad i=1,2, \ldots, \ell .
$$

Proof. Obviously, we have $x^{\ell}=x^r+\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j v_j$. It follows:
$$
D f\left(x^{\ell}\right)-D f\left(x^r\right)=\left(x^{\ell}-x^r\right)^{\top} A=\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j v_j^{\top} A .
$$
Let $r \geq 1$. Since $x^r$ minimizes $f\left(x^{r-1}+\lambda v_r\right)$, we have $D f\left(x^r\right) v_r=0$. Hence, it follows for $1 \leq r<\ell$ :
$$
D f\left(x^{\ell}\right) v_r=\left[D f\left(x^{\ell}\right)-D f\left(x^r\right)\right] v_r=\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j\left(v_j^{\top} A v_r\right)=0 .
$$
Finally, the equation $D f\left(x^{\ell}\right) v_{\ell}=0$ follows from the fact that $x^{\ell}$ minimizes the function $f\left(x^{\ell-1}+\lambda v_{\ell}\right)$.

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CSE276

最优化代写

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Conjugate Direction, Variable Metric

作为一个动机，我们考虑一个函数$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$的最小化，它具有以下特殊形式:
$$
f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n f_i\left(x_i\right)
$$
注意(10.1.1)中的每个函数$f_i$都是一个只有一个变量的函数。然后，很容易看出，如果组件$\bar{x}i$最小化$f_i, i=1, \ldots, n$，则$\bar{x} \in \mathbb{R}^n$最小化$f$。因此，$f$的最小化可以通过沿坐标轴的连续最小化来实现。接下来，考虑一个二次函数$f$: $$ f(x)=\frac{1}{2} x^{\top} A x+b^{\top} x $$，其中$A$是一个对称的正定$(n, n)$ -矩阵。让$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n$成为$\mathbb{R}^n$的基础。输入$x=\sum{i=1}^n \nu_i v_i$，我们得到:
$$
\begin{aligned}
f(x)=\varphi(\nu)=\sum_{i=1}^n \underbrace{\left(b^{\top} v_i\right)}{\beta_i} \nu_i & +\frac{1}{2} \sum{i=1}^n \underbrace{\left(v_i^{\top} A v_i\right)}{\alpha_i} \nu_i^2 \ & +\frac{1}{2} \sum{\substack{i, j \
i \neq j}}\left(v_i^{\top} A v_j\right) \nu_i \nu_j .
\end{aligned}
$$
如果是$v_i^{\top} A v_j=0, i \neq j$，则如下:
$$
f(x)=\varphi(\nu)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{2} \alpha_i \nu_i^2+\beta_i \nu_i\right)=: \sum_{i=1}^n \varphi_i\left(\nu_i\right),
$$
因此，$\varphi(\nu)$是类型为(10.1.1)的函数。这就产生了(或激发了)以下定义。

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Conjugate Gradient-, DFP-, BFGS-Method

对于共轭方向思想的实际应用，重要的是构建算法，从优化过程中特定步骤的已知数据自动生成新的共轭方向。这将在本节中进行研究。

引理10.2.1根据算法$\mathcal{A}$，生成$x^1, x^2, \ldots, x^{\ell}, \ell \leq n$，其中$v_1, v_2, \ldots, v_{\ell} \in \mathbb{R}^n \backslash{0}$对a是成对共轭的，则成立:
$$
D f\left(x^{\ell}\right) v_i=0, \quad i=1,2, \ldots, \ell .
$$

证明。显然，我们有$x^{\ell}=x^r+\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j v_j$。它如下:
$$
D f\left(x^{\ell}\right)-D f\left(x^r\right)=\left(x^{\ell}-x^r\right)^{\top} A=\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j v_j^{\top} A .
$$
让$r \geq 1$。因为$x^r$最小化$f\left(x^{r-1}+\lambda v_r\right)$，我们有$D f\left(x^r\right) v_r=0$。因此，对于$1 \leq r<\ell$:
$$
D f\left(x^{\ell}\right) v_r=\left[D f\left(x^{\ell}\right)-D f\left(x^r\right)\right] v_r=\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j\left(v_j^{\top} A v_r\right)=0 .
$$
最后，公式$D f\left(x^{\ell}\right) v_{\ell}=0$源于$x^{\ell}$使函数$f\left(x^{\ell-1}+\lambda v_{\ell}\right)$最小的事实。

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CSC591

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在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。

•最快12小时交付 

•200+ 英语母语导师 

•70分以下全额退款

想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CSC591

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Geometric Interpretation of Karmarkar’s Algorithm

Recall Karmarkar’s Algorithm and suppose that the iterate $x^k \in \stackrel{o}{\Sigma}^{\Sigma}$ has been generated.

The simplex $\Sigma$ will be transformed into itself and the point $x^k$ is shifted into the barycenter, all by means of the transformation $T_k$ :
$$
T_k\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\frac{n}{\sum_i\left(x_i / z_i\right)}\left(x_1 / z_1, \ldots, x_n / z_n\right), \text { with } z:=x^k
$$

Note that $T_k$ maps each stratum of $\Sigma$ into itself; in particular, all vertices of $\Sigma$ are fixed points of $T_k$ (exercise).

The inverse of $T_k$ is easily computed (instead of dividing by $z_i$ we now have to multiply by $z_i$ ):
$$
T_k^{-1}\left(y_1, \ldots, y_n\right)=\frac{n}{\sum_i y_i z_i}\left(y_1 z_1, \ldots, y_n z_n\right), \text { with } z:=x^k .
$$
The equation $A x=0$ becomes in the $y$-variables: $A T_k^{-1}(y)=0$. From (8.2.2) it follows (after multiplication with $\sum_i y_i z_i / n$ ):
$$
A x=0 \text { iff } A D_k y=0,
$$
with $D_k$ as defined in (8.1.4).
The function $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \longmapsto x_1$ to be minimized, becomes a nonlinear function in the $y$-coordinates:
$$
\left(y_1, \ldots, y_n\right) \longmapsto y_1 \cdot\left(\frac{n z_1}{\sum_i y_i z_i}\right) \text {, with } z:=x^k
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Proof of Theorem 8.1.2 (Polynomiality)

In order to prove Theorem 8.1.2 we have to estimate how much the objective function decreases in each step of the algorithm. Recall that the linear function $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \longmapsto x_1$ transforms awkwardly under the transformation $T_k$

(cf. (8.2.4)). Therefore, a comparable function $f$ is chosen that transforms nicely under $T_k$ :
$$
\left.f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=x_1^n / x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \quad \text { (homogeneous of degree } 0\right) .
$$
The function $f$ is well defined on $\stackrel{o}{\Sigma}$. On $\stackrel{o}{\Sigma}$ we obviously have $x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \leq 1$, and, consequently,
$$
x_1^n \leq f(x), \quad x \in \stackrel{o}{\Sigma}
$$
For $f$ the following interesting transformation formula holds:
Lemma 8.3.1 For $x, y \in \stackrel{o}{\Sigma}$ it holds:
$$
\frac{f\left(T_k(x)\right)}{f\left(T_k(y)\right)}=\frac{f(x)}{f(y)} .
$$
Proof. (Exercise)
Note that $f(1,1, \ldots, 1)=1$, and, hence,
$$
f\left(x^{k+1}\right) / f\left(x^k\right)=f(\widetilde{x})
$$
where $\tilde{x}$ is the minimizer in Step 1 of Karmarkar’s Algorithm in the $(k+1)$-th iteration. If $\alpha=\frac{1}{2}$, then we will show:
$$
f(\widetilde{x}) \leq 2 e^{-1}
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CSC591

最优化代写

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Geometric Interpretation of Karmarkar’s Algorithm

回想一下Karmarkar算法，并假设已经生成了迭代$x^k \in \stackrel{o}{\Sigma}^{\Sigma}$。

单纯形$\Sigma$将被转换为自身，点$x^k$被转换为重心，所有这些都是通过转换$T_k$实现的:
$$
T_k\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\frac{n}{\sum_i\left(x_i / z_i\right)}\left(x_1 / z_1, \ldots, x_n / z_n\right), \text { with } z:=x^k
$$

注意$T_k$将$\Sigma$的每个层映射到自身;特别是，$\Sigma$的所有顶点都是$T_k$ (exercise)的不动点。

$T_k$的倒数很容易计算(我们现在要乘以$z_i$而不是除以$z_i$):
$$
T_k^{-1}\left(y_1, \ldots, y_n\right)=\frac{n}{\sum_i y_i z_i}\left(y_1 z_1, \ldots, y_n z_n\right), \text { with } z:=x^k .
$$
方程$A x=0$变成了$y$ -变量:$A T_k^{-1}(y)=0$。从(8.2.2)中得到(与$\sum_i y_i z_i / n$相乘后):
$$
A x=0 \text { iff } A D_k y=0,
$$
使用(8.1.4)中定义的$D_k$。
要最小化的函数$\left(x_1, \ldots, x_n\right) \longmapsto x_1$在$y$ -坐标下变成一个非线性函数:
$$
\left(y_1, \ldots, y_n\right) \longmapsto y_1 \cdot\left(\frac{n z_1}{\sum_i y_i z_i}\right) \text {, with } z:=x^k
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Proof of Theorem 8.1.2 (Polynomiality)

为了证明定理8.1.2，我们必须估计在算法的每一步中目标函数减少了多少。回想一下，线性函数$\left(x_1, \ldots, x_n\right) \longmapsto x_1$在变换下变换得很笨拙 $T_k$

(参见(8.2.4))。因此，选择一个类似的函数$f$，它可以很好地在$T_k$下进行转换:
$$
\left.f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=x_1^n / x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \quad \text { (homogeneous of degree } 0\right) .
$$
在$\stackrel{o}{\Sigma}$上定义了函数$f$。在$\stackrel{o}{\Sigma}$上我们显然有$x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \leq 1$，因此，
$$
x_1^n \leq f(x), \quad x \in \stackrel{o}{\Sigma}
$$
对于$f$，下面有趣的变换公式成立:
引理8.3.1对于$x, y \in \stackrel{o}{\Sigma}$成立:
$$
\frac{f\left(T_k(x)\right)}{f\left(T_k(y)\right)}=\frac{f(x)}{f(y)} .
$$
证明。(练习)
请注意$f(1,1, \ldots, 1)=1$，因此，
$$
f\left(x^{k+1}\right) / f\left(x^k\right)=f(\widetilde{x})
$$
其中$\tilde{x}$为$(k+1)$ -th次迭代中Karmarkar算法第1步的最小值。如果是$\alpha=\frac{1}{2}$，那么我们将显示:
$$
f(\widetilde{x}) \leq 2 e^{-1}
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CONTINUOUS LINEAR REGULATOR PROBLEMS

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Parametric Aspects: The Unconstrained Case

In this section we study the dependence of local minima and their corresponding functional values on additional parameters. The appearance of parameters may represent perturbations of an optimization problem. The crucial tools in such investigations are theorems on implicit functions. For a basic reference see [65].

