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## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH4530 LOCALLY CONNECTED SPACES

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## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|LOCALLY CONNECTED SPACES

In Sec. 23 we encountered the concept of a locally compact space, that is, of a space which is compact around each point but need not be compact as a whole. We now study another “local” property which a
1 The reader should be made aware of the fact that several different definitions of total disconnectedness are commonly found in the literature. The definition given above seems to the present writer to have the logic of language behind it; and Theorem C shows that this definition is equivalent (in the case of a compact Hausdorff space) to the most important of these alternative definitions.topological space may have, that of being connected in the vicinity of each of its points.

A locally connected space is a topological space with the property that if $x$ is any point in it and $G$ any neighborhood of $x$, then $G$ contains a connected neighborhood of $x$. This is evidently equivalent to the condition that each point of the space have an open base whose sets are all connected subspaces. Locally connected spaces are quite abundant, for, as we have seen in Problem 32-5, every Banach space is locally connected.

## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|THE WEIERSTRASS APPROXIMATION THEOREM

Let us consider a closed interval $[a, b]$ on the real line and a polynomial
$$p(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}$$
with real coefficients, defined on $[a, b] . .^{1}$ Every such polynomial is obviously a continuous real function, and as a consequence of the second lemma in Sec. 20 , we know that the limit of any uniformly convergent
1 This polynomial can of course be regarded as a function defined on the entire real line. We ignore this fact and consider only $x$ ‘s which lie in $[a, b]$.sequence of such polynomials is also a continuous real function. The Weierstrass theorem states that the converse of this is also true, that is, that any continuous real function defined on $[a, b]$ is the limit of some uniformly convergent sequence of polynomials. This is clearly equivalent to the statement that such a function can be uniformly approximated by polynomials to within any given degree of accuracy. Many proofs of this classic theorem are known, and the one we give is perhaps as concise and elementary as most.

## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代 考|LOCALLY CONNECTED SPACES

$\mathrm{~ 在 秒 。 2 3 ~ 我 们 遇 到 了 局 部 綮 致 空 间 的 概 念 ， 即 在 每 个 点 周 围 䋈 致 但 整 体 上 不 必 叒}$ 间。我们现在研究另一个“本地”属性， $a$
1 读者应该意识到，在文献中通常可以找到几种不同的完全断开连接的定义。上面给出的 定义在笔者看来似乎有其背后的语言逻辑；定理 $C$ 表明该定义等价于（在紧豪斯多夫空 间的情况下）这些苝代定义中最重要的一个。拓扑空间可能具有在其每个点附近连接的定 义.

## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代 考|THE WEIERSTRASS APPROXIMATION THEOREM

$$p(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}$$

1 这个多项式当然可以看成是定义在整条实线上的函数。我们忽略䢒个事实，只考虑 $x$ 位 于 $[a, b]$.sequence 这样的多项式也是一个连续的实函数。Weierstrass 定理指出，这反过 来也是正确的，也就是说，任何连续实函数定义在 $[a, b]$ 是一些一致收敛的多项式序列的极 限。这显然等同于这样的陈述，即这样的函数可以通过多项式均匀地逼近到任何给定的准 确度。这个经典定理的许多证明是已知的，我们给出的证明可能与大多数证明一样简洁和 基本。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。