Tag: MATH7400

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数学分析Mathematical Analysis MAJ01156这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。

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数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Second-Order Taylor Formula with Lagrange Remainder

Second-Order Taylor Formula with Lagrange Remainder Let $f$ be of class $C^2(A)$ and $x, x+h(h \neq 0)$ points in $A \subseteq \mathbb{R}^n$ such that the segment $[x, x+h]$ is contained in A. There is a real number $\vartheta \in(0,1)$, depending on $x$ and $h$, such that
$$
\begin{aligned}
f(x+h) & =f(x)+\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x) h_i+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n f_{x_i x_j}(x+\vartheta h) h_i h_j= \
& =f(x)+(D f(x), h)+\frac{1}{2}\left(D^2 f(x+\vartheta h) \cdot h, h\right) .
\end{aligned}
$$
As usual $D f$ denotes the gradient and $D^2 f$ the Hessian matrix of second partial derivatives of $f$. Moreover, $(D f, h)$ is the Euclidean inner product of the vectors $D f$ and $h$, while $D^2 f \cdot h$ is the matrix product between the $n \times n$ matrix $D^2 f$ and the $n \times 1$ matrix $h$ (a column vector).

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Second-Order Taylor Formula with Peano Remainder

Second-Order Taylor Formula with Peano Remainder Let $f$ be a $C^2$ function on the open set $A$ in $\mathbb{R}^n$. Take $x, x+h \in A$ with $h \neq 0$ such that the segment $[x, x+h]$ is contained in $A$. Then
$$
f(x+h)=f(x)+(D f(x), h)+\frac{1}{2}\left(D^2 f(x) \cdot h, h\right)+o\left(|h|^2\right) .
$$
Before we prove it, let us see a useful property.

数学分析代写

数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|SecondOrder Taylor Formula with Lagrange Remainder

带拉格朗日余数的二阶泰勒公式 $f$ 是一流的 $C^2(A)$ 和 $x, x+h(h \neq 0)$ 指向 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ 这样的段 $[x, x+h]$ 包含 在A中。有一个实数 $\vartheta \in(0,1)$ ，根据 $x$ 和 $h$ ，这样
$$
f(x+h)=f(x)+\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x) h_i+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n f_{x_i x_j}(x+\vartheta h) h_i h_j=\quad=f(x)+(D f(x), h)+\frac{1}{2}\left(D^2 f(x+\vartheta h) \cdot h, h\right) .
$$
照常 $D f$ 表示梯度和 $D^2 f$ 二阶偏导数的 Hessian 矩阵 $f$. 而且， $(D f, h)$ 是向量的欧几里得内积 $D f$ 和 $h$ ，尽管 $D^2 f \cdot h$ 是矩阵之间的乘积 $n \times n$ 矩阵 $D^2 f$ 和 $n \times 1$ 矩阵 $h$ (列向量) 。

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|SecondOrder Taylor Formula with Peano Remainder

带 Peano 余数的二阶泰勒公式 $f$ 是一个 $C^2$ 开集上的函数 $A$ 在 $\mathbb{R}^n$. 拿 $x, x+h \in A$ 和 $h \neq 0$ 这样的段 $[x, x+h]$ 包含在 $A$. 然后
$$
f(x+h)=f(x)+(D f(x), h)+\frac{1}{2}\left(D^2 f(x) \cdot h, h\right)+o\left(|h|^2\right)
$$
在我们证明它之前，让我们看看一个有用的属性。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Functions with Vanishing Gradient on Connected Sets

Recall that an open set $A \subseteq \mathbb{R}^n$ is connected if
$$
A_1, A_2 \text { open subsets of } \mathbb{R}^n, \quad A_1 \cap A_2=\emptyset, \quad A_1 \cup A_2=A
$$
force one of $A_1, A_2$ to be empty.
The following result is about functions with null partial derivatives on a connected subset of $\mathbb{R}^n$, and generalises the analogous simple fact in one variable, where a derivative is zero on some interval.

