如果你也在 怎样代写复分析Complex analysis 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析Complex analysis的核心工具之一是线积分。正如Cauchy积分定理所指出的那样,在封闭路径所包围的区域内到处都是全形函数,其围绕封闭路径的线积分总是为零。这样一个全形函数在圆盘内的数值可以通过圆盘边界上的路径积分来计算(如考奇积分公式所示)。复平面内的路径积分经常被用来确定复杂的实积分,这里适用于残差理论等(见轮廓积分的方法)。
复分析Complex analysis一个函数的 “极点”(或孤立的奇点)是指该函数的值变得无界,或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点,那么人们可以在那里计算函数的残差,这可以用来计算涉及该函数的路径积分;这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数,但可以通过更容易理解的函数(如多项式)的无限和来研究奇点附近的函数行为。
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数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Cauchy’s Theorem
We build up to Cauchy’s Theorem in stages. First, consider a rectangle
$$
R={x+\mathrm{i} y \in \mathbb{C}: a \leq x \leq b, c \leq y \leq d}
$$
with boundary contour
$$
\partial R=\left[z_1, z_2\right]+\left[z_2, z_3\right]+\left[z_3, z_4\right]+\left[z_4, z_1\right]
$$
where $z_1=a+\mathrm{i} c, z_2=b+\mathrm{i} c, z_3=b+\mathrm{i} d, z_4=a+\mathrm{i} d$, as in Figure 8.9.
LEMMA 8.6. If $D$ is a domain, $f$ is differentiable in $D$, and $R \subseteq D$, then $\int_{\partial R} f=0$.
Proof. Insert the opposite diagonal contours $\left[z_1, z_3\right]$ and $\left[z_3, z_1\right]$. Use Cauchy’s Theorem for a triangle, Theorem 8.1 , twice, and add. The integrals along the two diagonal paths cancel. See Figure 8.10.
Now we take an arbitrary closed step path $\sigma$ and insert extra line segments to make up a collection of rectangles. To do this, extend all horizontal and vertical line segments of $\sigma$ to infinity, breaking the plane into a finite number of rectangles, some finite, $R_1, \ldots, R_k$, and some infinite, $R_{k+1}, \ldots, R_m$. (What we mean by ‘rectangle’ in
the infinite case is clear from the figure. A ‘side at infinity’ is missing.) Figure 8.11 shows an example where $k=9, m=25$.
In the interior of each $R_n$ choose a point $z_n$, and define
$$
v_n=w\left(\sigma, z_n\right)
$$
This is independent of the choice of $z_n$ in $R_n$ because the interior of $R_n$ is connected.
Say that $R_n$ is relevant if $v_n \neq 0$. Then $R_n$ is relevant only when $\sigma$ winds round it. In particular, all of the infinite rectangles $R_{k+1}, \ldots, R_m$ are irrelevant, because they lie in the infinite component of the complement of $\sigma$. (In Figure 8.11 the only relevant rectangles are $R_3, R_5, R_7, R_8$.)
We now demonstrate that $\sigma$ can be expressed in terms of the boundary contours of relevant rectangles, by taking $v_n$ copies of each boundary $\partial R_n$ when $v_n>0$, and $-v_n$ copies of each $-\partial R_n$ when $v_n<0$.
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Applications of Cauchy’s Theorem
The version of Cauchy’s Theorem that we have just proved has far wider applications than simply showing that integrals round certain closed contours must be zero. It lets us calculate non-zero integrals as well. For example, suppose that $\gamma_1$ and $\gamma_2$ have the same winding number round all points outside $D$, so that $w\left(\gamma_1, z\right)=w\left(\gamma_2, z\right)$ when $z \notin D$. Let $z_1$ be the point where $\gamma_1$ begins and ends, and let $z_2$ be the point where $\gamma_2$ begins and ends. Take any contour $\sigma$ from $z_1$ to $z_2$ in $D$, Figure 8.13.
Let $\gamma=\gamma_1+\sigma-\gamma_2-\sigma$. This is a closed contour in $D$, and $w(\gamma, z)=0$ for $z \notin D$ because the winding number is additive. By Cauchy’s Theorem, $\int_\gamma f=0$. Therefore
$$
\int_{\gamma_1} f+\int_\sigma f-\int_{\gamma_2} f-\int_\sigma f=0
$$
and
$$
\int_{\gamma_1} f=\int_{\gamma_2} f
$$
If we wish to compute $\int_{\gamma_1} f$, we may be able to find another contour $\gamma_2$ as above, for which $\int_{\gamma_2} f$ is simpler.
