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## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|The Ehrenfest Relations

Let us continue with a single particle moving in 3-dimensional space under the influence of the potential $V(\mathbf{x}, t)$. The Hamiltonian is Eq. (47). Let us work out the Heisenberg equations of motion (22) for the position $\mathrm{x}$ and momentum $\mathbf{p}$. Neither of these operators has any explicit time dependence, so the equations of motion are
$$\begin{gathered} \dot{\mathbf{x}}=-\frac{i}{\hbar}[\mathbf{x}, H] \ \dot{\mathbf{p}}=-\frac{i}{\hbar}[\mathbf{p}, H] \end{gathered}$$
We omit the $H$-subscripts, but these operators are in the Heisenberg picture. The commutators can be evaluated with the help of the results of Prob. 4.4.
The result is
\begin{aligned} & \dot{\mathbf{x}}=\frac{\mathbf{p}}{m}, \ & \dot{\mathbf{p}}=-\nabla V(\mathbf{x}, t) . \end{aligned}

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Particles in Electromagnetic Fields

Let us now consider a single particle of charge $q$ moving in an electromagnetic field, which for generality we allow to be time-dependent. The fields are given in terms of the scalar potential $\Phi$ and the vector potential $\mathbf{A}$ by
\begin{aligned} & \mathbf{E}=-\nabla \Phi-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \ & \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A} \end{aligned}

The classical equations of motion are expressed in terms of $\mathbf{E}$ and $\mathbf{B}$,
$$m \mathbf{a}=q\left[\mathbf{E}(\mathbf{x}, t)+\frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{x}, t)\right]$$
where $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}$ and $\mathbf{a}=\ddot{\mathbf{x}}$. But the classical Hamiltonian requires the use of the potentials $\Phi$ and $\mathbf{A}$,
$$H=\frac{1}{2 m}\left[\mathbf{p}-\frac{q}{c} \mathbf{A}(\mathbf{x}, t)\right]^2+q \Phi(\mathbf{x}, t)$$
which is a single-particle version of Eq. (B.86). The momentum p appearing here is the canonical momentum, related to the velocity by
$$\mathbf{p}=m \mathbf{v}+\frac{q}{c} \mathbf{A}(\mathbf{x}, t)$$
which is not to be confused with the kinetic momentum $\mathbf{p}_{\text {kin }}=m \mathbf{v}$. In the presence of a magnetic field, these two momenta are not the same. See the discussion in Sec. B.11. Because of the relationship (70), the first major term of the Hamiltonian (69) is just the kinetic energy, (1/2) $m v^2$, albeit written in a complicated way.

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|The Ehrenfest Relations

$$\dot{\mathbf{x}}=-\frac{i}{\hbar}[\mathbf{x}, H] \dot{\mathbf{p}}=-\frac{i}{\hbar}[\mathbf{p}, H]$$

$$\dot{\mathbf{x}}=\frac{\mathbf{p}}{m}, \quad \dot{\mathbf{p}}=-\nabla V(\mathbf{x}, t)$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Particles in Electromagnetic Fields

$$\mathbf{E}=-\nabla \Phi-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$$

$$m \mathbf{a}=q\left[\mathbf{E}(\mathbf{x}, t)+\frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{x}, t)\right]$$

$$H=\frac{1}{2 m}\left[\mathbf{p}-\frac{q}{c} \mathbf{A}(\mathbf{x}, t)\right]^2+q \Phi(\mathbf{x}, t)$$

$$\mathbf{p}=m \mathbf{v}+\frac{q}{c} \mathbf{A}(\mathbf{x}, t)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Time Evolution of the Density Operator

