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## 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考|Analysis of an Algorithm

Let us now apply some of the techniques of the preceding sections to the study of a typical algorithm.

Algorithm M (Find the maximum). Given $n$ elements $X[1], X[2], \ldots, X[n]$, we will find $m$ and $j$ such that $m=X[j]=\max _{1 \leq i \leq n} X[i]$, where $j$ is the largest index that satisfies this relation.

M1. [Initialize.] Set $j \leftarrow n, k \leftarrow n-1, m \leftarrow X[n]$. (During this algorithm we will have $m=X[j]=\max _{k<i \leq n} X[i]$.)
M2. [All tested?] If $k=0$, the algorithm terminates.
M3. [Compare.] If $X[k] \leq m$, go to M5.
M4. [Change $m$.] Set $j \leftarrow k, m \leftarrow X[k]$. (This value of $m$ is a new current maximum.)
M5. [Decrease $k$. .] Decrease $k$ by one and return to M2. I
This rather obvious algorithm may seem so trivial that we shouldn’t bother to analyze it in detail; but it actually makes a good demonstration of the way in which more complicated algorithms may be studied. Analysis of algorithms is quite important in computer programming, because there are usually several algorithms available for a particular application and we would like to know which is best.

## 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考|Asymptotic Representations

We often want to know a quantity approximately, instead of exactly, in order to compare it to another. For example, Stirling’s approximation to $n$ ! is a useful representation of this type, when $n$ is large, and we have also made use of the fact that $H_n \approx \ln n+\gamma$. The derivations of such asymptotic formulas generally involve higher mathematics, although in the following subsections we will use nothing more than elementary calculus to get the results we need.
*1.2.11.1. The $O$-notation. Paul Bachmann introduced a very convenient notation for approximations in his book Analytische Zahlentheorie (1894). It is the $O$-notation, which allows us to replace the ” $”$ sign by “=” and to quantify the degree of accuracy; for example,
$$H_n=\ln n+\gamma+O\left(\frac{1}{n}\right) .$$
(Read, “H sub $n$ equals the natural $\log$ of $n$ plus Euler’s constant [pronounced ‘Oiler’s constant’] plus big-oh of one over $n . “)$

In general, the notation $O(f(n))$ may be used whenever $f(n)$ is a function of the positive integer $n$; it stands for a quantity that is not explicitly known, except that its magnitude isn’t too large. Every appearance of $O(f(n))$ means precisely this: There are positive constants $M$ and $n_0$ such that the number $x_n$ represented by $O(f(n))$ satisfies the condition $\left|x_n\right| \leq M|f(n)|$, for all integers $n \geq n_0$. We do not say what the constants $M$ and $n_0$ are, and indeed those constants are usually different for each appearance of $O$.

