Tag: MATH7435

如果你也在 怎样代写几何组合Geometric combinatorics 学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。几何组合Geometric combinatorics 是数学的一个分支，尤其是组合学。它包括一些子领域，如多面体组合学（研究凸多面体的面），凸几何学（研究凸集，特别是其交叉点的组合学），以及离散几何学，这又在计算几何学方面有许多应用。

几何组合Geometric combinatorics其他重要领域包括多面体的度量几何，如关于凸多面体刚性的考奇定理。对规则多面体、阿基米德实体和接吻数的研究也是几何组合学的一部分。特殊的多面体也被考虑在内，如全等面体，协和面体和伯克霍夫多面体。

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数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Sphere Theorems

As mentioned in our discussion at the end of Section 5, one can sometimes use discrete Morse theory to make statements about more than just the homotopy type of the simplicial complex. One can sometimes classify the complex up to homeomorphism or combinatorial equivalence. In this section we give some examples of such arguments. An interesting application of these ideas is presented in the next section. So far, we have not placed any restrictions on the simplicial complexes under consideration. The main idea of this section is that if our simplicial complex has some additional structure, then one may be able to strengthen the conclusion. This idea rests on some very deep work of J. H. C. Whitehead [95].

A simplicial complex $K$ is a combinatorial $d$-ball if $K$ and the standard $d$ simplex $\sigma_d$ have isomorphic subdivisions. A simplicial complex $K$ is a combinatorial $(d-1)$-sphere if $K$ and $\dot{\sigma}_d$ have isomorphic subdivisions (where $\dot{\sigma}_d$ denotes the boundary of $\sigma_d$ with its induced simplicial structure). A simplicial complex $K$ is a combinatorial d-manifold with boundary if the link of every vertex is either a combinatorial $(d-1)$-sphere or a combinatorial $(d-1)$-ball. The following is a special case of the powerful main theorem of $[\mathbf{9 5}]$.

Theorem 14. Let $K$ be a combinatorial d-manifold with boundary which simplicially collapses to a vertex. (That is, $K$ can be a reduced to a vertex by a sequence of elementary simplicial collapses.) Then $K$ is a combinatorial d-ball.

With this theorem, and its generalizations, one can sometimes strengthen the conclusion of Theorem 11 beyond homotopy equivalence. We present just one example.
Theorem 15. Let $X$ be a combinatorial d-manifold with a discrete gradient vector field with exactly two critical simplices. Then $X$ is a combinatorial d-sphere.

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Our Second Example

In this section we demonstrate some of the ideas of the previous sections with a simple example from algebra. Fix a positive integer $n$, and consider the following $(n-2)$-dimensional simplicial complex, which we denote $M_n$. Starting with the following expression
$$
\left(x_0 x_1 x_2 \ldots x_n\right)
$$
consider all ways of adding legal pairs of parentheses. An expression resulting from adding $p+1$ pairs of parentheses will be a $p$-simplex in our complex. The faces of this $p$-simplex are all expressions that result from removing corresponding pairs of parentheses.

For example, consider the case $n=3$. The vertices of $M_3$ are the expressions
$$
\begin{gathered}
v_1=\left(\left(x_0 x_1\right) x_2 x_3\right), \quad v_2=\left(\left(x_0 x_1 x_2\right) x_3\right), \quad v_3=\left(x_0\left(x_1 x_2\right) x_3\right), \
v_4=\left(x_0\left(x_1 x_2 x_3\right)\right), \quad v_5=\left(x_0 x_1\left(x_2 x_3\right)\right)
\end{gathered}
$$
and the edges are the expressions
$$
\begin{gathered}
e_1=\left(\left(\left(x_0 x_1\right) x_2\right) x_3\right), \quad e_2=\left(\left(x_0\left(x_1 x_2\right)\right) x_3\right), \quad e_3=\left(x_0\left(\left(x_1 x_2\right) x_3\right)\right), \
e_4=\left(x_0\left(x_1\left(x_2 x_3\right)\right)\right), \quad e_5=\left(\left(x_0 x_1\right)\left(x_2 x_3\right)\right) .
\end{gathered}
$$
One can easily check the relations
$$
\begin{gathered}
e_1=\left{v_1, v_2\right}, \quad e_2=\left{v_2, v_3\right}, \quad e_3=\left{v_3, v_4\right} \
e_4=\left{v_4, v_5\right}, \quad e_5=\left{v_5, v_1\right}
\end{gathered}
$$
so that $M_3$ is a circle triangulated with 5 edges and 5 vertices.

