Tag: MATH442

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泛函分析functional analysis 是一门研究函数和函数空间的学科，它将经典分析技术与代数技术相结合。现代泛函分析是围绕用函数给出的解来求解方程的问题发展起来的。在18世纪研究了微分方程和偏微分方程之后，19世纪又研究了积分方程和其他类型的泛函方程，在这之后，人们需要发展一种新的分析方法，用无穷变量的函数来代替通常的函数。

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Examples of Variational Formulations

We shall study now various variational formulations for a model diffusion-convection-reaction problem. We will use both versions of the Closed Range Theorem (for continuous and for closed operators) to demonstrate that different formulations are simultaneously well posed.

Diffusion-Convection-Reaction Problem. Given a domain $\Omega \subset \mathbb{R}^N, N \geq 1$, we wish to determine $u(x), x \in \bar{\Omega}$, that satisfies the boundary-value problem:
$$
\left{\begin{aligned}
-\left(a_{i j} u_{, j}\right){, i}+\left(b_i u\right){, i}+c u & =f & & \text { in } \Omega \
u & =0 & & \text { on } \Gamma_1 \
a_{i j} u_{, j} n_j-b_i n_i u & =0 & & \text { on } \Gamma_2
\end{aligned}\right.
$$
Coefficients $a_{i j}(x)=a_{j i}(x), b_i(x), c(x)$ represent (anisotropic) diffusion, advection, and reaction, and $f$ stands for a source term. We are using the Einstein summation convention, the simplified, engineering notation for derivatives,
$$
u_{, i} \stackrel{\prime}{=} \frac{\partial u}{\partial x_i}
$$
and $n_i$ denote components of the unit outward vector on $\Gamma$. For instance, we can think of $u(x)$ as the temperature at point $x$ and $f(x)$ as representing a heat source (sink) at $x . \Gamma_1, \Gamma_2$ represent two disjoint parts of the boundary. For simplicity of the exposition, we will deal with homogeneous boundary conditions only.

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Additional Facts about Sobolev Spaces

Additional Facts about Sobolev Spaces. We will need some additional fundamental facts about two energy spaces. The first is the already discussed classical $H^1$ Sobolev space consisting of all $L^2$-functions whose distributional derivatives are also functions, and they are $L^2$-integrable as well,
$$
H^1(\Omega):=\left{u \in L^2(\Omega): \frac{\partial u}{\partial x_i} \in L^2(\Omega), i=1, \ldots, N\right}
$$
The space is equipped with the norm,
$$
|u|_{H^1}^2:=|u|^2+\sum_{i=1}^N\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\right|^2
$$
where $|\cdot|$ denotes the $L^2$-norm. The second term constitutes a seminorm on $H^1(\Omega)$ and will be denoted by
$$
|u|{H^1}^2:=\sum{i=1}^N\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\right|^2
$$
The second space, $H(\operatorname{div}, \Omega)$, consists of all vector-valued $L^2$-integrable functions whose distributional divergence is also a function, and it is $L^2$-integrable,
$$
H(\operatorname{div}, \Omega):=\left{\sigma=\left(\sigma_i\right)_{i=1}^N \in\left(L^2(\Omega)\right)^N: \operatorname{div} \sigma \in L^2(\Omega)\right}
$$

The space is equipped with the norm,
$$
|\sigma|_{H(\text { div })}^2:=|\sigma|^2+|\operatorname{div} \sigma|^2
$$
where the $L^2$-norm of vector-valued functions is computed componentwise,
$$
|\sigma|^2:=\sum_{i=1}^N\left|\sigma_i\right|^2
$$
For both energy spaces, there exist trace operators that generalize the classical boundary trace for scalarvalued functions and boundary normal trace for vector-valued functions,
$$
\left.u \rightarrow u\right|{\Gamma}, \quad \sigma \rightarrow \sigma_n=\left.\sum{i=1}^N \sigma_i\right|_{\Gamma} n_i
$$

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Examples of Variational Formulations

现在我们将研究模型扩散-对流-反应问题的各种变分公式。我们将使用两个版本的闭范围定理(连续算子和闭算子)来证明不同的公式同时是适定的。

扩散-对流-反应问题。给定一个域$\Omega \subset \mathbb{R}^N, N \geq 1$，我们希望确定满足边值问题的$u(x), x \in \bar{\Omega}$:
$$
\left{\begin{aligned}
-\left(a_{i j} u_{, j}\right){, i}+\left(b_i u\right){, i}+c u & =f & & \text { in } \Omega \
u & =0 & & \text { on } \Gamma_1 \
a_{i j} u_{, j} n_j-b_i n_i u & =0 & & \text { on } \Gamma_2
\end{aligned}\right.
$$
系数$a_{i j}(x)=a_{j i}(x), b_i(x), c(x)$表示(各向异性)扩散、平流和反应，$f$表示源项。我们用的是爱因斯坦求和约定，导数的简化的工程符号，
$$
u_{, i} \stackrel{\prime}{=} \frac{\partial u}{\partial x_i}
$$
$n_i$表示$\Gamma$上单位向外向量的分量。例如，我们可以认为$u(x)$是$x$点的温度，$f(x)$代表热源(汇)，$x . \Gamma_1, \Gamma_2$代表边界的两个不相交的部分。为了说明的简单性，我们只处理齐次边界条件。

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Additional Facts about Sobolev Spaces

关于Sobolev空间的其他事实。我们还需要一些关于两个能量空间的基本事实。第一个是已经讨论过的经典$H^1$ Sobolev空间，它由所有的$L^2$ -函数组成，这些函数的分布导数也是函数，并且它们也是$L^2$ -可积的，
$$
H^1(\Omega):=\left{u \in L^2(\Omega): \frac{\partial u}{\partial x_i} \in L^2(\Omega), i=1, \ldots, N\right}
$$
空间配备了规范，
$$
|u|{H^1}^2:=|u|^2+\sum{i=1}^N\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\right|^2
$$
其中$|\cdot|$表示$L^2$ -规范。第二项是关于$H^1(\Omega)$的专题讨论会，用
$$
|u|{H^1}^2:=\sum{i=1}^N\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\right|^2
$$
第二个空间$H(\operatorname{div}, \Omega)$由所有向量值的$L^2$ -可积函数组成，其分布散度也是一个函数，并且它是$L^2$ -可积的;
$$
H(\operatorname{div}, \Omega):=\left{\sigma=\left(\sigma_i\right)_{i=1}^N \in\left(L^2(\Omega)\right)^N: \operatorname{div} \sigma \in L^2(\Omega)\right}
$$

空间配备了规范，
$$
|\sigma|{H(\text { div })}^2:=|\sigma|^2+|\operatorname{div} \sigma|^2 $$ 其中向量值函数的$L^2$ -范数是按分量计算的， $$ |\sigma|^2:=\sum{i=1}^N\left|\sigma_i\right|^2
$$
对于这两个能量空间，都存在迹算子，可以推广标量值函数的经典边界迹和向量值函数的经典边界法向迹。
$$
\left.u \rightarrow u\right|{\Gamma}, \quad \sigma \rightarrow \sigma_n=\left.\sum{i=1}^N \sigma_i\right|_{\Gamma} n_i
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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泛函分析functional analysis 是一门研究函数和函数空间的学科，它将经典分析技术与代数技术相结合。现代泛函分析是围绕用函数给出的解来求解方程的问题发展起来的。在18世纪研究了微分方程和偏微分方程之后，19世纪又研究了积分方程和其他类型的泛函方程，在这之后，人们需要发展一种新的分析方法，用无穷变量的函数来代替通常的函数。

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在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Riesz Representation Theorem

