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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MAT4200 Definitions. First Examples

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MAT4200 Definitions. First Examples

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Definitions. First Examples

Definition (1.1.1). – A ring is a set A endowed with two binary laws, an addition $(a, b) \mapsto a+b$, and a multiplication $(a, b) \mapsto a b$, satisfying the following axioms.

(i) Axioms concerning the addition law and stating that $(\mathrm{A},+)$ is an abelian group:

  • For every $a, b$ in A, $a+b=b+a$ (commutativity of addition);
  • For every $a, b, c$ in $\mathrm{A},(a+b)+c=a+(b+c)$ (associativity of addition);
  • There exists an element $0 \in \mathrm{A}$ such that $a+0=0+a=a$ for every $a$ in A (neutral element for the addition);
  • For every $a \in \mathrm{A}$, there exists an element $b \in \mathrm{A}$ such that $a+b=$ $b+a=0$ (existence of an additive inverse);
    (ii) Axioms concerning the multiplication law and stating that $(\mathrm{A}, \cdot)$ is a monoid:
  • There exists an element $1 \in \mathrm{A}$ such that $1 a=a 1=a$ for every $a \in \mathrm{A}$ (neutral element for the multiplication);
  • For every $a, b$, and $c$ in $\mathrm{A},(a b) c=a(b c$ ) (associativity of multiplication);
    (iii) Axiom relating the addition and the multiplication:
  • For every $a, b$, and $c$ in $\mathrm{A}, a(b+c)=a b+a c$ and $(b+c) a=b a+c a$ (multiplication distributes over addition).
    (iv) One says that the ring A is commutative if, moreover:
  • For every $a$ and $b$ in A, $a b=b a$ (commutativity).
    With their usual addition and multiplication, integers, real numbers, and matrices are fundamental examples of rings. In fact, the ring axioms specify exactly the relevant computation rules to which one is accustomed to. We shall give more examples in a moment, but we first state a few computation rules which follow from the stated axioms.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Let A be a ring

Endowed with the addition law, A is in particular an abelian group. As a consequence, it admits exactly one zero element, which is usually denoted by 0 , or by $0_{\mathrm{A}}$ if it is necessary to specify the ring of which it is the zero element. Moreover, any element $a \in \mathrm{A}$ has exactly one additive inverse, and it is denoted by $-a$. Indeed, if $b$ and $c$ are two additive inverses, then $b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=c$.

For every $a \in \mathrm{A}$, one has $a \cdot(0+0)=a \cdot 0+a \cdot 0$, hence $a \cdot 0=0$; similarly, $0 \cdot a=0$. Then, for any $a, b \in \mathrm{A}$, one has $a(-b)+a b=a(-b+b)=a \cdot 0=0$, hence $a(-b)=-(a b)$; similarly, $(-a) b=-(a b)$. Consequently, there is no ambiguity in writing $-a b$ for either $(-a) b,-(a b)$ or $a(-b)$.

For any integer $n$, one defines $n a$ by induction, by setting $0 a=0$, and $n a=a+(n-1) a$ if $n \geq 1$ and $n a=-(-n) a$ if $n \leq-1$. Observe that for any $a, b \in \mathrm{A}$ and any integer $n$, one has $a(n b)=n(a b)=(n a) b$. This is proved by induction on $n$ : if $n=0$, then all three terms are 0 ; if $n \geq 1$, then $a(n b)=a(b+(n-1) b)=a b+a((n-1) b)=a b+(n-1)(a b)=n a b$ and similarly for the other equality; finally, if $n \leq-1$, then $a(n b)=a(-((-n) b))=$ $-a((-n) b)=(-n)(-a b)=n a b .$

Similarly, the multiplicative monoid $(\mathrm{A}, \cdot)$ has exactly one neutral element, usually denoted by 1 , or by $1_{\mathrm{A}}$ if it is necessary to specify the ring, and called the unit element of $\mathrm{A}$.