Equation (14), the Schrödinger equation, gives the time evolution of the state vector in quantum mechanics. As we have seen in Notes 3, however, the state of a quantum system is described in general by a density operator, not a state vector. Therefore we require an equation of evolution for the density operator. We work here in the Schrödinger picture, and consider the density operator for a discrete ensemble of pure states $\left|\psi_i\right\rangle$ with statistical weights $f_i$, as in Eq. (3.16). The density operator $\hat{\rho}$ is a function of time because the states $\left|\psi_i\right\rangle$ are functions of time. We put a hat on $\hat{\rho}$ to distinguish it from the classical density $\rho$ discussed in Sec. B.24.
At the initial time $t_0$ the density operator is given by
$$\hat{\rho}\left(t_0\right)=\sum_i f_i\left|\psi_i\left(t_0\right)\right\rangle\left\langle\psi_i\left(t_0\right)\right|,$$
while at the final time it is
\begin{aligned} \hat{\rho}(t) & =\sum_i f_i\left|\psi_i(t)\right\rangle\left\langle\psi_i(t)\right|=U\left(t, t_0\right)\left(\sum_i f_i\left|\psi_i\left(t_0\right)\right\rangle\left\langle\psi_i\left(t_0\right)\right|\right) U\left(t, t_0\right)^{\dagger} \ & =U\left(t, t_0\right) \hat{\rho}\left(t_0\right) U\left(t, t_0\right)^{\dagger} \end{aligned}

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Commutators and Poisson Brackets

Comparing the quantum equations (22) and (33) with their classical counterparts (B.101) and (B.112), respectively, we see that one goes into the other if we map commutators into Poisson brackets according to the rule,
$$[A, B] \rightarrow i \hbar{A, B}$$
This association was first noticed by Dirac, and it helped him to establish the formal structure of quantum mechanics on the classical model. In important cases it is an exact correspondence, that is, quantum commutators are the same as classical Poisson brackets, apart from the factor $i \hbar$ and a reinterpretation of the symbols as operators (quantum observables) instead of classical observables. Compare, for example, the classical canonical Poisson bracket relations (B.108) with the HeisenbergBorn commutation relations (4.69). Another example is the classical Poisson bracket relations for the components of orbital angular momentum, $\mathbf{L}=\mathbf{x} \times \mathbf{p}$,
$$\left{L_i, L_j\right}=\epsilon_{i j k} L_k$$
which may be compared to the quantum commutation relations for the components of the angular momentum operator,
$$\left[L_i, L_j\right]=i \hbar \epsilon_{i j k} L_k .$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Time Evolution of the Density Operator

$$\hat{\rho}\left(t_0\right)=\sum_i f_i\left|\psi_i\left(t_0\right)\right\rangle\left\langle\psi_i\left(t_0\right)\right|$$

$$\hat{\rho}(t)=\sum_i f_i\left|\psi_i(t)\right\rangle\left\langle\psi_i(t)\right|=U\left(t, t_0\right)\left(\sum_i f_i\left|\psi_i\left(t_0\right)\right\rangle\left\langle\psi_i\left(t_0\right)\right|\right) U\left(t, t_0\right)^{\dagger} \quad=U\left(t, t_0\right) \hat{\rho}\left(t_0\right) U\left(t, t_0\right)^{\dagger}$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Commutators and Poisson Brackets

$$[A, B] \rightarrow i \hbar A, B$$

〈left 缺少或无法识别的分隔符

$$\left[L_i, L_j\right]=i \hbar \epsilon_{i j k} L_k \text {. }$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Multiparticle Wave Functions

In a system of $N$ particles, the positions of the individual particles are independent observables that commute with one another, so a complete set (ignoring spin for now) consists of the operators $\left(\hat{\mathbf{x}}_1, \ldots, \hat{\mathbf{x}}_N\right)$, with eigenvalues $\left(\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_N\right)$. In this case the wave function is defined by
$$\psi\left(\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_N\right)=\left\langle\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_N \mid \psi\right\rangle$$
The wave function is defined over configuration space, that is, the space in which a single point specifies the positions of all the particles. This is the same configuration space as in classical mechanics, which is discussed in Sec. B.3. Configuration space coincides with physical space only in the case of a single particle. Similarly, one can define a multiparticle, momentum space wave function $\phi\left(\mathbf{p}_1, \ldots, \mathbf{p}_N\right)$.

