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概率论与统计Probaility Theory and Statics 的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程（为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象，这些过程或测量量可能是单一发生的，或以随机方式随时间演变）。尽管不可能完美地预测随机事件，但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一组公理来表达它。

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数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Brownian Motion

A priori the paths of a canonical process are of course not continuous since every map $[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ is possible. Hence, it will be important to find out which paths are P-almost surely negligible.

Definition $21.1$ Let $X$ and $Y$ be stochastic processes on $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ with time set $I$ and state space $E . X$ and $Y$ are called
(i) modifications or versions of each other if, for any $t \in I$, we have
$$
X_t=Y_t \quad \mathbf{P} \text {-almost surely }
$$

(ii) indistinguishable if there exists an $N \in \mathcal{A}$ with $\mathbf{P}[N]=0$ such that
$$
\left{X_t \neq Y_t\right} \subset N \quad \text { for all } t \in I .
$$
Clearly, indistinguishable processes are modifications of each other. Under certain assumptions on the continuity of the paths, however, the two notions coincide.

数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Construction and Path Properties

Definition $21.8$ A real-valued stochastic process $B=\left(B_t, t \in[0, \infty)\right)$ is called a Brownian motion if

(i) $B_0=0$,
(ii) $B$ has independent, stationary increments (compare Definition 9.7),
(iii) $B_t \sim \mathcal{N}_{0, t}$ for all $t>0$, and
(iv) $t \mapsto B_t$ is $\mathbf{P}$-almost surely continuous.
See Fig. $21.1$ for a computer simulation of a Brownian motion.
Theorem 21.9 There exists a probability space $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ and a Brownian motion $B$ on $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$. The paths of $B$ are a.s. locally Hölder- $\gamma$-continuous for every $\gamma<\frac{1}{2}$

Proof As in Example $14.48$ or Corollary $16.10$ there exists a stochastic process $X$ that fulfills (i), (ii) and (iii). Evidently, $X_t-X_s \stackrel{\mathcal{D}}{=} \sqrt{t-s} X_1 \sim \mathcal{N}_{0, t-s}$ for all $t>s \geq 0$. Thus, for every $n \in \mathbb{N}$, writing $C_n:=\mathbf{E}\left[X_1^{2 n}\right]=\frac{(2 n) !}{2^n n !}<\infty$, we have
$$
\mathbf{E}\left[\left(X_t-X_s\right)^{2 n}\right]=\mathbf{E}\left[\left(\sqrt{t-s} X_1\right)^{2 n}\right]=C_n|t-s|^n
$$

概率论与统计代考

数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Brownian Motion 略不计的。

定义21.1让 $X$ 和 $Y$ 是随机过程 $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ 随着时间的推移 $I$ 和状态空间 $E . X$ 和 $Y$ 被称为
(i) 彼此的修改或版本，如果，对于任何 $t \in I ，$ 我们有
$$
X_t=Y_t \quad \text { P-almost surely }
$$
(ii) 不可区分，如果存在 $N \in \mathcal{A}$ 和 $\mathrm{P}[N]=0$ 这样
ｌeft 缺少或无法识别的分隔符
显然，不可区分的过程是彼此的修改。然而，在路径连续性的某些假设下，这两个概念是一致的。

数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Construction and Path Properties

定义 $21.8$ 一个实值随机过程 $B=\left(B_t, t \in[0, \infty)\right)$ 称为布朗运动，如果
(我) $B_0=0$ ，
(二) $B$ 具有独立的固定增量（比较定义 $9.7$ ），
(iii) $B_t \sim \mathcal{N}{0, t}$ 对全部 $t>0$, 以及 (iv) $t \mapsto B_t$ 是 $\mathbf{P}$-几乎肯定是连续的。 见图。21.1用于布朗运动的计算机模拟。 定理 $21.9$ 存在概率空间 $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ 和布朗运动 $B$ 在 $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$. 的路径 $B$ 就像当地的 Hölder $-\gamma$ – 对每个连紏 $\gamma<\frac{1}{2}$ 证明如示例14.48或推论 $16.10$ 存在一个随机过程 $X$ 满足 (i)、(ii) 和 (iii)。显然， $X_t-X_s \stackrel{\mathcal{D}}{=} \sqrt{t-s} X_1 \sim \mathcal{N}{0, t-s}$ 对全部 $t>s \geq 0$. 因此，对于每个 $n \in \mathbb{N}$ ，写作 $C_n:=\mathbf{E}\left[X_1^{2 n}\right]=\frac{(2 n) !}{2 n_{n} !}<\infty$ ，我们有
$$
\mathbf{E}\left[\left(X_t-X_s\right)^{2 n}\right]=\mathbf{E}\left[\left(\sqrt{t-s} X_1\right)^{2 n}\right]=C_n|t-s|^n
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Discrete Markov Processes in Continuous Time

