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现代代数Modern Algebra这门学科的思想和方法几乎渗透到现代数学的每一个部分。此外，没有一门学科更适合培养处理抽象概念的能力，即理解和处理问题或学科的基本要素。这包括阅读数学的能力，提出正确的问题，解决问题，运用演绎推理，以及写出正确、切中要害、清晰的数学。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Kernel of a Homomorphism

For any homomorphism $\phi$ from the group $G$ to the group $G^{\prime}, \operatorname{ker} \phi$ is a normal subgroup of $G$.

Proof The identity $e$ is in $\operatorname{ker} \phi$ since $\phi(e)=e^{\prime}$, so $\operatorname{ker} \phi$ is always nonempty. If $a \in \operatorname{ker} \phi$ and $b \in \operatorname{ker} \phi$, then $\phi(a)=e^{\prime}$ and $\phi(b)=e^{\prime}$. Also, by Theorem 3.32, $\phi\left(b^{-1}\right)=[\phi(b)]^{-1}$, so
$$
\begin{aligned}
\phi\left(a b^{-1}\right) & =\phi(a) \phi\left(b^{-1}\right) \
& =\phi(a)[\phi(b)]^{-1} \
& =e^{\prime} \cdot\left(e^{\prime}\right)^{-1} \
& =e^{\prime},
\end{aligned}
$$
and therefore $a b^{-1} \in \operatorname{ker} \phi$. Thus, by Theorem 3.12, $\operatorname{ker} \phi$ is a subgroup of $G$.
To show that $\operatorname{ker} \phi$ is normal, let $x \in G$ and $a \in \operatorname{ker} \phi$. Then
$$
\begin{aligned}
\phi\left(x a x^{-1}\right) & =\phi(x) \phi(a) \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } \phi \text { is a homomorphism } \
& =\phi(x) \cdot e^{\prime} \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } a \in \operatorname{ker} \phi \
& =\phi(x) \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \
& =e^{\prime} & & \text { by part b of Theorem 3.32. }
\end{aligned}
$$
by part b of Theorem 3.32.
Thus $x a x^{-1}$ is in ker $\phi$, and ker $\phi$ is a normal subgroup by Theorem 4.20.
The mapping $\phi$ in Theorem 4.25 has $H$ as its kernel, and this shows that every normal subgroup of $G$ is the kernel of a homomorphism. Combining this fact with Theorem 4.26, we see that the normal subgroups of $G$ and the kernels of the homomorphisms from $G$ to another group are the same subgroups of $G$.

We can now prove that every homomorphic image of $G$ is isomorphic to a quotient group of $G$.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Homomorphic Image $\Rightarrow$ Quotient Group

Let $G$ and $G^{\prime}$ be groups with $G^{\prime}$ a homomorphic image of $G$. Then $G^{\prime}$ is isomorphic to a quotient group of $G$.

Proof Let $\phi$ be an epimorphism from $G$ to $G^{\prime}$, and let $K=\operatorname{ker} \phi$. For each $a K$ in $G / K$, define $\theta(a K)$ by
$$
\theta(a K)=\phi(a)
$$
First, we need to prove that this rule defines a mapping. For any $a K$ and $b K$ in $G / K$,
$$
\begin{aligned}
a K=b K & \Leftrightarrow b^{-1} a K=K \
& \Leftrightarrow b^{-1} a \in K \
& \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1} a\right)=e^{\prime} \
& \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1}\right) \phi(a)=e^{\prime} \
& \Leftrightarrow[\phi(b)]^{-1} \phi(a)=e^{\prime} \
& \Leftrightarrow \phi(a)=\phi(b) \
& \Leftrightarrow \theta(a K)=\theta(b K) .
\end{aligned}
$$

Thus $\theta$ is a well-defined mapping from $G / K$ to $G^{\prime}$, and the $\Leftarrow$ parts of the $\Leftrightarrow$ statements show that $\theta$ is one-to-one as well.
We shall show that $\theta$ is an isomorphism from $G / K$ to $G^{\prime}$. Since
$$
\begin{aligned}
\theta(a K \cdot b K) & =\theta(a b K) \
& =\phi(a b) \
& =\phi(a) \cdot \phi(b) \
& =\theta(a K) \cdot \theta(b K),
\end{aligned}
$$
$\theta$ is a homomorphism. To show that $\theta$ is onto, let $a^{\prime}$ be arbitrary in $G^{\prime}$. Since $\phi$ is an epimorphism, there exists an element $a$ in $G$ such that $\phi(a)=a^{\prime}$. Then $a K$ is in $G / K$, and
$$
\theta(a K)=\phi(a)=a^{\prime} .
$$

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Kernel of a Homomorphism

对于任何同态$\phi$，从组$G$到组$G^{\prime}, \operatorname{ker} \phi$都是$G$的正常子群。

身份$e$在$\operatorname{ker} \phi$中，因为$\phi(e)=e^{\prime}$，所以$\operatorname{ker} \phi$总是非空的。如果是$a \in \operatorname{ker} \phi$和$b \in \operatorname{ker} \phi$，那么就是$\phi(a)=e^{\prime}$和$\phi(b)=e^{\prime}$。同样，根据定理3.32 $\phi\left(b^{-1}\right)=[\phi(b)]^{-1}$
$$
\begin{aligned}
\phi\left(a b^{-1}\right) & =\phi(a) \phi\left(b^{-1}\right) \
& =\phi(a)[\phi(b)]^{-1} \
& =e^{\prime} \cdot\left(e^{\prime}\right)^{-1} \
& =e^{\prime},
\end{aligned}
$$
因此$a b^{-1} \in \operatorname{ker} \phi$。因此，根据定理3.12,$\operatorname{ker} \phi$是$G$的一个子群。
为了显示$\operatorname{ker} \phi$是正常的，让$x \in G$和$a \in \operatorname{ker} \phi$。然后
$$
\begin{aligned}
\phi\left(x a x^{-1}\right) & =\phi(x) \phi(a) \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } \phi \text { is a homomorphism } \
& =\phi(x) \cdot e^{\prime} \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } a \in \operatorname{ker} \phi \
& =\phi(x) \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \
& =e^{\prime} & & \text { by part b of Theorem 3.32. }
\end{aligned}
$$
根据定理3.32的b部分。
因此$x a x^{-1}$在ker $\phi$中，根据定理4.20,ker $\phi$是一个正规子群。
定理4.25中的映射$\phi$以$H$为核，这表明$G$的每一个正规子群都是同态的核。结合定理4.26，可知$G$的正规子群与$G$到另一群的同态核是$G$的相同子群。

现在我们可以证明$G$的每一个同态象都是与$G$的商群同构的。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Homomorphic Image $\Rightarrow$ Quotient Group

设$G$和$G^{\prime}$为组，$G^{\prime}$是$G$的同态象。那么$G^{\prime}$与$G$的商群同构。

设$\phi$是$G$到$G^{\prime}$的外胚，设$K=\operatorname{ker} \phi$。对于$G / K$中的每个$a K$，通过定义$\theta(a K)$
$$
\theta(a K)=\phi(a)
$$
首先，我们需要证明该规则定义了映射。有关$G / K$中的$a K$和$b K$，
$$
\begin{aligned}
a K=b K & \Leftrightarrow b^{-1} a K=K \
& \Leftrightarrow b^{-1} a \in K \
& \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1} a\right)=e^{\prime} \
& \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1}\right) \phi(a)=e^{\prime} \
& \Leftrightarrow[\phi(b)]^{-1} \phi(a)=e^{\prime} \
& \Leftrightarrow \phi(a)=\phi(b) \
& \Leftrightarrow \theta(a K)=\theta(b K) .
\end{aligned}
$$

因此，$\theta$是从$G / K$到$G^{\prime}$的一个定义良好的映射，$\Leftrightarrow$语句的$\Leftarrow$部分表明$\theta$也是一对一的。
我们将证明$\theta$是$G / K$到$G^{\prime}$的同构。自从
$$
\begin{aligned}
\theta(a K \cdot b K) & =\theta(a b K) \
& =\phi(a b) \
& =\phi(a) \cdot \phi(b) \
& =\theta(a K) \cdot \theta(b K),
\end{aligned}
$$
$\theta$是同态。为了表明$\theta$是对的，让$a^{\prime}$在$G^{\prime}$中是任意的。因为$\phi$是一个外胚，所以在$G$中存在一个元素$a$，使得$\phi(a)=a^{\prime}$。然后$a K$在$G / K$中，和
$$
\theta(a K)=\phi(a)=a^{\prime} .
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Set Generated by A

If $A$ is a nonempty subset of the group $G$, then the set generated by $\boldsymbol{A}$, denoted by $\langle A\rangle$, is the set defined by
$$
\langle A\rangle=\left{x \in G \mid x=a_1 a_2 \cdots a_n \text { with either } a_i \in A \text { or } a_i^{-1} \in A\right} .
$$
In other words, $\langle A\rangle$ is the set of all products that can be formed with a finite number of factors, each of which either is an element of $A$ or has an inverse that is an element of $A$.

For any nonempty subset $A$ of a group $G$, the set $\langle A\rangle$ is a subgroup of $G$ called the subgroup of $G$ generated by $A$.