If one is careful about the application of the postulates of quantum mechanics, one will see certain subtleties in the derivation of Eq. (89) in the case of identical particles. We will examine this question more carefully in Notes 29.

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|The Sign of i

The following is a remark concerning the the definition of $\hat{\mathbf{k}}$ in Eq. (30), which led to the definition of momentum in Eq. (65). We split off a factor of $i$ in Eq. (30) to make $\hat{\mathbf{k}}$ Hermitian, but the same would have been achieved if we had split off $-i$ (thereby changing the definition of $\hat{\mathbf{k}}$ by a sign). This would lead to the opposite sign in the definition of $\hat{\mathbf{p}}$, and changes in signs in many of the subsequent formulas. Would this change lead to any physical consequences or contradictions with experiment?

The answer is no, but it would change most of the familiar formulas in quantum mechanics, by replacing $i$ by $-i$. For example, a plane wave with wave vector $\mathbf{k}$ would become $e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}$ instead of the usual $e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}$. It is a matter of convention to choose the sign of $i$ in quantum mechanics, and our choice has been made in Eqs. (30) and (65). Once this choice has been made, however, then the sign of the Pauli matrix $\sigma_y$ is determined, so that spin angular momentum has the same commutation relations as orbital angular momentum. This was a question addressed in Prob. 3.2(d).

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Multiparticle Wave Functions

$$\psi\left(\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_N\right)=\left\langle\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_N \mid \psi\right\rangle$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

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## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Addition of angular momentum

In many physical applications one needs to consider combining the angular momenta of two or more parts of the system. In classical physics this is done by the adding the vectors that represent the angular momenta of the various parts. For example the total angular momentum of the Earth orbiting around the sun is obtained by adding the spin of the Earth around itself to the orbital angular momentum for rotating around the sun. How is this done in quantum mechanics? We must answer this question in order to understand a host of problems in quantum systems such as atoms, molecules, solids, nuclei, particles composed of quarks, scattering, etc., where the spins of particles must be combined with their orbital angular momenta, and the total angular momentum of the system is obtained by adding all the spins and all the orbital angular momenta.

To understand the process of addition of angular momentum it may be helpful to first consider the addition of ordinary linear momentum. Thus consider two particles (or two parts of a system) that have momenta $\mathbf{p}_1$ and $\mathbf{p}_2$. In classical physics the total momentum of the system is $\mathbf{p}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2$. In quantum mechanics each particle is described by a state $\left|\mathbf{k}_1\right\rangle,\left|\mathbf{k}_2\right\rangle$ labelled with the eigenvalues of the commuting operators $\mathbf{p}_1 \rightarrow \hbar \mathbf{k}_1, \mathbf{p}_2 \rightarrow \hbar \mathbf{k}_2$. The total system is described by the direct product state
$$\left|\mathbf{k}_1\right\rangle \otimes\left|\mathbf{k}_2\right\rangle \equiv\left|\mathbf{k}_1, \mathbf{k}_2\right\rangle .$$
When a function of the operators $f\left(\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\right)$ acts on the direct product state, each operator acts on its corresponding label, leaving the other label untouched. In particular, the total momentum operator $\mathbf{p}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2$ may act on this state, and pick up an overall eigenvalue $\mathbf{p} \rightarrow \hbar \mathbf{k}_1+\hbar \mathbf{k}_2=\hbar \mathbf{k}$. Thus, the state $\left|\mathbf{k}_1, \mathbf{k}_2\right\rangle$ is already an eigenstate of the total momentum, and therefore, it is possible to relabel it in terms of total angular momentum, plus other labels corresponding to the eigenvalues of operators that commute with the total momentum operator $\mathbf{p}$ (e.g. relative angular momentum, if this is convenient for the application)
$$\left|\mathbf{k}_1\right\rangle \otimes\left|\mathbf{k}_2\right\rangle \equiv\left|\mathbf{k}_1, \mathbf{k}_2\right\rangle=|\mathbf{k}, \cdots\rangle$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Total angular momentum

