如果你也在 怎样代写超平面置换理论Hyperplane Arrangements MATH4550这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。超平面置换理论Hyperplane Arrangements在几何学和组合学中，超平面排列是线性、仿生或投影空间S中的有限超平面集合A的排列。关于超平面排列A的问题通常涉及补集M(A)的几何学、拓扑学或其他属性，补集是将超平面从整个空间中移除后留下的集合。人们可能会问，这些属性与排列和它的交点半网格有什么关系。
超平面置换理论Hyperplane ArrangementsA的交点半格，写成L(A)，是由一些超平面相交得到的所有子空间的集合；这些子空间中包括S本身、所有单独的超平面、所有超平面对的交点等等（在仿射情况下，不包括空集）。A的这些相交子空间也被称为A的平面。相交半网格L(A)是通过反向包容而部分排序的。如果整个空间S是二维的，那么超平面就是线；这样的排列通常被称为线的排列。历史上，线的实数排列是最早研究的排列。如果S是3维的，就有一个平面的排列。
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数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考| Exponential sequences of arrangements
The braid arrangement (in fact, any Coxeter arrangement) is highly symmetrical; indeed, the group of linear transformations that preserves the arrangement acts transitively on the regions. Thus all regions “look the same.” The Shi arrangement lacks this symmetry, but it still possesses a kind of “combinatorial symmetry” that allows us to express the characteristic polynomials $\chi_{s_n}(t)$, for all $n \geq 1$, in terms of the number $r\left(\mathcal{S}_n\right)$ of regions.
Definition 5.14. A sequence $\mathfrak{A}=\left(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots\right)$ of arrangements is called an exponential sequence of arrangements (ESA) if it satisfies the following three conditions.
(1) $\mathcal{A}_n$ is in $K^n$ for some field $K$ (independent of $n$ ).
(2) Every $H \in \mathcal{A}_n$ is parallel to some hyperplane $H^{\prime}$ in the braid arrangement $\mathcal{B}_n($ over $K)$
(3) Let $S$ be a $k$-element subset of $[n]$, and define $\mathcal{A}_n^S=\left{H \in \mathcal{A}_n: H\right.$ is parallel to $x_i-x_j=0$ for some $\left.i, j \in S\right}$.
Then $L\left(\mathcal{A}_n^S\right) \cong L\left(\mathcal{A}_k\right)$.
Examples of ESA’s are given by $\mathcal{A}_n=\mathcal{B}_n$ or $\mathcal{A}_n=\mathcal{S}_n$. In fact, in these cases we have $\mathcal{A}_n^S \cong \mathcal{A}_k \times K^{n-k}$.
The combinatorial properties of ESA’s are related to the exponential formula in the theory of exponential generating functions $[\mathbf{3 2}, \S 5.1]$, which we now review. Informally, we are dealing with “structures” that can be put on a vertex set $V$ such that each structure is a disjoint union of its “connected components.” We obtain a structure on $V$ by partitioning $V$ and placing a connected structure on each block (independently). Examples of such structures are graphs, forests, and posets, but not trees or groups. Let $h(n)$ be the total number of structures on an $n$-set $V$ (with $h(0)=1$ ), and let $f(n)$ be the number that are connected. The exponential formula states that
$$
\sum_{n \geq 0} h(n) \frac{x^n}{n !}=\exp \sum_{n \geq 1} f(n) \frac{x^n}{n !}
$$
数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考|The Catalan arrangement
Define the Catalan arrangement $\mathcal{C}n$ in $K^n$, where $\operatorname{char}(K) \neq 2$, by $$ Q{\mathrm{e}n}(x)=\prod{1 \leq ix_{w(2)}>\cdots>x_{w(n)}$ of $\mathcal{B}_n$ is divided “in the same way” in $\mathcal{C}_n$. In particular, if $r_0\left(\mathcal{C}_n\right)$ denotes the number of regions of $\mathcal{C}_n$ contained in some fixed region of $\mathcal{B}_n$, then $r\left(\mathcal{C}_n\right)=n ! r_0\left(\mathcal{C}_n\right)$. See Figure 3 for $\mathcal{C}_3$ in the ambient space $\operatorname{ker}\left(x_1+x_2+x_3\right)$, where the hyperplanes of $\mathcal{B}_3$ are drawn as solid lines and the remaining hyperplanes as dashed lines. Each region of $\mathcal{B}_3$ contains five regions of $\mathcal{C}_3$, so $r\left(\mathcal{C}_3\right)=6 \cdot 5=30$.
