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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Timoshenko Frame Element Based on RIE

Since the element stiffness matrix of the RIE is the same as the CIE, the element stiffness matrix in the global coordinates as given in Eq. (6.3.18) is valid for the frame element based on the RIE. The contributions of the axial and transverse distributed forces to the nodes are given by
$$
\bar{f}_i^e=\int_0^{h_e} f(\bar{x}) \psi_i^e(\bar{x}) d \bar{x}, \quad \bar{q}_i^e=\int_0^{h_e} q(\bar{x}) \psi_i^e(\bar{x}) d \bar{x}
$$
where $\psi_i^e$ are the linear interpolation functions. Then the element force vector for the RIE frame element is given by
$$
\mathbf{F}^e=\left{\begin{array}{c}
\bar{F}_1^c \cos \alpha_c-\bar{F}_2^c \sin \alpha_c \
\bar{F}_1^e \sin \alpha_c+\bar{F}_2^e \cos \alpha_c \
\bar{F}_3^c \
\bar{F}_4^e \cos \alpha_c-\bar{F}_5^e \sin \alpha_c \
\bar{F}_4^e \sin \alpha_e+\bar{F}_5^e \cos \alpha_c \
\bar{F}_6^c
\end{array}\right}, \quad\left{\begin{array}{c}
\bar{F}_1^c \
\bar{F}_2^c \
\bar{F}_3^c \
\bar{F}_4^e \
\bar{F}_5^e \
\bar{F}_6^e
\end{array}\right}=\left{\begin{array}{c}
\bar{f}_1^e \
\bar{q}_1^c \
0 \
\bar{f}_2^e \
\bar{q}_2^e \
0
\end{array}\right}+\left{\begin{array}{c}
\bar{Q}_1^c \
\bar{Q}_2^e \
\bar{Q}_3^e \
\bar{Q}_4^e \
\bar{Q}_5^e \
\bar{Q}_6^e
\end{array}\right}
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Lagrange Multiplier Method

In the Lagrange multiplier method the problem is reformulated as one of
determining the stationary (or critical) points of the modified function $F_L$ ( $x$, $y)$
$$
F_L(x, y)=f(x, y)+\lambda G(x, y)
$$
subject to no constraints. Here $\lambda$ (a number) denotes the Lagrange multiplier. The solution to the problem is obtained by setting partial derivatives of $F_L$ with respect to $x, y$, and $\lambda$ to zero:
$$
\begin{array}{r}
\frac{\partial F_L}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial G}{\partial x}=0 \
\frac{\partial F_L}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial G}{\partial y}=0 \
\frac{\partial F_L}{\partial \lambda}=G(x, y)=0
\end{array}
$$
Thus, there are three equations in three unknowns $(x, y, \lambda)$. In the Lagrange multiplier method a new variable, Lagrange multiplier, is introduced with each constraint equation.

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Timoshenko Frame Element Based on RIE

由于RIE的单元刚度矩阵与CIE相同，因此对于基于RIE的框架单元，全局坐标下的单元刚度矩阵如式(6.3.18)所示有效。轴向和横向分布力对节点的贡献由式给出
$$
\bar{f}_i^e=\int_0^{h_e} f(\bar{x}) \psi_i^e(\bar{x}) d \bar{x}, \quad \bar{q}_i^e=\int_0^{h_e} q(\bar{x}) \psi_i^e(\bar{x}) d \bar{x}
$$
其中$\psi_i^e$为线性插值函数。则RIE框架单元的单元力矢量为
$$
\mathbf{F}^e=\left{\begin{array}{c}
\bar{F}_1^c \cos \alpha_c-\bar{F}_2^c \sin \alpha_c \
\bar{F}_1^e \sin \alpha_c+\bar{F}_2^e \cos \alpha_c \
\bar{F}_3^c \
\bar{F}_4^e \cos \alpha_c-\bar{F}_5^e \sin \alpha_c \
\bar{F}_4^e \sin \alpha_e+\bar{F}_5^e \cos \alpha_c \
\bar{F}_6^c
\end{array}\right}, \quad\left{\begin{array}{c}
\bar{F}_1^c \
\bar{F}_2^c \
\bar{F}_3^c \
\bar{F}_4^e \
\bar{F}_5^e \
\bar{F}_6^e
\end{array}\right}=\left{\begin{array}{c}
\bar{f}_1^e \
\bar{q}_1^c \
0 \
\bar{f}_2^e \
\bar{q}_2^e \
0
\end{array}\right}+\left{\begin{array}{c}
\bar{Q}_1^c \
\bar{Q}_2^e \
\bar{Q}_3^e \
\bar{Q}_4^e \
\bar{Q}_5^e \
\bar{Q}_6^e
\end{array}\right}
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Lagrange Multiplier Method

在拉格朗日乘数法中，问题被重新表述为
确定修正函数的平稳(或临界)点$F_L$ ($x$, $y)$)
$$
F_L(x, y)=f(x, y)+\lambda G(x, y)
$$
不受任何限制。这里$\lambda$(一个数字)表示拉格朗日乘子。设$F_L$对$x, y$的偏导数，令$\lambda$为零，即可得到问题的解:
$$
\begin{array}{r}
\frac{\partial F_L}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial G}{\partial x}=0 \
\frac{\partial F_L}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial G}{\partial y}=0 \
\frac{\partial F_L}{\partial \lambda}=G(x, y)=0
\end{array}
$$
因此，在三个未知数中有三个方程$(x, y, \lambda)$。在拉格朗日乘数法中，在每个约束方程中引入一个新的变量拉格朗日乘数。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Weak Forms

Let $w_h^e$ and $\phi_x^e$ denote the finite element approximations of $w$ and $\phi_x$, respectively, on a typical finite element $\Omega^e=\left(x_a^e, x_b^e\right)$. Substitution of $w_h^e$ and $\phi_x^e$ for $w$ and $\phi_x$, respectively, into Eqs. (5.3.5a) and (5.3.5b) give two residual functions. The weighted integrals of these two residuals over an element $\Omega^e$ are used to develop the weak forms, as was already discussed in Example 2.4.3. Suppose that $\left{v_{1 i}^e\right}$ and $\left{v_{2 i}^e\right}$ are the independent sets of weight functions used for the two equations. The physical meaning of these functions will be clear after completing the steps of the weak-form development. At the end of the second step of the three-step procedure (i.e., after integration by parts), we obtain
$$
\begin{aligned}
0= & \int_{x_a^e}^{x_b^e}\left[G_e A_e K_s \frac{d v_{1 i}^e}{d x}\left(\phi_x^e+\frac{d w_h^e}{d x}\right)+k_f^e v_{1 i}^e w_h^e-v_{1 i}^e q_e\right] d x \
& -\left[v_{1 i}^e G_e A_e K_{\mathrm{s}}\left(\phi_x^e+\frac{d w_h^e}{d x}\right)\right]{x_a^e}^{x_b^e} \ 0= & \int{x_a^e}^{x_b^e}\left[E_e I_e \frac{d v_{2 i}^e}{d x} \frac{d \phi_x^e}{d x}+G_e A_e K_s v_{2 i}^e\left(\phi_x^e+\frac{d w_h^e}{d x}\right)\right] d x \
& -\left[v_{2 i}^e E_e I_e \frac{d \phi_h^e}{d x}\right]{x_a^e}^{x_b^e} \end{aligned} $$ The coefficients of the weight functions $v{1 i}^e$ and $v_{2 i}^e$ in the boundary expressions are
$$
G_e A_e K_s\left(\phi_x^e+\frac{d w_h^e}{d x}\right) \equiv V_h^e \quad \text { and } \quad E_e I_e \frac{d \phi_x^e}{d x} \equiv M_h^e
$$

