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交换代数Commutative Algebra这门学科最初被称为理想理论，始于理查德-戴德金关于理想的工作，其本身是基于恩斯特-库默尔和利奥波德-克罗内克的早期工作。后来，大卫-希尔伯特（David Hilbert）引入了环这个术语，以概括早期的数环术语。希尔伯特引入了一种更抽象的方法，以取代基于复数分析和经典不变理论的更具体和面向计算的方法。反过来，希尔伯特也强烈地影响了埃米-诺特，他用一个升链条件（现在称为诺特条件）来重塑许多早期的结果。另一个重要的里程碑是希尔伯特的学生伊曼纽尔-拉斯克的工作，他引入了初级理想并证明了拉斯克-诺特定理的第一个版本。
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数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代写|Polynomial extensions
In this part, one considers the extension $R \subset R[X]$, where $X$ is an indeterminate over $R$. The case in sight is when $R$ is a Noetherian ring since otherwise the results are more complicated. The treatment here is taken from [138, Chapitre III, (D)].
It is quite elementary to see that, for an arbitrary ring $R$, if $P \subset R$ is a prime ideal then its extension $P R[X]$ is also prime and its contraction to $R$ is $P$. The next simple result for polynomial extensions gives more information.
Lemma 2.5.29. Let $R$ be an arbitrary ring and let $Q \subsetneq Q^{\prime} \subset R[X]$ be distinct prime ideals having the same contraction to $R$. Then the extension to $R[X]$ of the common contraction is $Q$.
Proof. Set $P=Q \cap R=Q^{\prime} \cap R$. Passing to the domain $R / P$, one may assume that $P={0}$ (why?). Passing to the ring of fractions with respect to $S=R \backslash{0}$, may further assume that $R$ is a field (why?). Say, $R=k$. But for the principal ideal domain $k[X]$ the result is clear since $\operatorname{dim} k[X]=1$
As an immediate consequence, one gets the following.
Corollary 2.5.30. Let $R$ be an arbitrary ring. Then for any ideal $I \subset R$ and any minimal prime ideal $P$ of $I$, the extended ideal $P R[X]$ is a minimal prime of the extension $I R[X]$.
Proof. Suppose not. Then $I R[X] \subset Q \nsubseteq P R[X]$ for some prime ideal $Q$ of $R[X]$. Since $P R[X]$ contracts to $P$, Lemma 2.5.29 gives a contradiction.
Proposition 2.5.31. Let $R$ be a Noetherian ring.
(i) $h t(P)=h t(P R[X])$ for any prime ideal $P$ of $R$.
(ii) $\operatorname{dim} R[X]=\operatorname{dim} R+1$.
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代写|Arbitrary extensions
In this part, one considers the more encompassing case of an extension $R \subset S$ of domains.
The results are inspired from the following.
Proposition 2.5.36. Let $R \subset S$ be a finitely generated extension with $S$ a domain. Let $P \subset S$ denote a prime ideal such that $P \cap R={0} .$ Then
$$
\text { height } P=\operatorname{trdeg}{R}(S)-\operatorname{trdeg}{R}(S / P) \text {, }
$$
Proof. Since $P \cap R={0}$, passing to the localization $R_{{0}}$ of $R$ at its zero (prime) ideal preserves the primeness of $P S_{{0}}$; consequently, height $P=$ height $P S_{{0}}$. On the other hand, since $R_{{0}}$ is a field and $S_{{0}}$ is finitely generated over $R_{{0}}$, Theorem 2.3.7 yields
$$
\operatorname{trdeg}{R}(S)=\operatorname{trdeg}{R_{{0}}}\left(S_{{0}}\right)=\operatorname{dim} S_{{0}}
$$
and
$$
\operatorname{trdeg}{R}(S / P)=\operatorname{trdeg}{R_{{0}}}\left(S_{{0}} / P S_{{0}}\right)=\operatorname{dim} S_{{0}} / P S_{{0}},
$$
so the result follows from Proposition $2.5 .33$ as mentioned in Corollary 2.5.34.
The first important result is due to I. S. Cohen ([38]). It has been popularized in [108] as the dimension inequality.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写 COMMUTATIVE ALGEBRA代 GIPolynomial extensions
在这一部分中，考虑扩展 $R \subset R[X]$ ， 在哪里 $X$ 是一个不确定的结束 $R$. 眼前的情况是 $R$ 是 一个诺特环，否则结果会更复杂。这里的处理取自 [138, Chapitre III, (D)]。
很容易看出，对于任意环 $R$ ，如果 $P \subset R$ 是一个溸理想，那么它的外延 $P R[X]$ 也是溸 数，它的收缩为 $R$ 是 $P$. 多项式扩展的下一个简单结果提供了更多信息。
引理 2.5.29。让 $R$ 是一个任意环并让 $Q \subsetneq Q^{\prime} \subset R[X]$ 是具有相同收缩的不同龶理想 $R$. 然 后扩展为 $R[X]$ 常见的收缩是 $Q$.
证明。放 $P=Q \cap R=Q^{\prime} \cap R$. 传递到域 $R / P$, 可以假设 $P=0$ (为什么? )。传递到分 数环 $S=R \backslash 0$, 可以进一步假设 $R$ 是一个字段（为什么? ）。说， $R=k$. 但是对于主理想 域 $k[X]$ 结果很清楚，因为 $\operatorname{dim} k[X]=1$
作为一个直接的结果，一个人得到以下。
推论 2.5.30。让 $R$ 是一个任意的环。那么对于任何理想 $I \subset R$ 和任何最小素理想 $P$ 的 $I$, 扩 展理想 $P R[X]$ 是扩展的最小䋏数 $I R[X]$.
证明。假设不是。然后 $I R[X] \subset Q \nsubseteq P R[X]$ 对于一些主要理想 $Q$ 的 $R[X]$. 自从 $P R[X]$ 合 同到 $P$, 引理 $2.5 .29$ 给出了一个矛盾。
提案 2.5.31。让 $R$ 是一个诺特环。
(一世) $h t(P)=h t(P R[X])$ 对于任何睋理想 $P$ 的 $R$.
(二) $\operatorname{dim} R[X]=\operatorname{dim} R+1$.
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代写|bitrary extensions
在这一部分中，考虑更广泛的扩展情况 $R \subset S$ 的域。
结果受到以下启发。
提䅁 2.5.36。让 $R \subset S$ 是一个有限生成的扩展 $S$ 一个域。让 $P \subset S$ 表示一个嫊理想，使得 $P \cap R=0$.然后
height $P=\operatorname{trdeg} R(S)-\operatorname{trdeg} R(S / P)$,
证明。自从 $P \cap R=0$, 传递给本地化 $R_{0}$ 的 $R$ 在其零（篟数）理想保持溸数 $P S_{0}$; 因此，高 度 $P=$ 高度 $P S_{0}$. 另一方面，由于 $R_{0}$ 是一个字段并且 $S_{0}$ 是有限生成的 $R_{0}$, 定理 2.3.7 得率
$$
\operatorname{trdeg} R(S)=\operatorname{trdeg} R_{0}\left(S_{0}\right)=\operatorname{dim} S_{0}
$$
和
$$
\operatorname{trdeg} R(S / P)=\operatorname{trdeg} R_{0}\left(S_{0} / P S_{0}\right)=\operatorname{dim} S_{0} / P S_{0}
$$
所以结果来自命题2.5.33如推论 $2.5 .34$ 所述。
第一个重要结果归功于 IS Cohen ([38])。它在 [108]中被推广为维度不等式。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。