Tag: MATH6231

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最优化Optimization Theory在不同学科中出现的(确定性)优化问题的结构可能具有相当不同的性质，研究它们的技术也是如此。影响所使用方法的一个关键准则是定义优化问题的域的拓扑结构。如果在一个有限的或可数的无限集合中寻找一个极值点，就会得到一个离散优化问题。策略通常具有组合的性质，这就是为什么组合优化这个术语在这类问题中变得流行的原因。对于像实数这样的不可数域，使用的技术很多时候是基于微积分和连续数学的概念，取决于所涉及的函数的特定性质(例如可微性)。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Conjugate Direction, Variable Metric

As a motivation we consider the minimization of a function $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ having the following special form:
$$
f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n f_i\left(x_i\right)
$$
Note that each function $f_i$ in (10.1.1) is a function of only one variable. Then, it is easily seen that $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ minimizes $f$ iff the component $\bar{x}i$ minimizes $f_i, i=1, \ldots, n$. Consequently, the minimization of $f$ can be achieved by successively minimizing along the coordinate axes. Next, consider a quadratic function $f$ : $$ f(x)=\frac{1}{2} x^{\top} A x+b^{\top} x $$ where $A$ is a symmetric, positive definite $(n, n)$-matrix. Let $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n$ be a basis for $\mathbb{R}^n$. Putting $x=\sum{i=1}^n \nu_i v_i$, we obtain:
$$
\begin{aligned}
f(x)=\varphi(\nu)=\sum_{i=1}^n \underbrace{\left(b^{\top} v_i\right)}{\beta_i} \nu_i & +\frac{1}{2} \sum{i=1}^n \underbrace{\left(v_i^{\top} A v_i\right)}{\alpha_i} \nu_i^2 \ & +\frac{1}{2} \sum{\substack{i, j \
i \neq j}}\left(v_i^{\top} A v_j\right) \nu_i \nu_j .
\end{aligned}
$$
If $v_i^{\top} A v_j=0, i \neq j$, then it follows:
$$
f(x)=\varphi(\nu)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{2} \alpha_i \nu_i^2+\beta_i \nu_i\right)=: \sum_{i=1}^n \varphi_i\left(\nu_i\right),
$$
and, hence, $\varphi(\nu)$ is a function of the type (10.1.1). This gives rise to (or motivates) the following definition.

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Conjugate Gradient-, DFP-, BFGS-Method

For practical applications of the idea of conjugate directions it is important to construct algorithms that automatically generate new conjugate directions from the data known at a specific step in the optimization procedure. This will be studied in the present section.

Lemma 10.2.1 According to Algorithm $\mathcal{A}$, let $x^1, x^2, \ldots, x^{\ell}, \ell \leq n$, be generated, where $v_1, v_2, \ldots, v_{\ell} \in \mathbb{R}^n \backslash{0}$ are pairwise conjugate with respect to A. Then, it holds:
$$
D f\left(x^{\ell}\right) v_i=0, \quad i=1,2, \ldots, \ell .
$$

Proof. Obviously, we have $x^{\ell}=x^r+\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j v_j$. It follows:
$$
D f\left(x^{\ell}\right)-D f\left(x^r\right)=\left(x^{\ell}-x^r\right)^{\top} A=\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j v_j^{\top} A .
$$
Let $r \geq 1$. Since $x^r$ minimizes $f\left(x^{r-1}+\lambda v_r\right)$, we have $D f\left(x^r\right) v_r=0$. Hence, it follows for $1 \leq r<\ell$ :
$$
D f\left(x^{\ell}\right) v_r=\left[D f\left(x^{\ell}\right)-D f\left(x^r\right)\right] v_r=\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j\left(v_j^{\top} A v_r\right)=0 .
$$
Finally, the equation $D f\left(x^{\ell}\right) v_{\ell}=0$ follows from the fact that $x^{\ell}$ minimizes the function $f\left(x^{\ell-1}+\lambda v_{\ell}\right)$.

最优化代写

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Conjugate Direction, Variable Metric

