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## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|General Properties of Rational Interpolation

Consider again a given set of support points $\left(x_i, f_i\right), i=0,1, \ldots$. We will now examine the use of rational functions
$$\Phi^{\mu, \nu}(x) \equiv \frac{P^{\mu, \nu}(x)}{Q^{\mu, \nu}(x)} \equiv \frac{a_0+a_1 x+\cdots+a_\mu x^\mu}{b_0+b_1 x+\cdots+b_\nu x^\nu}$$
for interpolating these support points. Here the integers $\mu$ and $\nu$ denote the maximum degrees of the polynomials in the numerator and denominator, respectively. We call the pair of integers $(\mu, \nu)$ the degree type of the rational interpolation problem.

The rational function $\Phi^{\mu, \nu}$ is determined by its $\mu+\nu+2$ coefficients
$$a_0, a_1, \ldots, a_\mu, b_0, b_1, \ldots, b_\nu .$$
On the other hand, $\Phi^{\mu, \nu}$ determines these coefficients only up to a common factor $\rho \neq 0$. This suggests that $\Phi^{\mu, \nu}$ is fully determined by the $\mu+\nu+1$ interpolation conditions

$(2.2 .1 .1) \quad \Phi^{\mu, \nu}\left(x_i\right)=f_i, \quad i=0,1, \ldots, \mu+\nu$
We denote by $A^{\mu, \nu}$ the problem of calculating the rational function $\Phi^{\mu, \nu}$ from (2.2.1.1).

It is clearly necessary that the coefficients $a_r, b_s$, of $\Phi^{\mu, \nu}$ solve the homogeneous system of linear equations
(2.2.1.2) $\quad P^{\mu, \nu}\left(x_i\right)-f_i Q^{\mu, \nu}\left(x_i\right)=0, \quad i=0,1, \ldots, \mu+\nu$,
or written out in full,
$a_0+a_1 x_i+\cdots+a_\mu x_i^\mu-f_i\left(b_0+b_1 x_i+\cdots+b_\nu x_i^\nu\right)=0, \quad i=0,1, \ldots, \mu+\nu$.
We denote this linear system by $S^{\mu, \nu}$.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Inverse and Reciprocal Differences. Thiele’s Continued Fraction

The algorithms to be described in this section calculate rational expressions along the main diagonal of the $(\mu, \nu)$-plane:

Starting from the support points $\left(x_i, f_i\right), i=0,1, \ldots$, we build the following tableau of inverse differences:

The inverse differences are defined recursively as follows:
$$\varphi\left(x_i, x_j\right)=\frac{x_i-x_j}{f_i-f_j},$$
\begin{aligned} &\varphi\left(x_i, x_j, x_k\right)=\frac{x_j-x_k}{\varphi\left(x_i, x_j\right)-\varphi\left(x_i, x_k\right)}, \ &\varphi\left(x_i, \ldots, x_l, x_m, x_n\right)=\frac{x_m-x_n}{\varphi\left(x_i, \ldots, x_l, x_m\right)-\varphi\left(x_i, \ldots, x_l, x_n\right)} . \end{aligned}
On occasion, certain inverse differences become $\infty$ because the denominators in (2.2.2.2) vanish.

Note that the inverse differences are, in general, not symmetric functions of their arguments.

Let $P^\mu, Q^\nu$ be polynomials whose degree is bounded by $\mu$ and $\nu$, respectively. We will now try to use inverse differences in order to find a rational expression
$$\Phi^{n, n}(x)=\frac{P^n(x)}{Q^n(x)}$$
with
$$\Phi^{n, n}\left(x_i\right)=f_i \quad \text { for } i=0,1, \ldots, 2 n \text {. }$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|General Properties of Rational Interpolation

$$\Phi^{\mu, \nu}(x) \equiv \frac{P^{\mu, \nu}(x)}{Q^{\mu, \nu}(x)} \equiv \frac{a_0+a_1 x+\cdots+a_\mu x^\mu}{b_0+b_1 x+\cdots+b_\nu x^\nu}$$