If $a$ belongs to a ring A and $n$ is any positive ${ }^1$ integer $n \geq 0$, one defines $a^n$ by induction by setting $a^0=1$, and, if $n \geq 1, a^n=a \cdot a^{n-1}$. For any integers $m$ and $n$, one has $a^{m+n}=a^m a^n$ and $\left(a^m\right)^n=a^{m n}$, as can be checked by induction.
However, one should take care that $a^n b^n$ and $(a b)^n$ are generally distinct, unless $a b=b a$, in which case one says that $a$ and $b$ commute.

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交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Definitions. First Examples

定义 (1.1.1) 。一环是一个集合 $\mathrm{A}$ 具有两个二元定律,一个加法 $(a, b) \mapsto a+b$, 和一个乘法 $(a, b) \mapsto a b$ ,满足以下公理。
(i) 关于加法定律的公理并说明 $(\mathrm{A},+)$ 是一个阿贝尔群:

对于每一个 $a, b$ 在一个, $a+b=b+a$ (加法交换律);

对于每一个 $a, b, c$ 在 $\mathrm{A},(a+b)+c=a+(b+c)$ (加法的结合性) ;

存在一个元㭌 $0 \in \mathrm{A}$ 这样 $a+0=0+a=a$ 对于每个 $a$ 在A中 (添加的中侏元螦);

对于每一个 $a \in \mathrm{A}$, 存在一个元责 $b \in \mathrm{A}$ 这样 $a+b=b+a=0$ (存在加法逆);
(ii) 关于乘法定律的公理并说明 $(\mathrm{A}, \cdot)$ 是一个半群:

存在一个元拜 $1 \in \mathrm{A}$ 这样 $1 a=a 1=a$ 对于每个 $a \in \mathrm{A}$ (乘法的中性元睋);

对于每一个 $a, b$ ,和 $c$ 在 $\mathrm{A},(a b) c=a(b c)$ (乘法的结合性);
(iii) 加法和乘法的公理:

对于每一个 $a, b$ ,和 $c$ 在 $\mathrm{A}, a(b+c)=a b+a c$ 和 $(b+c) a=b a+c a$ (乘法分布在加法上)。
(iv) 有人说环 $A$ 是可交换的,如果,此外:

对于每一个 $a$ 和 $b$ 在一个, $a b=b a$ (交换性)。
通过它们通常的加法和乘㹤,整数、实数和矩阵是环的其本示例。事实上,环公理准确地指定了人们羽盨的相关计算规则。 稍后我们将給出更多示例,但我们首先陈述一些从所述公理得出的计算规则。


数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Let $A$ be a ring


具有加法定律, $A$ 特别是一个阿贝尔群。因此,它只允许一个零元麦,通常用 0 表示,或者用 $0_A$ 如果有必要指定它是零元表的 环。此外,任何元膆 $a \in \mathrm{A}$ 恰好有一个加法逆元,它表示为 $-a$. 确实,如果 $b$ 和 $c$ 是两个加法逆元,那么 $b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=c$
对于每一个 $a \in \mathrm{A}$ ,个有 $a \cdot(0+0)=a \cdot 0+a \cdot 0$ ,因此 $a \cdot 0=0$; 相似地, $0 \cdot a=0$. 那么,对于任何 $a, b \in \mathrm{A}$, 个有 $a(-b)+a b=a(-b+b)=a \cdot 0=0$ ,因此 $a(-b)=-(a b)$; 相似地, $(-a) b=-(a b)$. 因此,写作没有歧义 $-a b$ 对于 任何一个 $(-a) b,-(a b)$ 或者 $a(-b)$.
对于任何整数 $n ,$ 一定义 $n a$ 通过归纳,通过设置 $0 a=0 ,$ 和 $n a=a+(n-1) a$ 如果 $n \geq 1$ 和 $n a=-(-n) a$ 如果 $n \leq-1$. 观察任何 $a, b \in \mathrm{A}$ 和任何整数 $n$, 个有 $a(n b)=n(a b)=(n a) b$. 这通过归纳证明 $n$ : 如果 $n=0$, 那么这三个项都是 0 ; 如果 $n \geq 1$ ,然后 $a(n b)=a(b+(n-1) b)=a b+a((n-1) b)=a b+(n-1)(a b)=n a b$ 对于另一个平等,同样如此; 最后,如果 $n \leq-1$ ,然后 $a(n b)=a(-((-n) b))=-a((-n) b)=(-n)(-a b)=n a b$.
如果 $a$ 属于环 $\mathrm{A}$ 并且 $n$ 是任何积极的 1 整数 $n \geq 0$,一定义 $a^n$ 通过设置 $a^0=1$ ,而如果 $n \geq 1, a^n=a \cdot a^{n-1}$. 对于任何整数 $m$ 和 $n$ ,一个有 $a^{m+n}=a^m a^n$ 和 $\left(a^m\right)^n=a^{m n}$ ,可以通过归纳来检龺。
但是,应该注意的是 $a^n b^n$ 和 $(a b)^n$ 通常是不同的,除非 $a b=b a$ ,在这种情况下,有人说 $a$ 和 $b$ 通勒。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|MATH5270 The Jordan curve theorem

