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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Generalized Theorema Egregium

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Generalized Theorema Egregium

We assume throughout this section that $M \subset \mathbb{R}^n$ and $M^{\prime} \subset \mathbb{R}^{n^{\prime}}$ are smooth submanifolds of the same dimension $m$. As in Sect. 5.1 we denote objects on $M^{\prime}$ by the same letters as objects in $M$ with primes affixed. In particular, $g^{\prime}$ denotes the first fundamental form on $M^{\prime}$ and $R^{\prime}$ denotes the Riemann curvature tensor on $M^{\prime}$.
Let $\phi: M \rightarrow M^{\prime}$ be a diffeomorphism. Using $\phi$ we can move objects on $M$ to $M^{\prime}$. For example the pushforward of a smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$ is the curve
$$\phi_* \gamma:=\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$$
the pushforward of a smooth function $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ is the function
$$\phi_* f:=f \circ \phi^{-1}: M^{\prime} \rightarrow \mathbb{R}$$
the pushforward of a vector field $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ along a curve $\gamma: I \rightarrow M$ is the vector field $\phi_* X \in \operatorname{Vect}\left(\phi_* \gamma\right)$ defined by
$$\left(\phi_* X\right)(t):=d \phi(\gamma(t)) X(t)$$
for $t \in I$, and the pushforward of a global vector field $X \in \operatorname{Vect}(M)$ is the vector field $\phi_* X \in \operatorname{Vect}\left(M^{\prime}\right)$ defined by
$$\left(\phi_* X\right)(\phi(p)):=d \phi(p) X(p)$$
for $p \in M$. Recall that the first fundamental form on $M$ is the Riemannian metric $g$ defined as the restriction of the Euclidean inner product on the ambient space to each tangent space of $M$. It assigns to each $p \in M$ the bilinear map $g_p: T_p M \times T_p M \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$g_p(u, v)=\langle u, v\rangle, \quad u, v \in T_p M$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Theorema Egregium

Theorem 5.3.1 (Theorema Egregium) The first fundamental form, covariant differentiation, geodesics, parallel transport, and the Riemann curvature tensor are intrinsic. This means that for every isometry $\phi: M \rightarrow M^{\prime}$ the following holds.
(i) $\phi_* g=g^{\prime}$.
(ii) If $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ is a vector field along a smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$, then
$$\nabla^{\prime}\left(\phi_* X\right)=\phi_* \nabla X$$
and if $X, Y \in \operatorname{Vect}(M)$ are global vector fields, then
$$\nabla_{\phi_* X}^{\prime} \phi_* Y=\phi_\left(\nabla_X Y\right)$$ (iii) If $\gamma: I \rightarrow M$ is a geodesic, then $\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$ is a geodesic. (iv) If $\gamma: I \rightarrow M$ is a smooth curve, then for all $s, t \in I$, we have $$\Phi_{\phi \circ \gamma}^{\prime}(t, s) d \phi(\gamma(s))=d \phi(\gamma(t)) \Phi_\gamma(t, s)$$ (v) $\phi_ R=R^{\prime}$

Proof Assertion (i) is simply a restatement of Theorem 5.1.1. To prove (ii) we choose a local smooth parametrization $\psi: \Omega \rightarrow U$ of an open set $U \subset M$, defined on an open set $\Omega \subset \mathbb{R}^m$, so that $\psi^{-1}: U \rightarrow \Omega$ is a coordinate chart. Suppose without loss of generality that $\gamma(t) \in U$ for all $t \in I$ and define $c: I \rightarrow \Omega$ and $\xi: I \rightarrow \mathbb{R}^m$ by
$$\gamma(t)=\psi(c(t)), \quad X(t)=\sum_{i=1}^m \xi^i(t) \frac{\partial \psi}{\partial x^i}(c(t)) .$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Generalized Theorema Egregium

$$\phi_* \gamma:=\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$$

$$\phi_* f:=f \circ \phi^{-1}: M^{\prime} \rightarrow \mathbb{R}$$

$$\left(\phi_* X\right)(t):=d \phi(\gamma(t)) X(t)$$

$$\left(\phi_* X\right)(\phi(p)):=d \phi(p) X(p)$$

$$g_p(u, v)=\langle u, v\rangle, \quad u, v \in T_p M$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Theorema Egregium

