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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH625 Spheres as Surfaces

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拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH625 Spheres as Surfaces

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Spheres as Surfaces

The most familiar example of a surface (other than an open set in $\mathbb{R}^2$ ) is a sphere $\mathbb{S}^2$, since we live on one. If we look around a bit at the surface of our planet, we might be inclined to suspect that Earth is flat, because it appears flat when we can only see a bit of it at a time.

Let us now start a rigorous proof that a sphere is a surface according to our definition. To do so, we need to show that for every point $p \in \mathbb{S}^2$, there is an open set $U$ of $\mathbb{S}^2$ containing $p$, and a homeomorphism $f: U \rightarrow V \subset \mathbb{R}^2$. Thus we must first choose an appropriate open set $U$ for each point $p$, and then construct the required homeomorphism. Note that the latitude and longitude coordinates we introduced above do not yet suffice. There are two reasons: the first is that they are only welldefined on part of $\mathbb{S}^2$, so we would only be able to prove that this part of $\mathbb{S}^2$ is a surface rather than all of $\mathbb{S}^2$; the second is that we have not defined $f$, nor shown the existence of $f^{-1}$, for these coordinates yet. We’ll leave both of these issues for you to ponder on your own, and we will presently prove that $\mathbb{S}^2$ is a surface in a different way.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Surfaces with Boundary

A natural question prompted by our consideration of hemispheres just now is: What is the nature of the closed hemisphere $\bar{U}{\text {top }}:=\left{(x, y, z) \in \mathbb{S}^2: z \geq 0\right}$ ? Although this object is almost as surface-like as the familiar sphere $\mathbb{S}^2$, we are unfortunately not justified in calling it a surface-at least according to our definition. This is because any point on the boundary of the closed hemisphere, namely any point of the form $(x, y, 0) \in \bar{U}{\text {top }}$, does not satisfy the surface property. For instance, we can form a relatively open set in $\bar{U}{\text {top }}$ containing $(x, y, 0)$ by intersecting $\bar{U}{\text {top }}$ with $B_r((x, y, 0))$. This open set is homeomorphic to a half-disk in $\mathbb{R}^2$ under the projection $f_{\text {top }}$, which is neither open nor closed. This is only one example, but it reflects a general phenomenon: Try as we might, we will never be able to map a relatively open set containing $(x, y, 0)$ to an open set in the plane, because the image of $\bar{U}{\text {top }}$ will always be on only one side of the image of the boundary of $\bar{U}{\text {top }}$.

We would, however, like to include the closed hemisphere $\bar{U}_{\text {top }}$ in our list of allowed “surface-like” objects. Therefore we make a special definition that covers the case of the closed hemisphere and similar surfaces with boundary curves. We’ll need the standard two-dimensional closed half-space defined by $\mathbb{H}^2:={(x, y) \in$ $\left.\mathbb{R}^2: y \geq 0\right}$. We denote its boundary by $\partial \mathbb{H}^2={(x, 0): x \in \mathbb{R}}$.

Definition $2.3$ A surface with boundary $S$ is a non-empty topological space such that for every point $p \in S$, there is an open set $U \subset S$ containing $p$, and a homeomorphism $f: U \rightarrow V$ onto a relatively open subset $V \subset \mathbb{H}^2$.

This definition admits two kinds of points in $S$. There are those points for which the original definition of “surface” holds, namely the homeomorphism $f: U \rightarrow V$ is such that $V$ is contained in the interior of $\mathbb{H}^2$ and is thus an ordinary open set in $\mathbb{R}^2$. And there are those points whose image under $f$ lie on $\partial \mathbb{H}^2$.