The properties of the topological dual of a Hilbert space constitute one of the most important collection of ideas in Hilbert space theory and in the study of linear operators. We recall from our study of topological duals of Banach spaces in the previous chapter that the dual of a Hilbert space $V$ is the vector space $V^{\prime}$ consisting of all continuous linear functionals on $V$. If $f$ is a member of $V^{\prime}$ we write, as usual,
$$
f(\boldsymbol{v})=\langle f, \boldsymbol{v}\rangle
$$
where $\langle\cdot, \cdot\rangle$ denotes the duality pairing on $V^{\prime} \times V$. Recall that $V^{\prime}$ is a normed space equipped with the dual norm
$$
|f|_{V^{\prime}}=\sup {\boldsymbol{v} \neq 0} \frac{\langle f, \boldsymbol{v}\rangle}{|\boldsymbol{v}|_V} $$ Now, in the case of Hilbert spaces, we have a ready-made device for constructing linear and continuous functionals on $V$ by means of the scalar product $(\cdot, \cdot)_V$. Indeed, if $\boldsymbol{u}$ is a fixed element of $V$, we may define a linear functional $f_u$ directly by $$ f{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{v}) \stackrel{\text { def }}{=}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{u})=\overline{(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})} \quad \forall \boldsymbol{v} \in V
$$
This particular functional depends on the choice $\boldsymbol{u}$, and this suggests that we describe this correspondence by introducing an operator $R$ from $V$ into $V^{\prime}$ such that
$$
R \boldsymbol{u}=f_{\boldsymbol{u}}
$$
We have by the definition
$$
\langle R \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle=(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{u})=\overline{(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})} \quad \forall \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in V
$$
Now, it is not clear at this point whether or not there might be some functionals in $V^{\prime}$ that cannot be represented by inner products on $V$. In fact, all we have shown up to now is that
$$
R(V) \subset V^{\prime}
$$

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Adjoint of a Linear Operator

In Sections 5.16 and 5.18 we examined the properties of the transpose of linear and both continuous and closed operators defined on Banach spaces. In the case of Hilbert spaces those ideas can be further specialized leading to the idea of (topologically) adjoint operators (recall Section 2.15 for a discussion of the same notion in finite-dimensional spaces).
We set the stage for this discussion by reviewing some notations. Let
$U, V$ be (complex) Hilbert spaces with scalar products $(\cdot, \cdot)_U$ and $(\cdot, \cdot)_V$, respectively.
$U^{\prime}, V^{\prime}$ denote the topological duals of $U$ and $V$.
$\langle\cdot, \cdot\rangle_U$ and $\langle\cdot, \cdot\rangle_V$ denote the duality pairings on $U^{\prime} \times U$ and $V^{\prime} \times V$.
$R_U: U \rightarrow U^{\prime}, R_V: V \rightarrow V^{\prime}$ be the Riesz operators for $U$ and $V$, respectively, i.e.,
$$
\begin{aligned}
& \left\langle R_U \boldsymbol{u}, \boldsymbol{w}\right\rangle=(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{u})_U \forall \boldsymbol{w} \in U \quad \text { and } \
& \left\langle R_V \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\right\rangle=(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{v})_V \forall \boldsymbol{w} \in V
\end{aligned}
$$

(Topological) Adjoint of a Continuous Operator. Let $A \in \mathcal{L}(U, V)$, i.e., let $A$ be a linear and continuous operator from $U$ into $V$. Recall that the topological transpose operator $A^{\prime} \in \mathcal{L}\left(V^{\prime}, U^{\prime}\right)$ was defined as
$$
A^{\prime} v^{\prime}=v^{\prime} \circ A \quad \text { for } \quad v^{\prime} \in V^{\prime}
$$
or, equivalently,
$$
\left\langle A^{\prime} v^{\prime}, \boldsymbol{u}\right\rangle=\left\langle v^{\prime}, A \boldsymbol{u}\right\rangle \quad \forall \boldsymbol{u} \in U v^{\prime} \in V^{\prime}
$$
The transpose $A^{\prime}$ of operator $A$ operates on the dual $V^{\prime}$ into the dual $U^{\prime}$. Existence of the Riesz operators establishing the correspondence between spaces $U, V$ and their duals $U^{\prime}, V^{\prime}$ prompts us to introduce the so-called (topological) adjoint operator $A^$ operating directly on the space $V$ into $U$ and defined as the composition $$ A^ \stackrel{\text { def }}{=} R_U^{-1} \circ A^{\prime} \circ R_V
$$

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Riesz Representation Theorem

希尔伯特空间拓扑对偶的性质是希尔伯特空间理论和线性算子研究中最重要的思想集合之一。回顾上一章对Banach空间拓扑对偶的研究，Hilbert空间$V$的对偶是由$V$上的所有连续线性泛函组成的向量空间$V^{\prime}$。如果$f$是$V^{\prime}$的成员，我们像往常一样写，
$$
f(\boldsymbol{v})=\langle f, \boldsymbol{v}\rangle
$$
其中$\langle\cdot, \cdot\rangle$表示$V^{\prime} \times V$上的二元配对。回想一下$V^{\prime}$是一个具有对偶范数的赋范空间
$$
|f|{V^{\prime}}=\sup {\boldsymbol{v} \neq 0} \frac{\langle f, \boldsymbol{v}\rangle}{|\boldsymbol{v}|_V} $$现在，在希尔伯特空间的情况下，我们有一个现成的装置来构造在$V$上的线性和连续泛函通过标量积$(\cdot, \cdot)_V$。的确，如果$\boldsymbol{u}$是$V$的一个固定元素，我们可以直接用$$ f{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{v}) \stackrel{\text { def }}{=}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{u})=\overline{(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})} \quad \forall \boldsymbol{v} \in V $$定义一个线性泛函$f_u$ 这个特殊的函数依赖于选择$\boldsymbol{u}$，这表明我们通过从$V$到$V^{\prime}$引入一个运算符$R$来描述这种对应关系，这样 $$ R \boldsymbol{u}=f{\boldsymbol{u}}
$$
根据定义
$$
\langle R \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle=(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{u})=\overline{(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})} \quad \forall \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in V
$$
现在，我们还不清楚$V^{\prime}$中是否有一些函数不能用$V$上的内积表示。事实上，到目前为止，我们所展示的只是
$$
R(V) \subset V^{\prime}
$$

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Adjoint of a Linear Operator

在第5.16节和第5.18节中，我们研究了Banach空间上定义的线性算子、连续算子和闭算子的转置的性质。在希尔伯特空间的情况下，这些思想可以进一步特殊化，导致(拓扑)伴随算子的思想(回顾第2.15节，讨论有限维空间中相同的概念)。
我们通过回顾一些符号来为这个讨论奠定基础。让
$U, V$分别为具有标量积$(\cdot, \cdot)_U$和$(\cdot, \cdot)_V$的(复)希尔伯特空间。
$U^{\prime}, V^{\prime}$表示$U$和$V$的拓扑对偶。
$\langle\cdot, \cdot\rangle_U$和$\langle\cdot, \cdot\rangle_V$表示$U^{\prime} \times U$和$V^{\prime} \times V$上的二元配对。
$R_U: U \rightarrow U^{\prime}, R_V: V \rightarrow V^{\prime}$分别为$U$和$V$的Riesz算符，即
$$
\begin{aligned}
& \left\langle R_U \boldsymbol{u}, \boldsymbol{w}\right\rangle=(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{u})_U \forall \boldsymbol{w} \in U \quad \text { and } \
& \left\langle R_V \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\right\rangle=(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{v})_V \forall \boldsymbol{w} \in V
\end{aligned}
$$

连续算子的(拓扑)伴随。让 $A \in \mathcal{L}(U, V)$，即让 $A$ 是一个线性连续算子 $U$ 进入 $V$． 回想一下拓扑转置算子 $A^{\prime} \in \mathcal{L}\left(V^{\prime}, U^{\prime}\right)$ 被定义为
$$
A^{\prime} v^{\prime}=v^{\prime} \circ A \quad \text { for } \quad v^{\prime} \in V^{\prime}
$$
或者，等价地，
$$
\left\langle A^{\prime} v^{\prime}, \boldsymbol{u}\right\rangle=\left\langle v^{\prime}, A \boldsymbol{u}\right\rangle \quad \forall \boldsymbol{u} \in U v^{\prime} \in V^{\prime}
$$
转置 $A^{\prime}$ 算子 $A$ 对偶操作 $V^{\prime}$ 进入双重状态 $U^{\prime}$． 建立空间间对应关系的Riesz算子的存在性 $U, V$ 还有他们的双重性 $U^{\prime}, V^{\prime}$ 提示我们引入所谓的(拓扑)伴随算子 $A^$ 直接在空间上操作 $V$ 进入 $U$ 定义为复合 $$ A^ \stackrel{\text { def }}{=} R_U^{-1} \circ A^{\prime} \circ R_V
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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泛函分析functional analysis 是一门研究函数和函数空间的学科，它将经典分析技术与代数技术相结合。现代泛函分析是围绕用函数给出的解来求解方程的问题发展起来的。在18世纪研究了微分方程和偏微分方程之后，19世纪又研究了积分方程和其他类型的泛函方程，在这之后，人们需要发展一种新的分析方法，用无穷变量的函数来代替通常的函数。