We start with unconstrained optimization problems. Let $f \in C^2\left(\mathbb{R}^n \times\right.$ $\left.\mathbb{R}^r, \mathbb{R}\right)$. The general point $z \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r$ will be represented as $z=(x, t)$, where $x$ is the state variable and where $t$ plays the role of a parameter. In this way we may regard $f$ as being an $r$-parametric family of functions of $n$ variables. Let $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ be a local minimum for $f(\cdot, \bar{t})$. The necessary optimality condition of first order reads
$$
D_x f(\bar{x}, \bar{t})=0
$$
where $D_x f$ denotes the row vector of first partial derivatives with respect to $x$.

Formula (3.1.1) represents $n$ equations with $n+r$ variables. In case that the Jacobian matrix $D D_x^{\top} f(\bar{x}, \bar{t})$, an $(n, n+r)$-matrix, has full rank $(=n)$, in virtue of the implicit function theorem we can choose $n$ variables such that the equation $D_x f=0$ defines these variables as an implicit function of the remaining $r$ variables. With respect to the chosen $n$ variables the corresponding $(n, n)$-submatrix of $D D_x^{\top} f(\bar{x}, \bar{t})$ should be nonsingular. For example, let $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ be a local minimum for $f(\cdot, \bar{t})$ which is nondegenerate, i.e. $D_x^2 f(\bar{x}, \bar{t})$ is nonsingular (and, hence, positive definite). Then, the implicit function theorem yields the existence of open neighborhoods $\mathcal{O}, \mathcal{V}$ of $(\bar{x}, \bar{t}), \bar{t}$, and a mapping $x(\cdot) \in C^1\left(\mathcal{V}, \mathbb{R}^n\right)$ such that for all $(x, t) \in \mathcal{O}$ we have:
$$
D_x f(x, t)=0 \text { iff } x=x(t) .
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Parametric aspects: The Constrained Case

In this section we take constraints into account and again we define the concept of a nondegenerate local minimum. This yields a (stable) system of nonlinear equations which enables us to study the sensitivity of a local minimum with regard to data pertubations.

Let $k \geq 2$ and $f, h_i, g_j \in C^k\left(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r, \mathbb{R}\right), i \in I, j \in J$ and $|I|+|J|<\infty$. For each $t \in \mathbb{R}^r$ we have $f(\cdot, t)$ as an objective function and $M(t)$ as a feasible set, where
$$
M(t)=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid h_i(x, t)=0, i \in I, g_j(x, t) \geq 0, j \in J\right} .
$$
Definition 3.2.1 Let $f, h_i, g_j$ be as above. A (feasible) point $\bar{x} \in M(\bar{t})$ is called nondegenerate local minimum for $f(\cdot, \bar{t}){\mid M(\bar{t})}$ if the following conditions are satisfied: (1) LICQ holds at $\bar{x}$. (2) The point $\bar{x}$ is a critical point for $f(\cdot, \bar{t}){\mid M(\bar{t})}$.
Let $\bar{\lambda}i, \bar{\mu}_j, i \in I, j \in J_0(\bar{x}, \bar{t}):=\left{j \in J \mid g_j(\bar{x}, \bar{t})=0\right}$ be the corresponding Lagrange multipliers and $L$ the Lagrange function, i.e. $$ \begin{aligned} D_x f & =\sum{i \in I} \bar{\lambda}i D_x h_i+\sum{j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})} \bar{\mu}j D_x g{j \mid(\bar{x}, \bar{t})} \
L(x, t) & =f-\sum_{i \in I} \bar{\lambda}i h_i-\sum{j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})} \bar{\mu}j g{j \mid(x, t)}
\end{aligned}
$$
(3) $\bar{\mu}j>0, j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})$. (4) $D_x^2 L(\bar{x}, \bar{t})$ is positive definite on $T{\bar{x}} M(\bar{t})$, where (cf. (2.1.6))

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CONTINUOUS LINEAR REGULATOR PROBLEMS

最优化代写

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Parametric Aspects: The Unconstrained Case

在本节中，我们研究了局部极小值及其对应的泛函值对附加参数的依赖性。参数的出现可以表示优化问题的扰动。这类研究的关键工具是关于隐函数的定理。基本参考文献见[65]。

我们从无约束优化问题开始。让$f \in C^2\left(\mathbb{R}^n \times\right.$$\left.\mathbb{R}^r, \mathbb{R}\right)$。一般的点$z \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r$将表示为$z=(x, t)$，其中$x$是状态变量，$t$扮演参数的角色。这样，我们可以把$f$看作是$n$变量的一个$r$ -参数函数族。设$\bar{x} \in \mathbb{R}^n$为$f(\cdot, \bar{t})$的局部最小值。一阶读的必要最优性条件
$$
D_x f(\bar{x}, \bar{t})=0
$$
其中$D_x f$表示对$x$的一阶偏导数的行向量。

式(3.1.1)表示$n$方程，变量为$n+r$。如果雅可比矩阵$D D_x^{\top} f(\bar{x}, \bar{t})$，一个$(n, n+r)$ -矩阵，有满秩$(=n)$，根据隐函数定理，我们可以选择$n$变量，使得方程$D_x f=0$将这些变量定义为剩余$r$变量的隐函数。对于所选择的$n$变量，$D D_x^{\top} f(\bar{x}, \bar{t})$对应的$(n, n)$ -子矩阵应该是非奇异的。例如，设$\bar{x} \in \mathbb{R}^n$为$f(\cdot, \bar{t})$的非简并的局部最小值，即$D_x^2 f(\bar{x}, \bar{t})$是非奇异的(因此是正定的)。然后，隐函数定理得到$(\bar{x}, \bar{t}), \bar{t}$的开放邻域$\mathcal{O}, \mathcal{V}$的存在性，以及一个映射$x(\cdot) \in C^1\left(\mathcal{V}, \mathbb{R}^n\right)$，使得对于所有$(x, t) \in \mathcal{O}$我们有:
$$
D_x f(x, t)=0 \text { iff } x=x(t) .
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Parametric aspects: The Constrained Case

在本节中，我们考虑了约束条件，并再次定义了非简并局部最小值的概念。这产生了一个(稳定的)非线性方程组，使我们能够研究关于数据扰动的局部最小值的灵敏度。

让$k \geq 2$$f, h_i, g_j \in C^k\left(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r, \mathbb{R}\right), i \in I, j \in J$和$|I|+|J|<\infty$。对于每个$t \in \mathbb{R}^r$, $f(\cdot, t)$作为目标函数，$M(t)$作为可行集，其中
$$
M(t)=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid h_i(x, t)=0, i
\in I, g_j(x, t) \geq 0, j \in J\right} .
$$
3.2.1如上所述$f, h_i, g_j$。如果满足以下条件，则称为$f(\cdot, \bar{t}){\mid M(\bar{t})}$的(可行)点$\bar{x} \in M(\bar{t})$为非退化局部最小值:(1)LICQ保持在$\bar{x}$。(2) $\bar{x}$点是$f(\cdot, \bar{t}){\mid M(\bar{t})}$的临界点。

设$\bar{\lambda}i, \bar{\mu}j, i \in I, j \in J_0(\bar{x}, \bar{t}):=\left{j \in J \mid g_j(\bar{x}, \bar{t})=0\right}$为对应的拉格朗日乘子，$L$为拉格朗日函数，即$$ \begin{aligned} D_x f & =\sum{i \in I} \bar{\lambda}i D_x h_i+\sum{j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})} \bar{\mu}j D_x g{j \mid(\bar{x}, \bar{t})} \ L(x, t) & =f-\sum{i \in I} \bar{\lambda}i h_i-\sum{j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})} \bar{\mu}j g{j \mid(x, t)} \end{aligned}
$$

(3) $\bar{\mu}j>0, j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})$。(4) $D_x^2 L(\bar{x}, \bar{t})$在$T{\bar{x}} M(\bar{t})$上是肯定的，其中(cf. (2.1.6))

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|A Summary of the Gradient Projection Iterative Procedure

如果你也在 怎样代写优化理论Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。优化理论Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

优化理论Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|A Summary of the Gradient Projection Iterative Procedure

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|A Summary of the Gradient Projection Iterative Procedure