$$a_0, a_1, \ldots, a_\mu, b_0, b_1, \ldots, b_\nu .$$

(2.2.1.1) $\quad \Phi^{\mu, \nu}\left(x_i\right)=f_i, \quad i=0,1, \ldots, \mu+\nu$

$$\text { (2.2.1.2) } \quad P^{\mu, \nu}\left(x_i\right)-f_i Q^{\mu, \nu}\left(x_i\right)=0, \quad i=0,1, \ldots, \mu+\nu,$$

$$a_0+a_1 x_i+\cdots+a_\mu x_i^\mu-f_i\left(b_0+b_1 x_i+\cdots+b_\nu x_i^\nu\right)=0, \quad i=0,1, \ldots, \mu+\nu$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Inverse and Reciprocal

Differences. Thiele’s Continued Fraction

$$\begin{gathered} \varphi\left(x_i, x_j\right)=\frac{x_i-x_j}{f_i-f_j}, \ \varphi\left(x_i, x_j, x_k\right)=\frac{x_j-x_k}{\varphi\left(x_i, x_j\right)-\varphi\left(x_i, x_k\right)}, \quad \varphi\left(x_i, \ldots, x_l, x_m, x_n\right)=\frac{x_m-x_n}{\varphi\left(x_i, \ldots, x_l, x_m\right)-\varphi\left(x_i, \ldots, x_l, x_n\right)} . \end{gathered}$$

$$\Phi^{n, n}(x)=\frac{P^n(x)}{Q^n(x)}$$

$$\Phi^{n, n}\left(x_i\right)=f_i \quad \text { for } i=0,1, \ldots, 2 n$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STABILITY OF NUMERICAL METHODS

The word stability has a multitude of meanings when solving differential equations, both with respect to the differential equation under consideration and to the numerical method for its solution. For the stability of the initial value problem, review the definitions in the latter part of Section 9.1, in which stability referred to the effect on the solution $Y(x)$ of a perturbation in the initial value $Y_0$. The result (9.14)
Chapter 9 THE NUMERICAL SOLUTION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS stated that if $Y_0$ is changed to $Y_0+\epsilon$, then the solution $Y(x)$ is changed to $Y_\epsilon(x)$ with
$$\max {x_0 \leq x \leq b}\left|Y(x)-Y\epsilon(x)\right| \rightarrow 0 \quad \text { as } \epsilon \rightarrow 0$$
One of the meanings of numerical stability is that we would like the same type of property to hold for the numerical method being used to solve the initial value problem.

To aid in understanding what it would mean to lack numerical stability, we introduce and consider a special two step method. To begin, if $Y(x)$ is three times continuously differentiable, then it can be shown that
\begin{aligned} Y\left(x_{n+1}\right)=3 Y\left(x_n\right)-2 Y\left(x_{n-1}\right) &+\frac{h}{2}\left[Y^{\prime}\left(x_n\right)-3 Y^{\prime}\left(x_{n-1}\right)\right] \ &+\frac{7}{12} h^3 Y^{\prime \prime \prime}\left(\xi_n\right) \end{aligned}
for some $x_{n-1} \leq \xi_n \leq x_{n+1}$; see problem 1. Assuming further that $Y(x)$ satisfies the differential equation
$$Y^{\prime}(x)=f(x, Y(x))$$
and then dropping the truncation error term in $(9.95)$, we obtain the numerical method
$$y_{n+1}=3 y_n-2 y_{n-1}+\frac{h}{2}\left[f\left(x_n, y_n\right)-3 f\left(x_{n-1}, y_{n-1}\right)\right], \quad n \geq 1 \quad \text { (9.96) }$$
This is a numerical method whose truncation error is $O\left(h^3\right)$, but in general its solution does not converge to $Y(x)$ as $h \rightarrow 0$.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Stability Regions

The stability result in Theorem $9.3$ states that the method is well behaved, provided that the stepsize $h$ is sufficiently small. We would like to further examine this restriction, as it has important practical consequences for the relative desirability of various numerical methods.
Examining the stability question for the general problem
$$Y^{\prime}(x)=f(x, Y(x)), \quad Y\left(x_0\right)=Y_0$$
is too complicated. Instead, we examine the stability of numerical methods for the model equation
$$Y^{\prime}(x)=\lambda Y(x)+g(x), \quad Y(0)=Y_0$$
whose exact solution can be found from (9.5). Questions regarding stability and convergence are more easily answered for this equation; and the answers to these questions can be shown to usually be the answers to those same questions for the more general equation (9.105).