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Functions with Zero Gradient

Functions with Zero Gradient If a function $f$ has zero gradient at all points in a connected open set $A \subseteq \mathbb{R}^n$, then $f$ is constant on $A$.

Proof By assumption all partial derivatives are zero on $A$, so the derivatives are continuous and $f$ is differentiable on $A$. Fix $x_0 \in A$ and define the set
$$
A_1=\left{x \in A: \quad f(x)=f\left(x_0\right)\right}
$$
Clearly $A=A_1 \cup A_2$, where
$$
A_2=\left{x \in A: \quad f(x) \neq f\left(x_0\right)\right}
$$
Being differentiable, $f$ is continuous on $A$, so the set $A_2$ is open. Let us show $A_1$ is open as well. Take $x_1 \in A_1$ (so $f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)$ ) and let $I_\delta$ be an open ball, centred at $x_1$ with radius $\delta$, contained in $A$. We claim that $I_\delta \subseteq A_1$, i.e. $f(x)=f\left(x_0\right)=f\left(x_1\right)$ for any $x \in I_\delta$.

数学分析代写

数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|Functions with Vanishing Gradient on Connected Sets

回想一下，一个开集 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ 连接如果
$A_1, A_2$ open subsets of $\mathbb{R}^n, \quad A_1 \cap A_2=\emptyset, \quad A_1 \cup A_2=A$
强制其中之 $-A_1, A_2$ 是空的。
以下结果是关于在的连通子集上具有空偏导数的函数 $\mathbb{R}^n$ ，并在一个变量中推广类似的简单事实，其 中导数在某个区间上为零。

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|Functions with Zero Gradient

具有零梯度的函数如果一个函数 $f$ 在连通开集中所有点的梯度都为零 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ ，然后 $f$ 是恒定的 $A$.
证明假设所有偏导数都为零 $A$, 所以导数是连续的并且 $f$ 可微分于 $A$. 使固定 $x_0 \in A$ 并定义集合
\1eft 缺少或无法识别的分隔符
清楚地 $A=A_1 \cup A_2 ，$ 在哪里
\eft 缺少或无法识别的分隔符
可微分， $f$ 是连续的 $A$, 所以集合 $A_2$ 开了。让我们展示 $A_1$ 也是开放的。拿 $x_1 \in A_1$ （所以 $\left.f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)\right)$ 然后让 $I_\delta$ 是一个空心球， 以 $x_1$ 带半径 $\delta$ ，包含在 $A$. 我们声称 $I_\delta \subseteq A_1 ， I E$ $f(x)=f\left(x_0\right)=f\left(x_1\right)$ 对于任何 $x \in I_\delta$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Round-up of Topology in Rn

The topological properties of $\mathbb{R}^n$ which we briefly recall here have been already introduced and studied in Chap. 2, in relationship to general metric spaces.

For any element $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ in $\mathbb{R}^n$ we write $|x|$ for the modulus (also called norm or distance to the origin) of $x$, defined as
$$
|x|=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1 / 2} \text {. }
$$
Let $x_0$ be a given element of $\mathbb{R}^n$. The open ball around $x_0$ of radius $\delta>0$ is the non-empty subset of $\mathbb{R}^n$
$$
I_\delta=\left{x \in \mathbb{R}^n:\left|x-x_0\right|<\delta\right}
$$
consisting of points whose distance to $x_0$ is less than $\delta$. Sometimes it becomes important to denote explicitly that $x_0$ is the ball’s centre, so we shall write $I_\delta\left(x_0\right)$ to denote (3.1).