(我) $\phi_* g=g^{\prime}$.
(ii) 如果 $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ 是沿着平滑曲线的矢量场 $\gamma: I \rightarrow M$ ，然后
$$\nabla^{\prime}\left(\phi_* X\right)=\phi_* \nabla X$$

$$\nabla_{\phi_* X}^{\prime} \phi_* Y=\phi_{\left(\nabla_X Y\right)}$$
(iii) 如果 $\gamma: I \rightarrow M$ 是测地线，那么 $\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$ 是测地线。(iv) 如果 $\gamma: I \rightarrow M$ 是一条光滑的曲线，那么对于所有 $s, t \in I$ ，我们有
$$\Phi_{\phi \circ \gamma}^{\prime}(t, s) d \phi(\gamma(s))=d \phi(\gamma(t)) \Phi_\gamma(t, s)$$
(在) $\phi_R=R^{\prime}$

$$\gamma(t)=\psi(c(t)), \quad X(t)=\sum_{i=1}^m \xi^i(t) \frac{\partial \psi}{\partial x^i}(c(t))$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Defnition and Gauß–Codazzi

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Defnition and Gauß–Codazzi

Let $M \subset \mathbb{R}^n$ be a smooth manifold and $\gamma: \mathbb{R}^2 \rightarrow M$ be a smooth map. Denote by $(s, t)$ the coordinates on $\mathbb{R}^2$. Let $Z \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ be a smooth vector field along $\gamma$, i.e. $Z: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a smooth map such that $Z(s, t) \in T_{\gamma(s, t)} M$ for all $s$ and $t$. The covariant partial derivatives of $Z$ with respect to the variables $s$ and $t$ are defined by
$$\nabla_s Z:=\Pi(\gamma) \frac{\partial Z}{\partial s}, \quad \nabla_t Z:=\Pi(\gamma) \frac{\partial Z}{\partial t} .$$
In particular $\partial_s \gamma=\partial \gamma / \partial s$ and $\partial_t \gamma=\partial \gamma / \partial t$ are vector fields along $\gamma$ and we have $\nabla_s \partial_t \gamma-\nabla_t \partial_s \gamma=0$ as both terms on the left are equal to $\Pi(\gamma) \partial_s \partial_t \gamma$. Thus ordinary partial differentiation and covariant partial differentiation commute. The analogous formula (which results on replacing $\partial$ by $\nabla$ and $\gamma$ by $Z$ ) is in general false. Instead we have the following.

Definition 5.2.1 The Riemann curvature tensor assigns to each $p \in M$ the bilinear map $R_p: T_p M \times T_p M \rightarrow \mathcal{L}\left(T_p M, T_p M\right)$ characterized by the equation
$$R_p(u, v) w=\left(\nabla_s \nabla_t Z-\nabla_t \nabla_s Z\right)(0,0)$$
for $u, v, w \in T_p M$ where $\gamma: \mathbb{R}^2 \rightarrow M$ is a smooth map and $Z \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ is a smooth vector field along $\gamma$ such that
$$\gamma(0,0)=p, \quad \partial_s \gamma(0,0)=u, \quad \partial_t \gamma(0,0)=v, \quad Z(0,0)=w$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Covariant Derivative of a Global Vector Field

So far we have only defined the covariant derivatives of vector fields along curves. The same method can be applied to global vector fields. This leads to the following definition.