Let $Y(x)$ be the solution of $(9.106)$, and let $Y_c(x)$ be the solution with the perturbed initial data $Y_0+\epsilon$,
$$Y_\epsilon^{\prime}(x)=\lambda Y_\epsilon(x)+g(x), \quad Y_\epsilon(0)=Y_0+\epsilon$$
Let $Z_\epsilon(x)$ denote the change in the solution
$$Z_\epsilon(x)=Y_\epsilon(x)-Y(x)$$
Then, subtracting the equation for $Y_\epsilon(x)$ from (9.106),
$$Z_\epsilon^{\prime}(x)=\lambda Z_\epsilon(x), \quad Z_\epsilon(0)=\epsilon$$
The solution is
$$Z_\epsilon(x)=\epsilon e^{\lambda x}$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STABILITY OF NUMERICAL METHODS

$$\max x_0 \leq x \leq b|Y(x)-Y \epsilon(x)| \rightarrow 0 \quad \text { as } \epsilon \rightarrow 0$$

$$Y\left(x_{n+1}\right)=3 Y\left(x_n\right)-2 Y\left(x_{n-1}\right)+\frac{h}{2}\left[Y^{\prime}\left(x_n\right)-3 Y^{\prime}\left(x_{n-1}\right)\right] \quad+\frac{7}{12} h^3 Y^{\prime \prime \prime}\left(\xi_n\right)$$

$$Y^{\prime}(x)=f(x, Y(x))$$

$$y_{n+1}=3 y_n-2 y_{n-1}+\frac{h}{2}\left[f\left(x_n, y_n\right)-3 f\left(x_{n-1}, y_{n-1}\right)\right], \quad n \geq 1 \quad(9.96)$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Stability Regions

$$Y^{\prime}(x)=f(x, Y(x)), \quad Y\left(x_0\right)=Y_0$$

$$Y^{\prime}(x)=\lambda Y(x)+g(x), \quad Y(0)=Y_0$$

$$Y_\epsilon^{\prime}(x)=\lambda Y_\epsilon(x)+g(x), \quad Y_\epsilon(0)=Y_0+\epsilon$$

$$Z_\epsilon(x)=Y_\epsilon(x)-Y(x)$$

$$Z_\epsilon^{\prime}(x)=\lambda Z_\epsilon(x), \quad Z_\epsilon(0)=\epsilon$$

$$Z_\epsilon(x)=\epsilon e^{\lambda x}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Newton’s Method

To derive an iteration method for solving (8.184), we generalize Newton’s method from Section 4.2. We begin by reviewing the use of a tangent plane approximation, from two-dimensional calculus.

Let $\left(x_0, y_0\right)$ be an initial guess for a solution $\alpha=(\xi, \eta)$ for the system (8.184). The graph of $z=f(x, y)$ is a surface in $x y z$-space, and we approximate it with a plane that is tangent to it at $\left(x_0, y_0, f\left(x_0, y_0\right)\right)$. The equation of this tangent plane is $z=p(x, y)$ with
$$p(x, y) \equiv f\left(x_0, y_0\right)+\left(x-x_0\right) f_x\left(x_0, y_0\right)+\left(y-y_0\right) f_y\left(x_0, y_0\right),$$
using the notation,
$$f_x(x, y)=\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}, \quad f_y(x, y)=\frac{\partial f(x, y)}{\partial y},$$
the partial derivatives of $f$ with respect to $x$ and $y$, respectively. If $f\left(x_0, y_0\right)$ is sufficiently close to zero, then the zero curve of $p(x, y)$ will be an approximation of the zero curve of $f(x, y)$ for those points $(x, y)$ near to $\left(x_0, y_0\right)$. Because the graph of $z=p(x, y)$ is a plane, its zero curve is simply a straight line.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The General Newton Method

