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概率论Probability Theory某些随机变量在概率论中经常出现，因为它们很好地描述了许多自然或物理过程。因此，它们的分布在概率论中具有特殊的重要性。一些基本的离散分布有离散均匀分布、伯努利分布、二项式分布、负二项式分布、泊松分布和几何分布。重要的连续分布包括连续均匀分布、正态分布、指数分布、分布和分布。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Characteristic functions

Given a random variable $X$, we define its characteristic function (or Fourier transform) by
$$
\phi_X(t)=\mathbf{E}\left(e^{i t X}\right)=\mathbf{E}[\cos (t X)]+i \mathbf{E}[\sin (t X)], \quad t \in \mathbf{R} .
$$
The characteristic function is thus a function from the real numbers to the complex numbers. Of course, by the Change of Variable Theorem (Theorem 6.1 .1$), \phi_X(t)$ depends only on the distribution of $X$. We sometimes write $\phi_X(t)$ as $\phi(t)$.

The characteristic function is clearly very similar to the moment generating function introduced earlier; the only difference is the appearance of the imaginary number $i=\sqrt{-1}$ in the exponent. However, this change is significant; since $\left|e^{i t X}\right|=1$ for any (real) $t$ and $X$, the triangle inequality implies that $\left|\phi_X(t)\right| \leq 1<\infty$ for all $t$ and all random variables $X$. This is quite a contrast to the case for moment generating functions, which could be infinite for any $s \neq 0$.

Like for moment generating functions, we have $\phi_X(0)=1$ for any $X$, and if $X$ and $Y$ are independent then $\phi_{X+Y}(t)=\phi_X(t) \phi_Y(t)$ by (4.2.7). We further note that, with $\mu=\mathcal{L}(X)$, we have
$$
\begin{aligned}
&\left|\phi_X(t+h)-\phi_X(t)\right|=\left|\int\left(e^{i(t+h) x}-e^{i t x}\right) \mu(d x)\right| \
& \leq \int\left|e^{i(t+h) x}-e^{i t x}\right| \mu(d x) \leq \int\left|e^{i t x}\right|\left|e^{i h x}-1\right| \mu(d x) \
&=\int\left|e^{i h x}-1\right| \mu(d x) .
\end{aligned}
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|The continuity theorem

In this subsection we shall prove the continuity theorem for characteristic functions (Theorem 11.1.14), which says that if characteristic functions converge pointwise, then the corresponding distributions converge weakly: $\mu_n \Rightarrow \mu$ if and only if $\phi_n(t) \rightarrow \phi(t)$ for all $t$. This is a very important result; for example, it is used to prove the central limit theorem in the next subsection. Unfortunately, the proof is somewhat technical; we must show that characteristic functions completely determine the corresponding distribution (Theorem 11.1.1 and Corollary 11.1.7 below), and must also establish a simple criterion for weak convergence of “tight” measures (Corollary 11.1.11).

We begin with an inversion theorem, which tells how to recover information about a probability distribution from its characteristic function.
Theorem 11.1.1. (Fourier inversion theorem) Let $\mu$ be a Borel probability measure on $\mathbf{R}$, with characteristic function $\phi(t)=\int_{\mathbf{R}} e^{i t x} \mu(d x)$. Then if $a<b$ and $\mu{a}=\mu{b}=0$, then
$$
\mu([a, b])=\lim {T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi} \int{-T}^T \frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t} \phi(t) d t .
$$
To prove Theorem 11.1.1, we use two computational lemmas.
Lemma 11.1.2. For $T \geq 0$ and $a<b$,
$$
\int_{\mathbf{R}} \int_{-T}^T\left|\frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t} \phi(t)\right| d t \mu(d x) \leq 2 T(b-a)<\infty .
$$

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Characteristic functions

给定一个随机变量$X$，我们定义它的特征函数(或傅里叶变换)为
$$
\phi_X(t)=\mathbf{E}\left(e^{i t X}\right)=\mathbf{E}[\cos (t X)]+i \mathbf{E}[\sin (t X)], \quad t \in \mathbf{R} .
$$
因此，特征函数是一个从实数到复数的函数。当然，根据变量变换定理(定理6.1 .1 $), \phi_X(t)$)只取决于$X$的分布。我们有时把$\phi_X(t)$写成$\phi(t)$。

特征函数显然与前面介绍的矩生成函数非常相似;唯一的区别是指数中出现了虚数$i=\sqrt{-1}$。然而，这种变化是显著的;因为$\left|e^{i t X}\right|=1$对于任意(实数)$t$和$X$，三角不等式意味着$\left|\phi_X(t)\right| \leq 1<\infty$对于所有$t$和所有随机变量$X$。这与矩生成函数的情况形成了鲜明对比，对于任何$s \neq 0$，矩生成函数都可能是无穷大的。

就像矩生成函数一样，我们对任何$X$都有$\phi_X(0)=1$，如果$X$和$Y$是独立的，那么$\phi_{X+Y}(t)=\phi_X(t) \phi_Y(t)$由(4.2.7)。我们进一步注意到，通过$\mu=\mathcal{L}(X)$，我们已经
$$
\begin{aligned}
&\left|\phi_X(t+h)-\phi_X(t)\right|=\left|\int\left(e^{i(t+h) x}-e^{i t x}\right) \mu(d x)\right| \
& \leq \int\left|e^{i(t+h) x}-e^{i t x}\right| \mu(d x) \leq \int\left|e^{i t x}\right|\left|e^{i h x}-1\right| \mu(d x) \
&=\int\left|e^{i h x}-1\right| \mu(d x) .
\end{aligned}
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|The continuity theorem

在本节中，我们将证明特征函数的连续性定理(定理11.1.14)，即如果特征函数点向收敛，则对应的分布弱收敛:$\mu_n \Rightarrow \mu$当且仅当$\phi_n(t) \rightarrow \phi(t)$对于所有$t$。这是一个非常重要的结果;例如，它被用来在下一小节中证明中心极限定理。不幸的是，这个证明有点技术性;我们必须证明特征函数完全决定了相应的分布(定理11.1.1和推论11.1.7)，还必须建立一个“紧”测度弱收敛的简单判据(推论11.1.11)。

我们从反转定理开始，它告诉我们如何从一个概率分布的特征函数中恢复有关它的信息。
定理11.1.1。(傅里叶反转定理)设$\mu$为$\mathbf{R}$上的Borel概率测度，特征函数为$\phi(t)=\int_{\mathbf{R}} e^{i t x} \mu(d x)$。那么如果$a<b$和$\mu{a}=\mu{b}=0$，那么
$$
\mu([a, b])=\lim {T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi} \int{-T}^T \frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t} \phi(t) d t .
$$
为了证明定理11.1.1，我们使用了两个计算引理。
引理11.1.2。对于$T \geq 0$和$a<b$，
$$
\int_{\mathbf{R}} \int_{-T}^T\left|\frac{e^{-i t a}-e^{-i t b}}{i t} \phi(t)\right| d t \mu(d x) \leq 2 T(b-a)<\infty .
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Limit theorems

Suppose $X, X_1, X_2, \ldots$ are random variables defined on some probability triple $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$. Suppose further that $\lim {n \rightarrow \infty} X_n(\omega)=X(\omega)$ for each fixed $\omega \in \Omega$ (or at least for all $\omega$ outside a set of probability 0 ), i.e. that $\left{X_n\right}$ converges to $X$ almost surely. Does it necessarily follow that $\lim {n \rightarrow \infty} \mathbf{E}\left(X_n\right)=\mathbf{E}(X) ?$

We already know that this is not the case in general. Indeed, it was not the case for the “double ’til you win” gambling strategy of Subsection 7.3 (where if $0<p \leq 1 / 2$, then $\mathbf{E}\left(X_n\right) \leq a$ for all $n$, even though $\mathbf{E}\left(\lim X_n\right)=$ $a+1)$. Or for a simple counter-example, let $\Omega=\mathbf{N}$, with $\mathbf{P}(\omega)=2^{-\omega}$ for $\omega \in \Omega$, and let $X_n(\omega)=2^n \delta_{\omega, n}$ (i.e., $X_n(\omega)=2^n$ if $\omega=n$, and equals 0 otherwise). Then $\left{X_n\right}$ converges to 0 with probability 1 , but $\mathbf{E}\left(X_n\right)=1 \nrightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$.

On the other hand, we already have two results giving conditions under which it is true that $\mathbf{E}\left(X_n\right) \rightarrow \mathbf{E}(X)$, namely the Monotone Convergence Theorem (Theorem 4.2.2) and the Bounded Convergence Theorem (Theorem 7.3.1). Such limit theorems are sometimes very helpful.

In this section, we shall establish two more similar limit theorems, namely the Dominated Convergence Theorem and the Uniformly Integrable Convergence Theorem. A first key result is

Theorem 9.1.1. (Fatou’s Lemma) If $X_n \geq C$ for all $n$, and some constant $C>-\infty$, then
$$
\mathbf{E}\left(\liminf {n \rightarrow \infty} X_n\right) \leq \liminf {n \rightarrow \infty} \mathbf{E}\left(X_n\right) .
$$
(We allow the possibility that both sides are infinite.)

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Differentiation of expectation

A classic question from multivariable calculus asks when we can “differentiate under the integral sign”. For example, is it true that
$$
\frac{d}{d t} \int_0^1 e^{s t} d s=\int_0^1\left[\frac{\partial}{\partial t} e^{s t}\right] d s=\int_0^1 s e^{s t} d s ?
$$
The answer is yes, as the following proposition shows. More generally, the proposition considers a family of random variables $\left{F_t\right}\left(\right.$ e.g. $F_t(\omega)=e^{\omega t}$ ), and the derivative (with respect to $t$ ) of the function $\mathbf{E}\left(F_t\right)$ (e.g. of $\int_0^1 e^{\omega t} d \omega$ ).
Proposition 9.2.1. Let $\left{F_t\right}_{a<t<b}$ be a collection of random variables with finite expectations, defined on some probability triple $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$. Suppose for each $\omega$ and each $a<t<b$, the derivative $F_t^{\prime}(\omega)=\frac{\partial}{\partial t} F_t(\omega)$ exists. Then $F_t^{\prime}$ is a random variable. Suppose further that there is a random variable $Y$ on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ with $E(Y)<\infty$, such that $\left|F_t^{\prime}\right| \leq Y$ for all $a<t<b$.

