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## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Orthogonal local martingales

Orthogonal local martingales Let $U=\left(U^1, \ldots, U^n\right)$ and $V=\left(V^1, \ldots, V^m\right)$ be two $\mathbb{F}$-local martingales taking values in $\mathbb{R}^n$ and $\mathbb{R}^m$, respectively. We say that $U$ and $V$ are orthogonal if the processes $U^i V^j$ are $\mathbb{F}$-local martingales or, equivalently, if the square bracket process $\left[U^i, V^j\right]$ is null for $i=1, \ldots, n, j=1, \ldots, m$.

Random measure A nonnegative function $\mu$ on $\Omega \times \mathcal{B}\left(\mathbb{R}{+}\right) \times \mathcal{X}$ is called a random measure on $\mathbb{R}{+} \times \mathcal{X}$ if, for any $\omega \in \Omega$, the function $\mu(\omega ; \cdot, \cdot)$ is a measure on $\left(\mathbb{R}{+} \times\right.$ $\left.\mathcal{X}, \mathcal{B}\left(\mathbb{R}{+}\right) \times \mathcal{X}\right)$
We let
$$\widetilde{\Omega}=\Omega \times \mathbb{R}_{+} \times \mathcal{X}, \quad \widetilde{\mathcal{O}}=\mathcal{O} \otimes \mathcal{X}, \quad \widetilde{\mathcal{P}}=\mathcal{P} \otimes \mathcal{X}$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Random measures: compensator

Random measures: compensator Let a random measure $\mu$ be $\tilde{\mathcal{P}}$ – $\sigma$-finite. Then there exists a unique predictable random measure $v$ which is characterized by either one of the two following properties:
(i) $\mathbb{E}\left(W * \mu_{\infty}\right)=\mathbb{E}\left(W * v_{\infty}\right)$ for every nonnegative predictable function $W$.
(ii) For any predictable function $W$ such that the process $|W| * \mu$ is increasing and locally integrable, the process
$$W * \mu-W * v$$
is a local martingale.
A measure $v$ satisfying the above properties is called the $(\mathbb{F}, \mathbb{P})$-compensator (or, the $\mathbb{F}$-compensator, or just the compensator) or the dual predictable projection onto $\mathbb{F}$ of $\mu$.

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Classical univariate Hawkes process

$$\eta(t, 1)=\lambda(t)$$

$$f(t, s, 1,1)=w(t-s)$$

$$\kappa(t, d y)=\bar{\kappa}(t) \delta_1(d y)$$

$$\bar{\kappa}(t)=\lambda(t)+\int_{(0, t)} w(t-s) d N_s$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Generalized multivariate Hawkes process with no common event times

$$\eta(t, d y)=\eta_1\left(t, d y_1\right) \otimes \delta_{\Delta}\left(d y_2\right)+\delta_{\Delta}\left(d y_1\right) \otimes \eta_2\left(t, d y_2\right)$$

$$f(t, s, x, d y)=\left(\bar{\omega} 1,1\left(t, s, x_1\right) \mathbb{1} E_1 \times \Delta(x)+\bar{\omega} 1,2\left(t, s, x_2\right) \mathbb{1} \Delta \times E_2(x)\right) \phi_1\left(x, d y_1\right) \otimes \delta_{\Delta}\left(d y_2\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Classical univariate Hawkes process

Classical univariate Hawkes process We take $d=1$ and $E_1=$ ${1}$, so that $E^{\Delta}=E_1={1}$. As usual, and in accordance with (11.2), we identify $N$ with a point process $\left(N_t\right){t \geq 0}$. Now we take $$\eta(t,{1})=\lambda(t),$$ where $\lambda$ is a positive locally integrable function, and, for $0 \leq s \leq t$, we take $$f(t, s, 1,{1})=w(t-s)$$ for some nonnegative function $w$ defined on $\mathbb{R}{+}$(recall that $f(t, s, 1,{1})=0$ for $s>t \geq 0$ ). Using these objects we define $\kappa$ by
$$\kappa(t, d y)=\bar{\kappa}(t) \delta_{{1}}(d y),$$
where
$$\bar{\kappa}(t)=\lambda(t)+\int_{(0, t)} w(t-s) d N_s .$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Generalized multivariate Hawkes process with no common event times

