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## 金融代写|金融工程代考FINANCIAL ENGINEERING代写|Duration

We have seen that variable interest leads to uncertainty as to the future value of an investment in bonds. This may be undesirable, or even unacceptable, for example for a pension fund manager. We shall introduce a tool which makes it possible to immunise such an investment, at least in the special situation of maturity-independent rates considered in this section.

For notational simplicity we denote the current yield $y(0)$ by $y$. Consider a coupon bond with coupons $C_1, C_2, \ldots, C_N$ payable at times $0<\tau n_1<\tau n_2<$ $\ldots<\tau n_N$ and face value $F$, maturing at time $\tau n_N$. Its current price is given by
$$P(y)=C_1 \mathrm{e}^{-\tau n_1 y}+C_2 \mathrm{e}^{-\tau n_2 y}+\cdots+\left(C_N+F\right) \mathrm{e}^{-\tau n_N y} .$$
The duration of the coupon bond is defined to be
$$D(y)=\frac{\tau n_1 C_1 \mathrm{e}^{-\tau n_1 y}+\tau n_2 C_2 \mathrm{e}^{-\tau n_2 y}+\cdots+\tau n_N\left(C_N+F\right) \mathrm{e}^{-\tau n_N y}}{P(y)}$$

## 金融代写|金融工程代考FINANCIAL ENGINEERING代写|Portfolios of Bonds

If a bond of desirable duration is not available, it may be possible to create a synthetic one by investing in a suitable portfolio of bonds of different durations.
Example $10.5$
If the initial interest rate is $14 \%$, then a 4 -year bond with annual coupons $C=10$ and face value $F=100$ has duration $3.44$ years. A zero-coupon bond with $F=100$ and $N=1$ has duration 1. A portfolio consisting of two bonds, one of each kind, can be regarded as a single bond with coupons $C_1=110$, $C_2=C_3=C_4=10, F=100$. Its duration can be computed using the general formula $(10.2)$, which gives $2.21$ years.

We shall derive a formula for the duration of a portfolio in terms of the durations of its components. Denote by $P_A(y)$ and $P_B(y)$ the values of two bonds $A$ and $B$ with durations $D_A(y)$ and $D_B(y)$. Take a portfolio consisting of $a$ bonds $A$ and $b$ bonds $B$, its value being $a P_A(y)+b P_B(y)$. The task of finding the duration of the portfolio will be divided into two steps:

1. Find the duration of a portfolio consisting of $a$ bonds of type $A$. We shall write $a A$ to denote such a portfolio. Its price is obviously $a P_A(y)$. Since
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y}\left(a P_A(y)\right)=-D_A(y)\left(a P_A(y)\right),$$
it follows that
$$D_{a A}(y)=D_A(y)$$

## 金融代写|金融工程代考FINANCIAL ENGINEERING代写|Duration

$$P(y)=C_1 \mathrm{e}^{-\tau n_1 y}+C_2 \mathrm{e}^{-\tau n_{2 y}}+\cdots+\left(C_N+F\right) \mathrm{e}^{-\tau n_N y} .$$

$$D(y)=\frac{\tau n_1 C_1 \mathrm{e}^{-\tau n_1 y}+\tau n_2 C_2 \mathrm{e}^{-\tau n_2 y}+\cdots+\tau n_N\left(C_N+F\right) \mathrm{e}^{-\tau n_N y}}{P(y)}$$

## 金融代写|金融工程代考FINANCIAL ENGINEERING代写|Portfolios of Bonds

has duration 1. 由两种债券组成的投迢组合，每种一种，可以着作是一种带有息票的单一债券 $C_1=110$ ，
$C_2=C_3=C_4=10, F=100$. 它的持钭时间可以使用通用公式计算 $(10.2)$ ，这使 $2.21$ 年。

1. 找到一个投资组合的持珞时间，包括 $a$ 债劵类型 $A$. 我们要写 $a A$ 来表示这样的投盗组合。它的价格很明显 $a P_A(y)$. 自从
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y}\left(a P_A(y)\right)=-D_A(y)\left(a P_A(y)\right),$$
它菖循
$$D_{a A}(y)=D_A(y)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 金融代写|金融工程代考FINANCIAL ENGINEERING代写|Black–Scholes Formula

We shall present an outline of the main results for European call and put options in continuous time, culminating in the famous Black-Scholes formula. Our treatment of continuous time is a compromise lacking full mathematical rigour, which would require a systematic study of Stochastic Calculus, a topic treated in detail in more advanced texts. In place of this, we shall exploit an analogy with the discrete time case.

As a starting point we take the continuous time model of stock prices developed in Chapter 3 as a limit of suitably scaled binomial models with time steps going to zero. In the resulting continuous time model the stock price is given by
$$S(t)=S(0) \mathrm{e}^{m t+\sigma W(t)},$$
where $W(t)$ is the standard Wiener process (Brownian motion), see Section 3.3.2. This means, in particular, that $S(t)$ has the log normal distribution.
Consider a European option on the stock expiring at time $T$ with payoff $f(S(T))$. As in the discrete-time case, see Theorem $8.4$, the time 0 price $D(0)$ of the option ought to be equal to the expectation of the discounted payoff $\mathrm{e}^{-r T} f(S(T))$
$$D(0)=E_{}\left(\mathrm{e}^{-r T} f(S(T))\right),$$ under a risk-neutral probability $P_{}$ that turns the discounted stock price process $\mathrm{e}^{-r t} S(t)$ into a martingale. Here we shall accept this formula without proof, by analogy with the discrete time result. (The proof is based on an arbitrage argument combined with a bit of Stochastic Calculus, the latter beyond the scope of this book.)

## 金融代写|金融工程代考FINANCIAL ENGINEERING代写|Black–Scholes Formula

The time $t$ price of a European call with strike price $X$ and exercise time $T$, where $t<T$, is given by
$$C^{\mathrm{E}}(t)=S(t) N\left(d_{1}\right)-X \mathrm{e}^{-r(T-t)} N\left(d_{2}\right)$$

with
$$d_{1}=\frac{\ln \frac{S(0)}{X}+\left(r+\frac{1}{2} \sigma^{2}\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \quad d_{2}=\frac{\ln \frac{S(0)}{X}+\left(r-\frac{1}{2} \sigma^{2}\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} .$$

## 金融代写|金融工程代考FINANCIAL ENGINEERING代写|Black-Scholes Formula

$$S(t)=S(0) \mathrm{e}^{m t+\sigma W(t)}$$

$$D(0)=E\left(\mathrm{e}^{-T T} f(S(T))\right)$$

## 金融代写|金融工程代考FINANCIAL ENGINEERING代写|Black-Scholes Formula

$$C^{\mathrm{E}}(t)=S(t) N\left(d_{1}\right)-X \mathrm{e}^{-r(T-t)} N\left(d_{2}\right)$$

$$d_{1}=\frac{\ln \frac{S(0)}{X}+\left(r+\frac{1}{2} \sigma^{2}\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \quad d_{2}=\frac{\ln \frac{S(0)}{X}+\left(r-\frac{1}{2} \sigma^{2}\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。