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Limits and Continuity

The definition of limit for functions of one real variable is easily extended to several variables. To do that we consider a subset $A$ in $\mathbb{R}^n$ and a function $f: A \rightarrow \mathbb{R}$, so $f$ is a real function defined on $A \subseteq \mathbb{R}^n$. Let $x_0$ be a limit point of $A$.
We say $f(x)$ tends to $\ell \in \mathbb{R} \cup{\pm \infty}$ as $x \rightarrow x_0$, written
$$
\lim {x \rightarrow x_0} f(x)=\ell \quad\left(\text { or } \quad f(x) \rightarrow \ell \quad \text { as } x \rightarrow x_0\right), $$ if, for any neighbourhood $U \subseteq \mathbb{R}$ of $\ell$, there exists a neighbourhood $I\delta\left(x_0\right) \subseteq \mathbb{R}^n$ of $x_0$ such that
$$
f(x) \in U, \quad \forall x \in I_\delta\left(x_0\right) \cap A-\left{x_0\right}
$$
As for the one-variable case, the definition can be rephrased in terms of $\varepsilon, \delta$. For example, if $\ell \in \mathbb{R}$ (i.e. the limit is finite), $f(x)$ tends (or converges) to $\ell$ as $x \rightarrow x_0$ if, for any given $\varepsilon>0$, there is a number $\delta>0$ such that
$$
|f(x)-\ell|<\varepsilon, \quad \forall x \in A-\left{x_0\right}:\left|x-x_0\right|<\delta .
$$
The reader should reformulate the cases $\ell=\pm \infty$ in a similar fashion.

数学分析代写

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|Round-up of Topology in Rn

的拓扑性质 $\mathbb{R}^n$ 我们在这里简要回顾一下，在第 1 章中已经介绍和研究过。2，与一般度量空间的关 系。
对于任何元素 $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 我们写 $|x|$ 对于模量（也称为范数或到原点的距离） $x$ ， 定义为
$$
|x|=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1 / 2}
$$
让 $x_0$ 是给定的元素 $\mathbb{R}^n$. 周围的开球 $x_0$ 半径 $\delta>0$ 是的非空子集 $\mathbb{R}^n$
$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符
由距离为 $x_0$ 小于 $\delta$. 有时明确表示很重要 $x_0$ 是球的中心，所以我们应该写 $I_\delta\left(x_0\right)$ 表示 (3.1)。

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Limits and Continuity

一个实变量函数的极限定义很容易扩展到多个变量。为此，我们考虑一个子集 $A$ 在 $\mathbb{R}^n$ 和一个功能 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ ，所以 $f$ 是定义在 $A \subseteq \mathbb{R}^n$. 让 $x_0$ 是一个极限点 $A$.
我们说 $f(x)$ )倾向于 $\ell \in \mathbb{R} \cup \pm \infty$ 作为 $x \rightarrow x_0$, 写
$$
\lim x \rightarrow x_0 f(x)=\ell \quad\left(\text { or } \quad f(x) \rightarrow \ell \quad \text { as } x \rightarrow x_0\right),
$$
如果，对于任何邻域 $U \subseteq \mathbb{R}$ 的 $\ell$ ，存在一个邻域 $I \delta\left(x_0\right) \subseteq \mathbb{R}^n$ 的 $x_0$ 这样
\1eft 缺少或无法识别的分隔符
至于单变量情况，定义可以改写为 $\varepsilon, \delta$. 例如，如果 $\ell \in \mathbb{R}$ (即极限是有限的)， $f(x)$ )倾向于 (或收 敛) 到 $\ell$ 作为 $x \rightarrow x_0$ 如果，对于任何给定 $\varepsilon>0$ ，有一个数 $\delta>0$ 这样
\left 缺少或无法识别的分隔符
读者应该重新表述案例 $\ell=\pm \infty$ 以类似的方式。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

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数学分析Mathematical Analysis MAJ01156这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。

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数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation

In this section, we prove a large collection of approximation theorems. The highlights include approximating $\mathfrak{Q}^p$ functions by simple functions and continuous functions of compact support. We prove that trigonometric polynomials are dense in $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$, which is the last piece of information we need to settle the question of the convergence of Fourier series of functions in $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$. The important operation of convoluting functions makes its first debut in this section. Finally, we study approximations by $C^{\infty}$ functions, prove the $C^{\infty}$ version of Urysohn’s lemma, and prove that $\mathcal{C}_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ is dense in $\mathfrak{Q} p\left(\mathbb{R}^n\right)$.