作为一个动机，我们考虑一个函数$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$的最小化，它具有以下特殊形式:
$$
f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n f_i\left(x_i\right)
$$
注意(10.1.1)中的每个函数$f_i$都是一个只有一个变量的函数。然后，很容易看出，如果组件$\bar{x}i$最小化$f_i, i=1, \ldots, n$，则$\bar{x} \in \mathbb{R}^n$最小化$f$。因此，$f$的最小化可以通过沿坐标轴的连续最小化来实现。接下来，考虑一个二次函数$f$: $$ f(x)=\frac{1}{2} x^{\top} A x+b^{\top} x $$，其中$A$是一个对称的正定$(n, n)$ -矩阵。让$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n$成为$\mathbb{R}^n$的基础。输入$x=\sum{i=1}^n \nu_i v_i$，我们得到:
$$
\begin{aligned}
f(x)=\varphi(\nu)=\sum_{i=1}^n \underbrace{\left(b^{\top} v_i\right)}{\beta_i} \nu_i & +\frac{1}{2} \sum{i=1}^n \underbrace{\left(v_i^{\top} A v_i\right)}{\alpha_i} \nu_i^2 \ & +\frac{1}{2} \sum{\substack{i, j \
i \neq j}}\left(v_i^{\top} A v_j\right) \nu_i \nu_j .
\end{aligned}
$$
如果是$v_i^{\top} A v_j=0, i \neq j$，则如下:
$$
f(x)=\varphi(\nu)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{2} \alpha_i \nu_i^2+\beta_i \nu_i\right)=: \sum_{i=1}^n \varphi_i\left(\nu_i\right),
$$
因此，$\varphi(\nu)$是类型为(10.1.1)的函数。这就产生了(或激发了)以下定义。

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Conjugate Gradient-, DFP-, BFGS-Method

对于共轭方向思想的实际应用，重要的是构建算法，从优化过程中特定步骤的已知数据自动生成新的共轭方向。这将在本节中进行研究。

引理10.2.1根据算法$\mathcal{A}$，生成$x^1, x^2, \ldots, x^{\ell}, \ell \leq n$，其中$v_1, v_2, \ldots, v_{\ell} \in \mathbb{R}^n \backslash{0}$对a是成对共轭的，则成立:
$$
D f\left(x^{\ell}\right) v_i=0, \quad i=1,2, \ldots, \ell .
$$

证明。显然，我们有$x^{\ell}=x^r+\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j v_j$。它如下:
$$
D f\left(x^{\ell}\right)-D f\left(x^r\right)=\left(x^{\ell}-x^r\right)^{\top} A=\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j v_j^{\top} A .
$$
让$r \geq 1$。因为$x^r$最小化$f\left(x^{r-1}+\lambda v_r\right)$，我们有$D f\left(x^r\right) v_r=0$。因此，对于$1 \leq r<\ell$:
$$
D f\left(x^{\ell}\right) v_r=\left[D f\left(x^{\ell}\right)-D f\left(x^r\right)\right] v_r=\sum_{j=r+1}^{\ell} \lambda_j\left(v_j^{\top} A v_r\right)=0 .
$$
最后，公式$D f\left(x^{\ell}\right) v_{\ell}=0$源于$x^{\ell}$使函数$f\left(x^{\ell-1}+\lambda v_{\ell}\right)$最小的事实。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Geometric Interpretation of Karmarkar’s Algorithm

Recall Karmarkar’s Algorithm and suppose that the iterate $x^k \in \stackrel{o}{\Sigma}^{\Sigma}$ has been generated.

The simplex $\Sigma$ will be transformed into itself and the point $x^k$ is shifted into the barycenter, all by means of the transformation $T_k$ :
$$
T_k\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\frac{n}{\sum_i\left(x_i / z_i\right)}\left(x_1 / z_1, \ldots, x_n / z_n\right), \text { with } z:=x^k
$$

Note that $T_k$ maps each stratum of $\Sigma$ into itself; in particular, all vertices of $\Sigma$ are fixed points of $T_k$ (exercise).

The inverse of $T_k$ is easily computed (instead of dividing by $z_i$ we now have to multiply by $z_i$ ):
$$
T_k^{-1}\left(y_1, \ldots, y_n\right)=\frac{n}{\sum_i y_i z_i}\left(y_1 z_1, \ldots, y_n z_n\right), \text { with } z:=x^k .
$$
The equation $A x=0$ becomes in the $y$-variables: $A T_k^{-1}(y)=0$. From (8.2.2) it follows (after multiplication with $\sum_i y_i z_i / n$ ):
$$
A x=0 \text { iff } A D_k y=0,
$$
with $D_k$ as defined in (8.1.4).
The function $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \longmapsto x_1$ to be minimized, becomes a nonlinear function in the $y$-coordinates:
$$
\left(y_1, \ldots, y_n\right) \longmapsto y_1 \cdot\left(\frac{n z_1}{\sum_i y_i z_i}\right) \text {, with } z:=x^k
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Proof of Theorem 8.1.2 (Polynomiality)

In order to prove Theorem 8.1.2 we have to estimate how much the objective function decreases in each step of the algorithm. Recall that the linear function $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \longmapsto x_1$ transforms awkwardly under the transformation $T_k$