where $V_{h h}^e$ is the shear force and $M_h^e$ is the bending moment. Therefore, $\left(V_{h^{\prime}}^e M_h^e\right)^h$ constitute the secondary variables dual to the primary variables $\left(w_h^e, \phi_x^e\right)$ of the weak forms. Thus, the duality pairs of primary and secondary variables are
$$
\left(w_h^e, V_h^e\right) \text { and }\left(\phi_x^e, M_h^e\right)
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|General Finite Element Model

A close examination of the terms in the weak forms, Eqs. (5.3.9a) and (5.3.9b), shows that only the first derivatives of $w_h^e$ and $\phi_x^e$ appear, requiring at least linear approximation of $w_h^e$ and $\phi_x^e$. Also, since the list of primary variables contain only the functions $w_h^e$ and $\phi_x^e$ and not their derivatives, the
Lagrange interpolation of $w_h^e$ and $\phi_x^e$ is admissible. Therefore, the Lagrange interpolation functions derived in Chapter 3 can be used. In general, $w_h^e$ and $\phi_x^e$ can be interpolated using different degree polynomials. In fact, the definition of shear strain $\gamma_{x z}^e=\phi_x^e+d w_h^e / d x$ suggests that $w_h$ should be represented by a polynomial of one degree higher than that used to represent $\phi_x^e$
Let us consider Lagrange approximation of $w$ and $\phi$ over an element $\Omega^e=\left(x_a^e, x_b^e\right)$ in the form
$$
w \approx w_h^e=\sum_{j=1}^m w_j^e \psi_j^{(1)}, \quad \phi_x \approx \phi_x^e=\sum_{j=1}^n S_j^e \psi_j^{(2)}
$$
where $\psi_j^{(1)}$ and $\psi_j^{(2)}$ are the Lagrange interpolation functions of degree $m-1$ and $n-1$, respectively. From the discussion above, it is advisable to use $m=$ $n+1$ for consistency of representing the variables $w$ and $\phi_x$.

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Weak Forms

设$w_h^e$和$\phi_x^e$分别表示典型有限元$\Omega^e=\left(x_a^e, x_b^e\right)$上的$w$和$\phi_x$的有限元近似。将$w_h^e$和$\phi_x^e$分别替换为$w$和$\phi_x$。(5.3.5a)和式5.3.5b给出了两个残差函数。这两个残差在一个元素$\Omega^e$上的加权积分被用来发展弱形式，在例2.4.3中已经讨论过了。假设$\left{v_{1 i}^e\right}$和$\left{v_{2 i}^e\right}$是两个方程所使用的独立权函数集。在完成弱形式开发的步骤后，这些函数的物理含义将会清晰。在三步过程的第二步结束时(即分部积分后)，我们得到
$$
\begin{aligned}
0= & \int_{x_a^e}^{x_b^e}\left[G_e A_e K_s \frac{d v_{1 i}^e}{d x}\left(\phi_x^e+\frac{d w_h^e}{d x}\right)+k_f^e v_{1 i}^e w_h^e-v_{1 i}^e q_e\right] d x \
& -\left[v_{1 i}^e G_e A_e K_{\mathrm{s}}\left(\phi_x^e+\frac{d w_h^e}{d x}\right)\right]{x_a^e}^{x_b^e} \ 0= & \int{x_a^e}^{x_b^e}\left[E_e I_e \frac{d v_{2 i}^e}{d x} \frac{d \phi_x^e}{d x}+G_e A_e K_s v_{2 i}^e\left(\phi_x^e+\frac{d w_h^e}{d x}\right)\right] d x \
& -\left[v_{2 i}^e E_e I_e \frac{d \phi_h^e}{d x}\right]{x_a^e}^{x_b^e} \end{aligned} $$边界表达式中权函数$v{1 i}^e$和$v_{2 i}^e$的系数分别为
$$
G_e A_e K_s\left(\phi_x^e+\frac{d w_h^e}{d x}\right) \equiv V_h^e \quad \text { and } \quad E_e I_e \frac{d \phi_x^e}{d x} \equiv M_h^e
$$

式中$V_{h h}^e$为剪力，$M_h^e$为弯矩。因此，$\left(V_{h^{\prime}}^e M_h^e\right)^h$构成次级变量对偶于主变量$\left(w_h^e, \phi_x^e\right)$的弱形式。因此，主变量和次变量的对偶对为
$$
\left(w_h^e, V_h^e\right) \text { and }\left(\phi_x^e, M_h^e\right)
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|General Finite Element Model

仔细研究弱形式的术语，方程。(5.3.9a)和(5.3.9b)表明，只出现$w_h^e$和$\phi_x^e$的一阶导数，至少需要对$w_h^e$和$\phi_x^e$进行线性逼近。此外，由于主要变量列表只包含函数$w_h^e$和$\phi_x^e$，而不包含它们的导数，因此
拉格朗日插值$w_h^e$和$\phi_x^e$是允许的。因此，可以使用第3章导出的拉格朗日插值函数。一般来说，$w_h^e$和$\phi_x^e$可以使用不同程度的多项式插值。事实上，根据剪切应变$\gamma_{x z}^e=\phi_x^e+d w_h^e / d x$的定义，$w_h$应该用比$\phi_x^e$高一度的多项式来表示
让我们考虑元素$\Omega^e=\left(x_a^e, x_b^e\right)$上的$w$和$\phi$的拉格朗日近似，形式如下
$$
w \approx w_h^e=\sum_{j=1}^m w_j^e \psi_j^{(1)}, \quad \phi_x \approx \phi_x^e=\sum_{j=1}^n S_j^e \psi_j^{(2)}
$$
其中$\psi_j^{(1)}$和$\psi_j^{(2)}$分别为次为$m-1$和$n-1$的拉格朗日插值函数。从上面的讨论来看，为了表示变量$w$和$\phi_x$的一致性，建议使用$m=$$n+1$。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Discretization of the Domain

