Tag: MATH453

如果你也在 怎样代写数论Number theory 学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory很美。这很有趣。这就是为什么人们几千年来一直这样做，为什么人们今天仍然这样做。数论是如此自然地吸引人，它为数学专业的学生或非专业的学生提供了一个完美的介绍，让他们了解为了数学本身而做数学的想法，以及从中获得的乐趣。

数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm 1

Let $m$ be a positive squarefree integer. Theorem 11.2.1 tells us that there exist positive integers $x$ and $y$ such that $x^2-m y^2=1$. Hence $\lambda=x+y \sqrt{m}$ is a unit of $O_K$, where $K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$, such that $\lambda>1$ and $N(\lambda)=1$. Since $\lambda^n \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty, O_K$ has infinitely many units of norm 1 , namely $\left{\lambda^n \mid n \in \mathbb{Z}\right}$. All of these units are of the form $u+v \sqrt{m}$, where $u$ and $v$ are integers such that $u^2-m v^2=1$. However, when $m \equiv 1(\bmod 4)$, there may be units in $O_K$ of the form $(u+v \sqrt{m}) / 2$, where $u$ and $v$ are both odd integers. For example $(3+\sqrt{5}) / 2$ is a unit of norm 1 in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})}$. In contrast, $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{17})}$ does not contain any units of the form $(u+v \sqrt{17}) / 2$, where $u$ and $v$ are both odd integers, since $u^2-17 v^2= \pm 4$ cannot hold modulo 8 for odd integers $u$ and $v$.

Let $\lambda=x+y \sqrt{m}$ be a unit of $O_K(K=\mathbb{Q}(\sqrt{m}))$ of norm 1 with $x$ and $y$ both integers or possibly in the case $m \equiv 1(\bmod 4)$ both halves of odd integers. We now show how the signs of $x$ and $y$ determine to which of the four intervals $(-\infty,-1),(-1,0),(0,1)$, or $(1, \infty) \lambda$ belongs.

Theorem 11.3.1 Let $m$ be a positive squarefree integer. Let $x$ and $y$ both be integers or both halves of odd integers such that $x^2-m y^2=1$. Then
$$
\begin{aligned}
x+y \sqrt{m}>1 & \Longleftrightarrow x>0, y>0, \
00, y<0, \ -10, \
x+y \sqrt{m}<-1 & \Longleftrightarrow x<0, y<0 .
\end{aligned}
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm −1

Let $m$ be a positive squarefree integer. We have already observed that the ring $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of integers of the real quadratic field $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ may or may not contain units of norm -1 . Indeed $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}$ has units such as $1+\sqrt{2}$ of norm -1 whereas $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})}$ does not contain any units of norm -1 . We suppose that $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ contains units of norm -1 and show that there exists a unique unit $\sigma>1$ in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm -1 such that all units in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm -1 are given by $\pm \sigma^{2 k+1}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$ and all units in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm 1 are given by $\pm \sigma^{2 k}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$.

Theorem 11.4.1 Let $m$ be a positive squarefree integer. Suppose that $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ contains units of norm -1 . Then there exists a unique unit $\sigma>1$ of norm -1 in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ such that every unit in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ is of the form $\pm \sigma^n$ for some integer $n$.

Proof: Let $\rho$ be a unit in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm -1 . Let $\rho^{\prime}$ denote its conjugate. Then
$$
\rho \rho^{\prime}=N(\rho)=-1
$$
so that
$$
\rho^2 \rho^{\prime 2}=1
$$
Thus $\rho^2$ is a unit of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm 1. Hence, by Theorem 11.3.2(b), we have
$$
\rho^2= \pm \epsilon^n
$$
for some integer $n$, where $\epsilon$ is the fundamental unit of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm 1. Clearly $\rho^2>0$ and $\epsilon^n>0$ so that
$$
\rho^2=\epsilon^n .
$$
If $n$ is even, say $n=2 k$, then
$$
\rho^2=\epsilon^{2 k}
$$
so that
$$
\rho= \pm \epsilon^k
$$
Hence
$$
N(\rho)=N\left( \pm \epsilon^k\right)=N(\epsilon)^k=1,
$$
contradicting $N(\rho)=-1$. Thus $n$ must be odd, say $n=2 l+1$, and so
$$
\rho^2=\epsilon^{2 l+1} .
$$
Hence
$$
\epsilon=\left(\rho \epsilon^{-l}\right)^2 .
$$

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm 1

设$m$是一个正的无平方整数。定理11.2.1告诉我们存在正整数$x$和$y$，使得$x^2-m y^2=1$。因此$\lambda=x+y \sqrt{m}$是$O_K$的一个单位，其中$K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$，即$\lambda>1$和$N(\lambda)=1$。因为$\lambda^n \rightarrow \infty$作为$n \rightarrow \infty, O_K$有无穷多个范数1的单位，即$\left{\lambda^n \mid n \in \mathbb{Z}\right}$。所有这些单位的形式都是$u+v \sqrt{m}$，其中$u$和$v$是整数，因此$u^2-m v^2=1$。但是，当使用$m \equiv 1(\bmod 4)$时，$O_K$中可能存在形式为$(u+v \sqrt{m}) / 2$的单位，其中$u$和$v$都是奇数。例如，$(3+\sqrt{5}) / 2$是$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})}$中norm 1的单位。相反，$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{17})}$不包含任何形式为$(u+v \sqrt{17}) / 2$的单位，其中$u$和$v$都是奇数，因为$u^2-17 v^2= \pm 4$不能为奇数$u$和$v$保存模8。

设$\lambda=x+y \sqrt{m}$为规范1的$O_K(K=\mathbb{Q}(\sqrt{m}))$的一个单位，其中$x$和$y$都是整数，或者$m \equiv 1(\bmod 4)$都是奇数的一半。现在我们将展示$x$和$y$的符号如何确定$(-\infty,-1),(-1,0),(0,1)$或$(1, \infty) \lambda$属于四个间隔中的哪一个。

定理11.3.1设$m$为一个正的无平方整数。设$x$和$y$都是整数或者都是奇数的一半，使得$x^2-m y^2=1$。然后
$$
\begin{aligned}
x+y \sqrt{m}>1 & \Longleftrightarrow x>0, y>0, \
00, y<0, \ -10, \
x+y \sqrt{m}<-1 & \Longleftrightarrow x<0, y<0 .
\end{aligned}
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm −1

设$m$是一个正的无平方整数。我们已经观察到，实数二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{m})$的整数环$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$可能包含也可能不包含范数-1的单位。的确，$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}$有像$1+\sqrt{2}$这样的范数-1单位，而$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})}$不包含任何范数-1单位。我们假设$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$包含规范-1的单位，并证明规范-1的$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中存在一个唯一的单位$\sigma>1$，使得规范-1的$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中的所有单位都由$\pm \sigma^{2 k+1}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$给出，规范1的$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中的所有单位都由$\pm \sigma^{2 k}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$给出。

定理11.4.1设$m$为无平方正整数。假设$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$包含norm -1的单位。然后，在$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中存在一个规范为-1的唯一单位$\sigma>1$，使得$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中的每个单位对于某个整数$n$都具有$\pm \sigma^n$的形式。

证明:设$\rho$为范数-1在$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中的一个单位。设$\rho^{\prime}$表示它的共轭。然后
$$
\rho \rho^{\prime}=N(\rho)=-1
$$
如此……以至于……
$$
\rho^2 \rho^{\prime 2}=1
$$
因此$\rho^2$是规范1的$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$的单位。因此，根据定理11.3.2(b)，我们有
$$
\rho^2= \pm \epsilon^n
$$
对于某个整数$n$，其中$\epsilon$是规范1的$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$的基本单位。显然是$\rho^2>0$和$\epsilon^n>0$
$$
\rho^2=\epsilon^n .
$$
如果$n$是偶数，就说$n=2 k$
$$
\rho^2=\epsilon^{2 k}
$$
如此……以至于……
$$
\rho= \pm \epsilon^k
$$
因此
$$
N(\rho)=N\left( \pm \epsilon^k\right)=N(\epsilon)^k=1,
$$
矛盾的$N(\rho)=-1$。因此$n$一定是奇数，比如$n=2 l+1$，以此类推
$$
\rho^2=\epsilon^{2 l+1} .
$$
因此
$$
\epsilon=\left(\rho \epsilon^{-l}\right)^2 .
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。

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在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。

•最快12小时交付 

•200+ 英语母语导师 

•70分以下全额退款

想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。

我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在数论Number theory代写方面经验极为丰富，各种数论Number theory相关的作业也就用不着 说。

数学代写|数论代写Number Theory代考|Factoring Primes in a Monogenic Number Field

Let $K$ be an algebraic number field. Recall that $K$ is said to be monogenic (Definition 7.1.5) if there exists $\theta \in O_K$ such that
$$
O_K=\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \theta+\cdots+\mathbb{Z} \theta^{n-1},
$$
where $[K: \mathbb{Q}]=n$. The next theorem shows how to factor $\langle p\rangle$ (with $p$ a rational prime) into prime ideals in a monogenic number field. It was originally proved by Dedekind [3] in 1878.

