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2023年7月27日2023年7月27日 Commutative Algebra, 交换代数, 数学代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH612

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交换代数Commutative Algebra代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了交换环的一个重要类别。与模运算相关的考虑导致了估值环的概念。代数域扩展对子域的限制导致了积分扩展和积分闭域的概念以及估值环扩展的分支的概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH612

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Basic definitions

Suppose $(M,+)$ is an abelian group. For any $m \in M$ and any integer $n$, one can make sense of $n \bullet m$. If $n$ is a positive integer, this means $m+\cdots+m$ ( $n$ times); if $n=0$ it means 0 , and if $n$ is negative, then $n \bullet m=-(-n) \bullet m$. Thus we have defined a function $\bullet: \mathbb{Z} \times M \rightarrow M$ which enjoys the following properties: for all $n, n_1, n_2 \in \mathbb{Z}, m, m_1, m_2 \in M$, we have
(ZMOD1) $1 \bullet m=m$.
(ZMOD2) $n \bullet\left(m_1+m_2\right)=n \bullet m_1+n \bullet m_2$.
(ZMOD3) $\left(n_1+n_2\right) \bullet m=n_1 \bullet m+n_2 \bullet m$.
(ZMOD4) $\left(n_1 n_2\right) \bullet m=n_1 \bullet\left(n_2 \bullet m\right)$
It should be clear that this is some kind of ring-theoretic analogue of a group action on a set. In fact, consider the slightly more general construction of a monoid $(M, \cdot)$ acting on a set $S$ : that is, for all $n_1, n_2 \in M$ and $s \in S$, we require $1 \bullet s=s$ and $\left(n_1 n_2\right) \bullet s=n_1 \bullet\left(n_2 \bullet s\right)$.

For a group action $G$ on $S$, each function $g \bullet: S \rightarrow S$ is a bijection. For monoidal actions, this need not hold for all elements: e.g. taking the natural multiplication action of $M=(\mathbb{Z}, \cdot)$ on $S=\mathbb{Z}$, we find that $0 \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow{0}$ is neither injective nor surjective, $\pm 1 \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ is bijective, and for $|n|>1, n \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ is injective but not surjective.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finitely presented modules

One of the major differences between abelian groups and nonabelian groups is that a subgroup $N$ of a finitely generated abelian group $M$ remains finitely generated, and indeed, the minimal number of generators of the subgroup $N$ cannot exceed the minimal number of generators of $M$, whereas this is not true for nonabelian groups: e.g. the free group of rank 2 has as subgroups free groups of every rank $0 \leq r \leq \aleph_0$. (For instance, the commutator subgroup is not finitely generated.)
Since an abelian group is a $\mathbb{Z}$-module and every $R$-module has an underlying abelian group structure, one might well expect the situation for $R$-modules to be similar to that of abelian groups. We will see later that this is true in many but not all cases: an $R$-module is called Noetherian if all of its submodules are finitely generated. Certainly a Noetherian module is itself finitely generated. The basic fact here which we will prove in $\S 8.7$ – is a partial converse: if the ring $R$ is Noetherian, any finitely generated $R$-module is Noetherian. Note that we can already see that the Noetherianity of $R$ is necessary: if $R$ is not Noetherian, then by definition there exists an ideal $I$ of $R$ which is not finitely generated, and this is nothing else than a non-finitely generated $R$-submodule of $R$ (which is itself generated by the single element 1.) Thus the aforementioned fact about subgroups of finitely generated abelian groups being finitely generated holds because $\mathbb{Z}$ is a Noetherian ring.
When $R$ is not Noetherian, it becomes necessary to impose stronger conditions than finite generation on modules. One such condition indeed comes from group theory: recall that a group $G$ is finitely presented if it is isomorphic to the quotient of a finitely generated free group $F$ by the least normal subgroup $N$ generated by a finite subset $x_1, \ldots, x_m$ of $F$.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Basic definitions

假设 $(M,+)$ 是一个阿贝尔群。对于任何 $m \in M$ 任意整数 $n$，一个人可以理解 $n \bullet m$．如果 $n$ 是一个正整数，这意味着 $m+\cdots+m$ （ $n$ times);如果 $n=0$ 它表示0，如果 $n$ 是负的 $n \bullet m=-(-n) \bullet m$．这样我们就定义了一个函数 $\bullet: \mathbb{Z} \times M \rightarrow M$ 它具有以下特性:对所有人都适用 $n, n_1, n_2 \in \mathbb{Z}, m, m_1, m_2 \in M$，我们有
(zmod1) $1 \bullet m=m$．
(zmod2) $n \bullet\left(m_1+m_2\right)=n \bullet m_1+n \bullet m_2$．
(zmod3) $\left(n_1+n_2\right) \bullet m=n_1 \bullet m+n_2 \bullet m$．
(zmod4) $\left(n_1 n_2\right) \bullet m=n_1 \bullet\left(n_2 \bullet m\right)$
很明显，这是群作用在集合上的某种环理论类比。事实上，考虑一下稍微更一般的单峰构造 $(M, \cdot)$ 在片场表演 $S$ 也就是说，对所有人来说 $n_1, n_2 \in M$ 和 $s \in S$，我们要求 $1 \bullet s=s$ 和 $\left(n_1 n_2\right) \bullet s=n_1 \bullet\left(n_2 \bullet s\right)$．

对于$S$上的组操作$G$，每个函数$g \bullet: S \rightarrow S$都是一个双射。对于一元作用，这并不需要对所有元素都成立:例如，取$M=(\mathbb{Z}, \cdot)$在$S=\mathbb{Z}$上的自然乘法作用，我们发现$0 \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow{0}$既不是单射也不是满射，$\pm 1 \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$是双射，$|n|>1, n \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$是单射但不是满射。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finitely presented modules

阿贝尔群和非阿贝尔群之间的主要区别之一是，有限生成的阿贝尔群$M$的子群$N$仍然是有限生成的，事实上，子群$N$的最小生成器数量不能超过$M$的最小生成器数量，而对于非阿贝尔群则不是这样:例如，秩2的自由群有每秩$0 \leq r \leq \aleph_0$的自由群作为子群。(例如，换向子群不是有限生成的。)
由于一个阿贝尔组是一个$\mathbb{Z}$ -模块，而每个$R$ -模块都有一个底层的阿贝尔组结构，因此人们很可能期望$R$ -模块的情况与阿贝尔组的情况类似。稍后我们将看到，这在许多情况下是正确的，但不是所有情况:如果$R$ -模块的所有子模块都是有限生成的，则称为Noetherian模块。当然，诺瑟模本身是有限生成的。这里我们将在$\S 8.7$ -中证明的基本事实是一个部分逆:如果环$R$是诺埃尔的，那么任何有限生成的$R$ -模都是诺埃尔的。注意，我们已经可以看到$R$的Noetherian是必要的:如果$R$不是Noetherian，那么根据定义存在一个理想的$R$的$I$，它不是有限生成的，这只不过是$R$的一个非有限生成的$R$子模块(它本身是由单个元素1生成的)。因此，前面提到的关于有限生成阿贝尔群的子群是有限生成的事实成立，因为$\mathbb{Z}$是一个诺etherian环。
当$R$不是noether时，有必要对模块施加比有限生成更强的条件。一个这样的条件确实来自群论:回想一下，如果一个群$G$与一个有限生成的自由群$F$同构于由$F$的有限子集$x_1, \ldots, x_m$生成的最小正规子群$N$的商，那么它就是有限呈现的。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

2023年7月27日2023年7月27日 Commutative Algebra, 交换代数, 数学代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Math6170

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Math6170

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The basic formalism

Let $(X, \leq)$ be a partially ordered set. We denote by $X^{\vee}$ the order dual of $X$ : it has the same underlying set as $X$ but the inverse order relation: $x \preceq y \Longleftrightarrow y \leq x$.
Let $(X, \leq)$ and $(Y, \leq)$ be partially ordered sets. A map $f: X \rightarrow Y$ is isotone (or order-preserving) if for all $x_1, x_2 \in X, x_1 \leq x_2 \Longrightarrow f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right) ; f$ is antitone (or order-reversing) if for all $x_1, x_2 \in X, x_1 \leq x_2 \Longrightarrow f\left(x_1\right) \geq f\left(x_2\right)$.
Exercise 2.1. Let $X, Y, Z$ be partially ordered sets, and let $f: X \rightarrow Y, g$ : $Y \rightarrow Z$ be functions. Show:
a) If $f$ and $g$ are isotone, then $g \circ f$ is isotone.
b) If $f$ and $g$ are antitone, then $g \circ f$ is isotone.
c) If one of $f$ and $g$ is isotone and the other is antitone, then $g \circ f$ is antitone.
Let $(X, \leq)$ and $(Y, \leq)$ be partially ordered sets. An antitone Galois connection between $\mathbf{X}$ and $\mathbf{Y}$ is a pair of maps $\Phi: X \rightarrow Y$ and $\Psi: Y \rightarrow X$ such that:
(GC1) $\Phi$ and $\Psi$ are both antitone maps, and
(GC2) For all $x \in X$ and all $y \in Y, x \leq \Psi(y) \Longleftrightarrow y \leq \Phi(x)$.
There is a pleasant symmetry in the definition: if $(\Phi, \Psi)$ is a Galois connection between $X$ and $Y$, then $(\Psi, \Phi)$ is a Galois connection between $Y$ and $X$.