数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH625 Spheres as Surfaces

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Spheres as Surfaces


最熟悉的曲面示例（除了开集 $\mathbb{R}^2$ ) 是一个球体 $\mathbb{S}^2$ ，因为我们住在一个。如果我们稍微环顾地球表面，我们可能 会怀疑地球是平的，因为当我们一次只能看到它的一小部分时，它看起来是平的。
现在让我们开始严格证明，根据我们的定义，球体是一个表面。为此，我们需要证明对于每一点 $p \in \mathbb{S}^2$ ，有一个 开集 $U$ 的 $\mathbb{S}^2$ 含有 $p$ ，和一个同胚 $f: U \rightarrow V \subset \mathbb{R}^2$. 因此我们必须首先选择一个合适的开集 $U$ 对于每个点 $p$ ，然后 构造所需的同胚。请注意，我们上面介绍的纬度和经度坐标还不够。有两个原因：第一个是它们只是部分定义 明确 $\mathbb{S}^2$, 所以我们只能证明这部分 $\mathbb{S}^2$ 是一个表面而不是所有的 $\mathbb{S}^2$; 第二个是我们还没有定义 $f$ ，也没有显示存在 $f^{-1}$ ，对于这些坐标呢。我们将这两个问题留给您自己思考，我们很快就会证明 $\mathbb{S}^2$ 是一个不同方式的表面。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Surfaces with Boundary


刚才我们对半球的考虑引发的一个自然问题是: 封闭半球的性质是什么
\left 缺少或无法识别的分隔符 ？虽然这个物体几乎和我们熟悉的球体一样像表面 $\mathbb{S}^2$, 不幸 的是，我们没有理由将其称为表面 – 至少根据我们的定义。这是因为封闭半球边界上的任意点，即形式的任意 点 $(x, y, 0) \in \bar{U}$ top ，不满足表面性质。例如，我们可以形成一个相对开放的集合 $\bar{U}$ top 含有 $(x, y, 0)$ 通过相 它反映了一个普遍现象: 无论我们怎么努力，我们永远无法映射出一个相对开放的集合，其中包含 $(x, y, 0)$ 到 平面上的开集，因为图像 $\bar{U}$ top 永远只在图像边界的一侧 $\bar{U}$ top .
然而，我们㳍望包括封闭的半球 $\bar{U}_{\text {top }}$ 在我们允许的“类表面”物体列表中。因此，我们做了一个特殊的定义，涵 盖了封闭半球和具有边界曲线的类似曲面的情况。我们需要标准的二维封闭半空间定义为
\right 缺少或无法识别的分隔符 . 我们将其边界表示为 $\partial \mathbb{H}^2=(x, 0): x \in \mathbb{R}$.
定义 $2.3$ 有边界的表面 $S$ 是一个非空的拓扑空间使得对于每个点 $p \in S$, 有一个开集 $U \subset S$ 含有 $p$, 和一个同胚 $f: U \rightarrow V$ 到一个相对开放的子集 $V \subset \mathbb{H}^2$.
这个定义承认两种点 $S$. “表面”的原始定义适用于那些点，即同胚 $f: U \rightarrow V$ 是这样的 $V$ 包含在内部 $\mathbb{H}^2$ 因此是 一个普通的开集 $\mathbb{R}^2$. 还有那些点的图像在 $f$ 躺在 $\partial \mathbb{H}^2$.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH625 Homotopies of Maps and Spaces

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拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH625 Homotopies of Maps and Spaces

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Homotopies of Maps and Spaces

In the last chapter, we discussed homotopies of maps between $[0,1]$ and a topological space $X$. We can generalize this to maps between two arbitrary topological spaces $X$ and $Y$. We say that two maps $f, g: X \rightarrow Y$ are homotopic if we can continuously deform one into the other. We can express this notion more formally, in a similar manner to how we defined homotopies of maps between $[0,1]$ and $X$ :

Definition $9.1$ Suppose $X$ and $Y$ are two topological spaces, and $f, g: X \rightarrow Y$ are two continuous maps. Then a homotopy between $f$ and $g$ is a continuous map $H:[0,1] \times X \rightarrow Y$ satisfying the following properties:

$H(0, x)=f(x)$ for all $x \in X$,

$H(1, x)=g(x)$ for all $x \in X$.
If there is a homotopy between $f$ and $g$, then we say that $f$ and $g$ are homotopic. We write $f \sim g$ when $f$ and $g$ are homotopic.