Theorem 10.3.1 Let $K=\mathbb{Q}(\theta)$ be an algebraic number field of degree $n$ such that
$$
O_K=\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \theta+\cdots+\mathbb{Z} \theta^{n-1} .
$$
Let $p$ be a rational prime. Let
$$
f(x)=\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}} \theta \in \mathbb{Z}[x] .
$$
Let ${ }^{-}$denote the natural map $: \mathbb{Z}[x] \rightarrow \mathbb{Z}_p[x]$, where $\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$. Let
$$
\bar{f}(x)=g_1(x)^{e_1} \cdots g_r(x)^{e_r},
$$
where $g_1(x), \ldots, g_r(x)$ are distinct monic irreducible polynomials in $\mathbb{Z}_p[x]$ and $e_1, \ldots, e_r$ are positive integers. For $i=1,2, \ldots, r$ let $f_i(x)$ be any monic polynomial of $\mathbb{Z}[x]$ such that $\bar{f}_i=g_i$. Set
$$
P_i=\left\langle p, f_i(\theta)\right\rangle, i=1,2, \ldots, r .
$$
Then $P_1, \ldots, P_r$ are distinct prime ideals of $O_K$ with
$$
\langle p\rangle=P_1^{e_1} \cdots P_r^{e_r}
$$
and
$$
N\left(P_i\right)=p^{\operatorname{deg} f_i}, i=1,2, \ldots, r .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Some Factorizations in Cubic Fields

Example 10.4.1 We factor $\langle 5\rangle$ as a product of prime ideals in $O_K$, where $K=$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$. Set $\theta=\sqrt[3]{2}$. We have seen in Example 7.1.6 that $\left{1, \theta, \theta^2\right}$ is an integral basis for $K=\mathbb{Q}(\theta)$ so that $K$ is monogenic. The minimal polynomial of $\theta$ over $\mathbb{Q}$ is $x^3-2$. We have
$$
x^3-2=(x+2)\left(x^2+3 x+4\right)(\bmod 5),
$$
where $x+2$ and $x^2+3 x+4$ are irreducible $(\bmod 5)$. Hence, by Theorem 10.3.1, we have
$$
\langle 5\rangle=P Q,
$$
where
$$
P=\langle 5, \theta+2\rangle, Q=\left\langle 5, \theta^2+3 \theta+4\right\rangle
$$
are distinct prime ideals with
$$
N(P)=5, N(Q)=5^2=25 .
$$
As a check on the calculation in Example 10.4.1 we compute $P Q$ directly.

We have
$$
\begin{aligned}
P Q & =\langle 5, \theta+2\rangle\left\langle 5, \theta^2+3 \theta+4\right\rangle \
& =\left\langle 25,5(\theta+2), 5\left(\theta^2+3 \theta+4\right), \theta^3+5 \theta^2+10 \theta+8\right\rangle \
& =\left\langle 25,5(\theta+2), 5\left(\theta^2+3 \theta+4\right), 5 \theta^2+10 \theta+10\right\rangle \
& =\langle 5\rangle\left\langle 5, \theta+2, \theta^2+3 \theta+4, \theta^2+2 \theta+2\right\rangle \
& =\langle 5\rangle
\end{aligned}
$$
as
$$
1=1 \cdot 5+(2 \theta+2)(\theta+2)-2\left(\theta^2+3 \theta+4\right) .
$$

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Factoring Primes in a Monogenic Number Field

设$K$为一个代数数域。回想一下，如果存在$\theta \in O_K$，那么$K$被认为是单基因的(定义7.1.5)
$$
O_K=\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \theta+\cdots+\mathbb{Z} \theta^{n-1},
$$
在哪里$[K: \mathbb{Q}]=n$。下一个定理展示了如何在单基因数域中将$\langle p\rangle$(与$p$一起是有理数)分解为素数理想。它最初是由Dedekind[3]在1878年证明的。

定理10.3.1设$K=\mathbb{Q}(\theta)$为一个次为$n$的代数数域，使
$$
O_K=\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \theta+\cdots+\mathbb{Z} \theta^{n-1} .
$$
设$p$为有理数。让
$$
f(x)=\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}} \theta \in \mathbb{Z}[x] .
$$
设${ }^{-}$表示自然地图$: \mathbb{Z}[x] \rightarrow \mathbb{Z}_p[x]$，其中$\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$。让
$$
\bar{f}(x)=g_1(x)^{e_1} \cdots g_r(x)^{e_r},
$$
其中$g_1(x), \ldots, g_r(x)$是不同的单不可约多项式，$\mathbb{Z}_p[x]$和$e_1, \ldots, e_r$是正整数。对于$i=1,2, \ldots, r$，设$f_i(x)$为$\mathbb{Z}[x]$的任意一元多项式，使得$\bar{f}_i=g_i$。集合
$$
P_i=\left\langle p, f_i(\theta)\right\rangle, i=1,2, \ldots, r .
$$
然后$P_1, \ldots, P_r$是$O_K$ with的不同的基本理想
$$
\langle p\rangle=P_1^{e_1} \cdots P_r^{e_r}
$$
和
$$
N\left(P_i\right)=p^{\operatorname{deg} f_i}, i=1,2, \ldots, r .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Some Factorizations in Cubic Fields

我们将$\langle 5\rangle$分解为$O_K$中素数理想的乘积，其中$K=$$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$。设置$\theta=\sqrt[3]{2}$。在例7.1.6中，我们已经看到$\left{1, \theta, \theta^2\right}$是$K=\mathbb{Q}(\theta)$的一个积分基，因此$K$是单基因的。$\theta$ / $\mathbb{Q}$的最小多项式是$x^3-2$。我们有
$$
x^3-2=(x+2)\left(x^2+3 x+4\right)(\bmod 5),
$$
其中$x+2$和$x^2+3 x+4$是不可约的$(\bmod 5)$。因此，根据定理10.3.1，我们有
$$
\langle 5\rangle=P Q,
$$
在哪里
$$
P=\langle 5, \theta+2\rangle, Q=\left\langle 5, \theta^2+3 \theta+4\right\rangle
$$
不同的素数理想是否存在
$$
N(P)=5, N(Q)=5^2=25 .
$$
作为对例10.4.1中计算的检查，我们直接计算$P Q$。

我们有
$$
\begin{aligned}
P Q & =\langle 5, \theta+2\rangle\left\langle 5, \theta^2+3 \theta+4\right\rangle \
& =\left\langle 25,5(\theta+2), 5\left(\theta^2+3 \theta+4\right), \theta^3+5 \theta^2+10 \theta+8\right\rangle \
& =\left\langle 25,5(\theta+2), 5\left(\theta^2+3 \theta+4\right), 5 \theta^2+10 \theta+10\right\rangle \
& =\langle 5\rangle\left\langle 5, \theta+2, \theta^2+3 \theta+4, \theta^2+2 \theta+2\right\rangle \
& =\langle 5\rangle
\end{aligned}
$$
as
$$
1=1 \cdot 5+(2 \theta+2)(\theta+2)-2\left(\theta^2+3 \theta+4\right) .
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Norm of a Product of Ideals

In this section we prove the multiplicative property (9.1.3) of norms of ideals. We will need the following result, the proof of which closely resembles that of Theorem 8.5.1.

Theorem 9.3.1 Let $D$ be a Dedekind domain. Let $A$ be a fractional or integral ideal of $D$ with $A \neq\langle 0\rangle,\langle 1\rangle$. Let $B$ be an integral ideal of $D$ with $B \neq\langle 0\rangle,\langle 1\rangle$. Then there exists $\gamma \in A$ such that
$$
A=\langle\gamma\rangle+A B
$$
Proof: Let $P_1, \ldots, P_n$ be the set of distinct prime ideals for which either
$$
\operatorname{ord}{P_i}(A) \neq 0 \text { or } \operatorname{ord}{P_i}(A B) \neq 0 \text { (or both). }
$$
This set is nonempty as $A \neq D$. By Theorem 8.4 .5 we can find an element $\gamma$ of the quotient field of $D$ such that
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{ord}{P_i}(\gamma)=\operatorname{ord}{P_i}(A), i=1,2, \ldots, n, \
& \operatorname{ord}_P(\gamma) \geq 0, P \neq P_1, \ldots, P_n .
\end{aligned}
$$
Thus
$$
\operatorname{ord}_P(\gamma) \geq \operatorname{ord}_P(A) \text { for all prime ideals } P \text {, }
$$
and so
$$
\gamma \in A
$$
Now for $i=1,2, \ldots, n$ we have
$$
\begin{aligned}
\operatorname{ord}{P_i}(\langle\gamma\rangle+A B) & =\min \left(\operatorname{ord}{P_i}(\langle\gamma\rangle), \operatorname{ord}{P_i}(A B)\right) \ & =\min \left(\operatorname{ord}{P_i}(\gamma), \operatorname{ord}{P_i}(A B)\right) \ & =\min \left(\operatorname{ord}{P_i}(A), \operatorname{ord}{P_i}(A B)\right) \ & =\operatorname{ord}{P_i}(A),
\end{aligned}
$$
as $B$ is an integral ideal. For a prime ideal $P \neq P_1, \ldots, P_n$ we have $\operatorname{ord}_P(A)=$ $\operatorname{ord}_P(A B)=0$ so that
$$
\begin{aligned}
\operatorname{ord}_P(\langle\gamma\rangle+A B) & =\min \left(\operatorname{ord}_P(\langle\gamma\rangle), \operatorname{ord}_P(A B)\right) \
& =\min \left(\operatorname{ord}_P(\gamma), 0\right) \
& =0 \
& =\operatorname{ord}_P(A)
\end{aligned}
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Norm of a Fractional Ideal

The multiplicative property of the norm (Theorem 9.3.2) allows us to extend the definition of the norm of an integral ideal (of the ring of integers of an algebraic number field) to the norm of a fractional ideal.