Proof There exists at least one $a \in A$, since $A \neq \varnothing$. Then $e=a a^{-1} \in\langle A\rangle$, so $\langle A\rangle$ is nonempty.
If $x \in\langle A\rangle$ and $y \in\langle A\rangle$, then
$$
x=x_1 x_2 \cdots x_n \text { with either } x_i \in A \text { or } x_i^{-1} \in A
$$
and
$$
y=y_1 y_2 \cdots y_k \text { with either } y_j \in A \text { or } y_j^{-1} \in A \text {. }
$$
Thus
$$
x y=x_1 x_2 \cdots x_n y_1 y_2 \cdots y_k,
$$
where each factor on the right either is in $A$ or has an inverse that is an element of $A$. Also,
$$
x^{-1}=x_n^{-1} \cdots x_2^{-1} x_1^{-1} \text { with either } x_i^{-1} \in A \text { or } x_i \in A .
$$
The nonempty set $\langle A\rangle$ is closed and contains inverses, and therefore it is a subgroup of $G$.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Group of Cosets

Let $H$ be a normal subgroup of $G$. Then the cosets of $H$ in $G$ form a group with respect to the product of subsets as given in Definition 4.10.

Proof Let $H$ be a normal subgroup of $G$. We shall denote the set of all distinct cosets of $H$ in $G$ by $G / H$. Multiplication in $G / H$ is associative, by part a of Theorem 4.11.

We need to show that the cosets of $H$ in $G$ are closed under the given product. Let $a H$ and $b H$ be arbitrary cosets of $H$ in $G$. Using the associative property freely, we have
$$
\begin{aligned}
(a H)(b H) & =a(H b) H & & \
& =a(b H) H & & \text { since } H \text { is normal } \
& =(a b) H \cdot H & & \
& =a b H & & \text { since } H^2=H .
\end{aligned}
$$
Thus $G / H$ is closed and $(a H)(b H)=a b H$.
The coset $H=e H$ is the identity, since $(a H)(e H)=a e H=a H$ and $(e H)(a H)=$ $e a H=a H$ for all $a H$ in $G / H$.
The inverse of $a H$ is $a^{-1} H$, since
$$
(a H)\left(a^{-1} H\right)=a a^{-1} H=e H=H
$$

and
$$
\left(a^{-1} H\right)(a H)=a^{-1} a H=e H=H .
$$
This completes the proof.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Set Generated by A

如果$A$是组$G$的非空子集，那么由$\boldsymbol{A}$生成的集合(用$\langle A\rangle$表示)就是由
$$
\langle A\rangle=\left{x \in G \mid x=a_1 a_2 \cdots a_n \text { with either } a_i \in A \text { or } a_i^{-1} \in A\right} .
$$
换句话说，$\langle A\rangle$是所有产品的集合，这些产品可以由有限数量的因素组成，每个因素要么是$A$的一个元素，要么有一个逆元素是$A$的一个元素。

对于组$G$的任何非空子集$A$，集合$\langle A\rangle$是$G$的子组，称为$A$生成的$G$的子组。

证明至少存在一个$a \in A$，从$A \neq \varnothing$开始。然后$e=a a^{-1} \in\langle A\rangle$，所以$\langle A\rangle$是非空的。
如果$x \in\langle A\rangle$和$y \in\langle A\rangle$，那么
$$
x=x_1 x_2 \cdots x_n \text { with either } x_i \in A \text { or } x_i^{-1} \in A
$$
和
$$
y=y_1 y_2 \cdots y_k \text { with either } y_j \in A \text { or } y_j^{-1} \in A \text {. }
$$
因此
$$
x y=x_1 x_2 \cdots x_n y_1 y_2 \cdots y_k,
$$
右边的每个因子要么在$A$中，要么在$A$中有一个逆元素。还有，
$$
x^{-1}=x_n^{-1} \cdots x_2^{-1} x_1^{-1} \text { with either } x_i^{-1} \in A \text { or } x_i \in A .
$$
非空集$\langle A\rangle$是封闭的，并且包含逆集，因此它是$G$的一个子群。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Group of Cosets

设$H$为$G$的正常子组。则$G$中$H$的余集相对于定义4.10中给出的子集之积形成一个群。

设$H$为$G$的正规子群。我们用$G / H$表示$G$中$H$的所有不同的余集的集合。根据定理4.11的a部分，$G / H$中的乘法是结合律。

我们需要证明$G$中$H$的集在给定的乘积下是封闭的。设$a H$和$b H$为$G$中$H$的任意余集。自由使用结合律，我们有
$$
\begin{aligned}
(a H)(b H) & =a(H b) H & & \
& =a(b H) H & & \text { since } H \text { is normal } \
& =(a b) H \cdot H & & \
& =a b H & & \text { since } H^2=H .
\end{aligned}
$$
因此$G / H$是封闭的，$(a H)(b H)=a b H$是封闭的。
协集$H=e H$是标识，因为$(a H)(e H)=a e H=a H$和$(e H)(a H)=$$e a H=a H$代表$G / H$中的所有$a H$。
$a H$的倒数是$a^{-1} H$，因为
$$
(a H)\left(a^{-1} H\right)=a a^{-1} H=e H=H
$$

和
$$
\left(a^{-1} H\right)(a H)=a^{-1} a H=e H=H .
$$
这就完成了证明。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Product of Subsets

Let $A$ and $B$ be nonempty subsets of the group $G$. The product $A B$ is defined by
$$
A B={x \in G \mid x=a b \text { for some } a \in A, b \in B} .
$$
This product is formed by using the group operation in $G$. A more precise formulation would be
$$
A * B={x \in G \mid x=a * b \text { for some } a \in A, b \in B},
$$
where $*$ is the group operation in $G$.
Several properties of this product are worth mentioning. For nonempty subsets $A, B$, and $C$ of the group $G$,
$$
\begin{aligned}
A(B C) & ={a(b c) \mid a \in A, b \in B, c \in C} \
& ={(a b) c \mid a \in A, b \in B, c \in C} \
& =(A B) C .
\end{aligned}
$$
It is obvious that
$$
B=C \Rightarrow A B=A C \text { and } B A=C A,
$$
but we must be careful about the order because $A B$ and $B A$ may be different sets.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Properties of the Product of Subsets

Let $A, B$, and $C$ denote nonempty subsets of the group $G$, and let $g$ denote an element of $G$. Then the following statements hold:
a. $A(B C)=(A B) C$.
b. $B=C$ implies $A B=A C$ and $B A=C A$.
c. The product $A B$ is not commutative.
d. $A B=A C$ does not imply $B=C$.
e. $g A=g B$ implies $A=B$.
Statements $\mathbf{d}$ and $\mathbf{e}$ have obvious duals in which the common factor is on the right side.

We shall be concerned mainly with products of subsets in which one of the factors is a subgroup. The cosets of a subgroup are of special importance.

Let $H$ be a subgroup of the group $G$. For any $a$ in $G$,
$$
a H={x \in G \mid x=a h \text { for some } h \in H}
$$
is a left coset of $H$ in $G$. Similarly, $H a$ is called a right coset of $H$ in $G$.
The left coset $a H$ and the right coset $H a$ are never disjoint, since $a=a e=e a$ is in both sets. In spite of this, $a H$ and $H a$ may happen to be different sets, as the next example shows.

Example 3 Consider the subgroup
$$
K={(1),(1,2)}
$$
of
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
For $a=(1,2,3)$, we have
$$
\begin{aligned}
a K & ={(1,2,3),(1,2,3)(1,2)} \
& ={(1,2,3),(1,3)}
\end{aligned}
$$
and
$$
\begin{aligned}
K a & ={(1,2,3),(1,2)(1,2,3)} \
& ={(1,2,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
In this case, $a K \neq K a$.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Product of Subsets

设$A$和$B$为组$G$的非空子集。产品$A B$定义为
$$
A B={x \in G \mid x=a b \text { for some } a \in A, b \in B} .
$$
本产品是利用$G$中的分组操作形成的。更精确的表述应该是
$$
A * B={x \in G \mid x=a * b \text { for some } a \in A, b \in B},
$$
其中$*$为$G$中的组操作。
该产品的几个特性值得一提。对于组$G$的非空子集$A, B$和$C$，
$$
\begin{aligned}
A(B C) & ={a(b c) \mid a \in A, b \in B, c \in C} \
& ={(a b) c \mid a \in A, b \in B, c \in C} \
& =(A B) C .
\end{aligned}
$$
很明显，
$$
B=C \Rightarrow A B=A C \text { and } B A=C A,
$$
但是我们必须注意顺序，因为$A B$和$B A$可能是不同的集合。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Properties of the Product of Subsets

设$A, B$和$C$表示组$G$的非空子集，并设$g$表示$G$的一个元素。那么下列陈述成立:
A. $A(B C)=(A B) C$;
B. $B=C$暗示$A B=A C$和$B A=C A$。
c.乘积$A B$不可交换。
D. $A B=A C$并不暗示$B=C$。
E. $g A=g B$暗示$A=B$。
表述$\mathbf{d}$和$\mathbf{e}$有明显的对偶，其中公因数在右边。

我们将主要讨论其中一个因子是子群的子集的乘积。子群的余集具有特殊的重要性。

设$H$为组$G$的子组。对于$G$中的任何$a$，
$$
a H={x \in G \mid x=a h \text { for some } h \in H}
$$
是$G$中$H$的左余集。类似地，$H a$被称为$G$中的$H$的右余集。
左共集$a H$和右共集$H a$永远不会不相交，因为$a=a e=e a$在两个集合中。尽管如此，$a H$和$H a$可能恰好是不同的集合，如下面的示例所示。

例3考虑子组
$$
K={(1),(1,2)}
$$
的
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
对于$a=(1,2,3)$，我们有
$$
\begin{aligned}
a K & ={(1,2,3),(1,2,3)(1,2)} \
& ={(1,2,3),(1,3)}
\end{aligned}
$$
和
$$
\begin{aligned}
K a & ={(1,2,3),(1,2)(1,2,3)} \
& ={(1,2,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
在本例中为$a K \neq K a$。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Congruence Classes