Example Let $X$ be the interval $[0,1]$, and let $Y$ be the single point 0 . Then $X$ and $Y$ are homotopy equivalent. To see this, we need to define maps $f: X \rightarrow Y$ and $g: Y \rightarrow X$. We define $f(x)=0$ for all $x \in X$, and $g(0)=0$ (for the only point 0 in $Y$ ). Then $(g \circ f)(x)=0$ for all $x \in X$. To see that this is homotopic to the identity map $h(x)=x$, we need to construct a homotopy $H:[0,1] \times X \rightarrow$ $X$ between them. Our homotopy will be defined by $H(s, x)=s x$. Then we have $H(0, x)=0=(g \circ f)(x)$, and $H(1, x)=x=h(x)$. So this is a homotopy between $(g \circ f)(x)$ and the identity function on $X$.

Now we have to show that $f \circ g$ is homotopic to the identity function on $Y$. But this is easier, because both functions are the same function that sends the only point in $Y$ to itself. The homotopy $J$ between them is defined by $J(s, x)=0$.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Computing the Fundamental Group of a Circle

So far, it is not yet clear whether the fundamental group is an interesting invariantthat is, does it ever distinguish spaces? Are there any spaces at all with nontrivial fundamental group? In case the name didn’t give it away, here’s a spoiler: yes! We will show that the circle has nontrivial fundamental group.

Before we do this, let us see intuitively why we ought to believe that the circle has nontrivial fundamental group. Suppose our circle is the set $\mathbb{S}^1=\left{(x, y): x^2+y^2=\right.$ 1} $\subset \mathbb{R}^2$. Let us pick as our basepoint the point $p=(1,0)$. Let us consider the loop $\alpha$ on the circle; $\alpha$ is a map $\alpha:[0,1] \rightarrow \mathbb{S}^1$ so that $\alpha(0)=\alpha(1)=p$, and we will choose it to be the loop $\alpha(t)=(\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$, so it is a loop of constant speed that goes around the circle once in the counterclockwise direction.

This loop appears not to be homotopic to the trivial loop: it seems that this loop goes around once, and the trivial loop goes around 0 times. But how can we prove that, by doing some clever homotopy, we can’t shrink it down to a point?

There are several ways of proving this, and the different techniques highlight different properties of fundamental groups. In this section, we’ll see a way to do it using a first example of covering spaces, while in the next chapter we’ll see a different proof. We won’t talk more about covering spaces in general in this book, but the procedure we employ here to compute fundamental groups is very general and can be used to compute the fundamental group of any reasonably nice space.
The outline of the proof is the following: We want to start with a loop on the circle, lift it up to some other space, and see what the lifted version of the loop looks like.


数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH625 Homotopies of Maps and Spaces

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Homotopies of Maps and Spaces


在上一章中，我们讨论了映射之间的同伦 $[0,1]$ 和拓扑空间 $X$. 我们可以将其推广到两个任意拓扑空间之间的映 射 $X$ 和 $Y$. 我们说两张地图 $f, g: X \rightarrow Y$ 如果我们可以不断地将一个变形为另一个，则它们是同伦的。我们可 以更正式地表达这个概念，类似于我们定义映射同伦的方式 $[0,1]$ 和 $X$ :
定义 9.1认为 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间，并且 $f, g: X \rightarrow Y$ 是两个连续的映射。然后之间的同伦 $f$ 和 $g$ 是连续映射 $H:[0,1] \times X \rightarrow Y$ 满足以下性质:
$H(0, x)=f(x)$ 对全部 $x \in X ，$
$H(1, x)=g(x)$ 对全部 $x \in X$.
如果之间存在同伦 $f$ 和 $g$, 那么我们说 $f$ 和 $g$ 是同伦的。我们写 $f \sim g$ 什么时候 $f$ 和 $g$ 是同伦的。
例子让 $X$ 是间隔 $[0,1]$ ，然后让 $Y$ 是单点 0 。然后 $X$ 和 $Y$ 是同伦等价的。要看到这一点，我们需要定义地图 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow X$. 我们定义 $f(x)=0$ 对全部 $x \in X ，$ 和 $g(0)=0$ (对于唯一的点 $0 Y$ ). 然后 $(g \circ f)(x)=0$ 对全部 $x \in X$. 看到这是恒等映射的同伦 $h(x)=x$ ，我们需要构造一个同伦
$H:[0,1] \times X \rightarrow X$ 它们之间。我们的同伦定义为 $H(s, x)=s x$. 然后我们有 $H(0, x)=0=(g \circ f)(x)$ 和 $H(1, x)=x=h(x)$. 所以这是之间的同伦 $(g \circ f)(x)$ 和身份函数 $X$.
现在我们必须证明 $f \circ g$ 与上的恒等函数同伦 $Y$. 但这更容易，因为这两个函数都是发送唯一点的同一个函数 $Y$ 对 自己。同伦 $J$ 它们之间定义为 $J(s, x)=0$.