Definition 9.4.1 (Norm of a fractional ideal) Let $K$ be an algebraic number field. Let $O_K$ be its ring of integers. Let A be a nonzero fractional ideal of $O_K$. Then there exists a nonzero integral ideal $I$ of $O_K$ and a nonzero element $\alpha$ of $O_K$ such that
$$
A=\frac{1}{\alpha} I .
$$
We define the norm $N(A)$ of the fractional ideal $A$ by
$$
N(A)=\frac{N(I)}{N(\langle\alpha\rangle)},
$$
where $N(I), N(\langle\alpha\rangle)$ are the norms of the integral ideals I and $\langle\alpha\rangle$.
Definition 9.4.1 is valid for if $I$ and $J$ are nonzero integral ideals of $O_K$ and $\alpha$ and $\beta$ are nonzero elements of $O_K$ such that
$$
A=\frac{1}{\alpha} I=\frac{1}{\beta} J
$$

then
$$
\beta I=\alpha J,
$$
so that we have the equal products of integral ideals
$$
\langle\beta\rangle I=\langle\alpha\rangle J,
$$
and thus by Theorem 9.3.2
$$
N(\langle\beta\rangle) N(I)=N(\langle\beta\rangle I)=N(\langle\alpha\rangle J)=N(\langle\alpha\rangle) N(J),
$$
so that
$$
\frac{N(I)}{N(\langle\alpha\rangle)}=\frac{N(J)}{N(\langle\beta\rangle)} .
$$

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Norm of a Product of Ideals

在本节中我们证明了理想范数的乘法性质(9.1.3)。我们将需要下面的结果，它的证明与定理8.5.1的证明非常相似。

定理9.3.1设$D$为Dedekind域。设$A$为$D$与$A \neq\langle 0\rangle,\langle 1\rangle$的分数或积分理想值。让$B$与$B \neq\langle 0\rangle,\langle 1\rangle$一起成为$D$不可分割的理想。然后存在$\gamma \in A$这样
$$
A=\langle\gamma\rangle+A B
$$
证明:设$P_1, \ldots, P_n$为一组不同的素数理想
$$
\operatorname{ord}{P_i}(A) \neq 0 \text { or } \operatorname{ord}{P_i}(A B) \neq 0 \text { (or both). }
$$
该集合是非空的，如$A \neq D$。由定理8.4 .5，我们可以求出$D$的商域的一个元素$\gamma$，使
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{ord}{P_i}(\gamma)=\operatorname{ord}{P_i}(A), i=1,2, \ldots, n, \
& \operatorname{ord}_P(\gamma) \geq 0, P \neq P_1, \ldots, P_n .
\end{aligned}
$$
因此
$$
\operatorname{ord}_P(\gamma) \geq \operatorname{ord}_P(A) \text { for all prime ideals } P \text {, }
$$
所以
$$
\gamma \in A
$$
现在我们有$i=1,2, \ldots, n$
$$
\begin{aligned}
\operatorname{ord}{P_i}(\langle\gamma\rangle+A B) & =\min \left(\operatorname{ord}{P_i}(\langle\gamma\rangle), \operatorname{ord}{P_i}(A B)\right) \ & =\min \left(\operatorname{ord}{P_i}(\gamma), \operatorname{ord}{P_i}(A B)\right) \ & =\min \left(\operatorname{ord}{P_i}(A), \operatorname{ord}{P_i}(A B)\right) \ & =\operatorname{ord}{P_i}(A),
\end{aligned}
$$
因为$B$是一个完整的理想。对于素理想$P \neq P_1, \ldots, P_n$我们有$\operatorname{ord}_P(A)=$$\operatorname{ord}_P(A B)=0$所以
$$
\begin{aligned}
\operatorname{ord}_P(\langle\gamma\rangle+A B) & =\min \left(\operatorname{ord}_P(\langle\gamma\rangle), \operatorname{ord}_P(A B)\right) \
& =\min \left(\operatorname{ord}_P(\gamma), 0\right) \
& =0 \
& =\operatorname{ord}_P(A)
\end{aligned}
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Norm of a Fractional Ideal

范数的乘法性质(定理9.3.2)允许我们将积分理想(代数数域的整数环)的范数的定义推广到分数理想的范数。

定义9.4.1(分数理想的范数)设$K$为一个代数数域。设$O_K$为它的整数环。设A是$O_K$的非零分数理想。则存在一个$O_K$的非零积分理想$I$和一个$O_K$的非零元$\alpha$，使得
$$
A=\frac{1}{\alpha} I .
$$
我们定义分数理想$A$的范数$N(A)$
$$
N(A)=\frac{N(I)}{N(\langle\alpha\rangle)},
$$
其中$N(I), N(\langle\alpha\rangle)$为积分理想I和$\langle\alpha\rangle$的规范。
如果$I$和$J$是$O_K$的非零积分理想，$\alpha$和$\beta$是$O_K$的非零元素，定义9.4.1有效，使得
$$
A=\frac{1}{\alpha} I=\frac{1}{\beta} J
$$

然后
$$
\beta I=\alpha J,
$$
这样我们就得到了积分理想的相等乘积
$$
\langle\beta\rangle I=\langle\alpha\rangle J,
$$
也就是定理9.3.2
$$
N(\langle\beta\rangle) N(I)=N(\langle\beta\rangle I)=N(\langle\alpha\rangle J)=N(\langle\alpha\rangle) N(J),
$$
如此……以至于……
$$
\frac{N(I)}{N(\langle\alpha\rangle)}=\frac{N(J)}{N(\langle\beta\rangle)} .
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

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数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

数论Number theory代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的数论Number theory作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此数论Number theory作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Index and Minimal Index of an Algebraic Number Field

Let $K$ be an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$. An element $\alpha \in O_K$ is called a generator of $K$ if $K=\mathbb{Q}(\alpha)$. By Theorem 6.4.3 $\alpha$ is a generator of $K$ if and only if $D(\alpha) \neq 0$. For a generator $\alpha$ of $K$, the index of $\alpha$ is the positive integer ind $\alpha$ given by
$$
D(\alpha)=(\text { ind } \alpha)^2 d(K)
$$
(see Definition 7.1.4). We now define the index $i(K)$ and minimal index $m(K)$ of the field $K$.
Definition 7.4.1 (Index of a field) The index of $K$ is
$$
i(K)=\operatorname{gcd}{\text { ind } \alpha \mid \alpha \text { a generator of } K} .
$$
Definition 7.4.2 (Minimal index of a field) The minimal index of $K$ is
$$
m(K)=\min {\text { ind } \alpha \mid \alpha \text { a generator of } K} .
$$
Clearly
$$
i(K) \mid m(K) .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Basis of a Cyclotomic Field

Let $m$ be a positive integer. The number of positive integers less than or equal to $m$ that are coprime with $m$ is denoted by $\phi(m)$. The arithmetic function $\phi(m)$ is called Euler’s phi function. Let $\zeta_m$ be any primitive $m$ th root of unity. There are $\phi(m)$ primitive $m$ th roots of unity, namely $\zeta_m^r, r=1,2, \ldots, m,(r, m)=1$. Let $K_m=\mathbb{Q}\left(\zeta_m\right)$. It is easy to show that $K_m=\mathbb{Q}\left(\zeta_m^r\right)$ for any $r \in{1,2, \ldots, m}$ with $(r, m)=1$, so that $K_m$ is independent of the primitive $m$ th root of unity chosen. The field $K_m$ is called the $m$ th cyclotomic field. For odd $m$ the fields $K_m$ and $K_{2 m}$ coincide as $-\zeta_m$ is a primitive $2 m$ th root of unity. Clearly $\zeta_m$ is a root of the polynomial
$$
f_m(x)=\prod_{\substack{r=1 \(r, m)=1}}^m\left(x-\zeta_m^r\right) .
$$
It is known that $f_m(x) \in \mathbb{Z}[x]$ and that $f_m(x)$ is irreducible, so that
$$
\operatorname{irr}_{\mathbb{Q}}\left(\zeta_m\right)=f_m(x)
$$
Moreover, the degree of $f_m(x)$ is $\phi(m)$ so that
$$
\left[K_m: \mathbb{Q}\right]=\phi(m) .
$$
The smallest field containing both $K_m$ and $K_n$ is $K_{[m, n]}$, where $[m, n]$ denotes the least common multiple of $m$ and $n$. Also, $K_m \cap K_n=K_{(m, n)}$. If $m \not \equiv 2(\bmod 4)$ then $K_m \subseteq K_n$ holds if and only if $m \mid n$. Thus if $m$ and $n$ are distinct and not congruent to $2(\bmod 4)$ the cyclotomic fields $K_m$ and $K_n$ are distinct.
The next theorem gives an integral basis for $K_m$ as well as a formula for the discriminant $d\left(K_m\right)$.
Theorem 7.5.1 Let $m$ be a positive integer. Let $\zeta_m$ be a primitive mth root of unity. Let $K_m$ denote the cyclotomic field $\mathbb{Q}\left(\zeta_m\right)$. Then $\left{1, \zeta_m, \zeta_m^2, \ldots, \zeta_m^{\phi(m)-1}\right}$ is an integral basis for $K_m$. Further,
$$
d\left(K_m\right)=(-1)^{\frac{\phi(m)}{2}} \frac{m^{\phi(m)}}{\prod_{p \mid m} p^{\frac{\phi(m)}{p-1}},}
$$
where the product is over all primes $p$ dividing $m$.

