Tag: MATH525

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Tight and overtwisted

In this section we are going to discuss a fundamental dichotomy of contact structures on 3-manifolds, introduced by Eliashberg [64], namely, the division of contact structures into tight and overtwisted ones. At first sight, the definition of theses types of contact structures looks slightly peculiar. We shall see later what motivated this definition, and why it has proved seminal for the development of 3 -dimensional contact topology.

Recall the definition of the standard overtwisted contact structure $\xi_{\text {ot }}$ on $\mathbb{R}^3$ given in Example 2.1.6. This was described by the equation (in cylindrical coordinates)
$$
\cos r d z+r \sin r d \varphi=0
$$
Let $\Delta$ be the $\operatorname{disc}{z=0, r \leq \pi} \subset \mathbb{R}^3$. The boundary $\partial \Delta$ of this disc is a Legendrian curve for $\xi_{\text {ot }}$, in fact, the disc $\Delta$ is tangent to $\xi_{\text {ot }}$ along its boundary. This means that the characteristic foliation $\Delta_{\xi_{\mathrm{ot}}}$ consists of all radial lines, with singular points at the origin and at all boundary points (Figure 4.9).

If the interior of $\Delta$ is pushed up slightly, the singular points at the boundary can be made to disappear. Only the singular point at the centre remains, and the characteristic foliation now looks as in Figure 4.10, with $\partial \Delta$ a closed leaf of the characteristic foliation $\Delta_{\xi}$. (We shall prove this presently by an explicit calculation in a related case.) We call $\Delta$ (in its perturbed or unperturbed form) the standard overtwisted disc.

For our discussion in the following chapter, it is useful to describe the properties of $\Delta$ in terms of the contact framing and the surface framing of Legendrian knots (Defns. 3.5.1 and 3.5.2).

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Surfaces in contact $3-$ manifolds

We now want to take a more systematic look at surfaces in contact $3-$ manifolds, with a view towards using them as a tool in the classification of contact structures. Obviously some of the material on hypersurfaces in contact manifolds of arbitrary dimension (Section 2.5.4) will be relevant here. I am going to reiterate some of the arguments from that section in the special 3-dimensional setting to spare the reader from having to leaf back and forth. Throughout I assume that $M$ is a 3 -manifold with oriented and cooriented contact structure $\xi=\operatorname{ker} \alpha$ (with $d \alpha$ defining the orientation of $\xi$ ), and $S \subset M$ an oriented surface embedded in $M$. Occasionally we allow $S$ to have boundary, but then there will be some control over the boundary, e.g. if it consists of Legendrian curves. All results can typically be proved for non-orientable surfaces by passing to a double cover.

As in Section 2.5.4 we identify a neighbourhood of $S$ in $M$ with $S \times \mathbb{R}$, and $S$ with $S \times{0}$, where we write $z \nmid$ for the $\mathbb{R}$-coordinate. We make this identification compatible with orientations: the orientation of $S$ followed by the natural orientation of $\mathbb{R}$ gives the orientation of $M$ (induced by $\xi$ ). We write the contact form $\alpha$ as
$$
\alpha=\beta_z+u_z d z
$$
where $\beta_z, z \in \mathbb{R}$, is a smooth family of 1 -forms on $S$, and $u_z: S \rightarrow \mathbb{R}$, a smooth family of functions. Then
$$
d \alpha=d \beta_z-\dot{\beta}_z \wedge d z+d u_z \wedge d z
$$
where the dot denotes the derivative with respect to $z$. Thus, the contact condition becomes
$$
u_z d \beta_z+\beta_z \wedge\left(d u_z-\dot{\beta}_z\right)>0,
$$
meaning that the $2-$ form on the left is a positive area form on $S$.

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Tight and overtwisted

在本节中，我们将讨论由Eliashberg[64]引入的3-流形上接触结构的基本二分法，即将接触结构分为紧的和过扭的。乍一看，这些类型的接触结构的定义看起来有点奇怪。我们将在后面看到这个定义的动机，以及为什么它对三维接触拓扑的发展具有开创性意义。

回想一下例2.1.6中给出的$\mathbb{R}^3$上的标准过扭接触结构$\xi_{\text {ot }}$的定义。这是用方程来描述的(在柱坐标中)
$$
\cos r d z+r \sin r d \varphi=0
$$
让$\Delta$成为$\operatorname{disc}{z=0, r \leq \pi} \subset \mathbb{R}^3$。这个圆盘的边界$\partial \Delta$是$\xi_{\text {ot }}$的Legendrian曲线，事实上，圆盘$\Delta$沿着它的边界与$\xi_{\text {ot }}$相切。这意味着特征叶理$\Delta_{\xi_{\mathrm{ot}}}$由所有径向线组成，原点和所有边界点都有奇点(图4.9)。

如果将$\Delta$的内部稍微向上推，可以使边界上的奇异点消失。只保留了中心的奇异点，特征叶理现在看起来如图4.10所示，其中$\partial \Delta$是特征叶理$\Delta_{\xi}$的闭合叶。(我们将在一个相关的案例中通过一个明确的计算来证明这一点。)我们称$\Delta$(摄动或无摄动形式)为标准的超扭盘。

对于我们下一章的讨论，用Legendrian结点的接触分格和曲面分格来描述$\Delta$的性质是很有用的(见3.5.1和3.5.2)。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Surfaces in contact $3-$ manifolds

我们现在想更系统地看看接触$3-$流形中的表面，把它们作为一种工具来分类接触结构。显然，在任意维度的接触流形的超表面上的一些材料(第2.5.4节)将在这里相关。我将在特殊的三维环境中重申该部分的一些论点，以便读者不必来回翻阅。在整个过程中，我假设$M$是一个具有定向和共定向接触结构$\xi=\operatorname{ker} \alpha$的3流形(其中$d \alpha$定义了$\xi$的方向)，而$S \subset M$是嵌入在$M$中的一个定向表面。偶尔我们允许$S$有边界，但随后会有一些对边界的控制，例如，如果它由Legendrian曲线组成。所有结果通常都可以通过传递到双盖来证明非定向表面。

如第2.5.4节所述，我们在$M$中用$S \times \mathbb{R}$标识一个邻近的$S$，在$S \times{0}$中用$S$标识一个邻近的，其中我们用$z \nmid$表示$\mathbb{R}$坐标。我们使这种识别与取向兼容:$S$的取向，然后是$\mathbb{R}$的自然取向，得到$M$的取向(由$\xi$诱导)。我们将联系表单$\alpha$写成
$$
\alpha=\beta_z+u_z d z
$$
其中$\beta_z, z \in \mathbb{R}$为$S$上1 -形式的光滑族，$u_z: S \rightarrow \mathbb{R}$为函数的光滑族。然后
$$
d \alpha=d \beta_z-\dot{\beta}_z \wedge d z+d u_z \wedge d z
$$
其中点表示对$z$的导数。因此，接触条件为
$$
u_z d \beta_z+\beta_z \wedge\left(d u_z-\dot{\beta}_z\right)>0,
$$
这意味着左边的$2-$表单是$S$的正面积表单。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Martinet’s construction

The first step towards the classification of overtwisted contact structures on 3 -manifolds is the following theorem of Martinet [175].

Theorem 4.1.1 (Martinet) Every closed, orientable 3-manifold $M$ admits a contact structure.

In view of the theorem of Lickorish and Wallace and the fact that $S^3$ admits a contact structure, Martinet’s theorem is a direct consequence of the following result.

Theorem 4.1.2 Let $\xi_0$ be a contact structure on a 3 -manifold $M_0$. Let $M$ be the manifold obtained from $M_0$ by a Dehn surgery along a knot $K$. Then $M$ admits a contact structure $\xi$ which coincides with $\xi_0$ outside the neighbourhood of $K$ where we perform surgery.

Proof By Theorem 3.3.1 we may assume that $K$ is positively transverse to $\xi_0$. Then, by the contact neighbourhood theorem (Example 2.5.16), we can find a tubular neighbourhood $\nu K$ of $K$ diffeomorphic to $S^1 \times D_{\delta_0}^2$, where $K$ is identified with $S^1 \times{\mathbf{0}}$ and $D_{\delta_0}^2$ denotes a disc of radius $\delta_0$, such that the contact structure $\xi_0$ is given as the kernel of $d \bar{\theta}+\bar{r}^2 d \bar{\varphi}$, with $\bar{\theta}$ denoting the $S^1$-coordinate and $(\bar{r}, \bar{\varphi})$ polar coordinates on $D_{\delta_0}^2$. Notice that this contact structure is rotationally symmetric about $S^1 \times{\mathbf{0}}$, so a transverse knot does not inherit any preferred framing from the contact structure. (We have seen in Definition 3.5.1 that the situation is markedly different for Legendrian knots.)

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|2–plane fields on 3–manifolds

First we need the following well-known fact. It is unavoidable that at this point we use a little more algebraic or geometric topology than we have done so far. In order to ease the pain, I present three proofs, based on entirely different methods.

Theorem 4.2.1 Every closed, orientable 3-manifold $M$ is parallelisable, that is, the tangent bundle TM is trivial.