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Solvability of Linear Equations in Banach Spaces, the Closed Range Theorem

In this section we shall examine a collection of ideas that are very important in the abstract theory of linear operator equations on Banach spaces. They concern the solvability of equations of the form
$$
A \boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}, \quad A: U \longrightarrow V
$$
where $A$ is a linear and continuous operator from a normed space $U$ into a normed space $V$, and $f$ is an element of $V$. Obviously, this equation can represent systems of linear algebraic equations, partial differential equations, integral equations, etc., so that general theorems concerned with its solvability are very important.
The question about the existence of solutions $\boldsymbol{u}$ to the equation above, for a given $\boldsymbol{f}$, can obviously be rephrased as
when does $\boldsymbol{f} \in \mathcal{R}(A)$ ?
where $\mathcal{R}(A)$ denotes the range of $A$. The characterization of the range $\mathcal{R}(A)$ is therefore crucial to our problem.
From the definition of the transpose
$$
\left\langle\boldsymbol{v}^{\prime}, A \boldsymbol{u}\right\rangle=\left\langle A^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}, \boldsymbol{u}\right\rangle \quad \forall \boldsymbol{u} \in U, \boldsymbol{v}^{\prime} \in V^{\prime}
$$
we have that
$$
\boldsymbol{v}^{\prime} \in \mathcal{N}\left(A^{\prime}\right) \quad \Leftrightarrow \quad \boldsymbol{v}^{\prime} \in \mathcal{R}(A)^{\perp}
$$
which can be restated as
$$
\mathcal{R}(A)^{\perp}=\mathcal{N}\left(A^{\prime}\right)
$$
By the same reasoning
$$
\mathcal{R}\left(A^{\prime}\right)^{\perp}=\mathcal{N}(A)
$$
Combining these observations with Proposition 5.16.2, we arrive at the following conclusion.

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Quotient Normed Spaces

Quotient Normed Spaces. Let $U$ be a vector space and $M \subset U$ a subspace of $U$. In Chapter 2 we defined the quotient space $U / M$ consisting of equivalence classes of $\boldsymbol{u} \in U$ identified as affine subspaces of $U$ of the form
$$
[\boldsymbol{u}]=\boldsymbol{u}+M={\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}: \boldsymbol{v} \in M}
$$
If, in addition, $U$ is a normed space and $M$ is $c l o s e d$, the quotient space $U / M$ can be equipped with the norm
$$
|[\boldsymbol{u}]|_{U / M} \stackrel{\text { def }}{=} \inf {\boldsymbol{v} \in[\boldsymbol{u}]}|\boldsymbol{v}|_U $$ Indeed, all properties of norms are satisfied: (i) $|[\boldsymbol{u}]|=0$ implies that there exists a sequence $\boldsymbol{v}_n \in[\boldsymbol{u}]$ such that $\boldsymbol{v}_n \rightarrow \mathbf{0}$. By closedness of $M$ and, therefore, of every equivalence class $[\boldsymbol{u}]$ (explain, why?), $\mathbf{0} \in[\boldsymbol{u}]$, which means that $[\boldsymbol{u}]=[\mathbf{0}]=M$ is the zero vector in the quotient space $U / M$. (ii) $$ \begin{aligned} |\lambda[\boldsymbol{u}]| & =|[\lambda \boldsymbol{u}]| \ & =\inf {\lambda \boldsymbol{v} \in[\lambda \boldsymbol{u}]}|\lambda \boldsymbol{v}| \
& =|\lambda| \inf {\boldsymbol{v} \in[\boldsymbol{u}]}|\boldsymbol{v}|=|\lambda||[\boldsymbol{u}]| \end{aligned} $$ (iii) Let $[\boldsymbol{u}],[\boldsymbol{v}] \in U / M$. Pick an arbitrary $\varepsilon>0$. Then, there exist $\boldsymbol{u}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{u}]$ and $\boldsymbol{v}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{v}]$ such that $$ \left|\boldsymbol{u}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{u}]|_{U / M}+\frac{\varepsilon}{2} \text { and }\left|\boldsymbol{v}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{v}]|{U / M}+\frac{\varepsilon}{2}
$$
Consequently
$$
\left|\boldsymbol{u}{\varepsilon}+\boldsymbol{v}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{u}]|_{U / M}+|[\boldsymbol{v}]|_{U / M}+\varepsilon
$$
But $\boldsymbol{u}{\varepsilon}+\boldsymbol{v}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}]$ and therefore taking the infimum on the left-hand side and passing to the limit with $\varepsilon \rightarrow 0$, we get the triangle inequality for the norm in $U / M$.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Solvability of Linear Equations in Banach Spaces, the Closed Range Theorem

在本节中，我们将研究在巴拿赫空间线性算子方程的抽象理论中非常重要的一些思想。它们涉及这种形式方程的可解性
$$
A \boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}, \quad A: U \longrightarrow V
$$
其中$A$是一个从赋范空间$U$到赋范空间$V$的线性连续算子，$f$是$V$的一个元素。显然，这个方程可以表示线性代数方程、偏微分方程、积分方程等方程组，因此与它的可解性有关的一般定理是非常重要的。
对于给定的$\boldsymbol{f}$，关于上述方程解$\boldsymbol{u}$是否存在的问题，显然可以改写为
$\boldsymbol{f} \in \mathcal{R}(A)$什么时候?
其中$\mathcal{R}(A)$表示$A$的取值范围。因此，范围$\mathcal{R}(A)$的表征对我们的问题至关重要。
根据转置的定义
$$
\left\langle\boldsymbol{v}^{\prime}, A \boldsymbol{u}\right\rangle=\left\langle A^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}, \boldsymbol{u}\right\rangle \quad \forall \boldsymbol{u} \in U, \boldsymbol{v}^{\prime} \in V^{\prime}
$$
我们有这个
$$
\boldsymbol{v}^{\prime} \in \mathcal{N}\left(A^{\prime}\right) \quad \Leftrightarrow \quad \boldsymbol{v}^{\prime} \in \mathcal{R}(A)^{\perp}
$$
哪一个可以重述为
$$
\mathcal{R}(A)^{\perp}=\mathcal{N}\left(A^{\prime}\right)
$$
同样的道理
$$
\mathcal{R}\left(A^{\prime}\right)^{\perp}=\mathcal{N}(A)
$$
将这些观察结果与命题5.16.2相结合，我们得出以下结论。

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Quotient Normed Spaces

商赋范空间。设$U$是一个向量空间$M \subset U$是$U$的子空间。在第二章中，我们定义了由$\boldsymbol{u} \in U$的等价类组成的商空间$U / M$，这些等价类被标识为$U$的仿射子空间，其形式为
$$
[\boldsymbol{u}]=\boldsymbol{u}+M={\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}: \boldsymbol{v} \in M}
$$
另外，如果$U$是赋范空间，$M$是$c l o s e d$，则商空间$U / M$可以配范数
$$
|[\boldsymbol{u}]|{U / M} \stackrel{\text { def }}{=} \inf {\boldsymbol{v} \in[\boldsymbol{u}]}|\boldsymbol{v}|_U $$的确，范数的所有性质都被满足:(i) $|[\boldsymbol{u}]|=0$暗示存在一个序列$\boldsymbol{v}_n \in[\boldsymbol{u}]$，使得$\boldsymbol{v}_n \rightarrow \mathbf{0}$。通过$M$的紧密性，因此，每个等价类$[\boldsymbol{u}]$(解释，为什么?)，$\mathbf{0} \in[\boldsymbol{u}]$，这意味着$[\boldsymbol{u}]=[\mathbf{0}]=M$是商空间$U / M$中的零向量。(ii) $$ \begin{aligned} |\lambda[\boldsymbol{u}]| & =|[\lambda \boldsymbol{u}]| \ & =\inf {\lambda \boldsymbol{v} \in[\lambda \boldsymbol{u}]}|\lambda \boldsymbol{v}| \ & =|\lambda| \inf {\boldsymbol{v} \in[\boldsymbol{u}]}|\boldsymbol{v}|=|\lambda||[\boldsymbol{u}]| \end{aligned} $$ (iii)让$[\boldsymbol{u}],[\boldsymbol{v}] \in U / M$。随便选一个$\varepsilon>0$。然后，存在$\boldsymbol{u}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{u}]$和$\boldsymbol{v}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{v}]$，使得$$ \left|\boldsymbol{u}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{u}]|{U / M}+\frac{\varepsilon}{2} \text { and }\left|\boldsymbol{v}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{v}]|{U / M}+\frac{\varepsilon}{2}
$$
因此
$$
\left|\boldsymbol{u}{\varepsilon}+\boldsymbol{v}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{u}]|{U / M}+|[\boldsymbol{v}]|{U / M}+\varepsilon
$$
但是$\boldsymbol{u}{\varepsilon}+\boldsymbol{v}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}]$因此取左边的最小值然后取$\varepsilon \rightarrow 0$的极限，我们得到了$U / M$的范数的三角形不等式。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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泛函分析functional analysis是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Closed Operators, Closed Graph Theorem