For simplicity we present only a generalized bivariate Hawkes process $N$. So $d=2$ and the mark space is given as
$$E^{\Delta}=E_1^{\Delta} \times E_2^{\Delta} \backslash{(\Delta, \Delta)}=\left{\left(\Delta, y_2\right),\left(y_1, \Delta\right),\left(y_1, y_2\right): y_1 \in E_1, y_2 \in E_2\right} .$$
Here, to define $\kappa(t, d y)$ we take
$$\eta(t, d y)=\eta_1\left(t, d y_1\right) \otimes \delta_{\Delta}\left(d y_2\right)+\delta_{\Delta}\left(d y_1\right) \otimes \eta_2\left(t, d y_2\right)$$
where $\eta_i$ is a kernel from $\left(\mathbb{R}{+}, \mathcal{B}\left(\mathbb{R}{+}\right)\right)$to $\left(E_i, \mathcal{E}i\right)$ and $\delta{\Delta}$ is a Dirac measure. Moreover, for $0 \leq s \leq t$
\begin{aligned} & f(t, s, x, d y) \ &=\left(\bar{\omega}{1,1}\left(t, s, x_1\right) \mathbb{1}{E_1 \times \Delta}(x)+\bar{\omega}{1,2}\left(t, s, x_2\right) \mathbb{1}{\Delta \times E_2}(x)\right) \phi_1\left(x, d y_1\right) \otimes \delta_{\Delta}\left(d y_2\right) \ &+\left(\bar{\omega}{2,1}\left(t, s, x_1\right) \mathbb{1}{E_1 \times \Delta}(x)+\bar{\omega}{2,2}\left(t, s, x_2\right) \mathbb{1}{\Delta \times E_2}(x)\right) \delta_{\Delta}\left(d y_1\right) \otimes \phi_2\left(x, d y_2\right) . \end{aligned}

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Classical univariate Hawkes process

$$\eta(t, 1)=\lambda(t)$$

$$f(t, s, 1,1)=w(t-s)$$

$$\kappa(t, d y)=\bar{\kappa}(t) \delta_1(d y),$$

$$\bar{\kappa}(t)=\lambda(t)+\int_{(0, t)} w(t-s) d N_s .$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Generalized multivariate Hawkes process with no common event times

\left 缺少或无法识别的分隔符

$$\eta(t, d y)=\eta_1\left(t, d y_1\right) \otimes \delta_{\Delta}\left(d y_2\right)+\delta_{\Delta}\left(d y_1\right) \otimes \eta_2\left(t, d y_2\right)$$

$$f(t, s, x, d y) \quad=\left(\bar{\omega} 1,1\left(t, s, x_1\right) \mathbb{1} E_1 \times \Delta(x)+\bar{\omega} 1,2\left(t, s, x_2\right) \mathbb{1} \Delta \times E_2(x)\right) \phi_1\left(x, d y_1\right) \otimes \delta_{\Delta}\left(d y_2\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

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## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Semimartingale Structures: Definition

Let $Y^i$ be an $\mathbb{R}^{d_i}$-valued special semimartingale defined on a canonical probability space $\left(\Omega^i, \mathcal{G}^i, \mathbb{G}^i, \mathbb{P}^i\right), i=1,2$. Let $\left(\widehat{B}^i, \widehat{C}^i, \widehat{v}^i\right)$ denote the $\mathbb{G}^i$-canonical characteristics ${ }^1$ of $Y^i, i=1,2$.

It is useful in applications to assume that the law of $Y^i, i=1,2$, is uniquely determined by its characteristic triple. This uniqueness property can be verified in terms of the uniqueness of the solution to the related martingale problem (see Jacod and Shiryaev (2003), Section III.2) for details). It is satisfied in the examples presented in this section.

Definition 9.1 We say that an $\mathbb{R}^{d_1} \times \mathbb{R}^{d_2}$-valued process $X=\left(X^1, X^2\right)$ on the canonical probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})$ is a semimartingale structure for $Y^i, i=1,2$, if the following conditions hold:

• The process $X=\left(X^1, X^2\right)$ is a special semimartingale.
• The $\mathbb{F}^i$-characteristics of $X^i$, say $\left(\widetilde{B}^i, \widetilde{C}^i, \widetilde{v}^i\right)$, are equal (as functions of trajectories) to $\left(\widehat{B}^i, \widehat{C}^i, \widehat{v}^i\right)$ for $i=1,2$.

If, in addition, the process $X$ is strongly semimartingale-consistent with respect to $X^i$ for each $i=1,2$ (see Definition $5.3$ ) then we call $X$ a strong semimartingale structure for $Y^i, i=1,2$. Otherwise, we call $X$ a semi-strong semimartingale structure for $Y^i, i=1,2$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Semimartingale Structures: Examples

We first present an example of a semi-strong semimartingale structure and then we proceed with examples of strong semimartingale structures.