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到目前为止，还不清楚基本群是否是一个有趣的不变量，即它曾经区分空间吗？是否存在非平凡基本 群的空间? 万一这个名字没有泄露，这里有一个剧透：是的！我们将证明圆有非平凡的基本群。
在我们这样做之前，让我们直观地看看为什么我们应该相信圆有非平凡的基本群。假设我们的圈子是 集合 $\backslash$ eft 缺少或无法识别的分隔符 $\quad$ |subset $\mid$ mathbb ${R} \wedge 2$ $\backslash \alpha$ isamap $\backslash$ alpha: $[0,1] \backslash$ rightarrow $\backslash \operatorname{mathbb}{\mathrm{s}} \wedge 1$ sothat $\backslash$ alpha $(0)=\backslash$ alpha $(1)=\mathrm{p}$ , andwewillchooseittobetheloop \alpha(t $)=(\backslash \cos 2 \backslash \mathrm{pi} t, \mid \sin 2 \backslash \mathrm{pi} t) \$$, 所以是逆时针 方向绕一圈的等速循环。
这个循环似乎与平凡循环不同伦：似平这个循环绕过一次，而平凡循环绕过 0 次。但是我们如何证 明，通过一些聪明的同伦，我们不能把它缩小到一个点呢?
有几种方法可以证明这一点，不同的技术突出了基本群的不同性质。在本节中，我们将看到使用覆盖 空间的第一个示例来完成此操作的方法，而在下一章中，我们将看到一个不同的证明。我们不会在本 书中更多地讨论一般的覆盖空间，但是我们在这里用来计算基本群的过程是非常通用的，可以用来计 算任何相当好的空间的基本群。
证明的概要如下：我们想从圆上的一个环开始，将它提升到其他空间，看看提升后的环是什么样子 的。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

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博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写代数拓扑Algebraic Topology MATH625这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数拓扑Algebraic Topology是数学的一个分支，使用抽象代数的工具来研究拓扑空间。其基本目标是找到代数不变量，将拓扑空间分类至同构，尽管通常大多数分类至同构等价。尽管代数拓扑学主要使用代数来研究拓扑学问题，但使用拓扑学来解决代数问题有时也是可能的。例如，代数拓扑学可以方便地证明，自由群的任何子群又是一个自由群。

代数拓扑Algebraic Topology在代数方法中，人们找到了空间和群之间的对应关系，尊重空间的同构（或更一般的同构）关系。这使得人们可以将关于拓扑空间的陈述重塑为关于群的陈述，而群有大量可管理的结构，往往使这些陈述更容易证明。实现这一目标的两个主要途径是通过基本群，或更一般的同构理论，以及通过同构和同构群。基本群给我们提供了关于拓扑空间结构的基本信息，但它们通常是非abelian的，可能很难处理。一个（有限的）简约复合体的基本群确实有一个有限的呈现。

代数拓扑Algebraic Topology代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的代数拓扑Algebraic Topology作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此代数拓扑Algebraic Topology作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考|MATH625 The Category of A -Modules

数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考|The Category of A -Modules

