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## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Norm and the Trace

We begin by defining two important rational numbers associated with an element of an algebraic number field $K$. Recall that if $K$ is an algebraic number field, then $K$ can be viewed as a finite-dimensional vector space over $\mathbb{Q}$. Then if $\alpha \in K$, the map from $K$ to $K$ defined by $\Phi_\alpha: v \rightarrow \alpha v$ defines a linear operator on $K$. We define the trace of $\alpha$ by $\operatorname{Tr}K(\alpha):=\operatorname{Tr}\left(\Phi\alpha\right)$ and the norm of $\alpha$ by $\mathrm{N}K(\alpha):=\operatorname{det}\left(\Phi\alpha\right)$ (where $\operatorname{Tr}$ and det are the usual trace and determinant of a linear map). We sometimes also use the notation $\operatorname{Tr}{K / \mathbb{Q}}$ for $\operatorname{Tr}_K$ and $\mathrm{N}{K / \mathbb{Q}}$ for $\mathrm{N}_K$.

Thus, to find $\operatorname{Tr}K(\alpha)$, we choose any $\mathbb{Q}$-basis $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ of $K$ and write $$\alpha \omega_i=\sum a{i j} \omega_j \quad \forall i,$$
so $\operatorname{Tr}K(\alpha)=\operatorname{Tr} A$ and $\mathrm{N}_K(\alpha)=\operatorname{det} A$ where $A$ is the matrix $\left(a{i j}\right)$.
Lemma 4.1.1 If $K$ is an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$, and $\alpha \in \mathcal{O}_K$ its ring of integers, then $\operatorname{Tr}_K(\alpha)$ and $\mathrm{N}_K(\alpha)$ are in $\mathbb{Z}$.

Proof. We begin by writing $\alpha \omega_i=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j \forall i$. Then we have
$$\alpha^{(k)} \omega_i^{(k)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)} \quad \forall i, k,$$
where $\alpha^{(k)}$ is the $k$ th conjugate of $\alpha$. We rewrite the above by introducing the Kronecker delta function to get
$$\sum_{j=1}^n \delta_{j k} \alpha^{(j)} \omega_i^{(j)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)},$$
where $\delta_{i j}=\left{\begin{array}{ll}0 & \text { if } i \neq j, \ 1 & \text { if } i=j .\end{array}\right.$ Now, if we define the matrices
$$A_0=\left(\alpha^{(i)} \delta_{i j}\right), \quad \Omega=\left(\omega_i^{(j)}\right), \quad A=\left(a_{i j}\right),$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Existence of an Integral Basis

Let $K$ be an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$, and $\mathcal{O}K$ its ring of integers. We say that $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ is an integral basis for $K$ if $\omega_i \in \mathcal{O}_K$ for all $i$, and $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \omega_1+\mathbb{Z} \omega_2+\cdots+\mathbb{Z} \omega_n$. Exercise 4.2.1 Show that $\exists \omega_1^, \omega_2^, \ldots, \omega_n^* \in K$ such that
$$\mathcal{O}_K \subseteq \mathbb{Z} \omega_1^+\mathbb{Z} \omega_2^+\cdots+\mathbb{Z} \omega_n^* \text {. }$$
Theorem 4.2.2 Let $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ be a set of generators for a finitely generated $\mathbb{Z}$-module $M$, and let $N$ be a submodule.
(a) $\exists \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m$ in $N$ with $m \leq n$ such that
$$N=\mathbb{Z} \beta_1+\mathbb{Z} \beta_2+\cdots+\mathbb{Z} \beta_m$$
and $\beta_i=\sum{j \geq i} p_{i j} \alpha_j$ with $1 \leq i \leq m$ and $p_{i j} \in \mathbb{Z}$
(b) If $m=n$, then $[M: N]=p_{11} p_{22} \cdots p_{n n}$.

Proof. (a) We will proceed by induction on the number of generators of a $\mathbb{Z}$-module. This is trivial when $n=0$. We can assume that we have proved the above statement to be true for all $\mathbb{Z}$-modules with $n-1$ or fewer generators, and proceed to prove it for $n$. We define $M^{\prime}$ to be the submodule generated by $\alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_n$ over $\mathbb{Z}$, and define $N^{\prime}$ to be $N \cap M^{\prime}$. Now, if $n=1$, then $M^{\prime}=0$ and there is nothing to prove. If $N=N^{\prime}$, then the statement is true by our induction hypothesis.