几何组合代写

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Sphere Theorems

正如我们在第 5 节末尾的讨论中提到的，有时可以使用离散莫尔斯理论来陈述不仅仅是单纯复形的 同伦类型。有时可以将复数分类为同胚或组合等价。在本节中，我们将给出此类论点的一些示例。下 一节将介绍这些想法的有趣应用。到目前为止，我们还没有对所考虑的单纯暞形施加任何限制。这一 节的主要思想是，如果我们的单纯复形有一些额外的结构，那么也许可以加强结论。这个想法基于 JHC Whitehead [95] 的一些非常深入的工作。
单纯复形 $K$ 是一个组合 $d-$ 球如果 $K$ 和标准 $d$ 单纯形 $\sigma_d$ 有同构的细分。单纯复形 $K$ 是一个组合 $(d-1)$-球体如果 $K$ 和 $\dot{\sigma}_d$ 具有同构细分（其中 $\dot{\sigma}_d$ 表示边界 $\sigma_d$ 及其诱导单纯结构) 。单纯复形 $K$ 是 一个有边界的组合 $\mathrm{d}$-流形如果每个顶点的链接是一个组合流形 $(d-1)$-球体或组合 $(d-1)$-球。 以下是强大主定理的特例 $[\mathbf{9 5}]$.
定理 14. 让 $K$ 是一个组合 $\mathrm{d}$-流形，其边界简单地折疍到一个顶点。（那是， $K$ 可以通过一系列基本 单纯形折跙减少到一个顶点。）然壬 $K$ 是一个组合 $\mathrm{d}$ 球。
利用这个定理及其推广，有时可以加强定理 11 的结论，使其超越同伦等价性。我们只举一个例子。 定理 15. 让 $X$ 是具有恰好两个临界单纯形的离散梯度矢量场的组合 $\mathrm{d}$-流形。然后 $X$ 是一个组合 $\mathrm{d}$ 球。

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Our Second Example

在本节中，我们将通过代数中的一个简单示例来演示前几节的一些想法。修正一个正整数 $n$ ，并考虑以下 $(n-2)$-维单纯复形，我们表示 $M_n$. 从以下表达式开始
$$
\left(x_0 x_1 x_2 \ldots x_n\right)
$$
考虑添加合法括号对的所有方法。由添加产生的表达式 $p+1$ 括号对将是 $p$-我们综合体中的单工。这些人的面 孔 $p$-simplex 是所有通过删除相应的括号对而产生的表达式。
例如，考虑这种情况 $n=3$. 的顶点 $M_3$ 是表达式
$$
v_1=\left(\left(x_0 x_1\right) x_2 x_3\right), \quad v_2=\left(\left(x_0 x_1 x_2\right) x_3\right), \quad v_3=\left(x_0\left(x_1 x_2\right) x_3\right), v_4=\left(x_0\left(x_1 x_2 x_3\right)\right), \quad v_5=\left(x_0 x_1\left(x_2 x_3\right)\right)
$$
边缘是表达式
$$
e_1=\left(\left(\left(x_0 x_1\right) x_2\right) x_3\right), \quad e_2=\left(\left(x_0\left(x_1 x_2\right)\right) x_3\right), \quad e_3=\left(x_0\left(\left(x_1 x_2\right) x_3\right)\right), e_4=\left(x_0\left(x_1\left(x_2 x_3\right)\right)\right), \quad e_5=\left(\left(x_0 x_1\right)\left(x_2 x_3\right)\right) .
$$
可以很容易地检查关系
$$
\backslash \text { begin }{\text { gathered }} e_{-} 1=\backslash \text { left }\left{v_{-} l, v_{-} 2 \backslash \text { right }\right}, \backslash q u a d e_{-} 2=\backslash \text { left }\left{v_{-} 2, v_{-} 3 \backslash \text { right }\right}, \backslash q u a d e_{-} 3=\backslash \text { left }\left{v_{-} 3, v_{-} 4 \backslash \text { right }\right} \backslash e_{-} 4=\backslash \text { left }\left{v_{-} 4, v_{-} 5 \backslash \text { right }\right}, \backslash q
$$
以便 $M_3$ 是一个三角形的圆，有 5 条边和 5 个顶点。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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几何组合Geometric combinatorics其他重要领域包括多面体的度量几何，如关于凸多面体刚性的考奇定理。对规则多面体、阿基米德实体和接吻数的研究也是几何组合学的一部分。特殊的多面体也被考虑在内，如全等面体，协和面体和伯克霍夫多面体。

