Posted on Categories:Applied Matrix Theory, 数学代写, 矩阵方法

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## 数学代写|矩阵方法代写Applied Matrix Theory代考|Discrete-Time Martingales

Let $\left{X_n\right}_{n \in \mathbb{N}}$ be a (discrete-time) stochastic process, $\left{\mathscr{F}n\right}{n \in \mathbb{N}}$ a filtration such that $X_n$ is $\mathscr{F}n$-measurable. Then we say that $\left{X_n\right}{n \in \mathbb{N}}$ is adapted to the filtration $\left{\mathscr{F}n\right}{n \in \mathbb{N}}$. This would, for example, be the case if $\mathscr{F}_n=\sigma\left(X_0, X_1, \ldots, X_n\right)$, i.e., the smallest $\sigma$-algebra that makes $X_0, \ldots, X_n$ measurable.

Definition 2.2.1. Let $\left{X_n\right}_{n \in \mathbb{N}}$ be an $\left{\mathscr{F}n\right}$-adapted stochastic process. Assume that $\mathbb{E}\left|X_n\right|<\infty$ for all $n \in \mathbb{N}$. Then we say that $\left{X_n\right}$ is (a) a submartingale if $$X_n \leq \mathbb{E}\left(X{n+1} \mid \mathscr{F}n\right) \quad \text { a.s. },$$ (b) a supermartingale if $$X_n \geq \mathbb{E}\left(X{n+1} \mid \mathscr{F}n\right) \quad \text { a.s. },$$ (c) a martingale if it is both a super- and a submartingale, i.e., $$X_n=\mathbb{E}\left(X{n+1} \mid \mathscr{F}n\right) \text { a.s. }$$ In case of ambiguity, we may explicitly specify the filtration to be used, for example by calling $\left{X_n\right}{n \in \mathbb{N}}$ an $\left{\mathscr{F}n\right}{n \in \mathbb{N}}$-martingale.

## 数学代写|矩阵方法代写Applied Matrix Theory代考|Uniformly Integrable Martingales

The optional stopping theorems can be significantly strengthened by assuming that the martingales involved are uniformly integrable.

Definition 2.2.22. We say that a sub- or supermartingale $\left{X_n\right}_{n \in \mathbb{N}}$ is bounded in $L^1$ if
$\sup n \mathbb{E}\left|X_n\right|<\infty .$ If furthermore, $$\sup _n \mathbb{E}\left(\left|X_n\right| 1\left{\left|X_n\right|>x\right}\right) \rightarrow 0 \text { as } x \rightarrow \infty \text {, }$$ then we say that $\left{X_n\right}$ is uniformly integrable. It is well known (Dunford-Pettis) that uniform integrability provides the strongest possible convergence criterion in the sense that if $X_n \rightarrow X{\infty}$ in probability, then
$X_n \rightarrow X_{\infty}$ in $L^1 \Longleftrightarrow\left{X_n\right}$ is uniformly integrable.
We recall that $X_n \rightarrow X_{\infty}$ in $L^p$ if $\mathbb{E}\left|X_n-X_{\infty}\right|^p \rightarrow 0$ for $n \rightarrow \infty$.

Since we now know that $L^1$ bounded submartingales or supermartingales converge a.s., it follows that uniformly integrable submartingales and supermartingales also converge in $L^1$. In fact, we may conclude that they converge in $L^1$ if and only if they are uniformly integrable, since both of these conditions imply the $L_1$ boundedness conditions of Theorem 2.2.20. We shall now identify uniformly integrable martingales.

## 数学代写矩阵方法代写Applied Matrix Theory代考|Discrete-Time Martingales

$$X_n \leq \mathbb{E}\left(X n+1 \mid \mathscr{F}n\right) \quad \text { a.s. },$$ (b) 上䜯, 如果 $$X_n \geq \mathbb{E}\left(X n+1 \mid \mathscr{F}_n\right) \quad \text { a.s. },$$ $$X_n=\mathbb{E}(X n+1 \mid \mathscr{F} n) \text { a.s. }$$ 如果有歧义，我们可以明确指定要使用的过滤，例如通过调用\left 的分隔符缺失或无法识别 \left 的分隔符缺失或无法识别

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。