(cf. (8.2.4)). Therefore, a comparable function $f$ is chosen that transforms nicely under $T_k$ :
$$
\left.f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=x_1^n / x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \quad \text { (homogeneous of degree } 0\right) .
$$
The function $f$ is well defined on $\stackrel{o}{\Sigma}$. On $\stackrel{o}{\Sigma}$ we obviously have $x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \leq 1$, and, consequently,
$$
x_1^n \leq f(x), \quad x \in \stackrel{o}{\Sigma}
$$
For $f$ the following interesting transformation formula holds:
Lemma 8.3.1 For $x, y \in \stackrel{o}{\Sigma}$ it holds:
$$
\frac{f\left(T_k(x)\right)}{f\left(T_k(y)\right)}=\frac{f(x)}{f(y)} .
$$
Proof. (Exercise)
Note that $f(1,1, \ldots, 1)=1$, and, hence,
$$
f\left(x^{k+1}\right) / f\left(x^k\right)=f(\widetilde{x})
$$
where $\tilde{x}$ is the minimizer in Step 1 of Karmarkar’s Algorithm in the $(k+1)$-th iteration. If $\alpha=\frac{1}{2}$, then we will show:
$$
f(\widetilde{x}) \leq 2 e^{-1}
$$

最优化代写

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Geometric Interpretation of Karmarkar’s Algorithm

回想一下Karmarkar算法，并假设已经生成了迭代$x^k \in \stackrel{o}{\Sigma}^{\Sigma}$。

单纯形$\Sigma$将被转换为自身，点$x^k$被转换为重心，所有这些都是通过转换$T_k$实现的:
$$
T_k\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\frac{n}{\sum_i\left(x_i / z_i\right)}\left(x_1 / z_1, \ldots, x_n / z_n\right), \text { with } z:=x^k
$$

注意$T_k$将$\Sigma$的每个层映射到自身;特别是，$\Sigma$的所有顶点都是$T_k$ (exercise)的不动点。

$T_k$的倒数很容易计算(我们现在要乘以$z_i$而不是除以$z_i$):
$$
T_k^{-1}\left(y_1, \ldots, y_n\right)=\frac{n}{\sum_i y_i z_i}\left(y_1 z_1, \ldots, y_n z_n\right), \text { with } z:=x^k .
$$
方程$A x=0$变成了$y$ -变量:$A T_k^{-1}(y)=0$。从(8.2.2)中得到(与$\sum_i y_i z_i / n$相乘后):
$$
A x=0 \text { iff } A D_k y=0,
$$
使用(8.1.4)中定义的$D_k$。
要最小化的函数$\left(x_1, \ldots, x_n\right) \longmapsto x_1$在$y$ -坐标下变成一个非线性函数:
$$
\left(y_1, \ldots, y_n\right) \longmapsto y_1 \cdot\left(\frac{n z_1}{\sum_i y_i z_i}\right) \text {, with } z:=x^k
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Proof of Theorem 8.1.2 (Polynomiality)

为了证明定理8.1.2，我们必须估计在算法的每一步中目标函数减少了多少。回想一下，线性函数$\left(x_1, \ldots, x_n\right) \longmapsto x_1$在变换下变换得很笨拙 $T_k$

(参见(8.2.4))。因此，选择一个类似的函数$f$，它可以很好地在$T_k$下进行转换:
$$
\left.f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=x_1^n / x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \quad \text { (homogeneous of degree } 0\right) .
$$
在$\stackrel{o}{\Sigma}$上定义了函数$f$。在$\stackrel{o}{\Sigma}$上我们显然有$x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \leq 1$，因此，
$$
x_1^n \leq f(x), \quad x \in \stackrel{o}{\Sigma}
$$
对于$f$，下面有趣的变换公式成立:
引理8.3.1对于$x, y \in \stackrel{o}{\Sigma}$成立:
$$
\frac{f\left(T_k(x)\right)}{f\left(T_k(y)\right)}=\frac{f(x)}{f(y)} .
$$
证明。(练习)
请注意$f(1,1, \ldots, 1)=1$，因此，
$$
f\left(x^{k+1}\right) / f\left(x^k\right)=f(\widetilde{x})
$$
其中$\tilde{x}$为$(k+1)$ -th次迭代中Karmarkar算法第1步的最小值。如果是$\alpha=\frac{1}{2}$，那么我们将显示:
$$
f(\widetilde{x}) \leq 2 e^{-1}
$$

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博弈论代写

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Parametric Aspects: The Unconstrained Case

In this section we study the dependence of local minima and their corresponding functional values on additional parameters. The appearance of parameters may represent perturbations of an optimization problem. The crucial tools in such investigations are theorems on implicit functions. For a basic reference see [65].

We start with unconstrained optimization problems. Let $f \in C^2\left(\mathbb{R}^n \times\right.$ $\left.\mathbb{R}^r, \mathbb{R}\right)$. The general point $z \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r$ will be represented as $z=(x, t)$, where $x$ is the state variable and where $t$ plays the role of a parameter. In this way we may regard $f$ as being an $r$-parametric family of functions of $n$ variables. Let $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ be a local minimum for $f(\cdot, \bar{t})$. The necessary optimality condition of first order reads
$$
D_x f(\bar{x}, \bar{t})=0
$$
where $D_x f$ denotes the row vector of first partial derivatives with respect to $x$.