Example 9.2 Let us consider the set-up of Example 5.2. The coordinate $X^1$ of $X$ is a special semimartingale on $\left(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}^1, \mathbb{P}\right)$, and the $\mathbb{F}^1$-jump-characteristic of $X^1$ is given as
\begin{aligned} \widetilde{v}^1\left(d s, d x_1\right)= & \delta_1\left(d x_1\right) \mathbb{E}\left(\frac{\int_s^{\infty} f(s, v) d v}{\int_s^{\infty} \int_s^{\infty} f(u, v) d u d v} \mathbb{1}{\left{s \leq T_1 \wedge T_2\right}} \mid \mathcal{F}_s^1\right) d s \ & +\mathbb{E}\left(\frac{f\left(s, T_2\right)}{\int_s^{\infty} f\left(u, T_2\right) d u} \mathbb{1}{\left{T_2<s \leq T_1\right}} \mid \mathcal{F}_s^1\right) d s \end{aligned}

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Semimartingale Structures: Definition

• 过程 $X=\left(X^1, X^2\right)$ 是一种特殊的半鞅。
• 这 $\mathbb{F}^i$-特点 $X^i$, 说 $\left(\widetilde{B}^i, \widetilde{C}^i, \tilde{v}^i\right)$, 等于 (作为轨迹的函数) $\left(\widehat{B}^i, \widehat{C}^i, \hat{v}^i\right)$ 为了 $i=1,2$.
如果，另外，过程 $X$ 是强半鞅一致的 $X^i$ 每个 $i=1,2$ (见定义 5.3) 然后我们调用 $X$ 一个强大的半鞅结构 $Y^i, i=1,2$. 否则，我们称 $X$ 半强半鞅结构 $Y^i, i=1,2$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Semimartingale Structures: Examples

\left 缺少或无法识别的分隔符

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|SKEW DISTRIBUTION

Azzalini (1985) introduced skew symmetric distribution. Suppose a random variable has symmetric distribution with $\mathrm{cdf} \mathrm{F}(\mathrm{x})$ and $\mathrm{pdf} \mathrm{f}(\mathrm{x})$. Then the corresponding skew symmetric distribution with pdf $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ was defined by Azzalini as $\mathrm{g}(\mathrm{x})=-2 \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{F}(\alpha x)$ for some $\alpha \neq 0$. For various skew symmetric distribution see Azzalini (2014).

Ahsanullah and Nevzorov (2017, ) gave characterizations of the skew tdistribution with 2 and 3 degrees of freedom.

The next two theorems give the characterizations of the Skew t distribution with 2 degrees of freedom.

The pdf $f_{2 s}(x)$ of the skew $\mathrm{t}$-distribution with 2 degrees of freedom is
$$f_{2 s \alpha}(\mathrm{x})=\frac{1}{\left(2+x^{2}\right)^{1 / 2}}\left(1+\frac{\alpha x}{\forall\left(1+\alpha^{2} x^{2}\right)}\right) .-\infty<x<\infty, \alpha \neq 0 \text {. }$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|LINDLEY DISTRIBUTION

The following Theorem was given by Ahsanullah and Bairamov (2000)
Theorem 7.11.1. Let $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ are $\mathrm{n}$ independent and identically distributed absolutely continuous positive random variables with cdf $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ and $\operatorname{pdf} f(x)$. Then
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{a}, 0<\mathrm{x} \leq \mathrm{a}$, a is any positive number
$=0$, otherwise.
If and only

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{\max \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)} \text { and } 1+\sum_{i=1}^{n-1} U_{i},$$
have identical distribution, where $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}$ have independent and identical uniform distribution on $[0,1]$.

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|SKEW DISTRIBUTION

Azzalini (1985) 引入了偏斜对称分布。假设随机变量具有对称分布 $\operatorname{cdfF}(\mathrm{x})$ 和pdff $(\mathrm{x})$. 那对应的偏斜对称分布与 $\mathrm{pdfg}(\mathrm{x})$ 由 Azzalini 定义为 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=-2 \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{F}(\alpha x)$ 对于一些 $\alpha \neq 0$. 有关各种偏斜对称分布，请参见 Azzalini (2014)。
Ahsanullah 和 Nevzorov $(2017 ，)$ 描述了具有 2 和 3 目由度的偏斜分布。

PDF格式 $f_{2 s}(x)$ 偏斜的t- 具有 2 个自由度的分布是
$$f_{2 s \alpha}(\mathrm{x})=\frac{1}{\left(2+x^{2}\right)^{1 / 2}}\left(1+\frac{\alpha x}{\forall\left(1+\alpha^{2} x^{2}\right)}\right) \cdot-\infty<x<\infty, \alpha \neq 0 .$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|LINDLEY DISTRIBUTION

$=0$, 否则。

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{\max \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)} \text { and } 1+\sum_{i=1}^{n-1} U_{i},$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。