The domain $\Omega=(0, L)$ of the straight beam shown in Fig. 5.2.3(a) is divided into a set of, say, $N$ line elements, a typical element being $\Omega^e=\left(x_a^e, x_b^e\right)$, as indicated in Fig. 5.2.3(b). Although the element is geometrically the same as that used for bars, the number and form of the primary and secondary unknowns at each end point, which constitutes a node, are dictated by the weak formulation of the differential equation, (5.2.10). We isolate a typical element $\Omega^e=\left(x_a^e, x_b^e\right)$ and construct the weak form of Eq. (5.2.10) over the element. The weak form provides the form of the primary and secondary variables of the problem. The primary variables are kinematic quantities that are required to be continuous throughout the domain, while the secondary variables are kinetic entities that are required to satisfy equilibrium conditions. When the secondary variables are physically not meaningful, the integration-by-parts step that yields them should not be carried out.
The weak forms of problems in solid mechanics can be developed either from the principle of virtual work (i.e., the principle of virtual displacements or virtual forces) or from the governing differential equations. Here we start with the given differential equation, Eq. (5.2.10), and using the three-step procedure obtain the weak form. We shall also consider the principle of virtual work in the sequel.
Suppose that $w_h^e$ is the finite element approximation of $w$ and let $v_i^e$ be a weight function over the element $\Omega^e=\left(x_a^e, x_b^e\right)$. Following the three-step procedure illustrated in Example 2.4.2, we write
$$
\begin{aligned}
0= & \int_{x_a^e}^{x_b^e} v_i^e\left[\frac{d^2}{d x^2}\left(E_e I_e \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}\right)+k_f^e w_h^e-q_e\right] d x \
= & \int_{x_a^e}^{x_b^e}\left[-\frac{d v_i^e}{d x} \frac{d}{d x}\left(E_e I_e \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}\right)+k_f^e v_i^e w_h^e-v_i^e q_e\right] d x+\left[v_i^e \frac{d}{d x}\left(E_e I_e \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}\right)\right]{x_a^e}^{x_b^e} \ = & \int{x_a^e}^{x_b^e}\left(E_e I_e \frac{d^2 v_i^e}{d x^2} \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}+k_f^e v_i^e w_h^e-v_i^e q_e\right) d x \
& +\left[v_i^e \frac{d}{d x}\left(E_e I_e \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}\right)-\frac{d v_i^e}{d x}\left(E_e I_e \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}\right)\right]_{x_a^e}^{x_b^e}
\end{aligned}
$$
where $\left{v_i^e(x)\right}$ is a set of weight functions that are twice differentiable with respect to $x$. Note that, in the present case, the first term of the equation is integrated twice by parts to trade two differentiations to the weight function $v_i^e$, while retaining two derivatives of the dependent variable, $w_l^e$; that is, the differentiation is distributed equally between the weight function $v_i^e$ and the transverse deflection $w_h^e$. Because of the two integrations by parts, there appear two boundary expressions, which are to be evaluated at the two boundary points $x=x_a^e$ and $x=x_b^e$. Examination of the boundary terms indicates that the bending moment $M_h^e=-E_e I_e d^2 w_h^e / d x^2$ and shear force $V_h^e=-(d / d x)\left(E_e I_e d^2 w_h^e / d x^2\right)$ are the secondary variables and $\left(v_i^e \sim\right) w_h^e$ and slope $\left(d v_i^e / d x \sim\right) d w_h^e / d x$ are the primary variables. Thus, the weak form indicates that the boundary conditions for the EBT involve specifying one element of each of the following two pairs:
$$
\left(w, V=\frac{d M}{d x}\right), \quad\left(\theta_x \equiv-\frac{d w}{d x}, M\right)
$$
Mixed boundary conditions involve specifying a relationship between the variables of each pair:
Vertical spring: $V+k_s w=0 ; \quad$ Torsional spring: $M+\mu_s \theta_x=0$
where $k_{\mathrm{s}}$ and $\mu_{\mathrm{s}}$ are the stiffness coefficients of linear and torsional springs, respectively.

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Approximation Functions

The weak form in Eq. (5.2.13) requires that the approximation $w_h^e(x)$ of $w(x)$ over a finite element should be such that it is twice-differentiable and satisfies the interpolation properties; that is, satisfies the following geometric “boundary conditions” of the element, as illustrated in Fig. 5.2.4:
$$
w_h^e\left(x_a\right) \equiv \Delta_1^e, \quad w_h^e\left(x_b^e\right) \equiv \Delta_3^e, \quad \theta_x^e\left(x_a^e\right) \equiv \Delta_2^e, \quad \theta_x^e\left(x_b^e\right) \equiv \Delta_4^e
$$
Note that $x_a^e$ and $x_b^e$ are the global coordinates of nodes 1 and 2, respectively. In satisfying the essential (or geometric) boundary conditions in Eq. (5.2.16), the approximation automatically satisfies the continuity conditions. Hence, we pay attention to the satisfaction of the conditions in Eq. (5.2.16), which forms the basis for the derivation of the interpolation functions of the EulerBernoulli beam element.
Since the approximation functions to be derived are valid over the element domain, it is simpler to derive them in terms of the local coordinate $\bar{x}$ with origin at node $1, \bar{x}=x-x_a^e$ Since there are a total of four conditions in an element (two per node), a four-parameter polynomial must be selected for $w_h^e$ :
$$
w(\bar{x}) \approx w_h^e(\bar{x})=c_1^e+c_2^e \bar{x}+c_3^e \bar{x}^2+c_4^e \bar{x}^3
$$
Note that the minimum continuity requirement (i.e., the existence of a nonzero second derivative of $w_h^e$ in the element) is automatically met. In addition, the cubic approximation of $w_h$ allows computation of the shear force, which involves the third derivative of $w_h^e$. Next, we express $c_i^e$ in terms of the primary nodal variables
$$
\Delta_1^e=w_h^e(0), \quad \Delta_2^e=-\left.\frac{d w_h^e}{d \bar{x}}\right|{\bar{x}=0}, \Delta_3^e=w_h^e\left(h_e\right), \Delta_4^e=-\left.\frac{d w_h^e}{d \bar{x}}\right|{\bar{x}=h_e}
$$
such that the conditions (5.2.16) are satisfied:
$$
\begin{aligned}
& \Delta_1^e=w_h^e(0) \quad=c_1^e \
& \Delta_2^e=-\left.\frac{d w_h}{d x}\right|{x=x_a}=-\left.\frac{d w_h^e}{d \bar{x}}\right|{\dot{x}=0}=-c_2^e \
& \Delta_3^e=w_h^e\left(h_e\right)=c_1^e+c_2^e h_e+c_3^e h_e^2+c_4^e h_e^3 \
& \Delta_4^e=-\left.\frac{d w_h^e}{d x}\right|{x=x_b}=-\left.\frac{d w_h^e}{d \bar{x}}\right|{\bar{x}=h_e}=-c_2^e-2 c_3^e h_e-3 c_4^e h_e^2
\end{aligned}
$$