We can compute $r\left(\mathcal{C}_n\right)$ (or equivalently $r_0\left(\mathcal{C}_n\right)$ ) by a direct combinatorial argument. Let $R_0$ denote the region $x_1>x_2>\cdots>x_n$ of $\mathcal{B}_n$. The regions of $\mathcal{C}_n$ contained in $R_0$ are determined by those $i<j$ such that $x_i-x_j<1$. We need only specify the maximal intervals $[i, j]$ such that $x_i-x_j<1$, i.e., if $a \leq i<j \leq b$ and $x_a-x_b<1$, then $a=i$ and $b=j$. It is easy to see that any such specification of maximal intervals determines a region of $\mathcal{C}_n$ contained in $R_0$. Thus $r_0\left(\mathcal{C}_n\right)$ is equal to the number of antichains $A$ of strict intervals of $[n]$, i.e., sets $A$ of intervals $[i, j]$, where $1 \leq i<j \leq n$, such that no interval in $A$ is contained in another. (“Strict” means that $i=j$ is not allowed.) It is known (equivalent to [32, Exer. 6.19(bbb)]) that the number of such antichains is the Catalan number $C_n=\frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c}2 n \ n\end{array}\right)$. For the sake of completeness we give a bijection between these antichains and a standard combinatorial structure counted by Catalan numbers, viz., lattice paths from $(0,0)$ to $(n, n)$ with steps $(1,0)$ and $(0,1)$, never rising above the line $y=x([\mathbf{3 2}$, Exer. $6.19(\mathrm{~h})]$ ). Given an antichain $A$ of intervals of $[n]$, there is a unique lattice path of the claimed type whose “outer corners” (a step $(1,0)$ followed by $(0,1))$ consist of the points $(j, i-1)$ where $[i, j] \in A$, together with the points $(i, i-1)$ where no interval in $A$ contains $i$. Figure 4 illustrates this bijection for $n=8$ and $A={[1,4],[3,5],[7,8]}$
超平面置换理论代写
数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考| Exponential sequences of arrangements
编织排列（事实上，任何 Coxeter 排列) 是高度对称的; 实际上，保留排列的线性音䏽组可传递地作用于区域。因此所有区域”看 起来都一样”。Shi排列缺乏这种对称性，但它仍然具有一种“组合对称性”，使我们能哆表达特征多项式 $\chi_{s_n}(t)$ ，对所有人 $n \geq 1$ ， 就数量而言 $r\left(\mathcal{S}n\right)$ 地区。 定义 5.14。一个序列 $\mathfrak{A}=\left(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots\right)$ 如果满足以下三个条件，则排列称为指数序列排列 (ESA)。 (1) $\mathcal{A}_n$ 在 $K^n$ 对于菒些领域 $K$ (独立于 $n$ ). (2) 每个 $H \in \mathcal{A}_n$ 平行于某个超平面 $H^{\prime}$ 在絟子排列中 $\mathcal{B}_n($ 超过 $K)$ (3) 让 $S$ 是一个 $k$ – 的元䋤子集 $[n]$, 并定义 left 缺少或无法识别的分隔符 然后 $L\left(\mathcal{A}_n^S\right) \cong L\left(\mathcal{A}_k\right)$. ESA 的示例由 $\mathcal{A}_n=\mathcal{B}_n$ 或者 $\mathcal{A}_n=\mathcal{S}_n$. 