We begin with some simple observations concerning Cartesian products of normed spaces. First of all, recall that if $X$ and $Y$ are vector spaces, then the Cartesian product $X \times Y$ is also a vector space with operations defined by
$$
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y}_1\right)+\left(\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_2\right) & \stackrel{\text { def }}{=}\left(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2\right) \
\alpha(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) & \stackrel{\text { def }}{=}(\alpha \boldsymbol{x}, \alpha \boldsymbol{y})
\end{aligned}
$$
where the vector additions and multiplications by a scalar on the right-hand side are those in the $X$ and $Y$ spaces, respectively.

If additionally $X$ and $Y$ are normed spaces with norms $|\cdot|_X$ and $|\cdot|_Y$, respectively, then $X \times Y$ may be equipped with a (not unique) norm of the form
$$
|(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})|= \begin{cases}\left(|\boldsymbol{x}|_X^p+|\boldsymbol{y}|_Y^p\right)^{\frac{1}{p}} & 1 \leq p<\infty \ \max \left{|\boldsymbol{x}|_X,|\boldsymbol{y}|_Y\right} & p=\infty\end{cases}
$$
Finally, if $X$ and $Y$ are complete, then $X \times Y$ is also complete. Indeed, if $\left(\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{y}_n\right)$ is a Cauchy sequence in $X \times Y$, then $\boldsymbol{x}_n$ is a Cauchy sequence in $X$, and $\boldsymbol{y}_n$ is a Cauchy sequence in $Y$. Consequently both $\boldsymbol{x}_n$ and $\boldsymbol{y}_n$ have limits, say $\boldsymbol{x}$ and $\boldsymbol{y}$, and, therefore, by the definition of the norm in $X \times Y,\left(\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{y}_n\right) \rightarrow(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$. Thus, if $X$ and $Y$ are Banach spaces, then $X \times Y$ is a Banach space, too.

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Operators

Up to this point, all of the linear transformations from a vector space $X$ into a vector space $Y$ have been defined on the whole space $X$, i.e., their domain of definition coincided with the entire space $X$. In a more general situation, it may be useful to consider linear operators defined on a proper subspace of $X$ only (see Example 5.6.4). In fact, some authors reserve the name operator to such functions distinguishing them from transformations which are defined on the whole space.

Thus, in general, a linear operator $T$ from a vector space $X$ into a vector space $Y$ may be defined only on a proper subspace of $X$, denoted $D(T)$ and called the domain of definition of $T$, or concisely, the domain of $T:$
$$
X \supset D(T) \ni \boldsymbol{x} \longrightarrow T \boldsymbol{x} \in Y
$$
Note that in the case of linear operators, the domain $D(T)$ must be a vector subspace of $X$ (otherwise it would make no sense to speak of linearity of $T$ ).

Still, the choice of the domain is somehow arbitrary. Different domains with the same rule defining $T$ result formally in different operators in much the same fashion as functions are defined by specifying their domain, codomain, and the rule (see Chapter 1).

With every operator $T$ (not necessarily linear) we can associate its graph, denoted $G(T)$ and defined as graph $T=G(T) \stackrel{\text { def }}{=}{(\boldsymbol{x}, T \boldsymbol{x}): \boldsymbol{x} \in D(T)} \subset X \times Y$
(recall the discussion in Section 1.9).

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Closed Operators, Closed Graph Theorem

我们从一些关于赋范空间的笛卡尔积的简单观察开始。首先，回想一下，如果$X$和$Y$是向量空间，那么笛卡尔积$X \times Y$也是一个向量空间，其运算定义为
$$
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y}_1\right)+\left(\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_2\right) & \stackrel{\text { def }}{=}\left(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2\right) \
\alpha(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) & \stackrel{\text { def }}{=}(\alpha \boldsymbol{x}, \alpha \boldsymbol{y})
\end{aligned}
$$
其中向量的加法和右边标量的乘法分别是$X$和$Y$空间中的加法和乘法。

如果另外的$X$和$Y$分别是规范为$|\cdot|_X$和$|\cdot|_Y$的赋范空间，那么$X \times Y$可以配备一个(不是唯一的)格式的规范
$$
|(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})|= \begin{cases}\left(|\boldsymbol{x}|_X^p+|\boldsymbol{y}|_Y^p\right)^{\frac{1}{p}} & 1 \leq p<\infty \ \max \left{|\boldsymbol{x}|_X,|\boldsymbol{y}|_Y\right} & p=\infty\end{cases}
$$
最后，如果$X$和$Y$是完整的，那么$X \times Y$也是完整的。的确，如果$\left(\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{y}_n\right)$是$X \times Y$中的柯西序列，那么$\boldsymbol{x}_n$就是$X$中的柯西序列，$\boldsymbol{y}_n$就是$Y$中的柯西序列。因此，$\boldsymbol{x}_n$和$\boldsymbol{y}_n$都有限制，例如$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{y}$，因此，根据$X \times Y,\left(\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{y}_n\right) \rightarrow(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$中的规范定义。因此，如果$X$和$Y$是巴拿赫空间，那么$X \times Y$也是巴拿赫空间。

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Operators

到目前为止，所有从向量空间$X$到向量空间$Y$的线性变换都是在整个空间$X$上定义的，即它们的定义域与整个空间$X$一致。在更一般的情况下，考虑只在$X$的适当子空间上定义的线性算子可能是有用的(参见例5.6.4)。事实上，一些作者为这些函数保留了名称运算符，将它们与在整个空间上定义的转换区分开来。

因此，一般来说，从向量空间$X$到向量空间$Y$的线性算子$T$只能定义在$X$的适当子空间上，记为$D(T)$，称为$T$的定义域，或简单地说，$T:$的域
$$
X \supset D(T) \ni \boldsymbol{x} \longrightarrow T \boldsymbol{x} \in Y
$$
注意，在线性运算符的情况下，域$D(T)$必须是$X$的矢量子空间(否则说$T$的线性就没有意义了)。

然而，定义域的选择在某种程度上是任意的。具有相同规则定义$T$的不同域在形式上以不同的操作符以非常相同的方式定义函数，通过指定它们的域，上域和规则(参见第1章)。

对于每个操作符$T$(不一定是线性的)，我们可以关联它的图，表示为$G(T)$并定义为图$T=G(T) \stackrel{\text { def }}{=}{(\boldsymbol{x}, T \boldsymbol{x}): \boldsymbol{x} \in D(T)} \subset X \times Y$
(回想1.9节的讨论)。

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Space of Test Functions

Functions with Compact Support. Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ be an open set and $u$ any real- (or complex-) valued function defined on $\Omega$. The closure of the set of all points $x \in \Omega$ for which $u$ takes non-zero values is called the support of $u$ :
$$
\operatorname{supp} u \stackrel{\text { def }}{=} \overline{{x \in \Omega: u(x) \neq 0}}
$$
Note that, due to the closure operation, the support of a function $u$ may include the points at which $u$ vanishes (see Fig. 5.1).

The collection of all infinitely differentiable functions defined on $\Omega$, whose supports are compact (i.e., bounded) and contained in $\Omega$, will be denoted as
$$
C_0^{\infty}(\Omega) \stackrel{\text { def }}{=}\left{u \in C^{\infty}(\Omega): \operatorname{supp} u \subset \Omega, \quad \operatorname{supp} u \text { compact }\right}
$$
Obviously, $C_0^{\infty}(\Omega)$ is a vector subspace of $C^{\infty}(\Omega)$.
Example 5.3.1
A standard example of a function in $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ is
$$
\phi(x)= \begin{cases}\exp \left[1 /\left(x^2-a^2\right)\right] & |x|0) \ 0 & |x| \geq a\end{cases}
$$

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Hahn-Banach Theorem

In this section we establish a fundamental result concerning the extension of linear functionals on infinitedimensional vector spaces, the famous Hahn-Banach theorem. The result will be obtained in a general setting of arbitrary vector spaces and later on specialized in a more specific context.