Consider two rotating systems with angular momentum operators $\mathbf{J}$ (1) and $\mathbf{J}$ (2) respectively. Some examples are: the orbital angular momentum of an electron $\mathbf{J}^{(1)}=\mathbf{L}$ and its spin $\mathbf{J}^{(2)}=\mathbf{S}$, the spins of two electrons in a multi-electron atom $\mathbf{J}^{(1)}=\mathbf{S}^{(1)}, \mathbf{J}^{(2)}=\mathbf{S}^{(2)}$, etc. The commutation rules are
\begin{aligned} & {\left[J_i^{(1)}, J_j^{(1)}\right]=i \hbar \varepsilon_{i j k} J_k^{(1)}} \ & {\left[J_i^{(2)}, J_j^{(2)}\right]=i \hbar \varepsilon_{i j k} J_k^{(2)}} \ & {\left[J_i^{(1)}, J_j^{(2)}\right]=0} \end{aligned}

Each system is described by a state $\left|j_1 m_1,\right\rangle,\left|j_2 m_2\right\rangle$, while the combined system has the direct product state
$$\left|j_1 m_1\right\rangle \otimes\left|j_2 m_2\right\rangle \equiv\left|j_1 m_1 j_2 m_2\right\rangle$$
We will study how to express this state in terms of total angular momentum states, where the definition of total angular momentum is consistent with classical mechanics $\mathbf{J}=\mathbf{J}^{(1)}+\mathbf{J}^{(2)}$.

How does the state $\left|j_1 m_1 j_2 m_2\right\rangle$ rotate? This must be obtained from the rotation of each part, thus
\begin{aligned} \left|j_1 m_1\right\rangle^{\prime} \otimes\left|j_2 m_2\right\rangle^{\prime} & \left.=e^{-\frac{i}{\hbar} \mathbf{J}^{(1)} \cdot \omega} \cdot j_1 m_1\right\rangle \otimes e^{-\frac{i}{\hbar} \cdot \mathbf{J}^{(2)} \cdot \boldsymbol{\omega}}\left|j_2 m_2\right\rangle \ & \equiv\left(e^{-\frac{i}{h} \mathbf{J}^{(1)} \cdot \omega} e^{-\frac{i}{\hbar} \mathbf{J}^{(2)} \cdot \omega}\right)\left|j_1 m_1, j_2 m_2\right\rangle \end{aligned}
where in the second line each operator $\mathbf{J}^{(1)}, \mathbf{J}^{(2)}$ is understood to act on the corresponding labels (1 or 2), leaving the others untouched. Note that the same rotation angles $\boldsymbol{\omega}$ must appear in each exponent since the same rotation is applied on the entire system. The exponents may be combined because $\left[\mathbf{J}^{(1)}, \mathbf{J}^{(2)}\right]=0$,
$$\left(e^{-\frac{i}{\hbar} \mathbf{J}^{(1)} \cdot \boldsymbol{\omega}} e^{-\frac{i}{\hbar} \mathbf{J}^{(2)} \cdot \boldsymbol{\omega}}\right)=e^{-\frac{i}{\hbar}\left(\mathbf{J}^{(1)}+\mathbf{J}^{(2)}\right) \cdot \boldsymbol{\omega}}$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Total angular momentum

$$\left|j_1 m_1\right\rangle \otimes\left|j_2 m_2\right\rangle \equiv\left|j_1 m_1 j_2 m_2\right\rangle$$

$$\left(e^{-\frac{i}{h} \mathbf{J}^{(1)} \cdot \boldsymbol{\omega}} e^{-\frac{i}{h} \mathbf{J}^{(2)} \cdot \boldsymbol{\omega}}\right)=e^{-\frac{i}{\hbar}\left(\mathbf{J}^{(1)}+\mathbf{J}^{(2)}\right) \cdot \boldsymbol{\omega}}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Hydrogen atom