First Proof – obstruction theoretic The main point will be to show the vanishing of the second Stiefel-Whitney class $w_2(M)=w_2(T M) \in H^2\left(M ; \mathbb{Z}_2\right)$. Recall the following facts, which can be found in [35]; for the interpretation of Stiefel-Whitney classes as obstruction classes see also [188].
There are $\mathrm{Wu}$ classes $v_i \in H^i\left(M ; \mathbb{Z}_2\right)$ defined by
$$
\left\langle\mathrm{Sq}^i(u),[M]\right\rangle=\left\langle v_i \cup u,[M]\right\rangle
$$
for all $u \in H^{3-i}\left(M ; \mathbb{Z}_2\right)$, where Sq denotes the Steenrod squaring operations. Since $\mathrm{Sq}^i(u)=0$ for $i>3-i$, the only (potentially) non-zero Wu classes are $v_0=1$ and $v_1$. The $\mathrm{Wu}$ classes and the Stiefel-Whitney classes are related by $w_q=\sum_j \mathrm{Sq}^{q-j}\left(v_j\right)$. Hence $v_1=\mathrm{Sq}^0\left(v_1\right)=w_1$, which is the zero class, because $M$ is orientable. We conclude $w_2=0$.

Let $V_2\left(\mathbb{R}^3\right)=\mathrm{SO}(3) / \mathrm{SO}(1)=\mathrm{SO}(3)$ be the Stiefel manifold of oriented, orthonormal 2-frames in $\mathbb{R}^3$. This is connected, so there exists a section over the 1 -skeleton $\dagger$ of $M$ of the 2 -frame bundle $V_2(T M)$ associated with $T M$ (with a choice of Riemannian metric on $M$ understood $\ddagger$ ). The obstruction to extending this section over the 2 -skeleton is equal to $w_2$, which vanishes as we have just seen. The obstruction to extending the section over all of $M$ lies in $H^3\left(M ; \pi_2\left(V_2\left(\mathbb{R}^3\right)\right)\right)$, which is the zero group because of $\pi_2(\mathrm{SO}(3))=0$. (For that latter fact, recall that $\mathrm{SO}(3)$ is diffeomorphic to $\mathbb{R} P^3$, or appeal to the general result that the second homotopy group of any compact Lie group is trivial, see [37, Thm. V.7.1].)

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Martinet’s construction

对3流形上的超扭曲接触结构进行分类的第一步是下面的Martinet定理[175]。

定理4.1.1 (Martinet)每一个封闭的、可定向的3流形$M$都承认一个接触结构。

考虑到Lickorish和Wallace的定理以及$S^3$承认接触结构的事实，Martinet定理是下列结果的直接推论。

定理4.1.2设$\xi_0$为3流形$M_0$上的接触结构。设$M$为通过Dehn手术沿结$K$从$M_0$得到的流形。然后$M$承认了一个接触结构$\xi$，它与$K$附近的$\xi_0$相吻合，我们在那里做手术。

定理3.3.1证明我们可以假设$K$正横向于$\xi_0$。然后，利用接触邻域定理(例2.5.16)，求出$K$与$S^1 \times D_{\delta_0}^2$微分同构的管状邻域$\nu K$，其中$K$与$S^1 \times{\mathbf{0}}$标识，$D_{\delta_0}^2$表示半径为$\delta_0$的圆盘，从而给出$\xi_0$的接触结构作为$d \bar{\theta}+\bar{r}^2 d \bar{\varphi}$的核。其中$\bar{\theta}$表示$D_{\delta_0}^2$上的$S^1$坐标和$(\bar{r}, \bar{\varphi})$极坐标。注意，这个接触结构是围绕$S^1 \times{\mathbf{0}}$旋转对称的，因此横向结不会从接触结构继承任何首选框架。(我们已经在定义3.5.1中看到，Legendrian结的情况明显不同。)

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|2–plane fields on 3–manifolds

首先，我们需要下面这个众所周知的事实。这是不可避免的，在这一点上，我们使用更多的代数或几何拓扑比我们已经做过的。为了减轻痛苦，我提出了三个基于完全不同方法的证明。

定理4.2.1每一个封闭的、可定向的3流形$M$都是可并行的，即切束TM是平凡的。

第一个证明-阻碍理论的要点将是显示第二个斯蒂费尔-惠特尼级的消失$w_2(M)=w_2(T M) \in H^2\left(M ; \mathbb{Z}_2\right)$。回想一下[35]中提到的事实;关于Stiefel-Whitney类作为阻碍类的解释参见[188]。
定义了$\mathrm{Wu}$类$v_i \in H^i\left(M ; \mathbb{Z}_2\right)$
$$
\left\langle\mathrm{Sq}^i(u),[M]\right\rangle=\left\langle v_i \cup u,[M]\right\rangle
$$
对于所有$u \in H^{3-i}\left(M ; \mathbb{Z}_2\right)$，其中Sq表示Steenrod平方运算。因为$\mathrm{Sq}^i(u)=0$表示$i>3-i$，所以(可能)非零的Wu类只有$v_0=1$和$v_1$。$\mathrm{Wu}$类和Stiefel-Whitney类通过$w_q=\sum_j \mathrm{Sq}^{q-j}\left(v_j\right)$相关联。因此$v_1=\mathrm{Sq}^0\left(v_1\right)=w_1$是零类，因为$M$是可定向的。我们得出结论$w_2=0$。

设$V_2\left(\mathbb{R}^3\right)=\mathrm{SO}(3) / \mathrm{SO}(1)=\mathrm{SO}(3)$为$\mathbb{R}^3$中定向的、正交的2-坐标系的Stiefel流形。这是连接的，因此存在与$T M$相关的2框架束$V_2(T M)$的1骨架$\dagger$$M$上的一个部分(在$M$上选择黎曼度量，理解$\ddagger$)。将这部分延伸到2 -骨架上的障碍等于$w_2$，正如我们刚才看到的那样，它消失了。将部分扩展到整个$M$的障碍在于$H^3\left(M ; \pi_2\left(V_2\left(\mathbb{R}^3\right)\right)\right)$，由于$\pi_2(\mathrm{SO}(3))=0$，它是零组。(对于后一个事实，回想$\mathrm{SO}(3)$与$\mathbb{R} P^3$是微分同构的，或者求助于任何紧李群的第二同伦群是平凡的一般结果，参见[37,Thm]。v.7.1]。

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微积分代写

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Legendrian and transverse knots

Recall that a knot in a 3-manifold $M$ is simply an embedding of $S^1$. (I shall try to be as consistent as possible in distinguishing the actual embedding from its image; usually I write something like $\gamma$ for the former and $K$ for the latter.) A large part of our discussion, for the time being, will centre on curves parametrised on intervals. I usually write $s$ for a parameter ranging over an interval, and $\theta$ for a parameter ranging over $S^1 \equiv \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$. We write $\gamma^{\prime}(s)=T_s \gamma\left(\partial_s\right)$ for the tangent or ‘velocity’ vector of the parametrised curve $s \mapsto \gamma(s)$ at the point $\gamma(s)$.

We have already introduced Legendrian submanifolds of contact manifolds in full generality, so it is clear what is meant by a Legendrian knot. For better reference, I summarise the definitions in the present setting.

Definition 3.1.1 A Legendrian knot in a contact $3-$ manifold $(M, \xi)$ is a Legendrian embedding $\gamma: S^1 \rightarrow M$, that is, an embedding satisfying $\gamma^{\prime}(\theta) \in$ $\xi_{\gamma(\theta)}$ for all $\theta \in S^1$.

A transverse knot in $(M, \xi)$ is an embedding $\gamma: S^1 \rightarrow M$ that is everywhere transverse to $\xi$, i.e. we require $\gamma^{\prime}(\theta) \notin \xi_{\gamma(\theta)}$ for all $\theta \in S^1$. If $\xi=\operatorname{ker} \alpha$ is cooriented, one speaks of a positively or negatively transverse knot depending on whether $\alpha\left(\gamma^{\prime}(\theta)\right)>0$ or $\alpha\left(\gamma^{\prime}(\theta)\right)<0$ for all $\theta \in S^1$.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Front and Lagrangian projection

For questions such as surgery descriptions of contact 3 -manifolds, the (Legendrian or transverse) knots of primary interest are those in $S^3$ with its standard contact structure. Given any link in $S^3$, we may assume that it misses a given point and regard it as a link in $\mathbb{R}^3$. By Proposition 2.1.8 the same is true in contact geometry: any link in $S^3$ with its standard contact structure may be regarded as a link in $\mathbb{R}^3$ with its standard contact structure $\xi_{\text {st }}=\operatorname{ker} \alpha_{\text {st }}$, where
$$
\alpha_{\mathrm{st}}=d z+x d y
$$
Remark 3.2.1 The reader should be warned that almost every possible convention for writing this standard contact structure – with a minus instead of a plus sign, or with the roles of $x$ and $y$ reversed – has been used in the literature. Therefore, the knot diagrams we are going to draw below will have a different appearance in other books and papers, depending on whichever school of thought the author follows. I stick to what I believe is one of the more common conventions.