If $(X, \leq)$ is a partially ordered set, then a mapping $f: X \rightarrow X$ is called a closure operator if it satisfies all of the following properties:
(C1) For all $x \in X, x \leq f(x)$.
(C2) For all $x_1, x_2 \in X, x_1 \leq x_2 \Longrightarrow f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)$.
(C3) For all $x \in X, f(f(x))=f(x)$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Lattice properties

Recall that a partially ordered set $X$ is a lattice if for all $x_1, x_2 \in X$, there is a greatest lower bound $x_1 \wedge x_2$ and a least upper bound $x_1 \vee x_2$. A partially ordered set is a complete lattice if for every subset $A$ of $X$, the greatest lower bound $\wedge A$ and the least upper bound $\bigvee A$ both exist.
Lemma 2.4. Let $(X, Y, \Phi, \Psi)$ be a Galois connection.
a) If $X$ and $Y$ are both lattices, then for all $x_1, x_2 \in X$,
$$
\begin{aligned}
& \Phi\left(x_1 \wedge x_2\right)=\Phi\left(x_1\right) \vee \Phi\left(x_2\right), \
& \Phi\left(x_2 \vee x_2\right)=\Phi\left(x_1\right) \wedge \Phi\left(x_2\right) .
\end{aligned}
$$
b) If $X$ and $Y$ are both complete lattices, then for all subsets $A \subset X$,
$$
\begin{aligned}
& \Phi(\bigwedge A)=\bigvee \Phi(A), \
& \Phi(\bigvee A)=\bigwedge \Phi(A) .
\end{aligned}
$$
Exercise 2.2. Prove Lemma 2.4.
Complete lattices also intervene in this subject in the following way.
Proposition 2.5. Let $A$ be a set and let $X=\left(2^A, \subset\right)$ be the power set of $A$, partially ordered by inclusion. Let $c: X \rightarrow X$ be a closure operator. Then the collection $c(X)$ of closed subsets of $A$ forms a complete lattice, with $\wedge S=\bigcap_{B \in S} B$ and $\bigvee S=c\left(\bigcup_{B \in S} B\right)$

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The basic formalism

让 $(X, \leq)$ 是一个偏序集合。我们用 $X^{\vee}$ 的对偶阶 $X$ :它具有与。相同的底层集 $X$ 但是逆序关系: $x \preceq y \Longleftrightarrow y \leq x$．
让 $(X, \leq)$ 和 $(Y, \leq)$ 是部分有序集合。一张地图 $f: X \rightarrow Y$ 是等音(或保序)的吗 $x_1, x_2 \in X, x_1 \leq x_2 \Longrightarrow f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right) ; f$ 反调(或颠倒顺序)是否适用于所有人 $x_1, x_2 \in X, x_1 \leq x_2 \Longrightarrow f\left(x_1\right) \geq f\left(x_2\right)$．
练习2.1。让 $X, Y, Z$ 是部分有序集合，令 $f: X \rightarrow Y, g$ ： $Y \rightarrow Z$ 是函数。展示:
a)如果 $f$ 和 $g$ 是等音的吗 $g \circ f$ 是等音的。
b)如果 $f$ 和 $g$ 是反调吗 $g \circ f$ 是等音的。
c)如果其中之一 $f$ 和 $g$ 一个是等音，另一个是反音 $g \circ f$ 是反调。
让 $(X, \leq)$ 和 $(Y, \leq)$ 是部分有序集合。反调伽罗瓦连接 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ 是一副地图 $\Phi: X \rightarrow Y$ 和 $\Psi: Y \rightarrow X$ 这样:
(gc1) $\Phi$ 和 $\Psi$ 两者都是反调地图吗
(GC2)对所有人 $x \in X$ 等等 $y \in Y, x \leq \Psi(y) \Longleftrightarrow y \leq \Phi(x)$．
这个定义有一个令人愉快的对称性:如果 $(\Phi, \Psi)$ 伽罗瓦关系是什么 $X$ 和 $Y$那么， $(\Psi, \Phi)$ 伽罗瓦关系是什么 $Y$ 和 $X$．

如果$(X, \leq)$是偏序集合，则映射$f: X \rightarrow X$如果满足以下所有属性，则称为闭包操作符:
(C1)所有人$x \in X, x \leq f(x)$。
(C2)所有人$x_1, x_2 \in X, x_1 \leq x_2 \Longrightarrow f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)$。
(C3)对所有人$x \in X, f(f(x))=f(x)$。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Lattice properties

回忆一下，部分有序集$X$是一个格，如果对于所有$x_1, x_2 \in X$，有一个最大下界$x_1 \wedge x_2$和最小上界$x_1 \vee x_2$。如果对于$X$的每一个子集$A$，最大下界$\wedge A$和最小上界$\bigvee A$同时存在，则偏序集是完全格。
引理2.4。让$(X, Y, \Phi, \Psi)$成为伽罗瓦连接。
a)如果$X$和$Y$都是格，则对于所有$x_1, x_2 \in X$，
$$
\begin{aligned}
& \Phi\left(x_1 \wedge x_2\right)=\Phi\left(x_1\right) \vee \Phi\left(x_2\right), \
& \Phi\left(x_2 \vee x_2\right)=\Phi\left(x_1\right) \wedge \Phi\left(x_2\right) .
\end{aligned}
$$
b)如果$X$和$Y$都是完全格，则对于所有子集$A \subset X$，
$$
\begin{aligned}
& \Phi(\bigwedge A)=\bigvee \Phi(A), \
& \Phi(\bigvee A)=\bigwedge \Phi(A) .
\end{aligned}
$$
练习2.2。证明引理2.4。
完备格也以以下方式介入这个主题。
提案2.5。设$A$是一个集合，$X=\left(2^A, \subset\right)$是$A$的幂集，由包含部分排序。设$c: X \rightarrow X$为闭包操作符。然后$A$的闭子集集合$c(X)$形成一个完备格，其中$\wedge S=\bigcap_{B \in S} B$和 $\bigvee S=c\left(\bigcup_{B \in S} B\right)$

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微观经济学代写

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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2023年7月27日2023年7月27日 Commutative Algebra, 交换代数, 数学代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH662

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH662

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Category of Finitely Presented Modules

The category of finitely presented modules over A can be constructed from the category of free modules of finite rank over $\mathbf{A}$ by a purely categorical procedure.

A finitely presented module $M$ is described by a triplet
$$
\left(\mathrm{K}_M, \mathrm{G}_M, \mathrm{~A}_M\right),
$$
where $\mathrm{A}_M$ is a linear map between the free modules of finite ranks $\mathrm{K}_M$ and $\mathrm{G}_M$. We have $M \simeq$ Coker $\mathrm{A}_M$ and $\pi_M: \mathrm{G}_M \rightarrow M$ is the surjective linear map with kernel $\operatorname{Im} \mathrm{A}_M$. The matrix of the linear map $\mathrm{A}_M$ is a presentation matrix of $M$.
A linear map $\varphi$ of the module $M$ (described by $\left(\mathrm{K}M, \mathrm{G}_M, \mathrm{~A}_M\right)$ ) to the module $N$ (described by $\left(\mathrm{K}_N, \mathrm{G}_N, \mathrm{~A}_N\right)$ ) is described by two linear maps $\mathrm{K}{\varphi}: \mathrm{K}M \rightarrow \mathrm{K}_N$ and $\mathrm{G}{\varphi}: \mathrm{G}M \rightarrow \mathrm{G}_N$ subject to the commutation relation $\mathrm{G}{\varphi} \circ \mathrm{A}M=\mathrm{A}_N \circ \mathrm{K}{\varphi}$.

The sum of two linear maps $\varphi$ and $\psi$ of $M$ to $N$ represented by $\left(\mathrm{K}{\varphi}, \mathrm{G}{\varphi}\right)$ and $\left(\mathrm{K}\psi, \mathrm{G}\psi\right)$ is represented by $\left(\mathrm{K}{\varphi}+\mathrm{K}\psi, \mathrm{G}{\varphi}+\mathrm{G}\psi\right)$.
The linear map $a \varphi$ is represented by $\left(a \mathrm{~K}{\varphi}, a \mathrm{G}{\varphi}\right)$.
To represent the composite of two linear maps, we compose their representations.
Finally, the linear map $\varphi$ of $M$ to $N$ represented by $\left(\mathrm{K}{\varphi}, \mathrm{G}{\varphi}\right)$ is null if and only if there exists a $Z_{\varphi}: \mathrm{G}M \rightarrow \mathrm{K}_N$ satisfying $\mathrm{A}_N \circ Z{\varphi}=\mathrm{G}_{\varphi}$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Stability Properties

4.1 Proposition Let $N_1$ and $N_2$ be two finitely generated $\mathbf{A}$-submodules of an $\mathbf{A}$ module $M$. If $N_1+N_2$ is finitely presented, then $N_1 \cap N_2$ is finitely generated.
D We can follow almost word for word the proof of item $I$ of Theorem II-3.4 (necessary condition).
4.2 Proposition Let $N$ be an A-submodule of $M$ and $P=M / N$.

If $M$ is finitely presented and $N$ finitely generated, then $P$ is finitely presented.
If $M$ is finitely generated and $P$ finitely presented, then $N$ is finitely generated.
If $P$ and $N$ are finitely presented, then $M$ is finitely presented. More precisely, if $A$ and $B$ are presentation matrices for $N$ and $P$, we have a presentation matrix $D=$\begin{tabular}{|l|l|} \hline$A$ & $C$ \ \hline 0 & $B$ \ \hline \end{tabular}

D 1. We can suppose that $M=\mathbf{A}^p / F$ with $F$ finitely generated. If $N$ is finitely generated, it is of the form $N=\left(F^{\prime}+F\right) / F$ where $F^{\prime}$ is finitely generated, so $P \simeq \mathbf{A}^p /\left(F+F^{\prime}\right)$.

We write $M=\mathbf{A}^p / F$ and $N=\left(F^{\prime}+F\right) / F$. We have $P \simeq \mathbf{A}^p /\left(F^{\prime}+F\right)$, so $F^{\prime}+F($ and also $N)$ is finitely generated (Sect. 1).

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Category of Finitely Presented Modules

A上有限呈现模的范畴可以由$\mathbf{A}$上有限秩的自由模的范畴用纯范畴的方法构造。

一个有限呈现的模块$M$由三元组描述
$$
\left(\mathrm{K}_M, \mathrm{G}_M, \mathrm{~A}_M\right),
$$
其中$\mathrm{A}_M$是有限秩的自由模块$\mathrm{K}_M$和$\mathrm{G}_M$之间的线性映射。我们有$M \simeq$ Coker $\mathrm{A}_M$$\pi_M: \mathrm{G}_M \rightarrow M$是核为$\operatorname{Im} \mathrm{A}_M$的满射线性映射。线性地图$\mathrm{A}_M$的矩阵是$M$的表示矩阵。

模块$M$(由$\left(\mathrm{K}M, \mathrm{G}_M, \mathrm{~A}_M\right)$描述)到模块$N$(由$\left(\mathrm{K}_N, \mathrm{G}_N, \mathrm{~A}_N\right)$描述)的线性映射$\varphi$由两个线性映射$\mathrm{K}{\varphi}: \mathrm{K}M \rightarrow \mathrm{K}_N$和$\mathrm{G}{\varphi}: \mathrm{G}M \rightarrow \mathrm{G}_N$描述，服从交换关系$\mathrm{G}{\varphi} \circ \mathrm{A}M=\mathrm{A}_N \circ \mathrm{K}{\varphi}$。

由$\left(\mathrm{K}{\varphi}, \mathrm{G}{\varphi}\right)$和$\left(\mathrm{K}\psi, \mathrm{G}\psi\right)$表示的$M$到$N$的两个线性映射$\varphi$和$\psi$的和表示为$\left(\mathrm{K}{\varphi}+\mathrm{K}\psi, \mathrm{G}{\varphi}+\mathrm{G}\psi\right)$。
线性映射$a \varphi$由$\left(a \mathrm{~K}{\varphi}, a \mathrm{G}{\varphi}\right)$表示。

