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## 数学代写|实分析代写Real analysis代考|MTH3140 Intermediate Value Theorem for Derivatives

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## 数学代写|实分析代写Real analysis代考|Intermediate Value Theorem for Derivatives

Our second important result of this section, due to Jean Gaston Darboux (1842-1917), is the intermediate value theorem for derivatives. The remarkable aspect of this theorem is that the hypothesis does not require continuity of the derivative. If the derivative were continuous, then the result would follow from Theorem 4.2.11 applied to $f^{\prime}$.

THEOREM 5.2.13 (Intermediate Value Theorem for Derivatives) Suppose $I \subset \mathbb{R}$ is an interval and $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is differentiable on $I$. Then given $a, b$ in $I$ with $a<b$ and a real number $\lambda$ between $f^{\prime}(a)$ and $f^{\prime}(b)$, there exists $c \in(a, b)$ such that $f^{\prime}(c)=\lambda$.

Proof. Define $g$ by $g(x)=f(x)-\lambda x$. Then $g$ is differentiable on $I$ with $g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\lambda$.

Suppose $f^{\prime}(a)<\lambda0$. As in the remark following Theorem 5.2.9, since $g^{\prime}(a)<0$ there exists an $x_{1}>a$ such that $g\left(x_{1}\right)0$, there exists an $x_{2}<b$ such that $g\left(x_{2}\right)<g(b)$. As a consequence, $g$ has an absolute minimum at some point $c \in(a, b)$. But then
$$g^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)-\lambda=0,$$
i.e., $f^{\prime}(c)=\lambda$.
The previous theorem is often used in calculus to determine where a function is increasing or decreasing. Suppose it has been determined that the derivative $f^{\prime}$ is zero at $c_{1}$ and $c_{2}$ with $c_{1}<c_{2}$, and that $f^{\prime}(x) \neq 0$ for all $x \in\left(c_{1}, c_{2}\right)$. Then by the previous theorem, it suffices to check the sign of the derivative at a single point in the interval $\left(c_{1}, c_{2}\right)$ to determine whether $f^{\prime}$ is positive or negative on the whole interval $\left(c_{1}, c_{2}\right)$. Theorem $5.2 .9$ then allows us to determine whether $f$ is increasing or decreasing on $\left(c_{1}, c_{2}\right)$.

## 数学代写|实分析代写Real analysis代考|Inverse Function Theorem

We conclude this section with the following version of the inverse function theorem.

THEOREM 5.2.14 (Inverse Function Theorem) Suppose $I \subset \mathbb{R}$ is an interval and $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is differentiable on $I$ with $f^{\prime}(x) \neq 0$ for all $x \in I$. Then $f$ is one-to-one on $I$, the inverse function $f^{-1}$ is continuous and differentiable on $J=f(I)$ with
$$\left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(x))=\frac{1}{f^{\prime}(x)}$$
for all $x \in I$.
Proof. Since $f^{\prime}(x) \neq 0$ for all $x \in I$, by Theorem 5.2.13, $f^{\prime}$ is either positive on $I$, or negative on $I$. Assume that $f^{\prime}(x)>0$ for all $x \in I$. Then by Theorem $5.2 .9, f$ is strictly increasing on $I$ and by Theorem 4.4.12 $f^{-1}$ is continuous on $J=f(I)$.

It remains to be shown that $f^{-1}$ is differentiable on $J$. Let $y_{o} \in J$, and let $\left{y_{n}\right}$ be any sequence in $J$ with $y_{n} \rightarrow y_{o}$, and $y_{n} \neq y_{o}$ for all $n$. For each $n$, there exists $x_{n} \in I$ such that $f\left(x_{n}\right)=y_{n}$. Since $f^{-1}$ is continuous, $x_{n} \rightarrow x_{o}=f^{-1}\left(y_{o}\right)$. Hence
\begin{aligned} \lim {n \rightarrow \infty} \frac{f^{-1}\left(y{n}\right)-f^{-1}\left(y_{o}\right)}{y_{n}-y_{o}} &=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{x{n}-x_{o}}{f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{o}\right)} \ &=\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{o}\right)} \end{aligned}