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数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Cell Complexes and CW Complexes

The main theorems of discrete (and smooth) Morse theory are best stated in the language of CW complexes, so we begin with an overview of the basics of such complexes. J. H. C. Whitehead introduced CW complexes in his foundational work on homotopy theory, and all of the results in this section are due to him. The reader should consult $[\mathbf{6 8}]$ for a very complete introduction to this topic. In these notes we will consider only finite $\mathrm{CW}$ complexes, so many of the subtleties of the subject will not appear.

The building blocks of cell complexes are cells. Let $B^d$ denote the closed unit ball in $d$-dimensional Euclidean space. That is, $B^d=\left{x \in \mathbb{E}^d\right.$ s.t. $\left.|x| \leq 1\right}$. The boundary of $B^d$ is the unit $(d-1)$-sphere $S^{(d-1)}=\left{x \in \mathbb{E}^d\right.$ s.t. $\left.|x|=1\right}$. A d-cell is a topological space which is homeomorphic to $B^d$. If $\sigma$ is $d$-cell, then we denote by $\dot{\sigma}$ the subset of $\sigma$ corresponding to $S^{(d-1)} \subset B^d$ under any homeomorphism between $B^d$ and $\sigma$. A cell is a topological space which is a $d$-cell for some $d$.

The basic operation of cell complexes is the notion of attaching a cell. Let $X$ be a topological space, $\sigma$ a $d$-cell and $f: \dot{\sigma} \rightarrow X$ a continuous map. We let $X \cup_f \sigma$ denote the disjoint union of $X$ and $\sigma$ quotiented out by the equivalence relation that each point $s \in \dot{\sigma}$ is identified with $f(s) \in X$. We refer to this operation by saying that $X \cup_f \sigma$ is the result of attaching the cell $\sigma$ to $X$. The map $f$ is called the attaching map.

We emphasize that the attaching map must be defined on all of $\dot{\sigma}$. That is, the entire boundary of $\sigma$ must be “glued” to $X$. For example, if $X$ is a circle, then Figure 1(i) shows one possible result of attaching a 1-cell to $X$. Attaching a 1-cell to $X$ cannot lead to the space illustrated in Figure 1 (ii) since the entire boundary of the 1-cell has not been “glued” to $X$.

We are now ready for our main definition. A finite cell complex is any topological space $X$ such that there exists a finite nested sequence
(1)
$$
\emptyset \subset X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_n=X
$$
such that for each $i=0,1,2, \ldots, n, X_i$ is the result of attaching a cell to $X_{(i-1)}$.

Note that this definition requires that X0 be a 0-cell. If X is a cell complex, we refer to any sequence of spaces as in (1) as a cell decomposition of X. Suppose that in the cell decomposition (1), of the $n+1$ cells that are attached, exactly $c_d$ are $d$-cells. Then we say that the cell complex $X$ has a cell decomposition consisting of $c_d d$-cells for every $d$.

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|The Morse Theory

In this section we introduce the main topic of the first three lectures, namely discrete Morse theory. Morse theory, in the standard setting of smooth manifolds, is usually described in the language of smooth functions on smooth manifolds (e.g. [71]). In practice, though, it is often useful to work with gradient vector fields rather than functions (e.g. $[\mathbf{7 2}],[\mathbf{8 2}]$ ). In the discrete setting, too, one can follow either path. In these notes, we will focus on the notion of a (discrete) gradient vector field. To see how discrete Morse theory can be presented from the function point of view, see $[\mathbf{3 1}]$ or $[\mathbf{3 2}]$

Let $K$ be a CW complex. (Most of our examples will be simplicial complexes, but in a few places, even when our object of study is a simplicial complex, it will be convenient to allow more general cell complexes.)