Formula (3.1.1) represents $n$ equations with $n+r$ variables. In case that the Jacobian matrix $D D_x^{\top} f(\bar{x}, \bar{t})$, an $(n, n+r)$-matrix, has full rank $(=n)$, in virtue of the implicit function theorem we can choose $n$ variables such that the equation $D_x f=0$ defines these variables as an implicit function of the remaining $r$ variables. With respect to the chosen $n$ variables the corresponding $(n, n)$-submatrix of $D D_x^{\top} f(\bar{x}, \bar{t})$ should be nonsingular. For example, let $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ be a local minimum for $f(\cdot, \bar{t})$ which is nondegenerate, i.e. $D_x^2 f(\bar{x}, \bar{t})$ is nonsingular (and, hence, positive definite). Then, the implicit function theorem yields the existence of open neighborhoods $\mathcal{O}, \mathcal{V}$ of $(\bar{x}, \bar{t}), \bar{t}$, and a mapping $x(\cdot) \in C^1\left(\mathcal{V}, \mathbb{R}^n\right)$ such that for all $(x, t) \in \mathcal{O}$ we have:
$$
D_x f(x, t)=0 \text { iff } x=x(t) .
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Parametric aspects: The Constrained Case

In this section we take constraints into account and again we define the concept of a nondegenerate local minimum. This yields a (stable) system of nonlinear equations which enables us to study the sensitivity of a local minimum with regard to data pertubations.

Let $k \geq 2$ and $f, h_i, g_j \in C^k\left(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r, \mathbb{R}\right), i \in I, j \in J$ and $|I|+|J|<\infty$. For each $t \in \mathbb{R}^r$ we have $f(\cdot, t)$ as an objective function and $M(t)$ as a feasible set, where
$$
M(t)=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid h_i(x, t)=0, i \in I, g_j(x, t) \geq 0, j \in J\right} .
$$
Definition 3.2.1 Let $f, h_i, g_j$ be as above. A (feasible) point $\bar{x} \in M(\bar{t})$ is called nondegenerate local minimum for $f(\cdot, \bar{t}){\mid M(\bar{t})}$ if the following conditions are satisfied: (1) LICQ holds at $\bar{x}$. (2) The point $\bar{x}$ is a critical point for $f(\cdot, \bar{t}){\mid M(\bar{t})}$.
Let $\bar{\lambda}i, \bar{\mu}_j, i \in I, j \in J_0(\bar{x}, \bar{t}):=\left{j \in J \mid g_j(\bar{x}, \bar{t})=0\right}$ be the corresponding Lagrange multipliers and $L$ the Lagrange function, i.e. $$ \begin{aligned} D_x f & =\sum{i \in I} \bar{\lambda}i D_x h_i+\sum{j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})} \bar{\mu}j D_x g{j \mid(\bar{x}, \bar{t})} \
L(x, t) & =f-\sum_{i \in I} \bar{\lambda}i h_i-\sum{j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})} \bar{\mu}j g{j \mid(x, t)}
\end{aligned}
$$
(3) $\bar{\mu}j>0, j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})$. (4) $D_x^2 L(\bar{x}, \bar{t})$ is positive definite on $T{\bar{x}} M(\bar{t})$, where (cf. (2.1.6))

最优化代写

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Parametric Aspects: The Unconstrained Case

在本节中，我们研究了局部极小值及其对应的泛函值对附加参数的依赖性。参数的出现可以表示优化问题的扰动。这类研究的关键工具是关于隐函数的定理。基本参考文献见[65]。

我们从无约束优化问题开始。让$f \in C^2\left(\mathbb{R}^n \times\right.$$\left.\mathbb{R}^r, \mathbb{R}\right)$。一般的点$z \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r$将表示为$z=(x, t)$，其中$x$是状态变量，$t$扮演参数的角色。这样，我们可以把$f$看作是$n$变量的一个$r$ -参数函数族。设$\bar{x} \in \mathbb{R}^n$为$f(\cdot, \bar{t})$的局部最小值。一阶读的必要最优性条件
$$
D_x f(\bar{x}, \bar{t})=0
$$
其中$D_x f$表示对$x$的一阶偏导数的行向量。