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Index and Minimal Index of an Algebraic Number Field

设$K$是一个次为$n$ / $\mathbb{Q}$的代数数域。元素$\alpha \in O_K$称为$K$ if $K=\mathbb{Q}(\alpha)$的生成器。根据定理6.4.3 $\alpha$是$K$当且仅当$D(\alpha) \neq 0$的生成器。对于$K$的生成器$\alpha$, $\alpha$的索引是由给出的正整数ind $\alpha$
$$
D(\alpha)=(\text { ind } \alpha)^2 d(K)
$$
(见定义7.1.4)。现在我们定义字段$K$的索引$i(K)$和最小索引$m(K)$。
定义7.4.1(字段索引)$K$的索引为
$$
i(K)=\operatorname{gcd}{\text { ind } \alpha \mid \alpha \text { a generator of } K} .
$$
定义7.4.2(字段的最小索引)$K$的最小索引为
$$
m(K)=\min {\text { ind } \alpha \mid \alpha \text { a generator of } K} .
$$
显然
$$
i(K) \mid m(K) .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Basis of a Cyclotomic Field

设$m$为正整数。小于或等于$m$且与$m$互为素数的正整数的个数用$\phi(m)$表示。算术函数$\phi(m)$被称为欧拉函数。设$\zeta_m$为任何原始的$m$统一的根。有$\phi(m)$原始的$m$统一的根，即$\zeta_m^r, r=1,2, \ldots, m,(r, m)=1$。让$K_m=\mathbb{Q}\left(\zeta_m\right)$。对于任何含有$(r, m)=1$的$r \in{1,2, \ldots, m}$，很容易表示为$K_m=\mathbb{Q}\left(\zeta_m^r\right)$，因此$K_m$独立于所选的原语$m$的单位根。场$K_m$被称为$m$第一个切眼场。对于奇数$m$，字段$K_m$和$K_{2 m}$重合，因为$-\zeta_m$是一个原始的$2 m$统一根。显然$\zeta_m$是多项式的一个根
$$
f_m(x)=\prod_{\substack{r=1 (r, m)=1}}^m\left(x-\zeta_m^r\right) .
$$
已知$f_m(x) \in \mathbb{Z}[x]$和$f_m(x)$是不可约的，因此
$$
\operatorname{irr}{\mathbb{Q}}\left(\zeta_m\right)=f_m(x) $$ 此外，$f_m(x)$的程度是$\phi(m)$，所以 $$ \left[K_m: \mathbb{Q}\right]=\phi(m) . $$ 同时包含$K_m$和$K_n$的最小字段是$K{[m, n]}$，其中$[m, n]$表示$m$和$n$的最小公倍数。还有，$K_m \cap K_n=K_{(m, n)}$。如果$m \not \equiv 2(\bmod 4)$，那么$K_m \subseteq K_n$当且仅当$m \mid n$成立。因此，如果$m$和$n$是不同的，而不等于$2(\bmod 4)$，那么切光场$K_m$和$K_n$是不同的。
下一个定理给出了$K_m$的积分基和一个判别式$d\left(K_m\right)$的公式。
定理7.5.1设$m$为正整数。设$\zeta_m$为单位的原始n根。设$K_m$表示切眼场$\mathbb{Q}\left(\zeta_m\right)$。那么$\left{1, \zeta_m, \zeta_m^2, \ldots, \zeta_m^{\phi(m)-1}\right}$是$K_m$的一个积分基础。此外，
$$
d\left(K_m\right)=(-1)^{\frac{\phi(m)}{2}} \frac{m^{\phi(m)}}{\prod_{p \mid m} p^{\frac{\phi(m)}{p-1}},}
$$
乘积除以所有质数$p$除以$m$。

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微观经济学代写

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

数论Number theory代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的数论Number theory作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此数论Number theory作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Prime Ideals in Rings of Integers

In Theorem 1.5 .6 we saw that a maximal ideal of an integral domain $D$ is always a prime ideal. We noted that the converse is not always true but that it is true in a principal ideal domain. In this section we show the important result that a prime ideal is always maximal in the ring of integers of an algebraic number field.

Theorem 6.6.1 Let $P$ be a prime ideal of the ring $O_K$ of integers of an algebraic number field $K$. Then $P$ is a maximal ideal of $O_K$.

Proof: Suppose that the assertion of the theorem is false. Then there exists a prime ideal $P_1$ of $O_K$ that is not a maximal ideal. Let $S$ be the set of all proper ideals of $O_K$ that strictly contain $P_1$. As $P_1$ is not a maximal ideal, $S$ is a nonempty set. By Theorem 6.5.3 $O_K$ is a Noetherian domain. Hence, by Theorem 3.1.3, $S$ contains a maximal element; that is, there is a maximal ideal $P_2$ such that
$$
P_1 \subset P_2 \subset O_K
$$
By Theorem 1.5.6 $P_2$ is a prime ideal. Since every nonzero ideal in $O_K$ contains a nonzero rational integer (Theorem 6.1.7) we see that $P_1 \cap \mathbb{Z} \neq{0}$. Hence, by Theorem 1.6.2, $P_1 \cap \mathbb{Z}$ is a prime ideal of $\mathbb{Z}$. But $\mathbb{Z}$ is a principal ideal domain (Theorem 1.4.1) so $P_1 \cap \mathbb{Z}=\langle p\rangle$ for some $p \in \mathbb{Z}$. By Theorem $1.5 .4 p$ is a prime. Thus
$$
\langle p\rangle=P_1 \cap \mathbb{Z} \subseteq P_2 \cap \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}
$$
Now $P_2 \cap \mathbb{Z} \neq \mathbb{Z}$ as $1 \notin P_2$, so as $\langle p\rangle$ is a maximal ideal of $\mathbb{Z}$ (Theorem 1.5.7), we have
$$
P_1 \cap \mathbb{Z}=P_2 \cap \mathbb{Z}=\langle p\rangle .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Basis of an Algebraic Number Field

A basis of the principal ideal of the ring $O_K$ of integers of an algebraic number field $K$ generated by 1 , that is, $O_K$ itself, is called an integral basis for $K$.

Definition 7.1.1 (Integral basis of an algebraic number field) Let $K$ be an algebraic number field. A basis for $O_K$ is called an integral basis for $K$.

In view of this definition the following theorem, which gives an integral basis for a quadratic field, is just a restatement of Theorem 5.4.2.

Theorem 7.1.1 Let $K$ be a quadratic field. Let $m$ be the unique squarefree integer such that $K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$. Then ${1, \sqrt{m}}$ is an integral basis for $K$ if $m \not \equiv 1(\bmod 4)$ and $\left{1, \frac{1+\sqrt{m}}{2}\right}$ is an integral basis for $K$ if $m \equiv 1(\bmod 4)$.

If $\left{\eta_1, \ldots, \eta_n\right}$ and $\left{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right}$ are two integral bases for an algebraic number field $K$ then Theorem 6.5 .4 shows that $D\left(\eta_1, \ldots, \eta_n\right)=D\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right)$, and that if $\left{\eta_1, \ldots, \eta_n\right}$ is an integral basis for $K$ and $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in O_K$ are such that $D\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right)=D\left(\eta_1, \ldots, \eta_n\right)$ then $\left{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right}$ is also an integral basis for $K$. We can therefore make the following definition.

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Prime Ideals in Rings of Integers

在定理1.5 .6中，我们看到积分域$D$的极大理想总是素理想。我们注意到逆命题并不总是正确的，但在主理想域是正确的。在这一节中，我们给出了一个重要的结果:在代数数域的整数环上素数理想总是极大的。

定理6.6.1设$P$是代数数域$K$的整数环$O_K$的素理想。那么$P$是$O_K$的最大理想。

证明:假设定理的断言是假的。那么存在一个素理想$P_1$，它不是极大理想$O_K$。让$S$成为$O_K$所有正确理想的集合，严格包含$P_1$。因为$P_1$不是最大理想，所以$S$是一个非空集合。根据定理6.5.3 $O_K$是一个noether域。因此，根据定理3.1.3,$S$包含一个极大元;也就是说，存在一个极大理想$P_2$，使得
$$
P_1 \subset P_2 \subset O_K
$$
根据定理1.5.6 $P_2$是一个素理想。因为$O_K$中的每个非零理想都包含一个非零有理整数(定理6.1.7)，我们看到$P_1 \cap \mathbb{Z} \neq{0}$。因此，根据定理1.6.2,$P_1 \cap \mathbb{Z}$是$\mathbb{Z}$的素理想。但是$\mathbb{Z}$是一个主理想域(定理1.4.1)所以$P_1 \cap \mathbb{Z}=\langle p\rangle$对于一些$p \in \mathbb{Z}$。根据定理$1.5 .4 p$是质数。因此
$$
\langle p\rangle=P_1 \cap \mathbb{Z} \subseteq P_2 \cap \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}
$$
现在$P_2 \cap \mathbb{Z} \neq \mathbb{Z}$等于$1 \notin P_2$，因此$\langle p\rangle$是$\mathbb{Z}$的最大理想(定理1.5.7)，我们有
$$
P_1 \cap \mathbb{Z}=P_2 \cap \mathbb{Z}=\langle p\rangle .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Basis of an Algebraic Number Field

由1生成的代数数域$K$的整数环$O_K$的主理想的基，即$O_K$本身，称为$K$的积分基。

定义7.1.1(代数数域的积分基)设$K$为代数数域。$O_K$的基称为$K$的积分基。

根据这个定义，下面的定理只是定理5.4.2的重述，它给出了二次域的一个积分基础。

定理7.1.1设$K$为二次域。设$m$为唯一的无平方整数，满足$K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$。那么${1, \sqrt{m}}$是$K$(如果$m \not \equiv 1(\bmod 4)$)的积分基，$\left{1, \frac{1+\sqrt{m}}{2}\right}$是$K$(如果$m \equiv 1(\bmod 4)$)的积分基。

如果 $\left{\eta_1, \ldots, \eta_n\right}$ 和 $\left{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right}$ 一个代数数域有两个积分基吗 $K$ 那么定理6.5 .4表明 $D\left(\eta_1, \ldots, \eta_n\right)=D\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right)$，如果 $\left{\eta_1, \ldots, \eta_n\right}$ 一个积分基是 $K$ 和 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in O_K$ 是这样的 $D\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right)=D\left(\eta_1, \ldots, \eta_n\right)$ 然后 $\left{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right}$ 也是的积分基础吗 $K$． 因此，我们可以作出如下定义。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

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数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Closure

Let $A$ and $B$ be integral domains with $A \subseteq B$. In Theorem 4.1 .7 we showed that the set of all elements of $B$ that are integral over $A$ is a subdomain of $B$ containing $A$. We now give this domain a name.