In connection with the relation of congruence modulo $n$, we have observed that there are $n$ distinct congruence classes. Let $\mathbf{Z}_n$ denote this set of classes:
$$
\mathbf{Z}_n={[0],[1],[2], \ldots,[n-1]} .
$$
When addition and multiplication are defined in a natural and appropriate manner in $\mathbf{Z}_n$, these sets provide useful examples for our work in later chapters.
Addition in $\mathbf{Z}_n$
Consider the rule given by
$$
[a]+[b]=[a+b]
$$
a. This rule defines an addition that is a binary operation on $\mathbf{Z}_n$.
b. Addition is associative in $\mathbf{Z}_n$ :
$$
[a]+([b]+[c])=([a]+[b])+[c] .
$$
c. Addition is commutative in $\mathbf{Z}_n$ :
$$
[a]+[b]=[b]+[a] .
$$
d. $\mathbf{Z}_n$ has the additive identity $[0]$.
e. Each $[a]$ in $\mathbf{Z}_n$ has $[-a]$ as its additive inverse in $\mathbf{Z}_n$.
Proof
a. It is clear that the rule $[a]+[b]=[a+b]$ yields an element of $\mathbf{Z}_n$, but the uniqueness of this result needs to be verified. In other words, closure is obvious, but we need to show that the operation is well-defined. To do this, suppose that $[a]=[x]$ and $[b]=[y]$. Then
$$
[a]=[x] \Rightarrow a \equiv x(\bmod n)
$$
and
$$
[b]=[y] \Rightarrow b \equiv y(\bmod n)
$$
By Theorem 2.24,
$$
a+b \equiv x+y(\bmod n),
$$
and therefore $[a+b]=[x+y]$.
b. The associative property follows from
$$
\begin{aligned}
{[a]+([b]+[c]) } & =[a]+[b+c] \
& =[a+(b+c)] \
& =[(a+b)+c] \
& =[a+b]+[c] \
& =([a]+[b])+[c] .
\end{aligned}
$$
Note that the key step here is the fact that addition is associative in $\mathbf{Z}$ :
$$
a+(b+c)=(a+b)+c .
$$
c. The commutative property follows from
$$
\begin{aligned}
{[a]+[b] } & =[a+b] \
& =[b+a] \
& =[b]+[a] .
\end{aligned}
$$
d. $[0]$ is the additive identity, since addition is commutative in $\mathbf{Z}_n$ and
$$
[a]+[0]=[a+0]=[a] .
$$
e. $[-a]=[n-a]$ is the additive inverse of $[a]$, since addition is commutative in $\mathbf{Z}_n$ and
$$
[-a]+[a]=[-a+a]=[0]
$$

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Introduction to Coding Theory (Optional)

In this section, we present some applications of congruence modulo $n$ found in basic coding theory. When information is transmitted from one satellite to another or stored and retrieved in a computer or on a compact disc, the information is usually expressed in some sort of code. The ASCII code (American Standard Code for Information Interchange) of 256 characters used in computers is one example. However, errors can occur during the transmission or retrieval processes. The detection and correction of such errors are the fundamental goals of coding theory.

In binary coding theory, we omit the brackets on the elements in $\mathbf{Z}_2$ and call ${0,1}$ the binary alphabet. $\mathrm{A} \mathrm{bit}^{\dagger}$ is an element of the binary alphabet. A word (or block) is a sequence of bits, where all words in a message have the same length; that is, they contain the same number of bits. Thus a 2-bit word is an element of $\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_2$. For notational convenience, we omit the comma and parentheses in the 2-bit word $(a, b)$ and write $a b$, where $a \in{0,1}$ and $b \in{0,1}$. Thus
$\begin{array}{llll}000 & 010 & 001 & 011 \ 100 & 110 & 101 & 111\end{array}$
are all eight possible 3-bit words using the binary alphabet. There are thirty-two 5-bit words, so 5-bit words are frequently used to represent the 26 letters of our alphabet, along with 6 punctuation marks.

During the process of sending a message using $k$-bit words, one or more bits may be received incorrectly. It is essential that errors be detected and, if possible, corrected. The general idea is to generate a code, send the coded message, and then decode the coded message, as illustrated here:
$$
\text { message } \stackrel{\text { encode }}{\longrightarrow} \text { coded message } \stackrel{\text { send }}{\longrightarrow} \text { received message } \stackrel{\text { decode }}{\longrightarrow} \text { message. }
$$
Ideally, the code is devised in such a way as to detect and/or correct any errors in the received message. Most codes require appending extra bits to each $k$-bit word, forming an $n$-bit code word. The next example illustrates an error-detecting scheme.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Congruence Classes

关于同余模$n$的关系，我们观察到有$n$个不同的同余类。让$\mathbf{Z}_n$表示这组类:
$$
\mathbf{Z}_n={[0],[1],[2], \ldots,[n-1]} .
$$
当在$\mathbf{Z}_n$中以自然和适当的方式定义加法和乘法时，这些集合为我们后面章节的工作提供了有用的示例。
添加到$\mathbf{Z}_n$
考虑下面给出的规则
$$
[a]+[b]=[a+b]
$$
a.该规则定义了一个对$\mathbf{Z}_n$的二进制加法操作。
b.在$\mathbf{Z}_n$中，加法是关联的:
$$
[a]+([b]+[c])=([a]+[b])+[c] .
$$
c.在$\mathbf{Z}_n$中加法是可交换的:
$$
[a]+[b]=[b]+[a] .
$$
D. $\mathbf{Z}_n$具有加性特性$[0]$。
e. $\mathbf{Z}_n$中的每个$[a]$在$\mathbf{Z}_n$中都有$[-a]$作为其相加逆。
证明
a.很明显，规则$[a]+[b]=[a+b]$产生了一个元素$\mathbf{Z}_n$，但是这个结果的唯一性需要被验证。换句话说，闭包是显而易见的，但我们需要表明该操作是定义良好的。为此，假设$[a]=[x]$和$[b]=[y]$。然后
$$
[a]=[x] \Rightarrow a \equiv x(\bmod n)
$$
和
$$
[b]=[y] \Rightarrow b \equiv y(\bmod n)
$$
根据定理2.24，
$$
a+b \equiv x+y(\bmod n),
$$
因此$[a+b]=[x+y]$。
b.结合律由
$$
\begin{aligned}
{[a]+([b]+[c]) } & =[a]+[b+c] \
& =[a+(b+c)] \
& =[(a+b)+c] \
& =[a+b]+[c] \
& =([a]+[b])+[c] .
\end{aligned}
$$
请注意，这里的关键步骤是事实，加法是关联的$\mathbf{Z}$:
$$
a+(b+c)=(a+b)+c .
$$
c.可交换性由
$$
\begin{aligned}
{[a]+[b] } & =[a+b] \
& =[b+a] \
& =[b]+[a] .
\end{aligned}
$$
D. $[0]$是可加性恒等式，因为在$\mathbf{Z}_n$和
$$
[a]+[0]=[a+0]=[a] .
$$
E. $[-a]=[n-a]$是$[a]$的可加逆，因为在$\mathbf{Z}_n$和中加法是可交换的
$$
[-a]+[a]=[-a+a]=[0]
$$

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Introduction to Coding Theory (Optional)

在本节中，我们给出了在基本编码理论中发现的同余模$n$的一些应用。当信息从一颗卫星传送到另一颗卫星，或在计算机或光盘上存储和检索时，这些信息通常用某种代码表示。计算机中使用的256个字符的ASCII码(美国信息交换标准码)就是一个例子。但是，在传输或检索过程中可能会发生错误。这种错误的发现和纠正是编码理论的基本目标。

在二进制编码理论中，我们省略$\mathbf{Z}_2$中元素上的括号，并将${0,1}$称为二进制字母表。$\mathrm{A} \mathrm{bit}^{\dagger}$是二进制字母表中的一个元素。一个字(或块)是一个位序列，其中消息中的所有字都具有相同的长度;也就是说，它们包含相同的位数。因此，一个2位字是$\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_2$的一个元素。为了表示方便，我们省略了2位字$(a, b)$中的逗号和括号，写成$a b$，其中$a \in{0,1}$和$b \in{0,1}$。因此
$\begin{array}{llll}000 & 010 & 001 & 011 \ 100 & 110 & 101 & 111\end{array}$
是使用二进制字母表的所有八个可能的3位字。一共有32个5位单词，所以5位单词通常用来代表字母表中的26个字母，以及6个标点符号。

在使用$k$ -bit字发送消息的过程中，可能会有一个或多个位接收错误。必须发现错误，并在可能的情况下予以纠正。总体思路是生成一个代码，发送编码信息，然后解码编码信息，如下所示:
$$
\text { message } \stackrel{\text { encode }}{\longrightarrow} \text { coded message } \stackrel{\text { send }}{\longrightarrow} \text { received message } \stackrel{\text { decode }}{\longrightarrow} \text { message. }
$$
理想情况下，代码被设计成能够检测和/或纠正接收到的消息中的任何错误。大多数代码需要在每个$k$ -bit字后面附加额外的位，形成一个$n$ -bit码字。下一个示例演示了一个错误检测方案。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Postulates for the Integers (Optional)

The material in this chapter is concerned exclusively with integers. For this reason, we make a notational agreement that all variables represent integers. As our starting point, we shall take the system of integers as given and assume that the system of integers satisfies a certain list of basic axioms, or postulates. More precisely, we assume that there is a set $\mathbf{Z}$ of elements, called the integers, that satisfies the following conditions.
Postulates for the Set Z of Integers

Addition postulates. There is a binary operation defined in $\mathbf{Z}$ that is called addition, is denoted by + , and has the following properties:
a. $\mathbf{Z}$ is closed under addition.
b. Addition is associative.
c. $\mathbf{Z}$ contains an element 0 that is an identity element for addition.

d. For each $x \in \mathbf{Z}$, there is an additive inverse of $x$ in $\mathbf{Z}$, denoted by $-x$, such that $x+(-x)=0=(-x)+x$.
e. Addition is commutative.