Sublinear Functionals. Let $V$ be a real vector space. A functional $p: V \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be sublinear iff
(i) $p(\alpha \boldsymbol{u})=\alpha p(\boldsymbol{u}) \quad \forall \alpha>0$
(ii) $p(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) \leq p(\boldsymbol{u})+p(\boldsymbol{v}) \quad(p$ is subadditive $)$
for arbitrary vectors $\boldsymbol{u}$ and $\boldsymbol{v}$. Obviously, every linear functional is sublinear and every seminorm is sublinear as well.
THEOREM 5.4.1
(The Hahn-Banach Theorem)
Let $X$ be a real vector space, $p: X \rightarrow \mathbb{R}$ a sublinear functional on $X$, and $M \subset X$ a subspace of $X$. Consider $f: M \rightarrow \mathbb{R}$, a linear functional on $M\left(f \in M^*\right)$ dominated by $p$ on $M$, i.e.,
$$
f(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in M
$$
Then, there exists a linear functional $F: X \rightarrow \mathbb{R}$ defined on the whole $X$ such that
(i) $\left.F\right|_M \equiv f$
(ii) $F(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in X$
In other words, $F$ is an extension of $f$ dominated by $p$ on the whole $X$.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Space of Test Functions

功能与紧凑的支持。设$\Omega \subset \mathbb{R}^n$为开集，$u$为在$\Omega$上定义的任意实数(或复数)值函数。所有点$x \in \Omega$集合的闭包，其中$u$为非零值，称为$u$的支持:
$$
\operatorname{supp} u \stackrel{\text { def }}{=} \overline{{x \in \Omega: u(x) \neq 0}}
$$
注意，由于闭包操作，对$u$函数的支持可能包括$u$消失的点(参见图5.1)。

定义在$\Omega$上的所有无限可微函数的集合，其支持是紧的(即有界的)并且包含在$\Omega$中，将表示为
$$
C_0^{\infty}(\Omega) \stackrel{\text { def }}{=}\left{u \in C^{\infty}(\Omega): \operatorname{supp} u \subset \Omega, \quad \operatorname{supp} u \text { compact }\right}
$$
显然，$C_0^{\infty}(\Omega)$是$C^{\infty}(\Omega)$的向量子空间。
例5.3.1
$C_0^{\infty}(\mathbb{R})$中函数的标准示例如下
$$
\phi(x)= \begin{cases}\exp \left[1 /\left(x^2-a^2\right)\right] & |x|0) \ 0 & |x| \geq a\end{cases}
$$

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Hahn-Banach Theorem

在这一节中，我们建立了关于线性泛函在无限维向量空间上的扩展的一个基本结果，即著名的哈恩-巴拿赫定理。结果将在任意向量空间的一般设置中获得，然后专门用于更具体的上下文。

次线性泛函。设$V$为实向量空间。一个泛函$p: V \rightarrow \mathbb{R}$被称为次线性iff
(i) $p(\alpha \boldsymbol{u})=\alpha p(\boldsymbol{u}) \quad \forall \alpha>0$
(ii) $p(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) \leq p(\boldsymbol{u})+p(\boldsymbol{v}) \quad(p$是次加性的$)$
对于任意向量$\boldsymbol{u}$和$\boldsymbol{v}$。显然，每一个线性泛函都是次线性的，每一个半精也是次线性的。
定理5.4.1
(哈恩-巴拿赫定理)
设$X$为实向量空间，$p: X \rightarrow \mathbb{R}$为$X$上的次线性泛函，$M \subset X$为$X$的子空间。考虑$M\left(f \in M^*\right)$上的一个线性泛函$f: M \rightarrow \mathbb{R}$被$M$上的$p$支配，即:
$$
f(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in M
$$
则存在一个线性泛函$F: X \rightarrow \mathbb{R}$，定义在整体$X$上，使得
(i) $\left.F\right|_M \equiv f$
(ii) $F(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in X$
换句话说，$F$是$f$的扩展，整个$X$以$p$为主。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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泛函分析functional analysis是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Topological Properties of Metric Spaces

Let $X=(X, d)$ be a metric space. Defining, for every $x \in X$, the family $\mathcal{B}_x$ of neighborhoods of $x$ as the family of open balls centered at $x$
$$
\mathcal{B}_x={B(x, \varepsilon), \varepsilon>0}
$$
we introduce in $X$ a topology induced by the metric $d$. Thus every metric space is a topological space with the topology induced by the metric. Two immediate corollaries follow:
(i) Bases $\mathcal{B}_x$ are of countable type.
(ii) The metric topology is Hausdorff.
The first observation follows from the fact that $\mathcal{B}_x$ is equivalent to its subbase of the form
$$
\left{B\left(x, \frac{1}{k}\right), \quad k=1,2, \ldots\right}
$$
To prove the second assertion consider two distinct points $x \neq y$. We claim that balls $B(x, \varepsilon)$ and $B(y, \varepsilon)$, where $\varepsilon=d(x, y) / 2$, are disjoint. Indeed, if $z$ were a point belonging to the balls simultaneously, then
$$
d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)<\varepsilon+\varepsilon=d(x, y)
$$
a contradiction.
Thus all the results we have derived in the first five sections of this chapter for Hausdorff first countable topological spaces hold also for metric spaces. Let us briefly review some of them.

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Open and Closed Sets in Metric Spaces

Open and Closed Sets in Metric Spaces. A set $G \subset X$ is open if and only if, for every point $x$ of $G$, there exists a ball $B(x, \varepsilon)$, centered at $x$, that is contained in $G$. A point $x$ is an accumulation point of a set $F$ if every ball centered at $x$ contains points from $F$ which are different from $x$, or, equivalently, there exists a sequence $x_n$ points of $F$ converging to $x$.
Note that a sequence $x_n$ converges to $x$ if and only if
$$
\forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon): d\left(x_n, x\right)<\varepsilon \quad \forall n \geq N
$$
Finally, a set is closed if it contains all its accumulation points.
Continuity in Metric Spaces. Let $(X, d)$ and $(Y, \rho)$ be two metric spaces. Recall that a function $f: X \rightarrow$ $Y$ is continuous at $x_0$ if
$$
f\left(\mathcal{B}{x_0}\right) \succ \mathcal{B}{f\left(x_0\right)}
$$
or, equivalently,
$$
\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0: f\left(B\left(x_0, \delta\right)\right) \subset B\left(f\left(x_0\right), \varepsilon\right)
$$
The last condition can be put into a more familiar form of the definition of continuity for metric spaces $(\varepsilon-\delta$ continuity):
Function $f: X \rightarrow Y$ is continuous at $x_0$ if and only if for every $\varepsilon>0$ there is a $\delta=\delta\left(\varepsilon, x_0\right)$ such that
$$
\rho\left(f(x), f\left(x_0\right)\right)<\varepsilon \quad \text { whenever } \quad d\left(x, x_0\right)<\delta $$ Note that number $\delta$ generally depends not only on $\varepsilon$, but also upon the choice of point $x_0$. If $\delta$ happens to be independent of $x_0$ for all $x_0$ from a set $E$, then $f$ is said to be uniformly continuous on $E$. Let us recall also that, since bases of neighborhoods are of countable type, i.e., metric spaces are first countable topological spaces, continuity in metric spaces is equivalent to sequential continuity: a function $f: X \rightarrow Y$ is continuous at $x_0$ if and only if $$ f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right) \quad \text { whenever } \quad x_n \rightarrow x_0 $$ Suppose now that there exists a constant $C>0$, such that
$$
\rho(f(x), f(y)) \leq C d(x, y) \quad \text { for every } x, y \in E
$$

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Topological Properties of Metric Spaces