Definition 5.2.3 (Covariant derivative) Let $M \subset \mathbb{R}^n$ be an $m$-dimensional submanifold and $X$ be a vector field on $M$. Fix a point $p \in M$ and a tangent vector $v \in T_p M$. The covariant derivative of $X$ at $p$ in the direction $v$ is the tangent vector
$$\nabla_v X(p):=\Pi(p) d X(p) v \in T_p M,$$
where $\Pi(p) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ denotes the orthogonal projection onto $T_p M$.
Remark 5.2.4 Let $\gamma: I \rightarrow M$ be a smooth curve on an interval $I \subset \mathbb{R}$ and let $X \in \operatorname{Vect}(M)$ be a smooth vector field on $M$. Then $X \circ \gamma$ is a smooth vector field along $\gamma$ and the covariant derivative of $X \circ \gamma$ is related to the covariant derivative of $X$ by the formula
$$\nabla(X \circ \gamma)(t)=\nabla_{\dot{\gamma}(t)} X(\gamma(t))$$
Remark 5.2.5 (Gauß-Weingarten formula) Differentiating the equation $X=$ $\Pi X$ (understood as a function from $M$ to $\mathbb{R}^n$ ) and using the notation $\partial_v X(p):=$ $d X(p) v$ for the derivative of $X$ at $p$ in the direction $v$ we obtain the GaußWeingarten formula for global vector fields:
$$\partial_v X(p)=\nabla_v X(p)+h_p(v) X(p)$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Defnition and Gauß–Codazzi

$$\nabla_s Z:=\Pi(\gamma) \frac{\partial Z}{\partial s}, \quad \nabla_t Z:=\Pi(\gamma) \frac{\partial Z}{\partial t}$$

$$R_p(u, v) w=\left(\nabla_s \nabla_t Z-\nabla_t \nabla_s Z\right)(0,0)$$

$$\gamma(0,0)=p, \quad \partial_s \gamma(0,0)=u, \quad \partial_t \gamma(0,0)=v, \quad Z(0,0)=w$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Covariant Derivative of a Global Vector Field

$$\nabla_v X(p):=\Pi(p) d X(p) v \in T_p M$$

$$\nabla(X \circ \gamma)(t)=\nabla_{\dot{\gamma}(t)} X(\gamma(t))$$

$$\partial_v X(p)=\nabla_v X(p)+h_p(v) X(p)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Global Existence of Minimal Geodesics

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Global Existence of Minimal Geodesics

Theorem 4.6.6 (Hopf-Rinow) Let $M \subset \mathbb{R}^n$ be a connected m-manifold and let $p \in M$. Assume $M$ is geodesically complete at $p$. Then, for every $q \in M$, there exists a geodesic $\gamma:[0,1] \rightarrow M$ such that
$$\gamma(0)=p, \quad \gamma(1)=q, \quad L(\gamma)=d(p, q)$$
Before giving the proof of the Hopf-Rinow Theorem we show that it implies Theorem 4.6.5.

Theorem 4.6.6 implies Theorem 4.6.5 That (i) implies (ii) follows directly from the definitions.

We prove that (ii) implies (iii). Thus assume that $M$ is geodesically complete at the point $p_0 \in M$ and let $K \subset M$ be a closed and bounded subset. Then $r:=\sup {q \in K} d\left(p_0, q\right)<\infty$. Hence Theorem 4.6.6 asserts that, for every $q \in K$, there exists a vector $v \in T{p_0} M$ such that $|v|=d\left(p_0, q\right) \leq r$ and $\exp {p_0}(v)=q$. Thus $$K \subset \exp {p_0}\left(\bar{B}r\left(p_0\right)\right), \quad \bar{B}_r\left(p_0\right)=\left{v \in T{p_0} M|| v \mid \leq r\right} .$$
Then $B:=\left{v \in T_{p_0} M|| v \mid \leq r\right.$, $\left.\exp {p_0}(v) \in K\right}$ is a closed and bounded subset of the Euclidean space $T{p_0} M$. Hence $B$ is compact and $K=\exp {p_0}(B)$. Since the exponential map $\exp {p_0}: T_{p_0} M \rightarrow M$ is continuous it follows that $K$ is compact. This shows that (ii) implies (iii).