Multiplication postulates. There is a binary operation defined in $\mathbf{Z}$ that is called multiplication, is denoted by $\cdot$, and has the following properties:
a. $\mathbf{Z}$ is closed under multiplication.
b. Multiplication is associative.
c. $\mathbf{Z}$ contains an element 1 that is different from 0 and that is an identity element for multiplication.
d. Multiplication is commutative.

The distributive law,
$$
x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z
$$
holds for all elements $x, y, z \in \mathbf{Z}$.

$\mathbf{Z}$ contains a subset $\mathbf{Z}^{+}$, called the positive integers, that has the following properties:
a. $\mathbf{Z}^{+}$is closed under addition.
b. $\mathbf{Z}^{+}$is closed under multiplication.
c. For each $x$ in $\mathbf{Z}$, one and only one of the following statements is true.
i. $x \in \mathbf{Z}^{+}$
ii. $x=0$
iii. $-x \in \mathbf{Z}^{+}$

Induction postulate. If $S$ is a subset of $\mathbf{Z}^{+}$such that
a. $1 \in S$, and
b. $x \in S$ always implies $x+1 \in S$,
then $S=\mathbf{Z}^{+}$.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Mathematical Induction

From this point on, full knowledge of the properties of addition, subtraction, and multiplication of integers is assumed. A study of divisibility begins in Section 2.3.

As mentioned in the last section, the induction postulate forms a basis for the method of proof known as mathematical induction. Some students may have encountered this method of proof in calculus or in other previous courses. In this case, it is possible to skip this section and continue with Section 2.3.

Proof by Mathematical Induction In a typical proof by induction, there is a statement $P_n$ to be proved true for every positive integer $n$. The proof consists of three steps:

1. Basis Step The statement is verified for $n=1$.
2. Induction Hypothesis The statement is assumed true for $n=k$.
3. Inductive Step With this assumption made, the statement is then proved to be true for $n=k+1$.

The assumption that is made in step 2 is called the inductive assumption or the induction hypothesis.
Principle of Mathematical Induction
The logic of the method is that
a. if $P_n$ is true for $n=1$, and
b. if the truth of $P_k$ always implies that $P_{k+1}$ is true,
then the statement $P_n$ is true for all positive integers $n$. This logic fits the induction postulate perfectly if we let $S$ be the set of all positive integers $n$ for which $P_n$ is true. When the induction postulate is used in this form, it is frequently called the Principle of Mathematical Induction.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Postulates for the Integers (Optional)

本章的内容只与整数有关。出于这个原因，我们在符号上达成一致，即所有变量都表示整数。作为我们的出发点，我们将取一个给定的整数系统，并假定这个整数系统满足一系列基本公理或公设。更准确地说，我们假设存在一个元素集合$\mathbf{Z}$，称为整数，满足以下条件。
整数集合Z的公设

加法假设。在$\mathbf{Z}$中定义了一个二进制操作，称为加法，用+表示，并具有以下属性:
A. $\mathbf{Z}$在加法下封闭。
b.加法是结合律。
C. $\mathbf{Z}$包含一个用于加法的单位元素0。

d.对于每个$x \in \mathbf{Z}$, $\mathbf{Z}$中都有一个$x$的加性逆，用$-x$表示，使得$x+(-x)=0=(-x)+x$。
e.加法是可交换的。

乘法假设。在$\mathbf{Z}$中定义了一个称为乘法的二进制操作，用$\cdot$表示，并具有以下属性:
A. $\mathbf{Z}$在乘法下封闭。
b.乘法是结合律。
C. $\mathbf{Z}$包含一个不同于0的元素1，它是乘法的单位元素。
d.乘法是可交换的。

分配律，
$$
x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z
$$
适用于所有元素$x, y, z \in \mathbf{Z}$。

$\mathbf{Z}$ 包含一个子集$\mathbf{Z}^{+}$，称为正整数，具有以下属性:
A. $\mathbf{Z}^{+}$在加法下封闭。
B. $\mathbf{Z}^{+}$在乘法下封闭。
c.对于$\mathbf{Z}$中的每个$x$，下列表述中有且只有一个是正确的。
一、$x \in \mathbf{Z}^{+}$
2$x=0$
3 $-x \in \mathbf{Z}^{+}$

归纳假设。如果$S$是$\mathbf{Z}^{+}$的子集，那么
A. $1 \in S$，和
B. $x \in S$总是暗示$x+1 \in S$;
然后$S=\mathbf{Z}^{+}$。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Mathematical Induction

从这一点开始，我们假定学生已经完全掌握了整数的加法、减法和乘法的性质。第2.3节开始研究可除性。

正如上一节所提到的，归纳公设构成了证明方法的基础，即数学归纳法。有些学生可能在微积分或其他以前的课程中遇到过这种证明方法。在这种情况下，可以跳过本节，继续第2.3节。

在一个典型的归纳法证明中，对于每一个正整数$n$都有一个命题$P_n$要证明为真。证明包括三个步骤:

步骤验证$n=1$的语句。

对于$n=k$，假设该陈述为真。

有了这个假设，这个陈述就被证明对$n=k+1$是正确的。

在第二步中做出的假设被称为归纳假设或归纳假设。
数学归纳法原理
这个方法的逻辑是
A.如果$P_n$对于$n=1$是正确的，并且
B.如果$P_k$的真理总是暗示$P_{k+1}$是真的，
那么表述$P_n$对所有正整数$n$都成立。如果我们设$S$为所有正整数$n$的集合，且$P_n$为真，则这个逻辑完全符合归纳假设。当归纳公设以这种形式使用时，它通常被称为数学归纳法原理。

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现代代数Modern Algebra这门学科的思想和方法几乎渗透到现代数学的每一个部分。此外，没有一门学科更适合培养处理抽象概念的能力，即理解和处理问题或学科的基本要素。这包括阅读数学的能力，提出正确的问题，解决问题，运用演绎推理，以及写出正确、切中要害、清晰的数学。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Pseudodivision and primitive Euclidean Algorithms

Gauß’ lemma 6.6 suggests another way of computing the gcd of two primitive polynomials $f, g \in \mathbb{Z}[x]$ : use the primitive versions of the remainders $r_i$, that is, an integral multiple $\alpha_i r_i \in \mathbb{Z}[x]$ which is primitive. This corresponds to taking essentially the primitive part of a polynomial as its normal form in $\mathbb{Q}[x]$; see Exercise 6.5 . It is convenient to replace the usual division with remainder by a pseudodivision computing $q, r \in \mathbb{Z}[x]$ from $a, b \in \mathbb{Z}[x]$ with
$$
\operatorname{lc}(b)^{1+\operatorname{deg} a-\operatorname{deg} b} a=q b+r, \quad \operatorname{deg} r<\operatorname{deg} b
$$
(assuming $b \neq 0$ ). The integer factor multiplied to $a$ ensures that the division can be carried out in $\mathbb{Z}[x]$ (see also Exercise 2.9 ). This works with any integral domain $R$ instead of $\mathbb{Z}$, and is useful when $R$ is a ring of multivariate polynomials over an integral domain. As in Section 6.2, we assume that we have some normal form normal on $R$, which we extend to $R[x]$ via $\operatorname{normal}(f)=\operatorname{normal}(\operatorname{lc}(f)) f / \operatorname{lc}(f)$.
Algorithm 6.61 Primitive Euclidean Algorithm.
Input: Primitive polynomials $f, g \in R[x]$, where $R$ is a UFD, of degrees $n \geq m$.
Output: $h=\operatorname{gcd}(f, g) \in R[x]$.

$r_0 \longleftarrow f, \quad r_1 \longleftarrow g, \quad n_0 \longleftarrow n, \quad n_1 \longleftarrow m$
$i \longleftarrow 1$
while $r_i \neq 0$ do
${$ Pseudodivision
$$
\begin{aligned}
& a_{i-1} \longleftarrow \operatorname{lc}\left(r_i\right)^{1+n_{i-1}-n_i} r_{i-1}, \quad q_i \longleftarrow a_{i-1} \text { quo } r_i, \
& r_{i+1} \longleftarrow \operatorname{pp}\left(a_{i-1} \text { rem } r_i\right), \quad n_{i+1} \longleftarrow \operatorname{deg} r_{i+1} \
& i \longleftarrow i+1
\end{aligned}
$$
$\ell \longleftarrow i-1$

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Implementations

Table 6.5 gives an overview of the different variants of the Euclidean Algorithm for computing gcds in $\mathbb{Z}[x]$ and $F[x, y]$ that we have discussed in this chapter.
We have implemented all algorithms discussed in this chapter for computing the gcd of two polynomials with integral coefficients in C++, using Victor Shoup’s “Number Theory Library” NTL 1.5 for integer and polynomial arithmetic (see http://www. shoup.net/ntI/); we will describe parts of it in Section 9.7. The running times are given in Figures 6.4 and 6.6 for various degrees and coefficient sizes. The integer arithmetic of NTL uses Karatsuba’s multiplication algorithm (Section 8.1) which is asymptotically faster than classical multiplication, so that, for example, the running time of the big prime gcd algorithm is only about $n^{3.18}$. All timings are the averages over 10 pseudorandom inputs. The software ran in 1998 on a Sun Sparc Ultra 1 clocked at $167 \mathrm{MHz}$.