Then if we define $\phi(t)=\mathbf{E}\left(F_t\right)$, then $\phi$ is differentiable, with finite derivative $\phi^{\prime}(t)=\mathbf{E}\left(F_t^{\prime}\right)$ for all $a<t<b$.

Proof. To see that $F_t^{\prime}$ is a random variable, let $t_n=t+\frac{1}{n}$. Then $F_t^{\prime}=$ $\lim {n \rightarrow \infty} n\left(F{t_n}-F_t\right)$ and hence is the countable limit of random variables, and therefore is itself a random variable by (3.1.6).

Next, note that we always have $\left|\frac{F_{t+h}-F_t}{h}\right| \leq Y$. Hence, using the dominated convergence theorem together with Remark 9.1.9, we have
$$
\begin{gathered}
\phi^{\prime}(t)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{\phi(t+h)-\phi(t)}{h}=\lim {h \rightarrow 0} \mathbf{E}\left(\frac{F_{t+h}-F_t}{h}\right) \
=\mathbf{E}\left(\lim {h \rightarrow 0} \frac{F{t+h}-F_t}{h}\right)=\mathbf{E}\left(F_t^{\prime}\right),
\end{gathered}
$$
and this is finite since $\mathbf{E}\left(\left|F_t^{\prime}\right|\right) \leq \mathbf{E}(Y)<\infty$.

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Limit theorems

假设$X, X_1, X_2, \ldots$是定义在某个概率三重$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$上的随机变量。进一步假设$\lim {n \rightarrow \infty} X_n(\omega)=X(\omega)$对于每个固定的$\omega \in \Omega$(或至少对于概率为0以外的所有$\omega$)，即$\left{X_n\right}$几乎肯定收敛于$X$。它一定是这样的吗 $\lim {n \rightarrow \infty} \mathbf{E}\left(X_n\right)=\mathbf{E}(X) ?$

我们已经知道，一般情况下不是这样的。事实上，对于第7.3节的“双赢”赌博策略(如果是$0<p \leq 1 / 2$，那么所有的$n$都是$\mathbf{E}\left(X_n\right) \leq a$，即使是$\mathbf{E}\left(\lim X_n\right)=$$a+1)$。)或者对于一个简单的反例，让$\Omega=\mathbf{N}$, $\mathbf{P}(\omega)=2^{-\omega}$代表$\omega \in \Omega$，让$X_n(\omega)=2^n \delta_{\omega, n}$(即，如果$\omega=n$, $X_n(\omega)=2^n$，否则等于0)。然后$\left{X_n\right}$以1的概率收敛于0，但$\mathbf{E}\left(X_n\right)=1 \nrightarrow 0$是$n \rightarrow \infty$。

另一方面，我们已经有两个结果给出了$\mathbf{E}\left(X_n\right) \rightarrow \mathbf{E}(X)$成立的条件，即单调收敛定理(定理4.2.2)和有界收敛定理(定理7.3.1)。这样的极限定理有时非常有用。

在本节中，我们将建立另外两个类似的极限定理，即支配收敛定理和一致可积收敛定理。第一个关键结果是

定理9.1.1。(法图引理)如果$X_n \geq C$对于所有$n$，和一些常数$C>-\infty$，那么
$$
\mathbf{E}\left(\liminf {n \rightarrow \infty} X_n\right) \leq \liminf {n \rightarrow \infty} \mathbf{E}\left(X_n\right) .
$$
(我们允许两边都是无限的可能性。)

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Differentiation of expectation

多变量微积分中的一个经典问题是什么时候可以“在积分号下求导”。例如，是真的吗
$$
\frac{d}{d t} \int_0^1 e^{s t} d s=\int_0^1\left[\frac{\partial}{\partial t} e^{s t}\right] d s=\int_0^1 s e^{s t} d s ?
$$
答案是肯定的，如下面的命题所示。更一般地说，该命题考虑一组随机变量$\left{F_t\right}\left(\right.$(例如$F_t(\omega)=e^{\omega t}$)和函数$\mathbf{E}\left(F_t\right)$(例如$\int_0^1 e^{\omega t} d \omega$)的导数(相对于$t$)。
提案9.2.1设$\left{F_t\right}_{a<t<b}$是具有有限期望的随机变量集合，定义在某个概率三重$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$上。假设对于每个$\omega$和$a<t<b$，导数$F_t^{\prime}(\omega)=\frac{\partial}{\partial t} F_t(\omega)$都存在。那么$F_t^{\prime}$是一个随机变量。进一步假设$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$上有一个随机变量$Y$和$E(Y)<\infty$，因此$\left|F_t^{\prime}\right| \leq Y$对应所有$a<t<b$。

然后如果我们定义$\phi(t)=\mathbf{E}\left(F_t\right)$，那么$\phi$是可微的，对于所有$a<t<b$都有有限的导数$\phi^{\prime}(t)=\mathbf{E}\left(F_t^{\prime}\right)$。

证明。要知道$F_t^{\prime}$是一个随机变量，设$t_n=t+\frac{1}{n}$。那么$F_t^{\prime}=$$\lim {n \rightarrow \infty} n\left(F{t_n}-F_t\right)$因此是随机变量的可数极限，因此本身是一个随机变量由(3.1.6)。

接下来，注意我们总是有$\left|\frac{F_{t+h}-F_t}{h}\right| \leq Y$。因此，利用支配收敛定理和备注9.1.9，我们有
$$
\begin{gathered}
\phi^{\prime}(t)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{\phi(t+h)-\phi(t)}{h}=\lim {h \rightarrow 0} \mathbf{E}\left(\frac{F_{t+h}-F_t}{h}\right) \
=\mathbf{E}\left(\lim {h \rightarrow 0} \frac{F{t+h}-F_t}{h}\right)=\mathbf{E}\left(F_t^{\prime}\right),
\end{gathered}
$$
这是有限的，因为$\mathbf{E}\left(\left|F_t^{\prime}\right|\right) \leq \mathbf{E}(Y)<\infty$。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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概率论Probability Theory是一种为每个“事件”分配0到1之间的值的方法，要求由所有可能的结果组成的事件(在我们的示例中，事件{1,2,3,4,5,6})被分配值为1。为了符合概率分布的要求，值的分配必须满足以下要求:如果你观察一组互斥事件(不包含共同结果的事件，例如，事件{1,6}，{3}和{2,4}都是互斥的)，这些事件中任何一个发生的概率是由事件概率的总和给出的。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Gambling and gambler’s ruin

By Theorem 7.1.1, for fixed $0<p<1$ we can find random variables $\left{Z_i\right}$ which are i.i.d. with $\mathbf{P}\left(Z_i=1\right)=p$ and $\mathbf{P}\left(Z_i=-1\right)=1-p \equiv q$. We then set $X_n=a+Z_1+Z_2+\ldots+Z_n$ (with $X_0 \equiv a$ ) for some fixed integer $a$. We shall interpret $X_n$ as a gambling player’s “fortune” (in dollars) at time $n$ when repeatedly making $\$ 1$ bets, and shall refer to the stochastic process $\left{X_n\right}$ as simple random walk. Thus, our player begins with $S a$, and at each time has probability $p$ of winning $\$ 1$ and probability $q=1-p$ of losing $\$ 1$.
We first note the distribution of $X_n$. Indeed, clearly $\mathbf{P}\left(X_n=a+k\right)=0$ unless $-n \leq k \leq n$ with $n+k$ even. For such $k$, there are $\left(\begin{array}{c}n \ \frac{n+k}{2}\end{array}\right)$ different possible sequences $Z_1, \ldots, Z_n$ such that $X_n=a+k$, namely all sequences consisting of $\frac{n+k}{2}$ symbols +1 and $\frac{n-k}{2}$ symbols -1 . Furthermore, each such sequence has probability $p^{\frac{n+k}{2}} q^{\frac{n-k}{2}}$. We conclude that
$$
\mathbf{P}\left(X_n=a+k\right)=\left(\begin{array}{c}
n \
\frac{n+k}{2}
\end{array}\right) p^{\frac{n+k}{2}} q^{\frac{n-k}{2}}, \quad-n \leq k \leq n, \quad n+k \text { even }
$$
with $\mathbf{P}\left(X_n=a+k\right)=0$ otherwise.
This is a rather “static” observation about the process $\left{X_n\right}$; of greater interest are questions which depend on its time-evolution. One such question is the gambler’s ruin problem, defined as follows. Suppose that $0<$ $a<c$, and let $\tau_0=\inf \left{n \geq 0 ; X_n=0\right}$ and $\tau_c=\inf \left{n \geq 0 ; X_n=c\right}$ be the first hitting time of 0 and $c$, respectively. (These infima are taken to be $+\infty$ if the condition is satisfied for no $n$.) The gambler’s ruin question is, what is $\mathbf{P}\left(\tau_c<\tau_0\right)$ ? That is, what is the probability that the player’s fortune will reach the value $c$ before it reaches the value 0 . Informally, what is the probability that the gambler gets rich before going broke? (Note that $\left{\tau_c<\tau_0\right}$ includes the case when $\tau_0=\infty$ while $\tau_c<\infty$; but it does not include the case when $\tau_c=\tau_0=\infty$.)