Consider embeddings $\gamma$ of $S^1$ or an open interval into $\left(\mathbb{R}^3, \xi_{\text {st }}\right)$. Write $\gamma(s)=(x(s), y(s), z(s))$. Then
$$
\alpha_{\mathrm{st}}\left(\gamma^{\prime}\right)=z^{\prime}+x y^{\prime}
$$
so the condition for a Legendrian curve reads $z^{\prime}+x y^{\prime} \equiv 0$; for a positively or negatively transverse curve it becomes $z^{\prime}+x y^{\prime}>0$ or $<0$, respectively.
In order to visualise curves or knots in 3-space, one draws their projection onto some plane in $\mathbb{R}^3$. In the contact geometric setting, there are two distinguished types of such projections.

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Legendrian and transverse knots

回想一下，3流形$M$中的一个结只是$S^1$的嵌入。(在区分实际嵌入和图像时，我将尽可能保持一致;通常我为前者写$\gamma$，为后者写$K$。)目前，我们讨论的大部分内容将集中在区间参数化曲线上。我通常用$s$表示一个间隔范围内的参数，用$\theta$表示一个$S^1 \equiv \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$范围内的参数。我们用$\gamma^{\prime}(s)=T_s \gamma\left(\partial_s\right)$表示参数化曲线$s \mapsto \gamma(s)$在$\gamma(s)$点处的切线矢量或“速度”矢量。

我们已经全面地介绍了接触流形的Legendrian子流形，因此很清楚Legendrian结的含义。为了更好地参考，我总结了当前设置中的定义。

3.1.1接触$3-$流形$(M, \xi)$中的Legendrian结是一个Legendrian嵌入$\gamma: S^1 \rightarrow M$，即对所有$\theta \in S^1$满足$\gamma^{\prime}(\theta) \in$$\xi_{\gamma(\theta)}$的嵌入。

$(M, \xi)$中的横向结是一个嵌入$\gamma: S^1 \rightarrow M$，它无处不在地横向到$\xi$，即我们需要$\gamma^{\prime}(\theta) \notin \xi_{\gamma(\theta)}$对于所有$\theta \in S^1$。如果$\xi=\operatorname{ker} \alpha$是共取向的，就会说到一个正的或负的横向结，这取决于所有$\theta \in S^1$是$\alpha\left(\gamma^{\prime}(\theta)\right)>0$还是$\alpha\left(\gamma^{\prime}(\theta)\right)<0$。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Front and Lagrangian projection

对于接触3流形的手术描述等问题，(Legendrian或横向)结主要是$S^3$中具有标准接触结构的结。给定$S^3$中的任何链接，我们可以假设它错过了给定的点，并将其视为$\mathbb{R}^3$中的链接。根据命题2.1.8，在接触几何中也是如此:在$S^3$中具有标准接触结构的任何连杆都可以看作是在$\mathbb{R}^3$中具有标准接触结构$\xi_{\text {st }}=\operatorname{ker} \alpha_{\text {st }}$的连杆，其中
$$
\alpha_{\mathrm{st}}=d z+x d y
$$
注释3.2.1读者应该注意，几乎所有可能的书写这种标准触点结构的惯例——用减号代替加号，或者颠倒$x$和$y$的角色——在文献中都被使用过。因此，我们将在下面绘制的结图在其他书籍和论文中会有不同的外观，这取决于作者所遵循的思想流派。我坚持我认为是比较普遍的惯例之一。

考虑在$S^1$中嵌入$\gamma$或在$\left(\mathbb{R}^3, \xi_{\text {st }}\right)$中嵌入一个开放区间。写$\gamma(s)=(x(s), y(s), z(s))$。然后
$$
\alpha_{\mathrm{st}}\left(\gamma^{\prime}\right)=z^{\prime}+x y^{\prime}
$$
所以勒让德曲线的条件是$z^{\prime}+x y^{\prime} \equiv 0$;对于正横向曲线或负横向曲线，它分别变成$z^{\prime}+x y^{\prime}>0$或$<0$。
为了在三维空间中可视化曲线或结，可以在$\mathbb{R}^3$中将它们的投影绘制到某个平面上。在接触几何设置中，有两种不同类型的投影。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Contact Hamiltonians

Let $X$ be a vector field on a contact manifold $(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$. In Definition 1.5.7 and Lemma 1.5.8 we encountered special such vector fields called infinitesimal automorphisms of $\xi$ or $\alpha$, and we characterised such vector fields in terms of the Lie derivative. The next theorem relates infinitesimal automorphisms of $\xi$ to functions on $M$; the contact form plays an auxiliary role.

Theorem 2.3.1 With a fixed choice of contact form $\alpha$ there is a one-to-one correspondence between infinitesimal automorphisms $X$ of $\xi=\operatorname{ker} \alpha$ and smooth functions $H: M \rightarrow \mathbb{R}$. The correspondence is given by

• $X \longmapsto H_X=\alpha(X)$;
• $H \longmapsto X_H$, defined uniquely by $\alpha\left(X_H\right)=H$ and $i_{X_H} d \alpha=d H\left(R_\alpha\right) \alpha-d H$

The fact that $X_H$ is uniquely defined by the equations in the theorem follows as in the preceding section from the fact that $d \alpha$ is non-degenerate on $\xi$ and $R_\alpha \in \operatorname{ker}\left(d H\left(R_\alpha\right) \alpha-d H\right)$.

Proof Let $X$ be an infinitesimal automorphism of $\xi$. Set $H_X=\alpha(X)$ and write $d H_X+i_X d \alpha=\mathcal{L}X \alpha=\mu \alpha$ with $\mu: M \rightarrow \mathbb{R}$. Applying this last equation to $R\alpha$ yields $d H_X\left(R_\alpha\right)=\mu$. So $X$ satisfies the equations $\alpha(X)=H_X$ and $i_X d \alpha=d H_X\left(R_\alpha\right) \alpha-d H_X$. This means that we have $X_{H_X}=X$.

Conversely, given $H: M \rightarrow \mathbb{R}$ and with $X_H$ as defined in the theorem, we have
$$
\mathcal{L}{X_H} \alpha=d\left(\alpha\left(X_H\right)\right)+i{X_H} d \alpha=d H\left(R_\alpha\right) \alpha,
$$
so $X_H$ is an infinitesimal automorphism of $\xi$. Moreover, it is immediate from the definitions that $H_{X_H}=\alpha\left(X_H\right)=H$.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Interlude: symplectic vector bundles

In Section 1.3 we saw how to construct an $\omega$-compatible complex structure on a symplectic vector space $(V, \omega)$, and we proved that the space $\mathcal{J}(\omega)$ of such complex structures is contractible. In the present interlude we extend this result from vector spaces to vector bundles. For further results on symplectic vector bundles see [177]. We also introduce the notion of an almost contact structure, which is the underlying bundle structure of a contact structure.

Definition 2.4.1 A symplectic vector bundle $(E, \omega)$ over a manifold $B$ is a (smooth) vector bundle $\pi: E \rightarrow B$ together with a symplectic linear form $\omega_b$ on each fibre $E_b=\pi^{-1}(b), b \in B$, with $\omega_b$ varying smoothly in $b$. Formally, this smoothness condition means that the map defined by $b \mapsto \omega_b$ is a smooth section of the bundle $\bigwedge^2 E^* \rightarrow B$, the second exterior power of the dual bundle of $E$.

Example 2.4.2 Given any vector bundle $E \rightarrow B$, there is a canonical symplectic bundle structure on the Whitney sum $E \oplus E^$, defined by $$ \omega_b\left(X+\eta, X^{\prime}+\eta^{\prime}\right)=\eta\left(X^{\prime}\right)-\eta^{\prime}(X) \text { for } X, X^{\prime} \in E_b ; \eta, \eta^{\prime} \in E_b^ .
$$

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Contact Hamiltonians

设$X$为接触流形$(M, \xi=\operatorname{ker} \alpha)$上的向量场。在定义1.5.7和引理1.5.8中，我们遇到了特殊的这样的向量场，称为$\xi$或$\alpha$的无穷小自同构，我们用李导来描述这样的向量场。下一个定理将$\xi$的无穷小自同构与$M$上的函数联系起来;联系表单起辅助作用。

定理2.3.1在接触形式$\alpha$选择固定的情况下，$\xi=\operatorname{ker} \alpha$的无穷小自同构$X$与光滑函数$H: M \rightarrow \mathbb{R}$之间存在一一对应关系。对应的是

$X \longmapsto H_X=\alpha(X)$；

$H \longmapsto X_H$，由$\alpha\left(X_H\right)=H$和唯一定义 $i_{X_H} d \alpha=d H\left(R_\alpha\right) \alpha-d H$

事实上，$X_H$是由定理中的方程唯一定义的，正如前一节所述，这一事实源于$d \alpha$在$\xi$和$R_\alpha \in \operatorname{ker}\left(d H\left(R_\alpha\right) \alpha-d H\right)$上是非简并的。