The experiments were as follows. For each choice of $n$ and $k$, we pseudorandomly and independently chose three polynomials $a, b, c \in \mathbb{Z}[x]$ of degree less than $\frac{n}{2}$ and with nonnegative coefficients less than $2^{k / 2}$, and computed the gcd of $a c$ and $b c$ in $\mathbb{Z}[x]$. Thus the degree of the gcd was at least $\frac{n}{2}-1$; in fact, it was equal to $\frac{n}{2}-1$ in all cases when $n \geq 6$.

In these cases where the gcd is essentially $c$, the Mignotte bound for the length of the coefficients of the gcd is too large by a factor of about $2^n$, which discriminates against our implementation of the big prime algorithm. For that reason we also ran a variant of the big prime method using the known bound $2^{n / 2}$ on the coefficients of $c$, and it computed the correct gcd in all cases, in time faster than the original big prime algorithm but still slower than the small primes algorithm. The standard deviations in the experiments with the big prime algorithm are considerably higher than for the other algorithms. The reason is that there were enormous differences in the time spent for finding a big prime with the routines of NTL that implement the probabilistic primality testing algorithms of Chapter 18 . Figure 6.4 also shows the timings for the big prime algorithm with bound $2^{n / 2}$ and without the cost of the prime search; one can see that the corresponding curves are much smoother.
We implemented two variants of the “heuristic” gcd algorithm (Exercise 6.27). In the first variant, the two input polynomials are evaluated at a random point, and the evaluation point is a power of two in the second variant. The most time consuming part in both variants is the ged calculation of two integers with about $n^2$ bits.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Pseudodivision and primitive Euclidean Algorithms

高斯引理6.6提出了计算两个原始多项式的gcd $f, g \in \mathbb{Z}[x]$的另一种方法:使用剩余的原始版本$r_i$，也就是说，一个原始的整数倍$\alpha_i r_i \in \mathbb{Z}[x]$。这相当于取多项式的基本部分作为$\mathbb{Q}[x]$中的范式;参见练习6.5。用伪除法计算$q, r \in \mathbb{Z}[x]$从$a, b \in \mathbb{Z}[x]$用
$$
\operatorname{lc}(b)^{1+\operatorname{deg} a-\operatorname{deg} b} a=q b+r, \quad \operatorname{deg} r<\operatorname{deg} b
$$
(假设$b \neq 0$)。整数因子乘以$a$确保可以在$\mathbb{Z}[x]$中进行除法(另见练习2.9)。这适用于任何积分域$R$而不是$\mathbb{Z}$，并且当$R$是积分域上的多元多项式环时非常有用。与第6.2节一样，我们假设在$R$上有一些正常的形式，通过$\operatorname{normal}(f)=\operatorname{normal}(\operatorname{lc}(f)) f / \operatorname{lc}(f)$将其扩展到$R[x]$。
6.61原始欧几里得算法。
输入:原始多项式$f, g \in R[x]$，其中$R$是度为$n \geq m$的UFD。
输出:$h=\operatorname{gcd}(f, g) \in R[x]$。

$r_0 \longleftarrow f, \quad r_1 \longleftarrow g, \quad n_0 \longleftarrow n, \quad n_1 \longleftarrow m$
$i \longleftarrow 1$
而$r_i \neq 0$
${$伪分割
$$
\begin{aligned}
& a_{i-1} \longleftarrow \operatorname{lc}\left(r_i\right)^{1+n_{i-1}-n_i} r_{i-1}, \quad q_i \longleftarrow a_{i-1} \text { quo } r_i, \
& r_{i+1} \longleftarrow \operatorname{pp}\left(a_{i-1} \text { rem } r_i\right), \quad n_{i+1} \longleftarrow \operatorname{deg} r_{i+1} \
& i \longleftarrow i+1
\end{aligned}
$$
$\ell \longleftarrow i-1$

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Implementations

表6.5概述了我们在本章中讨论过的用于计算$\mathbb{Z}[x]$和$F[x, y]$中gcd的欧几里得算法的不同变体。
我们已经在c++中实现了本章中讨论的所有算法，用于计算具有积分系数的两个多项式的gcd，使用Victor Shoup的“数论库”NTL 1.5进行整数和多项式运算(参见http://www)。shoup.net/ntI/);我们将在9.7节中描述它的部分内容。图6.4和图6.6给出了不同度数和系数大小的运行时间。NTL的整数算法使用Karatsuba的乘法算法(第8.1节)，该算法比经典乘法渐近快，因此，例如，大素数gcd算法的运行时间仅为$n^{3.18}$左右。所有的时间都是10个伪随机输入的平均值。该软件于1998年运行在一台名为“$167 \mathrm{MHz}$”的Sun Sparc Ultra 1的电脑上。

实验如下。对于每个$n$和$k$的选择，我们伪随机独立地选择三个次小于$\frac{n}{2}$且非负系数小于$2^{k / 2}$的多项式$a, b, c \in \mathbb{Z}[x]$，并计算$\mathbb{Z}[x]$中$a c$和$b c$的gcd。因此，gcd的程度至少为$\frac{n}{2}-1$;事实上，在所有情况下它都等于$\frac{n}{2}-1$当$n \geq 6$。

在这些gcd本质上是$c$的情况下，gcd的系数长度的Mignotte边界太大，大约是$2^n$的一个因子，这不利于我们实现大质数算法。出于这个原因，我们还运行了一个大素数方法的变体，使用$c$的系数的已知界$2^{n / 2}$，它在所有情况下都计算出正确的gcd，比原来的大素数算法快，但仍然比小素数算法慢。大素数算法在实验中的标准差明显高于其他算法。原因是在寻找一个大素数的时间上，与NTL实现第18章的概率素数测试算法的例程有很大的不同。图6.4还显示了有界$2^{n / 2}$且不考虑素数搜索代价的大素数算法的时序;可以看到，相应的曲线平滑得多。
我们实现了“启发式”gcd算法的两个变体(练习6.27)。在第一个变量中，两个输入多项式在一个随机点求值，在第二个变量中求值点是2的幂。在这两种变体中，最耗时的部分是两个大约为$n^2$位的整数的计算。

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现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Modular gcd algorithms

Our goal in this and the following sections is to provide a modular gcd algorithm for $\mathbb{Z}[x]$ and $F[x, y]$. We start by investigating the relation between the modular image of the gcd and the gcd of modular images. It turns out that they are usually (essentially) equal, but this fails for the “unlucky primes” that divide a certain resultant.

We let $f, g \in R[x]$ for a Euclidean domain $R, p \in R$ a prime, and denote by a bar the reduction modulo $p$. Corollary 6.20 says that $\operatorname{gcd}(f, g)$ is constant if and only if $\operatorname{res}(f, g) \neq 0$. The resultant $\operatorname{res}(f, g) \in R$ is a polynomial expression in the coefficients of $f$ and $g$, and one might be tempted to say: since $\overline{\operatorname{res}(f, g)}=$ $\operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g}), \bar{f}$ and $\bar{g}$ are coprime in $(R /\langle p\rangle)[x]$ if and only if $p \nmid \operatorname{res}(f, g)$.

EXAMPLE 6.24. To get a taste of what can go wrong without further assumptions, we let $R=\mathbb{Z}$ and $p=2$. When $f=x+2$ and $g=x$, then $\operatorname{res}(f, g)=-2 \neq 0$ and $\operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g})=0$, as expected. But when $f=4 x^3-x$ and $g=2 x+1$, then $\operatorname{res}(f, g)=0$ and $\operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g})=\operatorname{res}(x, 1)=1 \neq 0$; in particular, $\overline{\operatorname{res}(f, g)} \neq \operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g})$.

The reason for the unexpected behavior in the last example is that the two relevant Sylvester matrices are formed in rather different ways. Fortunately, this nuisance disappears when $p$ does not divide at least one of the leading coefficients.
LEMMA 6.25. We let $R$ be a ring (commutative, with 1 ), $f, g \in R[x]$ nonzero, $r=\operatorname{res}(f, g) \in R, I \subseteq R$ an ideal, denote by a bar the reduction modulo $I$, and assume that $\overline{\operatorname{lc}(f)}$ is not a zero divisor.
(i) $\bar{r}=0 \Longleftrightarrow \operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g})=0$.
(ii) If $R / I$ is a UFD, then $\bar{r}=0$ if and only if $\operatorname{gcd}(\bar{f}, \bar{g})$ is nonconstant.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Modular gcd algorithm in F[x, y]

In Section 6.11, we present a modular algorithm that computes all results of the Extended Euclidean Algorithm, including the gcd and the Bézout coefficients. But if just the gcd is required, there is a better way which we now describe.

In a modular algorithm, say with a big prime $p$, we need two conditions to be satisfied: $p$ has to be large enough so that the coefficients of the gcd can be recovered from their images modulo $p$, and $p$ should not divide the resultant and the leading coefficient of the gcd, so that its degree does not change modulo $p$. When both input polynomials have degree about $n$ and coefficients of length $n$, then the bound for the first condition is $O(n)$, but for the second one it is about $n^2$. The trick now is to choose $p$ randomly so that coefficient recovery is always guaranteed, but the non-divisibility condition only with high probability.

