Posted on Categories:Game theory , 博弈论, 经济代写

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## 经济代写|博弈论代考Game theory代写|The MONGE extension

Lemma $8.4$ says that there is a well-defined real-valued function $c \mapsto$ $v$ with the values
$$v=m^{\pi}(c) \quad \text { for any } \pi=i_{1} \ldots i_{n} \text { s.t. } c_{i_{1}} \geq \cdots \geq c_{i_{n}} .$$
The function $[v]: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R}$ is called the MONGE extension of the characteristic function $v: \mathcal{N} \rightarrow \mathbb{R}$.

To justify the terminology “extension”, consider a coalition $S \subseteq$ $N$ and its $(0,1)$-incidence vector $c^{(S)}$ with the component $c_{i}^{(S)}=1$ in the case $i \in S$.

An appropriate MONGE arrangement of the elements of $N$ first lists all 1-components and then all 0-components:
$$\pi=i_{1} \ldots i_{k} \ldots i_{n} \quad \text { s.t. } \quad c_{i_{1}}^{(S)} \ldots c_{i_{k}}^{(S)} \ldots c_{i_{n}}^{(S)}=11 \ldots 1100 \ldots 00 .$$
Hence we have $y_{S}^{\pi}=1$ and $y_{T}^{\pi}=0$ for $T \neq S$ and conclude
$$[v]\left(c^{(S)}\right)=v(S) \quad \text { for all } S \subseteq N,$$
which means that $\hat{v}$ and $v$ agree on (the incidence vectors of $\mathcal{N}$.

## 经济代写|博弈论代考Game theory代写|Linear programming aspects

Generalizing the approach to the notion of balancedness of Theorem 8.2, let us consider the linear program
$$\min {x \in \mathbb{R}^{N}} c^{T} x \text { s.t. } x(N)=v(N), x(S) \geq v(S) \text { if } S \neq N .$$ and its dual $$\max {y \in \mathbb{R}^{\mathcal{N}}} v^{T} y \text { s.t. } \sum_{S \ni i} y_{S} \leq c_{i} \forall i \in N, y_{S} \geq 0 \text { if } S \neq N .$$
for a given parameter vector $c \in \mathbb{R}^{N}$. Observe in the case
$$c_{i_{1}} \geq \ldots \ldots \geq c_{i_{n}}$$
that the dual MONGE vector $y^{\pi}$ relative to $c$ is a dually feasible solution since $y_{S}^{\pi} \geq 0$ holds for all $S \neq N$. The feasible primal solutions, on the other hand, are exactly the members of $\operatorname{core}(v)$.
Hence, if $\operatorname{core}(v) \neq \emptyset$, both linear programs have optimal solutions. Linear programming duality then further shows
$$\tilde{v}(c)=\min _{x \in \operatorname{Core}(v)} c^{T} x \geq v^{T} y^{\pi}=v .$$

# 博弈论代写

## 经济代写博娈论代考Game theory代写|The MONGE extension

$\$ \$$函数 [v]: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R} 称为特征函数的MONGE扩展 v: \mathcal{N} \rightarrow \mathbb{R}. 为了证明术语“扩展”的合理性，考虑一个联盟 S \subseteq N 及其 (0,1)-\lambda 射向量 c^{(S)} 与组件 c_{i}^{(S)}=1 在这种情况下 i \in S. 元㭌的适当 MONGE 排列 N 首先列出所有 1 分量，然后列出所有 0 分量:$$
\pi=i_{1} \ldots i_{k} \ldots i_{n} \quad \text { s.t. } \quad c_{i_{1}}^{(S)} \ldots c_{i_{k}}^{(S)} \ldots c_{i_{n}}^{(S)}=11 \ldots 1100 \ldots 00 .
$$因此我们有 y_{S}^{\pi}=1 和 y_{T}^{\pi}=0 为了 T \neq S 并得出结论$$
[v]\left(c^{(S)}\right)=v(S) \quad \text { for all } S \subseteq N,
$$意思就是 \hat{v} 和 v 同意（的关联向量 \mathcal{N}. ## 经济代写|博娈论代考Game theory代写|Linear programming aspects 推广定理 8.2 的平衡概念的方法，让我们考虑线性规划$$
\min x \in \mathbb{R}^{N} c^{T} x \text { s.t. } x(N)=v(N), x(S) \geq v(S) \text { if } S \neq N .
$$及其对偶$$
\max y \in \mathbb{R}^{\mathcal{N}} v^{T} y \text { s.t. } \sum_{S \ni i} y_{S} \leq c_{i} \forall i \in N, y_{S} \geq 0 \text { if } S \neq N
$$对于给定的参数向量 c \in \mathbb{R}^{N}. 安例中观察$$
c_{i_{1}} \geq \ldots \ldots \geq c_{i_{n}}
$$对偶 MONGE 向量 y^{\pi} 关系到 c 是一个双重可行的解抉方䅁，因为 y_{S}^{\pi} \geq 0 适用于所有人 S \neq N. 另一方面，可行的原始解决方案佮 好是 \operatorname{core}(v). 因此，如果core (v) \neq \emptyset ，两个线性规划都有最优解。线性规划对偶性则进一步表明 \ \$$
$\$ \

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## MATLAB代写

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