式(3.1.1)表示$n$方程，变量为$n+r$。如果雅可比矩阵$D D_x^{\top} f(\bar{x}, \bar{t})$，一个$(n, n+r)$ -矩阵，有满秩$(=n)$，根据隐函数定理，我们可以选择$n$变量，使得方程$D_x f=0$将这些变量定义为剩余$r$变量的隐函数。对于所选择的$n$变量，$D D_x^{\top} f(\bar{x}, \bar{t})$对应的$(n, n)$ -子矩阵应该是非奇异的。例如，设$\bar{x} \in \mathbb{R}^n$为$f(\cdot, \bar{t})$的非简并的局部最小值，即$D_x^2 f(\bar{x}, \bar{t})$是非奇异的(因此是正定的)。然后，隐函数定理得到$(\bar{x}, \bar{t}), \bar{t}$的开放邻域$\mathcal{O}, \mathcal{V}$的存在性，以及一个映射$x(\cdot) \in C^1\left(\mathcal{V}, \mathbb{R}^n\right)$，使得对于所有$(x, t) \in \mathcal{O}$我们有:
$$
D_x f(x, t)=0 \text { iff } x=x(t) .
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Parametric aspects: The Constrained Case

在本节中，我们考虑了约束条件，并再次定义了非简并局部最小值的概念。这产生了一个(稳定的)非线性方程组，使我们能够研究关于数据扰动的局部最小值的灵敏度。

让$k \geq 2$$f, h_i, g_j \in C^k\left(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r, \mathbb{R}\right), i \in I, j \in J$和$|I|+|J|<\infty$。对于每个$t \in \mathbb{R}^r$, $f(\cdot, t)$作为目标函数，$M(t)$作为可行集，其中
$$
M(t)=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid h_i(x, t)=0, i
\in I, g_j(x, t) \geq 0, j \in J\right} .
$$
3.2.1如上所述$f, h_i, g_j$。如果满足以下条件，则称为$f(\cdot, \bar{t}){\mid M(\bar{t})}$的(可行)点$\bar{x} \in M(\bar{t})$为非退化局部最小值:(1)LICQ保持在$\bar{x}$。(2) $\bar{x}$点是$f(\cdot, \bar{t}){\mid M(\bar{t})}$的临界点。

设$\bar{\lambda}i, \bar{\mu}j, i \in I, j \in J_0(\bar{x}, \bar{t}):=\left{j \in J \mid g_j(\bar{x}, \bar{t})=0\right}$为对应的拉格朗日乘子，$L$为拉格朗日函数，即$$ \begin{aligned} D_x f & =\sum{i \in I} \bar{\lambda}i D_x h_i+\sum{j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})} \bar{\mu}j D_x g{j \mid(\bar{x}, \bar{t})} \ L(x, t) & =f-\sum{i \in I} \bar{\lambda}i h_i-\sum{j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})} \bar{\mu}j g{j \mid(x, t)} \end{aligned}
$$

(3) $\bar{\mu}j>0, j \in J_0(\bar{x}, \bar{t})$。(4) $D_x^2 L(\bar{x}, \bar{t})$在$T{\bar{x}} M(\bar{t})$上是肯定的，其中(cf. (2.1.6))

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写最优化Optimization Theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。最优化Optimization Theory是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CONTINUOUS LINEAR REGULATOR PROBLEMS

Problems like Example 3.11-1 with linear plant dynamics and quadratic performance criteria are referred to as linear regulator problems. In this section we investigate the use of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation as a means of solving the general form of the continuous linear regulator problem.t
The process to be controlled is described by the state equations
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)
$$
and the performance measure to be minimized is
$$
J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T\left(t_f\right) \mathbf{H} \mathbf{x}\left(t_f\right)+\int_{t_0}^{t_f} \frac{1}{2}\left[\mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)\right] d t
$$
$\mathbf{H}$ and $\mathbf{Q}$ are real symmetric positive semi-definite matrices, $\mathbf{R}$ is a real, symmetric positive definite matrix, the initial time $t_0$ and the final time $t_f$ are specified, and $\mathbf{u}(t)$ and $\mathbf{x}(t)$ are not constrained by any boundaries.

To use the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, we first form the Hamiltonian:
$$
\begin{array}{cc}
\mathscr{H}\left(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), J_{\mathbf{x}}^, t\right)= & \frac{1}{2} \mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t)+\frac{1}{2} \mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)+J_{\mathbf{x}}^{ T}(\mathbf{x}(t), t) \
& \cdot[\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)]
\end{array}
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|THE HAMILTON-JACOBI-BELLMAN EQUATION-SOME OBSERVATIONS

We have derived the Hamilton-Jacobi-Bellman equation and used it to solve two examples of the linear regulator type. Let us now make some observations concerning the H-J-B functional equation.
Boundary Conditions
In our derivation we have assumed that $t_f$ is fixed; however, the results still apply if $t_f$ is free. For example, if $S$ represents some hypersurface in the state space and $t_f$ is defined as the first time the system’s trajectory intersects $S$, then the boundary condition is
$$
J^\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right) $$ A Necessary Condition The results we have obtained represent a necessary condition for optimality; that is, the minimum cost function $J^(\mathbf{x}(t), t)$ must satisfy the Hamilton-Jacobi-Bellman equation.