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Discretization of the Domain

如图5.2.3(a)所示的直梁域$\Omega=(0, L)$被划分为一组线元，例如$N$，其中典型的线元为$\Omega^e=\left(x_a^e, x_b^e\right)$，如图5.2.3(b)所示。尽管该元素在几何上与用于杆的元素相同，但构成节点的每个端点的主要未知数和次要未知数的数量和形式由微分方程的弱公式(5.2.10)决定。我们分离出一个典型元素$\Omega^e=\left(x_a^e, x_b^e\right)$，并在该元素上构造弱形式的式(5.2.10)。弱形式提供了问题的主要变量和次要变量的形式。主要变量是需要在整个域中连续的运动学量，而次要变量是需要满足平衡条件的动力学实体。当次要变量在物理上没有意义时，就不应该执行产生次要变量的分项集成步骤。
固体力学中的弱形式问题可以从虚功原理(即虚位移或虚力原理)或控制微分方程中推导出来。这里我们从给定的微分方程Eq.(5.2.10)开始，使用三步法得到弱形式。我们还将在续篇中考虑虚功原理。
假设$w_h^e$是$w$的有限元近似，而$v_i^e$是元素$\Omega^e=\left(x_a^e, x_b^e\right)$上的一个权函数。按照例2.4.2所示的三步过程，我们编写
$$
\begin{aligned}
0= & \int_{x_a^e}^{x_b^e} v_i^e\left[\frac{d^2}{d x^2}\left(E_e I_e \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}\right)+k_f^e w_h^e-q_e\right] d x \
= & \int_{x_a^e}^{x_b^e}\left[-\frac{d v_i^e}{d x} \frac{d}{d x}\left(E_e I_e \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}\right)+k_f^e v_i^e w_h^e-v_i^e q_e\right] d x+\left[v_i^e \frac{d}{d x}\left(E_e I_e \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}\right)\right]{x_a^e}^{x_b^e} \ = & \int{x_a^e}^{x_b^e}\left(E_e I_e \frac{d^2 v_i^e}{d x^2} \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}+k_f^e v_i^e w_h^e-v_i^e q_e\right) d x \
& +\left[v_i^e \frac{d}{d x}\left(E_e I_e \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}\right)-\frac{d v_i^e}{d x}\left(E_e I_e \frac{d^2 w_h^e}{d x^2}\right)\right]{x_a^e}^{x_b^e} \end{aligned} $$ 其中$\left{v_i^e(x)\right}$是一组对$x$二阶可微的权函数。请注意，在本例中，方程的第一项通过分部积分两次，以对权重函数$v_i^e$进行两次微分，同时保留因变量$w_l^e$的两次导数;即微分在权函数$v_i^e$和横向挠度$w_h^e$之间均匀分布。由于采用了两次分部积分法，出现了两个边界表达式，分别在两个边界点$x=x_a^e$和$x=x_b^e$处求值。对边界项的检验表明，弯矩$M_h^e=-E_e I_e d^2 w_h^e / d x^2$和剪力$V_h^e=-(d / d x)\left(E_e I_e d^2 w_h^e / d x^2\right)$是次变量，$\left(v_i^e \sim\right) w_h^e$和斜率$\left(d v_i^e / d x \sim\right) d w_h^e / d x$是主变量。因此，弱形式表明EBT的边界条件涉及指定以下两对中的每一对的一个元素: $$ \left(w, V=\frac{d M}{d x}\right), \quad\left(\theta_x \equiv-\frac{d w}{d x}, M\right) $$ 混合边界条件包括指定每对变量之间的关系: 垂直弹簧:$V+k_s w=0 ; \quad$扭转弹簧:$M+\mu_s \theta_x=0$ 其中$k{\mathrm{s}}$和$\mu_{\mathrm{s}}$分别为线性弹簧和扭转弹簧的刚度系数。

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Approximation Functions

(5.2.13)式中的弱形式要求$w(x)$在有限元上的近似$w_h^e(x)$是二次可微的，并满足插值性质;即满足单元的几何“边界条件”，如图5.2.4所示:
$$
w_h^e\left(x_a\right) \equiv \Delta_1^e, \quad w_h^e\left(x_b^e\right) \equiv \Delta_3^e, \quad \theta_x^e\left(x_a^e\right) \equiv \Delta_2^e, \quad \theta_x^e\left(x_b^e\right) \equiv \Delta_4^e
$$
请注意，$x_a^e$和$x_b^e$分别是节点1和节点2的全局坐标。在满足式(5.2.16)中的基本(或几何)边界条件时，近似自动满足连续性条件。因此，我们要注意满足式(5.2.16)中的条件，这是推导欧拉伯努利梁单元插值函数的基础。
由于要推导的近似函数在元素域上是有效的，因此用原点在节点$1, \bar{x}=x-x_a^e$的局部坐标$\bar{x}$来推导它们更简单。因为一个元素总共有四个条件(每个节点两个)，因此必须为$w_h^e$选择一个四参数多项式:
$$
w(\bar{x}) \approx w_h^e(\bar{x})=c_1^e+c_2^e \bar{x}+c_3^e \bar{x}^2+c_4^e \bar{x}^3
$$
注意，最小连续性要求(即，元素中存在一个$w_h^e$的非零二阶导数)是自动满足的。此外，$w_h$的三次近似允许计算剪切力，这涉及到$w_h^e$的三阶导数。接下来，我们用主节点变量表示$c_i^e$
$$
\Delta_1^e=w_h^e(0), \quad \Delta_2^e=-\left.\frac{d w_h^e}{d \bar{x}}\right|{\bar{x}=0}, \Delta_3^e=w_h^e\left(h_e\right), \Delta_4^e=-\left.\frac{d w_h^e}{d \bar{x}}\right|{\bar{x}=h_e}
$$
使条件(5.2.16)得到满足:
$$
\begin{aligned}
& \Delta_1^e=w_h^e(0) \quad=c_1^e \
& \Delta_2^e=-\left.\frac{d w_h}{d x}\right|{x=x_a}=-\left.\frac{d w_h^e}{d \bar{x}}\right|{\dot{x}=0}=-c_2^e \
& \Delta_3^e=w_h^e\left(h_e\right)=c_1^e+c_2^e h_e+c_3^e h_e^2+c_4^e h_e^3 \
& \Delta_4^e=-\left.\frac{d w_h^e}{d x}\right|{x=x_b}=-\left.\frac{d w_h^e}{d \bar{x}}\right|{\bar{x}=h_e}=-c_2^e-2 c_3^e h_e-3 c_4^e h_e^2
\end{aligned}
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Assembly of Element Equations

