如果你也在 怎样代写丢番图逼近Diophantine approximation MATH707个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。丢番图逼近Diophantine approximation在数论中，Diophantine近似的研究涉及到有理数对实数的近似。它是以亚历山大的狄奥潘图斯命名的。
丢番图逼近Diophantine approximation第一个问题是要知道一个实数能被有理数近似到什么程度。对于这个问题，如果一个有理数a/b被另一个分母较小的有理数取代，a/b和α之间的差的绝对值可能不会减少，那么这个有理数就是一个实数α的 “良好 “近似值。这个问题在18世纪通过延续分数的方法得到了解决。知道了给定数的 “最佳 “近似值，该领域的主要问题是找到上述差值的尖锐上界和下界，以分母的函数形式表示。似乎这些界限取决于被逼近的实数的性质：一个有理数被另一个有理数逼近的下限大于代数的下限，而代数的下限本身又大于所有实数的下限。因此，一个可能比代数数的下限更好地被逼近的实数肯定是一个超越数。这一知识使Liouville在1844年产生了第一个明确的超越数。后来，π和e是超越数的证明也是通过类似的方法得到的。
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数学代写|丢番图逼近代写DIOPHANTINE APPROXIMATION代考|Probabilistic and dimension theoretic results
After the results of the previous sections, a next natural direction is to investigate how well ‘typical’ numbers can be approximated by rationals. There are various ways to make this precise. For example we might decide to look for results which hold Lebesgue almost everywhere, or we might only require them to hold on a set of large Hausdorff dimension. In this section we will look at results of both of these types, in order to gain a more complete picture of this subject. First we have the following theorem due to Borel (1909) and Bernstein (1912).
Theorem 1.3.1. For Lebesgue almost every $\alpha \in \mathbb{R}$ we have that
$$
\inf _{n \in \mathbb{N}} n|n \alpha|=0 .
$$
It follows immediately from this theorem that $|\mathcal{B}|=0$ (recall that we use the notation $|A|$ to denote the Lebesgue measure of a measurable set). Equivalently, almost every $\alpha$ has unbounded partial quotients in its continued fraction expansion. Therefore, Borel and Bernstein’s theorem tells us that badly approximable numbers are not typical, in the sense of Lebesgue measure. However, it turns out that they are typical in the sense of Hausdorff dimension, as demonstrated by the following result of Jarnik (1929).
Theorem 1.3.2. The set $\mathcal{B}$ has Hausdorff dimension one.
Next, we might ask whether a result stronger than Theorem $1.3 .1$ holds, for Lebesgue almost every real number. In order to present things in a larger framework, we first make a few definitions.
数学代写|丢番图逼近代写DIOPHANTINE APPROXIMATION代考|Extensions to higher dimensions and transference principles
Here we turn to the problem of obtaining higher dimensional generalizations of our above results. Some of the arguments used in one-dimensional approximation can be adapted directly to higher dimensions. However, one of the difficulties is that there is no single expansion or multi-dimensional algorithm which does all of the things that the continued fraction expansion does in one dimension. Fortunately, for our applications in later chapters there are still tools which can be used to get around this difficulty.
Let $L: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^{k-d}$ be a linear map, which is defined by a matrix with entries $\left{\alpha_{i j}\right} \in \mathbb{R}^{d(k-d)}$. For any $N \in \mathbb{N}$, there exists an $n \in \mathbb{Z}^d$ with $|n| \leq N$ and
$$
|L(n)| \leq \frac{1}{N^{d /(k-d)}} .
$$
This is a multidimensional analogue of Dirichlet’s Theorem, which follows from a straightforward application of the pigeonhole principle. We are interested in having an inhomogeneous version of this result, requiring the values taken by $|L(n)-\gamma|$ to be small, for all choices of $\gamma \in \mathbb{R}^{k-d}$. For this purpose we will use the following ‘transference theorem,’ a proof of which can be found in [9, Chapter V, Section 4].
丢番图逼近代写
数学代写|丟番图逼近代写DIOPHANTINE APPROXIMATION代考|Probabilistic and dimension theoretic results
在前面几节的结果之后，下一个自然的方向是研究“典型”数字在多大程度上可以被有理数逼近。有多种方法可以做到这一点。例 如，我们可能㬰定寻找几乎处处都保持勒贝格的结果，或者我们可能只要求它们保持一组大的豪斯多夫维度。在本节中，我们将查 看这两种烪型的结果，以便更全面地了解该主题。首先，由于 Borel (1909) 和 Bernstein (1912)，我们有以下定理。 定理 1.3.1。对于勒贝格几乎每一个 $\alpha \in \mathbb{R}$ 我们有那个
$$
\inf {n \in \mathbb{N}} n|n \alpha|=0 $$ 从这个定理可以直接得出 $|\mathcal{B}|=0$ (回想一下，我们使用符号 $|A|$ 表示可测集的勒贝格测度)。等价地，几乎每一个 $\alpha$ 在其连分数 展开中有无界的偏商。因此，Borel 和 Bernstein 的定理告诉我们，在勒贝格测度的意义上，难以逼近的数字是不典型的。然而， 事实证明它们在豪斯多夫维数的意义上是典型的，正如 Jarnik (1929) 的以下结果所证明的那样。 定理 1.3.2。套装 $\mathcal{B}$ 具有豪斯多夫一维。 接下来，我们可能会问一个结果是否比定理强 $1.3 .1$ 对于勒贝格几夹所有实数都成立。为了在更大的框架下呈现事物，我们先做几 个定义。
数学代写|丟番图逼近代写DIOPHANTINE APPROXIMATION代考|Extensions to higher dimensions and transference principles
在这里，我们转向获得上述结果的更高维概括的问题。一维近似中使用的一些参数可以直接适用于更高的维度。然而，困难之一是 没有单一展开或多维算法可以完成连分数展开在一维中所做的所有事情。幸运的是，对于我们后面章节的应用程序，仍然有一些工 具可以用来解决这个困难。 让 $L: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^{k-d{\text {是 }}}$ 个线性映射，由具有条目的矩阵定义 $\backslash$ lef $\mathrm{t}$ 缺少或无法识别的分隔符 .对于任何 $N \in \mathbb{N}$ ，存在一个 $n \in \mathbb{Z}^{d_{\text {和 }}|n| \leq N \text { 和 }}$
$$
|L(n)| \leq \frac{1}{N^{d /(k-d)}} .
$$
这是狄利克雷定理的多维类比，它源自鸽集原埋的直接应用。我们有兴趣得到这个结果的非均匀版本，需要由 $|L(n)-\gamma|$ 要小， 对于所有的选择 $\gamma \in \mathbb{R}^{k-d}$. 为此，我们将使用以下“传递定理”，其证明可在 [9，第五章，第 4 节] 中找到。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。