Definition 4.2.1 (Integral closure) Let $A$ and $B$ be integral domains with $A \subseteq B$. The integral closure of $A$ in $B$ is the subdomain of $B$ consisting of all elements of $B$ that are integral over $A$. The integral closure of $A$ in $B$ is denoted by $A^B$.
From Theorem 4.1.7 we have
Theorem 4.2.1 Let $A$ and $B$ be integral domains with $A \subseteq B$. Then the integral closure $A^B$ of $A$ in $B$ is an integral domain satisfying
$$
A \subseteq A^B \subseteq B
$$
Clearly $A^A=A$ for any integral domain $A$.
Our next theorem determines the integral closure of $\mathbb{Z}$ in the field $\mathbb{Q}(i)=$ ${x+y i \mid x, y \in \mathbb{Q}}$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Minimal Polynomial of an Element Algebraic over a Field

Let $K$ be a subfield of the field $\mathbb{C}$ of complex numbers. Let $\alpha \in \mathbb{C}$ be algebraic over $K$ (see Definition 4.1.3). As $\alpha$ is algebraic over $K$, there exists a nonzero polynomial $g(x) \in K[x]$ such that $g(\alpha)=0$. We let $I_K(\alpha)$ denote the set of all polynomials in $K[x]$ having $\alpha$ as a root, that is,
$$
I_K(\alpha)={f(x) \in K[x] \mid f(\alpha)=0}
$$
Clearly the set $I_K(\alpha)$ contains the zero polynomial. It is easy to check that $I_K(\alpha)$ is an ideal of $K[x]$. Moreover, $I_K(\alpha) \neq\langle 0\rangle$ as $g(x) \in I_K(\alpha)$.

As $K$ is a field, by Theorem 2.2.1(b) we know that $K[x]$ is a Euclidean domain and thus, by Theorem 2.1.2, a principal ideal domain. Hence there exists $p(x) \in$ $K[x]$ such that
$$
I_K(\alpha)=\langle p(x)\rangle .
$$
Suppose $p_1(x) \in K[x]$ is another polynomial that generates $I_K(\alpha)$, that is,
$$
I_K(\alpha)=\left\langle p_1(x)\right\rangle
$$
Then
$$
\langle p(x)\rangle=\left\langle p_1(x)\right\rangle
$$
and so, by Theorem 1.3.1, we have
$$
p_1(x)=u(x) p(x),
$$
where $u(x)$ is a unit in $K[x]$. However, from Example 1.1.18(c), we have
$$
U(K[x])=K^*
$$
so that
$$
u(x) \in K^*
$$

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Closure

让$A$和$B$与$A \subseteq B$是积分域。在定理4.1 .7中，我们证明了对$A$积分的$B$的所有元素的集合是包含$A$的$B$的子域。我们现在给这个域名一个名字。

定义4.2.1(整闭包)设$A$和$B$是包含$A \subseteq B$的整域。$A$在$B$中的积分闭包是$B$的子域，由$B$的所有元素组成，这些元素对$A$进行积分。$B$中$A$的整闭包用$A^B$表示。
从定理4.1.7我们得到
定理4.2.1设$A$和$B$为整域，其中$A \subseteq B$为整域。那么$A$在$B$中的积分闭包$A^B$是一个满足的积分域
$$
A \subseteq A^B \subseteq B
$$
显然$A^A=A$对于任意积分域$A$。
下一个定理决定了$\mathbb{Z}$在$\mathbb{Q}(i)=$${x+y i \mid x, y \in \mathbb{Q}}$场中的积分闭包。

数学代写|数论代写Number Theory代考|Minimal Polynomial of an Element Algebraic over a Field

设$K$为复数域$\mathbb{C}$的子域。设$\alpha \in \mathbb{C}$为$K$的代数形式(见定义4.1.3)。由于$\alpha$是对$K$的代数，因此存在一个非零多项式$g(x) \in K[x]$，使得$g(\alpha)=0$。令$I_K(\alpha)$表示$K[x]$中所有以$\alpha$为根的多项式的集合，即:
$$
I_K(\alpha)={f(x) \in K[x] \mid f(\alpha)=0}
$$
显然集合$I_K(\alpha)$包含零多项式。很容易看出$I_K(\alpha)$是$K[x]$的一个理想。此外，$I_K(\alpha) \neq\langle 0\rangle$作为$g(x) \in I_K(\alpha)$。

由于$K$是一个域，根据定理2.2.1(b)，我们知道$K[x]$是一个欧几里得域，因此，根据定理2.1.2，它是一个主理想域。因此存在$p(x) \in$$K[x]$这样
$$
I_K(\alpha)=\langle p(x)\rangle .
$$
假设$p_1(x) \in K[x]$是生成$I_K(\alpha)$的另一个多项式，即，
$$
I_K(\alpha)=\left\langle p_1(x)\right\rangle
$$
然后
$$
\langle p(x)\rangle=\left\langle p_1(x)\right\rangle
$$
根据1.3.1定理，我们有
$$
p_1(x)=u(x) p(x),
$$
其中$u(x)$是$K[x]$中的一个单位。然而，从例1.1.18(c)，我们有
$$
U(K[x])=K^*
$$
如此……以至于……
$$
u(x) \in K^*
$$

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微观经济学代写

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线性代数代写

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博弈论代写

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Euclidean Domains

To define a Euclidean domain we must first define a Euclidean function.
Definition 2.1.1 (Euclidean function) Let $D$ be an integral domain. A mapping $\phi: D \rightarrow \mathbb{Z}$ is called a Euclidean function on $D$ if it has the following two properties:
$\phi(a b) \geq \phi(a)$, for all $a, b \in D$ with $b \neq 0$,
if $a, b \in D$ with $b \neq 0$ then there exist $q, r \in D$
such that $a=q b+r$ and $\phi(r)<\phi(b)$.
Example 2.1.1 $\phi(a)=|a|(a \in \mathbb{Z})$ is a Euclidean function on $\mathbb{Z}$.
Example 2.1.2 Let $D=F[x]$, where $F$ is a field. $D$ is the domain of polynomials in $x$ with coefficients in $F$. Let $p(x) \in D$. Then
$$
\phi(p(x))= \begin{cases}\operatorname{deg}(p(x)), & \text { if } p(x) \neq 0 \ -1, & \text { if } p(x)=0\end{cases}
$$
is a Euclidean function on $D$.

In general the elements $q$ and $r$ in (2.1.2) are not uniquely determined. If $D$ is an integral domain that is not a field and that possesses a Euclidean function $\phi$ for which the quotient and remainder $r$ in (2.1.2) are always uniquely determined by $a$ and $b$ then $D=F[x]$ for some field $F$. This result is due to Rhai [14]; see also Jodeit [12].

数学代写|数论代写Number Theory代考|Examples of Euclidean Domains

In view of Examples 2.1.1 and 2.1.2 we have
Theorem 2.2.1
(a) $\mathbb{Z}$ is a Euclidean domain.
(b) Let $F$ be a field. Then $F[x]$ is a Euclidean domain.
From Theorems 2.1 .2 and 2.2 .1 we see that $\mathbb{Z}$ and $F[x]$ are principal ideal domains. In the remainder of this section we investigate when the integral domains $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m}(m \equiv 2,3(\bmod 4))$ and $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right)(m \equiv 1(\bmod 4))$ are Euclidean with respect to the function that maps $r+s \sqrt{m}$ to $\left|r^2-m s^2\right|$. In this section we denote this function by $\phi_m$. Later in Section 9.2 we recognize $\phi_m$ as the absolute value of the norm of the element $r+s \sqrt{m}$. Integral domains that are Euclidean with respect to the absolute value of the norm are called norm-Euclidean.

Definition 2.2.1 (Function $\phi_m$ ) Let $m$ be a squarefree integer. The function $\phi_m$ : $\mathbb{Q}(\sqrt{m}) \rightarrow \mathbb{Q}$ is defined by
$$
\phi_m(r+s \sqrt{m})=\left|r^2-m s^2\right|
$$
for all $r, s \in \mathbb{Q}$.
The basic properties of $\phi_m$ are given in the next lemma.
Lemma 2.2.1 Let $m$ be a squarefree integer:
(a) $\phi_m: \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m} \rightarrow \mathbb{N} \cup{0}$.
(b) If $m \equiv 1(\bmod 4)$ then $\phi_m: \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right) \rightarrow \mathbb{N} \cup{0}$.
(c) Let $\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{m})$. Then $\phi_m(\alpha)=0 \Longleftrightarrow \alpha=0$.
(d) $\phi_m(\alpha \beta)=\phi_m(\alpha) \phi_m(\beta)$ for all $\alpha, \beta \in \mathbb{Q}(\sqrt{m})$.
(e) $\phi_m(\alpha \beta) \geq \phi_m(\alpha)$ for all $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m}$ with $\beta \neq 0$.
(f) If $m \equiv 1(\bmod 4)$, then $\phi_m(\alpha \beta) \geq \phi_m(\alpha)$ for all $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right)$ with $\beta \neq 0$.

