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The statement that the stoichiometry of a compound is fixed by its chemical formula is not always true for solids, as differences in the content of unit cells can occur throughout a solid. Changes in unit cell composition can arise through vacancies at one or more atom sites, the presence of interstitial atoms, or the substitution of one atom type by another.

A nonstoichiometric compound is a substance that exhibits variable composition but retains the same structure type. For example, at $1000^{\circ} \mathrm{C}$ the composition of ‘iron monoxide’, which is sometimes referred to as wüstite, $\mathrm{Fe}{1-x} \mathrm{O}$, varies from $\mathrm{Fe}{0.89} \mathrm{O}$ to $\mathrm{Fe}_{0.96} \mathrm{O}$. Gradual changes in the size of the unit cell occur as the composition is varied, but all the features of the rock-salt structure are retained throughout this composition range. The fact that the lattice parameter of the compound varies smoothly with composition is a defining criterion of a nonstoichiometric compound because a discontinuity in the value of the lattice parameter indicates the formation of a new crystal phase. Moreover, the thermodynamic properties of nonstoichiometric compounds also vary continuously as the composition changes. For example, as the partial pressure of oxygen above a metal oxide is varied, both the lattice parameter and the equilibrium composition of the oxide change continuously (Figs $3.58$ and 3.59). The gradual change in the lattice parameter of a solid as a function of its composition is known as Vegard’s rule.

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Because many substances adopt the same structural type, it is often energetically feasible to replace one type of atom or ion with another. Such behaviour is seen in many simple metal alloys such as those discussed in Section 3.8. Thus zinc/copper brasses exist for the complete range of compositions $\mathrm{Cu}{1-x} \mathrm{Zn}{x}$ with $0<x<0.38$, where $\mathrm{Cu}$ atoms in the structure are gradually replaced by $\mathrm{Zn}$ atoms. This replacement occurs randomly throughout the solid, and individual unit cells contain an arbitrary number of $\mathrm{Cu}$ and $\mathrm{Zn}$ atoms (but such that the sum of their contents gives the overall brass stoichiometry).

Another good example is the perovskite structure adopted by many compounds of stoichiometry $\mathrm{ABX}{3}$ (Section 3.9), composed of the ions $\mathrm{A}^{\mathrm{n}+}, \mathrm{B}^{\mathrm{m}+}$, and $\mathrm{X}^{\mathrm{x}-}$, in which the composition can be varied continuously by varying the ions that occupy some or all of the $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, and $\mathrm{X}$ sites. For instance, both $\mathrm{LaFe}(\mathrm{III}) \mathrm{O}{3}$ and $\mathrm{SrFe}(\mathrm{IV}) \mathrm{O}{3}$ adopt the perovskite structure and we can consider a perovskite crystal that has, randomly distributed, half $\mathrm{SrFeO}{3}$ unit cells (with $\mathrm{Sr}^{2+}$ on the A-type cation site) and half $\mathrm{LaFeO}{3}$ unit cells (with $\mathrm{La}^{3+}$ on the A-site). The overall compound stoichiometry is $\mathrm{LaFeO}{3}+\mathrm{SrFeO}{3}=\mathrm{LaSrFe}{2} \mathrm{O}{6}$, which is better written $\left(\mathrm{La}{0.5} \mathrm{Sr}{0.5}\right) \mathrm{FeO}{3}$, to reflect the normal $\mathrm{ABO}{3}$ perovskite stoichiometry. Other proportions of these unit cells are possible and the series of compounds $\mathrm{La}{1-x} \mathrm{Sr}{x} \mathrm{FeO}{3}$ for $0 \leq x \leq 1$ can be prepared. This system is called a solid solution because all the phases formed as $x$ is varied have the same perovskite structure. In a solid solution all the sites in the structure remain fully occupied, the overall compound stoichiometry remains constant (albeit with different proportions of atom types on some sites), and there is a smooth variation in lattice parameter over its composition range.