We will consider a hydrogen-like atom consisting of a nucleus with charge $Z e$ and an electron of charge $-e$. The Coulomb potential is attractive and given by
$$V=-\frac{Z e^2}{r}$$
For a bound state the energy is negative $E=-|E|$. It will be convenient to rescale the radial variable $r=r_0 u$ and choose $r_0$ such as to make the energy term equal to $-1 / 4$, that is, $2 \mu E r_0^2 / \hbar^2=-1 / 4$. Then the radial equation takes the form
$$\left(-\partial_u^2+\frac{l(l+1)}{u^2}-\frac{\lambda}{u}+\frac{1}{4}\right) f_{E l}(u)=0$$
where $\lambda=Z e^2 2 \mu r_0 / \hbar^2$. By eliminating $r_0$ we relate the energy and $\lambda$
$$E=-\frac{1}{2 \lambda^2} \mu c^2 Z^2 \alpha^2,$$
where the fine structure constant is used $\alpha=e^2 / \hbar c$. Note also that $r_0$ is related to the Bohr radius $a_0$
$$r_0=\lambda a_0 / 2 Z, \quad a_0=\frac{\hbar^2}{\mu e^2} .$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Problems

1. Using the equations of motion (6.2) or $(6.7)$ prove that all the constants of motion listed in (6.8) are indeed time independent.
2. Using the basic commutation rules in the laboratory frame or in the center of mass frame, show that all the constants of motion listed in (6.8) commute with the Hamiltonian.
3. Using the commutation rules $\left[r_I, p_J\right]=i \hbar \delta_{I J}$ show that the commutation relation among the spherical variables given in Eq. $(6.30)$ follow, while all other commutators among $\left(r, p_r, \mathbf{\Omega}, \mathbf{L}\right)$ vanish.
4. Use the definition of angular momentum $\mathbf{L}_I$ and the unit vector $\boldsymbol{\Omega}_I$ in terms of the original Cartesian operators $\mathbf{r}_I, \mathbf{p}_I$ and, while keeping track of orders of operators, prove the decomposition of the momentum operator into radial and angular parts as given in (6.31).
5. By using the relations in (6.31) prove that the commutation rules for the radial and angular operators given in (6.30) lead to the Cartesian commutation rules $\left[\mathbf{r}I, \mathbf{p}_J\right]=i \hbar \delta{I J}$.
6. Prove the completeness and orthogonality relations for spherical harmonics of eq.(6.85) by using the properties of associated Legendre polynomials.
7. Write out the 7 independent components of the symmetric traceless tensor $T_{I J K}$ explicitly in terms of $(\theta, \phi)$ and compare them to the 7 spherical harmonics $Y_{3 m}$ given by the general formula. Verify that they agree with each other up to a normalization. (You may cut down your work to 4 functions by taking into account complex conjugation).
8. In two dimensions there is only one component of angular momentum $L_0=r_1 p_2-r_2 p_1$ that corresponds to rotations in the $(1,2)$ plane. What is the differential operator form of $L_0$ in cylindrical coordinates, what are its eigenfunctions and eigenvalues, how many states correspond to the same eigenvalue? Analyze the Laplacian in 2 dimensions in cylindrical coordinates (i.e. $\mathbf{p}^2=-\hbar^2 \nabla^2$ ), and find the radial equation. How do your results compare to the general expressions for $d$-dimensions given in the text?
9. In $d$-dimensions the generator of rotations in the $(I, J)$ plane is written as
$$L_{I J}=r_I p_J-r_J p_I, \quad I, J=1,2, \cdots d .$$
• Show that the $L_{I J}$ commute with all dot products constructed from $(\mathbf{r}, \mathbf{p})$.
• Show that the commutators of these operators satisfy the Lie algebra for $S O(d)$ given in Eq. (9.14).