To help motivate the form of Newton’s method for nonlinear systems of order larger than 2 , we first change the notation used for solving systems of order 2 . Replace (8.184) by
\begin{aligned} &F_1\left(x_1, x_2\right)=0 \ &F_2\left(x_1, x_2\right)=0 \end{aligned}
Introduce
$$\begin{gathered} x=\left[\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \end{array}\right] \quad F(x)=\left[\begin{array}{l} F_1\left(x_1, x_2\right) \ F_2\left(x_1, x_2\right) \end{array}\right] \ F^{\prime}(x)=\left[\begin{array}{ll} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \frac{\partial F_1}{\partial x_2} \ \frac{\partial F_2}{\partial x_1} & \frac{\partial F_2}{\partial x_2} \end{array}\right] \end{gathered}$$
$F^{\prime}(x)$ is the Frechet derivative of $F(x)$, and it is a generalization to higher dimensions of the ordinary derivative of a function of one variable. The system (8.193) can now be written as
$$F(x)=0$$
A solution of this equation will be denoted by $\alpha$.
Newton’s method (8.190) for solving $(8.184)$ becomes
\begin{aligned} F^{\prime}\left(x^{(k)}\right) \delta^{(k)} &=-F\left(x^{(k)}\right) \ x^{(k+1)} &=x^{(k)}+\delta^{(k)}, \quad k=0,1, \ldots \end{aligned}

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Newton’s Method

$$p(x, y) \equiv f\left(x_0, y_0\right)+\left(x-x_0\right) f_x\left(x_0, y_0\right)+\left(y-y_0\right) f_y\left(x_0, y_0\right),$$

$$f_x(x, y)=\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}, \quad f_y(x, y)=\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The General Newton Method

$$F_1\left(x_1, x_2\right)=0 \quad F_2\left(x_1, x_2\right)=0$$

$F^{\prime}(x)$ 是 Frechet 导数 $F(x)$ ，它是对一个变量的函数的普通导数的更高维度的推广。系统 (8.193) 现在可以写成
$$F(x)=0$$

$$F^{\prime}\left(x^{(k)}\right) \delta^{(k)}=-F\left(x^{(k)}\right) x^{(k+1)} \quad=x^{(k)}+\delta^{(k)}, \quad k=0,1, \ldots$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Numerical examples

Below, we apply the method to specific examples of initial value problems associated with nonlinear dynamic equations.

Example 6.2. As a first example, we consider the initial value problem known as the Beverton-Holt model. This model is a population growth model which was initially introduced by R. J. H. Beverton and S. J. Holt to describe the fish population [10]. It has been studied as a continuous and discrete model, that is, both as a differential and a difference equation. Here we consider the unification of Beverton-Holt model as a dynamic equation. In this particular example, we take the time scale as the set of nonnegative integers and get
$$x^{\Delta}(t)=\frac{\alpha x(t)}{1+\beta x(t)}, \quad x(0)=x_0, \quad t>0,$$
where $\alpha, \beta$ are real numbers. Take $\mathbb{T}=\mathbb{N}_0$ and $\left[t_0, t_f\right]=[0,20]$. The monomial $h_2$ on this time scale has the form
$$h_2(t, s)=\frac{(t-s)(t-s-1)}{2}, \quad t, s \in \mathbb{T} .$$

Problem 6.4. Let $\mathbb{T}=2^{\mathrm{N}_0}$. Consider the IVP
$$\left{\begin{array}{l} \chi^{\Delta}(t)=1+\frac{1+x(t)}{1+(x(t))^2}, \quad t>1, \ \chi(1)=1 \end{array}\right.$$
and assume that
$$a=t_0=1, \quad t_1=4, \quad t_2=16, \quad t_3=64, \quad t_4=b=216$$
Problem 6.5. Let
$$\mathbb{T}=\left{0, \frac{1}{8}, \frac{1}{7}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, 1, \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}, 3,7,11\right}$$
Consider the IVP
$$\left{\begin{array}{l} x^{\Delta}(t)=(1+x(t))^3, \quad t>0, \ x(0)=0 . \end{array}\right.$$
Problem 6.6. Let $\mathbb{T}=\mathbb{Z}$. Apply $\mathrm{AB}(2)$ method for the following IVP:
$$\left{\begin{array}{l} x^{\Delta}(t)=\sin _1(t, 0)+(x(t))^2, \quad t>0, \ x(0)=1, \end{array}\right.$$
where
$$a=t_0=0, \quad t_1=2, \quad t_2=4, \quad t_3=5, \quad t_4=b=6$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Numerical examples