设$X=(X, d)$是一个度量空间。定义对于每个$x \in X$, $x$的邻域的家族$\mathcal{B}_x$为以$x$为中心的开放球的家族
$$
\mathcal{B}_x={B(x, \varepsilon), \varepsilon>0}
$$
我们在$X$中引入一个由度量$d$诱导的拓扑。因此，每一个度量空间都是一个拓扑空间，其拓扑是由度量引起的。有两个直接的推论:
(i)基数$\mathcal{B}_x$为可数型。
(ii)度量拓扑是Hausdorff。
第一个观察结果是，$\mathcal{B}_x$等价于它的形式的底
$$
\left{B\left(x, \frac{1}{k}\right), \quad k=1,2, \ldots\right}
$$
为了证明第二个断言，考虑两个不同的点$x \neq y$。我们假设球$B(x, \varepsilon)$和$B(y, \varepsilon)$，其中$\varepsilon=d(x, y) / 2$是不相交的。的确，如果$z$是同时属于两个球的点，那么
$$
d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)<\varepsilon+\varepsilon=d(x, y)
$$
矛盾。
因此，我们在本章的前五节中为豪斯多夫第一可数拓扑空间导出的所有结果也适用于度量空间。让我们简要回顾一下其中的一些。

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Open and Closed Sets in Metric Spaces

度量空间中的开闭集。当且仅当对于$G$的每个点$x$，存在一个以$x$为中心的球$B(x, \varepsilon)$，该球包含在$G$中，集合$G \subset X$是开放的。如果每个以$x$为中心的球都包含来自$F$的不同于$x$的点，那么点$x$就是集合$F$的一个累加点，或者，等价地，存在一个从$F$汇聚到$x$的序列$x_n$点。
注意，序列$x_n$收敛到$x$当且仅当
$$
\forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon): d\left(x_n, x\right)<\varepsilon \quad \forall n \geq N $$ 最后，如果一个集合包含了它所有的累加点，那么它就是封闭的。 度量空间的连续性。设$(X, d)$和$(Y, \rho)$是两个度量空间。回想一下，函数$f: X \rightarrow$$Y$在$x_0$ if处是连续的 $$ f\left(\mathcal{B}{x_0}\right) \succ \mathcal{B}{f\left(x_0\right)} $$ 或者，等价地， $$ \forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0: f\left(B\left(x_0, \delta\right)\right) \subset B\left(f\left(x_0\right), \varepsilon\right)
$$
最后一个条件可以用更熟悉的度量空间连续性定义形式$(\varepsilon-\delta$ continuity)表示:
函数$f: X \rightarrow Y$在$x_0$是连续的当且仅当对于每个$\varepsilon>0$有一个$\delta=\delta\left(\varepsilon, x_0\right)$使得
$$
\rho\left(f(x), f\left(x_0\right)\right)<\varepsilon \quad \text { whenever } \quad d\left(x, x_0\right)<\delta $$请注意，数字$\delta$一般不仅取决于$\varepsilon$，还取决于点$x_0$的选择。如果对于一个集合$E$中的所有$x_0$, $\delta$恰好独立于$x_0$，那么$f$在$E$上是一致连续的。我们还回顾一下，由于邻域的基是可数型的，即度量空间是第一可数的拓扑空间，因此度量空间中的连续性等价于顺序连续性:一个函数$f: X \rightarrow Y$在$x_0$处连续当且仅当$$ f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right) \quad \text { whenever } \quad x_n \rightarrow x_0 $$，现在假设存在一个常数$C>0$，使得
$$
\rho(f(x), f(y)) \leq C d(x, y) \quad \text { for every } x, y \in E
$$

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Topological Subspaces and Product Topologies

In this section we shall complete the fundamental topological notions introduced in the previous section. In particular, we demonstrate how a topology on $X$ induces a topology on every subset of $X$ and how two topologies, one on $X$, another on $Y$, generate a topology on the Cartesian product $X \times Y$.

Topological Subspaces. Let $X$ be a topological space and $Y \subset X$ be an arbitrary subset of $X$. Set $Y$ can be supplied with a natural topology in which neighborhoods are simply the intersections of neighborhoods in $X$ with set $Y$. More precisely, for every $x \in Y$ we introduce the following base of neighborhoods
$$
\mathcal{B}_x^Y=\left{B \cap Y: B \in \mathcal{B}_x\right}
$$
where $\mathcal{B}_x$ is a base of neighborhoods of $x \in X$. It is easily verified that $\mathcal{B}_x^Y$ satisfies the axioms of a base of neighborhoods. With such an introduced topology set $Y$ is called the topological subspace of $X$.

PROPOSITION 4.2.1
Let $Y$ be a topological subspace of $X$ and $E \subset Y$ a subset of $Y$. Then
$$
Y \bar{E}=\bar{E} \cap Y
$$
where ${ }^Y \bar{E}$ denotes closure of $E$ in the topological subspace $Y$.
PROOF
“C.” Let $x \in^Y \bar{E}$. Then either $x \in E$ or $x$ is an accumulation point of $E$ from $Y-E$. In the first case $x$ obviously belongs to the right-hand side. In the second case we have
$$
B^Y \cap E-{x} \neq \emptyset \text { for every } B^Y \in \mathcal{B}_x^Y
$$
or, equivalently,
$B \cap Y \cap E-{x} \neq \emptyset \quad$ for every $B \in \mathcal{B}_x$
This implies that
$$
B \cap E-{x} \neq \emptyset \quad \text { for every } B \in \mathcal{B}_x
$$
i.e., $x$ is an accumulation point of $E$ in $X$.

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Product Topologies

Product Topologies. Let $X$ and $Y$ be two topological spaces. Introducing on the Cartesian product $X \times Y$ the following bases of neighborhoods,
$$
\mathcal{B}_{(x, y)}=\left{C=A \times B: A \in \mathcal{B}_x, B \in \mathcal{B}_y\right}
$$
where $\mathcal{B}_x$ and $\mathcal{B}_y$ denote bases of neighborhoods of $x$ in $X$ and $y$ in $Y$, respectively, we generate on $X \times Y$ a topology called the product topology of topologies on $X$ and $Y$.

Of course, the Cartesian product $X \times Y$, as any set, can be supplied with a different topology, but the product topology is the most natural one and we shall always assume that $X \times Y$ is supplied with this topology, unless explicitly stated otherwise.
We leave as an exercise proof of the following simple result.
PROPOSITION 4.2.3
Let $X$ and $Y$ be two topological spaces. The following hold:
(i) $A$ is open in $X$ and $B$ is open in $Y \Leftrightarrow A \times B$ is open in $X \times Y$.
(ii) $A$ is closed in $X$ and $B$ is closed in $Y \Leftrightarrow A \times B$ is closed in $X \times Y$.
The notion of the product topology can be easily generalized to the case of a Cartesian product of more than two spaces.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Topological Subspaces and Product Topologies

在本节中，我们将完成在前一节中介绍的基本拓扑概念。特别是，我们演示了$X$上的拓扑如何在$X$的每个子集上推导出拓扑，以及两个拓扑(一个在$X$上，另一个在$Y$上)如何在笛卡尔积$X \times Y$上生成拓扑。

拓扑子空间。设$X$为拓扑空间，$Y \subset X$为$X$的任意子集。集合$Y$可以提供一个自然拓扑，其中的邻域只是$X$中邻域与集合$Y$的交集。更准确地说，对于每个$x \in Y$，我们引入以下邻域基础
$$
\mathcal{B}_x^Y=\left{B \cap Y: B \in \mathcal{B}_x\right}
$$
其中$\mathcal{B}_x$是$x \in X$社区的基地。很容易证明$\mathcal{B}_x^Y$满足邻域基公理。有了这样一个引入的拓扑集，$Y$被称为$X$的拓扑子空间。

提案4.2.1
让 $Y$ 的拓扑子空间 $X$ 和 $E \subset Y$ 的子集 $Y$． 然后
$$
Y \bar{E}=\bar{E} \cap Y
$$
在哪里 ${ }^Y \bar{E}$ 表示的闭包 $E$ 在拓扑子空间中 $Y$．
证明
“c。”让 $x \in^Y \bar{E}$． 然后要么 $x \in E$ 或 $x$ 是一个积累点吗 $E$ 从 $Y-E$． 在第一种情况下 $x$ 显然是在右边。在第二种情况下
$$
B^Y \cap E-{x} \neq \emptyset \text { for every } B^Y \in \mathcal{B}_x^Y
$$
或者，等价地，
$B \cap Y \cap E-{x} \neq \emptyset \quad$ 对于每一个 $B \in \mathcal{B}_x$
这意味着
$$
B \cap E-{x} \neq \emptyset \quad \text { for every } B \in \mathcal{B}_x
$$
即， $x$ 是一个积累点吗 $E$ 在 $X$．