So we assume that $N \neq N^{\prime}$ and consider $A$, the set of all integers $k$ such that $\exists k_2, k_3, \ldots, k_n$ with $k \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n \in N$. Since $N$ is a submodule, we deduce that $A$ is a subgroup of $\mathbb{Z}$. All additive subgroups of $\mathbb{Z}$ are of the form $m \mathbb{Z}$ for some integer $m$, and so $A=k_{11} \mathbb{Z}$ for some $k_{11}$. Then let $\beta_1=k_{11} \alpha_1+k_{12} \alpha_2+\cdots+k_{1 n} \alpha_n \in N$. If we have some $\alpha \in N$, then
$$\alpha=\sum_{i=1}^n h_i \alpha_i$$
with $h_i \in \mathbb{Z}$ and $h_1 \in A$ so $h_1=a k_{11}$. Therefore, $\alpha-a \beta_1 \in N^{\prime}$. By the induction hypothesis, there exist
$$\beta_i=\sum_{j \geq i} k_{i j} \alpha_j,$$
$i=2,3 \ldots, m$, which generate $N^{\prime}$ over $\mathbb{Z}$ and which satisfy all the conditions above. It is clear that adding $\beta_1$ to this list gives us a set of generators of $N$.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Norm and the Trace

$$\alpha^{(k)} \omega_i^{(k)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)} \quad \forall i, k,$$

$$\sum_{j=1}^n \delta_{j k} \alpha^{(j)} \omega_i^{(j)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)},$$