A Sufficient Condition
Although we have not derived it here, it is also true that if there is a cost function $J^{\prime}(\mathbf{x}(t), t)$ that satisfies the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, then $J^{\prime}$ is the minimum cost function; i.e.,
$$
J^{\prime}(\mathbf{x}(t), t)=J^*(\mathbf{x}(t), t)
$$
Rigorous proofs of the necessary and sufficient conditions embodied in the H-J-B equation are given in [K-5] and also in [A-2], which contains several examples.
Solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman Equation
In both of the examples that we considered, a solution was obtained by guessing a form for the minimum cost function. Unfortunately, we are normally unable to find a solution so easily. In general, the H-J-B equation must be solved by numerical techniques-see [F-1], for example. Actually, a numerical solution involves some sort of a discrete approximation to the exact optimization relationship [Eq. (3.11-10)]; alternatively, by solving the recurrence relation [Eq. (3.7-18)] we obtain the exact solution to a discrete approximation of the Hamilton-Jacobi-Bellman functional equation.

最优化代写

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CONTINUOUS LINEAR REGULATOR PROBLEMS

像例3.11-1这样具有线性植物动力学和二次性能准则的问题被称为线性调节器问题。在本节中，我们研究使用Hamilton-Jacobi-Bellman方程作为解决连续线性调节器问题一般形式的一种方法
要控制的过程用状态方程来描述
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)
$$
要最小化的性能指标是
$$
J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T\left(t_f\right) \mathbf{H} \mathbf{x}\left(t_f\right)+\int_{t_0}^{t_f} \frac{1}{2}\left[\mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)\right] d t
$$
$\mathbf{H}$和$\mathbf{Q}$是实对称正半定矩阵，$\mathbf{R}$是实对称正定矩阵，指定了初始时间$t_0$和最终时间$t_f$, $\mathbf{u}(t)$和$\mathbf{x}(t)$不受任何边界约束。

为了使用哈密顿-雅可比-贝尔曼方程，我们首先构造哈密顿量:
$$
\begin{array}{cc}
\mathscr{H}\left(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), J_{\mathbf{x}}^, t\right)= & \frac{1}{2} \mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t)+\frac{1}{2} \mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)+J_{\mathbf{x}}^{ T}(\mathbf{x}(t), t) \
& \cdot[\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)]
\end{array}
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|THE HAMILTON-JACOBI-BELLMAN EQUATION-SOME OBSERVATIONS

我们推导了Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并用它来求解两个线性调节器类型的例子。现在让我们对H-J-B泛函方程做一些观察。
边界条件
在推导中，我们假设$t_f$是固定的;但是，如果$t_f$是免费的，结果仍然适用。例如，$S$表示状态空间中的某个超曲面，将$t_f$定义为系统轨迹第一次与$S$相交，则边界条件为
$$
J^\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right) $$必要条件我们得到的结果是最优性的必要条件;即最小代价函数$J^(\mathbf{x}(t), t)$必须满足Hamilton-Jacobi-Bellman方程。

充分条件
虽然我们没有在这里推导出来，但如果存在一个成本函数$J^{\prime}(\mathbf{x}(t), t)$满足Hamilton-Jacobi-Bellman方程，那么$J^{\prime}$是最小成本函数;即，
$$
J^{\prime}(\mathbf{x}(t), t)=J^*(\mathbf{x}(t), t)
$$
[K-5]和[A-2]给出了H-J-B方程所包含的充分必要条件的严格证明，并给出了几个例子。
Hamilton-Jacobi-Bellman方程的解
在我们考虑的两个例子中，通过猜测最小代价函数的形式来获得解。不幸的是，我们通常无法如此轻易地找到解决方案。一般来说，H-J-B方程必须用数值方法求解，例如参见[F-1]。实际上，数值解涉及某种对精确优化关系的离散逼近[Eq. (3.11-10)];或者，通过求解递归关系[Eq.(3.7-18)]，我们可以得到Hamilton-Jacobi-Bellman泛函方程离散近似的精确解。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考APPLICATION OF THE PRINCIPLE OF OPTIMALITY TO DECISION-MAKING

The following example illustrates the procedure for making a single optimal decision with the aid of the principle of optimality.

Consider a process whose current state is $b$. The paths resulting from all allowable decisions at $b$ are shown in Fig. 3-2(a). The optimal paths from $c, d$, and $e$ to the terminal point $f$ are shown in Fig. 3-2(b). The principle of

optimality implies that if $b-c$ is the initial segment of the optimal path from $b$ to $f$, then $c-f$ is the terminal segment of this optimal path. The same reasoning applied to initial segments $b-d$ and $b-e$ indicates that the paths in Fig. 3-2(c) are the only candidates for the optimal trajectory from $b$ to $f$. The optimal trajectory that starts at $b$ is found by comparing
$$
\begin{aligned}
& C_{b c f}^=J_{b c}+J_{c f}^ \
& C_{b d f}^=J_{b d}+J_{d f}^ \
& C_{b e f}^=J_{b e}+J_{e f}^ .
\end{aligned}
$$
The minimum of these costs must be the one associated with the optimal decision at point $b$.