In deriving the element equations, we isolated a typical element from the mesh and formulated the weak form and developed its finite element model. The finite element model of a typical element contains $n$ equations among $n+$ 2 unknowns, $\left(u_1^e, u_2^e, \ldots, u_n^e\right)$ and $\left(Q_1^e, Q_n^e\right)$. Hence, they cannot be solved without using the equations from other elements. From a physical point of view, this makes sense because one should not be able to solve the element equations without considering the assembled set of equations and the boundary conditions of the total problem.
To obtain the finite element equations of the total problem, we must put the elements back into their original positions. In putting the elements with their nodal degrees of freedom back into their original positions, we must require that the primary variable $u(x)$ is uniquely defined (i.e., $u$ is continuous) and the source terms $Q_i^e$ are “balanced” at the points where elements are connected to each other. Of course, if the variable $u$ is not continuous, we do not impose its continuity; but in all problems studied in this book, unless otherwise stated explicitly (like in the case of an internal hinge in the case of beam bending), the primary variables are required to be continuous. Thus, the assembly of elements is carried out by imposing the following two conditions:

If the end node $i$ of element $\Omega^e$ is connected to the end node $j$ of element $\Omega^f$ and the end node $k$ of element $\Omega^g$, the continuity of the primary variable $u$ requires
$$
u_i^{(e)}=u_j^{(f)}=u_k^{(g)}
$$
When node $n$ of element $\Omega e$ is connected to node 1 of element $\Omega^{e+1}$ (with $m$ nodes) in series, as shown in Fig. 3.4.10a, the continuity of $u$ requires
$$
u_n^{(e)}=u_1^{(e+1)}
$$

For the same three elements, the balance of secondary variables at connecting nodes requires
$$
Q_i^{(e)}+Q_j^{(f)}+Q_k^{(g)}=Q_I
$$
where $I$ is the global node number assigned to the nodal point that is common to the three elements, and $Q_I$ is the value of externally applied source, if any (otherwise zero), at this node (the sign of $Q_I$ must be consistent with the sign of $Q_e$ in Fig. 3.4.4). For the case shown in Fig. 3.4.10, we have
$$
Q_n^e+Q_1^{e+1}= \begin{cases}0, & \text { if no external point source is applied } \ Q_l, & \text { if an external point source of magnitude } \ Q_l \text { is applied }\end{cases}
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Postprocessing of the Solution

The solution of the finite element equations in Eq. (3.4.59) gives the values of the primary variables (e.g., displacement, velocity, or temperature) at the global nodes. Once the nodal values of the primary variables are known, we can use the finite element approximation $u_h^e(x)$ to compute the desired quantities. The process of computing desired quantities in numerical form or graphical form from the known finite element solution is termed postprocessing; this phrase is meant to indicate that further computations are made after obtaining the solution of the finite element equations for the nodal values of the primary variables.
Postprocessing of the solution includes one or more of the following tasks:

1. Computation of the primary and secondary variables at points of interest; primary variables are known at nodal points.
2. Interpretation of the results to check whether the solution makes sense (an understanding of the physical process and experience are the guides when other solutions are not available for comparison).
3. Tabular and/or graphical presentation of the results.
   To determine the solution $u$ as a continuous function of position $x$, we return to the approximation in Eq. (3.4.28) over each element:
   $$
   u(x) \approx\left{\begin{array}{l}
   u_h^1(x)=\sum_{j=1}^n u_j^1 \psi_j^1(x) \
   u_h^2(x)=\sum_{j=1}^n u_j^2 \psi_j^2(x) \
   \vdots \
   u_h^N(x)=\sum_{j=1}^n u_j^N \psi_j^N(x)
   \end{array}\right.
   $$

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Assembly of Element Equations

在单元方程的推导中，我们从网格中分离出一个典型单元，建立其弱形式并建立其有限元模型。典型单元的有限元模型包含$n+$ 2未知数、$\left(u_1^e, u_2^e, \ldots, u_n^e\right)$和$\left(Q_1^e, Q_n^e\right)$之间的$n$方程。因此，如果不使用其他元素的方程，它们就无法求解。从物理的角度来看，这是有意义的，因为如果不考虑组合方程集和总问题的边界条件，就不应该能够求解元素方程。
为了得到总问题的有限元方程，我们必须把单元放回到它们原来的位置。在将具有节点自由度的元素放回其原始位置时，我们必须要求主变量$u(x)$是唯一定义的(即$u$是连续的)，并且源项$Q_i^e$在元素相互连接的点上是“平衡的”。当然，如果变量$u$不连续，我们不强制它的连续性;但在本书研究的所有问题中，除非另有明确说明(如梁弯曲情况下的内铰情况)，主变量必须是连续的。因此，元件的装配是通过施加以下两个条件来进行的:

如果元素$\Omega^e$的结束节点$i$与元素$\Omega^f$的结束节点$j$和元素$\Omega^g$的结束节点$k$相连，则要求主变量$u$具有连续性
$$
u_i^{(e)}=u_j^{(f)}=u_k^{(g)}
$$
如图3.4.10a所示，当元素$\Omega e$的节点$n$与元素$\Omega^{e+1}$的节点1串联(节点数为$m$)时，要求$u$具有连续性
$$
u_n^{(e)}=u_1^{(e+1)}
$$

对于相同的三个元素，连接节点的次要变量的平衡要求
$$
Q_i^{(e)}+Q_j^{(f)}+Q_k^{(g)}=Q_I
$$
其中$I$为分配给三个要素共有的节点点的全局节点号，$Q_I$为该节点处外源的值，如果有(否则为零)($Q_I$的符号必须与图3.4.4中$Q_e$的符号一致)。对于图3.4.10所示的情况，我们有
$$
Q_n^e+Q_1^{e+1}= \begin{cases}0, & \text { if no external point source is applied } \ Q_l, & \text { if an external point source of magnitude } \ Q_l \text { is applied }\end{cases}
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Postprocessing of the Solution

