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复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为。
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In Chapter 7, we have studied many basic and important properties of functions analytic in a region. In this chapter, we continue to study deeper properties of analytic functions and we just state the properties without going into greater detail. For proofs of these theorems in this chapter, please read $[4$, Chap. 4], $[5$, Chap. 7], [9, Chap. VI $],[11$, Chap. VI and VII $],[14$, Chap. VIII, IX and X], [16, Chap. 5] and [35, $\S 2.5]$.
Of course, we recall that $\Omega$ and $U$ always denote a region and the unit disc $D(0 ; 1)$ respectively.
Theorem 8.3 (The Schwarz Reflection Principle). Suppose that $f \in H\left(\Omega^{+}\right), f$ can be extended continuously to $\ell$ and $f(x) \in \mathbb{R}$ for all $x \in \ell$. Then there exists an $F \in H(\Omega)$ such that
$$
F=f
$$
on $\Omega^{+}$and this $F$ satisfies the relation
$$
F(z)=\overline{f(\bar{z})}=\overline{F(\bar{z})}
$$
for every $z \in \Omega^{-}$.
Theorem 8.3 (The Schwarz Reflection Principle) can be applied to other situations with respect to analytic arc. See the discussion in [5, pp. 102, 103], $[14$, pp. $284-286],[19$, p. 96] and [31, Exercise 2, p. 293]. For convenience, we quote the Schwarz Reflection Principle for $U$ from [40, Lemma 14.2, pp. 415,416$]$ :
Theorem 8.4 (The Schwarz Reflection Principle for $U$ ). Every $\mathrm{e}^{i t} \in L \subseteq C(0 ; 1)$ is the center of an open disc $D_{t}$ such that $D_{t} \cap U$ lies in $\Omega$. Denote $\Omega^{}$ to be the reflection of $\Omega$, i.e., $$ \Omega^{}=\left{z \in \mathbb{C} \mid z^{}=\frac{1}{\bar{z}} \in \Omega\right} . $$ Suppose that $f \in H(\Omega)$ and $\operatorname{Im} f\left(z_{n}\right) \rightarrow 0$ for every sequence $\left{z_{n}\right}$ in $\Omega$ which converges to a point of $L$. Then there exists a function $F$, analytic in the set $\Omega \cup L \cup \Omega^{}$, such that
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Applications of the Open Mapping Theorem
( ) Let $f \in H(\Omega)$ and $f^{2}(z)=\overline{f(z)}$ for all $z \in \Omega$. Prove that $f$ is constant on $\Omega$.
Proof. The hypothesis ensures that $F=f^{3} \in H(\Omega)$. Thus for every $z \in \Omega$, we have
$$
F(z)=f^{2}(z) \times f(z)=\overline{f(z)} \times f(z)=|f(z)|^{2}
$$
on $\Omega$. Consequently, $F(\Omega) \subseteq \mathbb{R}$ and Theorem $8.1$ (The Open Mapping Theorem) asserts that $F(\Omega)$ must be a single point, i.e., $f^{3}(z)=F(z)=\alpha$ for some $\alpha \in \mathbb{C}$ and all $z \in \mathbb{C}$.
Denote $\omega=e^{\frac{2 \pi i}{3}}$. Then we have
$$
f(\Omega) \subseteq\left{|\alpha|^{\frac{1}{3}}, \omega|\alpha|^{\frac{1}{3}}, \omega^{2}|\alpha|^{\frac{1}{3}}\right},
$$
so $f(\Omega)$ is a finite set. By Theorem $8.1$ (The Open Mapping Theorem) again, $f(\Omega)$ must be infinite, a contradiction. This forces that $f$ is a constant, as required. This completes the proof of the problem.
复分析代写
数学代写|珢分析代写Complex analysis代考|Fundamental Concepts
在第 7 章中，我们研究了一个区域中函数分析的许多基本和重要性质。在本章中，我们将继续研究解析函数的更深层次的性质，
我们只是陈述这些性质而没有进行更详细的说明。有关本章中这些定理的证明，请阅读 $[4 ，$ 章。4],[5，章。7]，[9，第一章。六 ], [11，章。六和七], [14，章。VIII、 IX 和 X ]， [16， Chap. 5] 和 $[35, \S 2.5]$.
当然，我们记得 $\Omega$ 和 $U$ 总是表示一个区域和单位圆盘 $D(0 ; 1)$ 分别。
定理 $8.3$ (施瓦莈反射原理) 。假设 $f \in H\left(\Omega^{+}\right), f$ 可以连陸扩展到 $($ 和 $f(x) \in \mathbb{R}$ 对所有人 $x \in \ell$. 那存在一个 $F \in H(\Omega)$ 这样
$$
F=f
$$
上 $\Omega^{+}$和这个 $F$ 满足关系
$$
F(z)=\overline{f(\bar{z})}=\overline{F(\bar{z})}
$$
对于每个 $z \in \Omega^{-}$.
定理 $8.3$ (施瓦茨反射原理) 可以应用于解折弧的其他情况。参见 [5, pp. 102, 103] 中的讨论， [14，页。 $284-286],[19$ ，
页。96] 和 [31，练习2，p。293]。为方便起见，我们引用 Schwarz 反射原埋 $U$ 来自 [40，引理 14.2，第 415,416 页] :
定理 $8.4$ (施瓦茨反射原理 $U$ )。每一个 $\mathrm{e}^{i t} \in L \subseteq C(0 ; 1)$ 是一个开放圆盘的中心 $D_{t}$ 这样 $D_{t} \cap U$ 在于 $\Omega$. 表示 $\Omega$ 成为反映 $\Omega$ ，
那是，
\left 的分隔符竾失或无法识别
假设 $f \in H(\Omega)$ 和 $\operatorname{Im} f\left(z_{n}\right) \rightarrow 0$ 对于每个序列 \left 的分隔符缺失或无法识别
在 $\Omega$ 收敛到一点 $L$. 那么存在一
个函数 $F$, 在隹合中解析 $\Omega \cup L \cup \Omega$, , 这样
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Applications of the Open Mapping Theorem
() 让 $f \in H(\Omega)$ 和 $f^{2}(z)=\overline{f(z)}$ 对所有人 $z \in \Omega$. 证明 $f$ 是恒定的 $\Omega$.
证明。该假设确保 $F=f^{3} \in H(\Omega)$. 因此对于每个 $z \in \Omega$ ，我们有
$$
F(z)=f^{2}(z) \times f(z)=\overline{f(z)} \times f(z)=|f(z)|^{2}
$$
上 $\Omega$. 最后， $F(\Omega) \subseteq \mathbb{R}$ 和定理 $8.1$ (开放映射定理) 断言 $F(\Omega)$ 必须是一个点，即 $f^{3}(z)=F(z)=\alpha$ 对于一些 $\alpha \in \mathbb{C}$ 和所有 $z \in \mathbb{C}$
表示 $\omega=e^{\frac{2 \pi i}{3}}$.然后我们有
\left 的分隔符秓失或无法识别
所以 $f(\Omega)$ 是一个有限集。按定理8.1 (开放映射定理) 再次， $f(\Omega)$ 一定是无限的，矛盾的。这伯使 $f$ 是一个常数，根据需要。这 样就完成了问题的证明。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。