Lemma 8.7.1 (the Tietze extension theorem). Let $K$ be a compact subset of $\mathbb{R}^n$ and let $f: K \rightarrow[0,1]$ be continuous. Then $f$ can be extended to a continuous function $g \in \mathcal{C}_c\left(\mathbb{R}^n\right)$ such that $0 \leq g \leq 1$. If $K$ is contained in an open set $U$, then $g$ can be constructed in such a way that $\operatorname{supp}(g) \subseteq U$.

Proof. Let $W$ be an open set such that $\bar{W}$ is compact and $K \subseteq W \subseteq \bar{W} \subseteq U$. Let $K_1=$ $f^{-1}([0,1 / 3])$, and $K_2=f^{-1}([2 / 3,1])$. Applying lemma $8.4 .1$ to the closed sets $E=$ $K_1 \cup\left(\mathbb{R}^n-W\right)$, and $F=K_2$, produces a continuous function $g_1: \mathbb{R}^n \rightarrow[0,1 / 3]$ such that $g_1(E)=0$, and $g_1(F)=1 / 3$. By construction, $\operatorname{supp}\left(g_1\right) \subseteq \bar{W}$, and $0 \leq$ $f-g_1 \leq 2 / 3$ on $K$. Applying the same construction to the function $f-g_1$, we can find a function $g_2: \mathbb{R}^n \rightarrow\left[0, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right]$ such that $\operatorname{supp}\left(g_2\right) \subseteq \bar{W}$, and $0 \leq f-g_1-g_2 \leq$ $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ on the set $K$. Continuing this construction yields a sequence of continuous functions $g_i$ on $\mathbb{R}^n$ such that $\operatorname{supp}\left(g_i\right) \subseteq \bar{W}, 0 \leq g_i \leq \frac{2^{i-1}}{3^i}$, and $0 \leq f-g_1-g_2 \cdots-$ $g_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ on $K$. The sequence $G_i=g_1+\ldots+g_i$ is supported in $\bar{W}$ and is Cauchy in the uniform norm on the compact set $\bar{W}$. Therefore $G_i$ converges uniformly to a continuous function $g$. Since $0 \leq f-G_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ on $K, g=f$ on $K$. Because each $G_i$ is supported in $\bar{W} \subseteq U$, so is $g$.

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation by $\mathcal{C}^{\infty}$ Functions

Definition. For Lebesgue measurable functions $f$ and $g$ on $\mathbb{R}^n$, the convolution of $f$ and $g$ is the function
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y .
$$
It is clear that if $(f * g)(x)$ is finite, then $(f * g)(x)=(g * f)(x)$. Thus
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) g(x-y) d y .
$$
A variety of conditions can be imposed on $f$ and $g$ to guarantee the finiteness of the integral, at least for a.e. $x \in \mathbb{R}^n$. We take for granted the measurability of the function $f(x-y) g(y)$.

In this subsection, we will limit the functions $f$ and $g$ to be continuous functions of compact support. The reader can look at the section exercises for a slightly expanded discussion of the properties of convolutions.