Beverton 和 SJ Holt 引入，用于描述鱼类种群 [10]。它已被研究为连续和离散模型，即作为微分方程和差分方程。在这里，我们 将 Beverton-Holt 模型的统一视为一个动态方程。在这个特定的例子中，我们将时间尺度作为一组非负整数并得到
$$x^{\Delta}(t)=\frac{\alpha x(t)}{1+\beta x(t)}, \quad x(0)=x_0, \quad t>0,$$

$$\正确的。 Writethe 2 – stepAdams – Bashforth formula. Problem 6.6. Let \ \mathbb{T}=\mathbb{Z} \$$. Apply $\$ \mathrm{AB}(2) \$$methodforthefollowingIVP : |剩下{$$
x^{\Delta}(t)=\sin _1(t, 0)+(x(t))^2, \quad t>0, x(0)=1,
$$\正确的。 where \ \$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Compact Variants of Gaussian Elimination

Rather than constructing $L$ and $U$ by using the elimination steps (8.22) to (8.25) of Section $8.2$, it is possible to solve directly for these matrices. The number of operations will be the same as with Gaussian elimination, but there are some advantages to such compact variants of Gaussian elimination.

To illustrate the direct computation of $L$ and $U$, consider the $n=3$ case. Write $A=L U$ as
$$\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \ m_{21} & 1 & 0 \ m_{31} & m_{32} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} \ 0 & u_{22} & u_{23} \ 0 & 0 & u_{33} \end{array}\right]$$
Multiply $L$ and $U$, and match the elements of the product with the corresponding elements in $A$. Doing this for the first row and column of the product yields
$a_{11}=u_{11} \quad a_{12}=u_{12} \quad a_{13}=u_{13}$
$a_{21}=m_{21} u_{11} \quad a_{31}=m_{31} u_{11}$
This gives the first column of $L$ and the first row of $U$. Next, multiply row 2 of $L$ times columns 2 and 3 of $U$, to obtain

$$a_{22}=m_{21} u_{12}+u_{22} \quad a_{23}=m_{21} u_{13}+u_{23}$$
These can be solved for $u_{22}$ and $u_{23}$. Next multiply row 3 of $L$ to obtain
\begin{aligned} &m_{31} u_{12}+m_{32} u_{22}=a_{32} \ &m_{31} u_{13}+m_{32} u_{23}+u_{33}=a_{33} \end{aligned}
These equations yield values for $m_{32}$ and $u_{33}$, completing the construction of $L$ and $U$. In this process, we must have $u_{11} \neq 0, u_{22} \neq 0$ in order to solve for $L$. There are modifications of the method to avoid this assumption, using pivoting, but we will simply consider those cases where the necessary elements will be nonzero.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Tridiagonal Systems

When the coefficient matrix $A$ has a special form, it is often possible to simplify Gaussian elimination. We will do this for tridiagonal systems of linear equations.
A system $A x=f$ is called tridiagonal if its matrix has the form
$$A=\left[\begin{array}{cccccccc} b_1 & c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \ a_2 & b_2 & c_2 & 0 & & & 0 \ 0 & a_3 & b_3 & c_3 & & & 0 \ \vdots & & \ddots & & & \vdots \ 0 & & \cdots & & 0 & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1} \ 0 & & & & 0 \end{array}\right]$$
This is called a tridiagonal matrix. Tridiagonal systems occur commonly in solving problems in many different areas of numerical analysis. In Chapter 5, spline function interpolation led to the tridiagonal system in (5.69).