证明设$X$是$\xi$的无穷小自同构。设置$H_X=\alpha(X)$，用$\mu: M \rightarrow \mathbb{R}$写$d H_X+i_X d \alpha=\mathcal{L}X \alpha=\mu \alpha$。将最后一个方程应用到$R\alpha$得到$d H_X\left(R_\alpha\right)=\mu$。所以$X$满足方程$\alpha(X)=H_X$和$i_X d \alpha=d H_X\left(R_\alpha\right) \alpha-d H_X$。这意味着我们有$X_{H_X}=X$。

相反地，给定$H: M \rightarrow \mathbb{R}$和$X_H$在定理中定义，我们有
$$
\mathcal{L}{X_H} \alpha=d\left(\alpha\left(X_H\right)\right)+i{X_H} d \alpha=d H\left(R_\alpha\right) \alpha,
$$
所以$X_H$是$\xi$的无穷小自同构。此外，它是直接从定义$H_{X_H}=\alpha\left(X_H\right)=H$。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Interlude: symplectic vector bundles

在1.3节中，我们看到了如何在辛向量空间$(V, \omega)$上构造一个$\omega$ -相容的复结构，并证明了这种复结构的空间$\mathcal{J}(\omega)$是可收缩的。在这段插曲中，我们将这个结果从向量空间推广到向量束。关于辛向量束的进一步结果见[177]。我们还引入了几乎接触结构的概念，它是接触结构的底层束结构。

定义2.4.1流形上的辛向量束$(E, \omega)$$B$是一个(光滑的)向量束$\pi: E \rightarrow B$连同每个光纤$E_b=\pi^{-1}(b), b \in B$上的辛线性形式$\omega_b$，其中$\omega_b$在$b$中平滑变化。形式上，这个平滑条件意味着$b \mapsto \omega_b$定义的映射是束$\bigwedge^2 E^* \rightarrow B$的光滑部分，束是$E$的双束的第二个外部幂。

例2.4.2给定任意向量束$E \rightarrow B$，在Whitney和$E \oplus E^$上存在一个正则辛束结构，定义为 $$ \omega_b\left(X+\eta, X^{\prime}+\eta^{\prime}\right)=\eta\left(X^{\prime}\right)-\eta^{\prime}(X) \text { for } X, X^{\prime} \in E_b ; \eta, \eta^{\prime} \in E_b^ .
$$

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The geodesic flow and Huygens’ principle

We now make a brief excursion into Riemannian geometry and give a contact geometric interpretation of the so-called geodesic flow on the tangent bundle of a Riemannian manifold. (For a comprehensive treatment of geodesic flows in the context of the theory of dynamical systems see the monograph by Paternain [204]. However, the reader should beware the possible confusion arising from the different definitions used there, which seem to render the main result of the present section tautological.) We also consider the dual flow on the cotangent bundle; here the discussion ties up with the space of contact elements and yields a simple contact geometric proof of Huygens’ principle concerning the propagation of wave fronts.

Proposition/Definition 1.5.1 Let $B$ be a manifold with a Riemannian metric $g$. There is a unique vector field $G$ on the tangent bundle $T B$ whose trajectories are of the form $t \mapsto \dot{\gamma}(t) \in T_{\gamma(t)} B \subset T B$, where $\gamma$ is a geodesic on $B$ (not necessarily of unit speed). This vector field $G$ is called the geodesic field, and its (local) flow the geodesic flow.

Note that the geodesic flow being defined globally (i.e. for all times) is equivalent to saying that $(B, g)$ is a complete Riemannian manifold.

Proof In local coordinates $\left(q_1, \ldots, q_n\right)$ on $B$, geodesics are found as solutions of the system of second-order differential equations
$$
\ddot{q}k+\sum{i, j} \Gamma_{i j}^k \dot{q}i \dot{q}_j=0, k=1, \ldots, n, $$ where the $\Gamma{i j}^k$ are the Christoffel symbols of the Riemannian metric $g$, see any book on Riemannian geometry, e.g. the one by do Carmo [42]. Choose local coordinates on the tangent bundle $T B$ such that
$$
\left(q_1, \ldots, q_n, v_1, \ldots, v_n\right)=\left(\sum_{j=1}^n v_j \partial_{q_j}\right)_{\left(q_1, \ldots, q_n\right)}
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Order of contact

In Proposition 1.5 .12 we saw that an isotropic submanifold in a $(2 n+1)-$ dimensional contact manifold has dimension at most equal to $n$. Thus, in a contact 3-manifold $(M, \xi)$ we can find curves tangent to $\xi$, but no surfaces.
The aim of the present section is to analyse this situation for 3 -manifolds a little more carefully. This will allow us to give an entirely geometric definition of the notion of contact structure, without reference to the exterior derivative of a differential 1-form. I learned this characterisation of contact structures from Jesús Gonzalo.

Consider a 2-plane field $\xi$ on a $3-$ manifold $M$ and an embedded surface $\Sigma \subset M$. Let $(u, v)$ be local coordinates on $\Sigma$ near some point $p=(0,0) \in \Sigma$. Define $\theta(u, v)$ as the angle between the tangent plane $T_{(u, v)} \Sigma$ and the plane $\xi_{(u, v)} \cdot$

Definition 1.6.1 We say that $\xi$ has contact of order at least equal to $k$ with $\Sigma$ at $p=(0,0)$ if $\theta(u, v)$ is a function of type $O\left(|(u, v)|^k\right)$ for $(u, v) \rightarrow(0,0)$, where $O$ denotes the Landau symbol. This means that $\theta(u, v) /|(u, v)|^k$ is bounded above by a constant as $(u, v) \rightarrow(0,0) . \dagger$

Thus, $\xi$ having contact of order at least 1 with $\Sigma$ at $p$ is simply saying that $\xi_p=T_p \Sigma$. Obviously, contact of order equal to $k$ is going to mean that $\theta(u, v)$ is of type $O\left(|(u, v)|^k\right)$, but not of type $O\left(|(u, v)|^{k+1}\right)$. You may want to convince yourself that the order of contact does not depend on the choice of local coordinates on $\Sigma$.

The following theorem gives a characterisation of contact structures on 3manifolds in terms of this notion of contact. I should enter the caveat that the name ‘contact structure’ does not derive from this characterisation, but rather – as mentioned before – from the space of contact elements, which (in the 3-dimensional case) has to do with tangencies of curves.

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The geodesic flow and Huygens’ principle

现在我们对黎曼几何做一个简短的介绍，并给出黎曼流形切线束上所谓的测地线流的接触几何解释。(关于在动力系统理论背景下对测地线流动的全面处理，请参阅Paternain的专著[204]。然而，读者应该注意由于使用的不同定义可能引起的混淆，这似乎使本节的主要结果同义重复。)我们还考虑了余切束上的双重流;这里的讨论与接触单元的空间有关，并给出了惠更斯原理关于波前传播的简单接触几何证明。

1.5.1设$B$为黎曼度规$g$的流形。切线束$T B$上有一个唯一的向量场$G$，其轨迹形式为$t \mapsto \dot{\gamma}(t) \in T_{\gamma(t)} B \subset T B$，其中$\gamma$是$B$上的测地线(不一定是单位速度)。这个向量场$G$称为测地线场，它的(局部)流称为测地线流。

请注意，在全局(即所有时间)定义测地线流相当于说$(B, g)$是一个完整的黎曼流形。

在$B$上的局部坐标$\left(q_1, \ldots, q_n\right)$中，测地线是二阶微分方程组的解
$$
\ddot{q}k+\sum{i, j} \Gamma_{i j}^k \dot{q}i \dot{q}j=0, k=1, \ldots, n, $$其中$\Gamma{i j}^k$是黎曼度规的克里斯托费尔符号$g$，请参阅任何关于黎曼几何的书，例如do Carmo[42]的书。选择切线包$T B$上的本地坐标，这样 $$ \left(q_1, \ldots, q_n, v_1, \ldots, v_n\right)=\left(\sum{j=1}^n v_j \partial_{q_j}\right)_{\left(q_1, \ldots, q_n\right)}
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Order of contact

在命题1.5 .12中，我们看到$(2 n+1)-$维接触流形中的各向同性子流形的维数最多等于$n$。因此，在接触3流形$(M, \xi)$中，我们可以找到与$\xi$相切的曲线，但找不到曲面。
本节的目的是更仔细地分析3 -流形的这种情况。这将使我们能够给出接触结构概念的完全几何定义，而不涉及微分1形式的外导数。我从Jesús Gonzalo那里学到了这种接触结构的特征。

考虑一个$3-$流形$M$上的两平面场$\xi$和一个嵌入式表面$\Sigma \subset M$。设$(u, v)$为$\Sigma$上某点$p=(0,0) \in \Sigma$附近的局部坐标。定义$\theta(u, v)$为切平面$T_{(u, v)} \Sigma$与平面之间的夹角 $\xi_{(u, v)} \cdot$

定义1.6.1如果$\theta(u, v)$是$(u, v) \rightarrow(0,0)$的$O\left(|(u, v)|^k\right)$类型函数，则我们说$\xi$与$\Sigma$在$p=(0,0)$的接触顺序至少等于$k$，其中$O$表示朗道符号。这意味着$\theta(u, v) /|(u, v)|^k$上面有一个常数as $(u, v) \rightarrow(0,0) . \dagger$