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Gambling policies

Suppose now that our gambler is allowed to choose how much to bet each time. That is, the gambler can choose random variables $W_n$ so that their fortune at time $n$ is given by
$$
X_n=a+W_1 Z_1+W_2 Z_2+\ldots+W_n Z_n,
$$

with $\left{Z_n\right}$ as before. To avoid “cheating”, we shall insist that $W_n \geq 0$ (you can’t bet a negative amount), and also that $W_n=f_n\left(Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n-1}\right)$ is a function only of the previous bet results (you can’t know the result of a bet before you choose how much to wager). Here the $f_n:{-1,1}^{n-1} \rightarrow \mathbf{R}^{\geq 0}$ are fixed deterministic functions, collectively referred to as the gambling policy. (If $W_n \equiv 1$ for each $n$, then this is equivalent to our previous gambling model.)

Note that $X_n=X_{n-1}+W_n Z_n$, with $W_n$ and $Z_n$ independent, and with $\mathbf{E}\left(Z_n\right)=p-q$. Hence, $\mathbf{E}\left(X_n\right)=\mathbf{E}\left(X_{n-1}\right)+(p-q) \mathbf{E}\left(W_n\right)$. Furthermore, since $W_n \geq 0$, therefore $\mathbf{E}\left(W_n\right) \geq 0$. It follows that
(a) if $p=\frac{1}{2}$, then $\mathbf{E}\left(X_n\right)=\mathbf{E}\left(X_{n-1}\right)=\ldots=\mathbf{E}\left(X_0\right)=a$, so that $\lim \mathbf{E}\left(X_n\right)=a$
(b) if $p \leq \frac{1}{2}$, then $\mathbf{E}\left(X_n\right) \leq \mathbf{E}\left(X_{n-1}\right) \leq \ldots \leq \mathbf{E}\left(X_0\right)=a$, so that $\lim \mathbf{E}\left(X_n\right) \leq a$;
(c) if $p \geq \frac{1}{2}$, then $\mathbf{E}\left(X_n\right) \geq \mathbf{E}\left(X_{n-1}\right) \geq \ldots \geq \mathbf{E}\left(X_0\right)=a$, so that $\lim \mathbf{E}\left(X_n\right) \geq a$.
This seems simple enough, and corresponds to our intuition: if $p \leq \frac{1}{2}$ then the player’s expected value can only decrease. End of story?
Perhaps not. Consider the “double ’til you win” policy, defined by
$$
W_1 \equiv 1 ; \quad W_n=\left{\begin{array}{cl}
2^{n-1}, & Z_1=Z_2=\ldots=Z_{n-1}=-1 \
0, & \text { otherwise }
\end{array}, \quad n \geq 2 .\right.
$$

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Gambling and gambler’s ruin

根据定理7.1.1，对于固定的$0<p<1$，我们可以找到随机变量$\left{Z_i\right}$，它是i.i.d与$\mathbf{P}\left(Z_i=1\right)=p$和$\mathbf{P}\left(Z_i=-1\right)=1-p \equiv q$。然后将$X_n=a+Z_1+Z_2+\ldots+Z_n$(与$X_0 \equiv a$一起)设置为某个固定整数$a$。我们将$X_n$解释为一个赌客在$n$时刻反复进行$\$ 1$投注时的“财富”(以美元为单位)，并将随机过程$\left{X_n\right}$解释为简单的随机游走。因此，我们的玩家从$S a$开始，每次获胜的概率为$p$$\$ 1$，失败的概率为$q=1-p$$\$ 1$。
我们首先注意$X_n$的分布。的确，显然$\mathbf{P}\left(X_n=a+k\right)=0$除非$-n \leq k \leq n$与$n+k$连。对于这样的$k$，有$\left(\begin{array}{c}n \ \frac{n+k}{2}\end{array}\right)$种不同的可能序列$Z_1, \ldots, Z_n$，使得$X_n=a+k$，即所有由$\frac{n+k}{2}$符号+1和$\frac{n-k}{2}$符号-1组成的序列。此外，每个这样的序列具有$p^{\frac{n+k}{2}} q^{\frac{n-k}{2}}$的概率。我们的结论是
$$
\mathbf{P}\left(X_n=a+k\right)=\left(\begin{array}{c}
n \
\frac{n+k}{2}
\end{array}\right) p^{\frac{n+k}{2}} q^{\frac{n-k}{2}}, \quad-n \leq k \leq n, \quad n+k \text { even }
$$
否则使用$\mathbf{P}\left(X_n=a+k\right)=0$。
这是一个相当“静态”的观察过程$\left{X_n\right}$;更令人感兴趣的是取决于它的时间演变的问题。其中一个问题是赌徒破产问题，定义如下。设$0<$$a<c$，并设$\tau_0=\inf \left{n \geq 0 ; X_n=0\right}$和$\tau_c=\inf \left{n \geq 0 ; X_n=c\right}$分别为0和$c$的第一次命中时间。(如果不满足$n$的条件，则取这些无穷大为$+\infty$。)赌徒破产的问题是，$\mathbf{P}\left(\tau_c<\tau_0\right)$是什么?也就是说，玩家的财富在达到0之前达到$c$值的概率是多少?非正式地说，赌徒在破产之前变得富有的概率是多少?(注意$\left{\tau_c<\tau_0\right}$包括$\tau_0=\infty$而$\tau_c<\infty$;但它不包括$\tau_c=\tau_0=\infty$。)

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Gambling policies

现在假设我们的赌徒可以选择每次下注多少。也就是说，赌徒可以选择随机变量$W_n$，这样他们在$n$时刻的财富由
$$
X_n=a+W_1 Z_1+W_2 Z_2+\ldots+W_n Z_n,
$$

和以前一样使用$\left{Z_n\right}$。为了避免“作弊”，我们将坚持$W_n \geq 0$(您不能下注负金额)，并且$W_n=f_n\left(Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n-1}\right)$仅是先前下注结果的函数(在您选择下注金额之前，您无法知道下注结果)。这里的$f_n:{-1,1}^{n-1} \rightarrow \mathbf{R}^{\geq 0}$是固定的确定性函数，统称为赌博策略。(如果$W_n \equiv 1$对应每个$n$，那么这就相当于我们之前的赌博模型。)

请注意，$X_n=X_{n-1}+W_n Z_n$独立于$W_n$和$Z_n$，而$\mathbf{E}\left(Z_n\right)=p-q$。因此，$\mathbf{E}\left(X_n\right)=\mathbf{E}\left(X_{n-1}\right)+(p-q) \mathbf{E}\left(W_n\right)$。此外，既然$W_n \geq 0$，因此$\mathbf{E}\left(W_n\right) \geq 0$。由此得出
(a)如果$p=\frac{1}{2}$，则$\mathbf{E}\left(X_n\right)=\mathbf{E}\left(X_{n-1}\right)=\ldots=\mathbf{E}\left(X_0\right)=a$，使$\lim \mathbf{E}\left(X_n\right)=a$
(b)如果$p \leq \frac{1}{2}$，则$\mathbf{E}\left(X_n\right) \leq \mathbf{E}\left(X_{n-1}\right) \leq \ldots \leq \mathbf{E}\left(X_0\right)=a$，以便$\lim \mathbf{E}\left(X_n\right) \leq a$;
(c)如果$p \geq \frac{1}{2}$，则$\mathbf{E}\left(X_n\right) \geq \mathbf{E}\left(X_{n-1}\right) \geq \ldots \geq \mathbf{E}\left(X_0\right)=a$，使$\lim \mathbf{E}\left(X_n\right) \geq a$。
这看起来很简单，并且符合我们的直觉:如果$p \leq \frac{1}{2}$，那么玩家的期望值只会下降。故事结束了?
也许不是。考虑一下“双赢”政策，定义为
$$
W_1 \equiv 1 ; \quad W_n=\left{\begin{array}{cl}
2^{n-1}, & Z_1=Z_2=\ldots=Z_{n-1}=-1 \
0, & \text { otherwise }
\end{array}, \quad n \geq 2 .\right.
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写概率论Probability Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。概率论Probability Theory作为统计学的数学基础，对许多涉及数据定量分析的人类活动至关重要。概率论的方法也适用于对复杂系统的描述，只对其状态有部分了解，如在统计力学或顺序估计。二十世纪物理学的一个伟大发现是量子力学中描述的原子尺度的物理现象的概率性质。

概率论Probability Theory Math37500的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程（为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象，这些过程或测量量可能是单一发生的，或以随机方式随时间演变）。尽管不可能完美地预测随机事件，但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一组公理来表达它。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|ORIENTATION: SYM1\fETRIC DISTRIBUTIONS

We proceed to explain the use of the normal distribution as an approximation to the binomial with $p=\frac{1}{2}$.

There are two reasons for treating the special case $p=\frac{1}{2}$ separately. First, the calculations are much simpler and therefore convey a better idea of how the normal distribution enters the problem. Second, this special case was used in connection with random walks (see III,2), and it is therefore desirable to supply a proof which is not obscured by the technicalities required for unsymmetric distributions.

For definiteness we take $n=2 v$ even, and to simplify notations we put (2.1)
$$
a_k=b\left(\nu+k ; 2 \nu, \frac{1}{2}\right)
$$
that is, the $a_k$ are the terms of the symmetric binomial distribution renumbered so as to indicate the distance from the central term; $a_0$ is the central term, and $k$ runs from $-v$ to $v$. Since $a_{-k}=a_k$ we shall consider only $k \geq 0$.
(In the notation of chapter III we have $a_k=p_{2 v, 2 k}$; the following proof does not depend on notions developed after III, 2 and could be inserted there.)

To get an idea concerning the behavior of the sequence $a_0, a_1, a_2, \ldots$ we shall compare its general term with $a_0$ using the relation
$$
a_k=a_0 \cdot \frac{v(v-1) \cdots(v-k+1)}{(v+1)(v+2) \cdots(v+k)}
$$
which follows trivially from the definition.

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|THE DEMOIVRE-LAPLACE LIMIT THEOREM

We proceed to show how our approximations can be extended to the general binomial distribution with $p \neq \frac{1}{2}$. The procedure is the same, but the calculations are more involved. The first complication arises in connection with the central term of the distribution. As we saw in VI, (3.2), the index $m$ of the central term is the unique integer of the form
$$
m=n p+\delta
$$
$$
\text { with }-q<\delta \leq p
$$
The quantity $\delta$ will be ultimately neglected, but it occurs in the calculations. (In the case $p=\frac{1}{2}$ this was avoided by assuming $n=2 v$ even.)