When Gaussian elimination is applied to $A x=f$, most of the multipliers $m_{i k}=0$ and most of the elements of $U$ are also zero. With this in mind, it can be shown that the $L U$ factorization will have the following general form, provided that pivoting is not used.

$$L U=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \ a_2 & 1 & 0 & & 0 \ 0 & a_3 & 1 & & \ \vdots & & & \ddots & \vdots \ 0 & \cdots & a_n & 1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cccccc} \beta_1 & c_1 & 0 & & \cdots & 0 \ 0 & \beta_2 & c_2 & 0 & & 0 \ \vdots & & \ddots & & \vdots \ 0 & & \cdots & & 0 & \beta_n \end{array}\right]$$
Multiply in succession each row of $L$ times the various columns of $U$, and then equate the results to the corresponding elements of $A$. This yields
$\beta_1=b_1 \quad: \quad$ row 1 of $L U$
$a_2 \beta_1=a_2, \quad a_2 c_1+\beta_2=b_2 \quad: \quad$ row 2 of $L U$
$a_j \beta_{j-1}=a_j, \quad a_j c_{j-1}+\beta_j=b_j \quad: \quad$ row $j$ of $L U$
for $j=3, \ldots, n$. The reader should check these equations for the first few rows of A.

## 数学代写|数值分析代写数值分析代考|高斯消去的紧致变式

$$\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \ m_{21} & 1 & 0 \ m_{31} & m_{32} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} \ 0 & u_{22} & u_{23} \ 0 & 0 & u_{33} \end{array}\right]$$
$L$与$U$相乘，并将乘积的元素与$A$中相应的元素匹配。对product的第一行和第一列执行此操作将得到
$a_{11}=u_{11} \quad a_{12}=u_{12} \quad a_{13}=u_{13}$
$a_{21}=m_{21} u_{11} \quad a_{31}=m_{31} u_{11}$

$$a_{22}=m_{21} u_{12}+u_{22} \quad a_{23}=m_{21} u_{13}+u_{23}$$

\begin{aligned} &m_{31} u_{12}+m_{32} u_{22}=a_{32} \ &m_{31} u_{13}+m_{32} u_{23}+u_{33}=a_{33} \end{aligned}

## 数学代写|数值分析代写数值分析代考|三对角系统

$$A=\left[\begin{array}{cccccccc} b_1 & c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \ a_2 & b_2 & c_2 & 0 & & & 0 \ 0 & a_3 & b_3 & c_3 & & & 0 \ \vdots & & \ddots & & & \vdots \ 0 & & \cdots & & 0 & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1} \ 0 & & & & 0 \end{array}\right]$$

$$L U=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \ a_2 & 1 & 0 & & 0 \ 0 & a_3 & 1 & & \ \vdots & & & \ddots & \vdots \ 0 & \cdots & a_n & 1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cccccc} \beta_1 & c_1 & 0 & & \cdots & 0 \ 0 & \beta_2 & c_2 & 0 & & 0 \ \vdots & & \ddots & & \vdots \ 0 & & \cdots & & 0 & \beta_n \end{array}\right]$$