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Product Topologies

产品拓扑。让 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间。介绍笛卡尔积 $X \times Y$ 以下是社区的基础，
$$
\mathcal{B}_{(x, y)}=\left{C=A \times B: A \in \mathcal{B}_x, B \in \mathcal{B}_y\right}
$$
在哪里 $\mathcal{B}_x$ 和 $\mathcal{B}_y$ 表示邻域的基 $x$ 在 $X$ 和 $y$ 在 $Y$，分别生成 $X \times Y$ 一种拓扑称为拓扑的乘积拓扑 $X$ 和 $Y$．

当然，笛卡尔积$X \times Y$，作为任何集合，可以提供不同的拓扑，但乘积拓扑是最自然的，我们总是假设$X \times Y$提供这种拓扑，除非另有明确说明。
我们留下下面这个简单结果的练习证明。
提案4.2.3
设$X$和$Y$为两个拓扑空间。以下观点:
(i) $A$在$X$中打开，$B$在$Y \Leftrightarrow A \times B$中打开，$X \times Y$在中打开。
(ii) $A$在$X$关闭，$B$在$Y \Leftrightarrow A \times B$在$X \times Y$关闭。
乘积拓扑的概念可以很容易地推广到两个以上空间的笛卡尔积的情况。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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泛函分析functional analysis是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Measurable and Borel Functions

Lebesgue Measurable and Borel Functions. We say that a function $\varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ is (Lebesgue) measurable if the following conditions hold:
(i) $\operatorname{dom} \varphi$ is measurable (in $\mathbb{R}^n$ ).
(ii) The set ${(\boldsymbol{x}, y) \in \operatorname{dom} \varphi \times \mathbb{R}: y<\varphi(\boldsymbol{x})}$ is measurable (in $\mathbb{R}^{n+1}$ ).
Similarly we say that function $\varphi$ is Borel if its domain is a Borel set and the set defined above is Borel. If no confusion occurs, we will use a simplified notation ${y<\varphi(\boldsymbol{x})}$ in place of ${(\boldsymbol{x}, y) \in E \times \mathbb{R}: y<\varphi(\boldsymbol{x})}$.
Some fundamental properties of measurable and Borel functions are summarized in the following propositions.
PROPOSITION 3.4.1
The following properties hold:
(i) $E \subset \mathbb{R}^n$ measurable (Borel), $\varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ measurable (Borel) $\left.\Rightarrow \varphi\right|_E$ measurable (Borel).
(ii) $\varphi_i: E_i \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ measurable (Borel), $E_i$ pairwise disjoint $\Rightarrow \varphi=\bigcup_1^{\infty} \varphi_i$ measurable (Borel).
(iii) $\varphi$ measurable (Borel) $\Rightarrow \lambda \varphi$ measurable (Borel).
(iv) $\varphi_i: E \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ measurable (Borel) $\Rightarrow$ (pointwise) $\sup \varphi_i, \inf \varphi_i, \lim \sup \varphi_i, \lim \inf \varphi_i$ measurable (Borel). In particular if $\lim \varphi_i$ exists, then $\lim \varphi_i$ is measurable (Borel).

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Lebesgue Integral of Nonnegative Functions

Definition of Lebesgue Integral. Let $\varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ be a nonnegative function. Assume that domain of $\varphi$, dom $\varphi$ is measurable (Borel) and define the set
$$
S(\varphi)={(\boldsymbol{x}, y) \in \operatorname{dom} \varphi \times \mathbb{R}: 0<y<\varphi(\boldsymbol{x})}
$$
One can easily prove that set $S(\varphi)$ is measurable (Borel) if and only if function $\varphi$ is measurable (Borel).
The Lebesgue measure (in $\mathbb{R}^{n+1}$ ) of set $S(\varphi)$ will be called the Lebesgue integral of function $\varphi$ (over its domain) and denoted by
$$
\int \varphi d m \text { or } \int \varphi(\boldsymbol{x}) d m(\boldsymbol{x}) \text { or } \int \varphi(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{x}
$$
Thus
$$
\int \varphi d m=m_{(n+1)}(S(\varphi))
$$
where $m_{(n+1)}$ denotes the Lebesgue measure in $\mathbb{R}^{n+1}$.
If $E$ is a measurable set then the integral of function $\varphi$ over set $E$ is defined as the integral of $\varphi$ restricted to $E$, i.e.,
$$
\left.\int_E \varphi d m \stackrel{\text { def }}{=} \int \varphi\right|E d m=m{(n+1)}\left(S\left(\left.\varphi\right|E\right)\right)=m{(n+1)}(S(\varphi) \cap(E \times \mathbb{R}))
$$
The concept of the integral is illustrated in Fig. 3.2. The geometrical interpretation is clear.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Measurable and Borel Functions

勒贝格可测函数和Borel函数。如果满足以下条件，我们说函数$\varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$是可测量的(Lebesgue):
(i) $\operatorname{dom} \varphi$是可测量的(在$\mathbb{R}^n$中)。
(ii)集合${(\boldsymbol{x}, y) \in \operatorname{dom} \varphi \times \mathbb{R}: y<\varphi(\boldsymbol{x})}$是可测量的(在$\mathbb{R}^{n+1}$)。
类似地，如果函数$\varphi$的定义域是Borel集合，并且上面定义的集合是Borel，我们就说它是Borel。如果没有混淆，我们将使用简化的符号${y<\varphi(\boldsymbol{x})}$代替${(\boldsymbol{x}, y) \in E \times \mathbb{R}: y<\varphi(\boldsymbol{x})}$。
可测函数和Borel函数的一些基本性质总结在以下命题中。
提案3.4.1
以下属性成立:
(i) $E \subset \mathbb{R}^n$可测量(Borel)， $\varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$可测量(Borel) $\left.\Rightarrow \varphi\right|_E$可测量(Borel)。
(ii) $\varphi_i: E_i \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$可测量(Borel)， $E_i$两两不相交$\Rightarrow \varphi=\bigcup_1^{\infty} \varphi_i$可测量(Borel)。
(iii) $\varphi$可测量(Borel) $\Rightarrow \lambda \varphi$可测量(Borel)。
(iv) $\varphi_i: E \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$可测量(Borel) $\Rightarrow$ (point – twise) $\sup \varphi_i, \inf \varphi_i, \lim \sup \varphi_i, \lim \inf \varphi_i$可测量(Borel)。特别是如果$\lim \varphi_i$存在，那么$\lim \varphi_i$是可测量的(Borel)。

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Lebesgue Integral of Nonnegative Functions

勒贝格积分的定义。设$\varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$为非负函数。假设$\varphi$, dom $\varphi$的域是可测量的(Borel)，并定义集合
$$
S(\varphi)={(\boldsymbol{x}, y) \in \operatorname{dom} \varphi \times \mathbb{R}: 0<y<\varphi(\boldsymbol{x})}
$$
当且仅当函数$\varphi$是可测量的(Borel)，可以很容易地证明集合$S(\varphi)$是可测量的(Borel)。
集合$S(\varphi)$的Lebesgue测度(在$\mathbb{R}^{n+1}$中)称为函数$\varphi$(在其定义域上)的Lebesgue积分，并表示为
$$
\int \varphi d m \text { or } \int \varphi(\boldsymbol{x}) d m(\boldsymbol{x}) \text { or } \int \varphi(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{x}
$$
因此
$$
\int \varphi d m=m_{(n+1)}(S(\varphi))
$$
其中$m_{(n+1)}$为$\mathbb{R}^{n+1}$中的勒贝格测度。
如果$E$是一个可测集合，则函数$\varphi$对集合$E$的积分定义为$\varphi$对$E$的积分，即:
$$
\left.\int_E \varphi d m \stackrel{\text { def }}{=} \int \varphi\right|E d m=m{(n+1)}\left(S\left(\left.\varphi\right|E\right)\right)=m{(n+1)}(S(\varphi) \cap(E \times \mathbb{R}))
$$
积分的概念如图3.2所示。几何上的解释很清楚。

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微观经济学代写

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博弈论代写

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Multilinear Symmetric Functionals

In an analogous way we introduce the notion of symmetric functionals. An $m$-linear functional defined on a space $V$ is said to be symmetric, if switching any two indices with each other does not change its value, i.e.,
$$
a\left(\ldots, v_i, \ldots, v_j, \ldots\right)=a\left(\ldots, v_j, \ldots, v_i, \ldots\right)
$$

The symmetric functionals form another subspace of $m$-linear functionals, denoted by $M_m^s(V)$. In the case of a finite-dimensional space $\operatorname{dim} V=n$, one can show (comp. Exercise 2.13.1) that
$$
\operatorname{dim} M_m^s(V)=C_{n+m-1}^m=\left(\begin{array}{c}
n+m-1 \
m
\end{array}\right)
$$
The rest of this section is devoted to determinants. From now on, we will consider finite-dimensional space only. In the case of finite-dimensional spaces, the multilinear functionals are frequently called multilinear forms.

