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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Tight and overtwisted
In this section we are going to discuss a fundamental dichotomy of contact structures on 3-manifolds, introduced by Eliashberg [64], namely, the division of contact structures into tight and overtwisted ones. At first sight, the definition of theses types of contact structures looks slightly peculiar. We shall see later what motivated this definition, and why it has proved seminal for the development of 3 -dimensional contact topology.
Recall the definition of the standard overtwisted contact structure $\xi_{\text {ot }}$ on $\mathbb{R}^3$ given in Example 2.1.6. This was described by the equation (in cylindrical coordinates)
$$
\cos r d z+r \sin r d \varphi=0
$$
Let $\Delta$ be the $\operatorname{disc}{z=0, r \leq \pi} \subset \mathbb{R}^3$. The boundary $\partial \Delta$ of this disc is a Legendrian curve for $\xi_{\text {ot }}$, in fact, the disc $\Delta$ is tangent to $\xi_{\text {ot }}$ along its boundary. This means that the characteristic foliation $\Delta_{\xi_{\mathrm{ot}}}$ consists of all radial lines, with singular points at the origin and at all boundary points (Figure 4.9).
If the interior of $\Delta$ is pushed up slightly, the singular points at the boundary can be made to disappear. Only the singular point at the centre remains, and the characteristic foliation now looks as in Figure 4.10, with $\partial \Delta$ a closed leaf of the characteristic foliation $\Delta_{\xi}$. (We shall prove this presently by an explicit calculation in a related case.) We call $\Delta$ (in its perturbed or unperturbed form) the standard overtwisted disc.
For our discussion in the following chapter, it is useful to describe the properties of $\Delta$ in terms of the contact framing and the surface framing of Legendrian knots (Defns. 3.5.1 and 3.5.2).
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Surfaces in contact $3-$ manifolds
We now want to take a more systematic look at surfaces in contact $3-$ manifolds, with a view towards using them as a tool in the classification of contact structures. Obviously some of the material on hypersurfaces in contact manifolds of arbitrary dimension (Section 2.5.4) will be relevant here. I am going to reiterate some of the arguments from that section in the special 3-dimensional setting to spare the reader from having to leaf back and forth. Throughout I assume that $M$ is a 3 -manifold with oriented and cooriented contact structure $\xi=\operatorname{ker} \alpha$ (with $d \alpha$ defining the orientation of $\xi$ ), and $S \subset M$ an oriented surface embedded in $M$. Occasionally we allow $S$ to have boundary, but then there will be some control over the boundary, e.g. if it consists of Legendrian curves. All results can typically be proved for non-orientable surfaces by passing to a double cover.
As in Section 2.5.4 we identify a neighbourhood of $S$ in $M$ with $S \times \mathbb{R}$, and $S$ with $S \times{0}$, where we write $z \nmid$ for the $\mathbb{R}$-coordinate. We make this identification compatible with orientations: the orientation of $S$ followed by the natural orientation of $\mathbb{R}$ gives the orientation of $M$ (induced by $\xi$ ). We write the contact form $\alpha$ as
$$
\alpha=\beta_z+u_z d z
$$
where $\beta_z, z \in \mathbb{R}$, is a smooth family of 1 -forms on $S$, and $u_z: S \rightarrow \mathbb{R}$, a smooth family of functions. Then
$$
d \alpha=d \beta_z-\dot{\beta}_z \wedge d z+d u_z \wedge d z
$$
where the dot denotes the derivative with respect to $z$. Thus, the contact condition becomes
$$
u_z d \beta_z+\beta_z \wedge\left(d u_z-\dot{\beta}_z\right)>0,
$$
meaning that the $2-$ form on the left is a positive area form on $S$.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Tight and overtwisted
在本节中,我们将讨论由Eliashberg[64]引入的3-流形上接触结构的基本二分法,即将接触结构分为紧的和过扭的。乍一看,这些类型的接触结构的定义看起来有点奇怪。我们将在后面看到这个定义的动机,以及为什么它对三维接触拓扑的发展具有开创性意义。
回想一下例2.1.6中给出的$\mathbb{R}^3$上的标准过扭接触结构$\xi_{\text {ot }}$的定义。这是用方程来描述的(在柱坐标中)
$$
\cos r d z+r \sin r d \varphi=0
$$
让$\Delta$成为$\operatorname{disc}{z=0, r \leq \pi} \subset \mathbb{R}^3$。这个圆盘的边界$\partial \Delta$是$\xi_{\text {ot }}$的Legendrian曲线,事实上,圆盘$\Delta$沿着它的边界与$\xi_{\text {ot }}$相切。这意味着特征叶理$\Delta_{\xi_{\mathrm{ot}}}$由所有径向线组成,原点和所有边界点都有奇点(图4.9)。
如果将$\Delta$的内部稍微向上推,可以使边界上的奇异点消失。只保留了中心的奇异点,特征叶理现在看起来如图4.10所示,其中$\partial \Delta$是特征叶理$\Delta_{\xi}$的闭合叶。(我们将在一个相关的案例中通过一个明确的计算来证明这一点。)我们称$\Delta$(摄动或无摄动形式)为标准的超扭盘。
对于我们下一章的讨论,用Legendrian结点的接触分格和曲面分格来描述$\Delta$的性质是很有用的(见3.5.1和3.5.2)。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Surfaces in contact $3-$ manifolds
我们现在想更系统地看看接触$3-$流形中的表面,把它们作为一种工具来分类接触结构。显然,在任意维度的接触流形的超表面上的一些材料(第2.5.4节)将在这里相关。我将在特殊的三维环境中重申该部分的一些论点,以便读者不必来回翻阅。在整个过程中,我假设$M$是一个具有定向和共定向接触结构$\xi=\operatorname{ker} \alpha$的3流形(其中$d \alpha$定义了$\xi$的方向),而$S \subset M$是嵌入在$M$中的一个定向表面。偶尔我们允许$S$有边界,但随后会有一些对边界的控制,例如,如果它由Legendrian曲线组成。所有结果通常都可以通过传递到双盖来证明非定向表面。
如第2.5.4节所述,我们在$M$中用$S \times \mathbb{R}$标识一个邻近的$S$,在$S \times{0}$中用$S$标识一个邻近的,其中我们用$z \nmid$表示$\mathbb{R}$坐标。我们使这种识别与取向兼容:$S$的取向,然后是$\mathbb{R}$的自然取向,得到$M$的取向(由$\xi$诱导)。我们将联系表单$\alpha$写成
$$
\alpha=\beta_z+u_z d z
$$
其中$\beta_z, z \in \mathbb{R}$为$S$上1 -形式的光滑族,$u_z: S \rightarrow \mathbb{R}$为函数的光滑族。然后
$$
d \alpha=d \beta_z-\dot{\beta}_z \wedge d z+d u_z \wedge d z
$$
其中点表示对$z$的导数。因此,接触条件为
$$
u_z d \beta_z+\beta_z \wedge\left(d u_z-\dot{\beta}_z\right)>0,
$$
这意味着左边的$2-$表单是$S$的正面积表单。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。