因此，$\xi$与$\Sigma$在$p$的顺序至少为1的联系就是简单地说$\xi_p=T_p \Sigma$。显然，阶等于$k$的接触意味着$\theta(u, v)$的类型是$O\left(|(u, v)|^k\right)$，而不是$O\left(|(u, v)|^{k+1}\right)$。您可能想要说服自己，接触的顺序并不取决于$\Sigma$上的本地坐标的选择。

下面的定理给出了3流形上的接触结构在这个接触概念下的表征。我需要说明的是，“接触结构”这个名称并不是来源于这种特征，而是——如前所述——来自接触元素的空间，(在三维情况下)与曲线的切线有关。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是，一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状，而是取决于它们的组合方式。例如，正方形和圆形有许多共同的属性：它们都是一维物体（从拓扑学的角度来看），都把平面分成两部分，即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|An Isomorphism Theorem

Let $G$ be a group of homeomorphisms of a space $E$ that acts properly discontinuously. Suppose $X=E / G$ is connected, and write $p: E \rightarrow X$ for the natural quotient map. By Theorem $12.18 p$ is a covering map. Given $x \in X$, for every pair of points $u, v \in p^{-1}(x)$ there’s a unique element $g \in G$ such that $g(u)=v$. Therefore the action
$$
G \times p^{-1}(x) \rightarrow p^{-1}(x), \quad(g, u) \mapsto g(u),
$$
is free and transitive.
Lemma 13.13 In the notation above, the left action of $G$ on $p^{-1}(x)$ is compatible with the monodromy’s right action
$$
p^{-1}(x) \times \pi_1(X, x) \rightarrow p^{-1}(x), \quad(e,[\alpha]) \mapsto e \cdot[\alpha] .
$$
Proof Let $e \in p^{-1}(x), g \in G$ and $\alpha: I \rightarrow X$ a loop with base point $x$. To prove $g(e \cdot[\alpha])=g(e) \cdot[\alpha]$ it suffices to apply Proposition 13.3 to the commutative diagram

[Y]1[Y][CH][Te][Y]1
Now fix a point $e \in p^{-1}(x)$ and define
$\theta_e: \pi_1(X, x) \rightarrow G, \quad \theta_e([\alpha])=$ the unique $g \in G$ such that $g(e)=e \cdot[\alpha]$.
Put differently, if $\alpha_e: I \rightarrow E$ is the lift of $\alpha$ such that $\alpha_e(0)=e$, then $\theta_e([\alpha])$ is the only element of $G$ satisfying $\theta_e([\alpha])(e)=\alpha_e(1)$.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Regular Coverings

We continue assuming that all spaces are locally path connected.
Lemma 13.20 Let $X$ be path connected, $x_1, x_2 \in X$ points and $f: X \rightarrow Y$ a continuous mapping. There exists an isomorphism $\gamma_{\sharp}: \pi_1\left(Y, f\left(x_1\right)\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, f\left(x_2\right)\right)$ such that $\gamma_{\sharp}\left(f_* \pi_1\left(X, x_1\right)\right)=f_* \pi_1\left(X, x_2\right)$. In particular $f_* \pi_1\left(X, x_1\right)$ is a normal subgroup in $\pi_1\left(Y, f\left(x_1\right)\right)$ if and only if $f_* \pi_1\left(X, x_2\right)$ is normal in $\pi_1\left(Y, f\left(x_2\right)\right)$.
Proof Let $\delta:[0,1] \rightarrow X$ be a path with $\delta(0)=x_1, \delta(1)=x_2$, and write $\gamma=$ $f \delta:[0,1] \rightarrow Y$. By Lemma 11.13 we have isomorphisms:
$$
\begin{gathered}
\delta_{\sharp}: \pi_1\left(X, x_1\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_2\right), \quad \delta_{\sharp}[\beta]=[i(\delta) * \beta * \delta], \
\gamma_{\sharp}: \pi_1\left(Y, f\left(x_1\right)\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, f\left(x_2\right)\right), \quad \gamma_{\sharp}[\alpha]=[i(\gamma) * \alpha * \gamma] .
\end{gathered}
$$
Then $\gamma_{\sharp}$ has the requested properties, for if $\beta \in \Omega\left(X, x_1, x_1\right)$ then
$$
\gamma_{\sharp} f_*[\beta]=\gamma_{\sharp}[f \beta]=[i(f \delta) * f \beta * f \delta]=[f(i(\delta) * \beta * \delta)]=f_* \delta_{\sharp}[\beta] .
$$

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|An Isomorphism Theorem

设$G$为一个适当不连续作用的空间$E$的一组同胚。假设连接了$X=E / G$，并将$p: E \rightarrow X$作为自然商映射。根据定理$12.18 p$是一个覆盖图。给定$x \in X$，对于每一对点$u, v \in p^{-1}(x)$都有一个唯一的元素$g \in G$使得$g(u)=v$。因此行动
$$
G \times p^{-1}(x) \rightarrow p^{-1}(x), \quad(g, u) \mapsto g(u),
$$
是自由和传递的。
引理13.13在上面的表示法中，$G$在$p^{-1}(x)$上的左作用与单字的右作用是兼容的
$$
p^{-1}(x) \times \pi_1(X, x) \rightarrow p^{-1}(x), \quad(e,[\alpha]) \mapsto e \cdot[\alpha] .
$$
设$e \in p^{-1}(x), g \in G$和$\alpha: I \rightarrow X$为一个以$x$为基点的环。为了证明$g(e \cdot[\alpha])=g(e) \cdot[\alpha]$，将命题13.3应用于交换图就足够了

[Y]1[Y][CH][Te][Y]1
现在固定一个点$e \in p^{-1}(x)$并定义
$\theta_e: \pi_1(X, x) \rightarrow G, \quad \theta_e([\alpha])=$唯一的$g \in G$这样$g(e)=e \cdot[\alpha]$。
换句话说，如果$\alpha_e: I \rightarrow E$是$\alpha$的提升，使得$\alpha_e(0)=e$，那么$\theta_e([\alpha])$是$G$中唯一满足$\theta_e([\alpha])(e)=\alpha_e(1)$的元素。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Regular Coverings

我们继续假设所有空间都是局部路径连接的。
引理13.20设$X$为路径连通，$x_1, x_2 \in X$为点，$f: X \rightarrow Y$为连续映射。存在一个同构$\gamma_{\sharp}: \pi_1\left(Y, f\left(x_1\right)\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, f\left(x_2\right)\right)$使得$\gamma_{\sharp}\left(f_* \pi_1\left(X, x_1\right)\right)=f_* \pi_1\left(X, x_2\right)$。特别地，$f_* \pi_1\left(X, x_1\right)$是$\pi_1\left(Y, f\left(x_1\right)\right)$中的正常子组，当且仅当$f_* \pi_1\left(X, x_2\right)$在$\pi_1\left(Y, f\left(x_2\right)\right)$中是正常的。
设$\delta:[0,1] \rightarrow X$为路径$\delta(0)=x_1, \delta(1)=x_2$，写为$\gamma=$$f \delta:[0,1] \rightarrow Y$。根据引理11.13，我们有同构:
$$
\begin{gathered}
\delta_{\sharp}: \pi_1\left(X, x_1\right) \rightarrow \pi_1\left(X, x_2\right), \quad \delta_{\sharp}[\beta]=[i(\delta) * \beta * \delta], \
\gamma_{\sharp}: \pi_1\left(Y, f\left(x_1\right)\right) \rightarrow \pi_1\left(Y, f\left(x_2\right)\right), \quad \gamma_{\sharp}[\alpha]=[i(\gamma) * \alpha * \gamma] .
\end{gathered}
$$
那么$\gamma_{\sharp}$有请求的属性，因为如果$\beta \in \Omega\left(X, x_1, x_1\right)$那么
$$
\gamma_{\sharp} f_*[\beta]=\gamma_{\sharp}[f \beta]=[i(f \delta) * f \beta * f \delta]=[f(i(\delta) * \beta * \delta)]=f_* \delta_{\sharp}[\beta] .
$$

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Local Homeomorphisms and Sections

Definition 12.1 A continuous map $f: X \rightarrow Y$ is a local homeomorphism if for every $x \in X$ there exist open sets $A \subset X, B \subset Y$ such that $x \in A, f(A)=B$ and the restriction $f: A \rightarrow B$ is a homeomorphism.
Example 12.2 Every continuous, 1-1 and open map is a local homeomorphism.
Lemma 12.3 Every local homeomorphism $f: X \rightarrow Y$ is open, and the fibres $f^{-1}(y), y \in Y$, are discrete.

Proof We want to show that the image $f(V)$ of an open set $V \subset X$ is a neighbourhood of each of its points. That is to say, for every $y \in f(V)$ there exists $U \subset Y$ open such that $y \in U \subset f(V)$.