为了表示两个线性映射的组合，我们组合了它们的表示。

最后，由$\left(\mathrm{K}{\varphi}, \mathrm{G}{\varphi}\right)$表示的$M$到$N$的线性映射$\varphi$当且仅当存在满足$\mathrm{A}N \circ Z{\varphi}=\mathrm{G}{\varphi}$的$Z_{\varphi}: \mathrm{G}M \rightarrow \mathrm{K}_N$时为空。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Stability Properties

设$N_1$和$N_2$是一个$\mathbf{A}$模块$M$的两个有限生成的$\mathbf{A}$ -子模块。如果$N_1+N_2$是有限表示，那么$N_1 \cap N_2$是有限生成的。
D我们几乎可以逐字逐句地遵循定理II-3.4(必要条件)中$I$项的证明。
4.2命题设$N$为$M$和$P=M / N$的a子模块。

如果$M$是有限表示的，$N$是有限生成的，那么$P$是有限表示的。

如果$M$是有限生成的，$P$是有限呈现的，那么$N$是有限生成的。

如果$P$和$N$是有限表示，那么$M$是有限表示。更准确地说，如果$A$和$B$是$N$和$P$的表示矩阵，我们就有一个表示矩阵 $D=$\begin{tabular}{|l|l|} \hline$A$ & $C$ \ \hline 0 & $B$ \ \hline \end{tabular}

解析:选D。我们可以假设$M=\mathbf{A}^p / F$和$F$有限生成。如果$N$是有限生成的，它的形式是$N=\left(F^{\prime}+F\right) / F$，其中$F^{\prime}$是有限生成的，所以是$P \simeq \mathbf{A}^p /\left(F+F^{\prime}\right)$。

我们写$M=\mathbf{A}^p / F$和$N=\left(F^{\prime}+F\right) / F$。我们有$P \simeq \mathbf{A}^p /\left(F^{\prime}+F\right)$，所以$F^{\prime}+F($和$N)$是有限生成的(第1节)。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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2023年7月12日2023年7月12日 Commutative Algebra, 交换代数, 数学代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Hilbert’s Nullstellensatz

如果你也在怎样代写交换代数Commutative Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。交换代数Commutative Algebra是计划的局部研究中的主要技术工具。对不一定是换元的环的研究被称为非换元代数；它包括环理论、表示理论和巴拿赫代数的理论。

交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Hilbert’s Nullstellensatz

In this section we illustrate the importance of the resultant by showing how Hilbert’s Nullstellensatz can be deducted from it. We will use a generalization of the basic elimination Lemma 7.5.
The Algebraic Closure of $\mathbb{Q}$ and of Finite Fields
Let $\mathbf{K} \subseteq \mathbf{L}$ be discrete fields. We say that $\mathbf{L}$ is an algebraic closure of $\mathbf{K}$ if $\mathbf{L}$ is algebraic over $\mathbf{K}$ and algebraically closed.

The reader will concede that $\mathbb{Q}$ and the fields $\mathbb{F}_p$ possess an algebraic closure. This will be discussed in further detail in Sect. VI-1, especially with Theorem VI-1.18.

The Classical Nullstellensatz (Algebraically Closed Case)
The Nullstellensatz is a theorem which concerns the systems of polynomial equations over a discrete field. Very informally, its meaning can be described as follows: a geometric statement necessarily possesses an algebraic certificate. Or even: a proof in commutative algebra can (almost) always be summarized by simple algebraic identities if it is sufficiently general.

If we have discrete fields $\mathbf{K} \subseteq \mathbf{L}$, and if $(\underline{f})=\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ is a system of polynomials in $\mathbf{K}\left[X_1, \ldots, X_n\right]=\mathbf{K}[\underline{X}]$, we say that $\left(\xi_1, \ldots, \xi_n\right)=(\underline{\xi})$ is a zero of $(\underline{f})$ in $\mathbf{L}^n$, or a zero of $(\underline{f})$ with coordinates in $\mathbf{L}$, if the equations $f_i(\underline{\xi})=0$ are satisfied. Let $\mathfrak{f}=\left\langle f_1, \ldots, \overline{f_s}\right\rangle_{\mathbf{K}}[\underline{X}]$. Then, all the polynomials $g \in \mathfrak{f}$ are annihilated in such a $(\underline{\xi})$. We therefore equally refer to $(\underline{\xi})$ as a zero of the ideal $f$ in $\mathbf{L}^n$ or as having coordinates in $\mathbf{L}$.
We begin with an almost obvious fact.
9.1 Fact Let $\mathbf{k}$ be a commutative ring and $h \in \mathbf{k}[X]$ a monic polynomial of degree $\geqslant 1$.

If some multiple of $h$ is in $\mathbf{k}$, this multiple is null.
Let $f$ and $g \in \mathbf{k}[X]$ of respective formal degrees $p$ and $q$. If $h$ divides $f$ and $g$, then $\operatorname{Res}_X(f, p, g, q)=0$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Formal Nullstellensatz

We now move onto a formal Nullstellensatz, formal in the sense that it applies (in classical mathematics) to an arbitrary ideal over an arbitrary ring. Nevertheless to have a constructive statement we will be content with a polynomial ring $\mathbb{Z}[\underline{X}]$ for our arbitrary ring and a finitely generated ideal for our arbitrary ideal.

Although this may seem very restrictive, practice shows that this is not the case because we can (almost) always apply the method of undetermined coefficients to a commutative algebra problem; a method which reduces the problem to a polynomial problem over $\mathbb{Z}$. An illustration of this will be given next.

Note that to read the statement, when we speak of a zero of some $f_i \in \mathbb{Z}[\underline{X}]$ over a ring $\mathbf{A}$, one must first consider $f_i$ modulo $\operatorname{Ker} \varphi$, where $\varphi$ is the unique homomorphism $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbf{A}$, with $\mathbf{A}_1 \simeq \mathbb{Z} / \operatorname{Ker} \varphi$ as its image. This thus reduces to a polynomial $\overline{f_i}$ of $\mathbf{A}_1[\underline{X}] \subseteq \mathbf{A}[\underline{X}]$.
9.9 Theorem (Nullstellensatz over $\mathbb{Z}$, formal Nullstellensatz) Let $\mathbb{Z}[\underline{X}]=$ $\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$. Consider $g, f_1, \ldots, f_s$ in $\mathbb{Z}[\underline{X}]$

For the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ the following properties are equivalent.
a. $1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$.
b. The system does not admit a zero on any nontrivial discrete field.
c. The system does not admit a zero on any finite field or on any finite extension of $\mathbb{Q}$.
d. The system does not admit a zero on any finite field.
The following properties are equivalent.
a. $\exists N \in \mathbb{N}, g^N \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$.
b. The polynomial $g$ is annihilated at the zeros of the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ on any discrete field.
c. The polynomial $g$ is annihilated at the zeros of the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ on every finite field and on every finite extension of $\mathbb{Q}$.
d. The polynomial $g$ is annihilated at the zeros of the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ on every finite field.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Hilbert’s Nullstellensatz

在本节中，我们通过展示如何从结果中推导出希尔伯特的Nullstellensatz来说明结果的重要性。我们将使用基本消去引理7.5的推广。
的代数闭包 $\mathbb{Q}$ 有限域的
让 $\mathbf{K} \subseteq \mathbf{L}$ 是离散的域。我们说 $\mathbf{L}$ 代数闭包是 $\mathbf{K}$ 如果 $\mathbf{L}$ 代数课结束了吗 $\mathbf{K}$ 代数上是封闭的。

读者将承认$\mathbb{Q}$和域$\mathbb{F}_p$具有代数闭包。这将在第VI-1节中进一步详细讨论，特别是定理VI-1.18。

经典零方程(代数闭合情况)
Nullstellensatz是一个关于离散域上多项式方程组的定理。非常非正式地，它的含义可以描述如下:一个几何陈述必须拥有一个代数证明。或者甚至:交换代数中的证明(几乎)总是可以用简单的代数恒等式来概括，如果它足够普遍的话。

如果我们有离散场$\mathbf{K} \subseteq \mathbf{L}$，如果$(\underline{f})=\left(f_1, \ldots, f_s\right)$是$\mathbf{K}\left[X_1, \ldots, X_n\right]=\mathbf{K}[\underline{X}]$中的多项式系统，我们说$\left(\xi_1, \ldots, \xi_n\right)=(\underline{\xi})$是$\mathbf{L}^n$中的$(\underline{f})$的零，或者是$(\underline{f})$的零，坐标在$\mathbf{L}$中，如果方程$f_i(\underline{\xi})=0$满足。让$\mathfrak{f}=\left\langle f_1, \ldots, \overline{f_s}\right\rangle_{\mathbf{K}}[\underline{X}]$。然后，所有的多项式$g \in \mathfrak{f}$都湮灭在这样一个$(\underline{\xi})$中。因此，我们同样地称$(\underline{\xi})$为$\mathbf{L}^n$中理想$f$的零，或在$\mathbf{L}$中有坐标。
我们从一个几乎显而易见的事实开始。
9.1事实设$\mathbf{k}$为交换环，$h \in \mathbf{k}[X]$为次为$\geqslant 1$的一元多项式。

如果$\mathbf{k}$中有$h$的某个倍数，则该倍数为空。

让$f$和$g \in \mathbf{k}[X]$各自的正规学位$p$和$q$。如果$h$除$f$和$g$，则是$\operatorname{Res}_X(f, p, g, q)=0$。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Formal Nullstellensatz

现在我们转到正式的Nullstellensatz，正式的意思是它(在经典数学中)适用于任意环上的任意理想。然而，为了得到一个构造命题，对于任意环，我们满足于一个多项式环$\mathbb{Z}[\underline{X}]$对于任意理想，我们满足于一个有限生成的理想。

虽然这看起来很有限制，但实践表明，情况并非如此，因为我们(几乎)总是可以将待定系数方法应用于交换代数问题;一种将问题简化为$\mathbb{Z}$上的多项式问题的方法。下面将对此作一个说明。

请注意，要读这个陈述，当我们谈到环$\mathbf{A}$上某个$f_i \in \mathbb{Z}[\underline{X}]$的零时，必须首先考虑$f_i$模$\operatorname{Ker} \varphi$，其中$\varphi$是唯一同态$\mathbb{Z} \rightarrow \mathbf{A}$, $\mathbf{A}_1 \simeq \mathbb{Z} / \operatorname{Ker} \varphi$是它的像。这就简化为$\mathbf{A}_1[\underline{X}] \subseteq \mathbf{A}[\underline{X}]$的多项式$\overline{f_i}$。
9.9定理(Nullstellensatz over $\mathbb{Z}$，正式的Nullstellensatz)设$\mathbb{Z}[\underline{X}]=$$\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$。考虑$g, f_1, \ldots, f_s$$\mathbb{Z}[\underline{X}]$

对于系统$\left(f_1, \ldots, f_s\right)$，以下属性是等效的。
A. $1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$;
b.系统在任何非平凡离散域上都不允许存在零。
c.系统不允许在任何有限域或$\mathbb{Q}$的任何有限扩展上存在零。
d.系统在任何有限域上都不允许存在零。

以下属性是等价的。
A. $\exists N \in \mathbb{N}, g^N \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$;
b.多项式$g$在任意离散场上的系统$\left(f_1, \ldots, f_s\right)$的零点处被湮灭。
c.多项式$g$在系统$\left(f_1, \ldots, f_s\right)$的每一个有限域和$\mathbb{Q}$的每一个有限扩展的零点处被湮灭。
d.多项式$g$在每个有限域的系统$\left(f_1, \ldots, f_s\right)$的零点处被湮灭。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Sylvester Matrix

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Sylvester Matrix

In what follows, we do not assume the ring $\mathbf{A}$ to be discrete, so much so that the degree of a polynomial of $\mathbf{A}[X]$ is not necessarily exactly known. From the point of view of computation, in general we have to take the polynomials in $\mathbf{A}[X]$ in the form of formal polynomials, i.e. pairs $(f, p)$ where $f$ is a polynomial and $p$ is the upper bound of its degree. This notion is also useful when changing the base ring because a polynomial can for instance have its degree decrease without us knowing how to test it (e.g. upon passage to the quotient ring).