Definition 8. Let $\beta$ be a $(p+1)$-cell of $K$, with attaching map $h: S^p \rightarrow K_p$, where $K_p$ denotes the union of the cells of dimension $\leq p$.
(i) A cell $\alpha$ is a face of $\beta$, denoted by $\alpha<\beta$ (or $\beta>\alpha$ ) if $\beta \neq \alpha \subset \beta$ (where here we are identifying a cell with its image in $K$ ).
(ii) A face $\alpha$ of $\beta$ is said to be regular if
(a) $h^{-1}(\alpha)$ is homeomorphic to a ball, and
(b) $h$ restricted to $h^{-1}(\alpha)$ is a homeomorphism onto $\alpha$.
(iii) A regular $C W$ complex is a CW complex in which every face is regular. We note that every simplicial complex or polyhedron is a regular $\mathrm{CW}$ complex.

几何组合代写

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Cell Complexes and CW Complexes

离散 (和平滑) 莫尔斯理论的主要定理最好用 $\mathrm{CW}$ 筫形的语言来表述，因此我们首先概述此类复形的基础知 识。JHC Whitehead 在其关于同伦论的基础工作中引入了 CW 复形，本节中的所有结果都归功于他。读者应 咨询 $[68]$ 以获得对该主题的非常完整的介绍。在这些笔记中，我们将只考虑有限的 $\mathrm{CW}$ 情结，那么很多题材的 精妙之处就不会出现。
细胞复合体的组成部分是细胞。让 $B^d$ 表示封闭的单位球 $d$ 维欧几里得空间。那是， 么我们用 $\dot{\sigma}$ 的子集 $\sigma$ 对应于 $S^{(d-1)} \subset B^d$ 在任何同胚之间 $B^d$ 和 $\sigma$. 元胞是一个拓扑空间，它是 $d$-一些细胞 $d$.
细胞复合体的基本操作是附着细胞的概念。让 $X$ 是一个拓扑空间， $\sigma A d-$ 细胞和 $f: \dot{\sigma} \rightarrow X$ 一个连续的地图。 我们让 $X \cup_f \sigma$ 表示不相交的联合 $X$ 和 $\sigma$ 由每个点的等价关系商出 $s \in \dot{\sigma}$ 被识别为 $f(s) \in X$. 我们通过说这个 操作来引用这个操作 $X \cup_f \sigma$ 是附着细胞的结果 $\sigma$ 到 $X$. 地图 $f$ 称为附加映射。
我们强调附加地图必须定义在所有 $\dot{\sigma}$. 也就是说，整个边界 $\sigma$ 必须“粘”到 $X$. 例如，如果 $X$ 是一个圆圈，那么图 1(i) 显示了将 1-cell 附加到一个可能的结果 $X$. 附加一个 1-cell 到 $X$ 不能导致图 1 (ii) 所示的空间，因为 1-cell 的整个边界没有被“粘”到 $X$.
我们现在准备好我们的主要定义。有限元胞复形是任何拓扑空间 $X$ 这样就存在一个有限的嵌套序列
$(1)$
$$
\emptyset \subset X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_n=X
$$
这样对于每个 $i=0,1,2, \ldots, n, X_i$ 是将单元格附加到的结果 $X_{(i-1)}$.
请注意，此定义要求 $X O$ 为 0 单元格。如果 $X$ 是元胞复形，我们将 (1) 中的任何空间序列称为 $X$ 的元胞分解。 假设在元胞分解 (1) 中， $n+1$ 准确地附着的细胞 $c_d$ 是 $d$-细胞。然后我们说细胞筫合体 $X$ 有一个细胞分解包括 $c_d d-$ 毎个细胞 $d$

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|The Morse Theory

本节介绍前三讲的主题，即离散莫尔斯理论。莫尔斯理论，在光滑流形的标准设置中，通常用光滑流形上的光 滑函数的语言来描述（例如[71]) 。但在实践中，使用梯度向量场而不是函数通常很有用 (例如 $[\mathbf{7 2}],[\mathbf{8 2}])$. 在离散设置中，人们也可以邅㑑任何一条路径。在这些笔记中，我们将重点关注 (离散) 梯度矢量场的概念。 要了解如何从函数的角度呈现离散莫尔斯理论，请参阅 $[31]$ 或者 $[32]$
让 $K$ 是一个 $\mathrm{CW}$ 复合体。（我们的大多数示例都是单纯复形，但在少数地方，即使我们的研究对象是单纯复 形，允许更一般的元胞复形也会很方便。)
定义 8. 让 $\beta$ 是一个 $(p+1)$-细胞的 $K$ ，附地图 $h: S^p \rightarrow K_p$ ， 在哪里 $K_p$ 表示维度单元格的并集 $\leq p$.
(i) 细胞 $\alpha$ 是一张脸 $\beta$ ，表示为 $\alpha<\beta$ (或者 $\beta>\alpha$ ) 如果 $\beta \neq \alpha \subset \beta$ (在这里我们用它的图像来识别一个单 元格 $K)$.
(二) 做 $\alpha$ 的 $\beta$ 如果
(a) $h^{-1}(\alpha)$ 与球同胚，并且
(b) $h$ 受限于 $h^{-1}(\alpha)$ 是同胚到 $\alpha$.
(iii) 常规 $C W$ complex 是一个 $\mathrm{CW}$ 复形，其中每个面都是规则的。我们注意到每个单纯复形或多面体都是规 则的CW复杂的。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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几何组合Geometric combinatorics其他重要领域包括多面体的度量几何，如关于凸多面体刚性的考奇定理。对规则多面体、阿基米德实体和接吻数的研究也是几何组合学的一部分。特殊的多面体也被考虑在内，如全等面体，协和面体和伯克霍夫多面体。