如果你也在 怎样代写曲线和曲面Curves And Surfaces MATH5270这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。曲线和曲面Curves And Surfaces是指在一个平面上平滑地画出的线条,其中有一个弯曲或转弯。面是物体的一个平面或区域。曲线是一维的。一个表面是二维的。测量曲面上某一点的高斯曲率的一个方法是,在曲面上取一个半径为r的小圆,圆心在该点,计算圆的周长或面积。

曲线和曲面Curves And Surfaces在数学中,曲线(在较早的文本中也称为曲线)是一种类似于直线的物体,但它不一定是直线。直观地说,曲线可以被认为是一个移动的点所留下的痕迹。这是2000多年前出现在欧几里德《元素》中的定义。”[弯曲的]线[a]是[……]第一种量,它只有一个维度,即长度,没有任何宽度或深度,而且无非是点的流动或运行,[……]将从其假想的移动中留下一些长度上的痕迹,免除任何宽度。”

曲线和曲面Curves And Surfaces代写,免费提交作业要求, 满意后付款,成绩80\%以下全额退款,安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队,所有订单可靠准时,保证 100% 原创。最高质量的曲线和曲面Curves And Surfaces作业代写,服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面,考虑到同学们的经济条件,在保障代写质量的前提下,我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多,同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求,因此曲线和曲面Curves And Surfaces作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|MATH5270 The Jordan curve theorem

数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|The Jordan curve theorem

In this section we shall complete the proof of the Jordan curve theorem for regular curves, by showing that the complement of the support of a simple

closed regular plane curve of class $C^2$ has at least two components. To get there we need a new ingredient, which we shall construct by using the degree introduced in Section 2.1.

Given a continuous closed plane curve, there are (at least) two ways to associate with it a curve with values in $S^1$, and consequently a degree. In this section we are interested in the first way, while in next section we shall use the second one.

Definition 2.3.1. Let $\sigma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^2$ be a continuous closed plane curve. Given a point $p \notin \sigma([a, b])$ we may define $\phi_p:[a, b] \rightarrow S^1$ by setting
$$
\phi_p(t)=\frac{\sigma(t)-p}{|\sigma(t)-p|} .
$$
The winding number $\iota_p(\sigma)$ of $\sigma$ with respect to $p$ is, by definition, the degree of $\phi_p$; it measures the number of times $\sigma$ goes around the point $p$.

Fig. $2.4$ shows the winding number of a curve with respect to several points, computed as we shall see in Example 2.3.5.

数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|The turning tangents theorem

There is another very natural way of associating a $S^1$-valued curve (and consequently a degree) with a closed regular plane curve.