As in the preceding section we now renumber the terms of the binomial distribution and write
$$
a_k=b(m+k ; n, p)=\left(\begin{array}{c}
n \
m+k
\end{array}\right) p^{m+k} q^{n-m-k} .
$$
For definiteness we consider $k>0$, but the same argument applies to $k<0$. (Alternatively, the range $k<0$ is covered by interchanging $p$ and q.) In analogy with (2.2) we have now
$$
a_k=a_0 \frac{(n-m)(n-m-1) \cdots(n-m-k+1) p^k}{(m+1)(m+2) \cdots(m+k) q^k} .
$$
This can be rewritten in the form
$$
a_k=a_0 \frac{\left(1-p t_0\right)\left(1-p t_1\right) \cdots\left(1-p t_{k-1}\right)}{\left(1+q t_0\right)\left(1+q t_1\right) \cdots\left(1+q t_{k-1}\right)}
$$
where we put for abbreviation
$$
t_j=\frac{j+\delta+q}{(n+1) p q} .
$$
We shall use (3.4) only for values of $k$ for which $t_k$ is small, say $t_k<\frac{1}{2}$. From the Taylor expansion II,(8.9) for the logarithm it is then clear that
$$
\frac{1-p t_j}{1+q t_j}=e^{-t_{j+} \cdots}
$$
where the omitted quantity is in absolute value less than $t_j^2$. Thus
$$
a_k=a_0 e^{-\left(t_0+\cdots+t_{k-1}\right)+\cdots}
$$

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|ORIENTATION: SYM1\fETRIC DISTRIBUTIONS

我们继续用$p=\frac{1}{2}$解释正态分布作为二项近似的用法。

单独处理$p=\frac{1}{2}$特殊情况有两个原因。首先，计算要简单得多，因此可以更好地理解正态分布是如何进入问题的。其次，这种特殊情况与随机漫步(见III,2)有关，因此需要提供一个不被非对称分布所需的技术细节所掩盖的证明。

为了明确起见，我们取$n=2 v$偶数，为了简化符号，我们用(2.1)
$$
a_k=b\left(\nu+k ; 2 \nu, \frac{1}{2}\right)
$$
即$a_k$为对称二项分布的项重新编号，以表示与中心项的距离;$a_0$是中心词，$k$从$-v$到$v$。由于$a_{-k}=a_k$，我们将只考虑$k \geq 0$。
(在第三章的注释中我们有$a_k=p_{2 v, 2 k}$;下面的证明并不依赖于第三、二之后发展出来的概念，可以插进去。)

为了了解序列$a_0, a_1, a_2, \ldots$的行为，我们将使用关系将其通称与$a_0$进行比较
$$
a_k=a_0 \cdot \frac{v(v-1) \cdots(v-k+1)}{(v+1)(v+2) \cdots(v+k)}
$$
这是由定义推导出来的。

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|THE DEMOIVRE-LAPLACE LIMIT THEOREM

我们继续用$p \neq \frac{1}{2}$展示我们的近似是如何扩展到一般二项分布的。程序是一样的，但计算更复杂。第一个复杂问题与分布的中心项有关。正如我们在VI(3.2)中所看到的，中心项的索引$m$是这种形式的唯一整数
$$
m=n p+\delta
$$
$$
\text { with }-q<\delta \leq p
$$
量$\delta$最终将被忽略，但它在计算中出现。(在$p=\frac{1}{2}$的例子中，通过假设$n=2 v$偶数可以避免这种情况。)

和上一节一样，我们现在对二项分布的项重新编号并写出
$$
a_k=b(m+k ; n, p)=\left(\begin{array}{c}
n \
m+k
\end{array}\right) p^{m+k} q^{n-m-k} .
$$
为确定起见，我们考虑$k>0$，但同样的论点也适用于$k<0$。(或者，通过交换$p$和q来覆盖范围$k<0$。)与(2.2)类似，我们现在有
$$
a_k=a_0 \frac{(n-m)(n-m-1) \cdots(n-m-k+1) p^k}{(m+1)(m+2) \cdots(m+k) q^k} .
$$
它可以写成这样
$$
a_k=a_0 \frac{\left(1-p t_0\right)\left(1-p t_1\right) \cdots\left(1-p t_{k-1}\right)}{\left(1+q t_0\right)\left(1+q t_1\right) \cdots\left(1+q t_{k-1}\right)}
$$
我们把缩写写在哪里
$$
t_j=\frac{j+\delta+q}{(n+1) p q} .
$$
我们将只对$t_k$较小的$k$值使用(3.4)，例如$t_k<\frac{1}{2}$。从对数的泰勒展开式II(8.9)可以清楚地看出
$$
\frac{1-p t_j}{1+q t_j}=e^{-t_{j+} \cdots}
$$
其中所省略的数量的绝对值小于$t_j^2$。因此
$$
a_k=a_0 e^{-\left(t_0+\cdots+t_{k-1}\right)+\cdots}
$$

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写概率论Probability Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。概率论Probability Theory作为统计学的数学基础，对许多涉及数据定量分析的人类活动至关重要。概率论的方法也适用于对复杂系统的描述，只对其状态有部分了解，如在统计力学或顺序估计。二十世纪物理学的一个伟大发现是量子力学中描述的原子尺度的物理现象的概率性质。

概率论Probability Theory Math37500的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程（为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象，这些过程或测量量可能是单一发生的，或以随机方式随时间演变）。尽管不可能完美地预测随机事件，但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一组公理来表达它。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|THE POISSON APPROXIMATION

In many applications we deal with Bernoulli trials where, comparatively speaking, $n$ is large and $p$ is small, whereas the product
$$
\lambda=n p
$$
is of moderate magnitude. In such cases it is convenient to use an approximation to $b(k ; n, p)$ which is due to Poisson and which we proceed to derive. For $k=0$ we have
$$
b(0 ; n, p)=(1-p)^n=\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n .
$$
Passing to logarithms and using the Taylor expansion II, (8.10), we find
$$
\log b(0 ; n, p)=n \log \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)=-\lambda-\frac{\lambda^2}{2 n}-\cdots
$$
so that for large $n$
$$
b(0 ; n, p) \approx e^{-\lambda},
$$
where the sign $\approx$ is used to indicate approximate equality (in the present case up to terms of order of magnitude $n^{-1}$ ). Furthermore, from (3.1) it is seen that for any fixed $k$ and sufficiently large $n$
$$
\frac{b(k ; n, p)}{b(k-1 ; n, p)}=\frac{\lambda-(k-1) p}{k q} \approx \frac{\lambda}{k} .
$$
From this we conclude successively that
$$
\begin{aligned}
& b(1 ; n, p) \approx \lambda \cdot b(0 ; n, p) \approx \lambda e^{-\lambda} \
& b(2 ; n, p) \approx \frac{1}{2} \lambda \cdot b(1 ; n, p) \approx \frac{1}{2} \lambda^2 e^\lambda
\end{aligned}
$$
and generally by induction
$$
b(k ; n, p) \approx \frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda} .
$$
This is the classical Poisson approximation to the binomial distribution. ${ }^7$ In view of its great importance we introduce the notation
$$
p(k ; \lambda)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k !}
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|THE POISSON DISTRIBUTION

In the preceding section the Poisson probabilities (5.7) appear merely as a convenient approximation to the binomial distribution in the case of large $n$ and small $p$. In connection with the matching and occupancy problems of chapter IV we have studied different probability distributions, which have also led to the Poisson expressions $p(k ; \lambda)$ as a limiting form. We have here a special case of the remarkable fact that there exist a few distributions of great universality which occur in a surprisingly great variety of prublems. The three principal distributions, with ramifications throughout probability theory, are the binomial distribution, the normal distribution (to be introduced in the following chapter), and the Poisson distribution
$$
p(k ; \lambda)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k !}
$$
which we shall now consider on its own merits.

We note first that on adding the quantities (6.1) for $k=0,1,2, \ldots$ we get on the right side $e^{-\lambda}$ times the Taylor series for $e^\lambda$. Hence for any fixed $\lambda$ the quantities $p(k ; \lambda)$ add to unity, and therefore it is possible to conceive of an ideal experiment in which $p(k ; \lambda)$ is the probability of exactly $k$ successes. We shall now indicate why many physical experiments and statistical observations actually lead to such an interpretation of (6.1). The examples of the next section will illustrate the wide range and the importance of various applications of (6.1). The true nature of the Poisson distribution will become apparent only in connection with the theory of stochastic processes (cf. the new approaches in XII,2 and XVII,2).

Consider a sequence of random events occurring in time, such as radioactive disintegrations, or incoming calls at a telephone exchange. Each event is represented by a point on the time axis, and we are concerned with chance distributions of points. There exist many different types of such distributions, but their study belongs to the domain of continuous probabilities which we have postponed to the second volume. Here we shall be content to show that the simplest physical assumptions lead to $p(k ; \lambda)$ as the probability of finding exactly $k$ points (events) within a fixed interval of specified length. Our methods are necessarily crude, and we shall return to the same problem with more adequate methods in chapters XII and XVII.

