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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Second-Order Taylor Formula with Lagrange Remainder

Second-Order Taylor Formula with Lagrange Remainder Let $f$ be of class $C^2(A)$ and $x, x+h(h \neq 0)$ points in $A \subseteq \mathbb{R}^n$ such that the segment $[x, x+h]$ is contained in A. There is a real number $\vartheta \in(0,1)$, depending on $x$ and $h$, such that
\begin{aligned} f(x+h) & =f(x)+\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x) h_i+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n f_{x_i x_j}(x+\vartheta h) h_i h_j= \ & =f(x)+(D f(x), h)+\frac{1}{2}\left(D^2 f(x+\vartheta h) \cdot h, h\right) . \end{aligned}
As usual $D f$ denotes the gradient and $D^2 f$ the Hessian matrix of second partial derivatives of $f$. Moreover, $(D f, h)$ is the Euclidean inner product of the vectors $D f$ and $h$, while $D^2 f \cdot h$ is the matrix product between the $n \times n$ matrix $D^2 f$ and the $n \times 1$ matrix $h$ (a column vector).

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Second-Order Taylor Formula with Peano Remainder

Second-Order Taylor Formula with Peano Remainder Let $f$ be a $C^2$ function on the open set $A$ in $\mathbb{R}^n$. Take $x, x+h \in A$ with $h \neq 0$ such that the segment $[x, x+h]$ is contained in $A$. Then
$$f(x+h)=f(x)+(D f(x), h)+\frac{1}{2}\left(D^2 f(x) \cdot h, h\right)+o\left(|h|^2\right) .$$
Before we prove it, let us see a useful property.

## 数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|SecondOrder Taylor Formula with Lagrange Remainder

$$f(x+h)=f(x)+\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x) h_i+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n f_{x_i x_j}(x+\vartheta h) h_i h_j=\quad=f(x)+(D f(x), h)+\frac{1}{2}\left(D^2 f(x+\vartheta h) \cdot h, h\right) .$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|SecondOrder Taylor Formula with Peano Remainder

$$f(x+h)=f(x)+(D f(x), h)+\frac{1}{2}\left(D^2 f(x) \cdot h, h\right)+o\left(|h|^2\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Functions with Vanishing Gradient on Connected Sets

Recall that an open set $A \subseteq \mathbb{R}^n$ is connected if
$$A_1, A_2 \text { open subsets of } \mathbb{R}^n, \quad A_1 \cap A_2=\emptyset, \quad A_1 \cup A_2=A$$
force one of $A_1, A_2$ to be empty.
The following result is about functions with null partial derivatives on a connected subset of $\mathbb{R}^n$, and generalises the analogous simple fact in one variable, where a derivative is zero on some interval.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Functions with Zero Gradient

Functions with Zero Gradient If a function $f$ has zero gradient at all points in a connected open set $A \subseteq \mathbb{R}^n$, then $f$ is constant on $A$.

Proof By assumption all partial derivatives are zero on $A$, so the derivatives are continuous and $f$ is differentiable on $A$. Fix $x_0 \in A$ and define the set
$$A_1=\left{x \in A: \quad f(x)=f\left(x_0\right)\right}$$
Clearly $A=A_1 \cup A_2$, where
$$A_2=\left{x \in A: \quad f(x) \neq f\left(x_0\right)\right}$$
Being differentiable, $f$ is continuous on $A$, so the set $A_2$ is open. Let us show $A_1$ is open as well. Take $x_1 \in A_1$ (so $f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)$ ) and let $I_\delta$ be an open ball, centred at $x_1$ with radius $\delta$, contained in $A$. We claim that $I_\delta \subseteq A_1$, i.e. $f(x)=f\left(x_0\right)=f\left(x_1\right)$ for any $x \in I_\delta$.

## 数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|Functions with Vanishing Gradient on Connected Sets

$A_1, A_2$ open subsets of $\mathbb{R}^n, \quad A_1 \cap A_2=\emptyset, \quad A_1 \cup A_2=A$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|Functions with Zero Gradient

\1eft 缺少或无法识别的分隔符

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Round-up of Topology in Rn

The topological properties of $\mathbb{R}^n$ which we briefly recall here have been already introduced and studied in Chap. 2, in relationship to general metric spaces.

For any element $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ in $\mathbb{R}^n$ we write $|x|$ for the modulus (also called norm or distance to the origin) of $x$, defined as
$$|x|=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1 / 2} \text {. }$$
Let $x_0$ be a given element of $\mathbb{R}^n$. The open ball around $x_0$ of radius $\delta>0$ is the non-empty subset of $\mathbb{R}^n$
$$I_\delta=\left{x \in \mathbb{R}^n:\left|x-x_0\right|<\delta\right}$$
consisting of points whose distance to $x_0$ is less than $\delta$. Sometimes it becomes important to denote explicitly that $x_0$ is the ball’s centre, so we shall write $I_\delta\left(x_0\right)$ to denote (3.1).