数学分析代写

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation

在本节中，我们将证明大量的近似定理。亮点包括近似 $\mathfrak{Q}^p$ 功能由简单功能和紧湊型连续功能支持。我们证明三 角多项式在 $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$, 这是我们解决傅里叶级数函数收玫问题所需的最后一条信息 $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$. 卷积函数的 重要操作在本节首次亮相。最后，我们研究近似值 $C^{\infty}$ 函数，证明 $C^{\infty} U r y s o h n$ 引理的版本，并证明 $\mathcal{C}_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 密集在 $Q p\left(\mathbb{R}^n\right)$.
引理 8.7.1 (Tietze 扩展定理) 。让 $K$ 是一个紧凑的子集 $\mathbb{R}^n$ 然后让 $f: K \rightarrow[0,1]$ 是连续的。然后 $f$ 可以扩展 为连续函数 $g \in \mathcal{C}_c\left(\mathbb{R}^n\right)$ 这样 $0 \leq g \leq 1$. 如果 $K$ 包含在一个开放集中 $U$ ，然后 $g$ 可以这样构造 $\operatorname{supp}(g) \subseteq U$.
证明。让 $W$ 是一个开集使得 $\bar{W}$ 紧凑且 $K \subseteq W \subseteq \bar{W} \subseteq U$. 让 $K_1=f^{-1}([0,1 / 3])$ ，和 $K_2=f^{-1}([2 / 3,1])$. 应用引理8.4.1到闭集 $E=K_1 \cup\left(\mathbb{R}^n-W\right)$ ，和 $F=K_2$, 产生连紏函数 $g_1: \mathbb{R}^n \rightarrow[0,1 / 3]$ 这样 $g_1(E)=0$ ，和 $g_1(F)=1 / 3$. 通过建设， $\operatorname{supp}\left(g_1\right) \subseteq W ，$ 和 $0 \leq$ $f-g_1 \leq 2 / 3$ 在 $K$. 对函数应用相同的构造 $f-g_1$ ，我们可以找到一个函数 $g_2: \mathbb{R}^n \rightarrow\left[0, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right]$ 这样 $\operatorname{supp}\left(g_2\right) \subseteq \bar{W}$ ， 和 $0 \leq f-g_1-g_2 \leq\left(\frac{2}{3}\right)^2$ 在片场 $K$. 继续这个构造产生一系列连续函数 $g_i$ 在 $\mathbb{R}^n$ 这样 $\operatorname{supp}\left(g_i\right) \subseteq W, 0 \leq g_i \leq \frac{2^{i-1}}{3^i} ， \quad$ 和 $0 \leq f-g_1-g_2 \cdots-g_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ 在 $K$. 序列 $G_i=g_1+\ldots+g_i$ 支持 $\bar{W}$ 并且是在坚集上的统一范数中的 Cauchy $\bar{W}$. 所以 $G_i$ 一致收玫到一个连续函数 $g$. 自从 $0 \leq f-G_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ 在 $K, g=f$ 在 $K$. 因为每个 $G_i$ 支持 $W \subseteq U$ ，也是 $g$.

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation by $\mathcal{C}^{\infty}$ 功能

定义。对于勒贝格可测函数 $f$ 和 $g$ 在 $\mathbb{R}^n$ ，的卷积 $f$ 和 $g$ 是函数
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y .
$$
很明显，如果 $(f * g)(x)$ 是有限的，那么 $(f * g)(x)=(g * f)(x)$. 因此
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) g(x-y) d y .
$$
可以施加各种条件 $f$ 和 $g$ 保证积分的有限性，至少对于 $a e x \in \mathbb{R}^n$. 我们认为函数的可测量性是理所当然的 $f(x-y) g(y)$
在本小节中，我们将限制功能 $f$ 和 $g$ 得到紧凑支持的连续函数。读者可以查看练习部分，对卷积的性质进行稍微 扩展的讨论。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学分析Mathematical Analysis MAJ01156这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。

数学分析Mathematical Analysis作业代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的数学分析Mathematical Analysis作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此数学分析Mathematical Analysis作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Outer Measures

We now discuss an important general construction which we need in section $8.4$ for the construction of the Lebesgue measure on $\mathbb{R}^n$.

Definition. Let $X$ be a nonempty set. A set function $m^: \mathcal{P}(X) \rightarrow[0, \infty]$ is called an outer measure on $X$ if the following conditions are satisfied: (a) if $E \subseteq F \subseteq X$, then $m^(E) \leq m^*(F)$; and (b) for a countable sequence $\left(E_n\right)$ of subsets of $X$,
$$
m^\left(\cup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m^\left(E_n\right) .
$$
Thus an outer measure is a nonnegative set function on $\mathcal{P}(X)$ that is monotone and countably subadditive. Outer measures have little intrinsic importance. However, an outer measure can be restricted to a positive measure on a certain $\sigma$-algebra of sets in $X$, as we detail below.