Let $\mathscr{M}$ denote the category of (left) $\mathscr{A}$-modules. This is an abelian category with additional structure; namely, the fact that $\mathscr{A}$ is a Hopf algebra implies that the tensor product (as graded vector spaces) of two $\mathscr{A}$-modules has a natural $\mathscr{A}$-module structure. Explicitly, the Steenrod squares act via:
$$
S q^n(x \otimes y)=\sum_{i+j=n} S q^i(x) \otimes S q^j(y)
$$
this corresponds to the fact that the diagonal $\Delta: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{A} \otimes \mathscr{A}$ is determined by $\Delta S q^n=\sum_{i+j=n} S q^i \otimes S q^j$

Since $\mathscr{A}$ is a connected algebra (concentrated in non-negative degrees, with $\mathscr{A}^0=\mathbb{F}$ ) the Hopf algebra conjugation (or antipode) $\chi: \mathscr{A}^{\circ} \rightarrow \mathscr{A}$ is determined by the diagonal [MM65] and is an isomorphism of algebras, where $\mathscr{A}^{\circ}$ is $\mathscr{A}$ equipped with the opposite algebra structure ( $\chi$ is an anti-automorphism of $\mathscr{A}$ ).

数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考|Unstable Modules and Destabilization

Whereas the cohomology of a spectrum (object from stable homotopy theory which represents a cohomology theory) is simply an $\mathscr{A}$-module, the cohomology of a space has further structure; it is an algebra (via the cup product) and the underlying $\mathscr{A}$-module is unstable.

Definition 2.2.3.1 An $\mathscr{A}$-module $M$ is unstable if $S q^i x=0, \forall i>|x|$. The full subcategory of unstable modules is denoted $\mathscr{U} \subset \mathscr{M}$.

Proposition 2.2.3.2 The category $\mathscr{U}$ is an abelian subcategory of $\mathscr{M}$ and is closed under the tensor product $\otimes$ of $\mathscr{M}$.

Proof From the definition of instability, it is clear that a submodule (respectively quotient) of an unstable module is unstable. This implies that $\mathscr{U}$ is an abelian subcategory of $\mathscr{M}$.

Closure under $\otimes$ is seen as follows. By definition, $S q^n(x \otimes y)=$ $\sum_{i+j=n} S q^i(x) \otimes S q^j(y)$; if $n>|x \otimes y|$ and $i+j=n$, then either $i>|x|$ or $j>|y|$, so that the right hand expression is zero, as required.

Remark 2.2.3.3 The duality functor $(-)^{\vee}: \mathscr{M}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathscr{M}$ does not preserve $\mathscr{U}$, since the relation $S q^0=1$ implies that an unstable module is concentrated in degrees $\geq 0$. The dual $M^{\vee}$ of a module $M$ concentrated in degrees $\geq 0$ is concentrated in degrees $\geq 0$ if and only if $M=M^0$; for example, the dual of $\Sigma \mathbb{F}$ is not unstable.
Example 2.2.3.4 For $n \in \mathbb{N}$, the suspension functor $\Sigma^n: \mathscr{M} \rightarrow \mathscr{M}$ restricts to an exact functor $\Sigma^n: \mathscr{U} \rightarrow \mathscr{U}$ (given by $\Sigma^n \mathbb{F} \otimes-$ ). This is not an equivalence of categories if $n>0$.

For later use, the following definition is recalled, which uses the tensor product of $\mathscr{U}$.

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代数拓扑代考

数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考|The Category of A -Modules