Dynamic programming is a computational technique which extends the above decision-making concept to sequences of decisions which together define an optimal policy and trajectory. The optimal routing problem in the next section illustrates the procedure.

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|DYNAMIC PROGRAMMING APPLIED TO A ROUTING PROBLEM

A motorist wishes to know how to minimize the cost of reaching some destination $h$ from his current location. He can only travel (one-way as indicated) on the streets shown on his map (Fig. 3-3), and at the intersectionto-intersection costs given.

Instead of trying all allowable paths leading from each intersection to $h$ and selecting the one with lowest cost (an exhaustive search), consider the application of the principle of optimality. In this problem, “state” refers to the intersection and a “decision” is the choice of heading (control) elected by the driver when he leaves an intersection.

Suppose the motorist is at $c$; from there he can go, only to $d$ or $f$, and then on to $h$. Let $J_{c d}$ denote the cost of moving from $c$ to $d$ and $J_{c f}$ the cost from $c$ to $f$. Assume that the motorist already knows the minimum costs, $J_{d h}^$ and $J_{f h}^$, to reach the final destination $h$ from $d$ and $f$. (In this example, $J_{d h}^=10$ and $J_{f h}^=5$.) Then the minimum cost $J_{c h}^$ to reach $h$ from $c$ is the smaller of $$ C_{c d h}^=J_{c d}+J_{d h}^=\text { minimum cost to reach } h \text { from } c \text { via } d $$ and $$ C_{c f h}^=J_{c f}+J_{f h}^=\text { minimum cost to reach } h \text { from } c \text { via } f . $$ Thus, $$ \begin{aligned} J_{c h}^ & =\min \left{C_{c d h}^, C_{c f h}^\right} \
& =\min {15,8} \
& =8
\end{aligned}
$$
and the optimal decision at $c$ is to go to $f$.

最优化代写

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考APPLICATION OF THE PRINCIPLE OF OPTIMALITY TO DECISION-MAKING

下面的例子说明了在最优性原则的帮助下做出单个最优决策的过程。

考虑一个当前状态为$b$的进程。图3-2(a)所示为$b$上所有允许决策所产生的路径。从$c, d$、$e$到终点$f$的最优路径如图3-2(b)所示。的原则

最优性意味着，如果$b-c$是从$b$到$f$的最优路径的初始段，那么$c-f$就是该最优路径的终端段。同样的推理应用于初始段$b-d$和$b-e$，表明图3-2(c)中的路径是从$b$到$f$的最优轨迹的唯一候选路径。通过比较找到从$b$开始的最优轨迹
$$
\begin{aligned}
& C_{b c f}^=J_{b c}+J_{c f}^ \
& C_{b d f}^=J_{b d}+J_{d f}^ \
& C_{b e f}^=J_{b e}+J_{e f}^ .
\end{aligned}
$$
这些成本的最小值必须与$b$点上的最优决策相关联。

动态规划是一种将上述决策概念扩展到决策序列的计算技术，这些决策序列共同定义了最优策略和最优轨迹。下一节中的最优路由问题说明了这个过程。

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|DYNAMIC PROGRAMMING APPLIED TO A ROUTING PROBLEM

一个驾车者想知道如何从当前位置到达某个目的地$h$的费用最小。他只能在地图上显示的街道上(如图3-3所示)，按照给定的十字路口到十字路口的费用行驶。

与其尝试从每个交叉点到$h$的所有允许路径并选择代价最低的路径(穷举搜索)，不如考虑最优性原则的应用。在这个问题中，“状态”指的是十字路口，“决策”是驾驶员在离开十字路口时选择的方向(控制)。

假设驾驶者在$c$;从那里，他可以去，只到$d$或$f$，然后到$h$。设$J_{c d}$表示从$c$移动到$d$的成本，$J_{c f}$表示从$c$移动到$f$的成本。假设驾车者已经知道从$d$和$f$到达最终目的地$h$的最小成本$J_{d h}^$和$J_{f h}^$。(本例中为$J_{d h}^=10$和$J_{f h}^=5$。)那么从$c$到达$h$的最小成本$J_{c h}^$是$$ C_{c d h}^=J_{c d}+J_{d h}^=\text { minimum cost to reach } h \text { from } c \text { via } d $$和$$ C_{c f h}^=J_{c f}+J_{f h}^=\text { minimum cost to reach } h \text { from } c \text { via } f . $$中较小的一个，因此是$$ \begin{aligned} J_{c h}^ & =\min \left{C_{c d h}^, C_{c f h}^\right} \
& =\min {15,8} \
& =8
\end{aligned}
$$
在$c$的最优决策是去$f$。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CONCLUDING REMARKS