Definition. Let $m^$ be an outer measure on $X$. A subset $E$ of $X$ is said to be $m^-$ measurable (or simply measurable, in this discussion) if
$$
m^(A)=m^(A \cap E)+m^\left(A \cap E^{\prime}\right) $$ for all subsets $A$ of $X$. The above condition is known as the Carathéodory condition. Let $\mathfrak{M}$ denote the set of all $m^$-measurable subsets of $X$.

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Measurable Functions

For the remainder of this section, $(X, \mathfrak{M})$ is a measurable space. We allow realvalued functions on $X$ to take infinite values. This is essential because, for example, the limit of a sequence of functions $f_n(x)$ may well diverge to $\pm \infty$, or it may not even exist for some $x \in X$. It will turn out that this is largely a technicality because, in practice, the exceptional set of points where a reasonable measurable function $f$ takes infinite values has measure 0 (see, e.g., example 1 in section 8.3). In this section, we have to contend with the nuisance that functions can assume infinite values.

Definition. An extended real-valued function $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ is said to be measurable if $f^{-1}((a, \infty])$ is measurable for every $a \in \mathbb{R}$.

Proposition 8.2.8. For a function $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$, and $a \in \mathbb{R}$, the following are equivalent:
(a) fis measurable.
(b) $f^{-1}([a, \infty]) \in \mathfrak{M}$.
(c) $f^{-1}([-\infty, a)) \in \mathfrak{M}$.
(d) $f^{-1}([-\infty, a]) \in \mathfrak{M}$.
Proof. (a) implies (b): $f^{-1}([a, \infty])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}((a-1 / n, \infty])$.
(b) implies $(c): f^{-1}([-\infty, a))=X-f^{-1}([a, \infty])$.
(c) implies $(d): f^{-1}([-\infty, a])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}([-\infty, a+1 / n))$.
(d) implies $(a): f^{-1}((a, \infty])=X-f^{-1}([-\infty, a])$.
Theorem 8.2.9. (a) A constant function is measurable.
(b) If $A \subseteq X$, then $\chi_A$ is measurable if and only if $A$ is measurable.
(c) Iff : $X \rightarrow \mathbb{R}$ is measurable and $c \in \mathbb{R}$, then $f+c$ and cf are measurable.
The proof is left as an exercise.

数学分析代写

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Outer Measures

我们现在讨论一个重要的一般结构，我们需要在部分 $8.4$ 用于构建 Lebesgue 措施 $\mathbb{R}^n$.
定义。让 $X$ 是一个非空集。一组函数 $m: \mathcal{P}(X) \rightarrow[0, \infty]$ 被称为外部度量 $X$ 如果满足以下条件: (a) 如果 $E \subseteq F \subseteq X$ ，然后 $m(E) \leq m^*(F)$; (b) 对于可数序列 $\left(E_n\right)$ 的子集 $X$ ，
$$
m\left(\cup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m^{\left(E_n\right)} .
$$
因此，外部测度是一个非负集函数 $\mathcal{P}(X)$ 这是单调和可数次加法。外部㛭施几乎没有内在重要性。但是，外部措施可以限制为对某 个特定的积极措施 $\sigma-$ 焦合的代数 $X$ ，正如我们在下面详述的那样。
定义。让失少上标或下标参数
$$
\left.\left.m^{(} A\right)=m^{(} A \cap E\right)+m^{\left(A \cap E^{\prime}\right)}
$$
对于所有子集 $A$ 的 $X$. 上述条件称为 Carathéodory 条件。让貝表示所有的集合缺少上标或下标参数

可测量的子集 $X$.