让 $\mathscr{M}$ 表示 (左) 的类别 $\mathscr{A}$-模块。这是一个具有附加结构的阿贝尔范帱; 即，事实是, $\mathscr{A}$ 是 Hopf 代数意味着两个的张量积（作为 分级向量空间) $\mathscr{A}$-modules有一个自然 $\mathscr{A}$-模块结构。明确地，steenrod 方块通过以下方式起作用:
$$
S q^n(x \otimes y)=\sum_{i+j=n} S q^i(x) \otimes S q^j(y)
$$
这对应于对角线的事实 $\Delta: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{A} \otimes \mathscr{A}$ 决定于 $\Delta S q^n=\sum_{i+j=n} S q^i \otimes S q^j$
自从 $\mathscr{A}$ 是连通代数（集中于非负度数，具有 $\mathscr{A}^0=\mathbb{F}$ ) Hopf 代数共轭 (或对映体) $\chi: \mathscr{A}^0 \rightarrow \mathscr{A}$ 由对角线 $[\mathrm{MM} 65]$ 确定并且是 代数的同构，其中 $\mathscr{A}^0$ 是 $\mathscr{A}$ 配备了相反的代数结构（ $\chi$ 是 个反自同构 $\left.\mathscr{A}\right)$.


数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考|Unstable Modules and Destabilization


而谱的上同调（代表上同调理论的稳定同伦理论的对象）只是 个 $\mathscr{A}$-模，空间的上同调有进一步的结构；它是 个代数（通过杯 积) 和底层. $\mathscr{A}-$-模块不稳定。
定义 2.2.3.1 一个 $\mathscr{A}$-模块 $M$ 不稳定，如果 $S q^i x=0, \forall i>|x|$. 不稳定模块的完整子类别表示为 $\mathscr{U} \subset \mathscr{M}$.
提案 2.2.3.2 类别 $\mathscr{U}$ 是的阿贝尔子范帱 $\mathscr{M}$ 并且在张量积下是封闭的 $\otimes$ 的 $\mathscr{M}$.
证明 由不稳定的定义可知，不稳定模块的子模块（分别为商）是不稳定的。这意味着 $\mathscr{U}$ 是的阿贝尔子范帱 $\mathscr{M}$.
下关闭 $\otimes$ 如下所示。根据定义, $S q^n(x \otimes y)=\sum_{i+j=n} S q^i(x) \otimes S q^j(y)$; 如果 $n>|x \otimes y|$ 和 $i+j=n$ ，那么要么i $>|x|$ 或 者 $j>|y|$ ，以便根据需要，右侧表达式为零。
备注 2.2.3.3 对偶函子 $(-)^{\vee}: \mathscr{M}^{\text {op }} \rightarrow \mathscr{M}$ 不保留 $\mathscr{U}$ ，因为关系 $S q^0=1$ 意味着不稳定的模块集中在度数上 $\geq 0$. 双 $M^{\vee}$ 模块的 $M$ 集中度数 $\geq 0$ 集中在度数 $\geq 0$ 当且仅当 $M=M^0$; 例吅，对偶 $\Sigma F$ 不是不稳定的。
示例 2.2.3.4 对于 $n \in \mathbb{N}$, 县浮函子 $\Sigma^n: \mathscr{M} \rightarrow \mathscr{M}$ 限制为精确函子 $\Sigma^n: \mathscr{U} \rightarrow \mathscr{U}$ (由 $\left.\Sigma^n \mathbb{F} \otimes-\right)$. 这不是类别的等价如果 $n>0$.
为了以后使用，回忆以下定义，它使用张荲积 $\mathscr{U}$.

数学代写|代数拓扑代考Algebraic Topology代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|MATH625 Preliminaries

如果你也在 怎样代写微分流形Differential Manifold MATH625这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。微分流形Differential Manifold是一种流形，其局部与矢量空间足够相似，允许人们应用微积分。任何流形都可以用图表的集合来描述（图集）。然后，人们可以在各个图表中应用微积分的思想，因为每个图表都位于一个矢量空间中，微积分的通常规则适用于此。如果这些图表是适当兼容的（即从一个图表到另一个图表的过渡是可微的），那么在一个图表中进行的计算在任何其他可微图表中都是有效的。

微分流形Differential Manifold从形式上讲，可微流形是一个具有全局定义的微分结构的拓扑流形。任何拓扑流形都可以通过使用其图集中的同构体和向量空间上的标准微分结构而被赋予一个局部的微分结构。为了在由同构体引起的局部坐标系上诱导出一个全局微分结构，它们在图集中的图表交点上的组合必须是相应矢量空间上的可微函数。换句话说，当图表的领域重叠时，每个图表所定义的坐标都需要相对于图集中每个图表所定义的坐标而言是可微的。将各种图表所定义的坐标相互联系起来的地图被称为过渡地图。

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数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|MATH625 Preliminaries

数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|Space and Coordinatization

Mathematics is a natural science with a special modus operandi. It replaces concrete natural objects with mental abstractions which serve as intermediaries. One studies the properties of these abstractions in the hope they reflect facts of life. So far, this approach proved to be very productive.