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数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Cluster Complexes and Generalized Associahedra

This section is based on $[\mathbf{1 9}, \mathbf{2 1}]$, except for the last statement in Theorem 4.11, which was proved in $[\mathbf{1 3}]$.

It can be shown that in a given cluster algebra of finite type, each seed is uniquely determined by its cluster. Consequently, the combinatorics of exchanges is encoded by the cluster complex, a simplicial complex (indeed, a pseudomanifold) on the set of all cluster variables whose maximal simplices (facets) are the clusters. See Figure 4.3. By Theorem 4.10, the cluster variables-hence the vertices of the cluster complex-can be naturally labeled by the set $\Phi_{\geq-1}$ of “almost positive roots” in the associated root system $\Phi$.

This dual graph of the cluster complex is precisely the exchange graph of the cluster algebra.

Theorem 4.11 below shows that the cluster complex is always spherical, and moreover polytopal.

Recall that $Q_{\mathbb{R}}$ denotes the $\mathbb{R}$-span of $\Phi$. The $\mathbb{Z}$-span of $\Phi$ is the root lattice, denoted by $Q$.

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Polytopal Realizations of Generalized Associahedra

We now demonstrate how to explicitly describe each generalized associahedron by a set of linear inequalities.

Theorem 4.17. Suppose that a $\left(-w_{\circ}\right)$-invariant function $F:-\Pi \rightarrow \mathbb{R}$ satisfies the inequalities
$$
\sum_{i \in I} a_{i j} F\left(-\alpha_i\right)>0 \quad \text { for all } j \in I .
$$
Let us extend $F$ (uniquely) to a $\left\langle\tau_{-}, \tau_{+}\right\rangle$-invariant function on $\Phi_{\geq-1}$. The generalized associahedron is then given in the dual space $Q_{\mathbb{R}}^*$ by the linear inequalities
$$
\langle\mathbf{z}, \alpha\rangle \leq F(\alpha), \text { for all } \alpha \in \Phi_{\geq-1}
$$
An example of a function $F$ satisfying the conditions in Theorem 4.17 is obtained by setting $F\left(-\alpha_i\right)$ equal to the coefficient of the simple coroot $\alpha_i^{\vee}$ in the half-sum of all positive coroots. (Coroots are the roots of the “dual” root system; see $[\mathbf{9}, \mathbf{3 4}]$.

Example 4.18. In type $A_3$, Theorem 4.17 is illustrated in Figure 4.7, which shows a 3-dimensional associahedron given by the inequalities
$$
\begin{aligned}
\max \left(-z_1,-z_3, z_1, z_3, z_1+z_2, z_2+z_3\right) & \leq 3 / 2 \
\max \left(-z_2, z_2, z_1+z_2+z_3\right) & \leq 2 .
\end{aligned}
$$

几何组合代写

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Cluster Complexes and Generalized Associahedra

本节基于 $[\mathbf{1 9}, \mathbf{2 1}]$ ，除了定理 4.11 中的最后一个陈述，它在 $[\mathbf{1 3}]$.
可以证明，在给定的有限型簇代数中，每个种子都由其笶唯一确定。因此，交换的组合由簇复形編码，簇复形 是所有簇变量集合上的单纯复形 (实际上是伪流形)，其最大单纯形 (面) 是簇。见图 4.3。根据定理 4.10，
这个笶复形的对偶图就是笶代数的交换图。
下面的定理 4.11 表明簇筫形总是球形的，而且是多面形的。
回想起那个 $Q_{\mathbb{R}}$ 表示 $\mathbb{R}$-跨度 $\Phi$. 这 $\mathbb{Z}$-跨度 $\Phi$ 是根格，表示为 $Q$.