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无机化学代写

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化合物的化学计量由其化学式固定的说法并不总是适用于固体,因为在整个固体中可能会出现晶胞含量的差异。晶胞组成的变化可 以通过一个或茤个原子位点的空位、间陗原子的存在或一种原子类型被另一种原子类型取代而产生。
非化学计量化合物是一种具有可变组成但保持相同結构类型的物质。例如,在 $1000^{\circ} \mathrm{C}$ “氧化铁”的成分,有时被称为 wüstite, $\mathrm{Fe} 1-x \mathrm{O}$, 从 $\mathrm{Fe} 0.89 \mathrm{O}$ 至 $\mathrm{Fe}_{0.96} \mathrm{O}$. 随着成分的变化,晶胞的大小会遂斩妾化,但岩盐结构的所有特征在整个成分范围内都保持 不变。化合物的晶格参数随组成平滑变化的事实是非化学计量化合物的定义标准,因为晶格参数值的不连续侏表明新晶相的形成。 此外,非化学计量化合物的热力学侏质也随着成分的变化而不断变化。例如,随着金属氧化物上方氧分压的妾化,氧化物的晶格参 数和平衡组成都在不断宍化 (图3.58和 3.59) 。固体的晶格参数随其成分的逐斩变化被称为维加德规则。


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由于许多物质采用相同的结构类型,因此将一种原子或离子揞换为另一种原子或离子通常在能量上是可行的。这种行为在许多简单 的金属合金中都可以看到,例如第 $3.8$ 节中讨论的那些。因此,锌/铜黄铜适用于所有成分 $\mathrm{Cu} 1-x \mathrm{Zn} x$ 和 $0<x<0.38$ ,在哪 里 $\mathrm{Cu}$ 结构中的原子逐斩被取代Zn原子。这种晴换在整个固体中随机发生,单个晶胞包含任意数量的 $\mathrm{Cu}$ 和 $\mathrm{Zn}$ 原子(但它们的含量 之和给出了整个黄秱化学计量)。
另一个很好的例子是许多化学计量化合物采用的轨钓矿结构 $\mathrm{ABX} 3$ (第 $3.9$ 节),由离子组成 $\mathrm{A}^{\mathrm{n}+}, \mathrm{B}^{\mathrm{m}+}$ ,和 $\mathrm{X}^{\mathrm{x}}$ ,其中组成可 以通过改变占据部分或全部离子的离子而连紝变化 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ,和 $\mathrm{X}$ 网站。例如,两者 $\mathrm{LaFe}(\mathrm{III}) \mathrm{O} 3$ 和SrFe(IV)O3采用钘钆矿结 构,我们可以考虑一个随机分布的钛钆矿晶体,一半 $\mathrm{SrFeO} 3$ 单位细胞 (与 $\mathrm{Sr}^{2+}$ 在 $\mathrm{A}$ 型阳离子位点上) 和一半 $\mathrm{LaFeO} 3$ 单位细胞 (与 $\mathrm{La}^{31}$ 在 $\mathrm{A}$ 站点上)。总化合物化学计量为 $\mathrm{LaFeO} 3+\mathrm{SrFeO} 3=\mathrm{LaSrFe} 2 \mathrm{O}$, 写得更好( $\left.\mathrm{La} 0.5 \mathrm{Sr} 0.5\right) \mathrm{FeO} 3$, 反映正常 $\mathrm{ABO} 3$ 钘钆矿化学计量。这些昌胞的其他比例是可能的,并且该系列化合物 $\mathrm{La} 1-x \mathrm{Sr} x \mathrm{FeO} 3$ 为了 $0 \leq x \leq 1$ 可以准窅。该系 统称为固溶体,因为所有相形成为 $x$ 不同的具有相同的钯钛矿结构。在固溶体中,结构中的所有位点保持完全占据,整体化合物化 学计量保持不变 (尽管在某些位点上原子类型的比例不同),并且晶格参数在其组成范围内平㳑变化。

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。