Let us now formalize the iterative procedure that was used in Example 6.6-1. It will be assumed that the initial point $y^{(0)}$ is admissible and lies in the intersection $Q^{\prime}$ of $q$ linearly independent hyperplanes. To determine the constrained global minimum:

  1. Calculate the projection matrix $\mathbf{P}_q$, the gradient vector at the point $\mathbf{y}^{(i)},-\partial f\left(\mathbf{y}^{(i)}\right) / \partial \mathbf{y} \triangleq-\partial f^{(i)} / \partial \mathbf{y}$, the vector $\mathbf{r}$ given by Eq. (6.6-38), and the gradient projection $\mathbf{P}_q\left[-\partial f^{(n)} / \partial \mathbf{y}\right]$. If $\left|\mathbf{P}_q\left[-\partial f^{(n)} / \partial \mathbf{y}\right]\right| \leq \epsilon_1$, and $\mathbf{r} \leq \mathbf{0}$, then $\mathbf{y}^{(i)}$ is the constrained global minimum and the procedure is terminated; otherwise, go to step 2.
  2. Determine whether or not a hyperplane should be dropped from $Q^{\prime}$. If $\left|\mathbf{P}q\left[-\partial f^{(i)} / \partial \mathbf{y}\right]\right| \leq \epsilon_1$, drop the hyperplane $H_q$, which corresponds to $r_q>0$, form the projection matrix $\mathbf{P}{q-1}$, and go to step 3.† The other alternative is that the norm of the gradient projection is greater than $\epsilon_1$. In this case, calculate $\beta$ given by (6.6-41). If $r_q>\beta$, drop the hyperplane $H_q$ from $Q^{\prime}$; if $r_q \leq \beta, Q^{\prime}$ remains unchanged.
  3. Compute the normalized gradient projection $\mathbf{z}^{(t)}$ given by Eq. (6.6-19), and the maximum allowable step size $\tau_m$, where $\tau_m$ is the minimum positive value of the $\tau_j$ ‘s found by evaluating
    $$
    \tau_j=\frac{v_j-\mathbf{n}_j^T \mathbf{y}^{(i)}}{\mathbf{n}_j^T \mathbf{z}^{(i)}}
    $$
    for $j$ corresponding to all hyperplanes not in the intersection $Q^{\prime}$. The tentative next point $\mathbf{y}^{\prime(1+1)}$ is found from
    $$
    \mathbf{y}^{\prime(l+1)}=\mathbf{y}^{(i)}+\tau_m \mathbf{z}^{(i)}
    $$
  4. Calculate the gradient at the point $\mathbf{y}^{\prime(i+1)}$, if
    $$
    \mathbf{z}^{(i) T}\left[-\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}\left(\mathbf{y}^{(i+1)}\right)\right] \geq 0
    $$
    set $\mathbf{y}^{(i+1)}=\mathbf{y}^{(i+1)} ;$ since $\mathbf{y}^{(i+1)}$ lies in the intersection of $Q^{\prime}$ and $H_m$ (the hyperplane which corresponds to the step size $\tau_m$ determined in step 3), add $H_m$ to $Q^{\prime}$, and return to step 1 .
    On the other hand, if
    $$
    \mathbf{z}^{(i) T}\left[-\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}\left(\mathbf{y}^{\prime(t+1)}\right)\right]<0,
    $$
    find $\mathbf{y}^{(t+1)}$ by repeated linear interpolation as illustrated in Fig. 6-15; the appropriate equations are (6.6-30) and (6.6-31). The intersection $Q^{\prime}$ remains unchanged, and the computational algorithm begins another iteration by returning to step 1 .

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Additional Features of the Gradient Projection Algorithm

Before establishing the connection between gradient projection and the solution of optimal control problems, let us first mention some additional features of Rosen’s algorithm:†

  1. Since at most one hyperplane is added or dropped at each stage in the iterative procedure, the matrix $\left[\mathbf{N}_q^T \mathbf{N}_q\right]^{-1}$, and hence $\mathbf{P}_q$ can be calculated from recurrence relations that do not require matrix inversion.
  2. It may occur that a point calculated by the iterative procedure lies in the intersection of $i$ hyperplanes, only $q<i$ of which are linearly independent; the gradient projection method contains provisions for dealing with such situations.
  3. The algorithm provides a starting procedure for generating an admissible point (if one exists) from an arbitrary initial guess $\mathbf{y}^{(0)}$.
  4. If $f$ is a convex function in the admissible region of $E^K$ and has continuous second partial derivatives with respect to each of the components of $\mathbf{y}$ in the admissible region $R$, then the gradient projection algorithm converges to a global minimum of $f$. If $f$ is not convex in $R$, the algorithm will generally converge to a local minimum. To find the global minimum, one usually resorts to trying several different starting points in order to determine as many local minima as possible; the point $\mathbf{y}^*$ which corresponds to the local minimum having the smallest value of $f$ is then selected as the best possible point.
数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Features of the Quasilinearization Method

优化理论代写

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|A Summary of the Gradient Projection Iterative Procedure

现在让我们形式化例6.6-1中使用的迭代过程。假设初始点$y^{(0)}$是可容许的，并且位于$q$线性无关超平面的相交$Q^{\prime}$上。确定约束全局最小值:

计算投影矩阵$\mathbf{P}_q$，点处的梯度向量$\mathbf{y}^{(i)},-\partial f\left(\mathbf{y}^{(i)}\right) / \partial \mathbf{y} \triangleq-\partial f^{(i)} / \partial \mathbf{y}$，由式(6.6-38)给出的向量$\mathbf{r}$，梯度投影$\mathbf{P}_q\left[-\partial f^{(n)} / \partial \mathbf{y}\right]$。如果$\left|\mathbf{P}_q\left[-\partial f^{(n)} / \partial \mathbf{y}\right]\right| \leq \epsilon_1$，和$\mathbf{r} \leq \mathbf{0}$，则$\mathbf{y}^{(i)}$是约束的全局最小值，过程终止;否则，请执行步骤2。

确定是否应从$Q^{\prime}$删除超平面。若为$\left|\mathbf{P}q\left[-\partial f^{(i)} / \partial \mathbf{y}\right]\right| \leq \epsilon_1$，将$r_q>0$对应的超平面$H_q$丢掉，形成投影矩阵$\mathbf{P}{q-1}$，执行步骤3。†另一种选择是梯度投影的范数大于$\epsilon_1$。在这种情况下，计算(6.6-41)给出的$\beta$。如果是$r_q>\beta$，则从$Q^{\prime}$中删除超平面$H_q$;如果$r_q \leq \beta, Q^{\prime}$保持不变。

计算由式(6.6-19)给出的归一化梯度投影$\mathbf{z}^{(t)}$，并求出最大允许步长$\tau_m$，其中$\tau_m$为求出的$\tau_j$的最小正值
$$
\tau_j=\frac{v_j-\mathbf{n}_j^T \mathbf{y}^{(i)}}{\mathbf{n}_j^T \mathbf{z}^{(i)}}
$$
对于$j$对应于不在相交$Q^{\prime}$中的所有超平面。试探性的下一个点$\mathbf{y}^{\prime(1+1)}$是从
$$
\mathbf{y}^{\prime(l+1)}=\mathbf{y}^{(i)}+\tau_m \mathbf{z}^{(i)}
$$

计算点$\mathbf{y}^{\prime(i+1)}$处的梯度，如果
$$
\mathbf{z}^{(i) T}\left[-\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}\left(\mathbf{y}^{(i+1)}\right)\right] \geq 0
$$
设置$\mathbf{y}^{(i+1)}=\mathbf{y}^{(i+1)} ;$，因为$\mathbf{y}^{(i+1)}$位于$Q^{\prime}$和$H_m$(对应于步骤3中确定的步长$\tau_m$的超平面)的交集，将$H_m$添加到$Q^{\prime}$，然后返回步骤1。
另一方面，如果
$$
\mathbf{z}^{(i) T}\left[-\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}\left(\mathbf{y}^{\prime(t+1)}\right)\right]<0,
$$
通过重复线性插值找到$\mathbf{y}^{(t+1)}$，如图6-15所示;合适的方程为(6.6-30)和式(6.6-31)。交集$Q^{\prime}$保持不变，计算算法通过返回步骤1开始另一次迭代。

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Additional Features of the Gradient Projection Algorithm

在建立梯度投影与最优控制问题的解决之间的联系之前，让我们首先提到Rosen算法的一些附加特征:†

由于在迭代过程的每个阶段最多添加或删除一个超平面，因此可以从不需要矩阵反转的递归关系中计算矩阵$\left[\mathbf{N}_q^T \mathbf{N}_q\right]^{-1}$和$\mathbf{P}_q$。

可能出现由迭代过程计算出的一个点位于$i$超平面的交点上，其中只有$q<i$是线性无关的;梯度投影法包含了处理这种情况的规定。

该算法提供了一个从任意初始猜测生成可接受点(如果存在)的起始过程$\mathbf{y}^{(0)}$。

如果$f$是$E^K$允许区域内的凸函数，并且对于$\mathbf{y}$在$R$允许区域内的每个分量具有连续的二阶偏导数，则梯度投影算法收敛于$f$的全局最小值。如果$f$在$R$中不是凸的，算法一般会收敛到局部最小值。为了找到全局最小值，人们通常会尝试几个不同的起点，以确定尽可能多的局部最小值;然后选择与具有最小值$f$的局部最小值对应的点$\mathbf{y}^*$作为最佳可能点。

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考

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计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Features of the Quasilinearization Method

如果你也在 怎样代写优化理论Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。优化理论Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

优化理论Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Features of the Quasilinearization Method

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Features of the Quasilinearization Method

To conclude our discussion of quasilinearization, let us summarize the important features of the algorithm.