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Polytopal Realizations of Generalized Associahedra

我们现在演示如何通过一组线性不等式明确描述每个广义关联面体。
定理 4.17。假设一个 $\left(-w_{\circ}\right)$-不变函数 $F:-\Pi \rightarrow \mathbb{R}$ 满足不等式
$$
\sum_{i \in I} a_{i j} F\left(-\alpha_i\right)>0 \quad \text { for all } j \in I .
$$
让我们扩展 $F$ (唯一地) 到一个 $\left\langle\tau_{-}, \tau_{+}\right\rangle$-不变函数 $\Phi_{\geq-1}$. 然后在对偶空间中给出广义关联面体 $Q_{\mathbb{R}}^*$ 由线性不 等式
$$
\langle\mathbf{z}, \alpha\rangle \leq F(\alpha), \text { for all } \alpha \in \Phi_{\geq-1}
$$
一个函数的例子 $F$ 满足定理 4.17 中的条件是通过设置 $F\left(-\alpha_i\right)$ 等于简单余根的系数 $\alpha_i^{\vee}$ 在所有正协根的半和 中。(共根是“双”根系统的根；见 $[\mathbf{9}, \mathbf{3 4}]$.
例 4.18。在型 $A_3$ ，定理 4.17 如图 4.7 所示，它显示了由不等式给出的 3 维关联面体
$$
\max \left(-z_1,-z_3, z_1, z_3, z_1+z_2, z_2+z_3\right) \leq 3 / 2 \max \left(-z_2, z_2, z_1+z_2+z_3\right) \quad \leq 2
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Other “Finite Type” Classifications

The classification of root systems is similar or identical to several other classifications of objects of “finite type,” briefly reviewed below.

Non-crystallographic root systems
Lifting the crystallographic restriction does not allow very many additional root systems. The only non-crystallographic irreducible finite root systems are those of types $H_3, H_4$ and $I_2(m)$ for $m=5$ or $m \geq 7$. See [34].
Coxeter groups and reflection groups
By Theorems $2.10$ and 2.11, the classification of finite Coxeter groups is parallel to the classification of reflection groups and is essentially the same as the classification of root systems. The difference is that the root systems $B_n$ and $C_n$ correspond to the same Coxeter group $B_n$. A Coxeter group is encoded by its Coxeter diagram, a graph whose vertex set is $S$, with an edge $s$ – $t$ whenever $m_{s t}>2$. If $m_{s t}>3$, the edge is labeled by $m_{s t}$. Figure $2.2$ shows the Coxeter diagrams of the finite irreducible Coxeter systems, including the non-crystallographic Coxeter groups $\mathrm{H}_3$, $H_4$ and $I_2(m)$. The group $G_2$ appears as $I_2(6)$. See $[34]$ for more details.

Regular polytopes
By Theorem 1.5, the symmetry group of a regular polytope is a reflection group. In fact, it is a Coxeter group whose Coxeter diagram is linear: the underlying graph is a path with no branching points. This narrows down the possibilities, leading to the conclusion that there are no other regular polytopes besides the ones described in Section 1.2. In particular, there are no “exceptional” regular polytopes beyond dimension 4: only simplices, cubes, and crosspolytopes.
Lie algebras
The original motivation for the Cartan-Killing classification of root systems came from Lie theory. Complex finite-dimensional simple Lie algebras correspond naturally, and one-to-one, to finite irreducible crystallographic root systems. There exist innumerable expositions of this classical subject; see, e.g.,

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Reduced Words and Permutohedra

Each element $w \in W$ can be written as a product of elements of $S$ :
$$
w=s_{i_1} \cdots s_{i_{\ell}} .
$$
A shortest factorization of this form (or the corresponding sequence of subscripts $\left.\left(i_1, \ldots, i_{\ell}\right)\right)$ is called a reduced word for $w$; the number of factors $\ell$ is called the length of $w$.

Any finite Coxeter group has a unique element $w_{\circ}$ of maximal length. In the symmetric group $\mathcal{S}{n+1}=A_n$, this is the permutation $w{\circ}$ that reverses the order of the elements of the set ${1, \ldots, n+1}$.