The technique of introducing opposite contours $\sigma,-\sigma$ whose contributions eventually cancel is also very useful. In particular, it lets us prove a much more powerful Cauchytype theorem:
THEOREM 8.9 (Generalised Version of Cauchy’s Theorem). Suppose that $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ are closed contours in a domain $D$ such that
$$
w\left(\gamma_1, z\right)+\cdots+w\left(\gamma_n, z\right)=0 \quad \text { for all } z \notin D
$$
and let $f$ be differentiable in $D$. Then
$$
\int_{\gamma_1} f+\cdots+\int_{\gamma_n} f=0
$$
Proof. Suppose that $\gamma_r$ begins and ends at $z_r(1 \leq r \leq n)$. Choose any $z_0 \in D$ and contours $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ in $D$ that join $z_0$ to $z_1, \ldots, z_n$ respectively, Figure 8.14.
复分析代写
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Cauchy’s Theorem
我们逐步建立柯西定理。首先,考虑一个矩形
$$
R={x+\mathrm{i} y \in \mathbb{C}: a \leq x \leq b, c \leq y \leq d}
$$
带边界轮廓
$$
\partial R=\left[z_1, z_2\right]+\left[z_2, z_3\right]+\left[z_3, z_4\right]+\left[z_4, z_1\right]
$$
其中$z_1=a+\mathrm{i} c, z_2=b+\mathrm{i} c, z_3=b+\mathrm{i} d, z_4=a+\mathrm{i} d$,如图8.9所示。
引理8.6。如果$D$是一个域,那么$f$在$D$和$R \subseteq D$中是可微的,那么$\int_{\partial R} f=0$。
证明。插入相对的对角线$\left[z_1, z_3\right]$和$\left[z_3, z_1\right]$。对三角形使用柯西定理8.1两次,然后相加。沿着两条对角线的积分可以抵消。参见图8.10。
现在我们取一个任意闭合步径$\sigma$,并插入额外的线段来组成一个矩形集合。为此,将$\sigma$的所有水平线和垂直线段延伸到无穷大,将平面分解为有限数量的矩形,有些是有限的,$R_1, \ldots, R_k$,有些是无限的,$R_{k+1}, \ldots, R_m$。(我们所说的“矩形”是什么意思
从图中可以清楚地看出无限的情况。没有“无限边”。)图8.11显示了一个示例,其中$k=9, m=25$。
在每个$R_n$的内部选择一个点$z_n$,并定义
$$
v_n=w\left(\sigma, z_n\right)
$$
这与$R_n$中$z_n$的选择无关,因为$R_n$的内部是连接的。
如果$v_n \neq 0$与$R_n$相关。那么$R_n$只有在$\sigma$绕过它的时候才有意义。特别地,所有的无限矩形$R_{k+1}, \ldots, R_m$都是不相关的,因为它们位于$\sigma$补的无限分量中。(在图8.11中,唯一相关的矩形是$R_3, R_5, R_7, R_8$。)
我们现在证明$\sigma$可以用相关矩形的边界轮廓来表示,方法是在$v_n>0$时取每个边界$\partial R_n$的$v_n$副本,在$v_n<0$时取每个$-\partial R_n$的$-v_n$副本。
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Applications of Cauchy’s Theorem
我们刚刚证明的柯西定理的版本有更广泛的应用,而不仅仅是简单地证明某些封闭轮廓的积分必须为零。它也能让我们计算非零积分。例如,假设$\gamma_1$和$\gamma_2$对$D$以外的所有点的圈数相同,则$w\left(\gamma_1, z\right)=w\left(\gamma_2, z\right)$当$z \notin D$。设$z_1$为$\gamma_1$开始和结束的点,设$z_2$为$\gamma_2$开始和结束的点。取$D$中$z_1$到$z_2$的任意等高线$\sigma$,图8.13。
让$\gamma=\gamma_1+\sigma-\gamma_2-\sigma$。这是$D$的封闭轮廓,$z \notin D$的是$w(\gamma, z)=0$因为圈数是可加的。通过柯西定理,$\int_\gamma f=0$。因此
$$
\int_{\gamma_1} f+\int_\sigma f-\int_{\gamma_2} f-\int_\sigma f=0
$$
和
$$
\int_{\gamma_1} f=\int_{\gamma_2} f
$$
如果我们希望计算$\int_{\gamma_1} f$,我们可以找到另一个像上面那样的轮廓$\gamma_2$,其中$\int_{\gamma_2} f$更简单。
引入相反轮廓$\sigma,-\sigma$的技术,其贡献最终抵消也是非常有用的。特别是,它让我们证明了一个更强大的柯西型定理:
定理8.9(柯西定理的推广版本)。假设$\gamma_1, \ldots, \gamma_n$是域$D$中的闭合轮廓,这样
$$
w\left(\gamma_1, z\right)+\cdots+w\left(\gamma_n, z\right)=0 \quad \text { for all } z \notin D
$$
让$f$对$D$可导。然后
$$
\int_{\gamma_1} f+\cdots+\int_{\gamma_n} f=0
$$
证明。假设$\gamma_r$开始和结束于$z_r(1 \leq r \leq n)$。在$D$中选择分别连接$z_0$和$z_1, \ldots, z_n$的任意$z_0 \in D$和轮廓$\sigma_1, \ldots, \sigma_n$,如图8.14所示。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。