\alpha=\sum_{i=1}^n h_i \alpha_i
$$和 h_i \in \mathbb{Z} 和 h_1 \in A 所以 h_1=a k_{11}. 所以， \alpha-a \beta_1 \in N^{\prime}. 根据纳纳假设， 存在$$
\beta_i=\sum_{j \geq i} k_{i j} \alpha_j,
$$i=2,3 \ldots, m_{｝ \text { 生成 } N^{\prime} \text { 超过 } \mathbb{Z} \text { 并且满足以上所有条件。很明显, 浾加 } \beta_1 \text { 这个列表给了我们一组生成器 } N \text {. } 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考 请认准UprivateTA™. 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In the ring \mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}, 2,3, and 4 are the only divisors of zero. A field has no divisor of zero. A ring without zero divisors is called an integral domain or simply a domain. We have already discussed many integral domains which are not fields, e.g. \mathbb{Z}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{Z}[\omega] and \mathbb{Z}[\sqrt{d}] for d \neq 0, a square-free integer, which are relevant to our subject. An element u in A is a u n i t if u v=1 for some v in B. For example, the only units in the ring \mathbb{Z} are \pm 1. Definition 2.7. A domain A is a Euclidean domain if there is a map which assigns to each nonzero element \alpha of A a non-negative integer d(\alpha) such that for all nonzero \alpha, \beta in A, i) d(\alpha) \leq d(\alpha \beta), and ii) A has elements q (the quotient) and \gamma (the remainder) so that \alpha=q \beta+\gamma and either \gamma=0 or d(\gamma)<d(\beta). With the Euclidean algorithm, both \mathbb{Z} and the ring k[x] of polynomials over a field k are Euclidean domains. For \mathbb{Z}, d(\alpha)=|\alpha| and for k[x], d(f(x))= \operatorname{deg} f(x) ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Factoring Rational Primes in Zi Let A be the ring \mathbb{Z}[i] of Gaussian integers and p=2,3,4, \ldots a rational prime. This p may or may not be a prime element of A. To find exactly when it is, recall the famous theorem of Fermat on the sum of two squares, which was proved by Euler (cf. [8, p. 48]). Theorem 2.14 (Fermat). An odd prime p in \mathbb{Z} is a sum of two squares \left(p=a^2+b^2\right) if and only if p=4 k+1 for k in \mathbb{N}. The norm of any divisor of \alpha=a+i b must be a divisor of N(\alpha)=a^2+b^2, and for \alpha=\beta \gamma with \beta, \gamma both non-units, 1<N(\beta)<N(\alpha) (only the units have norm 1). Therefore, if a^2+b^2 is a prime, then \alpha has to be a prime in \mathbb{Z}[i]. We have thus proved the following fact: Theorem 2.15. A prime p is a sum of two squares, p=a^2+b^2 \Leftrightarrow p is a product (a+i b)(a-i b) of two primes a \pm i b in \mathbb{Z}[i]. For p=2, its two prime factors 1+i, 1-i in \mathbb{Z}[i] are associates: 1+i=i(1-i). Therefore,$$
2=i(1-i)^2 .
$$We say that 2 ramifies in \mathbb{Z}[i]. By Fermat’s Theorem (Theorem 2.15), p \equiv 1 (\bmod 4) \Leftrightarrow p is a product$$
p=\pi_1 \pi_2
$$of two primes \pi_1, \pi_2 in \mathbb{Z}[i]. Moreover, \pi_1 and \pi_2 are complex conjugates of each other and hence they are distinct. This discussion can be wrapped up as follows: In order to do that, observe that {1, i} is a \mathbb{Z}-bases of \mathbb{Z}[i] and so is its conjugate {1,-i}. These two bases make a 2 \times 2 matrix$$
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & i \
1 & -i
\end{array}\right)
$$with |\operatorname{det}(A)|=2, called the discriminant of \mathbb{Q}(i). ## 代数数论代写 ## 数学代写|代数数论代写代数数论代考|积分域 环A(总是可交换的)的非零元素a被称为零除数，如果a b=0是A中的非零b。在环\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}, 2,3中，和4是零的唯一除数。场没有除数为零的因数。没有零因子的环称为积分域或简称域。我们已经讨论了许多不是字段的积分域，例如\mathbb{Z}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{Z}[\omega]和\mathbb{Z}[\sqrt{d}]表示d \neq 0，这是一个无平方整数，与我们的主题相关 A中的元素u是B中的v的一个u n i t if u v=1。例如，环\mathbb{Z}中唯一的单元是\pm 1 . 定义一个域A是一个欧氏定义域，如果有一个映射分配给A的每个非零元素\alpha一个非负整数d(\alpha)，这样对于A中的所有非零元素\alpha, \beta， i) d(\alpha) \leq d(\alpha \beta)和 ii) A中有元素q(商)和\gamma(余数)，那么\alpha=q \beta+\gamma和\gamma=0或d(\gamma)<d(\beta) 在欧氏算法中，域k上多项式的\mathbb{Z}和环k[x]都是欧氏域。对于\mathbb{Z}, d(\alpha)=|\alpha|和k[x], d(f(x))=$$\operatorname{deg} f(x)$## 数学代写|代数数论代写代数数论代考|因式分解Zi中的有理素数 设$A$是高斯整数的环$\mathbb{Z}[i]$,$p=2,3,4, \ldots$是有理数。这个$p$可能是也可能不是$A$的主要元素。要想确切地知道它是什么时候，可以回想一下由欧拉证明的费马关于两个平方和的著名定理(cf. [8, p. 48]) 定理$2.14$(费马)。$\mathbb{Z}$中的奇素数$p$是两个平方和$\left(p=a^2+b^2\right)$当且仅当$\mathbb{N}$中的$k$是$p=4 k+1\alpha=a+i b$的任何除数的范数必须是$N(\alpha)=a^2+b^2$的除数，并且对于$\alpha=\beta \gamma$与$\beta$、$\gamma$都是非单位，$1<N(\beta)<N(\alpha)$(只有单位有范数1)。因此，如果$a^2+b^2$是素数，那么$\alpha$必须是$\mathbb{Z}[i]$中的素数。我们由此证明了以下事实: 定理2.15。质数$p$是两个平方和，$p=a^2+b^2 \Leftrightarrow p$是$\mathbb{Z}[i]$中两个质数$a \pm i b$的$a$积$(a+i b)(a-i b)$。 对于$p=2$，它的两个素因子$1+i, 1-i$在$\mathbb{Z}[i]$是关联:$1+i=i(1-i)$。因此， $$2=i(1-i)^2 .$$ 我们说2分枝于$\mathbb{Z}[i]$。根据费马定理(定理2.15)，$p \equiv 1$$(\bmod 4) \Leftrightarrow p是\mathbb{Z}[i]中两个素数\pi_1, \pi_2的乘积$$
p=\pi_1 \pi_2
$$。此外，\pi_1和\pi_2是彼此的复共轭，因此它们是不同的。这个讨论可以总结如下:为了做到这一点，观察{1, i}是\mathbb{Z}[i]的\mathbb{Z} -bases，它的共轭{1,-i}也是。这两个基底构成一个2 \times 2矩阵$$
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & i \
1 & -i
\end{array}\right)


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