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Limits and Continuity

The definition of limit for functions of one real variable is easily extended to several variables. To do that we consider a subset $A$ in $\mathbb{R}^n$ and a function $f: A \rightarrow \mathbb{R}$, so $f$ is a real function defined on $A \subseteq \mathbb{R}^n$. Let $x_0$ be a limit point of $A$.
We say $f(x)$ tends to $\ell \in \mathbb{R} \cup{\pm \infty}$ as $x \rightarrow x_0$, written
$$\lim {x \rightarrow x_0} f(x)=\ell \quad\left(\text { or } \quad f(x) \rightarrow \ell \quad \text { as } x \rightarrow x_0\right),$$ if, for any neighbourhood $U \subseteq \mathbb{R}$ of $\ell$, there exists a neighbourhood $I\delta\left(x_0\right) \subseteq \mathbb{R}^n$ of $x_0$ such that
$$f(x) \in U, \quad \forall x \in I_\delta\left(x_0\right) \cap A-\left{x_0\right}$$
As for the one-variable case, the definition can be rephrased in terms of $\varepsilon, \delta$. For example, if $\ell \in \mathbb{R}$ (i.e. the limit is finite), $f(x)$ tends (or converges) to $\ell$ as $x \rightarrow x_0$ if, for any given $\varepsilon>0$, there is a number $\delta>0$ such that
$$|f(x)-\ell|<\varepsilon, \quad \forall x \in A-\left{x_0\right}:\left|x-x_0\right|<\delta .$$
The reader should reformulate the cases $\ell=\pm \infty$ in a similar fashion.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|Round-up of Topology in Rn

$$|x|=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1 / 2}$$

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Limits and Continuity

$$\lim x \rightarrow x_0 f(x)=\ell \quad\left(\text { or } \quad f(x) \rightarrow \ell \quad \text { as } x \rightarrow x_0\right),$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation

In this section, we prove a large collection of approximation theorems. The highlights include approximating $\mathfrak{Q}^p$ functions by simple functions and continuous functions of compact support. We prove that trigonometric polynomials are dense in $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$, which is the last piece of information we need to settle the question of the convergence of Fourier series of functions in $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$. The important operation of convoluting functions makes its first debut in this section. Finally, we study approximations by $C^{\infty}$ functions, prove the $C^{\infty}$ version of Urysohn’s lemma, and prove that $\mathcal{C}_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ is dense in $\mathfrak{Q} p\left(\mathbb{R}^n\right)$.

Lemma 8.7.1 (the Tietze extension theorem). Let $K$ be a compact subset of $\mathbb{R}^n$ and let $f: K \rightarrow[0,1]$ be continuous. Then $f$ can be extended to a continuous function $g \in \mathcal{C}_c\left(\mathbb{R}^n\right)$ such that $0 \leq g \leq 1$. If $K$ is contained in an open set $U$, then $g$ can be constructed in such a way that $\operatorname{supp}(g) \subseteq U$.

Proof. Let $W$ be an open set such that $\bar{W}$ is compact and $K \subseteq W \subseteq \bar{W} \subseteq U$. Let $K_1=$ $f^{-1}([0,1 / 3])$, and $K_2=f^{-1}([2 / 3,1])$. Applying lemma $8.4 .1$ to the closed sets $E=$ $K_1 \cup\left(\mathbb{R}^n-W\right)$, and $F=K_2$, produces a continuous function $g_1: \mathbb{R}^n \rightarrow[0,1 / 3]$ such that $g_1(E)=0$, and $g_1(F)=1 / 3$. By construction, $\operatorname{supp}\left(g_1\right) \subseteq \bar{W}$, and $0 \leq$ $f-g_1 \leq 2 / 3$ on $K$. Applying the same construction to the function $f-g_1$, we can find a function $g_2: \mathbb{R}^n \rightarrow\left[0, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right]$ such that $\operatorname{supp}\left(g_2\right) \subseteq \bar{W}$, and $0 \leq f-g_1-g_2 \leq$ $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ on the set $K$. Continuing this construction yields a sequence of continuous functions $g_i$ on $\mathbb{R}^n$ such that $\operatorname{supp}\left(g_i\right) \subseteq \bar{W}, 0 \leq g_i \leq \frac{2^{i-1}}{3^i}$, and $0 \leq f-g_1-g_2 \cdots-$ $g_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ on $K$. The sequence $G_i=g_1+\ldots+g_i$ is supported in $\bar{W}$ and is Cauchy in the uniform norm on the compact set $\bar{W}$. Therefore $G_i$ converges uniformly to a continuous function $g$. Since $0 \leq f-G_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ on $K, g=f$ on $K$. Because each $G_i$ is supported in $\bar{W} \subseteq U$, so is $g$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation by $\mathcal{C}^{\infty}$ Functions

Definition. For Lebesgue measurable functions $f$ and $g$ on $\mathbb{R}^n$, the convolution of $f$ and $g$ is the function
$$(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y .$$
It is clear that if $(f * g)(x)$ is finite, then $(f * g)(x)=(g * f)(x)$. Thus
$$(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) g(x-y) d y .$$
A variety of conditions can be imposed on $f$ and $g$ to guarantee the finiteness of the integral, at least for a.e. $x \in \mathbb{R}^n$. We take for granted the measurability of the function $f(x-y) g(y)$.