Initial Guess. An initial state-costate trajectory $\mathbf{x}^{(0)}(t), \mathbf{p}^{(0)}(t), t \in\left[t_0, t_f\right]$, must be selected to begin the iterative procedure. This initial trajectory, which is used for linearizing the nonlinear reduced differential equations, does not necessarily have to satisfy the specified boundary conditions; all subsequent iterates will do so, however. The primary requirement of the initial guess is that it not be so poor that it causes the algorithm to diverge. As usual, the initial guess is made primarily on the basis of whatever physical information is available about the particular problem being solved.

Storage Requirements. From Eq. (6.4-32) with $t=t_0$ it is apparent that $\mathbf{p}^{(t+1)}\left(t_0\right)=\mathbf{c}$ if the values of $\mathbf{p}^{H 1}\left(t_0\right), \ldots, \mathbf{p}^{H n}\left(t_0\right)$, and $\mathbf{p}^p\left(t_0\right)$ are selected as suggested; therefore, once $\mathrm{c}$ is known, the $(i+1)$ st trajectory can be generated by reintegrating Eq. (6.4-29) with the initial conditions $\mathbf{x}^{(i+1)}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$ and $\mathbf{p}^{(i+1)}\left(t_0\right)=\mathbf{c}$. By doing this, there is no necessity for storing (presumably in piecewise-constant fashion) the $n$ homogeneous solutions and the particular solution; hence we store only the linearizing state-costate trajectory, the specified value of $\mathbf{x}\left(t_0\right)$, the value of $\mathbf{c}, \mathbf{x}^p\left(t_f\right), \mathbf{p}^p\left(t_f\right)$, and $\mathbf{x}^{H J}\left(t_f\right)$, $\mathbf{p}^{H j}\left(t_f\right), j=1,2, \ldots, n$.

Convergence. McGill and Kenneth [M-4] have proved that the sequence of solutions of the linearized equations (6.4-29) converges (with a rate that is at least quadratic) to the solution of the nonlinear differential equations (6.4-25) and (6.4-26) if

  1. The functions $\mathbf{a}$ and $\partial \mathscr{H} / \partial \mathbf{x}$ of Eqs. (6.4-25) and (6.4-26) are continuous.
  2. The partial derivatives $\partial \mathbf{a} / \partial \mathbf{x}, \partial \mathbf{a} / \partial \mathbf{p}, \partial^2 \mathscr{H} / \partial \mathbf{x}^2$, and $\partial^2 \mathscr{H} / \partial \mathbf{x} \partial \mathbf{p}$ of Eqs. (6.4-27) and (6.4-28) exist and are continuous.
  3. The partial derivative functions in 2 satisfy a Lipschitz condition with respect to $[\mathbf{x}(t) \mid \mathbf{p}(t)]^T$.
  4. The norm of the deviation of the initial guess from the solutions of (6.4-25) and (6.4-26) is sufficiently small.

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|SUMMARY OF ITERATIVE TECHNIQUES FOR SOLVING TWO-POINT BOUNDARY-VALUE PROBLEMS

So far, in this chapter we have considered three iterative numerical methods for the solution of nonlinear two-point boundary-value problems. The assumption was made that the states and controls are not constrained by any boundaries; if this is not the case, the computational techniques we have discussed must be modified. $\dagger$

In each of the methods we have considered, the philosophy is to solve a sequence of problems in which one or more of the five necessary conditions [Eqs. (6.1-1) through (6.1-4)] is initially violated, but eventually satisfied if the iterative procedure converges. In the steepest descent method the algorithm terminates when $\partial \mathscr{H} / \partial \mathbf{u} \approx \mathbf{0}$ for all $t \in\left[t_0, t_f\right]$, the other four conditions having been satisfied throughout the iterative procedure. Convergence of the method of variation of extremals is indicated when the boundary condition $\mathbf{p}\left(t_f\right)=\partial h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right)\right) / \partial \mathbf{x}$ is satisfied. In quasilinearization, trajectories are generated that satisfy the boundary conditions; when a trajectory is obtained that also is a solution of the reduced state-costate equations, the procedure has converged.

As bases for comparing the numerical techniques, we have used the initial guess requirement, storage requirements, convergence properties, computational requirements, stopping criteria, and modifications for fixed end point problems. Table 6-4 summarize these and other characteristics of the three iterative methods.

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Features of the Quasilinearization Method

优化理论代写

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Features of the Quasilinearization Method

为了结束我们对拟线性化的讨论，让我们总结一下该算法的重要特征。

初步猜测。必须选择初始状态-状态轨迹$\mathbf{x}^{(0)}(t), \mathbf{p}^{(0)}(t), t \in\left[t_0, t_f\right]$来开始迭代过程。用于线性化非线性简化微分方程的初始轨迹不一定要满足指定的边界条件;然而，所有后续迭代都将这样做。初始猜测的主要要求是它不能差到导致算法发散。像往常一样，最初的猜测主要是根据所能得到的关于正在解决的特定问题的任何物理信息作出的。

存储要求。从公式(6.4-32)与$t=t_0$可以看出，如果$\mathbf{p}^{H 1}\left(t_0\right), \ldots, \mathbf{p}^{H n}\left(t_0\right)$和$\mathbf{p}^p\left(t_0\right)$的值按建议选择$\mathbf{p}^{(t+1)}\left(t_0\right)=\mathbf{c}$;因此，一旦$\mathrm{c}$已知，通过将Eq.(6.4-29)与初始条件$\mathbf{x}^{(i+1)}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$和$\mathbf{p}^{(i+1)}\left(t_0\right)=\mathbf{c}$重新积分，即可生成$(i+1)$ st轨迹。通过这样做，就没有必要存储$n$齐次解和特解(大概是以分段常数的方式);因此，我们只存储线性化状态-状态轨迹、$\mathbf{x}\left(t_0\right)$的指定值、$\mathbf{c}, \mathbf{x}^p\left(t_f\right), \mathbf{p}^p\left(t_f\right)$的值以及$\mathbf{x}^{H J}\left(t_f\right)$、$\mathbf{p}^{H j}\left(t_f\right), j=1,2, \ldots, n$。

收敛。McGill和Kenneth [M-4]证明了线性化方程(6.4-29)的解序列收敛于非线性微分方程(6.4-25)和(6.4-26)的解(以至少二次的速率)

方程中的$\mathbf{a}$和$\partial \mathscr{H} / \partial \mathbf{x}$函数。(6.4-25)和(6.4-26)是连续的。

方程的偏导数$\partial \mathbf{a} / \partial \mathbf{x}, \partial \mathbf{a} / \partial \mathbf{p}, \partial^2 \mathscr{H} / \partial \mathbf{x}^2$和$\partial^2 \mathscr{H} / \partial \mathbf{x} \partial \mathbf{p}$。(6.4-27)和式(6.4-28)存在并连续。

2中的偏导数函数对$[\mathbf{x}(t) \mid \mathbf{p}(t)]^T$满足Lipschitz条件。

初始猜测与式(6.4-25)和式(6.4-26)解的偏差的范数足够小。

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|SUMMARY OF ITERATIVE TECHNIQUES FOR SOLVING TWO-POINT BOUNDARY-VALUE PROBLEMS

到目前为止，本章讨论了求解非线性两点边值问题的三种迭代数值方法。假设状态和控制不受任何边界的约束;如果不是这样，我们讨论过的计算技术就必须加以修改。 $\dagger$

在我们所考虑的每一种方法中，哲学都是解决一系列问题，其中五个必要条件中的一个或多个[见1]。(6.1-1)至(6.1-4)]最初不符合，但如果迭代过程收敛，最终满足。在最陡下降法中，当在整个迭代过程中满足所有$t \in\left[t_0, t_f\right]$的其他四个条件时，算法终止$\partial \mathscr{H} / \partial \mathbf{u} \approx \mathbf{0}$。当边界条件$\mathbf{p}\left(t_f\right)=\partial h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right)\right) / \partial \mathbf{x}$满足时，指出了极值变分法的收敛性。在拟线性化中，生成满足边界条件的轨迹;当得到的轨迹同时也是化简状态-协态方程的解时，该过程收敛。

作为比较数值技术的基础，我们使用了初始猜测要求、存储要求、收敛性质、计算要求、停止准则和固定端点问题的修改。表6-4总结了这三种迭代方法的特点。

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|The Steepest Descent Algorithm

如果你也在 怎样代写优化理论Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。优化理论Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

优化理论Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|The Steepest Descent Algorithm

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|The Steepest Descent Algorithm

The procedure we use to solve optimal control problems by the method of steepest descent is

Select a discrete approximation $\S$ to the nominal control history $\mathbf{u}^{(0)}(t)$, $t \in\left[t_0, t_f\right]$, and store this in the memory of the digital computer. This can be done, for example, by subdividing the interval $\left[t_0, t_f\right]$ into $N$ subintervals (generally of equal duration) and considering the control

$\mathbf{u}^{(0)}$ as being piecewise-constant during each of these subintervals; that is,
$$
\mathbf{u}^{(0)}(t)=\mathbf{u}^{(0)}\left(t_k\right), \quad t \in\left[t_k, t_{k+1}\right), \quad k=0,1, \ldots, N-1 .
$$
Let the iteration index $i$ be zero.

Using the nominal control history $\mathbf{u}^{(t)}$, integrate the state equations from $t_0$ to $t_f$ with initial conditions $\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$ and store the resulting state trajectory $\mathbf{x}^{(i)}$ as a piecewise-constant vector function.