Recall the definition of the Sylvester matrix and of the resultant of two polynomials (formal polynomials of degrees $p$ and $q \geqslant 0$ ):
$$
\begin{aligned}
& f=a_p X^p+a_{p-1} X^{p-1}+\cdots+a_0, \
& g=b_q X^q+b_{q-1} X^{q-1}+\cdots+b_0 .
\end{aligned}
$$
The Sylvester matrix of $f$ and $g$ (in degrees $p$ and $q$ ) is the following matrix
$$
\operatorname{Syl}X(f, p, g, q)=\underbrace{\left[\begin{array}{cccccccc} a_p & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_0 & \ & \ddots & & & & & \ddots & \ & & a_p & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_0 \ b_q & \cdots & \cdots & b_0 & & & & \ & \ddots & & & \ddots & & \ & & & \ddots & & & \ddots & \ & & & & b_q & \cdots & \cdots & b_0 \end{array}\right]}{p+q}{q
$$

This matrix can be regarded as the matrix whose rows are the coordinates of the polynomials $\left(X^{q-1} f, \ldots, X f, f, X^{p-1} g, \ldots, X g, g\right)$ over the basis $\left(X^{p+q-1}, X^{p+q-2}\right.$, $\ldots, X, 1)$.

The resultant of $f$ and $g$ (in degrees $p$ and $q$ ), denoted by $\operatorname{Res}_X(f, p, g, q)$, is the determinant of this Sylvester matrix
$$
\operatorname{Res}_X(f, p, g, q) \stackrel{\text { def }}{=} \operatorname{det}\left(\operatorname{Syl}_X(f, p, g, q)\right) .
$$
If the context is clear, we also denote it by $\operatorname{Res}_X(f, g)$ or $\operatorname{Res}(f, g)$. We have
$$
\operatorname{Res}_X(f, p, g, q)=(-1)^{p q} \operatorname{Res}_X(g, q, f, p),
$$
and also, for $a, b \in \mathbf{A}$,
$$
\operatorname{Res}_X(a f, p, b g, q)=a^q b^p \operatorname{Res}_X(f, p, g, q) .
$$
If $p=q=0$, we obtain the determinant of an empty matrix, i.e. 1 .

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Basic Elimination Lemma

7.5 Basic Elimination Lemma Let $f$ and $g \in \mathbf{A}[X]$ with $f$ monic of degree $p$. Then, $R=\operatorname{Res}X(f, g)$ is well defined and the elimination ideal $\mathfrak{a}=\langle f, g\rangle{\mathbf{A}[X]} \cap \mathbf{A}$ satisfies

$$
\mathfrak{a}^p \subseteq \operatorname{Res}_X(f, g) \mathbf{A} \subseteq \mathfrak{a}
$$
In particular

$R$ is invertible if and only if $1 \in\langle f, g\rangle$,

$R$ is regular if and only if $\mathfrak{a}$ is faithful, and

$R$ is nilpotent if and only if $\mathfrak{a}$ is nilpotent.
D We already know that $\operatorname{Res}X(f, g) \in\langle f, g\rangle{\mathbf{A}}[X]$.
We use the notations of Lemma 7.3, item 1. We denote by $x$ the class of $X$ in $\mathbf{B}=$ $\mathbf{A}[X] /\langle f\rangle$. A basis of $\mathbf{B}$ over $\mathbf{A}$ is $\left(1, x, \ldots, x^{p-1}\right)$. Let $\left(\gamma_i\right){i \in \llbracket 1 \ldots p \rrbracket}$ be elements of $\mathfrak{a}$. The elements $\gamma_1, \gamma_2 x, \ldots, \gamma_p x^{p-1}$ are in $\operatorname{Im} \mu_g$, so the matrix $D=\operatorname{Diag}\left(\gamma_1, \ldots, \gamma_p\right)$ can be written in the form $G B$, where $G$ is the matrix of $\mu_g$ over the basis of the monomials. It follows that $$ \prod{k=1}^p \gamma_k=\operatorname{det} D=\operatorname{det} G \operatorname{det} B=\operatorname{Res}(f, g) \operatorname{det} B
$$

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Sylvester Matrix

在接下来的内容中，我们不假设环$\mathbf{A}$是离散的，以至于$\mathbf{A}[X]$的多项式的次数不一定是精确已知的。从计算的角度来看，一般我们必须以形式多项式的形式取$\mathbf{A}[X]$中的多项式，即对$(f, p)$，其中$f$是多项式，$p$是其次的上界。这个概念在改变基环时也很有用，因为一个多项式可以在我们不知道如何测试它的情况下降低它的度(例如在通过商环时)。

回想一下Sylvester矩阵和两个多项式(阶的形式多项式$p$和$q \geqslant 0$)的结果的定义:
$$
\begin{aligned}
& f=a_p X^p+a_{p-1} X^{p-1}+\cdots+a_0, \
& g=b_q X^q+b_{q-1} X^{q-1}+\cdots+b_0 .
\end{aligned}
$$
$f$和$g$的Sylvester矩阵(以$p$和$q$的度数表示)如下
$$
\operatorname{Syl}X(f, p, g, q)=\underbrace{\left[\begin{array}{cccccccc} a_p & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_0 & \ & \ddots & & & & & \ddots & \ & & a_p & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_0 \ b_q & \cdots & \cdots & b_0 & & & & \ & \ddots & & & \ddots & & \ & & & \ddots & & & \ddots & \ & & & & b_q & \cdots & \cdots & b_0 \end{array}\right]}{p+q}{q
$$

这个矩阵可以看作是一个矩阵，它的行是多项式的坐标$\left(X^{q-1} f, \ldots, X f, f, X^{p-1} g, \ldots, X g, g\right)$在基$\left(X^{p+q-1}, X^{p+q-2}\right.$, $\ldots, X, 1)$上。

$f$和$g$(以$p$和$q$为度)的结果用$\operatorname{Res}_X(f, p, g, q)$表示，是这个Sylvester矩阵的行列式
$$
\operatorname{Res}_X(f, p, g, q) \stackrel{\text { def }}{=} \operatorname{det}\left(\operatorname{Syl}_X(f, p, g, q)\right) .
$$
如果上下文清楚，我们也用$\operatorname{Res}_X(f, g)$或$\operatorname{Res}(f, g)$表示它。我们有
$$
\operatorname{Res}_X(f, p, g, q)=(-1)^{p q} \operatorname{Res}_X(g, q, f, p),
$$
对于$a, b \in \mathbf{A}$，
$$
\operatorname{Res}_X(a f, p, b g, q)=a^q b^p \operatorname{Res}_X(f, p, g, q) .
$$
如果$p=q=0$，我们得到一个空矩阵的行列式，即1。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Basic Elimination Lemma

7.5基本消去引理设$f$和$g \in \mathbf{A}[X]$具有$f$次元$p$。那么，$R=\operatorname{Res}X(f, g)$定义良好，消去理想$\mathfrak{a}=\langle f, g\rangle{\mathbf{A}[X]} \cap \mathbf{A}$满足

$$
\mathfrak{a}^p \subseteq \operatorname{Res}_X(f, g) \mathbf{A} \subseteq \mathfrak{a}
$$
特别是

$R$ 可逆的当且仅当$1 \in\langle f, g\rangle$，

$R$ 是规则的当且仅当$\mathfrak{a}$是忠实的，并且

$R$ 是幂零的当且仅当$\mathfrak{a}$是幂零。
D我们已经知道$\operatorname{Res}X(f, g) \in\langle f, g\rangle{\mathbf{A}}[X]$。
我们使用引理7.3项1的符号。我们用$x$表示$\mathbf{B}=$$\mathbf{A}[X] /\langle f\rangle$中的$X$类。$\mathbf{B}$除以$\mathbf{A}$的基是$\left(1, x, \ldots, x^{p-1}\right)$。让$\left(\gamma_i\right){i \in \llbracket 1 \ldots p \rrbracket}$成为$\mathfrak{a}$的元素。元素$\gamma_1, \gamma_2 x, \ldots, \gamma_p x^{p-1}$位于$\operatorname{Im} \mu_g$中，因此矩阵$D=\operatorname{Diag}\left(\gamma_1, \ldots, \gamma_p\right)$可以写成$G B$的形式，其中$G$是$\mu_g$在单项式基础上的矩阵。由此得出 $$ \prod{k=1}^p \gamma_k=\operatorname{det} D=\operatorname{det} G \operatorname{det} B=\operatorname{Res}(f, g) \operatorname{det} B
$$

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Algebraic Identities

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Algebraic Identities

An algebraic identity is an equality between two elements of $\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ defined differently. It gets automatically transferred into every commutative ring by means of the previous corollary.

Since the ring $\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ has particular properties, it happens that some algebraic identities are easier to prove in $\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ than in “an arbitrary ring $\mathbf{B}$.” Consequently, if the structure of a theorem reduces to a family of algebraic identities, which is very frequent in commutative algebra, it is often in our interest to use a ring of polynomials with coefficients in $\mathbb{Z}$ by taking as its indeterminates the relevant elements in the statement of the theorem.

The properties of the rings $\mathbb{Z}[\underline{X}]$ which may prove useful are numerous. The first is that it is an integral ring. So it is a subring of its quotient field $\mathbb{Q}\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ which offers all the facilities of discrete fields.