This introduces the important method of probabilistic algorithms. Such an algorithm takes an input, makes some random choices (say, chooses several times a bit, either 0 or 1 , each with equal probability), does some calculations, and returns an output. If one can prove that the probability of returning the correct output is at least some value greater than $1 / 2$, say $2 / 3$, then one can run the algorithm repeatedly, and will obtain the correct answer by a majority vote with probability arbitrarily close to 1. This is called a Monte Carlo algorithm. In some applications, as in this chapter, one can easily test the output for correctness. Then the error probability becomes zero, and only the running time is a random variable. This is called a Las Vegas algorithm. See Notes 6.5 and Section 25.8 for discussions.

These probabilistic algorithms actually started in computer algebra, with Berlekamp’s polynomial factorization (Section 14.8) and Solovay \& Strassen’s primality test (Section 18.5). Their power and simplicity has made them a ubiquitous tool in many areas of computer science. We have seen examples of probabilistic modular testing in Section 4.1. These methods have an inherent uncertainty, but it can be made arbitrarily small, and thus they are like playing a highly attractive lottery: the stakes are only a tiny fraction of the jackpot (say, polynomial time vs. exponential time), but you are almost guaranteed to win!

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Modular gcd algorithms

本节和以下几节的目标是为$\mathbb{Z}[x]$和$F[x, y]$提供模块化的gcd算法。我们首先研究gcd的模像与模像的模像之间的关系。事实证明，它们通常(本质上)是相等的，但对于除某个结果的“不幸质数”来说，这就不成立了。

我们令$f, g \in R[x]$在欧几里得域$R, p \in R$为一素数，用一个杠表示约简模$p$。推论6.20说$\operatorname{gcd}(f, g)$是常数当且仅当$\operatorname{res}(f, g) \neq 0$。由此得到的$\operatorname{res}(f, g) \in R$是$f$和$g$的系数的多项式表达式，人们可能会说:因为$\overline{\operatorname{res}(f, g)}=$$\operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g}), \bar{f}$和$\bar{g}$在$(R /\langle p\rangle)[x]$中是互素数，当且仅当$p \nmid \operatorname{res}(f, g)$。

例6.24为了了解在没有进一步假设的情况下可能出现的错误，我们让$R=\mathbb{Z}$和$p=2$。当$f=x+2$和$g=x$，然后$\operatorname{res}(f, g)=-2 \neq 0$和$\operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g})=0$，如预期。但当$f=4 x^3-x$和$g=2 x+1$，那么$\operatorname{res}(f, g)=0$和$\operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g})=\operatorname{res}(x, 1)=1 \neq 0$;特别是$\overline{\operatorname{res}(f, g)} \neq \operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g})$。

最后一个示例中出现意外行为的原因是两个相关的Sylvester矩阵以相当不同的方式形成。幸运的是，当$p$不除至少一个主要系数时，这种麻烦就消失了。
引理6.25。设$R$为环(可交换，带1)，$f, g \in R[x]$非零，$r=\operatorname{res}(f, g) \in R, I \subseteq R$为理想，用杠表示约简模$I$，并假设$\overline{\operatorname{lc}(f)}$不是零因子。
(i) $\bar{r}=0 \Longleftrightarrow \operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g})=0$。
(ii)如果$R / I$是UFD，则当且仅当$\operatorname{gcd}(\bar{f}, \bar{g})$是非常量时，则$\bar{r}=0$。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Modular gcd algorithm in F[x, y]

在第6.11节中，我们给出了一个模块化算法来计算扩展欧几里得算法的所有结果，包括gcd和bsamzout系数。但如果只需要gcd，我们现在描述的是一种更好的方法。

在一个模块化算法中，比如有一个大质数$p$，我们需要满足两个条件:$p$必须足够大，以便gcd的系数可以从其模$p$的图像中恢复，并且$p$不应该除以gcd的结果系数和前导系数，以便它的度不改变模$p$。当两个输入多项式的度数为$n$，系数长度为$n$时，第一种情况的界是$O(n)$，而第二种情况的界是$n^2$。现在的诀窍是随机选择$p$，这样系数恢复总是有保证的，但不可除性条件只有在高概率下才有保证。

介绍了概率算法的重要方法。这样的算法接受输入，做出一些随机选择(比如，选择几次位，要么0，要么1，每个都有相同的概率)，进行一些计算，然后返回一个输出。如果可以证明返回正确输出的概率至少大于$1 / 2$，例如$2 / 3$，那么可以重复运行该算法，并且将通过概率任意接近1的多数投票获得正确答案。这被称为蒙特卡罗算法。在某些应用程序中，如本章所述，可以很容易地测试输出的正确性。此时，错误概率为零，只有运行时间是随机变量。这被称为拉斯维加斯算法。有关讨论，请参见注释6.5和第25.8节。

这些概率算法实际上始于计算机代数，包括Berlekamp的多项式因式分解(第14.8节)和Solovay ＆ Strassen的素数检验(第18.5节)。它们的强大功能和简单性使其成为计算机科学许多领域中无处不在的工具。我们已经在4.1节中看到了概率模块测试的例子。这些方法具有固有的不确定性，但它可以任意小，因此它们就像玩一个非常吸引人的彩票:赌注只是头奖的一小部分(比如，多项式时间vs指数时间)，但你几乎保证会赢!

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数，也叫抽象代数，是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展，现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算，可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Padé approximation

Let $F$ be a field and $g=\sum_{i \geq 0} g_i x^i \in F[[x]]$ with all $g_i \in F$ be a formal power series (Section 25.3). A Padé approximant to $g$ is a rational function $\rho=r / t \in F(x)$, with $r, t \in F[x]$ and $x \nmid t$, that “approximates” $g$ to a sufficiently high power of $x$. More precisely, $r / t$ is a $(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{n}-\boldsymbol{k})$-Padé approximant to $g$ if
$$
x \nmid t \text { and } \frac{r}{t} \equiv g \bmod x^n, \quad \operatorname{deg} r<k, \quad \operatorname{deg} t \leq n-k ;
$$
the congruence is equivalent to $r \equiv \operatorname{tg} \bmod x^n$. Obviously $r=\sum_{0 \leq i<n} g_i x^i$, the Taylor expansion of order $n$ of $g$ around 0 , and $t=1$ is an $(n, 0)$-Padé approximant for each $n \in \mathbb{N}$, but it is not clear whether approximants for $k<n$ exist. A more general question is to ask for Padé approximants around $u$ of a formal power series in $x-u$ for an arbitrary $u \in F$. This may be reduced to (22) by performing the shift of variable $x \longmapsto x+u$.

In numerical analysis, one is interested in approximating arbitrary (sufficiently smooth) real-valued functions by “simple” functions such as polynomials or rational functions. Taylor expansions and Padé approximants provide such approximations in the vicinity of the origin (or any other point, after an appropriate change of variable). As in the case of interpolation, it was observed empirically that sometimes rational functions yield a much smaller approximation error, in particular when the function to be approximated has singularities; see Example 5.23 below.
The similarity with Cauchy interpolation is clear: instead of prescribing the values of $\rho$ at $n$ distinct points $u_0, \ldots, u_{n-1}$, we have $u_0=\cdots=u_{n-1}=0$ and prescribe an initial segment of the Taylor expansion of $\rho$ at $u_0$. Indeed the statements of the previous section carry over almost literally if we replace $m=\left(x-u_0\right) \cdots\left(x-u_{n-1}\right)$ by $m=x^n$. The following is a consequence of Theorem 5.16 .

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Rational number reconstruction

The integer analog of rational function reconstruction is, given integers $m>g \geq 0$ and $k \in{1, \ldots, m}$, to compute a rational number $r / t \in \mathbb{Q}$, with $r, t \in \mathbb{Z}$, such that
$$
\operatorname{gcd}(t, m)=1 \text { and } r t^{-1} \equiv g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}
$$
where $t^{-1}$ is the inverse of $t$ modulo $m$. As in the polynomial case, we will see that the related problem
$$
r \equiv t g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}
$$
is always solvable, while (24) need not have a solution. The uniqueness statements are a bit weaker than in the polynomial case, however. The following lemma is the integer analog of the Uniqueness Lemma 5.15.