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|THE POISSON APPROXIMATION

在许多应用中，我们处理伯努利试验，相对而言，$n$大，$p$小，而乘积
$$
\lambda=n p
$$
是中等大小的。在这种情况下，使用$b(k ; n, p)$的近似是方便的，它是由泊松引起的，我们继续推导它。对于$k=0$我们有
$$
b(0 ; n, p)=(1-p)^n=\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n .
$$
传递到对数并使用泰勒展开式II，(8.10)，我们发现
$$
\log b(0 ; n, p)=n \log \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)=-\lambda-\frac{\lambda^2}{2 n}-\cdots
$$
对于大的$n$
$$
b(0 ; n, p) \approx e^{-\lambda},
$$
其中，$\approx$符号用于表示近似相等(在本例中，直至$n^{-1}$数量级)。更进一步，由(3.1)可知，对于任何固定的$k$且足够大的$n$
$$
\frac{b(k ; n, p)}{b(k-1 ; n, p)}=\frac{\lambda-(k-1) p}{k q} \approx \frac{\lambda}{k} .
$$
由此我们依次得出:
$$
\begin{aligned}
& b(1 ; n, p) \approx \lambda \cdot b(0 ; n, p) \approx \lambda e^{-\lambda} \
& b(2 ; n, p) \approx \frac{1}{2} \lambda \cdot b(1 ; n, p) \approx \frac{1}{2} \lambda^2 e^\lambda
\end{aligned}
$$
一般通过归纳法
$$
b(k ; n, p) \approx \frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda} .
$$
这是二项分布的经典泊松近似。${ }^7$考虑到它的重要性，我们引入这个符号
$$
p(k ; \lambda)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k !}
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|THE POISSON DISTRIBUTION

在前一节中，泊松概率(5.7)只是作为二项分布在大$n$和小$p$情况下的方便近似值。结合第四章的匹配和占用问题，我们研究了不同的概率分布，这也导致了泊松表达式$p(k ; \lambda)$作为一种极限形式。这里我们有一个特殊的例子，它说明了一个显著的事实，即存在着一些具有极大普遍性的分布，它们出现在惊人地多的问题中。概率论的三个主要分布是二项分布、正态分布(将在下一章中介绍)和泊松分布
$$
p(k ; \lambda)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k !}
$$
现在我们将根据其本身的优点来考虑。

我们首先注意到，将$k=0,1,2, \ldots$的量(6.1)相加，右边得到$e^{-\lambda}$乘以$e^\lambda$的泰勒级数。因此，对于任何一个固定的$\lambda$，数量$p(k ; \lambda)$相加为一，因此就有可能设想一个理想的实验，其中$p(k ; \lambda)$正好是$k$成功的概率。现在我们将说明为什么许多物理实验和统计观察实际上会导致(6.1)的这种解释。下一节的示例将说明(6.1)的各种应用的广泛范围和重要性。泊松分布的真正性质只有在与随机过程理论相联系时才会变得明显(参见第十二、二和第十七、二节的新方法)。

考虑在时间上发生的一系列随机事件，例如放射性衰变，或电话交换机的来电。每个事件由时间轴上的一个点表示，我们关心的是点的概率分布。存在许多不同类型的这种分布，但它们的研究属于连续概率的领域，我们将其推迟到第二卷。在这里，我们将满足地表明，最简单的物理假设导致$p(k ; \lambda)$作为在规定长度的固定间隔内精确地找到$k$点(事件)的概率。我们的方法必然是粗糙的，我们将在第十二章和第十七章以更适当的方法回到同样的问题上来。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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概率论Probability Theory Math37500的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程（为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象，这些过程或测量量可能是单一发生的，或以随机方式随时间演变）。尽管不可能完美地预测随机事件，但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一组公理来表达它。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|STOCHASTIC INDEPENDENCE

In the examples above the conditional probability $\mathbf{P}{A \mid H}$ generally does not equal the absolute probability $\mathbf{P}{A}$. Popularly speaking, the information whether $H$ has occurred changes our way of betting on the event $A$. Only when $\mathbf{P}{A \mid H}=\mathbf{P}{A}$ this information does not permit any inference about the occurrence of $A$. In this case we shall say that $A$ is stochastically independent of $H$. Now (1.5) shows that the condition $\mathbf{P}{A \mid H}=\mathbf{P}{A}$ can be written in the form
$$
\mathbf{P}{A H}=\mathbf{P}{A} \cdot \mathbf{P}{H} .
$$
This equation is symmetric in $A$ and $H$ and shows that whenever $A$ is stochastically independent of $H$, so is $H$ of $A$. It is therefore preferable to start from the following symmetric

Definition 1. Two events $A$ and $H$ are said to be stochastically independent (or independent, for short) if equation (3.1) holds. This definition is accepted also if $\mathbf{P}{H}=0$, in which case $\mathbf{P}{A \mid H}$ is not defined. The term statistically independent is synonymous with stochastically independent.

In practice one usually has the correct feeling that certain events must be stochastically independent, or else the probabilistic model would be absurd. As the following examples will show, there exist nevertheless situations in which the stochastic independence can be discovered only by computation.

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|PROD’ rCT SPACES INDEPENDENT TRIALS

We are now finally in a position to introduce the mathematical counterpart of empirical procedures which are commonly described by phrases such as continued experimentation, repeated observation, merging of two samples, combining two experiments and treating them as parts of a whole, etc. Specifically, the notion of independent trials corresponds to the intuitive concept of “experiments repeated under identical conditions.” This notion is basic for probability theory and will add more realism to the examples treated so far.

We first require a notion that is by no means specific for probability theory. The combinatorial product of two sets $A$ and $B$ is the set of all ordered pairs $(a, b)$ of their elements. We shall denote ${ }^4$ it by $(A, B)$. The definition carries over trivially to triples $(A, B, C)$, quadruples $(A, B, C, D)$, and even to infinite sequences.

The notion of combinatorial product is so natural that we have used it implicitly several times. For example, the conceptual experiment of tossing a coin three times is described by a sample space of eight points, namely the triples that can be formed with two letters $H$ and $T$. This amounts to saying that the sample space is the combinatorial product of three spaces, each of which consists of the two points (elements) $H$ and $T$. More generally, when we speak of two successive trials we refer to a sample space $\Xi$ whose points represent the pairs of possible outcomes, and so $\mathfrak{\Xi}$ is the combinatorial product of the two sample spaces corresponding to the individual trials. Given any two conceptual experiments with sample spaces $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$, it is possible to consider them simultaneously or in succession. This amounts to considering pairs of possible outcomes, that is, to introduce the combinatorial product $(\mathfrak{U}, \mathfrak{B})$ as a new sample space. The question then arises as to how probabilities should be defined in this new sample space. The answer varies with circumstances, but before considering this point we turn to two examples which will clarify ideas and explain the prevalent terminology.

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|STOCHASTIC INDEPENDENCE

在上面的例子中，条件概率$\mathbf{P}{A \mid H}$通常不等于绝对概率$\mathbf{P}{A}$。一般来说，$H$是否发生的信息改变了我们对该事件$A$的投注方式。只有当$\mathbf{P}{A \mid H}=\mathbf{P}{A}$此信息不允许对$A$的发生进行任何推断时。在这种情况下，我们可以说$A$随机独立于$H$。现在(1.5)展示了条件$\mathbf{P}{A \mid H}=\mathbf{P}{A}$可以写成这样的形式
$$
\mathbf{P}{A H}=\mathbf{P}{A} \cdot \mathbf{P}{H} .
$$
这个方程在$A$和$H$中是对称的，并且表明每当$A$随机独立于$H$时，$H$也随机独立于$A$。因此，最好从下面的对称开始

定义:如果式(3.1)成立，则称两个事件$A$和$H$是随机独立的(简称独立)。如果$\mathbf{P}{H}=0$也接受这个定义，在这种情况下$\mathbf{P}{A \mid H}$没有定义。统计独立一词与随机独立同义。

在实践中，人们通常有一种正确的感觉，即某些事件必须是随机独立的，否则概率模型将是荒谬的。正如下面的例子所示，仍然存在只能通过计算来发现随机独立性的情况。

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|PROD’ rCT SPACES INDEPENDENT TRIALS

现在我们终于可以介绍经验过程的数学对应了，这些经验过程通常被描述为持续实验，重复观察，合并两个样本，结合两个实验并将它们视为整体的一部分，等等。具体来说，独立试验的概念与“在相同条件下重复实验”的直观概念相对应。这个概念是概率论的基础，并将为迄今为止所处理的示例增加更多的现实性。

我们首先需要一个对概率论来说绝不是特定的概念。两个集合$A$和$B$的组合积是它们的元素的所有有序对$(a, b)$的集合。我们用$(A, B)$表示${ }^4$。这个定义适用于三元组$(A, B, C)$、四元组$(A, B, C, D)$，甚至无限序列。

组合积的概念是如此自然，以至于我们已经隐式地使用它好几次了。例如，掷三次硬币的概念实验用八个点的样本空间来描述，即两个字母$H$和$T$可以组成的三元组。这相当于说样本空间是三个空间的组合积，每个空间由两个点(元素)$H$和$T$组成。更一般地说，当我们谈到两个连续的试验时，我们指的是一个样本空间$\Xi$，它的点代表可能的结果对，因此$\mathfrak{\Xi}$是对应于单个试验的两个样本空间的组合积。给定任意两个样本空间$\mathfrak{A}$和$\mathfrak{B}$的概念实验，可以同时或连续地考虑它们。这相当于考虑成对的可能结果，即引入组合积$(\mathfrak{U}, \mathfrak{B})$作为新的样本空间。接下来的问题是如何在这个新的样本空间中定义概率。答案因环境而异，但在考虑这一点之前，我们先看两个例子，它们将澄清观点并解释流行的术语。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|GENERAL ORIENTATION. THE REFLECTION PRINCIPLE

From a formal point of view we shall be concerned with arrangements of finitely many plus ones and minus ones. Consider $n=p+q$ symbols $\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n$, each standing either for +1 or for -1 ; suppose that there are $p$ plus ones and $q$ minus ones. The partial sum $s_k=\epsilon_1+\cdots+\epsilon_k$ represents the difference between the number of pluses and minuses occurring at the first $k$ places. Then
$$
s_k-s_{k-1}=\epsilon_c= \pm 1, \quad s_0=0, \quad s_n=p-q,
$$
where $k=1,2, \ldots, n$.
We shall use a geometric terminology and refer to rectangular coordinates $t, x$; for definiteness we imagine the $t$-axis is horizontal, the $x$-axis vertical. The arrangement $\left(\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n\right)$ will be represented by a polygonal line whose $k$ th side has slope $\epsilon_k$ and whose $k$ th vertex has ordinate $s_k$. Such lines will be called paths.