m1。[初始化]设置$j \leftarrow n, k \leftarrow n-1, m \leftarrow X[n]$。(在这个算法中，我们将有$m=X[j]=\max _{k M5。 m4。[修改$m$.]设置$j \leftarrow k, m \leftarrow X[k]$。(这个值$m$是一个新的当前最大值。) m5。[减少$k$. .]减少$k$1，返回M2。我 这个相当明显的算法可能看起来很微不足道，我们不应该费心去详细分析它;但它实际上很好地展示了如何研究更复杂的算法。算法分析在计算机编程中非常重要，因为通常有几种算法可用于特定的应用，我们想知道哪一种是最好的。 ## 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考|Asymptotic Representations 为了与另一个量进行比较，我们常常想知道一个量的近似值，而不是精确值。例如，斯特林近似$n$!是这种类型的一个有用的表示，当$n$很大时，我们也利用了$H_n \approx \ln n+\gamma$。这种渐近公式的推导通常涉及高等数学，尽管在接下来的小节中，我们将只使用初等微积分来得到我们需要的结果。 *1.2.11.1。$O$-符号。保罗·巴赫曼在他的《分析理论》(1894)一书中介绍了一种非常方便的近似符号。它是$O$-符号，它允许我们用“=”代替“$”$”符号，并量化精确度;例如， $$H_n=\ln n+\gamma+O\left(\frac{1}{n}\right) .$$ (读:“H sub$n$等于$n$的自然$\log$加上欧拉常数[读作’Oiler’常数]加上1 /的大oh$n . “)$一般来说，只要$f(n)$是正整数$n$的函数，就可以使用$O(f(n))$符号;它代表一个不明确知道的量，除了它的大小不是太大。每次出现$O(f(n))$都意味着:对于所有整数$n \geq n_0$,$O(f(n))$表示的数字$x_n$满足条件$\left|x_n\right| \leq M|f(n)|$，存在正常数$M$和$n_0$。我们没有说常数$M$和$n_0$是什么，事实上，这些常数对于$O$的每次出现通常是不同的。 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考 请认准UprivateTA™. 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Besides$H_n$, the notations$h_n$and$S_n$and$\psi(n+1)+\gamma$are found in mathematical literature. The letter$H$stands for “harmonic,” and we speak of$H_n$as a harmonic number because (1) is customarily called the harmonic series. Chinese bamboo strips written before 186 B.C. already explained how to compute$H_{10}=7381 / 2520$, as an exercise in arithmetic. [See C. Cullen, Historia Math. 34 (2007), 10-44.] It may seem at first that$H_n$does not get too large when$n$has a large value, since we are always adding smaller and smaller numbers. But actually it is not hard to see that$H_n$will get as large as we please if we take$n$to be big enough, because $$H_{2^m} \geq 1+\frac{m}{2}$$ This lower bound follows from the observation that, for$m \geq 0, we have \begin{aligned} H_{2^{m+1}} & =H_{2^m}+\frac{1}{2^m+1}+\frac{1}{2^m+2}+\cdots+\frac{1}{2^{m+1}} \ & \geq H_{2^m}+\frac{1}{2^{m+1}}+\frac{1}{2^{m+1}}+\cdots+\frac{1}{2^{m+1}}=H_{2^m}+\frac{1}{2} \end{aligned} ## 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考|Fibonacci Numbers The sequence $$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, \ldots,$$ in which each number is the sum of the preceding two, plays an important role in at least a dozen seemingly unrelated algorithms that we will study later. The numbers in the sequence are denoted byF_n$, and we formally define them as $$F_0=0 ; \quad F_1=1 ; \quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n, \quad n \geq 0 .$$ This famous sequence was published in 1202 by Leonardo Pisano (Leonardo of Pisa), who is sometimes called Leonardo Fibonacci (Filius Bonaccii, son of Bonaccio). His Liber Abaci (Book of the Abacus) contains the following exercise: “How many pairs of rabbits can be produced from a single pair in a year’s time?” To solve this problem, we are told to assume that each pair produces a new pair of offspring every month, and that each new pair becomes fertile at the age of one month. Furthermore, the rabbits never die. After one month there will be 2 pairs of rabbits; after two months, there will be 3 ; the following month the original pair and the pair born during the first month will both usher in a new pair and there will be 5 in all; and so on. Fibonacci was by far the greatest European mathematician of the Middle Ages. He studied the work of al-Khwārizm̄̄ (after whom “algorithm” is named, see Section 1.1) and he added numerous original contributions to arithmetic and geometry. The writings of Fibonacci were reprinted in 1857 [B. Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano (Rome, 1857-1862), 2 vols.;$F_n$appears in Vol. 1, 283285]. His rabbit problem was, of course, not posed as a practical application to biology and the population explosion; it was an exercise in addition. In fact, it still makes a rather good computer exercise about addition (see exercise 3); Fibonacci wrote: “It is possible to do [the addition] in this order for an infinite number of months.” Before Fibonacci wrote his work, the sequence$\left\langle F_n\right\rangle$had already been discussed by Indian scholars, who had long been interested in rhythmic patterns that are formed from one-beat and two-beat notes or syllables. The number of such rhythms having$n$beats altogether is$F_{n+1}$; therefore both Gopāla (before 1135) and Hemacandra (c. 1150) mentioned the numbers 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, … explicitly. [See P. Singh, Historia Math. 12 (1985), 229-244; see also exercise$4.5 .3-32$. ## 基础编程代写 ## 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考|Harmonic Numbers 以下款项在我们以后的工作中将非常重要: $$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}, \quad n \geq 0 .$$ 这个和在经典数学中并不经常出现，也没有标准的符号表示它;但在算法分析中，几乎每次我们一转身，它就会跳出来，我们一直称它为$H_n$。除$H_n$外，在数学文献中还可以找到$h_n$、$S_n$和$\psi(n+1)+\gamma$等符号。字母$H$代表“谐波”，我们称$H_n$为谐波数，因为(1)通常被称为谐波级数。写于公元前186年以前的中国竹简已经解释了如何计算$H_{10}=7381 / 2520$，作为一种算术练习。[参见C. Cullen，历史数学，34 (2007)，10-44.] 乍一看，当$n$的值很大时，$H_n$似乎不会变得太大，因为我们总是添加越来越小的数字。但实际上，不难看出$H_n$会变得像我们想要的那么大如果我们让$n$足够大的话，因为 $$H_{2^m} \geq 1+\frac{m}{2}$$ 这个下界来自于，对于$m \geq 0，我们有 \begin{aligned} H_{2^{m+1}} & =H_{2^m}+\frac{1}{2^m+1}+\frac{1}{2^m+2}+\cdots+\frac{1}{2^{m+1}} \ & \geq H_{2^m}+\frac{1}{2^{m+1}}+\frac{1}{2^{m+1}}+\cdots+\frac{1}{2^{m+1}}=H_{2^m}+\frac{1}{2} \end{aligned} ## 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考|Fibonacci Numbers 顺序 $$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, \ldots,$$ 其中每个数字都是前两个数字的和，在至少十二个看似不相关的算法中起着重要作用，我们将在后面学习。序列中的数字用F_n$表示，我们将它们正式定义为 $$F_0=0 ; \quad F_1=1 ; \quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n, \quad n \geq 0 .$$ 这个著名的序列是由莱昂纳多·皮萨诺(比萨的莱昂纳多)于1202年发表的，他有时被称为莱昂纳多·斐波纳契(菲利乌斯·波纳契，波纳契的儿子)。他的《算盘书》中有这样的练习:“一对兔子在一年的时间里可以产生多少对兔子?”为了解决这个问题，我们被告知假设每对熊猫每个月都会产生一对新的后代，并且每对熊猫在一个月大的时候都能生育。此外，兔子永远不会死。一个月后会有2对兔子;两个月后，会有3个;接下来的一个月，原来的一对和第一个月出生的一对都会迎来新的一对，总共有5对;等等…… 斐波那契是中世纪最伟大的欧洲数学家。他研究了al-Khwārizm的工作(“算法”是以他的名字命名的，见1.1节)，他对算术和几何做出了许多原创性贡献。斐波那契的著作在1857年重印[B]。Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano(罗马，1857-1862)，2卷;$F_n$见第1卷，283285页]。当然，他的兔子问题并没有作为生物学和人口爆炸的实际应用;这是一项附加练习。事实上，它仍然是一个很好的关于加法的计算机练习(见练习3); 斐波那契写道:“按这个顺序做(加法)是有可能无限个月的。” 在斐波那契写他的作品之前，顺序$\left\langle F_n\right\rangle$已经被印度学者讨论过，他们长期以来对单拍和双拍音符或音节形成的节奏模式很感兴趣。这样的节奏有$n$个节拍的总数是$F_{n+1}$;因此Gopāla(1135年前)和Hemacandra(1150年前)都提到了数字1,2， 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考 请认准UprivateTA™. 