数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Measurable Functions

对于本节的其余部分， $(X, \mathfrak{M})$ 是 个可测量的空间。我们允许实值函数 $X$ 取无限值。这是必不可少的，因为例如，函数序列的限 制 $f_n(x)$ 很可能会偏离 $\pm \infty$ ，或者对于某些人来说甚至可能不存在 $x \in X$. 事实证明，这在很大程度上是一个技术问题，因为在实 践中，一个合理的可测量函数的特殊点集 $f$ 取无穷大值的度量为 0 (例如，参见第 $8.3$ 节中的示例 1) 。在本节中，我们必须解㚘 函数可以假定无限值的问题。
定义。扩展的实值函数 $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ 据说是可测量的，如果 $f^{-1}((a, \infty])$ 是可测量的 $a \in \mathbb{R}$.
提案 8.2.8。对于一个函数 $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ ，和 $a \in \mathbb{R}$ ，以下是等价的:
(a) 可测量的。
(二) $f^{-1}([a, \infty]) \in \mathfrak{M}$.
(c) $f^{-1}([-\infty, a)) \in \mathfrak{M}$.
(d) $f^{-1}([-\infty, a]) \in \mathfrak{M}$.
证明。(a) 意味着 $(b): f^{-1}([a, \infty])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}((a-1 / n, \infty])$.
(b) 暗示 $(c): f^{-1}([-\infty, a))=X-f^{-1}([a, \infty])$.
(c) 暗示 $(d): f^{-1}([-\infty, a])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}([-\infty, a+1 / n))$.
(d) 暗示 $(a): f^{-1}((a, \infty])=X-f^{-1}([-\infty, a])$.
定理 8.2.9。(a) 一个常数函数是可测量的。
(b) 如果 $A \subseteq X ＼mathrm{~ ， 然 后 ~} \chi A$ 是可测量的当且仅当 $A$ 是可测量的。
(c) 如果: $X \rightarrow \mathbb{R}$ 是可测量的并且 $c \in \mathbb{R}$ ，然后 $f+c$ 和 $c f$ 是可测量的。
证明留作练习。

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微观经济学代写

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学分析Mathematical Analysis MATH7400这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。

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数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Fourier Series and Orthogonal Polynomials

In section $3.7$ we studied the geometry of inner product spaces more than their metric properties. We now have a bigger toolbox with which we can tackle inner product spaces. Before we pose the central questions of this section, let us summarize the highlights of section 3.7, upon which this section rests heavily. Let $\left{u_{1}, u_{2}, \ldots\right}$ be an infinite orthonormal sequence of vectors in an inner product space $H$. The orthogonal projection of an element $x \in H$ on the finite-dimensional space $M_{n}=\operatorname{Span}\left(\left{u_{1}, \ldots, u_{n}\right}\right)$ is, by definition, the vector $S_{n} x=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, u_{i}\right\rangle u_{i}$. We know from theorem 3.7.6 that the vector $S_{n} x$ is the closest vector in $M_{n}$ to $x$, and we also say that $S_{n} x$ is the best approximation of $x$ in $M_{n}$. Now that we have studied convergence in metric spaces, it is natural to ask whether $\lim {n} S{n} x=x$. Unfortunately, we are still not in a position to state an exact set of conditions under which a general answer can be provided because the answer depends on the space $H$ and the sequence $\left{u_{1}, u_{2}, \ldots\right}$. The reader should suspect that completeness is relevant here, and it is. The spaces we study in this section are not complete, and this is precisely the reason we cannot decisively settle the question posed above about the convergence of the sequence $S_{n} x$. In two of the major examples we consider in this section, we will answer this question satisfactorily but not completely. The full picture will materialize in sections $7.2$ and $8.9$.
Fourier series
In section 3.7, we defined the inner product $\langle f, g\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{g(x)} d x$ on the space $\mathcal{C}[-\pi, \pi]$. The sequence
$$
\left{u_{n}(t)=e^{i n t}: n \in \mathbb{Z}\right}
$$
is an orthonormal sequence with respect to the above inner product. The norm of a function $f$ induced by the inner product will be denoted by $|f|_{2}$ in order to distinguish it from the uniform norm on $\mathcal{C}[-\pi, \pi]$, which will also play a prominent role in this section. Thus the uniform norm of a function $f \in \mathcal{C}[a, b]$ will be denoted by the usual notation $|f|_{\infty}$, while
$$
|f|_{2}=\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2} d x\right)^{1 / 2} .
$$
It is clear that $|f|_{2} \leq|f|_{\infty}$.