Definition. Let $n>0$ and $x$ be integers. A path $\left(s_1, s_2, \ldots, s_n\right)$ from the origin to the point $(n, x)$ is a polygonal line whose vertices have abscissas $0,1, \ldots, n$ and ordinates $s_0, s_1, \ldots, s_n$ satisfying (1.1) with $s_n=x$.

We shall refer to $n$ as the length of the path. There are $2^n$ paths of length $n$. If $p$ among the $\epsilon_k$ are positive and $q$ are negative, then
$$
n=p+q, \quad x=p-q .
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|RANDOM WALKS: BASIC NOTIONS AND NOTATIONS

The ideal coin-tossing game will now be described in the terminology of random walks which has greater intuitive appeal and is better suited for generalizations. As explained in the preceding example, when a path $\left(s_1, \ldots, s_\rho\right)$ is taken as record of $\rho$ successive coin tossings the partial sums $s_1, \ldots, s_\rho$ represent the successive cumulative gains. For the geometric description it is convenient to pretend that the tossings are performed at a uniform rate so that the $n$th trial occurs at epoch ${ }^6 n$. The successive partial sums $s_1, \ldots, s_n$ will be marked as points on the vertical $x$-axis; they will be called the positions of a “particle” performing a random walk. Note that the particle moves in unit steps, up or down, on a line. A path represents the record of such a movement. For example, the path from $O$ to $N$ in figure 1 stands for a random walk of six steps terminating by a return to the origin.

Each path of length $\rho$ can be interpreted as the outcome of a random walk experiment; there are $2^\rho$ such paths, and we attribute probability $2^{-\rho}$ to each. (Different assignments will be introduced in chapter XIV. To distinguish it from others the present random walk is called symmetric.)
We have now completed the definition of the sample space and of the probabilities in it, but the dependence on the unspecified number $\rho$ is disturbing. To see its role consider the event that the path passes through the point $(2,2)$. The first two steps must be positive, and there are $2^{\rho-2}$ paths with this property. As could be expected, the probability of our event therefore equals $\frac{1}{4}$ regardless of the value of $\rho$. More generally, for any $k \leq \rho$ it is possible to prescribe arbitrarily the first $k$ steps, and exactly $2^{\rho-k}$ paths will satisfy these $k$ conditions. It follows that an event determined by the first $k \leq \rho$ steps has a probability independent of $\rho$. In practice, therefore, the number $\rho$ plays no role provided it is sufficiently large. In other words, any path of length $n$ can be taken as the initial section of a very long path, and there is no need to specify the latter length. Conceptually and formally it is most satisfactory to consider unending sequences of trials, but this would require the use of nondenumerable sample spaces. In the sequel it is therefore understood that the length $\rho$ of the paths constituting the sample space is larger than the number of steps occurring in our formulas. Except for this we shall be permitted, and glad, to forget about $\rho$.

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|GENERAL ORIENTATION. THE REFLECTION PRINCIPLE

从正式的观点来看，我们将关注有限个正1和负1的排列。考虑$n=p+q$符号$\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n$，每个代表+1或-1;假设有$p$ + 1和$q$ – 1。部分和$s_k=\epsilon_1+\cdots+\epsilon_k$表示出现在前$k$位的正负数之差。然后
$$
s_k-s_{k-1}=\epsilon_c= \pm 1, \quad s_0=0, \quad s_n=p-q,
$$
在哪里$k=1,2, \ldots, n$。
我们将使用几何术语并参考直角坐标$t, x$;为了明确起见，我们假设$t$ -轴是水平的，$x$ -轴是垂直的。排列$\left(\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n\right)$将由一条多边形线表示，其$k$条边的斜率为$\epsilon_k$，其$k$条顶点的纵坐标为$s_k$。这样的线称为路径。

定义。设$n>0$和$x$为整数。从原点到点$(n, x)$的路径$\left(s_1, s_2, \ldots, s_n\right)$是一条多边形线，其顶点的横坐标为$0,1, \ldots, n$，纵坐标为$s_0, s_1, \ldots, s_n$满足$s_n=x$(1.1)。

我们将把$n$作为路径的长度。有$2^n$条路径，长度为$n$。如果$\epsilon_k$中$p$为正，$q$为负，则
$$
n=p+q, \quad x=p-q .
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|RANDOM WALKS: BASIC NOTIONS AND NOTATIONS

理想的抛硬币游戏现在将用随机游走的术语来描述，它具有更直观的吸引力，更适合于一般化。正如在前面的例子中所解释的，当一条路径$\left(s_1, \ldots, s_\rho\right)$被作为$\rho$连续投掷硬币的记录时，部分和$s_1, \ldots, s_\rho$表示连续的累积收益。对于几何描述，可以方便地假定抛掷以统一的速率进行，以便$n$试验发生在历元${ }^6 n$。连续的部分和$s_1, \ldots, s_n$将被标记为垂直$x$ -轴上的点;它们将被称为执行随机漫步的“粒子”的位置。注意粒子在直线上以单位步长向上或向下运动。路径代表了这种运动的记录。例如，图1中从$O$到$N$的路径表示六步随机游走，最终返回原点。

每条长度为$\rho$的路径可以解释为随机行走实验的结果;有$2^\rho$这样的路径，我们将概率属性为$2^{-\rho}$。(第十四章将介绍不同的作业。为了区别于其他的随机漫步，我们把它叫做对称漫步。
我们现在已经完成了样本空间和其中概率的定义，但是对未指定数字$\rho$的依赖令人不安。要了解它的作用，请考虑路径经过$(2,2)$点的事件。前两个步骤必须是正的，并且有$2^{\rho-2}$路径具有此属性。正如可以预料的那样，无论$\rho$的值是多少，事件发生的概率都等于$\frac{1}{4}$。更一般地说，对于任何$k \leq \rho$，都可以任意指定第一个$k$步骤，并且确切的$2^{\rho-k}$路径将满足这些$k$条件。由此可见，由第一个$k \leq \rho$步骤确定的事件具有与$\rho$无关的概率。因此，在实践中，只要数字$\rho$足够大，它就不起作用。也就是说，任何长度为$n$的路径都可以作为一条很长的路径的初始段，不需要指定后一段的长度。从概念上和形式上来说，考虑无穷无尽的试验序列是最令人满意的，但这需要使用不可计数的样本空间。因此，在续文中可以理解，构成样本空间的路径的长度$\rho$大于公式中出现的步数。除此之外，我们将被允许并且高兴地忘记$\rho$。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写概率论Probability Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。概率论Probability Theory作为统计学的数学基础，对许多涉及数据定量分析的人类活动至关重要。概率论的方法也适用于对复杂系统的描述，只对其状态有部分了解，如在统计力学或顺序估计。二十世纪物理学的一个伟大发现是量子力学中描述的原子尺度的物理现象的概率性质。

概率论Probability Theory Math37500的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程（为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象，这些过程或测量量可能是单一发生的，或以随机方式随时间演变）。尽管不可能完美地预测随机事件，但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一组公理来表达它。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Bose-Einstein and Fermi-Dirac statistics

Consider a mechanical system of $r$ indistinguishable particles. In statistical mechanics it is usual to subdivide the phase space into a large number, $n$, of small regions or cells so that each particle is assigned to one cell. In this way the state of the entire system is described in terms of a random distribution of the $r$ particles in $n$ cells. Offhand it would seem that (at least with an appropriate definition of the $n$ cells) all $n^r$ arrangements should have equal probabilities. If this is true, the physicist speaks of Maxwell-Boltzmann statistics (the term “statistics” is here used in a sense peculiar to physics). Numerous attempts have been made to prove that physical particles behave to accordance with Maxwell-Boltzmann statistics, but modern theory has shown beyond doubt that this statistics does not apply to any known particles; in no case are all $n^r$ arrangements approximately equally probable. Two different probability models have been introduced, and each describes satisfactorily the behavior of one type of particle. The justification of either model depends on its success. Neither claims universality, and it is possible that some day a third model may bc introduced for certain kind of particles.

Remember that we are here concerned only with indistinguishable particles. We have $r$ particles and $n$ cells. By Bose-Einstein statistics we mean that only distinguishable arrangements are considered and that each is assigned probability $1 / A_{r, n}$ with $A_{r, n}$ defined in (5.2). It is shown in statistical mechanics that this assumption holds true for photons, nuclei, and atoms containing an even number of elementary particles. ${ }^8$ To describe other particles a third possible assignment of probabilities must be introduced. Fermi-Dirac statistics is based on these hypotheses: (1) it is impossible for two or more particles to be in the same cell, and (2) all distinguishable arrangements satisfying the first condition have equal probabilities. The first hypothesis requires that $r \leq n$. An arrangement is then completely described by stating which of the $n$ cells contain a particle; and since there are $r$ particles, the corresponding cells can be chosen in $\left(\begin{array}{l}n \ r\end{array}\right)$ ways. Hence, with Fermi-Dirac statistics there are in all $\left(\begin{array}{l}n \ r\end{array}\right)$ possible arrangements, each having probability $\left(\begin{array}{l}n \ r\end{array}\right)^{-1}$. This model applies to electrons, neutrons, and protons. We have here an instructive example of the impossibility of selecting or justifying probability models by a priori arguments. In fact, no pure reasoning could tell that photons and protons would not obey the same probability laws. (Essential differences between Maxwell-Boltzmann and Bose-Einstein statistics are discussed in section 11 , problems $14-19$. )

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Application to Runs

In any ordered sequence of elements of two kinds, each maximal subsequence of elements of like kind is called a run. For example, the sequence $\alpha \alpha \alpha \beta \alpha \alpha \beta \beta \beta \alpha$ opens with an alpha run of length 3 ; it is followed by runs of length $1,2,3,1$, respectively. The alpha and beta runs alternate so that the total number of runs is always one plus the number of conjunctions of unlike neighbors in the given sequence.