The most visible natural object is the Space, the place where all things happen. The first and most important mathematical abstraction is the notion of number. Loosely speaking, the aim of this book is to illustrate how these two concepts, Space and Number, fit together.

It is safe to say that geometry as a rigorous science is a creation of ancient Greeks. Euclid proposed a method of research that was later adopted by the entire mathematics. We refer of course to the axiomatic method. He viewed the Space as a collection of points, and he distinguished some basic objects in the space such as lines, planes etc. He then postulated certain (natural) relations between them. All the other properties were derived from these simple axioms.

Euclid’s work is a masterpiece of mathematics, and it has produced many interesting results, but it has its own limitations. For example, the most complicated shapes one could reasonably study using this method are the conics and/or quadrics, and the Greeks certainly did this. A major breakthrough in geometry was the discovery of coordinates by René Descartes in the 17th century. Numbers were put to work in the study of Space.

Descartes’ idea of producing what is now commonly referred to as Cartesian coordinates is familiar to any undergraduate. These coordinates are obtained using a very special method (in this case using three concurrent, pairwise perpendicular lines, each one endowed with an orientation and a unit length standard. What is important here is that they produced a one-to-one mapping
Euclidian Space $\rightarrow \mathbb{R}^3, \quad P \longmapsto(x(P), y(P), z(P))$

数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|The implicit function theorem

We gather here, with only sketchy proofs, a collection of classical analytical facts. For more details one can consult [34].

Let $X$ and $Y$ be two Banach spaces and denote by $L(X, Y)$ the space of bounded linear operators $X \rightarrow Y$. For example, if $X=\mathbb{R}^n, Y=\mathbb{R}^m$, then $L(X, Y)$ can be identified with the space of $m \times n$ matrices with real entries. For any set $S$ we will denote by $\mathbb{1}_S$ the identity map $S \rightarrow S$.

Definition 1.1.1. Let $F: U \subset X \rightarrow Y$ be a continuous function ( $U$ is an open subset of $X$ ). The map $F$ is said to be (Fréchet) differentiable at $u \in U$ if there exists $T \in L(X, Y)$ such that
$$
\left|F\left(u_0+h\right)-F\left(u_0\right)-T h\right|_Y=o\left(|h|_X\right) \text { as } h \rightarrow 0,
$$
i.e.,
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{|h|_X}\left|F\left(u_0+h\right)-F\left(u_0\right)-T h\right|_Y=0 .
$$
Loosely speaking, a continuous function is differentiable at a point if, near that point, it admits a “best approximation” by a linear map.

When $F$ is differentiable at $u_0 \in U$, the operator $T$ in the above definition is uniquely determined by
$$
T h=\left.\frac{d}{d t}\right|{t=0} F\left(u_0+t h\right)=\lim {t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left(F\left(u_0+t h\right)-F\left(u_0\right)\right) .
$$
We will use the notation $T=D_{u_0} F$ and we will call $T$ the Fréchet derivative of $F$ at $u_0$.
Assume that the map $F: U \rightarrow Y$ is differentiable at each point $u \in U$. Then $F$ is said to be of class $C^1$, if the map $u \mapsto D_u F \in L(X, Y)$ is continuous. $F$ is said to be of class $C^2$ if $u \mapsto D_u F$ is of class $C^1$. One can define inductively $C^k$ and $C^{\infty}$ (or smooth) maps.