Let $x \in V$ be such that $f(x)=y$; by assumption there are open sets $A \subset X, B \subset$ $Y$ such that $x \in A, f(A)=B$ and the restriction $f: A \rightarrow B$ is a homeomorphism. In particular $y \in f(V \cap A)$, and $U=f(V \cap A)$ is open in $B$ so also open in $Y$.
For every $y \in Y$ and $x \in f^{-1}(y)$ there exists an open neighbourhood $x \in A$ for which the restriction $f: A \rightarrow Y$ is $1-1$. Hence $f^{-1}(y) \cap A={x}$, proving that the subspace topology on the fibres $f^{-1}(y)$ is discrete.

If $p: X \rightarrow Y$ is a map between sets, a function $s: Y \rightarrow X$ is called a section of $p$ if $p(s(y))=y$ for every $y \in Y$. A necessary condition for $p$ to have a section is that $p$ be onto; vice versa, the axiom of choice says exactly that any map admits sections.

In contrast-moving back to the topological world-continuous sections of continuous surjective maps do not exist, in general.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Covering Spaces

Definition 12.5 Let $X$ be a connected space. A space $E$ together with a continuous map $p: E \rightarrow X$ is a covering space of $X$ if every point $x \in X$ is contained in an open set $V \subset X$ whose pre-image $p^{-1}(V)$ is the disjoint union of open sets $U_i$ with the property that $p: U_i \rightarrow V$ is a homeomorphism for every $i$.

The space $X$ is called the base (space) of the covering space, $E$ is the total space and $p$ is the covering map. The sets $p^{-1}(x), x \in X$, are called fibres of the covering space.

An open set $V \subset X$ is an admissible (open) set of the covering $p$ if it fulfils the condition of Definition 12.5. With other words $V \subset X$ is admissible if we can write $p^{-1}(V)=\cup_i U_i$, where:

1. every $U_i$ is open in $E$ and the restrictions $p: U_i \rightarrow V$ are homeomorphisms;
2. $U_i \cap U_j=\emptyset$ for every $i \neq j$.
   Clearly, an open set contained in an admissible open set is still admissible. We will say that the covering space is trivial if the whole base $X$ is an admissible set.

If $p: E \rightarrow X$ is a covering space, from the definition every point $e \in E$ has an open neighbourhood homeomorphic to an open neighbourhood of $p(e)$. For later use we note that this implies that if $X$ is locally path connected, also $E$ is locally path connected.

Definition 12.6 A covering space $p: E \rightarrow X$ is connected if the total space $E$ is connected.

Example 12.7 Let $X$ be connected and $F$ a non-empty discrete space. The projection on the first factor $X \times F \rightarrow X$ is a trivial covering space, and it’s connected if and only if $F$ consists of one point.

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Local Homeomorphisms and Sections

定义12.1连续映射$f: X \rightarrow Y$是局部同胚，如果对于每一个$x \in X$存在开集$A \subset X, B \subset Y$使得$x \in A, f(A)=B$和限制$f: A \rightarrow B$是同胚。
例12.2每一个连续的1-1开映射都是局部同胚。
引理12.3每个局部同胚$f: X \rightarrow Y$是开的，纤维$f^{-1}(y), y \in Y$是离散的。

我们想证明一个开集$V \subset X$的图像$f(V)$是它的每个点的邻域。也就是说，对于每一个$y \in f(V)$，都存在着$U \subset Y$开着，使得$y \in U \subset f(V)$。

让$x \in V$这样$f(x)=y$;假设存在开集$A \subset X, B \subset$$Y$，使得$x \in A, f(A)=B$和限制$f: A \rightarrow B$是同胚。特别是$y \in f(V \cap A)$，而$U=f(V \cap A)$在$B$中打开所以也在$Y$中打开。
对于每个$y \in Y$和$x \in f^{-1}(y)$，存在一个开放邻域$x \in A$，其限制$f: A \rightarrow Y$为$1-1$。因此$f^{-1}(y) \cap A={x}$，证明了光纤上的子空间拓扑$f^{-1}(y)$是离散的。

如果 $p: X \rightarrow Y$ 集合之间的映射是函数吗 $s: Y \rightarrow X$ 叫做一段 $p$ 如果 $p(s(y))=y$ 对于每一个 $y \in Y$． 的必要条件 $p$ 有一个section就是这样 $p$ 马上;反之亦然，选择公理确切地说，任何地图都允许分段。

相反，回到拓扑世界，连续满射映射的连续部分一般不存在。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Covering Spaces

定义12.5设$X$为连通空间。一个空间$E$和一个连续映射$p: E \rightarrow X$是$X$的覆盖空间，如果每个点$x \in X$都包含在一个开放集$V \subset X$中，这个开放集的前像$p^{-1}(V)$是开放集$U_i$的不相交并，并且$p: U_i \rightarrow V$是每个$i$的同胚。

空间$X$称为覆盖空间的基(空间)，$E$为总空间，$p$为覆盖图。这些集合$p^{-1}(x), x \in X$，被称为覆盖空间的纤维。

如果一个开集$V \subset X$满足定义12.5的条件，它就是覆盖$p$的可容许(开)集。换句话说，如果我们能写$p^{-1}(V)=\cup_i U_i$, $V \subset X$是可以接受的，其中:

每个$U_i$在$E$中都是开放的，限制$p: U_i \rightarrow V$是同胚的;

$U_i \cap U_j=\emptyset$ 对于每个$i \neq j$。
显然，包含在可容许开集中的开集仍然是可容许的。如果整个基$X$是可容许集，我们就说覆盖空间是平凡的。

如果$p: E \rightarrow X$是覆盖空间，则由定义可知，每个点$e \in E$都有一个开邻域同胚到$p(e)$的开邻域。对于以后的使用，我们注意到这意味着如果$X$是本地路径连接的，那么$E$也是本地路径连接的。

定义12.6连接总空间$E$，则连接一个覆盖空间$p: E \rightarrow X$。

例12.7设连接$X$, $F$为非空的离散空间。第一个因子$X \times F \rightarrow X$上的投影是一个平凡的覆盖空间，当且仅当$F$包含一个点时它是连通的。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是，一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状，而是取决于它们的组合方式。例如，正方形和圆形有许多共同的属性：它们都是一维物体（从拓扑学的角度来看），都把平面分成两部分，即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

拓扑学Topology代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。最高质量的拓扑学Topology作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此拓扑学Topology作业代写的价格不固定。通常在各个科目专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|A Detour

Sometimes the greatest ideas in mathematics stem from simple, when not trivial, observations. Consider the singleton ${k}$ as topological space. Any space $Y$ is homeomorphic in a natural way to $C({}, Y)$, the space of continuous maps from ${}$ to $Y$ endowed with the compact-open topology. Therefore
$$
\pi_0(Y)=\pi_0(C({}, Y)) $$ Who says we have to stop at ${}$ ? We may as well fix a locally compact Hausdorff space $X$, consider continuous maps $C(X, Y)$ with the compact-open topology and define the set
$$
[X, Y]=\pi_0(C(X, Y))
$$
Each homeomorphism $Y \cong Z$ induces a homeomorphism $C(X, Y) \cong C(X, Z)$, hence a bijection $[X, Y] \cong[X, Z]$. So if we wanted to prove that the sphere isn’t homeomorphic to the torus, we could show that $\left[S^2, S^1 \times S^1\right]$ contains one point only, whereas $\left[S^2, S^2\right]$ is a countably infinite space. The idea is certainly fascinating, and Theorem 8.20 implies that two continuous maps $f_0, f_1: X \rightarrow Y$ belong in the same path component in $C(X, Y)$ if and only if they are homotopic.

For technical reasons to be clarified later, it’s more convenient to work with pointed topological spaces, i.e. pairs $\left(X, x_0\right)$ where $x_0 \in X$. We define $\left[\left(X, x_0\right),\left(Y, y_0\right)\right]=$ $\pi_0\left(C\left(\left(X, x_0\right),\left(Y, y_0\right)\right)\right)$, where
$$
C\left(\left(X, x_0\right),\left(Y, y_0\right)\right)=\left{f \in C(X, Y) \mid f\left(x_0\right)=y_0\right} .
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Path Homotopy

We have already introduced the space of paths in $X$ between points $a, b \in X$
$$
\Omega(X, a, b)={\alpha: I \rightarrow X \mid \alpha \text { continuous, } \alpha(0)=a, \alpha(1)=b}
$$
We also have defined the product and the inversion
$$
\begin{gathered}
*: \Omega(X, a, b) \times \Omega(X, b, c) \rightarrow \Omega(X, a, c), \quad \alpha * \beta(t)= \begin{cases}\alpha(2 t) & \text { if } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}, \
\beta(2 t-1) & \text { if } \frac{1}{2} \leq t \leq 1 .\end{cases} \
i: \Omega(X, a, b) \rightarrow \Omega(X, b, a), \quad i(\alpha)(t)=\alpha(1-t) .
\end{gathered}
$$
Note that $i(i(\alpha))=\alpha$ and $i(\alpha * \beta)=i(\beta) * i(\alpha)$.
Definition 11.1 Two paths $\alpha, \beta \in \Omega(X, a, b)$ are path homotopic if there is a continuous map $F: I \times I \rightarrow X$ such that:

$F(t, 0)=\alpha(t), F(t, 1)=\beta(t)$ for every $t \in I$;

$F(0, s)=a, F(1, s)=b$ for every $s \in I$.
Such an $F$ is called a path homotopy between $\alpha$ and $\beta$.