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Proof of the Hopf–Rinow Theorem

The proof of Theorem 4.6.6 relies on the next two lemmas.
Lemma 4.6.7 Let $M \subset \mathbb{R}^n$ be a connected m-manifold and $p \in M$. Suppose $\varepsilon>0$ is smaller than the injectivity radius of $M$ at $p$ and denote
$$\Sigma_1(p):=\left{v \in T_p M|| v \mid=1\right}, \quad S_{\varepsilon}(p):=\left{p^{\prime} \in M \mid d\left(p, p^{\prime}\right)=\varepsilon\right}$$
Then the map $\Sigma_1(p) \rightarrow S_{\varepsilon}(p): v \mapsto \exp p(\varepsilon v)$ is a diffeomorphism and, for all $q \in M$, we have $$d(p, q)>\varepsilon \quad \Longrightarrow \quad d\left(S{\varepsilon}(p), q\right)=d(p, q)-\varepsilon$$
Proof By Theorem 4.4.4, we have
$$d\left(p, \exp _p(v)\right)=|v| \quad \text { for all } v \in T_p M \text { with }|v| \leq \varepsilon$$
and
$$d\left(p, p^{\prime}\right)>\varepsilon \quad \text { for all } p^{\prime} \in M \backslash\left{\exp _p(v)\left|v \in T_p M,\right| v \mid \leq \varepsilon\right}$$

This shows that $S_{\varepsilon}(p)=\exp p\left(\varepsilon \Sigma_1(p)\right)$ and, since $\varepsilon$ is smaller than the injectivity radius, the map $$\Sigma_1(p) \rightarrow S{\varepsilon}(p): v \mapsto \exp _p(\varepsilon v)$$
is a diffeomorphism.
To prove the second assertion, let $q \in M$ such that
$$r:=d(p, q)>\varepsilon$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Global Existence of Minimal Geodesics

$$\gamma(0)=p, \quad \gamma(1)=q, \quad L(\gamma)=d(p, q)$$

$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Proof of the Hopf–Rinow Theorem

$\backslash 1$ eft 缺少或无法识别的分隔符

$$d(p, q)>\varepsilon \quad \Longrightarrow \quad d(S \varepsilon(p), q)=d(p, q)-\varepsilon$$

$$d\left(p, \exp p(v)\right)=|v| \quad \text { for all } v \in T_p M \text { with }|v| \leq \varepsilon$$ 和 \1eft 缺少或无法识别的分隔符 这表明 $S{\varepsilon}(p)=\exp p\left(\varepsilon \Sigma_1(p)\right)$ 并且，因为 $\varepsilon$ 小于注入半径，映射
$$\Sigma_1(p) \rightarrow S \varepsilon(p): v \mapsto \exp _p(\varepsilon v)$$

$$r:=d(p, q)>\varepsilon$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|MATH464 Minimal Geodesics

avatest.org™微分几何Differential geometry代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。avatest.org™， 最高质量的微分几何Differential geometry作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于统计Statistics作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此微分几何Differential geometry作业代写的价格不固定。通常在经济学专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Characterization of Minimal Geodesics

Lemma 4.4.1 Let $I=[a, b]$ be a compact interval, let $\gamma: I \rightarrow M$ be a smooth curve, and define $p:=\gamma(a)$ and $q:=\gamma(b)$. Then the following are equivalent.
(i) $\gamma$ is parametrized proportional to the arclength, i.e. $|\dot{\gamma}(t)|=c$ is constant, and $\gamma$ minimizes the length, i.e. $L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right)$ for every smooth curve $\gamma^{\prime}$ in $M$ joining $p$ and $q$.
(ii) $\gamma$ minimizes the energy, i.e. $E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right)$ for every smooth curve $\gamma^{\prime}$ in $M$ joining $p$ and $q$.

(Minimal geodesic) A smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$ on a compact interval $I \subset \mathbb{R}$ is called a minimal geodesic iff it satisfies the equivalent conditions of Lemma 4.4.1.
Remark 4.4.3
(i) Condition (i) says that (the velocity $|\dot{\gamma}|$ is constant and) $L(\gamma)=d(p, q)$, i.e. that $\gamma$ is a shortest curve from $p$ to $q$. It is not precluded that there be more than one such $\gamma$; consider for example the case where $M$ is a sphere and $p$ and $q$ are antipodal.
(ii) Condition (ii) implies that
$$\left.\frac{d}{d s}\right|{s=0} E\left(\gamma{s}\right)=0$$
for every smooth variation $\mathbb{R} \times I \rightarrow M: s \mapsto \gamma_{s}(t)$ of $\gamma$ with fixed endpoints. Hence a minimal geodesic is a geodesic.
(iii) Finally, we remark that $L(\gamma)$ (but not $E(\gamma))$ is independent of the parametrization of $\gamma$. Hence, if $\gamma$ is a minimal geodesic, then $L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right)$ for every $\gamma^{\prime}$ (from $p$ to $q$ ) whereas $E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right)$ for those $\gamma^{\prime}$ defined on (an interval the same length as) $I$.