Calculate $\mathbf{p}^{(i)}\left(t_f\right)$ by substituting $\mathbf{x}^{(i)}\left(t_f\right)$ from step 2 into Eq. (6.2-9b). Using this value of $\mathbf{p}^{(n)}\left(t_f\right)$ as the “initial condition” and the piecewise-constant values of $\mathbf{x}^{(t)}$ stored in step 2, integrate the costate equations from $t_f$ to $t_0$, evaluate $\partial \mathscr{H}^{(i)}(t) / \partial \mathrm{u}, t \in\left[t_0, t_f\right]$, and store this function in piecewise-constant fashion. The costate trajectory does not need to be stored.

If
$$
\left|\frac{\partial \mathscr{H}^{(i)}}{\partial \mathbf{u}}\right| \leq \gamma
$$
where $\gamma$ is a preselected positive constant and
$$
\left|\frac{\partial \mathscr{H}^{(t)}}{\partial \mathbf{u}}\right|^2 \triangleq \int_{t_0}^{t_s}\left[\frac{\partial \mathscr{H}^{(i)}}{\partial \mathbf{u}}(t)\right]^T\left[\frac{\partial \mathscr{H}^{(t)}}{\partial \mathbf{u}}(t)\right] d t,
$$
terminate the iterative procedure, and output the extremal state and control. If the stopping criterion (6.2-17) is not satisfied, generate a new piecewise-constant control function given by
$$
\mathbf{u}^{(i+1)}\left(t_k\right)=\mathbf{u}^{(i)}\left(t_k\right)-\tau \frac{\partial \mathscr{H}^{(i)}}{\partial \mathbf{u}}\left(t_k\right), \quad k=0, \ldots, N-1,
$$
where
$$
\mathbf{u}^{(i)}(t)=\mathbf{u}^{(i)}\left(t_k\right) \quad \text { for } t \in\left[t_k, t_{k+1}\right), \quad k=0, \ldots, N-1 .
$$
Replace $\mathbf{u}^{(i)}\left(t_k\right)$ by $\mathbf{u}^{(i+1)}\left(t_k\right), k=0, \ldots, N-1$, and return to step 2 .

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|An Illustrative Example

To illustrate the mechanics of the steepest descent procedure we have discussed, let us partially solve a simple example. Since all calculations will be done analytically, the piecewise-constant approximations mentioned previously will not be required.

Example 6.2-1. A first-order system is described by the state equation
$$
\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)
$$
with initial condition $x(0)=4.0$. It is desired to find $u(t), t \in[0,1]$, that minimizes the performance measure
$$
J=x^2(1)+\int_0^1 \frac{1}{2} u^2(t) d t
$$
Notice that this problem is of the linear regulator type discussed in Section 5.2, and, therefore, can be solved without using iterative numerical techniques. The costate equation is
$$
\dot{p}(t)=p(t)
$$
with the boundary condition $p(1)=2 x(1)$. In addition, the optimal control and its costate must satisfy the relation
$$
\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial u}=u(t)+p(t)=0
$$
As an initial guess for the optimal control, let us select $u^{(0)}(t)=1.0$ throughout the interval $[0,1]$. Integrating the state equation, using this control and the initial condition $x(0)=4.0$, we obtain
$$
x^{(0)}(t)=3 \epsilon^{-t}+1
$$
hence, $p^{(0)}(1)=2 x^{(0)}(1)=2\left[3 \epsilon^{-1}+1\right]$. Using this value for $p^{(0)}(1)$ and integrating the costate equation backward in time, we obtain
$$
p^{(0)}(t)=2 \epsilon^{-1}\left[3 \epsilon^{-1}+1\right] \epsilon^t
$$
which makes
$$
\frac{\partial \mathscr{H}(0)}{\partial u}(t)=1+2 \epsilon^{-1}\left[3 \epsilon^{-1}+1\right] \epsilon^t .
$$

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优化理论代写

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用最陡下降法求解最优控制问题的程序为

选择一个离散近似$\S$到标称控制历史$\mathbf{u}^{(0)}(t)$, $t \in\left[t_0, t_f\right]$，并将其存储在数字计算机的内存中。例如，可以将间隔$\left[t_0, t_f\right]$细分为$N$子间隔(通常持续时间相等)并考虑控制

$\mathbf{u}^{(0)}$ 在每一个子区间内都是分段常数;也就是说，
$$
\mathbf{u}^{(0)}(t)=\mathbf{u}^{(0)}\left(t_k\right), \quad t \in\left[t_k, t_{k+1}\right), \quad k=0,1, \ldots, N-1 .
$$
让迭代索引$i$为零。

使用标称控制历史$\mathbf{u}^{(t)}$，将状态方程从$t_0$到$t_f$与初始条件$\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$进行积分，并将结果状态轨迹$\mathbf{x}^{(i)}$存储为分段常数向量函数。

将步骤2中的$\mathbf{x}^{(i)}\left(t_f\right)$代入式(6.2-9b)，计算$\mathbf{p}^{(i)}\left(t_f\right)$。使用此值$\mathbf{p}^{(n)}\left(t_f\right)$作为“初始条件”，并使用步骤2中存储的分段常数值$\mathbf{x}^{(t)}$，对从$t_f$到$t_0$的协态方程进行积分，对$\partial \mathscr{H}^{(i)}(t) / \partial \mathrm{u}, t \in\left[t_0, t_f\right]$求值，并以分段常数的方式存储此函数。不需要存储状态轨迹。

如果
$$
\left|\frac{\partial \mathscr{H}^{(i)}}{\partial \mathbf{u}}\right| \leq \gamma
$$
其中$\gamma$是预先选择的正常数，而
$$
\left|\frac{\partial \mathscr{H}^{(t)}}{\partial \mathbf{u}}\right|^2 \triangleq \int_{t_0}^{t_s}\left[\frac{\partial \mathscr{H}^{(i)}}{\partial \mathbf{u}}(t)\right]^T\left[\frac{\partial \mathscr{H}^{(t)}}{\partial \mathbf{u}}(t)\right] d t,
$$
终止迭代过程，输出极值状态和控制。如果停止准则(6.2-17)不满足，则生成一个新的分段常数控制函数
$$
\mathbf{u}^{(i+1)}\left(t_k\right)=\mathbf{u}^{(i)}\left(t_k\right)-\tau \frac{\partial \mathscr{H}^{(i)}}{\partial \mathbf{u}}\left(t_k\right), \quad k=0, \ldots, N-1,
$$
在哪里
$$
\mathbf{u}^{(i)}(t)=\mathbf{u}^{(i)}\left(t_k\right) \quad \text { for } t \in\left[t_k, t_{k+1}\right), \quad k=0, \ldots, N-1 .
$$
将$\mathbf{u}^{(i)}\left(t_k\right)$替换为$\mathbf{u}^{(i+1)}\left(t_k\right), k=0, \ldots, N-1$，然后返回步骤2。

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|An Illustrative Example

为了说明我们讨论过的最陡下降法的原理，让我们部分地解决一个简单的例子。由于所有的计算都将以分析的方式进行，因此不需要前面提到的分段常数近似。

例6.2-1。一阶系统由状态方程描述
$$
\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)
$$
初始条件为$x(0)=4.0$。我们希望找到最小化性能度量的$u(t), t \in[0,1]$
$$
J=x^2(1)+\int_0^1 \frac{1}{2} u^2(t) d t
$$
请注意，这个问题属于第5.2节讨论的线性调节器类型，因此可以不使用迭代数值技术来解决。协态方程是
$$
\dot{p}(t)=p(t)
$$
边界条件为$p(1)=2 x(1)$。此外，最优控制及其状态必须满足这一关系
$$
\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial u}=u(t)+p(t)=0
$$
作为最优控制的初始猜测，让我们在整个区间$[0,1]$中选择$u^{(0)}(t)=1.0$。对状态方程积分，利用这个控制和初始条件$x(0)=4.0$，我们得到
$$
x^{(0)}(t)=3 \epsilon^{-t}+1
$$
因此，$p^{(0)}(1)=2 x^{(0)}(1)=2\left[3 \epsilon^{-1}+1\right]$。利用$p^{(0)}(1)$的这个值，并对协态方程进行逆时间积分，我们得到
$$
p^{(0)}(t)=2 \epsilon^{-1}\left[3 \epsilon^{-1}+1\right] \epsilon^t
$$
这使得
$$
\frac{\partial \mathscr{H}(0)}{\partial u}(t)=1+2 \epsilon^{-1}\left[3 \epsilon^{-1}+1\right] \epsilon^t .
$$

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微观经济学代写

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|MINIMUM-TIME PROBLEMS

如果你也在 怎样代写优化理论Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。优化理论Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