The second is that it is an infinite and integral ring. Consequently, “all bothersome but rare cases can be ignored.” A case is rare when it corresponds to the annihilation of a polynomial $Q$ that evaluates to zero everywhere. It suffices to check the equality corresponding to the algebraic identity when it is evaluated at the points of $\mathbb{Z}^n$ which do not annihilate $Q$. Indeed, if the algebraic identity we need to prove is $P=0$, we get that the polynomial $P Q$ defines the function over $\mathbb{Z}^n$ that evaluates to zero everywhere, this implies that $P Q=0$ and thus $P=0$ since $Q \neq 0$ and $\mathbb{Z}[\underline{X}]$ is integral. This is sometimes called the “extension principle for algebraic identities.”
Other remarkable properties of $\mathbb{Z}[\underline{X}]$ could sometimes be used, like the fact that it is a unique factorization domain (UFD) as well as being a strongly discrete coherent Noetherian ring of finite Krull dimension.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Weights, Homogeneous Polynomials

We say that we have defined a weight on a polynomial algebra $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_k\right]$ when we attribute to each indeterminate $X_i$ a weight $w\left(X_i\right) \in \mathbb{N}$. We then define the weight of the monomial $\underline{X} \underline{\underline{m}}=X_1^{m_1} \cdots X_k^{m_k}$ as
$$
w\left(\underline{X}^{\underline{m}}\right)=\sum_i m_i w\left(X_i\right)
$$
so that $w\left(\underline{X}^{\underline{m}}+\underline{m^{\prime}}\right)=w\left(\underline{X}^{\underline{m}}\right)+w\left(\underline{X}^{m^{\prime}}\right)$. The degree of a polynomial $P$ for this weight, generally denoted by $w(P)$, is the greatest of the weights of the monomials appearing with a nonzero coefficient. This is only well-defined if we have a test of equality to 0 in $\mathbf{A}$ at our disposal. In the opposite case we simply define the statement ” $w(P) \leqslant r . “$

A polynomial is said to be homogeneous (for a weight $w$ ) if all of its monomials have the same weight.

When we have an algebraic identity and a weight available, each homogeneous component of the algebraic identity provides a particular algebraic identity.

We can also define weights with values in some monoids with a more complicated order than $(\mathbb{N}, 0,+, \geqslant)$. We then ask that this monoid be the positive part of a product of totally ordered Abelian groups, or more generally a monoid with gcd (this notion will be introduced in Chap. XI).

Symmetric Polynomials
We fix $n$ and $\mathbf{A}$ and we let $S_1, \ldots, S_n$ be the elementary symmetric polynomials at the $X_i$ ‘s in $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$. They are defined by the equality
$$
T^n+S_1 T^{n-1}+S_2 T^{n-2}+\cdots+S_n=\prod_{i=1}^n\left(T+X_i\right) .
$$
We have $S_1=\sum_i X_i, S_n=\prod_i X_i, S_k=\sum_{J \in \mathcal{P}{k, n}} \prod{i \in J} X_i$. Recall the following well-known theorem (a proof is suggested in Exercise 3).

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Algebraic Identities

代数恒等式是两个不同定义的$\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$元素之间的等式。它通过前面的推论自动地转移到每个交换环上。

由于环$\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$具有特殊的性质，一些代数恒等式在$\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$中比在“任意环$\mathbf{B}$”中更容易证明。因此，如果一个定理的结构简化为在交换代数中非常常见的代数恒等式族，在$\mathbb{Z}$中使用系数为多项式的环，取定理陈述中的相关元素作为它的不定式，这通常符合我们的兴趣。

这些环$\mathbb{Z}[\underline{X}]$可能被证明有用的特性有很多。首先，它是一个整环。所以它是它的商域$\mathbb{Q}\left(X_1, \ldots, X_n\right)$的子域，它提供了离散域的所有功能。

二是它是一个无限积分环。因此，“所有麻烦但罕见的情况都可以忽略不计。”当它对应于处处为零的多项式$Q$的湮灭时，这种情况很少见。当代数恒等式在$\mathbb{Z}^n$不湮没$Q$的点处求值时，检验其等式是否成立就足够了。事实上，如果我们需要证明的代数恒等式是$P=0$，我们得到多项式$P Q$定义了$\mathbb{Z}^n$上处处为零的函数，这意味着$P Q=0$和$P=0$，因为$Q \neq 0$和$\mathbb{Z}[\underline{X}]$是积分。这有时被称为“代数恒等式的可拓原理”。
有时还可以使用$\mathbb{Z}[\underline{X}]$的其他显著性质，例如它是唯一因子分解域(UFD)以及有限Krull维的强离散相干Noetherian环。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Weights, Homogeneous Polynomials

当我们给每个不确定的$X_i$赋予一个权重$w\left(X_i\right) \in \mathbb{N}$时，我们说我们已经在多项式代数$\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_k\right]$上定义了一个权重。然后我们定义单项的权重$\underline{X} \underline{\underline{m}}=X_1^{m_1} \cdots X_k^{m_k}$为
$$
w\left(\underline{X}^{\underline{m}}\right)=\sum_i m_i w\left(X_i\right)
$$
所以是$w\left(\underline{X}^{\underline{m}}+\underline{m^{\prime}}\right)=w\left(\underline{X}^{\underline{m}}\right)+w\left(\underline{X}^{m^{\prime}}\right)$。该权重的多项式度$P$，通常用$w(P)$表示，是出现非零系数的单项权重中最大的。只有当我们在$\mathbf{A}$中有一个等于0的检验时，这个才有定义。在相反的情况下，我们只需定义语句” $w(P) \leqslant r . “$

一个多项式是齐次的(对于一个权值$w$)，如果它所有的单项式都有相同的权值。

当我们有一个代数恒等式和一个权值时，这个代数恒等式的每一个齐次分量都提供了一个特定的代数恒等式。

我们也可以用一些比$(\mathbb{N}, 0,+, \geqslant)$更复杂的单群来定义权重值。然后我们要求这个单群是全序阿贝尔群积的正部，或者更一般地说，是一个具有gcd的单群(这个概念将在第十一章中介绍)。

对称多项式
我们固定$n$和$\mathbf{A}$我们让$S_1, \ldots, S_n$是$\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$中$X_i$的初等对称多项式。它们是由等式定义的
$$
T^n+S_1 T^{n-1}+S_2 T^{n-2}+\cdots+S_n=\prod_{i=1}^n\left(T+X_i\right) .
$$
我们有$S_1=\sum_i X_i, S_n=\prod_i X_i, S_k=\sum_{J \in \mathcal{P}{k, n}} \prod{i \in J} X_i$。回想一下下面这个著名的定理(练习3给出了一个证明)。

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微观经济学代写

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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2023年6月28日2023年6月28日 Commutative Algebra, 交换代数, 数学代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Generalized Cramer Formula

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Generalized Cramer Formula

We study in this subsection some generalizations of the usual Cramer formulas. We will exploit these in the following paragraphs.

For a matrix $A \in \mathbf{A}^{m \times n}$ we denote by $A_{\alpha, \beta}$ the matrix extracted on the rows $\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\right} \subseteq \llbracket 1 . . m \rrbracket$ and the columns $\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_s\right} \subseteq \llbracket 1 . . n \rrbracket$.

Suppose that the matrix $A$ is of rank $\leqslant k$. Let $V \in \mathbf{A}^{m \times 1}$ be a column vector such that the bordered matrix $[A \mid V]$ is also of rank $\leqslant k$. Let us call $A_j$ the $j$-th column of $A$. Let $\mu_{\alpha, \beta}=\operatorname{det}\left(A_{\alpha, \beta}\right)$ be the minor of order $k$ of the matrix $A$ extracted on the rows $\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\right}$ and the columns $\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_k\right}$. For $j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket$ let $\nu_{\alpha, \beta, j}$ be the determinant of the same extracted matrix, except that the column $j$ has been replaced with the extracted column of $V$ on the rows $\alpha$. Then, we obtain for each pair $(\alpha, \beta)$ of multi-indices a Cramer identity:
$$
\mu_{\alpha, \beta} V=\sum_{j=1}^k \nu_{\alpha, \beta, j} A_{\beta_j}
$$
due to the fact that the rank of the bordered matrix $\left[A_{1 . . m, \beta} \mid V\right]$ is $\leqslant k$. This can be read as follows:
$$
\begin{aligned}
\mu_{\alpha, \beta} V & =\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}
\nu_{\alpha, \beta, 1} \
\vdots \
\nu_{\alpha, \beta, k}
\end{array}\right] \
& =\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left[\begin{array}{c}
v_{\alpha_1} \
\vdots \
v_{\alpha_k}
\end{array}\right] \
& =A \cdot\left(\mathrm{I}n\right){1 . . n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 . . m} \cdot V
\end{aligned}
$$
This leads us to introduce the following notation.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|A Magic Formula

An immediate consequence of the Cramer’s identity (12) is the less usual identity (17) given in the following theorem. Similarly the equalities (18) and (19) easily result from (15) and (16).
5.14 Theorem Let $A \in \mathbf{A}^{m \times n}$ be a matrix of rank $k$. We thus have an equality $\sum_{\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}} c_{\alpha, \beta} \mu_{\alpha, \beta}=1$. Let
$$
B=\sum_{\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}} c_{\alpha, \beta} \operatorname{Adj}_{\alpha, \beta}(A)
$$

We have
$$
A \cdot B \cdot A=A
$$
Consequently $A B$ is a projection matrix of rank $k$ and the submodule $\operatorname{Im} A=$ $\operatorname{Im} A B$ is a direct summand in $\mathbf{A}^m$.
If $k=m$, then
$$
A \cdot B=\mathrm{I}_m
$$
If $k=n$, then
$$
B \cdot A=\mathrm{I}n $$ The following identity, which we will not use in this work, is even more miraculous. 5.15 Proposition (Prasad and Robinson) With the assumptions and the notations of Theorem 5.14 , if we have $$ \forall \alpha, \alpha^{\prime} \in \mathcal{P}{k, m}, \forall \beta, \beta^{\prime} \in \mathcal{P}{k, n} \quad c{\alpha, \beta} c_{\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}}=c_{\alpha, \beta^{\prime}} c_{\alpha^{\prime}, \beta}
$$
then
$$
B \cdot A \cdot B=B
$$

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Generalized Cramer Formula

在这一小节中，我们研究了常用克拉默公式的一些概括。我们将在下面的段落中利用这些。

对于矩阵$A \in \mathbf{A}^{m \times n}$，我们用$A_{\alpha, \beta}$表示在行$\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\right} \subseteq \llbracket 1 . . m \rrbracket$和列$\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_s\right} \subseteq \llbracket 1 . . n \rrbracket$上提取的矩阵。