LEmMA 5.25. Let $f, g \in \mathbb{N}$ and $r, s, t \in \mathbb{Z}$ with $r=s f+t g$, and suppose that
$$
|r|<k \text { and } 0<t \leq \frac{f}{k} \text { for some } k \in{1, \ldots, f}
$$
We let $r_i, s_i, t_i \in \mathbb{Z}$ for $0 \leq i \leq \ell+1$ be the results of the traditional Extended Euclidean Algorithm for $f, g$, with $r_i \geq 0$ for all $i$. Moreover, we define $j \in$ ${1, \ldots, \ell+1}$ by
$$
r_j<k \leq r_{j-1}
$$
and if $j \leq \ell$, we choose $q \in \mathbb{N}{\geq 1}$ such that $$ r{j-1}-q r_j<k \leq r_{j-1}-(q-1) r_j
$$
and let $q=0$ if $j=\ell+1$. Then there exists a nonzero $\alpha \in \mathbb{Z}$ such that
$$
\text { either }(r, s, t)=\left(\alpha r_j, \alpha s_j, \alpha t_j\right) \text { or }(r, s, t)=\left(\alpha r_j^, \alpha s_j^, \alpha t_j^\right) \text {, } $$ where $r_j^=r_{j-1}-q r_j, s_j^=s_{j-1}-q s_j$, and $t_j^=t_{j-1}-q t_j$.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Padé approximation

让 $F$ 成为一个领域 $g=\sum_{i \geq 0} g_i x^i \in F[[x]]$ 与所有人 $g_i \in F$ 是一个正式的幂级数(第25.3节)。大约是 $g$ 是一个有理函数 $\rho=r / t \in F(x)$， with $r, t \in F[x]$ 和 $x \nmid t$，即“近似”。 $g$ 达到足够高的功率 $x$． 更准确地说， $r / t$ 是? $(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{n}-\boldsymbol{k})$-近似于 $g$ 如果
$$
x \nmid t \text { and } \frac{r}{t} \equiv g \bmod x^n, \quad \operatorname{deg} r近似值 $u$ 的形式幂级数 $x-u$ 对于任意的 $u \in F$． 这可以通过执行变量移位减少到(22) $x \longmapsto x+u$．

在数值分析中，人们感兴趣的是用多项式或有理函数等“简单”函数逼近任意(足够光滑的)实值函数。泰勒展开和帕德帕尔近似在原点附近(或任何其他点，在适当改变变量后)提供了这样的近似。正如在插值的情况下，经验观察到，有时有理函数产生的近似误差要小得多，特别是当要近似的函数具有奇点时;参见下面的例5.23。
与柯西插值的相似之处很明显:我们有$u_0=\cdots=u_{n-1}=0$，并规定了$\rho$在$u_0$的泰勒展开的初始段，而不是规定$\rho$在$n$不同点$u_0, \ldots, u_{n-1}$的值。实际上，如果我们将$m=\left(x-u_0\right) \cdots\left(x-u_{n-1}\right)$替换为$m=x^n$，上一节的语句几乎可以逐字保留。下面是定理5.16的一个推论。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Rational number reconstruction

有理数函数重构的整数类比是，给定整数$m>g \geq 0$和$k \in{1, \ldots, m}$，用$r, t \in \mathbb{Z}$计算有理数$r / t \in \mathbb{Q}$，使得
$$
\operatorname{gcd}(t, m)=1 \text { and } r t^{-1} \equiv g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}
$$
其中$t^{-1}$是$t$模$m$的倒数。在多项式的情况下，我们会看到相关的问题
$$
r \equiv t g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}
$$
是永远可解的，而(24)不必有解。然而，唯一性语句比多项式的情况弱一些。下面的引理是唯一性引理5.15的整数类比。

引理5.25。让$f, g \in \mathbb{N}$和$r, s, t \in \mathbb{Z}$等于$r=s f+t g$，假设
$$
|r|<k \text { and } 0<t \leq \frac{f}{k} \text { for some } k \in{1, \ldots, f}
$$
我们设$r_i, s_i, t_i \in \mathbb{Z}$为$0 \leq i \leq \ell+1$的传统扩展欧几里得算法对$f, g$的结果，$r_i \geq 0$为所有$i$。此外，我们通过定义$j \in$${1, \ldots, \ell+1}$
$$
r_j<k \leq r_{j-1}
$$
如果$j \leq \ell$，我们选择$q \in \mathbb{N}{\geq 1}$使得$$ r{j-1}-q r_j<k \leq r_{j-1}-(q-1) r_j
$$
让$q=0$ if $j=\ell+1$。那么存在一个非零$\alpha \in \mathbb{Z}$，使得
$$
\text { either }(r, s, t)=\left(\alpha r_j, \alpha s_j, \alpha t_j\right) \text { or }(r, s, t)=\left(\alpha r_j^, \alpha s_j^, \alpha t_j^\right) \text {, } $$，其中$r_j^=r_{j-1}-q r_j, s_j^=s_{j-1}-q s_j$和$t_j^=t_{j-1}-q t_j$。

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现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Change of representation

There are two basically different types of representation for our objects. In the first, one chooses a base and presents data in an expansion along powers of that base. Examples for this type include the coefficient representation of polynomials (where $x$ is the base), more generally a Taylor expansion around $u$ (where $x-u$ is the base; see Section 5.6), and the decimal or binary representation of integers (with base 10 or 2 , respectively). Even the usual floating point representation of real numbers can be considered to be in this category, with base $10^{-1}$. These types of representation are the “natural” ones, and computer users like to have their input and output in this format.

Prototypical for the second type are the representations of a polynomial by its values at various points $u_0, \ldots, u_{n-1}$, or of an integer modulo different primes $p_0, \ldots, p_{n-1}$. (We number from 0 through $n-1$ instead of 1 through $n$ for consistency with Chapter 10.) The “bases” here are $x-u_0, \ldots, x-u_{n-1}$ and $p_0, \ldots, p_{n-1}$, respectively. Actually, a better analogy is to take
$$
\frac{m}{x-u_0}, \frac{m}{x-u_1}, \ldots, \frac{m}{x-u_{n-1}}
$$
where $m=\left(x-u_0\right)\left(x-u_1\right) \cdots\left(x-u_{n-1}\right)$, as basis for all polynomials of degree less than $n$ in the first case; see the Lagrange interpolation formula (3) below. Some problems, such as multiplication, are quite easy in appropriate bases of this kind, while others, like division with remainder, seem to require a representation of the first type.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Evaluation and interpolation

We start with the simplest but most important change of representation: evaluation and interpolation. Suppose that $F$ is a field and $u_0, \ldots, u_{n-1} \in F$ are pairwise distinct. A polynomial $f=\sum_{0 \leq i<n} f_i x^i \in F[x]$ can be evaluated at a single point $u \in F$ with $n-1$ multiplications and $n-1$ additions in $F$, using Horner’s rule
$$
f(u)=\left(\cdots\left(f_{n-1} u+f_{n-2}\right) u+\cdots+f_1\right) u+f_0 .
$$
Thus we can evaluate $F$ at all points $u_i$ using $2 n^2-2 n$ operations in $F$. What about interpolation?
The Lagrange interpolant
$$
l_i=\prod_{\substack{0 \leq j<n \ j \neq i}} \frac{x-u_j}{u_i-u_j} \in F[x]
$$

has the property that $l_i\left(u_j\right)$ is 0 if $i \neq j$ and 1 when $i=j$; see Figure 5.4. For arbitrary $v_0, \ldots, v_{n-1} \in F$,
$$
f=\sum_{0 \leq i<n} v_i l_i=\sum_{0 \leq i<n} v_i \prod_{\substack{0 \leq j<n \ j \neq i}} \frac{x-u_j}{u_i-u_j} .
$$
is a polynomial of degree less than $n$ such that $f\left(u_i\right)=v_i$ for all $i$. The interpolating polynomial with this degree constraint is unique, since the difference of two such polynomials has degree less than $n$ and $n$ roots, hence is the zero polynomial.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Change of representation

我们的对象有两种基本不同的表示方式。首先，选择一个基数，并以该基数的幂展开的形式呈现数据。这种类型的例子包括多项式的系数表示(其中$x$是基底)，更普遍的是$u$周围的泰勒展开(其中$x-u$是基底;(参见5.6节)，以及整数的十进制或二进制表示(分别以10或2为基数)。甚至通常的实数浮点表示也可以被认为属于这一类，基数为$10^{-1}$。这些类型的表示是“自然”的，计算机用户喜欢以这种格式输入和输出。

第二种类型的原型是多项式在不同点上的值$u_0, \ldots, u_{n-1}$或整数模取不同素数$p_0, \ldots, p_{n-1}$的表示。(为了与第10章保持一致，我们从0到$n-1$编号，而不是从1到$n$。)这里的“基础”分别是$x-u_0, \ldots, x-u_{n-1}$和$p_0, \ldots, p_{n-1}$。实际上，一个更好的类比是
$$
\frac{m}{x-u_0}, \frac{m}{x-u_1}, \ldots, \frac{m}{x-u_{n-1}}
$$
其中$m=\left(x-u_0\right)\left(x-u_1\right) \cdots\left(x-u_{n-1}\right)$为第一种情况下小于$n$次的所有多项式的基;见下面的拉格朗日插值公式(3)。有些问题，如乘法，在适当的这种基下很容易，而其他问题，如余数除法，似乎需要第一种类型的表示。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Evaluation and interpolation

我们从最简单但最重要的表示变化开始:求值和插值。假设$F$是一个字段，$u_0, \ldots, u_{n-1} \in F$是两两不同的。一个多项式$f=\sum_{0 \leq i<n} f_i x^i \in F[x]$可以用$F$中的$n-1$乘法和$n-1$加法在一个单点$u \in F$上求值，使用霍纳规则
$$
f(u)=\left(\cdots\left(f_{n-1} u+f_{n-2}\right) u+\cdots+f_1\right) u+f_0 .
$$
因此，我们可以使用$F$中的$2 n^2-2 n$操作在所有$u_i$点处计算$F$。那么插值呢?
拉格朗日插值
$$
l_i=\prod_{\substack{0 \leq j<n \ j \neq i}} \frac{x-u_j}{u_i-u_j} \in F[x]
$$

具有如下属性:$i \neq j$时$l_i\left(u_j\right)$为0,$i=j$时为1;见图5.4。对于任意的$v_0, \ldots, v_{n-1} \in F$，
$$
f=\sum_{0 \leq i<n} v_i l_i=\sum_{0 \leq i<n} v_i \prod_{\substack{0 \leq j<n \ j \neq i}} \frac{x-u_j}{u_i-u_j} .
$$
是一个次数小于$n$的多项式，使得$f\left(u_i\right)=v_i$对于所有$i$。具有此次约束的插值多项式是唯一的，因为两个这样的多项式的差的次小于$n$和$n$根，因此是零多项式。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数，也叫抽象代数，是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展，现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算，可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|(Non-)Uniqueness of the gcd

The nonuniqueness of the gcd is a harmless nuisance from a mathematical point of view. But in software, we have to implement a function gcd with a unique output. In this section, we discuss one way of achieving this.