In this subsection, we will limit the functions $f$ and $g$ to be continuous functions of compact support. The reader can look at the section exercises for a slightly expanded discussion of the properties of convolutions.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation by $\mathcal{C}^{\infty}$ 功能

$$(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y .$$

$$(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) g(x-y) d y .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Outer Measures

We now discuss an important general construction which we need in section $8.4$ for the construction of the Lebesgue measure on $\mathbb{R}^n$.

Definition. Let $X$ be a nonempty set. A set function $m^: \mathcal{P}(X) \rightarrow[0, \infty]$ is called an outer measure on $X$ if the following conditions are satisfied: (a) if $E \subseteq F \subseteq X$, then $m^(E) \leq m^*(F)$; and (b) for a countable sequence $\left(E_n\right)$ of subsets of $X$,
$$m^\left(\cup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m^\left(E_n\right) .$$
Thus an outer measure is a nonnegative set function on $\mathcal{P}(X)$ that is monotone and countably subadditive. Outer measures have little intrinsic importance. However, an outer measure can be restricted to a positive measure on a certain $\sigma$-algebra of sets in $X$, as we detail below.

Definition. Let $m^$ be an outer measure on $X$. A subset $E$ of $X$ is said to be $m^-$ measurable (or simply measurable, in this discussion) if
$$m^(A)=m^(A \cap E)+m^\left(A \cap E^{\prime}\right)$$ for all subsets $A$ of $X$. The above condition is known as the Carathéodory condition. Let $\mathfrak{M}$ denote the set of all $m^$-measurable subsets of $X$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Measurable Functions

For the remainder of this section, $(X, \mathfrak{M})$ is a measurable space. We allow realvalued functions on $X$ to take infinite values. This is essential because, for example, the limit of a sequence of functions $f_n(x)$ may well diverge to $\pm \infty$, or it may not even exist for some $x \in X$. It will turn out that this is largely a technicality because, in practice, the exceptional set of points where a reasonable measurable function $f$ takes infinite values has measure 0 (see, e.g., example 1 in section 8.3). In this section, we have to contend with the nuisance that functions can assume infinite values.

Definition. An extended real-valued function $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ is said to be measurable if $f^{-1}((a, \infty])$ is measurable for every $a \in \mathbb{R}$.

Proposition 8.2.8. For a function $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$, and $a \in \mathbb{R}$, the following are equivalent:
(a) fis measurable.
(b) $f^{-1}([a, \infty]) \in \mathfrak{M}$.
(c) $f^{-1}([-\infty, a)) \in \mathfrak{M}$.
(d) $f^{-1}([-\infty, a]) \in \mathfrak{M}$.
Proof. (a) implies (b): $f^{-1}([a, \infty])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}((a-1 / n, \infty])$.
(b) implies $(c): f^{-1}([-\infty, a))=X-f^{-1}([a, \infty])$.
(c) implies $(d): f^{-1}([-\infty, a])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}([-\infty, a+1 / n))$.
(d) implies $(a): f^{-1}((a, \infty])=X-f^{-1}([-\infty, a])$.
Theorem 8.2.9. (a) A constant function is measurable.
(b) If $A \subseteq X$, then $\chi_A$ is measurable if and only if $A$ is measurable.
(c) Iff : $X \rightarrow \mathbb{R}$ is measurable and $c \in \mathbb{R}$, then $f+c$ and cf are measurable.
The proof is left as an exercise.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Outer Measures

$$m\left(\cup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m^{\left(E_n\right)} .$$

$$\left.\left.m^{(} A\right)=m^{(} A \cap E\right)+m^{\left(A \cap E^{\prime}\right)}$$

## 数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Measurable Functions

(a) 可测量的。
(二) $f^{-1}([a, \infty]) \in \mathfrak{M}$.
(c) $f^{-1}([-\infty, a)) \in \mathfrak{M}$.
(d) $f^{-1}([-\infty, a]) \in \mathfrak{M}$.

(b) 暗示 $(c): f^{-1}([-\infty, a))=X-f^{-1}([a, \infty])$.
(c) 暗示 $(d): f^{-1}([-\infty, a])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}([-\infty, a+1 / n))$.
(d) 暗示 $(a): f^{-1}((a, \infty])=X-f^{-1}([-\infty, a])$.