Examples of applications. The theory of runs is applied in statistics in many ways, but its principal uses are connected with tests of randomness or tests of homogeneity.
(a) In testing randomness, the problem is to decide whether a given observation is attributable to chance or whether a search for assignable causes is indicated. As a simple example suppose that an observation ${ }^9$ yielded the following arrangement of empty and occupied seats along a lunch counter: EOEEOEEEOEEEOEOE. Note that no two occupied seats are adjacent. Can this be due to chance? With five occupied and eleven empty seats it is impossible to get more than eleven runs, and this number was actually observed. It will be shown later that if all arrangements were equally probable the probability of eleven runs would be $0.0578 \ldots$. This small probability to some extent confirms the hunch that the separations observed were intentional. This suspicion cannot be proved by statistical methods, but further evidence could be collected from continued observation. If the lunch counter were frequented by families, there would be a tendency for occupants to cluster together. and this would lead to relatively small numbers of runs. Similarly counting runs of boys and girls in a classroom might disclose the mixing to be better or worse than random. Improbable arrangements give clues to assignable causes; an excess of runs points to intentional mixing, a paucity of runs to intentional clustering. It is true that these conclusions are never foolproof, but efficient statistical techniques have been developed which in actual practice minimize the risk of incorrect conclusions.

The theory of runs is also useful in industrial quality control as introduced by Shewhart. As washers are produced, they will vary in thickness. Long runs of thick washers may suggest imperfections in the production process and lead to the removal of the causes; thus oncoming trouble may be forestalled and greater homogeneity of product achieved.

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Bose-Einstein and Fermi-Dirac statistics

考虑一个由$r$不可区分粒子组成的机械系统。在统计力学中，通常将相空间细分为大量的小区域或小单元$n$，以便将每个粒子分配给一个单元。这样，整个系统的状态就可以用$n$细胞中$r$粒子的随机分布来描述。乍一看，似乎(至少根据$n$单元的适当定义)所有$n^r$排列应该具有相等的概率。如果这是真的，物理学家说的是麦克斯韦-玻尔兹曼统计学(“统计学”一词在这里是在物理学特有的意义上使用的)。人们做了许多尝试来证明物理粒子的行为符合麦克斯韦-玻尔兹曼统计，但现代理论已经毫无疑问地表明，这种统计并不适用于任何已知的粒子;在任何情况下，所有$n^r$安排的概率都不可能大致相等。介绍了两种不同的概率模型，每种模型都能令人满意地描述一种粒子的行为。这两种模式的合理性取决于其成功与否。这两种模型都不具有普适性，而且有可能在某一天为某些粒子引入第三种模型。

记住，我们在这里只关心不可区分的粒子。我们有$r$粒子和$n$细胞。通过玻色-爱因斯坦统计，我们的意思是只考虑可区分的排列，并且每个排列都被赋予概率$1 / A_{r, n}$，其中$A_{r, n}$定义在(5.2)中。统计力学表明，这一假设对含有偶数个基本粒子的光子、原子核和原子都成立。${ }^8$为了描述其他粒子，必须引入第三种可能的概率赋值。费米-狄拉克统计基于以下假设:(1)两个或两个以上的粒子不可能在同一个细胞中，(2)满足第一个条件的所有可区分排列具有相等的概率。第一个假设要求$r \leq n$。然后通过说明$n$细胞中哪一个包含粒子来完整地描述一种排列;由于有$r$粒子，相应的细胞可以通过$\left(\begin{array}{l}n \ r\end{array}\right)$的方式选择。因此，在费米-狄拉克统计中，有$\left(\begin{array}{l}n \ r\end{array}\right)$种可能的排列，每种排列的概率为$\left(\begin{array}{l}n \ r\end{array}\right)^{-1}$。这个模型适用于电子、中子和质子。我们这里有一个有启发性的例子，说明不可能通过先验论证来选择或证明概率模型。事实上，没有任何纯粹的推理能够说明光子和质子不遵循相同的概率定律。(麦克斯韦-玻尔兹曼统计和玻色-爱因斯坦统计的本质区别在第11节问题$14-19$中讨论。)

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Application to Runs

在任意两类元素的有序序列中，同类元素的每个最大子序列称为一次运行。例如，序列$\alpha \alpha \alpha \beta \alpha \alpha \beta \beta \beta \alpha$以长度为3的alpha序列开始;后面分别是长度为$1,2,3,1$的运行。和交替运行，所以总运行次数总是1加上给定序列中不同邻居的连词数。

应用程序示例。运行理论在统计学中应用于许多方面，但其主要用途与随机性检验或同质性检验有关。
(a)在检验随机性时，问题是决定一个给定的观察结果是归因于偶然还是表明要寻找可分配的原因。举个简单的例子，假设通过观察${ }^9$得到了一个午餐柜台上的空位和有人的座位排列:eoeeoeeeeeeeoeoe。请注意，没有两个被占用的座位是相邻的。这是偶然吗?5个座位坐满，11个座位空着，不可能超过11个座位，而这个数字实际上是观察到的。稍后将说明，如果所有排列都是等概率的，则11次运行的概率为$0.0578 \ldots$。这个小概率在某种程度上证实了观察到的分离是故意的预感。这种怀疑不能用统计方法证明，但可以从继续观察中收集进一步的证据。如果午餐柜台经常有家庭光顾，那么就会有住户聚集在一起的趋势。这将导致相对较少的运行次数。同样，计算一个教室里男孩和女孩的人数可能会揭示混合比随机更好或更差。不可能的安排为可分配的原因提供了线索;过多的运行表明有意混合，运行不足表明有意集群。的确，这些结论从来都不是万无一失的，但是有效的统计技术已经被开发出来，在实际操作中可以最大限度地减少得出错误结论的风险。

正如Shewhart所介绍的，运行理论在工业质量控制中也很有用。在生产垫圈时，它们的厚度会有所不同。长时间运行厚垫圈可能表明生产过程中存在缺陷，并导致原因的消除;这样一来，迎面而来的麻烦就可以得到预防，产品的同质化程度也会提高。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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概率论Probability Theory Math37500的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程（为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象，这些过程或测量量可能是单一发生的，或以随机方式随时间演变）。尽管不可能完美地预测随机事件，但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一组公理来表达它。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|RELATIONS A.MONG EVENTS

We shall now suppose that an arbitrary, but fixed, sample space $\mathfrak{S}$ is given. We use capitals to denote events, that is, sets of sample points. The fact that a point $x$ is contained in the event $A$ is denoted by $x \in A$.

Thus $x \in \subseteq$ for every point $x$. We write $A=B$ only if the two events consist of exactly the same points.

In general, events will be defined by certain conditions on their points, and it is convenient to have a symbol to express the fact that no point satisfies a specified set of conditions. The next definition serves this purpose.
Definition 1. We shall use the notation $A=0$ to express that the event A contains no sample points (is impossible). The zero must be interpreted in a symbolic sense and not as the numeral.

To every event $A$ there corresponds another event defined by the condition ” $A$ does not occur.” It contains all points not contained in $A$.
Definition 2. The event consisting of all points not contained in the event $A$ will be called the complementary event (or negation) of $A$ and will be denoted by $A^{\prime}$. In particular, $\mathfrak{S}^{\prime}=0$.

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|DISCRETE SAMPLE SPACES

The simplest sample spaces are those containing only a finite number, $n$, of points. If $n$ is fairly small (as in the case of tossing a few coins), it is easy to visualize the space. The space of distributions of cards in bridge is more complicated, but we may imagine each sample point represented on a chip and may then consider the collection of these chips as representing the sample space. An event $A$ (like “North has two aces”) is represented by a certain set of chips, the complement $A^{\prime}$ by the remaining ones. It takes only one step from here to imagine a bowl with infinitely many chips or a sample space with an infinite sequence of points $E_1, E_2, E_3, \ldots$

Examples. (a) Let us toss a coin as often as necessary to turn up one head. The points of the sample space are then $E_1=H, E_2=T H$, $E_3=T T H, E_4=T T T H$, etc. We may or may not consider as thinkable the possibility that $H$ never appears. If we do, this possibility should be represented by a point $E_0$.
(b) Three players $a, b, c$ take turns at a game, such as chess, according to the following rules. At the start $a$ and $b$ play while $c$ is out. The loser is replaced by $c$ and at the second trial the winner plays against $c$ while the loser is out. The game continues in this way until a player wins twice in succession, thus becoming the winner of the game. For simplicity we disregard the possibility of ties at the individual trials. The possible outcomes of our game are then indicated by the following scheme:
() $a a, a c c, a c b b$, acbaa, acbacc, acbacbb, acbacbaa,… $b b, \quad b c c, \quad b c a a, b c a b b, \quad b c a b c c, \quad b c a b c a a, \quad b c a b c a b b, \ldots$. In addition, it is thinkable that no player ever wins twice in succession, in which case the play continues indefinitely according to one of the patterns $( *)$ acbacbacbacb…, bcabcabcabca…

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|RELATIONS A.MONG EVENTS

现在我们假设给定了一个任意但固定的样本空间$\mathfrak{S}$。我们用大写字母来表示事件，即一组样本点。点$x$包含在事件$ a $中，这一事实在a $中用$x \表示。

因此$x \in \subseteq$对于每个点$x$。只有当两个事件由完全相同的点组成时，我们才写A=B。

一般来说，事件将由它们的点上的某些条件来定义，用一个符号来表示没有点满足一组特定条件的事实是很方便的。下一个定义就是为了这个目的。
定义1。我们将使用符号$A=0$来表示事件A不包含样本点(不可能)。必须在符号意义上解释零，而不是作为数字。

对于每个事件$A$，都对应另一个由条件“$A$未发生”定义的事件。它包含所有不包含在$A$中的点。
定义2。由事件$A$中未包含的所有点组成的事件称为$A$的互补事件(或否定事件)，并用$A^{\素数}$表示。特别地，$\mathfrak{S}^{\prime}=0$。