假设矩阵$A$的秩为$\leqslant k$。设$V \in \mathbf{A}^{m \times 1}$为列向量，使得有边矩阵$[A \mid V]$的秩为$\leqslant k$。我们称$A_j$为$A$的第$j$列。设$\mu_{\alpha, \beta}=\operatorname{det}\left(A_{\alpha, \beta}\right)$为从行$\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\right}$和列$\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_k\right}$中提取的矩阵$A$的次元$k$。对于$j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket$，让$\nu_{\alpha, \beta, j}$为同一提取矩阵的行列式，只是在$\alpha$行上的$j$列已被提取的$V$列所取代。然后，对于每一对$(\alpha, \beta)$多指标，我们得到一个Cramer恒等式:
$$
\mu_{\alpha, \beta} V=\sum_{j=1}^k \nu_{\alpha, \beta, j} A_{\beta_j}
$$
由于有边矩阵$\left[A_{1 . . m, \beta} \mid V\right]$的秩为$\leqslant k$。这可以读作如下:
$$
\begin{aligned}
\mu_{\alpha, \beta} V & =\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}
\nu_{\alpha, \beta, 1} \
\vdots \
\nu_{\alpha, \beta, k}
\end{array}\right] \
& =\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left[\begin{array}{c}
v_{\alpha_1} \
\vdots \
v_{\alpha_k}
\end{array}\right] \
& =A \cdot\left(\mathrm{I}n\right){1 . . n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 . . m} \cdot V
\end{aligned}
$$
这导致我们引入以下符号。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|A Magic Formula

克莱默恒等式(12)的直接结果是下面定理给出的不太常见的恒等式(17)。同样，等式(18)和式(19)很容易由式(15)和式(16)得出。
5.14定理设$A \in \mathbf{A}^{m \times n}$为秩为$k$的矩阵。因此我们有一个等式$\sum_{\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}} c_{\alpha, \beta} \mu_{\alpha, \beta}=1$。让
$$
B=\sum_{\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}} c_{\alpha, \beta} \operatorname{Adj}_{\alpha, \beta}(A)
$$

我们有
$$
A \cdot B \cdot A=A
$$
因此$A B$是秩$k$的投影矩阵，子模块$\operatorname{Im} A=$$\operatorname{Im} A B$是$\mathbf{A}^m$中的直接和。

如果$k=m$，那么
$$
A \cdot B=\mathrm{I}_m
$$

如果$k=n$，那么
$$
B \cdot A=\mathrm{I}n $$下面这个身份，我们不会在这个作品中使用，它更神奇。5.15命题(普拉萨德和罗宾逊)用定理5.14的假设和符号，如果我们有$$ \forall \alpha, \alpha^{\prime} \in \mathcal{P}{k, m}, \forall \beta, \beta^{\prime} \in \mathcal{P}{k, n} \quad c{\alpha, \beta} c_{\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}}=c_{\alpha, \beta^{\prime}} c_{\alpha^{\prime}, \beta}
$$
然后
$$
B \cdot A \cdot B=B
$$

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Fundamental Systems of Orthogonal Idempotents

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Fundamental Systems of Orthogonal Idempotents

An element $e$ of a ring is said to be idempotent if $e^2=e$. In this case, $1-e$ is also an idempotent, called the complementary idempotent of $e$, or the complement of $e$. For two idempotents $e_1$ and $e_2$, we have
$$
\left\langle e_1\right\rangle \cap\left\langle e_2\right\rangle=\left\langle e_1 e_2\right\rangle, \quad\left\langle e_1\right\rangle+\left\langle e_2\right\rangle=\left\langle e_1, e_2\right\rangle=\left\langle e_1+e_2-e_1 e_2\right\rangle
$$

where $e_1 e_2$ and $e_1+e_2-e_1 e_2$ are idempotents. Two idempotents $e_1$ and $e_2$ are said to be orthogonal when $e_1 e_2=0$. We then have $\left\langle e_1\right\rangle+\left\langle e_2\right\rangle=\left\langle e_1+e_2\right\rangle$.
A ring is said to be connected if every idempotent is equal to 0 or 1 .
In the following, we implicitly use the following obvious fact: for an idempotent $e$ and an element $x, e$ divides $x$ if and only if $x=e x$.

The presence of an idempotent $\neq 0,1$ means that the ring $\mathbf{A}$ is isomorphic to a product of two rings $\mathbf{A}_1$ and $\mathbf{A}_2$, and that any computation in $\mathbf{A}$ can be split into two “simpler” computations in $\mathbf{A}_1$ and $\mathbf{A}_2$. We describe the situation as follows.
4.1 Fact For every isomorphism $\lambda: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_1 \times \mathbf{A}_2$, there exists a unique element $e \in \mathbf{A}$ satisfying the following properties.

The element $e$ is idempotent (its complement is denoted by $f=1-e$ ).
The homomorphism $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_1$ identifies $\mathbf{A}_1$ with $\mathbf{A} /\langle e\rangle$ and with $\mathbf{A}[1 / f]$.

The homomorphism $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_2$ identifies $\mathbf{A}_2$ with $\mathbf{A} /\langle f\rangle$ and with $\mathbf{A}[1 / e]$.
Conversely, if $e$ is an idempotent and $f$ is its complement, the canonical homomorphism $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} /\langle e\rangle \times \mathbf{A} /\langle f\rangle$ is an isomorphism.
D The element $e$ is defined by $\lambda(e)=(0,1)$.
Here are some often useful facts.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Fact

The monoids $e^{\mathbb{N}}={1, e}$ and $1+f \mathbf{A}$ have the same saturation.
As an $\mathbf{A}$-module, $\mathbf{A}$ is the direct sum of $\langle e\rangle=e \mathbf{A}$ and $\langle f\rangle=f \mathbf{A}$. The ideal $e \mathbf{A}$ is a ring where $e$ is a neutral element of the multiplication. We then have three isomorphic rings
$$
\mathbf{A}[1 / e]=(1+f \mathbf{A})^{-1} \mathbf{A} \simeq \mathbf{A} /\langle f\rangle \simeq e \mathbf{A}
$$
These isomorphisms stem from the three canonical mappings
$$
\begin{array}{ll}
\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}[1 / e] & : x \mapsto x / 1, \
\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} /\langle f\rangle & : x \mapsto x \bmod \langle f\rangle, \
\mathbf{A} \rightarrow e \mathbf{A} & : x \mapsto e x,
\end{array}
$$
which are surjective and have the same kernel.
We have three isomorphic $\mathbf{A}$-modules $M[1 / e] \simeq M / f M \simeq e M$. These isomorphisms stem from the three canonical mappings
$$
\begin{array}{ll}
M \rightarrow M[1 / e] & : x \mapsto x / 1, \
M \rightarrow M / f M & : x \mapsto x \bmod \langle f\rangle, \
M \rightarrow e M & : x \mapsto e x,
\end{array}
$$
which are surjective and have the same kernel.
In addition, care must be taken that the ideal $e \mathbf{A}$, which is a ring with $e$ as its neutral element, is not a subring of $\mathbf{A}$ (unless $e=1$ ).
In a ring $\mathbf{A}$ a fundamental system of orthogonal idempotents is a list $\left(e_1, \ldots, e_n\right)$ of elements of $\mathbf{A}$ which satisfy the following equalities:
$$
e_i e_j=0 \text { for } i \neq j, \quad \text { and } \quad \sum_{i=1}^n e_i=1
$$
This implies that the $e_i$ ‘s are idempotents. We do not claim that none of them are null. ${ }^8$

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Fundamental Systems of Orthogonal Idempotents

环上的一个元素$e$如果$e^2=e$是幂等的。在这种情况下，$1-e$也是一个幂等，称为$e$的补幂等，或$e$的补幂等。对于两个幂等$e_1$和$e_2$，我们有
$$
\left\langle e_1\right\rangle \cap\left\langle e_2\right\rangle=\left\langle e_1 e_2\right\rangle, \quad\left\langle e_1\right\rangle+\left\langle e_2\right\rangle=\left\langle e_1, e_2\right\rangle=\left\langle e_1+e_2-e_1 e_2\right\rangle
$$

其中$e_1 e_2$和$e_1+e_2-e_1 e_2$是幂等函数。当$e_1 e_2=0$时，两个幂等$e_1$和$e_2$是正交的。然后是$\left\langle e_1\right\rangle+\left\langle e_2\right\rangle=\left\langle e_1+e_2\right\rangle$。
如果一个环的幂等函数都等于0或1，那么这个环就是连通的。
在下面，我们隐式地使用以下明显的事实:对于一个幂等的$e$和一个元素$x, e$除$x$当且仅当$x=e x$。

幂等$\neq 0,1$的存在意味着环$\mathbf{A}$与两个环$\mathbf{A}_1$和$\mathbf{A}_2$的乘积是同构的，并且$\mathbf{A}$中的任何计算都可以拆分为$\mathbf{A}_1$和$\mathbf{A}_2$中的两个“更简单”的计算。我们将情况描述如下。
4.1事实对于每一个同构$\lambda: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_1 \times \mathbf{A}_2$，存在一个唯一元素$e \in \mathbf{A}$满足以下性质。

元素$e$是幂等的(它的补元用$f=1-e$表示)。
同态$\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_1$将$\mathbf{A}_1$与$\mathbf{A} /\langle e\rangle$和$\mathbf{A}[1 / f]$标识起来。

同态$\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_2$将$\mathbf{A}_2$与$\mathbf{A} /\langle f\rangle$和$\mathbf{A}[1 / e]$标识起来。
反之，如果$e$是幂等的，$f$是它的补，则正则同态$\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} /\langle e\rangle \times \mathbf{A} /\langle f\rangle$是同构的。
D元素$e$由$\lambda(e)=(0,1)$定义。
以下是一些通常有用的事实。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Fact

一元曲线$e^{\mathbb{N}}={1, e}$和$1+f \mathbf{A}$具有相同的饱和度。
作为$\mathbf{A}$ -模块，$\mathbf{A}$是$\langle e\rangle=e \mathbf{A}$和$\langle f\rangle=f \mathbf{A}$的直接和。理想的$e \mathbf{A}$是一个环，其中$e$是乘法的中性元素。我们有三个同构环
$$
\mathbf{A}[1 / e]=(1+f \mathbf{A})^{-1} \mathbf{A} \simeq \mathbf{A} /\langle f\rangle \simeq e \mathbf{A}
$$
这些同构源于三个规范映射
$$
\begin{array}{ll}
\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}[1 / e] & : x \mapsto x / 1, \
\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} /\langle f\rangle & : x \mapsto x \bmod \langle f\rangle, \
\mathbf{A} \rightarrow e \mathbf{A} & : x \mapsto e x,
\end{array}
$$
它们是满射，并且有相同的核。
我们有三个同构的$\mathbf{A}$ -模块$M[1 / e] \simeq M / f M \simeq e M$。这些同构源于三个规范映射
$$
\begin{array}{ll}
M \rightarrow M[1 / e] & : x \mapsto x / 1, \
M \rightarrow M / f M & : x \mapsto x \bmod \langle f\rangle, \
M \rightarrow e M & : x \mapsto e x,
\end{array}
$$
它们是满射，并且有相同的核。
此外，必须注意的是，理想的$e \mathbf{A}$是一个以$e$为中性元素的环，它不是$\mathbf{A}$的子环(除非$e=1$)。
在环$\mathbf{A}$中，正交幂等元的基本系统是$\mathbf{A}$中满足下列等式的元素的列表$\left(e_1, \ldots, e_n\right)$:
$$
e_i e_j=0 \text { for } i \neq j, \quad \text { and } \quad \sum_{i=1}^n e_i=1
$$
这意味着$e_i$是幂等的。我们并不是说它们都不是空的。 ${ }^8$

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微观经济学代写

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Smooth Complete Intersection Case

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Smooth Complete Intersection Case

We treat the case of using two equations to define a smooth complete intersection. The generalization to an arbitrary number of equations is straightforward.