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Euclidean Domains

要定义欧几里得定义域，我们必须首先定义欧几里得函数。
定义2.1.1(欧几里得函数)设$D$为整域。如果映射$\phi: D \rightarrow \mathbb{Z}$具有以下两个属性，则称为$D$上的欧几里得函数:
$\phi(a b) \geq \phi(a)$，对于所有$a, b \in D$和$b \neq 0$，
如果$a, b \in D$和$b \neq 0$，那么就存在$q, r \in D$
例如$a=q b+r$和$\phi(r)<\phi(b)$。
例2.1.1 $\phi(a)=|a|(a \in \mathbb{Z})$是$\mathbb{Z}$上的欧几里得函数。
例2.1.2设$D=F[x]$，其中$F$是一个字段。$D$是$x$中多项式的定义域，系数在$F$中。让$p(x) \in D$。然后
$$
\phi(p(x))= \begin{cases}\operatorname{deg}(p(x)), & \text { if } p(x) \neq 0 \ -1, & \text { if } p(x)=0\end{cases}
$$
是$D$上的欧几里得函数。

一般来说，(2.1.2)中的元素$q$和$r$不是唯一确定的。如果$D$是一个非域的积分域，并且拥有一个欧几里得函数$\phi$，其中(2.1.2)中的商和余$r$总是由$a$和$b$唯一确定，那么对于某些域$F$$D=F[x]$。这一结果是由于Rhai [14];参见Jodeit[12]。

数学代写|数论代写Number Theory代考|Examples of Euclidean Domains

鉴于例2.1.1和2.1.2，我们有
定理2.2.1
(a) $\mathbb{Z}$为欧几里得域。
(b)设$F$为一个字段。那么$F[x]$是欧几里得定义域。
从定理2.1 .2和2.2 .1我们看到$\mathbb{Z}$和$F[x]$是主要的理想域。在本节的其余部分中，我们将研究积分域$\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m}(m \equiv 2,3(\bmod 4))$和$\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right)(m \equiv 1(\bmod 4))$相对于将$r+s \sqrt{m}$映射到$\left|r^2-m s^2\right|$的函数何时是欧几里得的。在本节中，我们用$\phi_m$表示这个函数。在后面的9.2节中，我们认识到$\phi_m$是元素$r+s \sqrt{m}$的范数的绝对值。相对于范数绝对值的欧几里德积分域称为范数欧几里德积分域。

定义2.2.1(函数$\phi_m$)设$m$为无平方整数。函数$\phi_m$: $\mathbb{Q}(\sqrt{m}) \rightarrow \mathbb{Q}$定义为
$$
\phi_m(r+s \sqrt{m})=\left|r^2-m s^2\right|
$$
对于所有$r, s \in \mathbb{Q}$。
下一个引理给出了$\phi_m$的基本性质。
引理2.2.1设$m$为无平方整数:
(a) $\phi_m: \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m} \rightarrow \mathbb{N} \cup{0}$。
(b)如果$m \equiv 1(\bmod 4)$则$\phi_m: \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right) \rightarrow \mathbb{N} \cup{0}$。
(c)让$\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{m})$。然后$\phi_m(\alpha)=0 \Longleftrightarrow \alpha=0$。
(d) $\phi_m(\alpha \beta)=\phi_m(\alpha) \phi_m(\beta)$适用于所有$\alpha, \beta \in \mathbb{Q}(\sqrt{m})$。
(e) $\phi_m(\alpha \beta) \geq \phi_m(\alpha)$为所有$\alpha, \beta \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m}$与$\beta \neq 0$。
(f)如果是$m \equiv 1(\bmod 4)$，那么对于所有的$\alpha, \beta \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right)$都是$\phi_m(\alpha \beta) \geq \phi_m(\alpha)$和$\beta \neq 0$。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Properties of an Integral Domain

Let $D$ be an integral domain. Then the following properties hold.
(a) The identity element of $D$ is unique, for if 1 and $1^{\prime}$ are two identities for $D$ then
$$
1=1 \cdot 1^{\prime} \text { (as } 1^{\prime} \text { is an identity) }=1^{\prime} \text { (as } 1 \text { is an identity). }
$$
(b) $D$ possesses a left cancellation law, that is,
$$
a b=a c, a \neq 0 \Longrightarrow b=c(a, b, c \in D)
$$
as well as a right cancellation law
$$
a c=b c, c \neq 0 \Longrightarrow a=b(a, b, c \in D)
$$
(c) It is well known that if $D$ is an integral domain then there exists a field $F$, called the field of quotients of $D$ or the quotient field of $D$, that contains an isomorphic copy $D^{\prime}$ of $D$ (see, for example, Fraleigh [3]). In practice it is usual to identify $D$ with $D^{\prime}$ and so consider $D$ as a subdomain of $F$. The quotient field of $\mathbb{Z}$ is the field of rational numbers $\mathbb{Q}$. The quotient field of the polynomial domain $F[X]$ (where $F$ is a field) is the field $F(X)$ of rational functions in $X$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Properties of Divisors

Let $a, b, c \in D$, where $D$ is an integral domain. Then the following properties hold.
(a) $a \mid a$ (reflexive property).
(b) $a \mid b$ and $b \mid c$ implies $a \mid c$ (transitive property).

(c) $a \mid b$ and $a \mid c$ implies $a \mid x b+y c$ for any $x \in D$ and $y \in D$.
(d) $a \mid b$ implies $a c \mid b c$.
(e) $a c \mid b c$ and $c \neq 0$ implies $a \mid b$.
(f) $1 \mid a$.
(g) $a \mid 0$.
(h) $0 \mid a$ implies $a=0$.
Definition 1.1.3 (Unit) An element a of an integral domain $D$ is called a unit if $a \mid 1$. The set of units of $D$ is denoted by $U(D)$.
Properties of Units
Let $D$ be an integral domain. Then $U(D)$ has the following properties.
(a) $\pm 1 \in U(D)$.
(b) If $a \in U(D)$ then $-a \in U(D)$.
(c) If $a \in U(D)$ then $a^{-1} \in U(D)$.
(d) If $a \in U(D)$ and $b \in U(D)$ then $a b \in U(D)$.
(e) If $a \in U(D)$ then $\pm a^n \in U(D)$ for any $n \in \mathbb{Z}$.
Example 1.1.17
(a) $i \in U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} i)$.
(b) $\omega \in U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega)$ (see Example 1.1.3).
(c) $\theta \in U\left(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \theta+\mathbb{Z} \theta^2\right)$ as $1=\theta\left(-1-\theta^2\right)$ (see Example 1.1.10).

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Properties of an Integral Domain

设$D$为整域。那么以下属性成立。
(a) $D$的单位元素是唯一的，因为如果1和$1^{\prime}$是$D$的两个单位，那么
$$
1=1 \cdot 1^{\prime} \text { (as } 1^{\prime} \text { is an identity) }=1^{\prime} \text { (as } 1 \text { is an identity). }
$$
(b) $D$具有左消律，即:
$$
a b=a c, a \neq 0 \Longrightarrow b=c(a, b, c \in D)
$$
以及权利取消法
$$
a c=b c, c \neq 0 \Longrightarrow a=b(a, b, c \in D)
$$
(c)众所周知，如果$D$是一个积分域，那么存在一个域$F$，称为$D$的商域或$D$的商域，它包含$D$的一个同构副本$D^{\prime}$(例如，参见Fraleigh[3])。在实践中，通常将$D$与$D^{\prime}$等同起来，因此将$D$视为$F$的一个子域。$\mathbb{Z}$的商域是有理数域$\mathbb{Q}$。多项式域$F[X]$(其中$F$是一个域)的商域是$X$中有理函数的域$F(X)$。

数学代写|数论代写Number Theory代考|Properties of Divisors

设$a, b, c \in D$，其中$D$是一个积分域。那么以下属性成立。
(a) $a \mid a$(自反性)。
(b) $a \mid b$和$b \mid c$表示$a \mid c$(传递性)。

(c)对于任何$x \in D$和$y \in D$, $a \mid b$和$a \mid c$指$a \mid x b+y c$。
(d) $a \mid b$暗示$a c \mid b c$。
(e) $a c \mid b c$和$c \neq 0$表示$a \mid b$。
(f) $1 \mid a$。
(g) $a \mid 0$。
(h) $0 \mid a$暗含$a=0$。
定义1.1.3(单位)如果$a \mid 1$，则积分域$D$中的元素a称为单位。$D$的单位集合用$U(D)$表示。
单位的性质
设$D$为整域。那么$U(D)$具有以下属性。
(a) $\pm 1 \in U(D)$。
(b)如果$a \in U(D)$则$-a \in U(D)$。
(c)如果$a \in U(D)$则$a^{-1} \in U(D)$。
(d)如果$a \in U(D)$和$b \in U(D)$，那么$a b \in U(D)$。
(e)如果是$a \in U(D)$，那么对于任何$n \in \mathbb{Z}$则是$\pm a^n \in U(D)$。
1.1.17
(a) $i \in U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} i)$。
(b) $\omega \in U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega)$(见例1.1.3)。
(c) $\theta \in U\left(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \theta+\mathbb{Z} \theta^2\right)$为$1=\theta\left(-1-\theta^2\right)$(见例1.1.10)。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