优化理论Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|MINIMUM-TIME PROBLEMS

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|MINIMUM-TIME PROBLEMS

In this section we shall consider problems in which the objective is to transfer a system from an arbitrary initial state to a specified target set in minimum time. The target set (which may be moving) will be denoted by $S(t)$, and the minimum time required to reach the target set by $t^$. Mathematically, then, our problem is to transfer a system $$ \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) $$ from an arbitrary initial state $\mathbf{x}0$ to the target set $S(t)$ and minimize $$ J(\mathbf{u})=\int{t_0}^{t_f} d t=t_f-t_0 .
$$
Typically, the control variables may be constrained by requirements such as
$$
\left|u_i(t)\right| \leq 1, \quad i=1,2, \ldots, m, \quad t \in\left[t_0, t^\right] .
$$
Our approach will be to use the minimum principle to determine the optimal control law. $\dagger$
To introduce several important aspects of minimum-time problems, let us consider the following simplified intercept problem.
Example 5.4-1. Figure $5-15$ shows an aircraft that is initially at the point $x=0, y=0$ pursuing a ballistic missile that is initially at the point $x=a>0, y=0$. The missile flies the trajectory
$$
\begin{aligned}
& x_M(t)=a+0.1 t^3 \
& y_M(t)=0
\end{aligned}
$$
for $t \geq 0$; thus, in this example the target set $S(t)$ is the position of the missile given by (5.4-4).
Neglecting gravitational and aerodynamic forces, let us model the aircraft as a point mass. Normalizing the mass to unity, we find that the motion of the aircraft in the $x$ direction is described by
$$
\ddot{x}(t)=u(t)
$$
or, in state form,
$$
\begin{aligned}
& \dot{x}_1(t)=x_2(t) \
& \dot{x}_2(t)=u(t),
\end{aligned}
$$
where $x_1(t) \triangleq x(t)$ and $x_2(t) \triangleq \dot{x}(t)$. The thrust $u(t)$ is constrained by the relationship
$$
|u(t)| \leq 1.0 .
$$

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|The Set of Reachable States

If a system can be transferred from some initial state to a target set by applying admissible control histories, then an optimal control exists and may be found by determining the admissible control that causes the system to reach the target set most quickly. A description of the target set is assumed to be known; thus, to investigate the existence of an optimal control it is useful to introduce the concept of reachable states.
If a system with initial state $\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$ is subjected to all admissible control histories for a time interval $\left[t_0, t\right]$, the collection of state values $\mathbf{x}(t)$ is called the set of states that are reachable (from $\mathbf{x}_0$ ) at time $t$, or simply the set of reachable states.
Although the set of reachable states depends on $\mathbf{x}0, t_0$, and on $t$, we shall denote this set by $R(t)$. The following example illustrates the concept of reachable states. Example 5.4-2. Find the set of reachable states for the system $$ \dot{x}(t)=u(t) $$ where the admissible controls satisfy $$ -1 \leq u(t) \leq 1 $$ The solution of Eq. (5.4-9) is $$ x(t)=x_0+\int{t_0}^t u(\tau) d \tau
$$
If only admissible control values are used, Eq. (5.4-11) implies that
$$
x_0-\left[t-t_0\right] \leq x(t) \leq x_0+\left[t-t_0\right] .
$$
Figure 5-16 shows the reachable sets for $t=t_1, t_2$, and $t_3$, where $t_1<t_2<t_3$.

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|MINIMUM-TIME PROBLEMS

优化理论代写

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|MINIMUM-TIME PROBLEMS

在本节中，我们将考虑目标是在最短时间内将系统从任意初始状态转移到指定目标集的问题。目标集(可能在移动)用$S(t)$表示，达到目标集所需的最短时间用$t^$表示。从数学上讲，我们的问题是将系统$$ \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) $$从任意初始状态$\mathbf{x}0$转移到目标集$S(t)$并最小化$$ J(\mathbf{u})=\int{t_0}^{t_f} d t=t_f-t_0 .
$$
通常，控制变量可能受到需求的约束，例如
$$
\left|u_i(t)\right| \leq 1, \quad i=1,2, \ldots, m, \quad t \in\left[t_0, t^\right] .
$$
我们的方法是用最小值原理来确定最优控制律。$\dagger$
为了介绍最小时间问题的几个重要方面，让我们考虑以下简化的截距问题。
例5.4-1。图$5-15$显示了一架飞机最初在$x=0, y=0$点追逐一枚弹道导弹，该导弹最初在$x=a>0, y=0$点。导弹沿着弹道飞行
$$
\begin{aligned}
& x_M(t)=a+0.1 t^3 \
& y_M(t)=0
\end{aligned}
$$
对于$t \geq 0$;因此，在这个例子中，目标集$S(t)$是(5.4-4)给出的导弹的位置。
忽略重力和空气动力，让我们将飞机建模为质点。将质量归一化为单位，我们发现飞机在$x$方向上的运动由
$$
\ddot{x}(t)=u(t)
$$
或者，在状态形式中，
$$
\begin{aligned}
& \dot{x}_1(t)=x_2(t) \
& \dot{x}_2(t)=u(t),
\end{aligned}
$$
其中$x_1(t) \triangleq x(t)$和$x_2(t) \triangleq \dot{x}(t)$。推力$u(t)$受到关系的限制
$$
|u(t)| \leq 1.0 .
$$

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如果系统可以通过应用允许的控制历史从某个初始状态转移到目标集，则存在最优控制，并且可以通过确定使系统最快到达目标集的允许控制来找到最优控制。假设目标集的描述是已知的;因此，为了研究最优控制的存在性，引入可达状态的概念是有用的。
如果一个系统具有初始状态 $\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$ 在一段时间内接受所有可接受的控制史 $\left[t_0, t\right]$，状态值的集合 $\mathbf{x}(t)$ 称为可到达的状态集(从 $\mathbf{x}_0$ )当时 $t$，或者简单地说是可达状态的集合。
尽管可达状态的集合取决于 $\mathbf{x}0, t_0$等等 $t$，我们用 $R(t)$． 下面的示例说明了可达状态的概念。例5.4-2。找到系统的可达状态集 $$ \dot{x}(t)=u(t) $$ 允许的控制在哪里 $$ -1 \leq u(t) \leq 1 $$ 式(5.4-9)的解为 $$ x(t)=x_0+\int{t_0}^t u(\tau) d \tau
$$
如果只使用允许的控制值，式(5.4-11)表明
$$
x_0-\left[t-t_0\right] \leq x(t) \leq x_0+\left[t-t_0\right] .
$$
的可达集如图5-16所示 $t=t_1, t_2$，和 $t_3$，其中 $t_1<t_2<t_3$．

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微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

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优化理论Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Constrained Minimization of Functionals

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Constrained Minimization of Functionals

We are now ready to consider the presence of constraints in variational problems. To simplify the variational equations, it will be assumed that the admissible curves are smooth.

Point Constraints. Let us determine a set of necessary conditions for a function $w^*$ to be an extremal for a functional of the form
$$
J(w)=\int_{t_0}^{t t} g(w(t), \dot{w}(t), t) d t
$$
$\mathbf{w}$ is an $(n+m) \times 1$ vector of functions $(n, m \geq 1)$ that is required to satisfy $n$ relationships of the form
$$
f_i(\mathrm{w}(t), t)=0, \quad i=1,2, \ldots, n,
$$
which are called point constraints. Constraints of this type would be present if, for example, the admissible trajectories were required to lie on a specified surface in the $n+m+1$-dimensional $w(t)-t$ space. The presence of these $n$ constraining relations means that only $m$ of the $n+m$ components of $w$ are independent.

We have previously found that the Euler equations must be satisfied regardless of the boundary conditions, so we will ignore, temporarily, terms that enter only into the determination of boundary conditions.

One way to attack this problem might be to solve Eqs. (4.5-25) for $n$ of the components of $\mathbf{w}(t)$ in terms of the remaining $m$ components-which can then be regarded as $m$ independent functions-and use these equations to eliminate the $n$ dependent components of $w(t)$ and $\mathbf{w}(t)$ from $J$. If this can be done, then the equations of Sections 4.2 and 4.3 apply. Unfortunately, the constraining equations (4.5-25) are generally nonlinear algebraic equations, which may be quite difficult to solve.

As an alternative approach we can use Lagrange multipliers. The first step is to form the augmented functional by adjoining the constraining relations to $J$, which yields
$$
\begin{aligned}
J_a(\mathbf{w}, \mathbf{p})= & \int_{t_0}^{t_t}\left{g(\mathbf{w}(t), \dot{\mathbf{w}}(t), t)+p_1(t)\left[f_1(\mathbf{w}(t), t)\right]\right. \
& \left.+p_2(t)\left[f_2(\mathbf{w}(t), t)\right]+\cdots+p_n(t)\left[f_n(\mathbf{w}(t), t)\right]\right} d t \
= & \int_{t_0}^{t f}\left{g(\mathbf{w}(t), \dot{w}(t), t)+\mathbf{p}^T(t)[\mathbf{f}(\mathbf{w}(t), t)]\right} d t .
\end{aligned}
$$

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|NECESSARY CONDITIONS FOR OPTIMAL CONTROL

Let us now employ the techniques introduced in Chapter 4 to determine necessary conditions for optimal control. As stated in Chapter 1, the problem is to find an admissible control $\mathbf{u}^$ that causes the system $$ \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) $$ to follow an admissible trajectory $\mathbf{x}^$ that minimizes the performance measure
$$
J(\mathbf{u})=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)+\int_{t_0}^{t_f} g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) d t . \dagger
$$
We shall initially assume that the admissible state and control regions are not bounded, and that the initial conditions $\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$ and the initial time $t_0$ are specified. As usual, $\mathbf{x}$ is the $n \times 1$ state vector and $\mathbf{u}$ is the $m \times 1$ vector of control inputs.

In the terminology of Chapter 4 , we have a problem involving $n+m$ functions which must satisfy the $n$ differential equation constraints (5.1-1). The $m$ control inputs are the independent functions.