We remark that the notion of path homotopy is more restrictive than that of homotopy of continuous maps. Here we additionally demand that intermediate paths
$$
F_s: I \rightarrow X, \quad F_s(t)=F(t, s),
$$
have the same initial and end points, for every $s \in I$. We’ll write $\alpha \sim \beta$ to mean that $\alpha$ and $\beta$ are path homotopic (Fig. 11.1).

We know from earlier that homotopic maps define an equivalence relation; the same proof, with minimal changes, also shows that path homotopy is an equivalence relation.

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|A Detour

有时，数学中最伟大的思想源于简单而不是琐碎的观察。将单例${k}$视为拓扑空间。任何空间$Y$自然地同胚于$C({}, Y)$，从${}$到$Y$的连续映射空间被赋予紧开拓扑。因此
$$
\pi_0(Y)=\pi_0(C({}, Y)) $$谁说我们必须停在${}$ ?我们也可以固定一个局部紧化的Hausdorff空间$X$，考虑具有紧开拓扑的连续映射$C(X, Y)$并定义集合
$$
[X, Y]=\pi_0(C(X, Y))
$$
每个同胚$Y \cong Z$诱导一个同胚$C(X, Y) \cong C(X, Z)$，因此是双射$[X, Y] \cong[X, Z]$。所以如果我们想证明球面不同胚于环面，我们可以证明$\left[S^2, S^1 \times S^1\right]$只包含一个点，而$\left[S^2, S^2\right]$是一个可数无限空间。这个想法确实很吸引人，定理8.20暗示两个连续映射$f_0, f_1: X \rightarrow Y$当且仅当它们是同伦时属于$C(X, Y)$中的相同路径组件。

由于稍后将澄清的技术原因，使用点拓扑空间更方便，即对$\left(X, x_0\right)$，其中$x_0 \in X$。我们定义$\left[\left(X, x_0\right),\left(Y, y_0\right)\right]=$$\pi_0\left(C\left(\left(X, x_0\right),\left(Y, y_0\right)\right)\right)$，其中
$$
C\left(\left(X, x_0\right),\left(Y, y_0\right)\right)=\left{f \in C(X, Y) \mid f\left(x_0\right)=y_0\right} .
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Path Homotopy

我们已经介绍了$X$中$a, b \in X$点之间的路径空间
$$
\Omega(X, a, b)={\alpha: I \rightarrow X \mid \alpha \text { continuous, } \alpha(0)=a, \alpha(1)=b}
$$
我们也定义了乘积和逆变换
$$
\begin{gathered}
*: \Omega(X, a, b) \times \Omega(X, b, c) \rightarrow \Omega(X, a, c), \quad \alpha * \beta(t)= \begin{cases}\alpha(2 t) & \text { if } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}, \
\beta(2 t-1) & \text { if } \frac{1}{2} \leq t \leq 1 .\end{cases} \
i: \Omega(X, a, b) \rightarrow \Omega(X, b, a), \quad i(\alpha)(t)=\alpha(1-t) .
\end{gathered}
$$
请注意$i(i(\alpha))=\alpha$和$i(\alpha * \beta)=i(\beta) * i(\alpha)$。
定义11.1两条路径$\alpha, \beta \in \Omega(X, a, b)$为路径同伦，如果存在一个连续映射$F: I \times I \rightarrow X$满足:

$F(t, 0)=\alpha(t), F(t, 1)=\beta(t)$ 对于每个$t \in I$;

$F(0, s)=a, F(1, s)=b$ 对于每个$s \in I$。
这样的$F$称为$\alpha$和$\beta$之间的路径同伦。

我们注意到路径同伦的概念比连续映射的同伦的概念更具限制性。这里我们还需要中间路径
$$
F_s: I \rightarrow X, \quad F_s(t)=F(t, s),
$$
对于每个$s \in I$都有相同的起始点和结束点。我们写$\alpha \sim \beta$表示$\alpha$和$\beta$是路径同伦的(图11.1)。

我们从前面知道，同伦映射定义了等价关系;同样的证明，用最小的变化，也证明了路径同伦是一个等价关系。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是，一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状，而是取决于它们的组合方式。例如，正方形和圆形有许多共同的属性：它们都是一维物体（从拓扑学的角度来看），都把平面分成两部分，即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Noetherian Spaces

The upcoming result is very much used in algebraic geometry and commutative algebra.
Proposition 8.21 On an ordered set $(X, \leq)$ the following are equivalent:

1. every non-empty subset of $X$ contains maximal elements;
2. every countable ascending chain $\left{x_1 \leq x_2 \leq \cdots\right} \subset X$ stabilises (i.e. there’s an index $m \in \mathbb{N}$ such that $x_n=x_m$ for every $n \geq m$ ).

Proof For (1) $\Rightarrow(2)$ it’s enough to notice that any countable ascending chain $\left{x_1 \leq\right.$ $\left.x_2 \leq \cdots\right}$ contains a maximal element, say $x_m$, and therefore $x_n=x_m$ for every $n \geq m$

Let us prove (2) $\Rightarrow$ (1). By contradiction, suppose we have a non-empty $S \subset X$ with no maximal elements, i.e. ${y \in S \mid y>x} \neq \emptyset$ for every $x \in S$. By the axiom of choice there’s a function $f: S \rightarrow S$ such that $f(x)>x$ for every $x \in S$. Take $x_0 \in S$ : the ascending chain $\left{x_n=f^n\left(x_0\right) \mid n \in \mathbb{N}\right}$ does not stabilise.

Definition 8.22 A space is called Noetherian if every non-empty family of open sets has a maximal element for the inclusion.

By Proposition 8.21 a space is Noetherian if and only if every countable ascending chain stabilises.

Example 8.23 Let $\mathbb{K}$ be any field. The affine space $\mathbb{K}^n$ equipped with the Zariski topology (Example 3.11) is Noetherian. The proof is a simple consequence of Hilbert’s basis theorem, ${ }^1$ and as such we leave it to lecture courses on algebraic geometry and commutative algebra.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|A Long Exercise: Tietze’s Extension Theorem

Recall that a space is called normal when it is Hausdorff and disjoint closed sets have disjoint neighbourhoods. The exercises at the end of the section, solved in the given order, provide a proof of the following two results.

Lemma 8.29 (Urysohn’s lemma) Let $A, C$ be disjoint closed sets in a normal space $X$. There exists a continuous map $f: X \rightarrow[0,1]$ such that $f(x)=0$ when $x \in A$ and $f(x)=1$ when $x \in C$.

Theorem 8.30 (Tietze extension) Let $B$ be closed in a normal space $X, J \subset \mathbb{R} a$ convex subspace and $f: B \rightarrow J$ a continuous map. Then there exists a continuous map $g: X \rightarrow J$ such that $g(x)=f(x)$ for every $x \in B$.

For metric spaces Urysohn’s lemma is easy to prove: it suffices to recycle the argument of Proposition 7.31.

Let us remark that Lemma 8.29 is a special case of Theorem 8.30 when $J=[0,1]$ and $B=A \cup C$. The classical proof of Theorem 8.30 , for which we suggest consulting [Mu00, Du66], uses Urysohn’s lemma and the completeness of the space $B C(X, \mathbb{R})$ of continuous and bounded real functions on $X$.

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Noetherian Spaces

这个结果在代数几何和交换代数中有广泛的应用。
命题8.21在有序集合$(X, \leq)$上，下列是等价的:

$X$的每个非空子集都包含最大元素;

每一个可计数的上升链$\left{x_1 \leq x_2 \leq \cdots\right} \subset X$稳定(即有一个索引$m \in \mathbb{N}$, $x_n=x_m$为每一个$n \geq m$)。

对于(1)$\Rightarrow(2)$，只要注意到任何可数升序链$\left{x_1 \leq\right.$$\left.x_2 \leq \cdots\right}$都包含一个最大元素，例如$x_m$，因此对于每一个都包含$x_n=x_m$就足够了 $n \geq m$

让我们证明(2)$\Rightarrow$(1)。根据矛盾，假设我们有一个没有极大元素的非空$S \subset X$，即对于每个$x \in S$都有${y \in S \mid y>x} \neq \emptyset$。根据选择公理，有一个函数$f: S \rightarrow S$使得$f(x)>x$对应于每个$x \in S$。以$x_0 \in S$为例:上升链$\left{x_n=f^n\left(x_0\right) \mid n \in \mathbb{N}\right}$不稳定。

定义8.22如果每个开集的非空族都有一个包含的极大元，则称为Noetherian空间。

根据命题8.21，当且仅当所有可数上升链稳定时，空间是诺瑟空间。

示例8.23设$\mathbb{K}$为任意字段。具有Zariski拓扑(例3.11)的仿射空间$\mathbb{K}^n$是Noetherian的。证明是希尔伯特基定理的一个简单推论，${ }^1$因此我们把它留给代数几何和交换代数的课程。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|A Long Exercise: Tietze’s Extension Theorem