数论Number theory代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的数论Number theory作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此数论Number theory作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Unbreakable Ciphers

As late as 1917 Scientific American claimed that Vigenère ciphers were impossible to break; yet, just like Caesar ciphers, they too are completely susceptible to statistical analysis (see Problem 13.2). In a Caesar cipher each character in the message is shifted by the same amount. In a Vigenère cipher, while characters are shifted by different amounts, the shifts still present a repetitive pattern, and it is this repetition that makes the Vigenère cipher susceptible to statistical analysis. Nonetheless, the fundamental principles underlying Caesar and Vigenère ciphers did ultimately become the basis for truly unbreakable ciphers that were routinely used during the twentieth century by military and government officials prior to the modern computer era.
This vulnerability of repetition can be avoided by the use of what is called a one-time pad-that is, a secret key that again is known to both the sender and the receiver and works in almost the same way as in the Vigenère cipher. There are three differences in this case: the secret key is precisely the same length as the message to be sent; the secret key is completely random; and, as its name suggests, a one-time pad is used only once (in fact, actual pads of paper were used, the top sheet being destroyed after it was used).
The reason a one-time pad cipher is unbreakable is that as long as the secret key is truly random, the encrypted message contains no information about the original message, except its length. For example, if the encrypted message happens to be EGGLRWLGHREFRSIEKEDZ, then there is no way to decide which of the following messages is more likely to be the original message: MISSILEARRIVEDSAFELY or SHIPMENTDELAYEDAGAIN; moreover, within any given context, there will be a very large number of equally likely possible original messages.
Such a one-time pad encryption system was used to secure the hotline between Moscow and Washington D.C. in the 1960s following the Cuban missile crisis. The secret keys that were used for this encryption system were physically delivered to the respective embassies of the two countries. Earlier, in 1957, the Russian agent Rudolf Abel was arrested in New York City-he was later convicted-and had on him at the time a one-time pad about the size of a postage stamp.
The great disadvantage of a one-time pad encryption system, however, is that a new random key has to be created, delivered, and destroyed for every single message that is sent (see Problem 13.3). This is why this method has been used primarily only for messages that were felt to be extremely important.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Public-Key Systems

It seems self-evident that if an encrypted message is to remain secret, then only the sender of the message and the person receiving the message should have access to the specific secret key by which the message was encrypted in the first place. In other words, for example, it is obvious that in the one-time pad encryption system only the sender and receiver should have access to the one-time pad, or in our simple Vigenère cipher example above, only the sender and receiver should know the secret word RAVEN.
However, what seems self-evident is not always true. In 1975, three people, two electrical engineers at Stanford University, Whitfield Diffie and Martin Hellman, and an undergraduate at the University of California, Berkeley, Ralph Merkle, created an entirely new kind of cipher that makes it possible to send secure messages over and over again even if the exact method of encrypting these messages should become known publicly.
Then, in 1977, Rivest, Shamir, and Adleman used this same idea to develop a specific system based on prime numbers, the revolutionary encryption system we now call the RSA system, which is used widely today to ensure the security of every conceivable form of electronic communication.
The basic idea behind this revolutionary new kind of cipher is surprisingly simple. The reason that the secret key in the Vigenère cipher needs to be secret is that anyone who knows the specific arithmetic that was used to encipher a given message can simply reverse that arithmetic to decipher the message (in this case, because addition is used for enciphering, the inverse process, subtraction, can be used for deciphering). The idea behind the new cipher systems is to encipher messages using a relatively straightforward arithmetic operation that can be known to the public, but is such that deciphering requires an inverse arithmetic operation that is so complicated computationally that it is impossible to do-impossible, that is, unless you are supposed to be able to decipher the message, in which case you will have access to a vital piece of extra information that allows you to do the computation.

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Unbreakable Ciphers

直到1917年，《科学美国人》(Scientific American)还声称vigen密码无法破解;然而，就像凯撒密码一样，它们也完全容易受到统计分析的影响(参见问题13.2)。在凯撒密码中，消息中的每个字符都被移动了相同的量。在vigen密码中，虽然字符移动了不同的量，但这些移动仍然呈现出重复的模式，正是这种重复使vigen密码容易受到统计分析的影响。尽管如此，恺撒密码和维吉纳特密码的基本原理最终成为了真正牢不可破的密码的基础，这些密码在20世纪被军事和政府官员在现代计算机时代之前经常使用。
这种重复的漏洞可以通过使用所谓的一次性密钥来避免，即发送方和接收方都知道的密钥，其工作方式几乎与vigen密码相同。在这种情况下有三个不同之处:密钥的长度与要发送的消息的长度完全相同;密钥是完全随机的;而且，正如它的名字所暗示的那样，一次性便笺簿只使用一次(实际上，使用了真正的便笺簿，顶部的纸张在使用后被销毁)。
一次性密码不可破解的原因是，只要密钥是真正随机的，加密的消息就不包含原始消息的任何信息，除了它的长度。例如，如果加密的消息碰巧是egglrwlghrefrsikedz，那么就没有办法确定以下哪个消息更有可能是原始消息:MISSILEARRIVEDSAFELY或SHIPMENTDELAYEDAGAIN;此外，在任何给定的上下文中，都会有非常多的相同可能性的原始消息。
上世纪60年代古巴导弹危机后，莫斯科和华盛顿之间的热线电话就使用了这种一次性加密系统。用于该加密系统的密钥被实际交付给了两国各自的大使馆。早些时候，1957年，苏联特工鲁道夫·阿贝尔在纽约市被捕——他后来被定罪——当时他身上有一张邮票大小的一次性便笺簿。
然而，一次性填充加密系统的最大缺点是，必须为每一条发送的消息创建、传递和销毁一个新的随机密钥(参见问题13.3)。这就是为什么这种方法主要只用于那些被认为极其重要的消息。

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似乎不言自明的是，如果要保持加密消息的机密性，那么只有消息的发送者和接收消息的人应该能够访问最初对消息进行加密的特定密钥。换句话说，例如，很明显，在一次性密码加密系统中，只有发送方和接收方应该能够访问一次性密码，或者在上面简单的vigen密码示例中，只有发送方和接收方应该知道秘密字RAVEN。
然而，似乎不言自明的事情并不总是正确的。1975年，斯坦福大学的两名电气工程师惠特菲尔德·迪菲和马丁·赫尔曼，以及加州大学伯克利分校的一名本科生拉尔夫·梅克尔创造了一种全新的密码，即使加密这些信息的确切方法应该被公开，也可以一次又一次地发送安全信息。
然后，在1977年，Rivest、Shamir和Adleman用同样的想法开发了一个基于素数的特定系统，即我们现在称为RSA系统的革命性加密系统，它今天被广泛使用，以确保每一种可以想象的电子通信形式的安全性。
这种革命性的新密码背后的基本思想非常简单。vigen密码中的秘钥需要保密的原因是，任何知道用于加密给定消息的特定算法的人都可以简单地反转该算法来解密消息(在这种情况下，因为加法用于加密，所以可以使用逆过程减法来解密)。新的密码系统背后的想法是译成密码消息使用一个相对简单的算术运算,可以知道,但就是这样,破译需要一个逆算术运算很复杂的计算,它是不可能做不可能做的,也就是说,除非你是应该能够破译信息,在这种情况下,您将获得一条重要的额外信息,允许你做计算。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Fibonacci Numbers and Divisibility