方程(3.4.59)中有限元方程的解给出了全局节点上的主要变量(例如，位移、速度或温度)的值。一旦知道了主要变量的节点值，我们就可以使用有限元近似$u_h^e(x)$来计算所需的数量。从已知的有限元解中以数值形式或图形形式计算所需数量的过程称为后处理;这句话的意思是在得到主要变量节点值的有限元方程解后进行进一步的计算。
解决方案的后处理包括以下一个或多个任务:

计算感兴趣点的主要和次要变量;主要变量在节点处已知。

解释结果以检查解决方案是否有意义(当其他解决方案无法进行比较时，对物理过程的理解和经验是指导)。

表格和/或图形显示结果。
为了确定解$u$是位置$x$的连续函数，我们回到公式(3.4.28)中对每个元素的近似:
$$
u(x) \approx\left{\begin{array}{l}
u_h^1(x)=\sum_{j=1}^n u_j^1 \psi_j^1(x) \
u_h^2(x)=\sum_{j=1}^n u_j^2 \psi_j^2(x) \
\vdots \
u_h^N(x)=\sum_{j=1}^n u_j^N \psi_j^N(x)
\end{array}\right.
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写有限元方法finite differences method 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。有限元方法finite differences method在数值分析中，是一类通过用有限差分逼近导数解决微分方程的数值技术。空间域和时间间隔（如果适用）都被离散化，或被分成有限的步骤，通过解决包含有限差分和附近点的数值的代数方程来逼近这些离散点的解的数值。

有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。

有限元方法finite differences method作业代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的有限元方法finite differences method作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于统计Statistics作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此有限元方法finite differences method作业代写的价格不固定。通常在经济学专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|One-Dimensional Heat Transfer

The direct approach can also be used to develop finite element models of one-dimensional heat transfer. The relations between temperatures and heats at the ends of a surface insulated solid bar or two surfaces of a plane wall can be developed using the basic principles of heat transfer. We have
$$
\begin{aligned}
\text { temperature gradient } & =\text { difference in temperature } / \text { length } \
\text { heat flux, } q & =\text { conductivity } \times(- \text { temperature gradient }) \
\text { heat, } Q & =\text { heat flux } \times \text { area of cross section }
\end{aligned}
$$
Then, if there is no internal heat generation and the temperature is assumed to vary linearly between the ends of the bar of length (or plane wall of thickness) $h_e$, cross-sectional area $A_e$, and conductivity $k_e$, the heats at the left and right ends of the bar are
$$
\begin{aligned}
& Q_1^e=A_e q_1^e=-A_e k_e \frac{T_2^e-T_1^e}{h_e}=\frac{A_e k_e}{h_e}\left(T_1^e-T_2^e\right) \
& Q_2^e=A_e q_2^e=-A_e k_e \frac{T_1^e-T_2^e}{h_e}=\frac{A_e k_e}{h_e}\left(T_2^e-T_1^e\right)
\end{aligned}
$$
Technically, both $Q_1^e$ and $Q_2^e$ are heat inputs. In matrix form, we have
$$
\frac{A_e k_e}{h_e}\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \
-1 & 1
\end{array}\right]\left{\begin{array}{l}
T_1^e \
T_2^e
\end{array}\right}=\left{\begin{array}{l}
Q_1^e \
Q_2^e
\end{array}\right}
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Model Boundary Value Problem

Consider the problem of finding the function $u(x)$ that satisfies the differential equation
$$
-\frac{d}{d x}\left(a \frac{d u}{d x}\right)+c u-f=0 \text { for } 0<x<L
$$
and the boundary conditions
$$
u(0)=u_0,\left.\quad\left(a \frac{d u}{d x}\right)\right|_{x=L}=Q_L
$$
where $a=a(x), c=c(x), f=f(x), u_0$, and $Q_L$ are known quantities, called the data of the problem. Equation (3.4.1) arises in connection with the analytical description of many physical processes. For example, conduction and convection heat transfer in the bar shown in Fig. 3.4.1(a), flow through channels and pipes, transverse deflection of cables, axial deformation of bars shown in Fig. 3.4.1(b), and many other physical processes are described by Eq. (3.4.1). A sample list of field problems described by Eq. (3.4.1) when $c(x)=0$ is presented in Table 3.4.1. Thus, if we can develop a numerical procedure by which Eq. (3.4.1) can be solved for all possible boundary conditions, the procedure can be used to solve all field problems listed in Table 3.4.1. This fact provides us with the motivation to use Eq. (3.4.1) as the model second-order equation in one dimension.

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|One-Dimensional Heat Transfer

直接方法也可用于建立一维传热的有限元模型。用传热的基本原理可以推导出表面绝缘的固体棒或平面壁面两端的温度和热量之间的关系。我们有
$$
\begin{aligned}
\text { temperature gradient } & =\text { difference in temperature } / \text { length } \
\text { heat flux, } q & =\text { conductivity } \times(- \text { temperature gradient }) \
\text { heat, } Q & =\text { heat flux } \times \text { area of cross section }
\end{aligned}
$$
然后，如果没有内部产生热量，假设温度在杆长(或平面壁厚)$h_e$，截面积$A_e$和电导率$k_e$的两端之间呈线性变化，则杆的左右两端的热量为
$$
\begin{aligned}
& Q_1^e=A_e q_1^e=-A_e k_e \frac{T_2^e-T_1^e}{h_e}=\frac{A_e k_e}{h_e}\left(T_1^e-T_2^e\right) \
& Q_2^e=A_e q_2^e=-A_e k_e \frac{T_1^e-T_2^e}{h_e}=\frac{A_e k_e}{h_e}\left(T_2^e-T_1^e\right)
\end{aligned}
$$
从技术上讲，$Q_1^e$和$Q_2^e$都是热输入。在矩阵形式中，我们有
$$
\frac{A_e k_e}{h_e}\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \
-1 & 1
\end{array}\right]\left{\begin{array}{l}
T_1^e \
T_2^e
\end{array}\right}=\left{\begin{array}{l}
Q_1^e \
Q_2^e
\end{array}\right}
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Model Boundary Value Problem

考虑寻找满足微分方程的函数$u(x)$的问题
$$
-\frac{d}{d x}\left(a \frac{d u}{d x}\right)+c u-f=0 \text { for } 0<x<L
$$
边界条件
$$
u(0)=u_0,\left.\quad\left(a \frac{d u}{d x}\right)\right|_{x=L}=Q_L
$$
其中$a=a(x), c=c(x), f=f(x), u_0$和$Q_L$为已知量，称为问题的数据。(3.4.1)式是与许多物理过程的解析性描述有关的。例如，图3.4.1(a)所示的棒体内部的传导和对流换热、通过通道和管道的流动、电缆的横向挠曲、图3.4.1(b)所示棒体的轴向变形等许多物理过程如式(3.4.1)所示。表3.4.1给出了在$c(x)=0$情况下由式(3.4.1)描述的现场问题示例列表。因此，如果我们可以开发一个数值过程，通过该过程可以对所有可能的边界条件求解式(3.4.1)，则该过程可用于求解表3.4.1中列出的所有现场问题。这一事实为我们提供了使用Eq.(3.4.1)作为一维模型二阶方程的动机。