$\beta_1=b_1 \quad: \quad$第1行$L U$
$a_2 \beta_1=a_2, \quad a_2 c_1+\beta_2=b_2 \quad: \quad$第2行$L U$
$a_j \beta_{j-1}=a_j, \quad a_j c_{j-1}+\beta_j=b_j \quad: \quad$行j$$L U j=3, \ldots, n。读者应该检查a的前几行方程式 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Linear algebra, 数学代写, 线性代数 ## 数学代写|高等线性代数Advanced Linear Algebra代考|AMATH352 THE TRAPEZOIDAL AND SIMPSON RULES 如果你也在 怎样代写高等线性代数Advanced Linear Algebra AMATH352个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。高等线性代数Advanced Linear Algebra是几乎所有数学领域的核心。例如，线性代数是现代几何学展示的基础，包括定义线、平面和旋转等基本对象。另外，函数分析是数学分析的一个分支，可以看作是线性代数在函数空间的应用。 高等线性代数Advanced Linear Algebra是平坦的微分几何，在流形的切线空间中服务。时空的电磁对称性是由洛伦兹变换表达的，线性代数的大部分历史就是洛伦兹变换的历史。线性代数也被用于大多数科学和工程领域，因为它可以对许多自然现象进行建模，并对这些模型进行有效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统，它经常被用来处理一阶近似，利用这样一个事实：一个多变量函数在某一点的微分是最接近该点的函数的线性图。 高等线性代数Advanced Linear Algebra代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的高等线性代数Advanced Linear Algebra作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此高等线性代数Advanced Linear Algebra作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在线性代数Linear algebra代写方面经验极为丰富，各种线性代数Linear algebra相关的作业也就用不着 说。 ## 数学代写|高等线性代数Advanced Linear Algebra代考||THE TRAPEZOIDAL AND SIMPSON RULES The central idea behind most ideas for approximating$$ I(f)=\int_a^b f(x) d x $$is to replace f(x) by an approximating function whose integral can be evaluated. In this section, we look at methods based on using linear and quadratic interpolation. Approximate f(x) by the linear polynomial$$ P_1(x)=\frac{(b-x) f(a)+(x-a) f(b)}{b-a} $$which interpolates f(x) at a and b (see Figure 7.1). The integral of P_1(x) over [a, b] is the area of the shaded trapezoid shown in Figure 7.1; it is given by$$ T_1(f)=(b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right] $$This approximates the integral I(f) if f(x) is almost linear on [a, b]. To improve on the approximation T_1(f) in (7.4) when f(x) is not a nearly linear function on [a, b], break the interval [a, b] into smaller subintervals and apply (7.4) on each subinterval. If the subintervals are small enough, then f(x) will be nearly linear on each one. This idea is illustrated in Figure 7.2. ## 数学代写|高等线性代数Advanced Linear Algebra代考|Simpson’s Rule To improve on T_1(f) in (7.4), use quadratic interpolation to approximate f(x) on [a, b]. Let P_2(x) be the quadratic polynomial that interpolates f(x) at a, c= (a+b) / 2 and b. Using this to approximate I(f), we get$$ \begin{aligned} I(f) & \doteq \int_a^b p_2(x) d x \ &=\int_a^b\left[\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)} f(a)+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} f(c)+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} f(b)\right] d x \end{aligned} $$This integral can be evaluated directly, but it is easier to first introduce h=(b-a) / 2 and then to change the variable of integration. We will evaluate the first term to illustrate the general procedure. Let u=x-a. Then$$ \begin{aligned} \int_a^b \frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)} d x &=\frac{1}{2 h^2} \int_a^{a+2 h}(x-c)(x-b) d x \ &=\frac{1}{2 h^2} \int_0^{2 h}(u-h)(u-2 h) d u \ &=\frac{1}{2 h^2}\left[\frac{u^3}{3}-\frac{3}{2} u^2 h+2 h^2 u\right]_0^{2 h}=\frac{h}{3} \end{aligned} $$## 高等线性代数代写 ## 数学代写|线性代数代写线性代数代考|THE梯形和辛普森规则 大多数逼近$$ I(f)=\int_a^b f(x) d x $$的想法背后的中心思想是用一个可以求积分的逼近函数来代替f(x)。在本节中，我们将介绍基于使用线性插值和二次插值的方法。 通过线性多项式$$ P_1(x)=\frac{(b-x) f(a)+(x-a) f(b)}{b-a} $$近似f(x)，它在a和b处插值f(x)(见图7.1)。P_1(x)除以[a, b]的积分是图7.1所示阴影梯形的面积;$$ T_1(f)=(b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right] $$这近似于I(f)的积分，如果f(x)在[a, b]上几乎是线性的 当f(x)在[a, b]上不是一个近似线性函数时，为了改进(7.4)中的近似T_1(f)，将区间[a, b]分解为更小的子区间，并对每个子区间应用(7.4)。如果子区间足够小，那么f(x)在每个子区间上几乎都是线性的。这个想法在图7.2中得到了说明 ## 数学代写|线性代数代写线性代数代考|辛普森法则 为了改进(7.4)中的T_1(f)，使用二次插值在[a, b]上近似f(x)。设P_2(x)是在a, c=$$(a+b) / 2和$b$处插值$f(x)$的二次多项式。用它来近似$I(f)$，我们得到
\begin{aligned} I(f) & \doteq \int_a^b p_2(x) d x \ &=\int_a^b\left[\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)} f(a)+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} f(c)+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} f(b)\right] d x \end{aligned}