The only difference between Eq. (5.1-2) and the functionals considered in Chapter 4 is the term involving the final states and final time. However, assuming that $h$ is a differentiable function, we can write
$$
h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)=\int_{s_0}^{t_f} \frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)] d t+h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right)
$$
so that the performance measure can be expressed as
$$
J(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t_s}\left{g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)+\frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)]\right} d t+h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right)
$$
Since $\mathbf{x}\left(t_0\right)$ and $t_0$ are fixed, the minimization does not affect the $h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right)$ term, so we need consider only the functional
$$
J(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t_s}\left{g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)+\frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)]\right} d t
$$

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Constrained Minimization of Functionals

优化理论代写

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现在我们准备考虑变分问题中约束的存在。为了简化变分方程，我们假定容许曲线是光滑的。

点约束。让我们确定一组必要条件，使函数$w^*$成为如下形式的函数的极值
$$
J(w)=\int_{t_0}^{t t} g(w(t), \dot{w}(t), t) d t
$$
$\mathbf{w}$是满足表单$n$关系所需的函数$(n, m \geq 1)$的$(n+m) \times 1$向量
$$
f_i(\mathrm{w}(t), t)=0, \quad i=1,2, \ldots, n,
$$
我们称之为点约束。例如，如果要求允许的轨迹位于$n+m+1$维$w(t)-t$空间的特定表面上，则会存在这种类型的约束。这些$n$约束关系的存在意味着$w$的$n+m$组件中只有$m$是独立的。

我们以前已经发现，无论边界条件如何，欧拉方程都必须得到满足，因此我们暂时忽略仅用于确定边界条件的项。

解决这个问题的一种方法可能是解等式。(4.5-25)对$\mathbf{w}(t)$的组成部分的$n$的剩余的$m$组成部分，然后可以被视为$m$独立的函数，并使用这些方程来消除$n$的依赖组成部分的$w(t)$和$\mathbf{w}(t)$从$J$。如果可以做到这一点，那么第4.2节和第4.3节的公式就适用了。不幸的是，约束方程(4.5-25)通常是非线性代数方程，可能很难求解。

作为一种替代方法，我们可以使用拉格朗日乘数。第一步是通过将约束关系连接到$J$来形成增广泛函，得到
$$
\begin{aligned}
J_a(\mathbf{w}, \mathbf{p})= & \int_{t_0}^{t_t}\left{g(\mathbf{w}(t), \dot{\mathbf{w}}(t), t)+p_1(t)\left[f_1(\mathbf{w}(t), t)\right]\right. \
& \left.+p_2(t)\left[f_2(\mathbf{w}(t), t)\right]+\cdots+p_n(t)\left[f_n(\mathbf{w}(t), t)\right]\right} d t \
= & \int_{t_0}^{t f}\left{g(\mathbf{w}(t), \dot{w}(t), t)+\mathbf{p}^T(t)[\mathbf{f}(\mathbf{w}(t), t)]\right} d t .
\end{aligned}
$$

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现在让我们利用第4章介绍的技术来确定最优控制的必要条件。如第1章所述，问题是找到一个允许的控制$\mathbf{u}^$，使系统$$ \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) $$遵循一个允许的轨迹$\mathbf{x}^$，使性能度量最小化
$$
J(\mathbf{u})=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)+\int_{t_0}^{t_f} g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) d t . \dagger
$$
我们首先假定容许状态和控制区域是无界的，并且确定了初始条件$\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$和初始时间$t_0$。像往常一样，$\mathbf{x}$是$n \times 1$状态向量，$\mathbf{u}$是控制输入的$m \times 1$向量。

在第4章的术语中，我们有一个涉及$n+m$函数的问题，它必须满足$n$微分方程约束(5.1-1)。$m$控制输入是独立的函数。

Eq.(5.1-2)和第4章中考虑的泛函之间的唯一区别是涉及最终状态和最终时间的术语。然而，假设$h$是一个可微函数，我们可以写
$$
h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)=\int_{s_0}^{t_f} \frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)] d t+h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right)
$$
因此，性能度量可以表示为
$$
J(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t_s}\left{g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)+\frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)]\right} d t+h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right)
$$
由于$\mathbf{x}\left(t_0\right)$和$t_0$是固定的，因此最小化不会影响$h\left(\mathbf{x}\left(t_0\right), t_0\right)$项，因此我们只需要考虑函数
$$
J(\mathbf{u})=\int_{t_0}^{t_s}\left{g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)+\frac{d}{d t}[h(\mathbf{x}(t), t)]\right} d t
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Closeness of Functions

如果你也在 怎样代写优化理论Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。优化理论Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

优化理论Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Closeness of Functions

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Closeness of Functions

If two points are said to be close to one another, a geometric interpretation springs immediately to mind. But what do we mean when we say two functions are close to one another? To give a precise meaning to the term “close” we next introduce the concept of a norm.
DEFINITION $4-5$
The norm in n-dimensional Euclidean space is a rule of correspondence that assigns to each point $\mathbf{q}$ a real number. The norm of $\mathbf{q}$, denoted by $|\mathbf{q}|$, satisfies the following properties:

$|\mathbf{q}| \geq 0$ and $|\mathbf{q}|=0$ if and only if $\mathbf{q}=\mathbf{0}$.

$|\alpha q|=|\alpha| \cdot|\mathbf{q}|$ for all real numbers $\alpha$.

$\left|q^{(1)}+q^{(2)}\right| \leq\left|q^{(1)}\right|+\left|q^{(2)}\right|$.
When we say that two points $\mathbf{q}^{(1)}$ and $\mathbf{q}^{(2)}$ are close together, we mean that
$\left|\mathbf{q}^{(1)}-\mathbf{q}^{(2)}\right|$ is small.
Example 4.1-5. What is a suitable norm for two-dimensional Euclidean space? It is easily verified that
$$
|\mathbf{q}|_2 \triangleq \sqrt{q_1^2+q_2^2} \text {, or }|\mathbf{q}|_1 \triangleq\left|q_1\right|+\left|q_2\right|
$$
satisfies properties (4.1-14). Now suppose that a point $\mathbf{q}^{(1)}$ is specified and it is required that $\left|\mathbf{q}^{(2)}-\mathbf{q}^{(1)}\right|<\delta$. What are the acceptable locations for $q^{(2)}$ ? If $|q|_2$ is used as the norm, $\mathbf{q}^{(2)}$ must lie within the circle centered at $\mathbf{q}^{(1)}$ having radius $\delta$ as shown in Fig. 4-2(a). On the other hand, if $|\mathbf{q}|_1$ is used as the norm, the acceptable locations for $\mathbf{q}^{(2)}$ are as shown in Fig, 4-2(b).

Next, let us define the norm of a function.
DEFINITION 4-6
The norm of a function is a rule of correspondence that assigns to each function $\mathbf{x} \in \Omega$, defined for $t \in\left[t_0, t_f\right]$, a real number. The norm of $\mathbf{x}$, denoted by $|\mathbf{x}|$, satisfies the following properties:

  1. $|\mathbf{x}| \geq 0$ and $|\mathbf{x}|=0$ if and only if $\mathbf{x}(t)=\mathbf{0}$ for all $t \in\left[t_0, t_f\right]$
    $(4.1-15 a)$
  2. $|\alpha \mathbf{x}|=|\alpha| \cdot|\mathbf{x}|$ for all real numbers $\alpha$.
  3. $\left|\mathbf{x}^{(1)}+\mathbf{x}^{(2)}\right| \leq\left|\mathbf{x}^{(1)}\right|+\left|\mathbf{x}^{(2)}\right|$.
    $(4.1-15 c)$

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|The Increment of a Functional

In order to consider extreme values of a function, we now define the concept of an increment.
DEFINITION 4-7
If $\mathbf{q}$ and $\mathbf{q}+\Delta \mathbf{q}$ are elements for which the function $f$ is defined, then the increment of $f$, denoted by $\Delta f$, is
$$
\Delta f \triangleq f(\mathbf{q}+\Delta \mathbf{q})-f(\mathbf{q}) .
$$
Notice that $\Delta f$ depends on both $\mathbf{q}$ and $\Delta \mathbf{q}$, in general, so to be more explicit we would write $\Delta f(\mathbf{q}, \Delta \mathbf{q})$.
Example 4.1-7. Consider the function
$$
f(\mathbf{q})=q_1^2+2 q_1 q_2 \text { for all real } q_1, q_2 .
$$
The increment of $f$ is
$$
\begin{aligned}
\Delta f= & f(\mathbf{q}+\Delta \mathbf{q})-f(\mathbf{q})=\left[q_1+\Delta q_1\right]^2 \
& \left.+2\left[q_1+\Delta q_1\right] q_2+\Delta q_2\right]-\left[q_1^2+2 q_1 q_2\right] \
= & 2 q_1 \Delta q_1+\left[\Delta q_1\right]^2+2 \Delta q_1 q_2+2 \Delta q_2 q_1+2 \Delta q_1 \Delta q_2
\end{aligned}
$$
In an analogous manner, we next define the increment of a functional.
DEFINITION 4-8
If $\mathbf{x}$ and $\mathbf{x}+\delta \mathbf{x}$ are functions for which the functional $J$ is defined, then the increment of $J$, denoted by $\Delta J$, is
$$
\Delta J \triangleq J(\mathbf{x}+\delta \mathbf{x})-J(\mathbf{x}) .
$$
Again, to be more explicit, we would write $\Delta J(\mathbf{x}, \delta \mathbf{x})$ to emphasize that the increment depends on the functions $\mathbf{x}$ and $\delta \mathbf{x}$. $\delta \mathbf{x}$ is called the variation of the function $\mathbf{x}$.