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。

有限元方法finite differences method作业代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的有限元方法finite differences method作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于统计Statistics作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此有限元方法finite differences method作业代写的价格不固定。通常在经济学专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Derivation of Element Equations: Finite Element Model

In nature, all systems exhibit certain dualities in their behavior or response. For example, a force on a system induces displacement, while heat input to a system elevates its temperature. We call that force and displacements are dual to each other and heat and temperature are dual to each other. This is also referred to as the cause and effect. One element of the pair may be called the primary variable and the other the secondary variable; although the choice of the name given to each variable is arbitrary, the dualities are unique (i.e., if one element is dual to another element, these elements do not appear in other duality pairs again). In this book, we shall call the displacements as the primary variables and the corresponding forces as the secondary variables. Similarly, temperature will be labelled as the primary variable and heat as the secondary variable. Mathematical representations of the relationships between primary and secondary variables are in the form of algebraic, differential, or integral equations, and they are derived with the aid of the laws of physics and constitutive relations. The finite element method is a technique of developing algebraic relations among the nodal values of the primary and secondary variables.
In most cases, the relationships between primary and secondary variables are in the form of differential equations. The objective of any numerical method is to convert these relationships to algebraic form so that one can determine the system response (e.g., force or displacement) associated with a given input to the system. The algebraic relationships for a typical element of a system, called finite element equations or finite element model, can be derived directly (i.e., without going through the differential relationships), in some simple cases, using the underlying physical principles (see Section 3.3). In all continuous systems, the differential equations can be used to derive the algebraic relationships between the primary and secondary variables. In the next section, we shall discuss the derivations of the element equations for discrete systems by a direct or physical approach. Assembly of element equations, imposition of boundary conditions, and solution of algebraic equations for nodal unknowns are presented. In Section 3.4, we systematically develop, starting with a representative differential equation, finite element equations of continuous systems. The reader must have a good background in basic engineering subjects to understand the physical approach and appreciate the application of the general approach presented in Section 3.4 and in the subsequent chapters.

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Linear Elastic Spring

A linear elastic spring is a discrete element (i.e., not a continuum and not governed by a differential equation), as shown in Fig. 3.3.1(a). The loaddisplacement relationship of a linear elastic spring can be expressed as where $F$ is the force $(\mathrm{N})$ in the spring, $\delta$ is the elongation $(\mathrm{m})$ of the spring, and $k$ is a constant, known as the spring constant $(\mathrm{N} / \mathrm{m})$. The spring constant depends on the elastic modulus, area of cross section, and number of turns in the coil of the spring. Often a spring is used to characterize the elastic behavior of complex physical systems.
A relationship between the end forces $\left(F_1^e, F_2^e\right)$ and end displacements $\left(u_1^e, u_2^e\right)$ of a typical spring element $e$ shown in Fig. 3.3.1(b) can be developed with the help of the relation in Eq. (3.3.1). We note that all forces and displacements are taken positive to the right. The force $F_1^e$ at node 1 is (compressive and) equal to the spring constant multiplied by the relative displacement of node 1 with respect to node 2 , that is, $u_1^e-u_2^e$ :
$$
F_1^e=k_e\left(u_1^e-u_2^e\right)=k_e u_1^e-k_e u_2^e
$$
Similarly, the force at node 2 is (tensile and) equal to elongation $u_2^e-u_1^e$ multiplied by $k_e$ :
$$
F_2^e=k_e\left(u_2^e-u_1^e\right)=-k_e u_1^e+k_e u_2^e
$$
Note that the force equilibrium, $F_2^1+F_1^2+F_1^3$, is automatically satisfied by the above relations. These equations can be written in matrix form as
$$
k_e\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \
-1 & 1
\end{array}\right]\left{\begin{array}{l}
u_1^e \
u_2^e
\end{array}\right}=\left{\begin{array}{l}
F_1^e \
F_2^e
\end{array}\right} \text { or } \mathbf{K}^e \mathbf{u}^e=\mathbf{F}^e
$$
Equation (3.3.2) is applicable to any spring element whose forcedisplacement relation is linear. Thus a typical spring in a network of springs of different spring constants obeys Eq. (3.3.2). The coefficient matrix $\mathbf{K}^e$ is termed stiffness matrix, $\mathbf{u}^e$ is the vector of displacements, and $\mathbf{F}^e$ is the force vector. We note that Eq. (3.3.2) is valid for any linear elastic spring, and it represents a relationship between point forces and displacements along the length of the spring. The end points are called element nodes and $F_i^e$ and $u_i^e$ are the nodal force and displacement, respectively, of the ith node. We also note that a spring element can only take loads and experience displacements along its length. We consider an example of application of Eq. (3.3.2).

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Derivation of Element Equations: Finite Element Model

在自然界中，所有系统的行为或反应都表现出一定的二元性。例如，施加在系统上的力会引起位移，而输入系统的热量会提高系统的温度。我们称力和位移是对偶的，热量和温度也是对偶的。这也被称为因果关系。其中一个元素可称为主要变量，另一个元素可称为次要变量;尽管为每个变量选择的名称是任意的，但对偶性是唯一的(即，如果一个元素与另一个元素对偶，这些元素不会再次出现在其他对偶对中)。在本书中，我们把位移称为主要变量，把相应的力称为次要变量。同样，温度将被标记为主要变量，而热量将被标记为次要变量。主要变量和次要变量之间关系的数学表示形式是代数、微分或积分方程，它们是借助物理定律和本构关系推导出来的。有限元法是一种建立主变量和次变量节点值之间代数关系的方法。
在大多数情况下，主变量和次变量之间的关系是以微分方程的形式表示的。任何数值方法的目标都是将这些关系转换为代数形式，以便确定与系统给定输入相关的系统响应(例如，力或位移)。一个系统的典型元素的代数关系，称为有限元方程或有限元模型，可以直接推导(即，不经过微分关系)，在一些简单的情况下，使用基本的物理原理(见第3.3节)。在所有的连续系统中，微分方程都可以用来推导主次变量之间的代数关系。在下一节中，我们将讨论用直接方法或物理方法推导离散系统的单元方程。给出了单元方程的装配、边界条件的设置和节点未知数代数方程的求解。在3.4节中，我们从一个有代表性的微分方程开始，系统地发展连续系统的有限元方程。读者必须具备良好的基础工程学科背景，才能理解物理方法，并理解3.4节和后续章节中介绍的一般方法的应用。