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An important way to do this is: a) Give a proof that$P(1)$is true. b) Give a proof that “if all of$P(1), P(2), \ldots, P(n)$are true, then$P(n+1)$is also true”; this proof should be valid for any positive integer$n$. As an example, consider the following series of equations, which many people have discovered independently since ancient times: $$\begin{gathered} 1=1^2, \ 1+3=2^2, \ 1+3+5=3^2, \ 1+3+5+7=4^2, \ 1+3+5+7+9=5^2 . \end{gathered}$$ We can formulate the general property as follows: $$1+3+\cdots+(2 n-1)=n^2$$ ## 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考|Numbers, Powers, and Logarithms Let us now begin our study of numerical mathematics by taking a good look at the numbers we are dealing with. The integers are the whole numbers $$\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$$ (negative, zero, or positive). A rational number is the ratio (quotient) of two integers,$p / q$, where$q$is positive. A real number is a quantity$x$that has a decimal expansion $$x=n+0 . d_1 d_2 d_3 \ldots$$ where$n$is an integer, each$d_i$is a digit between 0 and 9 , and the sequence of digits doesn’t end with infinitely many$9 \mathrm{~s}$. The representation (1) means that $$n+\frac{d_1}{10}+\frac{d_2}{100}+\cdots+\frac{d_k}{10^k} \leq x<n+\frac{d_1}{10}+\frac{d_2}{100}+\cdots+\frac{d_k}{10^k}+\frac{1}{10^k},$$ for all positive integers$k$. Examples of real numbers that are not rational are$\pi=3.14159265358979 \ldots$, the ratio of circumference to diameter in a circle;$\phi=1.61803398874989 \ldots$, the golden ratio$(1+\sqrt{5}) / 2$(see Section 1.2.8). A table of important constants, to forty decimal places of accuracy, appears in Appendix A. We need not discuss the familiar properties of addition, subtraction, multiplication, division, and comparison of real numbers. Difficult problems about integers are often solved by working with real numbers, and difficult problems about real numbers are often solved by working with a still more general class of values called complex numbers. A complex number is a quantity$z$of the form$z=x+i y$, where$x$and$y$are real and$i$is a special quantity that satisfies the equation$i^2=-1$. We call$x$and$y$the real part and imaginary part of$z$, and we define the absolute value of$z$to be $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$ ## 基础编程代写 ## 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考|Mathematical Induction 设$P(n)$是关于整数$n$的语句;例如，$P(n)$可能是“$n$乘以$(n+3)$是偶数”或“如果$n \geq 10$，那么$2^n>n^3$.”假设我们要证明$P(n)$对所有正整数$n$都成立。一个重要的方法是: a)给出$P(1)$为真的证明。 b)给出“如果$P(1), P(2), \ldots, P(n)$全部为真，那么$P(n+1)$也为真”的证明;这个证明对任何正整数$n$都是有效的。 举个例子，考虑以下一系列方程，这些方程自古以来就被许多人独立发现: $$\begin{gathered} 1=1^2, \ 1+3=2^2, \ 1+3+5=3^2, \ 1+3+5+7=4^2, \ 1+3+5+7+9=5^2 . \end{gathered}$$ 我们可以将其一般性质表述如下: $$1+3+\cdots+(2 n-1)=n^2$$ ## 计算机代写|基础编程代写Fundamental of Programming代考|Numbers, Powers, and Logarithms 现在让我们通过仔细观察我们正在处理的数字来开始我们对数值数学的研究。整数是整数 $$\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$$ (负、零或正)。有理数是两个整数$p / q$之比(商)，其中$q$为正数。实数是一个有十进制展开的量$x$$$x=n+0 . d_1 d_2 d_3 \ldots$$ 其中$n$是一个整数，每个$d_i$是0到9之间的一个数字，并且数字序列不会以无穷多个$9 \mathrm{~s}$结束。表示(1)表示 $$n+\frac{d_1}{10}+\frac{d_2}{100}+\cdots+\frac{d_k}{10^k} \leq x<n+\frac{d_1}{10}+\frac{d_2}{100}+\cdots+\frac{d_k}{10^k}+\frac{1}{10^k},$$ 对于所有正整数$k$。实数不是有理数的例子有$\pi=3.14159265358979 \ldots$，一个圆的周长与直径的比值;$\phi=1.61803398874989 \ldots$，黄金分割$(1+\sqrt{5}) / 2$(见1.2.8节)。 附录A列出了精确到小数点后40位的重要常数表。我们不需要讨论我们熟悉的实数的加、减、乘、除和比较的性质。 关于整数的难题通常通过处理实数来解决，而关于实数的难题通常通过处理称为复数的更一般的值来解决。复数是形式为$z=x+i y$的量$z$，其中$x$和$y$是实数，$i$是满足方程$i^2=-1$的特殊量。我们称$x$和$y$为$z$的实部和虚部，并定义$z\$的绝对值为
$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。