Example 2.12. Let $W=\mathcal{S}_4$ be the Coxeter group of type $A_3$. The standard choice of simple reflections yields $S=\left{s_1, s_2, s_3\right}$, where $s_1, s_2$ and $s_3$ are the transpositions which interchange 1 with 2,2 with 3 , and 3 with 4 , respectively. (Cf. Example 1.7.)

The word $s_1 s_2 s_1 s_3 s_2 s_3$ is a non-reduced word for the permutation that interchanges 1 with 3 and 2 with 4 . This permutation has two reduced words $s_2 s_1 s_3 s_2$ and $s_2 s_3 s_1 s_2$.

An example of a reduced word for $w_{\circ}$ is $s_1 s_2 s_1 s_3 s_2 s_1$. There are 16 such reduced words altogether. (Cf. Example $2.14$ and Theorem 2.15.)

Recall from Section $1.2$ that we label the regions $R_w$ of the Coxeter arrangement by the elements of the reflection group $W$, so that $R_w$ is the image of $R_1$ under the action of $w$. More generally, $R_{u v}=u\left(R_v\right)$.

几何组合代写

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Other “Finite Type” Classifications

根系的分类与 “有限类型”对象的其他几个分类相似或相同，下面简要回顾。
非昌体根系
解除昌体学限制不允许有很㝖额外的根系。唯一的非昌体不可约有限根系统是仧型 $H_3, H_4$ 和 $I_2(m)$ 为了 $m=5$ 或者 $m \geq 7$. 参口 $[34]0$ Coxeter群和反射群 通过定理 $2.10$ 和 $2.11$ ，有限Coxeter群的分类与反射群的分类平行，与根系的分类本质上相同。区别在于根系统 $B_n$ 和 $C_n$ 对应同一 数字2.2显示有限不可约 Coxeter 系统的 Coxeter 图，包括非晶体 Coxeter 群 $\mathrm{H}_3, H_4$ 和 $I_2(m)$. 群组 $G_2$ 显示为 $I_2(6)$. 看 $[34]$ 更芠 细芳。 正客胞形 根据定理 1.5，正多胞形的对称群是反射群。事实上，它是一个 Coxeter 群，其 Coxeter 图是线性的: 底层图是一条没有分支点 的路径。这㜚小了可能性，得出的结论是，除了第 $1.2$ 节中描述的那些之外，没有其他规则多胞体。特别是，没有超过 4 维的 “特殊” 规则多胞形: 只有单纯形、立方体和交叉多胞形。 李代数 Cartan-Killing 根系分类的最初动机来自李理论。昆杂的有限维简单李代数自然且一对一地对应于有限不可约晶体根系。有无数关 于这个刭典主题的婵述；看，例如，

数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Reduced Words and Permutohedra

每个元筰 $w \in W$ 可以写成元表的乘积 $S:$ $$ w=s{i_1} \cdots s_{i_{\ell}}
$$
这种形式的最短因式分解（或相应的下标序列 $\left(i_1, \ldots, i \ell\right)$ )被称为简化词 $w$; 因表的数量 $\ell$ 称为长度 $w$.
任何有限 Coxeter 群都有唯一元龶 $w_{\text {o的最大长度。在对称群 }} \$ \backslash$ mathcal ${S}{n+1}=A$, thisisthepermutationw ${$ circ $}$ thatreversestheorderoftheelementsoftheset ${1$, $\backslash$ dots, $n+1} \$$ 。
示例 2.12。让 $W=\mathcal{S}_4$ 是粂型的 Coxeter 群 $A_3$. 简单反射的标准选择产生〈left 缺少或无法识别的分隔符 在哪里 $s_1, s_2$ 和 $s_3$ 分别是将 1 与 2,2 与 3 互换以及 3 与 4 互换的换位。 (参见示例 1.7。)
这个单词 $s_1 s_2 s_1 s_3 s_2 s_3$ 是将 1 与 3 和 2 与 4 互换的排列的非约简词。䢒个渄列有两个椷少的词 $s_2 s_1 s_3 s_2$ 和 $s_2 s_3 s_1 s_2$.
简化词 for 的示例 $w_0$ 是 $s_1 s_2 s_1 s_3 s_2 s_1$. 总共有 16 个这样的缩㛾词。（参见示例2.14和定理 2.15。）

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。