Since this holds for any sequence $\left{y_{n}\right}$ with $y_{n} \rightarrow y_{o}, y_{n} \neq y_{o}$, by Theorem 4.1.3 and the definition of the derivative
$$\left(f^{-1}\right)^{\prime}\left(y_{o}\right)=\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{o}\right)} .$$
Remark. The hypothesis that $f^{\prime}(x) \neq 0$ for all $x \in I$ is crucial. For example, the function $f(x)=x^{3}$ is strictly increasing on $[-1,1]$ with $f^{\prime}(0)=0$. The inverse function $f^{-1}(y)=y^{1 / 3}$ however is not differentiable at $y=0$.

## 数学代写|实分析代写Real analysis代考|Intermediate Value Theorem for Derivatives

$$g^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)-\lambda=0$$
$\mathrm{IE}{\text {。 }} f^{\prime}(c)=\lambda$ 前面的定理经常在微积分中用于确定函数在哪里增加或减少。假设已经确定导数 $f^{\prime}$ 为雪时 $c{1}$ 和 $c_{2}$ 和 $c_{1}<c_{2}$ ，然后 $f^{\prime}(x) \neq 0$ 对所 有人 $x \in\left(c_{1}, c_{2}\right)$. 然后根据前面的定理，在区间中的单个点检育导数的符号就足够了 $\left(c_{1}, c_{2}\right)$ 来确定是否 $f^{\prime}$ 在整个区间上为正或负
$\left(c_{1}, c_{2}\right)$. 定理 $5.2 .9$ 然后允许我们确定是否 $f$ 㘿加或减少 $\left(c_{1}, c_{2}\right)$.

## 数学代写|实分析代写Real analysis代考|Inverse Function Theorem

$$\left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(x))=\frac{1}{f^{\prime}(x)}$$

$$\lim n \rightarrow \infty \frac{f^{-1}(y n)-f^{-1}\left(y_{o}\right)}{y_{n}-y_{o}}=\lim n \rightarrow \infty \frac{x n-x_{o}}{f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{o}\right)} \quad=\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{o}\right)}$$

$$\left(f^{-1}\right)^{\prime}\left(y_{o}\right)=\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{o}\right)}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|实分析代写Real analysis代写|MTH3140 Continuity and Compactness

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## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Continuity and Compactness

We now consider several consequences of continuity. In our first result we prove that the continuous image of a compact set is compact. In the proof of the theorem we only use continuity and the definition of a compact set. For subsets of $\mathbb{R}$, an alternate proof using the Heine-Borel-Bolzano-Weierstrass theorem (Theorem 2.4.2) is suggested in the exercises (Exercise 25).

If $K$ is a compact subset of a metric space $X$ and if $f: K \rightarrow \mathbb{R}$ is continuous on $K$, then $f(K)$ is compact.

Proof. Let $\left{V_{\alpha}\right}_{\alpha \in A}$ be an open cover of $f(K)$. Since $f$ is continuous on $K$, $f^{-1}\left(V_{\alpha}\right)$ is open in $K$ for every $\alpha \in A$. By Theorem $2.2 .23$, for each $\alpha$ there exists an open subset $U_{\alpha}$ of $X$ such that
$$f^{-1}\left(V_{\alpha}\right)=K \cap U_{\alpha} .$$

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Intermediate Value Theorem

The following theorem is attributed to both Bolzano and Cauchy. Cauchy however implicitly assumed the completeness of $\mathbb{R}$ in his proof, whereas the proof by Bolzano (given below) uses the least upper bound property. An alternate proof is outlined in the miscellaneous exercises.

(Intermediate Value Theorem) Let $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous. Suppose $f(a)<f(b)$. If $\gamma$ is a number satisfying
$$f(a)<\gamma<f(b),$$
then there exists $c \in(a, b)$ such that $f(c)=\gamma$.

F−1(在一个)=ķ∩在一个.

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Intermediate Value Theorem

(中值定理) 让F:[一个,b]→R是连续的。认为F(一个)<F(b). 如果C是一个满足的数
F(一个)<C<F(b),

## 计量经济学代写

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。