回忆一下，当一个空间是Hausdorff且不相交的闭集有不相交的邻域时，它被称为正规空间。本节最后的习题，按照给定的顺序解决，提供了以下两个结果的证明。

引理8.29 (Urysohn引理)设$A, C$为正规空间$X$上的不相交闭集。存在一个连续映射$f: X \rightarrow[0,1]$，使得$f(x)=0$代表$x \in A$, $f(x)=1$代表$x \in C$。

定理8.30 (Tietze扩展)设$B$闭于正规空间$X, J \subset \mathbb{R} a$凸子空间，$f: B \rightarrow J$为连续映射。那么就存在一个连续映射$g: X \rightarrow J$，使得$g(x)=f(x)$对应于每个$x \in B$。

对于度量空间，Urysohn引理很容易证明:它足以循环命题7.31的论证。

让我们注意到引理8.29是定理8.30的一个特例，当$J=[0,1]$和$B=A \cup C$。定理8.30的经典证明，我们建议参考[Mu00, Du66]，使用了$X$上连续有界实函数的Urysohn引理和空间$B C(X, \mathbb{R})$的完备性。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是，一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状，而是取决于它们的组合方式。例如，正方形和圆形有许多共同的属性：它们都是一维物体（从拓扑学的角度来看），都把平面分成两部分，即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Sub-bases and Alexander’s Theorem

Definition 7.1 A sub-basis of a topological space is a family $\mathcal{P}$ of open sets such that finite intersections in $\mathcal{P}$ form a basis of the topology.
Every basis is also a sub-basis.
Example 7.2 A sub-basis for the Euclidean topology on $\mathbb{R}$ is given by the open sets ]$-\infty, a[] b,,+\infty[$ as $a, b \in \mathbb{R}$ vary, since open intervals $] a, b[$ form a basis, and we can write $] a, b[=]-\infty, b[\cap] a,+\infty[$.

Lemma 7.3 Let $X, Y$ be topological spaces and $\mathcal{P}$ a sub-basis of $Y$. A map $f: X \rightarrow$ $Y$ is continuous if and only if $f^{-1}(U)$ is open for every $U \in \mathcal{P}$.
Proof Just observe that $f^{-1}$ commutes with union and intersection.
Let $\mathcal{P}$ be a cover of a set $X$, and consider the family $\mathcal{B}$ of finite intersections in $\mathcal{P}$. If $A, B \in \mathcal{B}$ then $A \cap B \in \mathcal{B}$, and $\mathcal{B}$ covers $X$. By Theorem $3.7 \mathcal{B}$ is a basis of a topology that has $\mathcal{P}$ as sub-basis. It’s easy to see that this topology is the coarsest one having $\mathcal{P}$ as open sets.

Example 7.4 Take a set $S$ and a topological space $X$; in the set $X^S$ of maps $f: S \rightarrow X$ consider the family $\mathcal{P}$ of subsets
$$
P(s, U)={f: S \rightarrow X \mid f(s) \in U}
$$
for any $s \in S$ and any open set $U$. The coarsest topology on $X^S$ containing $\mathcal{P}$ is called pointwise-convergence topology, and has $\mathcal{P}$ as sub-basis.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Infinite Products

Given an arbitrary family $\left{X_i \mid i \in I\right}$ of sets one defines the Cartesian product $X=\prod_{i \in I} X_i$ as the set of all maps $x: I \rightarrow \cup_i X_i$ such that $x_i \in X_i$ for every index $i \in I$. That’s to say that any element of the product is a collection $\left{x_i\right}_{i \in I}$ indexed by $I$ such that $x_i \in X_i$ for every $i$. The axiom of choice ensures that $X$ isn’t empty provided each $X_i$ is non-empty. The projections $p_i: X \rightarrow X_i$ are defined as $p_i(x)=x_i$

When the $X_i$ are all equal to some set $X_0$, the product $\prod_{i \in I} X_i=\prod_{i \in I} X_0$ coincides with $X_0^I$, the set of maps $I \rightarrow X_0$. For any set $Y$ and any $f: Y \rightarrow$ $\prod_{i \in I} X_i$ we write $f_i$ to mean $f$ followed by the projection $p_i$. Note that $f$ is uniquely determined by the family $\left{f_i: Y \rightarrow X_i \mid i \in I\right}$.

If all $X_i$ are topological spaces, we define product topology on $X$ the coarsest one for which the projections are continuous. This amounts to say that $p_i^{-1}(U)$, for every $i \in I$ and $U$ open in $X_i$, constitute a sub-basis that we shall call canonical sub-basis. A canonical basis is given by open sets that are finite intersections of the canonical sub-basis.

When the $X_i$ are all equal the product topology coincides with the pointwiseconvergence topology (Example 7.4), because the two have the same sub-basis.
Lemma 7.6 In the previous notations, a map $f: Y \rightarrow \prod_{i \in I} X_i$ is continuous if and only if all its components $f_i: Y \rightarrow X_i$ are continuous.

Proof The projections $p_i$ are continuous, so $f$ continuous implies that the components $f_i=p_i f$ are.

Conversely, suppose each component $f_i$ is continuous. For any open set $p_i^{-1}(U)$ in the canonical sub-basis we have $f^{-1}\left(p_i^{-1}(U)\right)=f_i^{-1}(U)$ is open, implying $f$ continuous.

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Sub-bases and Alexander’s Theorem

定义7.1拓扑空间的子基是一个族 $\mathcal{P}$ 有有限交集的开集 $\mathcal{P}$ 形成拓扑的基础。
每个基也是一个子基。
例7.2上欧几里得拓扑的子基 $\mathbb{R}$ 由开集给出]$-\infty, a[] b,,+\infty[$ as $a, b \in \mathbb{R}$ 变化，因为开放的间隔 $] a, b[$ 形成一个基底，我们可以写 $] a, b[=]-\infty, b[\cap] a,+\infty[$．

引理7.3设$X, Y$为拓扑空间，$\mathcal{P}$为$Y$的一个子基。当且仅当$f^{-1}(U)$对每个$U \in \mathcal{P}$都打开时，映射$f: X \rightarrow$$Y$是连续的。
只要观察$f^{-1}$与并和交集的通勤。
设$\mathcal{P}$为集合$X$的一个覆盖，并考虑$\mathcal{P}$中的有限交集族$\mathcal{B}$。如果是$A, B \in \mathcal{B}$则是$A \cap B \in \mathcal{B}$，而$\mathcal{B}$涵盖了$X$。根据定理$3.7 \mathcal{B}$是以$\mathcal{P}$为子基的拓扑的基。很容易看出，这个拓扑是最粗糙的拓扑，它的开集为$\mathcal{P}$。

例7.4取一个集合$S$和一个拓扑空间$X$;在映射集$X^S$$f: S \rightarrow X$中，考虑子集族$\mathcal{P}$
$$
P(s, U)={f: S \rightarrow X \mid f(s) \in U}
$$
对于任意$s \in S$和任意开集$U$。包含$\mathcal{P}$的$X^S$上最粗糙的拓扑称为点向收敛拓扑，以$\mathcal{P}$为子基。

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给定任意的集合族$\left{X_i \mid i \in I\right}$，定义笛卡尔积$X=\prod_{i \in I} X_i$为所有映射的集合$x: I \rightarrow \cup_i X_i$，使得$x_i \in X_i$对于每个索引$i \in I$。也就是说，产品的任何元素都是一个集合$\left{x_i\right}_{i \in I}$，由$I$索引，使得$x_i \in X_i$对应每个$i$。选择公理确保$X$不是空的，只要每个$X_i$都是非空的。投影$p_i: X \rightarrow X_i$定义为 $p_i(x)=x_i$

当$X_i$都等于某个集合$X_0$时，乘积$\prod_{i \in I} X_i=\prod_{i \in I} X_0$与映射集合$I \rightarrow X_0$$X_0^I$重合。对于任意集合$Y$和任意$f: Y \rightarrow$$\prod_{i \in I} X_i$，我们写$f_i$表示$f$，后面跟着投影$p_i$。请注意，$f$是由家族$\left{f_i: Y \rightarrow X_i \mid i \in I\right}$唯一确定的。

如果所有$X_i$都是拓扑空间，我们在$X$上定义乘积拓扑，其投影是连续的最粗糙的一个。这就是说，对于每一个在$X_i$中开着的$i \in I$和$U$, $p_i^{-1}(U)$构成了一个子基，我们称之为规范子基。正则基由开集给出，开集是正则子基的有限交。

当$X_i$都相等时，乘积拓扑与点捻收敛拓扑(例7.4)一致，因为两者具有相同的子基。
引理7.6在前面的记号中，映射$f: Y \rightarrow \prod_{i \in I} X_i$是连续的当且仅当它的所有分量$f_i: Y \rightarrow X_i$是连续的。

投影$p_i$是连续的，所以$f$连续意味着分量$f_i=p_i f$是连续的。

反过来，假设每个组件$f_i$都是连续的。对于正则子基中的任意开集$p_i^{-1}(U)$，我们有$f^{-1}\left(p_i^{-1}(U)\right)=f_i^{-1}(U)$是开的，意味着$f$连续。

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微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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