The Fibonacci numbers have some remarkable divisibility properties, and we will look at several of these properties in this section. We have already mentioned that consecutive Fibonacci numbers are relatively prime (and you are asked to prove this fact in Problem 12.25). Note also that $F_3=2, F_5=5, F_7=13, F_{11}=89, F_{13}=233, F_{17}=1597$ are all prime, so it is tempting to conjecture that $F_p$ is prime whenever $p$ is prime; unfortunately, $F_{19}=4181=37 \cdot 113$, so this conjecture fails.
However, an interesting flip side to this failed conjecture is that for any prime $p$ greater than 5 it is always the case that $p$ divides either $F_{p-1}$ or $F_{p+1}$, but not both (for example, $11 \mid F_{10}=55$, but $11 \nmid F_{12}=$ 144). In order to prove this property we will use Binet’s formula,the binomial theorem, congruences, Fermat’s little theorem, and also Theorem 12.5.
Let $p$ be a prime such that $p>5$. Using Binet’s formula and the binomial theorem, we get
$$
\begin{aligned}
F_p= & \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^p-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^p \
= & \frac{1}{2^p \sqrt{5}}\left(1+\left(\begin{array}{l}
p \
1
\end{array}\right) \sqrt{5}+\left(\begin{array}{l}
p \
2
\end{array}\right) \sqrt{5}^2+\left(\begin{array}{l}
p \
3
\end{array}\right) \sqrt{5}^3+\cdots+\left(\begin{array}{l}
p \
p
\end{array}\right) \sqrt{5}^p\right) \
& -\frac{1}{2^p \sqrt{5}}\left(1-\left(\begin{array}{l}
p \
1
\end{array}\right) \sqrt{5}+\left(\begin{array}{l}
p \
2
\end{array}\right) \sqrt{5}^2-\left(\begin{array}{l}
p \
3
\end{array}\right) \sqrt{5}^3+\cdots-\left(\begin{array}{l}
p \
p
\end{array}\right) \sqrt{5}^p\right) \
= & \frac{1}{2^{p-1}}\left(\left(\begin{array}{l}
p \
1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
p \
3
\end{array}\right) 5+\left(\begin{array}{c}
p \
5
\end{array}\right) 5^2+\cdots+\left(\begin{array}{l}
p \
p
\end{array}\right) 5^{\frac{p-1}{2}}\right)
\end{aligned}
$$
Looking at this last expression modulo $p$, the first thing we notice is that $2^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$ by Fermat’s little theorem. This means that, modulo $p$, we can multiply through by $2^{p-1} \equiv 1$ to cancel the $2^{p-1}$ term. Next, recall from Chapter 5 that $p$ divides each of the binomial coefficients $\left(\begin{array}{l}p \ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}p \ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}p \ 5\end{array}\right), \ldots,\left(\begin{array}{c}p \ p-1\end{array}\right)$ (see Problem 5.40). Thus, since $\left(\begin{array}{l}p \ p\end{array}\right)=1$, we can conclude that
$$
F_p \equiv 5^{\frac{p-1}{2}} \quad(\bmod p)
$$
But then, $F_p^2 \equiv 5^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$, again by Fermat’s little theorem, and now, since Theorem 12.5 gives us that $F_{p+1} F_{p-1}=F_p^2-1$, we can see that $F_{p+1} F_{p-1} \equiv 0(\bmod p)$; hence, as claimed, $p \mid F_{p+1}$ or $p \mid F_{p-1}$. Finally, it is impossible for $p$ to divide both of these numbers because if it did, then it would also have to divide $F_p$ (by the recurrence relation $F_{p-1}+F_p=F_{p+1}$ ), but then $p$ would also divide $F_{p-2}$ (again by the Fibonacci recurrence relation), and also divide $F_{p-3}$, and so on, until $p$ would divide $F_2=1$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Generating Functions

In this section we introduce a powerful tool for finding formulas-such as Binet’s formula-for sequences of numbers. This tool is called generating functions. In his outstanding book about generating functions, generatingfunctionology, Herbert Wilf describes a generating function metaphorically as “a clothesline on which we hang up a sequence of numbers for display.”

Here is the “clothesline” (i.e., the generating function) for the Fibonacci numbers:
$$
0+1 x+1 x^2+2 x^3+3 x^4+5 x^5+8 x^6+13 x^7+\cdots
$$
How can this be a useful thing to do? All we have really done is hang each Fibonacci number $F_n$ on the clothesline in its position as the coefficient of $x^n$. The reason this turns out to be useful is that this clothesline is now an algebraic object that we can manipulate using the ordinary rules of algebra.

So, a generating function is an infinite series, but try not to think of it as a function. We are not concerned with whether it converges. We will not evaluate it for particular values of $x$ (in fact, there is no domain in sight). To emphasize that our point of view here is purely algebraic, we often refer to these objects as power series.

Let’s begin by doing some algebra on the generating function (i.e., the power series) for the Fibonacci sequence. Let the power series for the Fibonacci sequence be given by
$$
f(x)=F_0+F_1 x+F_2 x^2+F_3 x^3+F_4 x^4+\cdots
$$

Then, we can use the recurrence relation $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ and the fact that $F_0=0$ and $F_1=1$ to write
$$
\begin{aligned}
f(x)-x & =F_2 x^2+F_3 x^3+F_4 x^4+\cdots \
& =\left(F_0 x^2+F_1 x^3+F_2 x^4+\cdots\right)+\left(F_1 x^2+F_2 x^3+F_3 x^4+\cdots\right) \
& =x^2 f(x)+x f(x)
\end{aligned}
$$
Solving now for $f(x)$, we get $\left(1-x-x^2\right) f(x)=x$; and so
$$
f(x)=\frac{x}{1-x-x^2}
$$

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Fibonacci Numbers and Divisibility

斐波那契数具有一些显著的可整除性，我们将在本节中研究其中的几个性质。我们已经提到，连续的斐波那契数是相对素数(在问题12.25中要求您证明这个事实)。还要注意$F_3=2, F_5=5, F_7=13, F_{11}=89, F_{13}=233, F_{17}=1597$都是素数，所以当$p$是素数时，很容易猜测$F_p$也是素数;不幸的是，$F_{19}=4181=37 \cdot 113$，所以这个猜想不成立。
然而，这个失败的猜想的一个有趣的反面是，对于任何大于5的质数$p$, $p$总是可以除除$F_{p-1}$或$F_{p+1}$，但不能除除两者(例如，$11 \mid F_{10}=55$，但$11 \nmid F_{12}=$ 144)。为了证明这个性质，我们会用到比奈公式，二项式定理，同余定理，费马小定理，还有定理12.5。
让$p$成为一个质数，这样$p>5$。利用比奈公式和二项式定理，我们得到
$$
\begin{aligned}
F_p= & \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^p-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^p \
= & \frac{1}{2^p \sqrt{5}}\left(1+\left(\begin{array}{l}
p \
1
\end{array}\right) \sqrt{5}+\left(\begin{array}{l}
p \
2
\end{array}\right) \sqrt{5}^2+\left(\begin{array}{l}
p \
3
\end{array}\right) \sqrt{5}^3+\cdots+\left(\begin{array}{l}
p \
p
\end{array}\right) \sqrt{5}^p\right) \
& -\frac{1}{2^p \sqrt{5}}\left(1-\left(\begin{array}{l}
p \
1
\end{array}\right) \sqrt{5}+\left(\begin{array}{l}
p \
2
\end{array}\right) \sqrt{5}^2-\left(\begin{array}{l}
p \
3
\end{array}\right) \sqrt{5}^3+\cdots-\left(\begin{array}{l}
p \
p
\end{array}\right) \sqrt{5}^p\right) \
= & \frac{1}{2^{p-1}}\left(\left(\begin{array}{l}
p \
1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
p \
3
\end{array}\right) 5+\left(\begin{array}{c}
p \
5
\end{array}\right) 5^2+\cdots+\left(\begin{array}{l}
p \
p
\end{array}\right) 5^{\frac{p-1}{2}}\right)
\end{aligned}
$$
看最后一个表达式对$p$取模，我们注意到的第一件事是$2^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$根据费马小定理。这意味着，对$p$取模，我们可以乘以$2^{p-1} \equiv 1$消去$2^{p-1}$项。接下来，回顾第5章，$p$除以每个二项式系数$\left(\begin{array}{l}p \ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}p \ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}p \ 5\end{array}\right), \ldots,\left(\begin{array}{c}p \ p-1\end{array}\right)$(见问题5.40)。因此，由于$\left(\begin{array}{l}p \ p\end{array}\right)=1$，我们可以得出结论
$$
F_p \equiv 5^{\frac{p-1}{2}} \quad(\bmod p)
$$
然后，$F_p^2 \equiv 5^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$，还是通过费马的小定理，现在，由于定理12.5给出了$F_{p+1} F_{p-1}=F_p^2-1$，我们可以看到$F_{p+1} F_{p-1} \equiv 0(\bmod p)$;因此，如所述，$p \mid F_{p+1}$或$p \mid F_{p-1}$。最后，$p$不可能同时除以这两个数字，因为如果它这样做了，那么它也必须除以$F_p$(通过递归关系$F_{p-1}+F_p=F_{p+1}$)，但是$p$也要除以$F_{p-2}$(再次通过斐波那契递归关系)，并且还要除以$F_{p-3}$，以此类推，直到$p$可以除以$F_2=1$。

数学代写|数论代写Number Theory代考|Generating Functions

在本节中，我们将介绍一个强大的工具，用于查找数字序列的公式(例如Binet公式)。这个工具称为生成函数。在他关于生成函数的杰出著作《生成函数学》中，赫伯特·威尔夫将生成函数比喻为“一根晾衣绳，上面挂着一串要显示的数字”。

下面是斐波那契数列的“晾衣绳”(即生成函数):
$$
0+1 x+1 x^2+2 x^3+3 x^4+5 x^5+8 x^6+13 x^7+\cdots
$$
这怎么可能是一个有用的事情呢?我们所做的只是将每个斐波那契数$F_n$作为$x^n$的系数挂在晾衣绳上。这之所以有用是因为晾衣绳现在是一个代数对象我们可以用代数的普通规则来操作它。

一个生成函数是一个无穷级数，但尽量不要把它看作一个函数。我们不关心它是否收敛。我们不会针对$x$的特定值对其进行评估(事实上，我们看不到任何域)。为了强调我们这里的观点是纯代数的，我们经常把这些对象称为幂级数。

让我们首先对斐波那契数列的生成函数(即幂级数)做一些代数运算。设斐波那契数列的幂级数为
$$
f(x)=F_0+F_1 x+F_2 x^2+F_3 x^3+F_4 x^4+\cdots
$$

然后，我们可以用递归关系$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$和$F_0=0$和$F_1=1$来写
$$
\begin{aligned}
f(x)-x & =F_2 x^2+F_3 x^3+F_4 x^4+\cdots \
& =\left(F_0 x^2+F_1 x^3+F_2 x^4+\cdots\right)+\left(F_1 x^2+F_2 x^3+F_3 x^4+\cdots\right) \
& =x^2 f(x)+x f(x)
\end{aligned}
$$
现在解$f(x)$，得到$\left(1-x-x^2\right) f(x)=x$;所以
$$
f(x)=\frac{x}{1-x-x^2}
$$

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