Since $\mathbb{Q}$ is a field, every nonzero rational number is a unit in $\mathbb{Q}$, and so $u a \sim a$ in $R=\mathbb{Q}[x]$ for all nonzero $u \in \mathbb{Q}$ and all $a \in R$. If we want to define a single element $\operatorname{gcd}(f, g) \in \mathbb{Q}[x]$, which one should we choose? In other words, how do we choose one representative from among all the multiples of $a$ ? A reasonable choice is the monic polynomial, that is, the one with leading coefficient 1 . Thus if $\operatorname{lc}(a) \in \mathbb{Q} \backslash{0}$ is the leading coefficient of $a \in \mathbb{Q}[x]$, then we take normal $(a)=$ $a / \operatorname{lc}(a)$ as the normal form of $a$. (This has nothing to do with the “normal EEA” on page 51.)

To make this work in an arbitrary Euclidean domain $R$, we assume that we have selected some normal form normal $(a) \in R$ for every $a \in R$ so that $a \sim \operatorname{normal}(a)$. We call the unit $u \in R$ with $a=u \cdot \operatorname{normal}(a)$ the leading unit $l u(a)$ of $a$. Moreover, we set $\operatorname{lu}(0)=1$ and $\operatorname{normal}(0)=0$. The following two properties are required:

• two elements of $R$ have the same normal form if and only if they are associate, – the normal form of a product is equal to the product of the normal forms.

These properties in particular imply that the normal form of any unit is 1 . We say that an element $a$ in normal form, so that $\operatorname{lu}(a)=1$, is normalized.

In our two main applications, integers and univariate polynomials over a field, we have natural normal forms. If $R=\mathbb{Z}, \operatorname{lu}(a)=\operatorname{sign}(a)$ if $a \neq 0$ and $\operatorname{normal}(a)=$ $|a|$ defines a normal form, so that an integer is normalized if and only if it nonnegative. When $R=F[x]$ for a field $F$, then letting $\operatorname{lu}(a)=\operatorname{lc}(a)$ (with the convention that $\operatorname{lu}(0)=1)$ and $\operatorname{normal}(a)=a / \operatorname{lc}(a)$ defines a normal form, and a nonzero polynomial is normalized if and only if it is monic.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Modular arithmetic

We start with some applications. The first one is checking programs for correctness. In Part II of this book, we will see extremely fast algorithms for multiplication of large integers. These methods are also considerably more complicated than classical multiplication, and an implementation quite error-prone. So we may want to test correctness on many inputs. We take inputs $a$ and $b$, say positive integers of 10000 words each, and the output $c$ of 20000 words. Can we check that $a \cdot b=c$ without using our own software?

The solution is a modular test. We take a single-precision prime $p$ and check whether $a \cdot b \equiv c \bmod p$ (read ” $a \cdot b$ and $c$ are congruent modulo $p$ “), which means that $a \cdot b-c$ is divisible by $p$, or equivalently, $a \cdot b$ and $c$ have the same remainder on division by $p$. By (1) below, it is sufficient for this purpose to compute the remainders $a^=a$ rem $p, b^=b$ rem $p, c^=c$ rem $p$ and check whether $a^ \cdot b^* \equiv$ $c^* \bmod p$, since $a \cdot b \equiv a^* \cdot b^* \bmod p$. If this fails to hold, then clearly somewhere there is an error. How reliable is this test?

Of course, it can happen that $a b \neq c$ and $a^* b^* \equiv c^* \bmod p$. This happens if and only if $a b-c \neq 0$ is divisible by $p$. If each of our primes is at least $2^{63}$, then the product of $k$ of them at least $2^{63 \cdot k}$. Now $|a b-c|$ is a number with not more than 20000 words, and hence divisible by at most $\log _{2^{63}}\left(2^{64 \cdot 20000}\right) \leq 20318$ different primes. If we have a data base of 40636 single-precision primes and choose $p$ at random from these, then the test will fail to detect a software error with probability at most $1 / 2$ (assuming that the test itself is correctly implemented). There is an abundant supply of primes: over $2 \cdot 10^{17}$ 64-bit primes, and more than $90 \mathrm{mil}$ lion 32-bit primes, by the prime number theorem 18.7 (see also Exercise 18.18).

By standard tricks, such as rerunning the test or choosing a larger data base, this probability can be made arbitrarily small.

The technique can also be used to test equalities like $f \cdot g=h$ for polynomials $f, g, h$, by substituting a random value, or $A \cdot B=C$ for matrices $A, B, C$, by evaluating at a random vector.

现代代数代写

代写|现代代数代考Modern Algebra代写|(Non-)Uniqueness of the gcd

从数学的角度来看，gcd的非唯一性是无害的。但是在软件中，我们必须实现一个具有唯一输出的函数gcd。在本节中，我们将讨论实现这一目标的一种方法。

因为$\mathbb{Q}$是一个字段，所以每个非零有理数都是$\mathbb{Q}$中的一个单位，所以对于所有非零$u \in \mathbb{Q}$和所有$a \in R$, $u a \sim a$都是$R=\mathbb{Q}[x]$中的一个单位。如果要定义单个元素$\operatorname{gcd}(f, g) \in \mathbb{Q}[x]$，应该选择哪一个呢?换句话说，我们如何从$a$的所有倍数中选择一个代表?一个合理的选择是单多项式，即前导系数为1的多项式。因此，如果$\operatorname{lc}(a) \in \mathbb{Q} \backslash{0}$是$a \in \mathbb{Q}[x]$的前系数，则取正常的$(a)=$$a / \operatorname{lc}(a)$作为$a$的正常形式。(这与第51页的“正常欧洲经济区”无关。)

为了使它在任意欧几里得域$R$中工作，我们假设我们已经为每个$a \in R$选择了一些正规形式normal $(a) \in R$，以便$a \sim \operatorname{normal}(a)$。我们称该单位为$u \in R$, $a=u \cdot \operatorname{normal}(a)$为$a$的先导单位$l u(a)$。此外，我们设置$\operatorname{lu}(0)=1$和$\operatorname{normal}(0)=0$。需要以下两个属性:

$R$的两个元素有相同的范式当且仅当它们是相关的，一个乘积的范式等于两个范式的乘积。

这些性质特别表明，任何单位的标准形式都是1。我们说一个元素$a$是标准形式，所以$\operatorname{lu}(a)=1$是标准化的。

在我们的两个主要应用中，整数和域上的单变量多项式，我们有自然范式。如果$R=\mathbb{Z}, \operatorname{lu}(a)=\operatorname{sign}(a)$ If $a \neq 0$ and $\operatorname{normal}(a)=$$|a|$定义了一个标准形式，那么当且仅当一个整数非负时，它才被规范化。当$R=F[x]$表示字段$F$时，则让$\operatorname{lu}(a)=\operatorname{lc}(a)$(按照$\operatorname{lu}(0)=1)$和$\operatorname{normal}(a)=a / \operatorname{lc}(a)$的约定定义了一个标准形式)和一个非零多项式当且仅当它是monic时被归一化。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Modular arithmetic

我们从一些应用程序开始。第一个是检查程序的正确性。在本书的第二部分中，我们将看到处理大整数乘法的极快算法。这些方法也比经典乘法复杂得多，而且实现起来很容易出错。所以我们可能想要测试许多输入的正确性。我们输入$a$和$b$，每个输入10000字的正整数，输出$c$ 20000字。我们可以不用自己的软件检查$a \cdot b=c$吗?

解决方案是模块化测试。我们取一个单精度质数$p$并检查$a \cdot b \equiv c \bmod p$(请读“$a \cdot b$和$c$是$p$的同余模”)，这意味着$a \cdot b-c$可以被$p$整除，或者等价地，$a \cdot b$和$c$在被$p$整除时具有相同的余数。通过下面的(1)，就足以达到这个目的，计算余数$a^=a$ rem $p, b^=b$ rem $p, c^=c$ rem $p$并检查是否$a^ \cdot b^* \equiv$$c^* \bmod p$，因为$a \cdot b \equiv a^* \cdot b^* \bmod p$。如果这个不能成立，那么很明显在某个地方出错了。这个测试有多可靠?

当然，也可能发生$a b \neq c$和$a^* b^* \equiv c^* \bmod p$。当且仅当$a b-c \neq 0$能被$p$整除。如果每个质数至少是$2^{63}$，那么它们的乘积$k$至少是$2^{63 \cdot k}$。现在$|a b-c|$是一个不超过20000个单词的数字，因此最多可以被$\log _{2^{63}}\left(2^{64 \cdot 20000}\right) \leq 20318$个不同的质数整除。如果我们有一个包含40636个单精度质数的数据库，并从中随机选择$p$，那么测试将无法检测到软件错误，其概率最多为$1 / 2$(假设测试本身正确实现)。素数定理18.7(另见习题18.18)提供了大量的素数:超过$2 \cdot 10^{17}$个64位素数，超过$90 \mathrm{mil}$亿个32位素数。

通过一些标准的技巧，比如重新运行测试或者选择一个更大的数据库，这个概率可以被任意地降低。

该技术还可以用于测试等式，例如通过替换随机值来测试多项式$f, g, h$的$f \cdot g=h$，或者通过在随机向量上求值来测试矩阵$A, B, C$的$A \cdot B=C$。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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