事实上，在这些情况下，我们有 $\mathcal{A}_n^S \cong \mathcal{A}_k \times K^{n-k}$. ESA的组合特性与指数生成函数理论中的指数公式有关 $[32, \delta 5.1]$ ，我们现在回顾一下。非正式地，我们正在处理可以放在顶点 集上的”结构” $V$ 这样每个结构都是其”连接组件”的不相交并集。我们得到一个结构 $V$ 通过分区 $V$ 并在每个块上放置一个连接结构 (独立) 。此灸结构的示例有图、森林和偏序集，但不包括树或组。让 $h(n)$ 是一个结构的总数 $n$-放 $V($ 和 $h(0)=1)$ ，然后让 $f(n)$ 是连接的数字。指数公式指出 $$ \sum{n \geq 0} h(n) \frac{x^n}{n !}=\exp \sum_{n \geq 1} f(n) \frac{x^n}{n !}
$$
数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考|The Catalan arrangement
定义加泰罗尼亚排列 $\mathcal{C} n$ 在 $K^n$ ，在哪里 $\operatorname{char}(K) \neq 2$, 通过 $\$ \$ Q{\backslash \operatorname{mathrm}{\mathrm{e}} \mathrm{n}}(\mathrm{x})=\backslash \operatorname{prod}{1 \backslash$ leq $\mathrm{ix}{-}{\mathrm{w}(2)}>\mid \mathrm{cdots}>\mathrm{x}{-}{\mathrm{w}(\mathrm{n})}$ of $\backslash$ 数学 ${\mathrm{B}}$ nisdivided inthesameway’In $\backslash$ 数学 ${\mathrm{C}}$ _n. Inparticular, if $r{-}$\left( $\backslash$ mathcal ${\mathrm{c}}_{-} \mathrm{n} \backslash$ right)denotesthenumberofregionsof $\backslash$ 数学 ${\mathrm{C}}$ ncontainedinsomefixedregionof ${\mathrm{c}}{-}$3intheambientspace \operatorname ${\mathrm{ker}} \backslash$ left $\left(\mathrm{x}{-}{ }^{1+\mathrm{x}}{ }^{2+\mathrm{x}{-}} 3 \backslash\right.$ |right $)$, wherethehyperplanesof $\backslash$ 数学 ${\mathrm{B}}_{-} 3$ aredrawnassolidlinesandtheremaininghyperplanesasdashedlines. Eachregionof $\backslash$ 数学 ${\mathrm{B}}_{-}{ }^3$
我们可以计算 $r\left(\mathcal{C}_n\right)$ （或等同于 $r_0\left(\mathcal{C}_n\right)$ ) 通过直接组合论证。让 $R_0$ 表示区域 $x_1>x_2>\cdots>x_n$ 的 $\mathcal{B}_n$. 的地区 $\mathcal{C}_n$ 包含在 $R_0$ 由 那些决定 $i<j$ 这样 $x_i-x_j<1$. 我们只需要指定最大间隔 $[i, j]$ 这样 $x_i-x_j<1$ ， 即如果 $a \leq i<j \leq b$ 和 $x_a-x_b<1$ ， 然后 $a=i$ 和 $b=j$. 很容易看出，任何此矢最大间隔的规范都确定了一个区域 $\mathcal{C}_n$ 包含在 $R_0$. 因此 $r_0\left(\mathcal{C}_n\right)$ 等于反链的数量 $A$ 的严格 间隔 $[n]$ ，即集合 $A$ 间隔的 $[i, j]$ ，在哪里 $1 \leq i<j \leq n$ ，使得没有区间 $A$ 包含在另一个。（”严格”意味着 $i=j$ 是不允许的。） 已知 (等同于 $\left[32\right.$, Exer. 6.19(bbb) ]) 这种反链的数量是加泰罗尼亚数 $C_n=\frac{1}{n+1}(2 n n)$. 为了完整起见，我们给出了这些反梿 和标准组合结构之间的双射，该组合结构由加泰罗尼亚数计算，即来自 $(0,0)$ 至 $(n, n)$ 有步骤 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ ，永远不会超讨线 $y=x([32$, 铅炼者。 $6.19(\mathrm{~h})])$. 给定一个反链 $A$ 的间隔 $[n]$ ，有一个独特的格子路径，其”外角” $($ 一步 $(1,0)$ 其次是 $(0,1))$ 由点 组成 $(j, i-1)$ 在郆里 $[i, j] \in A$, 连同点 $(i, i-1)$ 没有间隔的地方 $A$ 包含 $i$. 图 4 说明了这种双射 $n=8$ 和 $A=[1,4],[3,5],[7,8]$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。