(b) 如果 $A \subseteq X ＼mathrm{~ ， 然 后 ~} \chi A$ 是可测量的当且仅当 $A$ 是可测量的。
(c) 如果: $X \rightarrow \mathbb{R}$ 是可测量的并且 $c \in \mathbb{R}$ ，然后 $f+c$ 和 $c f$ 是可测量的。

## MATLAB代写

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## 数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Fourier Series and Orthogonal Polynomials

In section $3.7$ we studied the geometry of inner product spaces more than their metric properties. We now have a bigger toolbox with which we can tackle inner product spaces. Before we pose the central questions of this section, let us summarize the highlights of section 3.7, upon which this section rests heavily. Let $\left{u_{1}, u_{2}, \ldots\right}$ be an infinite orthonormal sequence of vectors in an inner product space $H$. The orthogonal projection of an element $x \in H$ on the finite-dimensional space $M_{n}=\operatorname{Span}\left(\left{u_{1}, \ldots, u_{n}\right}\right)$ is, by definition, the vector $S_{n} x=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, u_{i}\right\rangle u_{i}$. We know from theorem 3.7.6 that the vector $S_{n} x$ is the closest vector in $M_{n}$ to $x$, and we also say that $S_{n} x$ is the best approximation of $x$ in $M_{n}$. Now that we have studied convergence in metric spaces, it is natural to ask whether $\lim {n} S{n} x=x$. Unfortunately, we are still not in a position to state an exact set of conditions under which a general answer can be provided because the answer depends on the space $H$ and the sequence $\left{u_{1}, u_{2}, \ldots\right}$. The reader should suspect that completeness is relevant here, and it is. The spaces we study in this section are not complete, and this is precisely the reason we cannot decisively settle the question posed above about the convergence of the sequence $S_{n} x$. In two of the major examples we consider in this section, we will answer this question satisfactorily but not completely. The full picture will materialize in sections $7.2$ and $8.9$.
Fourier series
In section 3.7, we defined the inner product $\langle f, g\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{g(x)} d x$ on the space $\mathcal{C}[-\pi, \pi]$. The sequence
$$\left{u_{n}(t)=e^{i n t}: n \in \mathbb{Z}\right}$$
is an orthonormal sequence with respect to the above inner product. The norm of a function $f$ induced by the inner product will be denoted by $|f|_{2}$ in order to distinguish it from the uniform norm on $\mathcal{C}[-\pi, \pi]$, which will also play a prominent role in this section. Thus the uniform norm of a function $f \in \mathcal{C}[a, b]$ will be denoted by the usual notation $|f|_{\infty}$, while
$$|f|_{2}=\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2} d x\right)^{1 / 2} .$$
It is clear that $|f|_{2} \leq|f|_{\infty}$.

## 数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Tchebychev Polynomials

In this special case, we take
$$(a, b)=(-1,1)$$
and
$$\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} .$$
Observe that the space $H$ of square integrable functions with respect to $\omega$ contains the entire space $\mathcal{C}[-1,1]$

A simple and direct derivation of the orthogonal polynomials is possible because of the observation that, for an integer $n \geq 0, \cos (n x)$ can be expressed as a polynomial of $\cos x$. For example, $\cos (2 x)=2 \cos ^{2} x-1$. The next lemma proves the existence of such polynomials and establishes the three-term recurrence relation among them.

## 数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Fourier Series and Orthogonal Polynomials

〈left 的分隔符缺失或无法识别 是内积空间中向量的无限正交序列 $H$. 元膆的正交投影 $x \in H$ 在有限维空间上 \left 的分隔符胡失或无法识别 是，根居定义，向量 $S_{n} x=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, u_{i}\right\rangle u_{i}$. 我们从定理 $3.7 .6$ 知道向量
$S_{n} x$ 是最近的向量 $M_{n}$ 至 $x$ ，我们也说 $S_{n} x$ 是的最佳近似值 $x$ 在 $M_{n}$. 现在我们已经研究了度量空间中的收敛性，很自然地要问是否 $\lim n S n x=x$. 不幸的是，我们仍然无法说明可以提供一般箜䅁的确切条件，因为答案取决于空间 $H$ 和序列
\left 的分隔符缺失或无法识别 . 读者应该怀疑完整性在这里是相关的，而且确实如此。本节我们研究的空间 并不完整，这也正是我们无法果断解决上述关于序列收敛的问题的原因 $S_{n} x$. 在本节中我们考虑的两个主要示例中，我们将满意但

《left 的分隔符缺失或无法识别

$$|f|{2}=\left(\frac{1}{2 \pi} \int{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2} d x\right)^{1 / 2} .$$

## 数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Tchebychev Polynomials

$$(a, b)=(-1,1)$$

$$\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。