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|DISCRETE SAMPLE SPACES

最简单的样本空间是那些只包含有限个数($n$)点的样本空间。如果$n$相当小(就像扔几个硬币的情况一样)，那么很容易将空间可视化。桥牌中牌的分布空间更复杂，但我们可以想象每个样本点表示在一个芯片上，然后可以考虑这些芯片的集合表示样本空间。事件$A$(如“北有两张A”)由一组特定的筹码表示，补体$A^{\素数}$由其余的筹码表示。从这里开始，只需要一步就可以想象一个有无限多芯片的碗，或者一个有无限序列点E_1, E_2, E_3， \ldots$的样本空间

的例子。(a)让我们尽可能多地掷硬币，选出一个人头朝上。则样本空间的点依次为$E_1=H， $ E_2=T H$， $E_3=T T H， $ E_4=T T T H$，以此类推。我们可能会，也可能不会认为$H$永远不会出现的可能性是可以想象的。如果我们这样做，这种可能性应该由点E_0表示。
(b)三个棋手a、b、c按下列规则轮流下棋，如象棋。开始时，a、b两种货币都有，而c则没有。输家被$c$取代，在第二次试验中，赢家与$c$对抗，而输家出局。游戏以这种方式继续下去，直到一个玩家连续赢两次，从而成为游戏的赢家。为简单起见，我们不考虑在个别试验中出现联系的可能性。我们的游戏的可能结果由以下方案表示:
() $a a, acc, acbb $， $b b， $b b， $b b， $b b， $b b， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $b b c， $ c。此外，可以想象的是，没有玩家连续两次获胜，在这种情况下，游戏按照模式之一$(*)$ acbacbacbacb…，bcabcabcabca…无限地继续下去。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写概率论Probability Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。概率论Probability Theory作为统计学的数学基础，对许多涉及数据定量分析的人类活动至关重要。概率论的方法也适用于对复杂系统的描述，只对其状态有部分了解，如在统计力学或顺序估计。二十世纪物理学的一个伟大发现是量子力学中描述的原子尺度的物理现象的概率性质。

概率论Probability Theory Math37500的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程（为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象，这些过程或测量量可能是单一发生的，或以随机方式随时间演变）。尽管不可能完美地预测随机事件，但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一组公理来表达它。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Various inequalities

We begin with two very important inequalities about random variables.
Proposition 5.1.1. (Markov’s inequality.) If $X$ is a non-negative random variable, then for all $\alpha>0$,
$$
\mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X) / \alpha
$$
In words, the probability that $X$ exceeds $\alpha$ is bounded above by its mean divided by $\alpha$.
Proof. Define a new random variable $Z$ by
$$
Z(\omega)= \begin{cases}\alpha, & X(\omega) \geq \alpha \ 0, & X(\omega)<\alpha .\end{cases}
$$
Then clearly $Z \leq X$, so that $\mathbf{E}(Z) \leq \mathbf{E}(X)$ by the order-preserving property. On the other hand, we compute that $\mathbf{E}(Z)=\alpha \mathbf{P}(X \geq \alpha)$. Hence, $\alpha \mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X)$.

Markov’s inequality applies only to non-negative random variables, but it immediately implies another inequality which holds more generally:

Proposition 5.1.2. (Chebychev’s inequality.) Let $Y$ be an arbitrary random variable, with finite mean $\mu_Y$. Then for all $\alpha>0$,
$$
\mathbf{P}\left(\left|Y-\mu_Y\right| \geq \alpha\right) \leq \operatorname{Var}(Y) / \alpha^2
$$
In words, the probability that $Y$ differs from its mean by more than $\alpha$ is bounded above by its variance divided by $\alpha^2$.

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Convergence of random variables

If $Z, Z_1, Z_2, \ldots$ are random variables defined on some $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, what does it mean to say that $\left{Z_n\right}$ converges to $Z$ as $n \rightarrow \infty$ ?

One notion we have already seen (cf. Theorem 4.2.2) is pointwise convergence, i.e. $\lim {n \rightarrow \infty} Z_n(\omega)=Z(\omega)$. A slightly weaker notion which often arises is convergence almost surely (or, a.s. or with probability 1 or w.p. 1 or almost everywhere), meaning that $\mathbf{P}\left(\lim {n \rightarrow \infty} Z_n=Z\right)=1$, i.e. that $\mathbf{P}\left{\omega \in \Omega: \lim _{n \rightarrow \infty} Z_n(\omega)=Z(\omega)\right}=1$. As an aid to establishing such convergence, we have the following:

Lemma 5.2.1. Let $Z, Z_1, Z_2, \ldots$ be random variables. Suppose for each $\epsilon>0$, we have $\mathbf{P}\left(\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon\right.$ i.o. $)=0$. Then $\mathbf{P}\left(Z_n \rightarrow Z\right)=1$, i.e. $\left{Z_n\right}$ converges to $Z$ almost surely.
Proof. It follows from Proposition A.3.3 that
$$
\mathbf{P}\left(Z_n \rightarrow Z\right)=\mathbf{P}\left(\forall \epsilon>0,\left|Z_n-Z\right|<\epsilon \text { a.a. }\right)=1-\mathbf{P}\left(\exists \epsilon>0,\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon \text { i.o. }\right)
$$

By countable subadditivity, we have that
$$
\mathbf{P}\left(\exists \epsilon>0, \epsilon \text { rational, }\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon \text { i.o. }\right) \leq \sum_{\substack{\epsilon>0 \ \epsilon \text { rational }}} \mathbf{P}\left(\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon \text { i.o. }\right)=0 .
$$
But given any $\epsilon>0$, there exists a rational $\epsilon^{\prime}>0$ with $\epsilon^{\prime}<\epsilon$. For this $\epsilon^{\prime}$, we have that $\left{\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon\right.$ i.o. $} \subseteq\left{\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon^{\prime}\right.$ i.o. $}$. It follows that $\mathbf{P}\left(\exists \epsilon>0,\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon\right.$ i.o. $) \leq \mathbf{P}\left(\exists \epsilon^{\prime}>0, \epsilon^{\prime}\right.$ rational, $\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon^{\prime}$ i.o. $)=0$, thus giving the result.

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Various inequalities

我们从两个关于随机变量的重要不等式开始。
提案5.1.1。(马尔可夫不等式)如果$X$是一个非负随机变量，则对于所有$\alpha>0$，
$$
\mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X) / \alpha
$$
换句话说，$X$超过$\alpha$的概率以其均值除以$\alpha$为界。
证明。定义一个新的随机变量$Z$ by
$$
Z(\omega)= \begin{cases}\alpha, & X(\omega) \geq \alpha \ 0, & X(\omega)<\alpha .\end{cases}
$$
那么显然$Z \leq X$，那么根据保序性$\mathbf{E}(Z) \leq \mathbf{E}(X)$。另一方面，我们计算$\mathbf{E}(Z)=\alpha \mathbf{P}(X \geq \alpha)$。因此，$\alpha \mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X)$。

马尔可夫不等式只适用于非负随机变量，但它立即暗示了另一个更普遍的不等式:

提案5.1.2。(Chebychev不等式)设$Y$为任意随机变量，具有有限均值$\mu_Y$。那么对于所有$\alpha>0$，
$$
\mathbf{P}\left(\left|Y-\mu_Y\right| \geq \alpha\right) \leq \operatorname{Var}(Y) / \alpha^2
$$
换句话说，$Y$与均值之差大于$\alpha$的概率由方差除以$\alpha^2$定界。

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Convergence of random variables

如果$Z, Z_1, Z_2, \ldots$是定义在$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$上的随机变量，那么$\left{Z_n\right}$收敛到$Z$为$n \rightarrow \infty$是什么意思呢?

我们已经看到的一个概念(参见定理4.2.2)是逐点收敛，即$\lim {n \rightarrow \infty} Z_n(\omega)=Z(\omega)$。一个稍微弱一点的概念，经常出现是收敛几乎肯定(或，a.s.或概率1或w.p.1或几乎无处不在)，意思是$\mathbf{P}\left(\lim {n \rightarrow \infty} Z_n=Z\right)=1$，即$\mathbf{P}\left{\omega \in \Omega: \lim _{n \rightarrow \infty} Z_n(\omega)=Z(\omega)\right}=1$。为了帮助建立这种趋同，我们有以下内容:

引理5.2.1。设$Z, Z_1, Z_2, \ldots$为随机变量。假设对于每个$\epsilon>0$，我们有$\mathbf{P}\left(\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon\right.$ i.o. $)=0$。然后$\mathbf{P}\left(Z_n \rightarrow Z\right)=1$，即$\left{Z_n\right}$几乎肯定会收敛到$Z$。
证明。从提案A.3.3可以得出
$$
\mathbf{P}\left(Z_n \rightarrow Z\right)=\mathbf{P}\left(\forall \epsilon>0,\left|Z_n-Z\right|<\epsilon \text { a.a. }\right)=1-\mathbf{P}\left(\exists \epsilon>0,\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon \text { i.o. }\right)
$$

通过可数子可加性，我们得到了它
$$
\mathbf{P}\left(\exists \epsilon>0, \epsilon \text { rational, }\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon \text { i.o. }\right) \leq \sum_{\substack{\epsilon>0 \ \epsilon \text { rational }}} \mathbf{P}\left(\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon \text { i.o. }\right)=0 .
$$
但只要有$\epsilon>0$，就会有一个合理的$\epsilon^{\prime}>0$与$\epsilon^{\prime}<\epsilon$。对于这个$\epsilon^{\prime}$，我们有$\left{\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon\right.$ i.o. $} \subseteq\left{\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon^{\prime}\right.$ i.o. $}$。由此可知$\mathbf{P}\left(\exists \epsilon>0,\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon\right.$ i.o. $) \leq \mathbf{P}\left(\exists \epsilon^{\prime}>0, \epsilon^{\prime}\right.$是理性的，$\left|Z_n-Z\right| \geq \epsilon^{\prime}$ i.o. $)=0$，由此得出结论。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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