数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|MATH625 Preliminaries

微分流形代考

数学代考微分流形代考Differential Manifold代写|Space and Coordinatization


数学是一门具有特殊作案方法的自然科学。它用充当中介的精神抽象代菖了具体的自然对象。人们研究这些抽彖的特性，希肓它们 反映生活的事实。到目前为止，这种方法被证明是非常有成效的。
最明显的自然物体是空间，所有事情发生的地方。第一个也是最重要的数学抽㳏是数的概念。粗略地说，本书的目的是说明空间和 数字这两个概念是如何组合在一起的。
可以肯定地说，几何学作为一门严谨的科学是古希腊人的创造。欧几里德提出了一种后来被整个数学界所采用的研究方法。我们当 然指的是公理化方法。他将空间视为点的集合，他区分了空间中的一些其本对象，例呰线、面等。然后他假设它们之间存在某些 （自然）关系。所有其他属性都来自这些简单的公理。
欧几里德的著作是数学的杰作，产生了许多有趣的结果，但也有其局限性。例如，使用这种方法可以合理研究的最复杂的形状是二 次曲线和/或二次曲线，希腊人当然做到了。几何学的重大突破是 17 世纪勒内·笛卡尔 (René Descartes) 发现的坐标。数字在空 间研究中发挥了作用。
笛卡尔关于产生现在通常称为笛卡尔坐标的想法是任何本科生都孰悉的。这些坐标是使用一种非常特殊的方法获得的（在这种情况 下使用三个并发的、成对的垂直线，每一个都被珷予一个方向和一个单位长度标准。这里重要的是它们产生了一个一对一的映射 欧几里得空间 $\rightarrow \mathbb{R}^3, \quad P \longmapsto(x(P), y(P), z(P))$


数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|The implicit function theorem

我们在这里收集了经典分析事实的集合，只有粗略的证据。有关更多详细信息，请参阅 [34]。
让 $X$ 和 $Y$ 是两个 Banach 空间并表示为 $L(X, Y)$ 有界线性算子的空间 $X \rightarrow Y$. 例如，如果 $X=\mathbb{R}^n, Y=\mathbb{R}^m$ ，然后 $L(X, Y)$ 可以用空间来识别 $m \times n$ 具有真实条目的矩阵。对于任何集合 $S$ 我们将表示为 $\mathbb{1}S$ 身份映射 $S \rightarrow S$. 定义 1.1.1。让 $F: U \subset X \rightarrow Y$ 是一个连续函数 ( $U$ 是 个开子集 $X$ ). 地图 $F$ 据脱是 (Fréchet) 可微的 $u \in U$ 如果存在 $T \in L(X, Y)$ 这样 $$ \left|F\left(u_0+h\right)-F\left(u_0\right)-T h\right|_Y=o(|h| X) \text { as } h \rightarrow 0 $$ $\mathrm{IE}$ 。 $$ \lim {h \rightarrow 0} \frac{1}{|h|X}\left|F\left(u_0+h\right)-F\left(u_0\right)-T h\right|_Y=0 $$ 粗略地说，如果连续函数在该点邛近允许线性映射的“最佳逼近”，则该连续函数在该点处是可微的。 什么时候 $F$ 可微于 $u_0 \in U ＼mathrm{~ ， 运 莒 商 ~} T$ 在上面的定义中唯一地由 $$ T h=\frac{d}{d t} \mid t=0 F\left(u_0+t h\right)=\lim t \rightarrow 0 \frac{1}{t}\left(F\left(u_0+t h\right)-F\left(u_0\right)\right) . $$ 我们将使用符昊 $T=D{u_0} F$ 娥们会打电话 $T$ 的 Fréchet 导数 $F$ 在 $u_0$.
假设地图 $F: U \rightarrow Y$ 在每一点都是可微的 $u \in U$. 然后 $F$ 据说是一流的 $C^1$ ，如果地图 $u \mapsto D_u F \in L(X, Y)$ 是连续的。F据兑是 一流的 $C^2$ 如果 $u \mapsto D_u F$ 是一流的 $C^1$. 可以归纳地定义 $C^k$ 和 $C^{\infty}$ (或平滑) 地图。

数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

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