Definition 2.4.1. Let $\sigma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^2$ be a closed regular plane curve of class $C^1$, and let $\mathbf{t}:[a, b] \rightarrow S^1$ be its tangent versor, given by
$$
\mathbf{t}(t)=\frac{\sigma^{\prime}(t)}{\left|\sigma^{\prime}(t)\right|} .
$$
The rotation index $\rho(\sigma)$ of $\sigma$ is the degree of the map $\mathbf{t}$; it counts the number of full turns made by the tangent versor to $\sigma$.

Corollary 2.1.18 provides us with a simple formula to compute the rotation index:

Proposition 2.4.2. Let $\sigma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^2$ be a closed regular plane curve of class $C^1$ with oriented curvature $\tilde{\kappa}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$. Then
$$
\rho(\sigma)=\frac{1}{2 \pi} \int_a^b \tilde{\kappa}\left|\sigma^{\prime}\right| \mathrm{d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_a^b \frac{\operatorname{det}\left(\sigma^{\prime}, \sigma^{\prime \prime}\right)}{\left|\sigma^{\prime}\right|^2} \mathrm{~d} t .
$$
Proof. By Corollary 2.1.18,
$$
\rho(\sigma)=\frac{1}{2 \pi} \int_a^b \operatorname{det}\left(\mathbf{t}, \mathbf{t}^{\prime}\right) \mathrm{d} t
$$

数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|MATH5270 The Jordan curve theorem

曲线和曲面代写

数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|The Jordan curve theorem


在本节中,我们将完成对正则曲线的若尔当曲线定理的证明,通过证明简单的支持
类的闭合正平面曲线 $C^2$ 至少有两个组件。为此,我们需要一种新成分,我们将使用第 $2.1$ 节中介绍的度数来构建它。
给定一条连续闭合平面曲线,(至少) 有两种方法可以将一条曲线与 $S^1$ ,从而获得学位。在本节中,我们对第一种方式感兴趣, 而在下一节中,我们将使用第二种方式。
定义 2.3.1。让 $\sigma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^2$ 是一条连续的闭合平面曲线。给定一个点 $p \notin \sigma([a, b])$ 我们可以定义 $\phi_p:[a, b] \rightarrow S^1$ 通过设置
$$
\phi_p(t)=\frac{\sigma(t)-p}{|\sigma(t)-p|} .
$$
绕组数 $\iota p(\sigma)$ 的 $\sigma$ 关于 $p$ 是,根据定义,程度 $\phi_p ;$ 它测量次数 $\sigma$ 戔道而行 $p$.
如图。2.4显示了一条曲线关于几个点的绕组数,计算方法如示例 $2.3 .5$ 所示。


数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|The turning tangents theorem


还有另一种非常自然的方式来关联 $S^1$ 具有闭合正平面曲线的值曲线 (因此是度数)。
定义 2.4.1。让 $\sigma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^2$ 是类的闭合正平面曲线 $C^1$ ,然后让 $:[a, b] \rightarrow S^1$ 是它的正切反函数,由下式给出
$$
\mathbf{t}(t)=\frac{\sigma^{\prime}(t)}{\left|\sigma^{\prime}(t)\right|} .
$$
旋转指数 $\rho(\sigma)$ 的 $\sigma$ 是地图的度数 $\mathbf{t} ;$ 它计算切线 versor 的整目数 $\sigma$.
推论 $2.1 .18$ 为我们提供了一个计算旋转指数的简单公式:
命题 2.4.2。让 $\sigma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^2$ 是类的闭合正平面曲线 $C^1$ 具有定向曲率 $\tilde{\kappa}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$. 然后
$$
\rho(\sigma)=\frac{1}{2 \pi} \int_a^b \tilde{\kappa}\left|\sigma^{\prime}\right| \mathrm{d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_a^b \frac{\operatorname{det}\left(\sigma^{\prime}, \sigma^{\prime \prime}\right)}{\left|\sigma^{\prime}\right|^2} \mathrm{~d} t .
$$
证明。根据推论 2.1.18,
$$
\rho(\sigma)=\frac{1}{2 \pi} \int_a^b \operatorname{det}\left(\mathbf{t}, \mathbf{t}^{\prime}\right) \mathrm{d} t
$$

数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。