Proof of Lemma 4.4.1 We prove that (i) implies (ii). Let $c$ be the (constant) value of $|\dot{\gamma}(t)|$. Then
$$L(\gamma)=(b-a) c, \quad E(\gamma)=\frac{(b-a) c^{2}}{2}$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Local Existence of Minimal Geodesics

Theorem 4.4.4 (Existence of minimal geodesics) Let $M \subset \mathbb{R}^{n}$ be a smooth $m$ manifold, fix a point $p \in M$, and let $r>0$ be smaller than the injectivity radius of $M$ at $p$. Let $v \in T_{p} M$ such that $|v|<r$. Then
$$d(p, q)=|v|, \quad q:=\exp {p}(v),$$ and a curve $\gamma \in \Omega{p, q}$ has minimal length $L(\gamma)=|v|$ if and only if there is a smooth $\operatorname{map} \beta:[0,1] \rightarrow[0,1]$ satisfying
$$\beta(0)=0, \quad \beta(1)=1, \quad \dot{\beta} \geq 0$$
such that $\gamma(t)=\exp _{p}(\beta(t) v)$ for $0 \leq t \leq 1$
The proof is based on the following lemma.

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代 写|Characterization of Minimal Geodesics

(一世) $\gamma$ 参数化与弧长成比例，即 $|\dot{\gamma}(t)|=c$ 是恒定的，并且 $\gamma$ 最小化长度，即 $L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right)$ 对于每条平滑曲线 $\gamma^{\prime}$ 在 $M$ 加入 $p$ 和 $q$.
(二) $\gamma$ 最小化能量，即 $E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right)$ 对于每条平滑曲线 $\gamma^{\prime}$ 在 $M$ 加入 $p$ 和 $q$.
(最小测地线) 平滑曲线 $\gamma: I \rightarrow M$ 在一个䋯凑的区间 $I \subset \mathbb{R}$ 称为最小测地线当且仅当它 满足引理 $4.4 .1$ 的等效条件。

(i) 条件 (i) 表示 (速度 $|\dot{\gamma}|$ 是恒定的并且) $L(\gamma)=d(p, q)$, 即 $\gamma$ 是一条最短的曲线 $p$ 至 $q$. 不排 除有不止一种这样的 $\gamma$, 例如考虑以下情况 $M$ 是一个球体并且 $p$ 和 $q$ 是对映的。
(ii) 条件 (ii) 意味着
\$\$
Veft.|frac{d ${\mathrm{ds}}$ |right ${s=0}$ E|left $($ lgamma ${s} \mid$ right $)=0$
$\$ \$$对于每个平滑变化 \mathbb{R} \times I \rightarrow M: s \mapsto \gamma_{s}(t) 的 \gamma 具有固定端点。因此，最小测地线是测地 线。 (iii) 最后，我们注意到 L(\gamma) (但不是 E(\gamma) )是独立的参数化 \gamma. 因此，如果 \gamma 是最小测地线， 则 L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right) 对于每个 \gamma^{\prime}\left(\right. 从 p 至 q ) 然而 E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right) 对于那些 \gamma^{\prime} 定义在（与长度相 同的间隔) I. 引理 4.4 .1 的证明 我们证明 (i) 䡞含 (ii)。让 c 是 (常数) 值 |\dot{\gamma}(t)|. 然后$$
$$## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代 写|Local Existence of Minimal Geodesics 定理 4.4.4 (最小测地线的存在) 让 M \subset \mathbb{R}^{n} 做一个光滑的 m 多方面的，固定一个点 p \in M ，然后让 r>0 小于注入半径 M 在 p. 让 v \in T_{p} M 这样 |v|<r. 然后$$
$$和一条曲线 \gamma \in \Omega p, q 有最小长度 L(\gamma)=|v| 当且仅当有一个平滑的map \beta:[0,1] \rightarrow[0,1] 令人满意的$$


## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。