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Linear Elastic Spring

线弹性弹簧是一种离散元素(即不是连续体，不受微分方程支配)，如图3.3.1(A)所示。线性弹性弹簧的载荷位移关系可以表示为:$F$为弹簧中的力$(\mathrm{N})$, $\delta$为弹簧的伸长率$(\mathrm{m})$, $k$为一个常数，称为弹簧常数$(\mathrm{N} / \mathrm{m})$。弹簧常数取决于弹性模量、横截面面积和弹簧线圈的匝数。通常用弹簧来描述复杂物理系统的弹性行为。
如图3.3.1(b)所示的典型弹簧元件$e$的端力$\left(F_1^e, F_2^e\right)$与端位移$\left(u_1^e, u_2^e\right)$之间的关系可以借助式(3.3.1)中的关系来建立。我们注意到，所有的力和位移都向右取正值。节点1处的力$F_1^e$(压缩和)等于弹簧常数乘以节点1相对于节点2的相对位移，即$u_1^e-u_2^e$:
$$
F_1^e=k_e\left(u_1^e-u_2^e\right)=k_e u_1^e-k_e u_2^e
$$
同样，节点2处的力(拉伸和)等于伸长率$u_2^e-u_1^e$乘以$k_e$:
$$
F_2^e=k_e\left(u_2^e-u_1^e\right)=-k_e u_1^e+k_e u_2^e
$$
注意，上述关系自动满足力平衡$F_2^1+F_1^2+F_1^3$。这些方程可以写成矩阵形式
$$
k_e\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \
-1 & 1
\end{array}\right]\left{\begin{array}{l}
u_1^e \
u_2^e
\end{array}\right}=\left{\begin{array}{l}
F_1^e \
F_2^e
\end{array}\right} \text { or } \mathbf{K}^e \mathbf{u}^e=\mathbf{F}^e
$$
式(3.3.2)适用于任何力-位移关系为线性的弹簧元件。因此，不同弹簧常数的弹簧网络中的典型弹簧符合式(3.3.2)。其中系数矩阵$\mathbf{K}^e$称为刚度矩阵，$\mathbf{u}^e$为位移矢量，$\mathbf{F}^e$为力矢量。我们注意到，式(3.3.2)对任何线性弹性弹簧都是有效的，它表示了点力与沿弹簧长度方向的位移之间的关系。端点称为单元节点，$F_i^e$和$u_i^e$分别为第i个节点的节点力和节点位移。我们还注意到，弹簧元件只能承受载荷并沿着其长度经历位移。我们考虑一个应用公式(3.3.2)的例子。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Preliminary Comments

Since this book is concerned with the finite element solutions of differential equations arising mostly in engineering, although the basic developments are also valid for problems in applied sciences, it is useful to review the governing equations, including the boundary conditions (but not the initial conditions) of a continuum occupying a closed bounded region $\Omega$ with boundary $\Gamma$ which serve as references in the coming chapters. Although sufficient background is given every time we consider a differential equation
or a problem for analysis, the summary of equations included in this section serves as a quick reference. The equations are summarized under three subject areas of engineering that will receive considerable attention in this book: heat transfer, fluid mechanics, and solid mechanics. Since the present exposure is only to summarize the equations, the readers may wish to consult books that contain detailed treatment of the subjects.

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Heat Transfer

The principle of conservation of energy applied to a solid medium yields
$$
\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t}-\boldsymbol{\nabla} \cdot(k \nabla T)=g
$$
where $\nabla$ is the del operator (see Section 2.2.1.3), $T$ is the temperature, $g$ is the rate of internal heat generation per unit volume, $k$ is the conductivity of the (isotropic) solid, $\rho$ is the density, and $c v$ is the specific heat at constant volume. The expanded form of Eq. (2.6.1) (for constant $\mathrm{k}$ ) in rectangular Cartesian system $(x, y, z)$ is given by
$$
\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t}-k\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right)=g
$$
In cylindrical coordinate system $(r, \theta, z)$, Eq.(2.6.1) takes the form
$$
\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t}-k\left[\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 T}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right]=g
$$
The second-order equations in Eqs. (2.6.1)-(2.6.3) are to be solved subjected to suitable boundary conditions. The boundary conditions involve specifying either the value of the temperature $T$ or balancing the heat flux normal to the boundary $q_n=\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{q}$ at a boundary point:
$$
T=\hat{T} \quad \text { or } \quad q_n+\beta\left(T-T_{\infty}\right)=\hat{q}
$$
where $\hat{T}$ and $\hat{q}$ denote the specified temperature and heat flux, respectively. Heat flux vector $\mathbf{q}$ is related to the gradient of temperature by Fourier’s heat conduction law (for the isotropic case)

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Preliminary Comments

由于本书关注的是主要在工程中出现的微分方程的有限元解，尽管基本的发展也适用于应用科学中的问题，但回顾控制方程是有用的，包括占据封闭有界区域$\Omega$的连续体的边界条件(但不是初始条件)，边界$\Gamma$作为未来章节的参考。尽管每次我们考虑微分方程时都会给出足够的背景知识
对于需要分析的问题，本节中包含的方程式摘要可以作为快速参考。这些方程总结在三个主题领域的工程，将收到相当大的关注，在这本书:传热，流体力学，和固体力学。由于目前的曝光只是总结方程式，读者可能希望查阅包含详细处理主题的书籍。

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Heat Transfer

能量守恒原理应用于固体介质产生
$$
\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t}-\boldsymbol{\nabla} \cdot(k \nabla T)=g
$$
其中$\nabla$为del算符(见2.2.1.3节)，$T$为温度，$g$为单位体积内产生热量的速率，$k$为(各向同性)固体的电导率，$\rho$为密度，$c v$为定容比热。公式(2.6.1)(对于常数$\mathrm{k}$)在直角笛卡尔系统$(x, y, z)$中的展开形式为
$$
\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t}-k\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right)=g
$$
在柱坐标系$(r, \theta, z)$中，式(2.6.1)为
$$
\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t}-k\left[\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 T}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right]=g
$$
方程中的二阶方程。(2.6.1)-(2.6.3)在适当的边界条件下求解。边界条件包括指定温度值$T$或在边界点处平衡法向边界$q_n=\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{q}$的热通量:
$$
T=\hat{T} \quad \text { or } \quad q_n+\beta\left(T-T_{\infty}\right)=\hat{q}
$$
其中$\hat{T}$和$\hat{q}$分别表示指定的温度和热流密度。热流矢量$\mathbf{q}$通过傅里叶热传导定律与温度梯度相关(对于各向同性情况)

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

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计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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