In control system design, the ultimate objective is to obtain a controller that will cause a system to perform in a desirable manner. Usually, other factors, such as weight, volume, cost, and reliability also influence the controller design, and compromises between performance requirements and implementation considerations must be made. Classical design procedures are best suited for linear, single-input, single-output systems with zero initial conditions. Using simulation, mathematical analysis, or graphical methods, the designer evaluates the effects of inserting various physical devices into the system. By trial and error either an acceptable controller design is obtained, or the designer concludes that the performance requirements cannot be satisfied.

Many complex aerospace problems that are not amenable to classical techniques have been solved by using optimal control theory. However, we are forced to admit that optimal control theory does not, at the present time, constitute a generally applicable procedure for the design of simple controllers. The optimal control law, if it can be obtained, usually requires a digital computer for implementation (an important exception is the linear regulator problem discussed in Section 5.2), and all of the states must be available for feedback to the controller. These limitations may preclude implementation of the optimal control law; however, the theory of optimal control is still useful, because

1. Knowing the optimal control law may provide insight helpful in designing a suboptimal, but easily implemented controller.
2. The optimal control law provides a standard for evaluating proposed suboptimal designs. In other words, by knowing the optimal control law we have a quantitative measure of performance degradation caused by using a suboptimal controller.

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|PERFORMANCE MEASURES FOR OPTIMAL CONTROL PROBLEMS

The “optimal control problem” is to find a control $\mathbf{u}^* \in U$ which causes the system
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)
$$

to follow a trajectory $\mathbf{x}^* \in X$ that minimizes the performance measure
$$
J=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)+\int_{t_0}^{t_s} g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) d t .
$$
Let us now discuss some typical control problems to provide some physical motivation for the selection of a performance measure.
Minimum-Time Problems
Problem: To transfer a system from an arbitrary initial state $\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}0$ to a specified target set $S$ in minimum time. The performance measure to be minimized is $$ \begin{aligned} J & =t_f-t_0 \ & =\int{t_0}^{t s} d t,
\end{aligned}
$$
with $t_f$ the first instant of time when $\mathbf{x}(t)$ and $S$ intersect. The automobile example discussed in Section 1.1 is a minimum-time problem. Other typical examples are the interception of attacking aircraft and missiles, and the slewing mode operation of a radar, or gun system.

最优化代写

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CONCLUDING REMARKS

在控制系统设计中，最终目标是获得一个能使系统以理想方式运行的控制器。通常，重量、体积、成本和可靠性等其他因素也会影响控制器的设计，并且必须在性能要求和实现考虑之间做出妥协。经典设计程序最适合于零初始条件下的线性、单输入、单输出系统。使用仿真、数学分析或图形方法，设计者评估将各种物理设备插入系统的效果。通过反复试验，要么得到一个可接受的控制器设计，要么设计者得出不能满足性能要求的结论。

应用最优控制理论解决了许多传统技术无法解决的复杂航空航天问题。然而，我们不得不承认，目前最优控制理论并不构成简单控制器设计的一般适用程序。最优控制律，如果可以获得，通常需要一台数字计算机来实现(一个重要的例外是第5.2节讨论的线性调节器问题)，并且所有状态都必须可用于反馈给控制器。这些限制可能会妨碍最优控制法的实施;然而，最优控制理论仍然是有用的，因为

了解最优控制律可以为设计次优但易于实现的控制器提供帮助。

最优控制律为评价次优设计提供了一个标准。换句话说，通过了解最优控制律，我们可以定量测量由使用次最优控制器引起的性能下降。

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|PERFORMANCE MEASURES FOR OPTIMAL CONTROL PROBLEMS

“最优控制问题”是找到一个控制$\mathbf{u}^* \in U$，使系统
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{a}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)
$$

遵循最小化性能度量的轨迹$\mathbf{x}^* \in X$
$$
J=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)+\int_{t_0}^{t_s} g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) d t .
$$
现在让我们讨论一些典型的控制问题，为选择性能度量提供一些物理动机。
最短时间问题
问题:在最短时间内将系统从任意初始状态$\mathbf{x}\left(t_0\right)=\mathbf{x}0$转移到指定目标集$S$。要最小化的性能度量是$$ \begin{aligned} J & =t_f-t_0 \ & =\int{t_0}^{t s} d t,
\end{aligned}
$$
用$t_f$表示$\mathbf{x}(t)$和$S$相交的第一个瞬间。第1.1节讨论的汽车示例是一个最短时间问题。其他典型的例子是拦截攻击的飞机和导弹，以及雷达或火炮系统的回转模式操作。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。