Let $\mathbf{R}$ be a commutative ring, and $f(\underline{X}), g(\underline{X}) \in \mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$. Consider the R-algebra
$$
\mathbf{A}=\mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right] /\langle f, g\rangle=\mathbf{R}\left[x_1, \ldots, x_n\right]=\mathbf{R}[\underline{x}]
$$
The Jacobian matrix of the system of equations $(f, g)$ is
$$
J(\underline{X})=\left[\begin{array}{lll}
\frac{\partial f}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_n}(\underline{X}) \
\frac{\partial g}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial g}{\partial X_n}(\underline{X})
\end{array}\right] .
$$
We say that the algebraic manifold $S$ defined by $f=g=0$ is smooth and of codimension 2 if, for every field $\mathbf{K}$ “extension of $\mathbf{R}$ ” and for every point $(\underline{\xi})=$ $\left(\xi_1, \ldots, \xi_n\right) \in \mathbf{K}^n$ satisfying $f(\underline{\xi})=g(\underline{\xi})=0$, then one of the $2 \times 2$ minors of the Jacobian matrix $J_{k, \ell}(\underline{\xi})$, where
$$
J_{k, \ell}(\underline{X})=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial f}{\partial X_k}(\underline{X}) & \frac{\partial f}{\partial X_{\ell}}(\underline{X}) \
\frac{\partial g}{\partial X_k}(\underline{X}) & \frac{\partial g}{\partial X_{\ell}}(\underline{X})
\end{array}\right|
$$
is nonzero.
By the formal Nullstellensatz, this is equivalent to the existence of polynomials $F, G$ and $\left(B_{k, \ell}\right){1 \leqslant k<\ell \leqslant n}$ in $\mathbf{R}[\underline{X}]$ which satisfy $$ F f+G g+\sum{1 \leqslant k<\ell \leqslant n} B_{k, \ell}(\underline{X}) J_{k, \ell}(\underline{X})=1
$$
Let $b_{k, \ell}=B_{k, \ell}(\underline{x})$ be the image of $B_{k, \ell}$ in $\mathbf{A}$ and $j_{k, \ell}=J_{k, \ell}(\underline{x})$. We therefore have in $\mathbf{A}$
$$
\sum_{1 \leqslant k<\ell \leqslant n} b_{k, \ell} j_{k, \ell}=1
$$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The General Case

We treat the case of using $m$ equations to define a smooth manifold of codimension $r$.
Let $\mathbf{R}$ be a commutative ring, and $f_i(\underline{X}) \in \mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right], i=1, \ldots, m$. Consider the $\mathbf{R}$-algebra
$$
\mathbf{A}=\mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right] /\left\langle f_1, \ldots, f_m\right\rangle=\mathbf{R}\left[x_1, \ldots, x_n\right]=\mathbf{R}[\underline{x}]
$$
The Jacobian matrix of the system of equations $\left(f_1, \ldots, f_m\right)$ is
$$
J(\underline{X})=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial X_n}(\underline{X}) \
\vdots & & \vdots \
\frac{\partial f_m}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial X_n}(\underline{X})
\end{array}\right] .
$$
We say that the algebraic manifold $S$ defined by $f_1=\cdots=f_m=0$ is smooth and of codimension $r$ if the Jacobian matrix taken in $\mathbf{A}$ is “of rank $r$,” i.e.
every minor of order $r+1$ is zero, and the minors of order $r$ are comaximal
This implies that for every field $\mathbf{K}$ “extension of $\mathbf{R}$ ” and at every point $(\xi) \in \mathbf{K}^n$ of the manifold of the zeros of the $f_i$ ‘s in $\mathbf{K}^n$, the tangent space is of codimension $r$.

If the ring $\mathbf{A}$ is reduced, this “geometric” condition is in fact sufficient (in classical mathematics).

Let $J_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}(\underline{X})$ be the $r \times r$ minor extracted from the rows $i_1, \ldots, i_r$ and from the columns $k_1, \ldots, k_r$ of $J(\underline{X})$, and taken in $\mathbf{A}: j_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}=J_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}(\underline{x})$.

The condition on $r \times r$ minors indicates the existence of elements $b_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}$ of $\mathbf{A}$ such that
$$
\sum_{1 \leqslant k_1<\cdots<k_r \leqslant n, 1 \leqslant i_1<\cdots<i_r \leqslant m} b_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r} j_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}=1 .
$$
The $\mathbf{A}$-module of differential forms with polynomial coefficients on $S$ is
$$
\Omega_{\mathbf{A} / \mathbf{R}}=\left(\mathbf{A} \mathrm{d} x_1 \oplus \cdots \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} x_n\right) /\left\langle\mathrm{d} f_1, \ldots, \mathrm{d} f_m\right\rangle \simeq \mathbf{A}^n / \operatorname{Im}^{\mathrm{t}} J
$$
where ${ }^{\mathrm{t}} J={ }^{\mathrm{t}} J(x)$ is the Jacobian matrix transpose (seen in $\left.\mathbf{A}\right)$.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Smooth Complete Intersection Case

我们处理用两个方程来定义光滑完全交的情况。将其推广到任意数量的方程是很简单的。

设$\mathbf{R}$为交换环，$f(\underline{X}), g(\underline{X}) \in \mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$。考虑r代数
$$
\mathbf{A}=\mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right] /\langle f, g\rangle=\mathbf{R}\left[x_1, \ldots, x_n\right]=\mathbf{R}[\underline{x}]
$$
方程系统$(f, g)$的雅可比矩阵是
$$
J(\underline{X})=\left[\begin{array}{lll}
\frac{\partial f}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_n}(\underline{X}) \
\frac{\partial g}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial g}{\partial X_n}(\underline{X})
\end{array}\right] .
$$
我们说由$f=g=0$定义的代数流形$S$是光滑的，并且是co维数为2的，如果，对于每一个$\mathbf{K}$“$\mathbf{R}$的扩展”，对于每一个点$(\underline{\xi})=$$\left(\xi_1, \ldots, \xi_n\right) \in \mathbf{K}^n$满足$f(\underline{\xi})=g(\underline{\xi})=0$，则雅可比矩阵$J_{k, \ell}(\underline{\xi})$的$2 \times 2$的一个次元，其中
$$
J_{k, \ell}(\underline{X})=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial f}{\partial X_k}(\underline{X}) & \frac{\partial f}{\partial X_{\ell}}(\underline{X}) \
\frac{\partial g}{\partial X_k}(\underline{X}) & \frac{\partial g}{\partial X_{\ell}}(\underline{X})
\end{array}\right|
$$
是非零的。
通过形式上的Nullstellensatz，这等价于$\mathbf{R}[\underline{X}]$中满足$$ F f+G g+\sum{1 \leqslant k<\ell \leqslant n} B_{k, \ell}(\underline{X}) J_{k, \ell}(\underline{X})=1
$$的多项式$F, G$和$\left(B_{k, \ell}\right){1 \leqslant k<\ell \leqslant n}$的存在性
设$b_{k, \ell}=B_{k, \ell}(\underline{x})$为$\mathbf{A}$和$j_{k, \ell}=J_{k, \ell}(\underline{x})$中$B_{k, \ell}$的形象。因此我们有 $\mathbf{A}$
$$
\sum_{1 \leqslant k<\ell \leqslant n} b_{k, \ell} j_{k, \ell}=1
$$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The General Case

我们处理使用$m$方程来定义余维$r$的光滑流形的情况。
设$\mathbf{R}$为交换环，$f_i(\underline{X}) \in \mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right], i=1, \ldots, m$。考虑$\mathbf{R}$ -代数
$$
\mathbf{A}=\mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right] /\left\langle f_1, \ldots, f_m\right\rangle=\mathbf{R}\left[x_1, \ldots, x_n\right]=\mathbf{R}[\underline{x}]
$$
方程系统$\left(f_1, \ldots, f_m\right)$的雅可比矩阵是
$$
J(\underline{X})=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial X_n}(\underline{X}) \
\vdots & & \vdots \
\frac{\partial f_m}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial X_n}(\underline{X})
\end{array}\right] .
$$
如果在$\mathbf{A}$中取的雅可比矩阵是“秩为$r$”，则由$f_1=\cdots=f_m=0$定义的代数流形$S$是光滑的且余维数为$r$。
阶为$r+1$的次项都是零，阶为$r$的次项是极大的
这意味着对于每个字段$\mathbf{K}$“$\mathbf{R}$的扩展”和$\mathbf{K}^n$中$f_i$ ‘s的零点的流形的每个点$(\xi) \in \mathbf{K}^n$，切空间的余维为$r$。

如果环$\mathbf{A}$被约简，这个“几何”条件实际上是充分的(在经典数学中)。

设$J_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}(\underline{X})$为从$J(\underline{X})$的行$i_1, \ldots, i_r$和列$k_1, \ldots, k_r$中提取的$r \times r$，并在$\mathbf{A}: j_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}=J_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}(\underline{x})$中包含。

$r \times r$的子条件表示$\mathbf{A}$的元素$b_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}$的存在，使得
$$
\sum_{1 \leqslant k_1<\cdots<k_r \leqslant n, 1 \leqslant i_1<\cdots<i_r \leqslant m} b_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r} j_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}=1 .
$$
在$S$上有多项式系数微分形式的$\mathbf{A}$ -模块
$$
\Omega_{\mathbf{A} / \mathbf{R}}=\left(\mathbf{A} \mathrm{d} x_1 \oplus \cdots \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} x_n\right) /\left\langle\mathrm{d} f_1, \ldots, \mathrm{d} f_m\right\rangle \simeq \mathbf{A}^n / \operatorname{Im}^{\mathrm{t}} J
$$
其中${ }^{\mathrm{t}} J={ }^{\mathrm{t}} J(x)$是雅可比矩阵的转置(见$\left.\mathbf{A}\right)$)。

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微观经济学代写

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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2023年6月14日2023年6月14日 Commutative Algebra, 交换代数, 数学代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Multivariate Factorization