Let $E$ be countable and let $\left(X_t\right)_{t \in[0, \infty)}$ be a Markov process on $E$ with transition probabilities $p_t(x, y)=\mathbf{P}_x\left[X_t=y\right]$ (for $x, y \in E$ ). (Some authors call such a process a Markov chain in continuous time.)

Let $x, y \in E$ with $x \neq y$. We say that $X$ jumps with rate $q(x, y)$ from $x$ to $y$ if the following limit exists:
$$
q(x, y):=\lim {t \downarrow 0} \frac{1}{t} \mathbf{P}_x\left[X_t=y\right] . $$ Henceforth we assume that the limit $q(x, y)$ exists for all $y \neq x$ and that $$ \sum{y \neq x} q(x, y)<\infty \text { for all } x \in E .
$$
Then we define
$$
q(x, x)=-\sum_{y \neq x} q(x, y)
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Discrete Markov Chains: Recurrence and Transience

In the following, let $X=\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}_0}$ be a Markov chain on the countable space $E$ with transition matrix $p$.
Definition 17.29 For any $x \in E$, let $\tau_x:=\tau_x^1:=\inf \left{n>0: X_n=x\right}$ and
$$
\tau_x^k=\inf \left{n>\tau_x^{k-1}: X_n=x\right} \quad \text { for } k \in \mathbb{N}, k \geq 2
$$
$\tau_x^k$ is the kth entrance time of $X$ for $x$. For $x, y \in E$, let
$$
F(x, y):=\mathbf{P}_x\left[\tau_y^1<\infty\right]=\mathbf{P}_x\left[\text { there is an } n \geq 1 \text { with } X_n=y\right] $$ be the probability of ever going from $x$ to $y$. In particular, $F(x, x)$ is the return probability (after the first jump) from $x$ to $x$. Note that $\tau_x^1>0$ even if we start the chain at $X_0=x$.

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Discrete Markov Processes in Continuous Time

让 $E$ 可数并让 $\left(X_t\right){t \in[0, \infty)}$ 是一个马尔可夫过程 $E$ 具有转移概率 $p_t(x, y)=\mathbf{P}_x\left[X_t=y\right]$ (为了 $x, y \in E$ ). (有些作者称这样的过程为连续时间马尔可夫链。) 让 $x, y \in E$ 和 $x \neq y$. 我们说 $X$ 以速率跳跃 $q(x, y)$ 从 $x$ 到 $y$ 如果存在以下限制: $$ q(x, y):=\lim t \downarrow 0 \frac{1}{t} \mathbf{P}_x\left[X_t=y\right] . $$ 从今以后我们假设极限 $q(x, y)$ 存在于所有人 $y \neq x$ 然后 $$ \sum y \neq x q(x, y)<\infty \text { for all } x \in E . $$ 然后我们定义 $$ q(x, x)=-\sum{y \neq x} q(x, y)
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Discrete Markov Chains: Recurrence and Transience

下面，让 $X=\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N} 0}$ 是可数空间上的马尔可夫链 $E$ 带转移矩阵 $p$.
定义 $17.29$ 对于任何 $x \in E$ ，让 left 缺少或无法识别的分隔符
和
\left 缺少或无法识别的分隔符
$\tau_x^k$ 是第 $\mathrm{k}$ 个进入时间 $X$ 为了 $x$. 为了 $x, y \in E$ ，让
$F(x, y):=\mathbf{P}_x\left[\tau_y^1<\infty\right]=\mathbf{P}_x\left[\right.$ there is an $n \geq 1$ with $X_n=y$ ] 是从 $x$ 到 $y$. 尤其， $F(x, x)$ 是返回概率 (在第一次跳跃之后) $x$ 到 $x$. 注意 $\tau_x^1>0$ 即使我们开始链 $X_0=x$.

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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