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Determinant of a Linear Transformation

Let $\operatorname{dim} X=n$. Let $A: X \rightarrow X$ be a linear map from the space $X$ into itself. Let $a\left(v_1, \ldots, v_n\right)$ denote any nontrivial $n$-linear functional defined on $X$. Notice that the space $M_n^a(X)$ is one-dimensional which implies that $a$ is unique up to a multiplicative constant. Consider the composition of map $A$ and functional $a$,
$$
(a \bar{\circ} A)\left(v_1, \ldots, v_n\right)=(a \circ(A \times \ldots \times A))\left(v_1, \ldots, v_n\right)=a\left(A v_1, \ldots, A v_n\right)
$$
The composition is also an $n$-linear functional on $V$ and, due to the fact that $\operatorname{dim} M_n^a(V)=1$, it must simply be a product of the original functional $a$ with a number. We will identify the number as the determinant of $\operatorname{map} A, \operatorname{denoted} \operatorname{det} A$,
$$
a \bar{\circ} A=\operatorname{det} A a
$$
Notice that the definition does not depend upon the choice of functional $a$. The definition implies immediately the famous result of Cauchy.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Multilinear Symmetric Functionals

我们以类似的方式引入对称泛函的概念。定义在空间$V$上的$m$ -线性泛函是对称的，如果任意两个指标相互交换不改变其值，即:
$$
a\left(\ldots, v_i, \ldots, v_j, \ldots\right)=a\left(\ldots, v_j, \ldots, v_i, \ldots\right)
$$

对称泛函形成$m$ -线性泛函的另一个子空间，表示为$M_m^s(V)$。在有限维空间$\operatorname{dim} V=n$的情况下，可以显示(比较练习2.13.1)
$$
\operatorname{dim} M_m^s(V)=C_{n+m-1}^m=\left(\begin{array}{c}
n+m-1 \
m
\end{array}\right)
$$
本节的其余部分专门讨论行列式。从现在开始，我们将只考虑有限维空间。在有限维空间中，多线性泛函通常称为多线性形式。

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Determinant of a Linear Transformation

让$\operatorname{dim} X=n$。设$A: X \rightarrow X$为从空间$X$到自身的线性映射。设$a\left(v_1, \ldots, v_n\right)$表示在$X$上定义的任何非平凡的$n$ -线性泛函。注意，空间$M_n^a(X)$是一维的，这意味着$a$直到一个乘法常数都是唯一的。考虑map $A$和函数$a$的组成，
$$
(a \bar{\circ} A)\left(v_1, \ldots, v_n\right)=(a \circ(A \times \ldots \times A))\left(v_1, \ldots, v_n\right)=a\left(A v_1, \ldots, A v_n\right)
$$
该组合也是$V$上的$n$ -线性函数，由于$\operatorname{dim} M_n^a(V)=1$的事实，它必须是原始函数$a$与数字的乘积。我们把这个数看作是$\operatorname{map} A, \operatorname{denoted} \operatorname{det} A$的行列式，
$$
a \bar{\circ} A=\operatorname{det} A a
$$
注意，定义不依赖于函数$a$的选择。这个定义直接暗示了柯西的著名结论。

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微观经济学代写

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博弈论代写

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计量经济学代写

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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泛函分析functional analysis是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Equivalence Relations and Quotient Spaces

Recall that a relation $R$ in a set $V$ has been called an equivalence relation whenever $R$ satisfies three axioms:
(i) $x R x$ (reflexivity)
(ii) $x R y \Rightarrow y R x$ (symmetricity)
(iii) $x R y, y R z \Rightarrow x R z$ (transitivity)
Let $V$ be now a vector space. The simplest example of an equivalence relation in $V$ is constructed by taking a subspace $M \subset V$ and defining the relation $R_M$ by
$$
\boldsymbol{x} R_M \boldsymbol{y} \stackrel{\text { def }}{\Leftrightarrow} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \in M
$$
It is easily verified that the three conditions are satisfied. Consequently, we can use the notion of an equivalence class $[\boldsymbol{x}]$ consisting of all elements equivalent to $\boldsymbol{x}$. In other words
$$
[\boldsymbol{x}]={\boldsymbol{y} \in V: \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x} \in M}
$$
which is equivalent to
$$
[\boldsymbol{x}]=\boldsymbol{x}+M
$$
Thus equivalent class $[\boldsymbol{x}]$ can be identified as an affine subspace “parallel” to $M$, passing through vector $\boldsymbol{x}$. Subspace $M$, particularly, can be identified as an equivalence class of the zero vector $\mathbf{0}$.

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Linear Dependence and Independence, Hamel Basis, Dimension

Linear Combination. Given $k$ vectors $\boldsymbol{x}1, \ldots, \boldsymbol{x}_k$ and $k$ scalars $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$, the vector $$ \sum{i=1}^k \alpha_i \boldsymbol{x}_i=\alpha_1 \boldsymbol{x}_1+\ldots+\alpha_k \boldsymbol{x}_k
$$
is called a linear combination of the vectors $\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_k$.
Linear Dependence. We say that a vector $\boldsymbol{x}$ is linearly dependent on vectors $\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_k$ if there exists a linear combination of $\boldsymbol{x}_i$ equal to $\boldsymbol{x}$, i.e.,
$$
\boldsymbol{x}=\alpha_1 \boldsymbol{x}_1+\ldots+\alpha_k \boldsymbol{x}_k
$$
Vectors $\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_k$ are called linearly independent if none of them is linearly dependent upon the remaining ones. If not, they are called linearly dependent.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Equivalence Relations and Quotient Spaces

回想一下，当$R$满足三个公理时，集合$V$中的关系$R$被称为等价关系:
(i) $x R x$(反身性)
(ii) $x R y \Rightarrow y R x$(对称)
(iii) $x R y, y R z \Rightarrow x R z$(及物性)
设$V$是一个向量空间。$V$中等价关系的最简单示例是通过取一个子空间$M \subset V$并定义关系$R_M$来构造的
$$
\boldsymbol{x} R_M \boldsymbol{y} \stackrel{\text { def }}{\Leftrightarrow} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \in M
$$
很容易证明这三个条件都满足。因此，我们可以使用等价类$[\boldsymbol{x}]$的概念，该等价类包含与$\boldsymbol{x}$等价的所有元素。换句话说
$$
[\boldsymbol{x}]={\boldsymbol{y} \in V: \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x} \in M}
$$
它等价于
$$
[\boldsymbol{x}]=\boldsymbol{x}+M
$$
因此，等价类$[\boldsymbol{x}]$可以被识别为“平行”于$M$的仿射子空间，通过向量$\boldsymbol{x}$。特别地，子空间$M$可以被识别为零向量$\mathbf{0}$的等价类。

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Linear Dependence and Independence, Hamel Basis, Dimension

线性组合。给定$k$向量$\boldsymbol{x}1, \ldots, \boldsymbol{x}_k$和$k$标量$\alpha_1, \ldots, \alpha_k$，向量$$ \sum{i=1}^k \alpha_i \boldsymbol{x}_i=\alpha_1 \boldsymbol{x}_1+\ldots+\alpha_k \boldsymbol{x}_k
$$
叫做向量的线性组合$\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_k$。
线性相关。我们说向量$\boldsymbol{x}$线性依赖于向量$\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_k$，如果存在$\boldsymbol{x}_i$等于$\boldsymbol{x}$的线性组合，即:
$$
\boldsymbol{x}=\alpha_1 \boldsymbol{x}_1+\ldots+\alpha_k \boldsymbol{x}_k
$$
向量$\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_k$被称为线性无关的，如果他们没有一个是线性依赖于其余的。如果不是，则称为线性相关。

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。