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Multivariate Factorization

In this chapter we show how to reduce the factorization of multivariate polynomials in $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ to the case of one variable. The idea is similar to the reduction of the factorization in $\mathbb{Z}[x]$ to the factorization in $\mathbb{Z} / p[x]$. We choose a so-called main variable, say $x_n$ and a suitable point $a=\left(a_1, \ldots, a_{n-1}\right) \in K^{n-1}$. Let $\mathfrak{m}a \in K\left[x_1, \ldots, x{n-1}\right]$ be the maximal ideal corresponding to $a$. We factorize $f\left(a, x_n\right)$ in $K\left[x_n\right]=\left(K\left[x_1, \ldots, x_{n-1}\right] / \mathfrak{m}a\right)\left[x_n\right]$ and use Hensel lifting to lift the factors to $\left(K\left[x_1, \ldots, x{n-1}\right] / \mathfrak{m}_a^N\right)\left[x_n\right]$ for sufficiently large $N$. We choose (unique) representatives of these liftings and combine them to obtain the true factors. Let us start with an example.
Example B.6.1.
$$
\begin{aligned}
f= & x^4+(-z+3) x^3+\left(z^3+(y-3) z-y^2-13\right) x^2 \
& +\left(-z^4+\left(y^2+3 y+15\right) z+6\right) x \
& +y z^4+2 z^3+z\left(-y^3-15 y\right)-2 y^2-30 .
\end{aligned}
$$
We chose $x$ as main variable, $a=(0,0), \mathfrak{m}_a=\langle y, z\rangle$ and factorize $f(x, 0,0)$. We obtain
$$
f(x, 0,0)=x^4+3 x^3-13 x^2+6 x-30=g_1 \cdot h_1
$$
with $g_1=x^2+2$ and $h_1=x^2+3 x-15$.
We want to lift the factorization $f=g_1 h_1\left(\bmod \mathfrak{m}_a\right)$ to $f=g_i h_i\left(\bmod \mathfrak{m}_a^i\right)$ for increasing $i$ (Hensel lifting).
We have
$$
\begin{aligned}
f-g_1 h_1\left(\bmod \mathfrak{m}_a^2\right) & =-z x^3-3 z x^2+15 z x \
& =-z x \cdot h_1 .
\end{aligned}
$$
For the Hensel lifting we obtain
$$
h_2=h_1 \text { and } g_2=g_1-z x=x^2-z x+2 .
$$
In the next step we have
$$
\begin{aligned}
f-g_2 h_2 \bmod \mathfrak{m}_a^3 & =\left(y z-y^2\right) x^2+3 y z x-15 y z-2 y^2 \
& =y z g_2-y^2 \cdot h_2
\end{aligned}
$$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Absolute Factorization

Let $K$ be a field of characteristic $0, \bar{K}$ its algebraic closure and assume we are able to compute the multivariate factorization over algebraic extensions of $K$ (our main example is $K=\mathbb{Q}$ ). In this chapter we explain how to compute the absolute factorization of a polynomial $f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, that is, to compute the irreducible factors (and their multiplicities) of $f$ in $\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. To solve this problem we may assume that $f$ is irreducible in $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$.

There exist several approaches to solve this problem (cf. [59], the part written by Chèze and Galligo, or [42]). We concentrate on the algorithm implemented by G. Lecerf in SingULAR.

The idea of this algorithm is to find an algebraic field extension $K(\alpha)$ of $K$ and a smooth point of the affine variety $V(f)$ in $K(\alpha)^n$. Then an (absolutely) irreducible factor of $f$ will be defined over $K(\alpha)$ which can be computed by using the factorization over $K(\alpha)$ described in Section B.5. The idea is based on the following theorem:

Theorem B.7.1. Let $f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ be irreducible and $a \in K^n$ a smooth point of $V(f) \subseteq \bar{K}^n$. Then $f$ is absolutely irreducible, i.e. irreducible in $\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$

Proof. Let $f=f_1 \cdot \ldots \cdot f_t$ be the factorization of $f$ in $\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. We may assume that $f_1(a)=0$. Assume that $t>1$. This implies that $f_i \notin$ $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ for all $i$. Now $a$ being a smooth point of $V(f)$ implies that $f_i(a) \neq 0$ for $i>1$. We may choose $\alpha \in \bar{K}$ such that $f_i \in K(\alpha)\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ for all $i$. Since $f_1 \notin K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ there exist $\sigma \in \operatorname{Gal}_K(K(\alpha))$ such that $\sigma\left(f_1\right) \neq f_1$.

But $\sigma(f)=f=\sigma\left(f_1\right) \cdot \ldots \cdot \sigma\left(f_t\right)$ implies that there is $i \neq 1$ such that $\sigma\left(f_1\right)=c \cdot f_i$ for some non-zero constant $c \in K(\alpha)$.
This implies $0=\sigma\left(f_1(a)\right)=c \cdot f_i(a)$ which is a contradiction. We obtain $t=1$ and $f$ is absolutely irreducible.
If we apply the theorem to $K(\alpha)$ we obtain:
Corollary B.7.2. Let $f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ be irreducible, $\alpha \in \bar{K}$ and $a \in$ $K(\alpha)^n$ a smooth point of $V(f) \subseteq \bar{K}^n$, then at least one absolutely irreducible factor of $f$ is defined over $K(\alpha)$.

For $f$ irreducible it is not difficult to find $\alpha$ and a smooth point of $V(f)$ in $K(\alpha)^n$ (use Lemma B.6.8). We deduce that for irreducible $f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, $\operatorname{deg}_{x_n}(f)>0, f\left(a, x_n\right)$ is squarefree for almost all $a \in K^{n-1}$.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Multivariate Factorization

在本章中，我们将展示如何将$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$中的多元多项式分解为一个变量的情况。其思想类似于将$\mathbb{Z}[x]$中的因数分解分解为$\mathbb{Z} / p[x]$中的因数分解。我们选择一个所谓的主变量，比如$x_n$和一个合适的点$a=\left(a_1, \ldots, a_{n-1}\right) \in K^{n-1}$。设$\mathfrak{m}a \in K\left[x_1, \ldots, x{n-1}\right]$为$a$对应的最大理想。我们在$K\left[x_n\right]=\left(K\left[x_1, \ldots, x_{n-1}\right] / \mathfrak{m}a\right)\left[x_n\right]$中分解$f\left(a, x_n\right)$，并使用Hensel提升将因子提升到$\left(K\left[x_1, \ldots, x{n-1}\right] / \mathfrak{m}_a^N\right)\left[x_n\right]$，以获得足够大的$N$。我们选择这些升降机的(独特的)代表，并将它们组合起来，以获得真正的因素。让我们从一个例子开始。
例B.6.1。
$$
\begin{aligned}
f= & x^4+(-z+3) x^3+\left(z^3+(y-3) z-y^2-13\right) x^2 \
& +\left(-z^4+\left(y^2+3 y+15\right) z+6\right) x \
& +y z^4+2 z^3+z\left(-y^3-15 y\right)-2 y^2-30 .
\end{aligned}
$$
我们选择$x$为主变量$a=(0,0), \mathfrak{m}_a=\langle y, z\rangle$并因式分解$f(x, 0,0)$。我们得到
$$
f(x, 0,0)=x^4+3 x^3-13 x^2+6 x-30=g_1 \cdot h_1
$$
有$g_1=x^2+2$和$h_1=x^2+3 x-15$。
我们希望将分解$f=g_1 h_1\left(\bmod \mathfrak{m}_a\right)$提升到$f=g_i h_i\left(\bmod \mathfrak{m}_a^i\right)$以增加$i$ (Hensel提升)。
我们有
$$
\begin{aligned}
f-g_1 h_1\left(\bmod \mathfrak{m}_a^2\right) & =-z x^3-3 z x^2+15 z x \
& =-z x \cdot h_1 .
\end{aligned}
$$
我们得到了亨塞尔的提升
$$
h_2=h_1 \text { and } g_2=g_1-z x=x^2-z x+2 .
$$
下一步我们有
$$
\begin{aligned}
f-g_2 h_2 \bmod \mathfrak{m}_a^3 & =\left(y z-y^2\right) x^2+3 y z x-15 y z-2 y^2 \
& =y z g_2-y^2 \cdot h_2
\end{aligned}
$$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Absolute Factorization

设$K$为特征域$0, \bar{K}$的代数闭包，并假设我们能够在$K$的代数扩展上计算多元因子分解(我们的主要示例是$K=\mathbb{Q}$)。在本章中，我们将解释如何计算多项式$f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$的绝对因子分解，即计算$\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$中$f$的不可约因子(及其多重性)。为了解决这个问题，我们可以假设$f$在$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$是不可约的。

有几种方法可以解决这个问题(参见[59]，chhezze和Galligo撰写的部分，或[42])。我们主要研究了g.l ecerf在SingULAR中实现的算法。

该算法的思想是找到$K$的一个代数域扩展$K(\alpha)$和$K(\alpha)^n$中仿射变量$V(f)$的一个光滑点。然后，将在$K(\alpha)$上定义一个(绝对)不可约的因子$f$，该因子可以通过使用B.5节中描述的$K(\alpha)$分解来计算。这个想法基于以下定理:

定理b。设$f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$不可约，$a \in K^n$为$V(f) \subseteq \bar{K}^n$的光滑点。那么$f$是绝对不可约的，即在 $\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$

证明。设$f=f_1 \cdot \ldots \cdot f_t$为$\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$中$f$的因式分解。我们可以假设$f_1(a)=0$。假设$t>1$。这意味着$f_i \notin$$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$对于所有$i$。现在$a$是$V(f)$的平滑点意味着$f_i(a) \neq 0$是$i>1$。我们可以选择$\alpha \in \bar{K}$，使得$f_i \in K(\alpha)\left[x_1, \ldots, x_n\right]$适用于所有$i$。既然$f_1 \notin K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$存在$\sigma \in \operatorname{Gal}_K(K(\alpha))$，那么$\sigma\left(f_1\right) \neq f_1$。

但是$\sigma(f)=f=\sigma\left(f_1\right) \cdot \ldots \cdot \sigma\left(f_t\right)$意味着存在$i \neq 1$使得$\sigma\left(f_1\right)=c \cdot f_i$对于某个非零常数$c \in K(\alpha)$。
这意味着$0=\sigma\left(f_1(a)\right)=c \cdot f_i(a)$，这是一个矛盾。我们得到$t=1$和$f$是绝对不可约的。
如果我们将定理应用到$K(\alpha)$，我们得到:
推论B.7.2。设$f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$不可约，$\alpha \in \bar{K}$和$a \in$$K(\alpha)^n$为$V(f) \subseteq \bar{K}^n$的光滑点，则在$K(\alpha)$上定义了至少一个$f$的绝对不可约因子。

对于$f$不可约，在$K(\alpha)^n$中不难找到$\alpha$和平滑点$V(f)$(使用引理B.6.8)。我们推导出对于不可约$f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, $\operatorname{deg}_{x_n}(f)>0, f\left(a, x_n\right)$对几乎所有$a \in K^{n-1}$都是无平方的。

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