数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Tchebychev Polynomials

In this special case, we take
$$
(a, b)=(-1,1)
$$
and
$$
\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} .
$$
Observe that the space $H$ of square integrable functions with respect to $\omega$ contains the entire space $\mathcal{C}[-1,1]$

A simple and direct derivation of the orthogonal polynomials is possible because of the observation that, for an integer $n \geq 0, \cos (n x)$ can be expressed as a polynomial of $\cos x$. For example, $\cos (2 x)=2 \cos ^{2} x-1$. The next lemma proves the existence of such polynomials and establishes the three-term recurrence relation among them.

数学分析代写

数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Fourier Series and Orthogonal Polynomials

在部分 $3.7$ 我们研究了内积空间的几何而不是它们的度量属性。我们现在有一个更大的工具箱，我们可以用它来处理内部产品空 间。在我们提出本节的中心问题之前，让我们总结一下第 $3.7$ 节的重点，这也是本节的重中之重。让
〈left 的分隔符缺失或无法识别 是内积空间中向量的无限正交序列 $H$. 元膆的正交投影 $x \in H$ 在有限维空间上 \left 的分隔符胡失或无法识别 是，根居定义，向量 $S_{n} x=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, u_{i}\right\rangle u_{i}$. 我们从定理 $3.7 .6$ 知道向量
$S_{n} x$ 是最近的向量 $M_{n}$ 至 $x$ ，我们也说 $S_{n} x$ 是的最佳近似值 $x$ 在 $M_{n}$. 现在我们已经研究了度量空间中的收敛性，很自然地要问是否 $\lim n S n x=x$. 不幸的是，我们仍然无法说明可以提供一般箜䅁的确切条件，因为答案取决于空间 $H$ 和序列
\left 的分隔符缺失或无法识别 . 读者应该怀疑完整性在这里是相关的，而且确实如此。本节我们研究的空间 并不完整，这也正是我们无法果断解决上述关于序列收敛的问题的原因 $S_{n} x$. 在本节中我们考虑的两个主要示例中，我们将满意但
不完全地回答䢒个问题。完整的画面将分部分实现 $7.2$ 和 $8.9$.
傅里叶级数
在 3.7 节中，我们定义了内积 $\langle f, g\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{g(x)} d x$ 在空间上 $\mathcal{C}[-\pi, \pi]$. 序列
《left 的分隔符缺失或无法识别
是关于上述内积的正交序列。函数的范数 $f$ 由内积引起的将表示为 $|f|{2}$ 为了区别于统一规范 $\mathcal{C}[-\pi, \pi]$ ，这也将在本节中发挥突出作 用。因此函数的统一范数 $f \in \mathcal{C}[a, b]$ 将用通常的符号表示 $|f|{\infty}$ ，尽管
$$
|f|{2}=\left(\frac{1}{2 \pi} \int{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2} d x\right)^{1 / 2} .
$$
很清楚 $|f|{2} \leq|f|{\infty}$.

数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Tchebychev Polynomials

在这种特殊情况下，我们取
$$
(a, b)=(-1,1)
$$
和
$$
\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} .
$$
观崇空间 $H$ 平方可积函数关于 $\omega$ 包含整个空间 $\mathcal{C}[-1,1]$
正交侈项式的简单直接隹导是可能的，因为观崇到，对于整数 $n \geq 0, \cos (n x)$ 可以表示为的多项式 $\cos x$. 例如， $\cos (2 x)=2 \cos ^{2} x-1$.下一个引理证明了这些茤项式的存在，并建立了它们之间的三项递推关系。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。