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优化理论代写

学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Closeness of Functions

如果两个点彼此靠近，一个几何解释会立即出现在脑海中。但是当我们说两个函数彼此接近是什么意思呢?为了给“接近”一词一个确切的含义，我们接下来引入规范的概念。
定义$4-5$
n维欧几里得空间中的范数是一个对应的规则，它赋予每个点$\mathbf{q}$一个实数。$\mathbf{q}$的范数用$|\mathbf{q}|$表示，满足以下性质:

$|\mathbf{q}| \geq 0$$|\mathbf{q}|=0$当且仅当$\mathbf{q}=\mathbf{0}$。

$|\alpha q|=|\alpha| \cdot|\mathbf{q}|$ 对于所有实数$\alpha$。

$\left|q^{(1)}+q^{(2)}\right| \leq\left|q^{(1)}\right|+\left|q^{(2)}\right|$．
当我们说两点$\mathbf{q}^{(1)}$和$\mathbf{q}^{(2)}$在一起时，我们的意思是
$\left|\mathbf{q}^{(1)}-\mathbf{q}^{(2)}\right|$很小。
例4.1-5。二维欧几里得空间合适的范数是什么?很容易证实
$$
|\mathbf{q}|_2 \triangleq \sqrt{q_1^2+q_2^2} \text {, or }|\mathbf{q}|_1 \triangleq\left|q_1\right|+\left|q_2\right|
$$
满足属性(4.1-14)。现在假设指定了一个点$\mathbf{q}^{(1)}$，并且要求$\left|\mathbf{q}^{(2)}-\mathbf{q}^{(1)}\right|<\delta$。$q^{(2)}$可接受的位置是什么?如果使用$|q|_2$作为范数，则$\mathbf{q}^{(2)}$必须位于以$\mathbf{q}^{(1)}$为圆心、半径为$\delta$的圆内，如图4-2(a)所示。另一方面，如果以$|\mathbf{q}|_1$为标准，则$\mathbf{q}^{(2)}$的可接受位置如图4-2(b)所示。

接下来，让我们定义函数的范数。
定义4-6
函数的范数是一个对应的规则，它分配给每个函数$\mathbf{x} \in \Omega$，为$t \in\left[t_0, t_f\right]$定义一个实数。$\mathbf{x}$的范数用$|\mathbf{x}|$表示，满足以下性质:

$|\mathbf{x}| \geq 0$$|\mathbf{x}|=0$当且仅当$\mathbf{x}(t)=\mathbf{0}$适用于所有人 $t \in\left[t_0, t_f\right]$
$(4.1-15 a)$

$|\alpha \mathbf{x}|=|\alpha| \cdot|\mathbf{x}|$ 对于所有实数$\alpha$。

$\left|\mathbf{x}^{(1)}+\mathbf{x}^{(2)}\right| \leq\left|\mathbf{x}^{(1)}\right|+\left|\mathbf{x}^{(2)}\right|$．
$(4.1-15 c)$

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为了考虑函数的极值，我们现在定义增量的概念。
定义4-7
如果$\mathbf{q}$和$\mathbf{q}+\Delta \mathbf{q}$是定义了函数$f$的元素，那么$f$的增量(用$\Delta f$表示)为
$$
\Delta f \triangleq f(\mathbf{q}+\Delta \mathbf{q})-f(\mathbf{q}) .
$$
注意，$\Delta f$通常依赖于$\mathbf{q}$和$\Delta \mathbf{q}$，因此为了更明确，我们将写成$\Delta f(\mathbf{q}, \Delta \mathbf{q})$。
例4.1-7。考虑函数
$$
f(\mathbf{q})=q_1^2+2 q_1 q_2 \text { for all real } q_1, q_2 .
$$
$f$的增量为
$$
\begin{aligned}
\Delta f= & f(\mathbf{q}+\Delta \mathbf{q})-f(\mathbf{q})=\left[q_1+\Delta q_1\right]^2 \
& \left.+2\left[q_1+\Delta q_1\right] q_2+\Delta q_2\right]-\left[q_1^2+2 q_1 q_2\right] \
= & 2 q_1 \Delta q_1+\left[\Delta q_1\right]^2+2 \Delta q_1 q_2+2 \Delta q_2 q_1+2 \Delta q_1 \Delta q_2
\end{aligned}
$$
以类似的方式，我们接下来定义函数的增量。
定义4-8
如果$\mathbf{x}$和$\mathbf{x}+\delta \mathbf{x}$是定义了函数$J$的函数，那么$J$的增量(用$\Delta J$表示)为
$$
\Delta J \triangleq J(\mathbf{x}+\delta \mathbf{x})-J(\mathbf{x}) .
$$
同样，为了更明确，我们将写$\Delta J(\mathbf{x}, \delta \mathbf{x})$来强调增量取决于函数$\mathbf{x}$和$\delta \mathbf{x}$。$\delta \mathbf{x}$称为函数$\mathbf{x}$的变分。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|MINIMUM-TIME PROBLEMS

如果你也在 怎样代写优化理论Optimization Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。优化理论Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

优化理论Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|MINIMUM-TIME PROBLEMS

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|MINIMUM-TIME PROBLEMS

In this section we shall consider problems in which the objective is to transfer a system from an arbitrary initial state to a specified target set in minimum time. The target set (which may be moving) will be denoted by
$\dagger$ Performing the differentiation $\partial \mathscr{H} / \partial x_2$ formally also results in the presence of two unit impulse functions, which occur at $x_2^*(t)= \pm 2$; however, these terms are such that either the impulse functions or their coefficients are zero for all $t \in\left[t_0, t_f\right]$, so the impulses do not affect the solution.
$S(t)$, and the minimum time required to reach the target set by $t^$. Mathematically, then, our problem is to transfer a system $$ \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) $$ from an arbitrary initial state $\mathbf{x}0$ to the target set $S(t)$ and minimize $$ J(\mathbf{u})=\int{t_0}^{t_t} d t=t_f-t_0
$$
Typically, the control variables may be constrained by requirements such as
$$
\left|u_i(t)\right| \leq 1, \quad i=1,2, \ldots, m, \quad t \in\left[t_0, t^\right]
$$
Our approach will be to use the minimum principle to determine the optimal control law.†
To introduce several important aspects of minimum-time problems, let us consider the following simplified intercept problem.

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|The Set of Reachable States

If a system can be transferred from some initial state to a target set by applying admissible control histories, then an optimal control exists and may be found by determining the admissible control that causes the system to reach the target set most quickly. A description of the target set is assumed to be known; thus, to investigate the existence of an optimal control it is useful to introduce the concept of reachable states.

If a system with initial state $\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$ is subjected to all admissible control histories for a time interval $\left[t_0, t\right]$, the collection of state values $\mathbf{x}(t)$ is called the set of states that are reachable (from $\mathbf{x}_0$ ) at time $t$, or simply the set of reachable states.

Although the set of reachable states depends on $\mathbf{x}0, t_0$, and on $t$, we shall denote this set by $R(t)$. The following example illustrates the concept of reachable states. Example 5.4-2. Find the set of reachable states for the system $$ \dot{x}(t)=u(t) $$ where the admissible controls satisfy $$ -1 \leq u(t) \leq 1 $$ The solution of Eq. (5.4-9) is $$ x(t)=x_0+\int{t_0}^t u(\tau) d \tau
$$
If only admissible control values are used, Eq. (5.4-11) implies that
$$
x_0-\left[t-t_0\right] \leq x(t) \leq x_0+\left[t-t_0\right] .
$$

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|MINIMUM-TIME PROBLEMS

优化理论代写

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|MINIMUM-TIME PROBLEMS

在本节中，我们将考虑目标是在最短时间内将系统从任意初始状态转移到指定目标集的问题。目标集(可能会移动)将用
$\dagger$执行微分$\partial \mathscr{H} / \partial x_2$也会得到两个单位脉冲函数，它们出现在$x_2^*(t)= \pm 2$;然而，这些项使得脉冲函数或它们的系数对所有$t \in\left[t_0, t_f\right]$都为零，所以脉冲不影响解。
$S(t)$，以及达到$t^$设定的目标所需的最短时间。从数学上讲，我们的问题是将系统$$ \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) $$从任意初始状态$\mathbf{x}0$转移到目标集$S(t)$并最小化$$ J(\mathbf{u})=\int{t_0}^{t_t} d t=t_f-t_0
$$
通常，控制变量可能受到需求的约束，例如
$$
\left|u_i(t)\right| \leq 1, \quad i=1,2, \ldots, m, \quad t \in\left[t_0, t^\right]
$$
我们的方法是用最小值原理来确定最优控制律
为了介绍最小时间问题的几个重要方面，让我们考虑以下简化的截距问题。

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|The Set of Reachable States

如果系统可以通过应用允许的控制历史从某个初始状态转移到目标集，则存在最优控制，并且可以通过确定使系统最快到达目标集的允许控制来找到最优控制。假设目标集的描述是已知的;因此，为了研究最优控制的存在性，引入可达状态的概念是有用的。

如果具有初始状态$\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}_0$的系统在一个时间间隔$\left[t_0, t\right]$内服从所有可接受的控制历史，则状态值$\mathbf{x}(t)$的集合称为在$t$时间(从$\mathbf{x}_0$)可到达的状态集，或者简单地称为可到达状态集。

虽然可达状态集依赖于$\mathbf{x}0, t_0$和$t$，但我们将用$R(t)$表示该集。下面的示例说明了可达状态的概念。例5.4-2。求系统$$ \dot{x}(t)=u(t) $$的可达状态集，其中允许的控制满足$$ -1 \leq u(t) \leq 1 $$式(5.4-9)的解为$$ x(t)=x_0+\int{t_0}^t u(\tau) d \tau
$$
如果只使用允许的控制值，式(5.4-11)表明
$$
x_0-\left[t-t_0\right] \leq x(t) \leq x_0+\left[t-t_0\right] .
$$

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微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。