\begin{aligned} \int_a^b \frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)} d x &=\frac{1}{2 h^2} \int_a^{a+2 h}(x-c)(x-b) d x \ &=\frac{1}{2 h^2} \int_0^{2 h}(u-h)(u-2 h) d u \ &=\frac{1}{2 h^2}\left[\frac{u^3}{3}-\frac{3}{2} u^2 h+2 h^2 u\right]_0^{2 h}=\frac{h}{3} \end{aligned}

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|THE TAYLOR POLYNOMIAL

Most functions $f(x)$ that occur in mathematics cannot be evaluated exactly in any simple way. For example, consider evaluating $f(x)=\cos (x), e^x$, or $\sqrt{x}$, without using a calculator or computer. To evaluate such expressions, we use functions $\hat{f}(x)$ which are almost equal to $f(x)$ and are easier to evaluate. The most common class of approximating functions $\hat{f}(x)$ are the polynomials. They are easy to work with and they are usually an efficient means of approximating $f(x)$. Among polynomials, the most widely used is the Taylor polynomial. There are other more efficient approximating polynomials, and we study some of them in Chapter 6 . But the Taylor polynomial is comparatively easy to construct, and it is often a first step in obtaining more efficient approximations. The Taylor polynomial is also important in several other areas of mathematics.

Let $f(x)$ denote a given function, for example, $e^x$ or $\log (x)$. The Taylor polynomial is constructed to mimic the behavior of $f(x)$ at some point $x=a$. As a result, it will be nearly equal to $f(x)$ at points $x$ near to $a$.
To be more specific, find a linear polynomial $p_1(x)$ for which
\begin{aligned} &p_1(a)=f(a) \ &p_1^{\prime}(a)=f^{\prime}(a) \end{aligned}
Then, it is easy to verify that the polynomial is uniquely given by
$$p_1(x)=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)$$
The graph of $y=p_1(x)$ is tangent to that of $y=f(x)$ at $x=a$.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|THE ERROR IN TAYLOR’S POLYNOMIAL

To make practical use of the Taylor polynomial approximation to $f(x)$, we need to know its accuracy. The following theorem gives the main way of estimating this accuracy. We present it without proof, since it is given in most calculus texts.
(Taylor’s Remainder) Assume that $f(x)$ has $n+1$ continuous derivatives on an interval $\alpha \leq x \leq \beta$, and let the point $a$ belong to that interval. For the Taylor polynomial

$p_n(x)$ of (1.6), let $R_n(x) \equiv f(x)-p_n(x)$ denote the remainder in approximating $f(x)$ by $p_n(x)$. Then,
$$R_n(x)=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1) !} f^{(n+1)}\left(c_x\right), \quad \alpha \leq x \leq \beta$$
with $c_x$ an unknown point between $a$ and $x$.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|THE TAYLOR POLYNOMIAL

$$p_1(a)=f(a) \quad p_1^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)$$

$$p_1(x)=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)$$

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|THE ERROR IN TAYLOR’S POLYNOMIAL

(泰勒余数) 假设 $f(x)$ 有 $n+1$ 区间上的连续导数 $\alpha \leq x \leq \beta$, 并让点 $a$ 属于那个区间。对于泰勒多项式
$p_n(x)$ 的 (1.6)，让 $R_n(x) \equiv f(x)-p_n(x)$ 表示近似中的余数 $f(x)$ 经过 $p_n(x)$. 然后，
$$R_n(x)=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1) !} f^{(n+1)}\left(c_x\right), \quad \alpha \leq x \leq \beta$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。