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Hydrogen atom

$$V=-\frac{Z e^2}{r}$$

$$\left(-\partial_u^2+\frac{l(l+1)}{u^2}-\frac{\lambda}{u}+\frac{1}{4}\right) f_{E l}(u)=0$$

$$E=-\frac{1}{2 \lambda^2} \mu c^2 Z^2 \alpha^2,$$

$$r_0=\lambda a_0 / 2 Z, \quad a_0=\frac{\hbar^2}{\mu e^2} .$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Problems

1. 使用运动方程 (6.2) 或 (6.7)证明 (6.8) 中列出的所有运动常数确实与时间无关。
2. 使用实验室坐标系或质心坐标系中的葚本换向规则，证明 (6.8) 中列出的所有运动常数都与哈密顿量涣向。
3. 使用换向规则 $\left[r_I, p_J\right]=i \hbar \delta_{I J}$ 表明等式中给出的球形宍量之间的换向关系。(6.30)跟随，而所有其他换向器之间 $\left(r, p_r, \boldsymbol{\Omega}, \mathbf{L}\right)$ 消失。
4. 使用角动量的定义 $\mathbf{L}_I$ 和单位向量 $\boldsymbol{\Omega}_I$ 就原始笛卡尔算子而言 $\mathbf{r}_I, \mathbf{p}_I$ 并且，在跟踪算子的顺㶦的同时，证明动量算子分解为 (6.31) 中给出的径向和角部分。
5. 利用 (6.31) 中的关系证明 (6.30) 中给出的径向和角度算子的交换规则导出笛卡尔交换规则 $\$ \backslash l$left [$\backslash m a t h b f{r}$，$\mid$mathbf${p}_{-} J \mid$right$]=i \mid$hbar$\mid$delta$\left.{I}\right}$S. 6. 利用相关勒让德多项式的性质证明方程 (6.85) 的球谐函数的完备性和正交性关系。 7. 写出对称无迹张量的7个独立分量$T_{I J K}$明确地在$(\theta, \phi)$并将它们与 7 个球谐函数进行比较$Y_{3 m}$由通式给出。验证它们在归 8. 在二维空间中只有一个角动量弅量$L_0=r_1 p_2-r_2 p_1$对应于旋转$(1,2)$飞机。的微分算子形式是什么$L_0$在圆柱坐标系 中，它的特征函数和特征值是多少，有多少种状态对应于相同的特征值? 在圆柱坐标系中分析二维辡拉斯算子 (即$\mathbf{p}^2=-\hbar^2 \nabla^2$)，求径向方程。你的结果与一般表达式相比如何$d-$文本中给出的尺寸? 9. 在$d-$维度中的旋转生成器$(I, J)$飞机写成 $$L_{I J}=r_I p_J-r_J p_I, \quad I, J=1,2, \cdots d .$$ • 表明$L_{I J}$与从构造的所有点积通勤$(\mathbf{r}, \mathbf{p})$. • 证明这些算子的交换子满足李代数$S O(d)$在等式中给出。(9.14)。 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考 请认准UprivateTA™. 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For example, neglecting the overall normalization one can verify that for$l=1$the$Y_{1 m}are rewritten as \begin{aligned} Y_{10} & \sim \cos \theta=\frac{z}{r}=\mathbf{\Omega}3 \equiv \mathbf{\Omega}_0 \ Y{1, \pm 1} & \sim \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta e^{\pm i \theta}=\frac{x \pm i y}{r \sqrt{2}}=\frac{\mathbf{\Omega}1 \pm i \mathbf{\Omega}_2}{\sqrt{2}} \equiv \boldsymbol{\Omega}{\pm} \end{aligned} Thus, one may think ofY_{1 m}$as the 3 components of the vector$\boldsymbol{\Omega}I$taken in the basis$I=(+, 0,-)$instead of the conventional cartesian basis labelled by$1,2,3$. The relation between the bases$(1,2,3)$and$(+, 0,-)$is given by the unitary transformation$U$that satisfies$U U^{\dagger}=1as follows \begin{aligned} & \left(\begin{array}{c} \boldsymbol{\Omega}{+} \ \boldsymbol{\Omega}0 \ \boldsymbol{\Omega}{-} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-i}{\sqrt{2}} & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{\Omega}1 \ \boldsymbol{\Omega}_2 \ \boldsymbol{\Omega}_3 \end{array}\right) \ & \left(\begin{array}{l} \boldsymbol{\Omega}_1 \ \boldsymbol{\Omega}_2 \ \boldsymbol{\Omega}_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \ -\frac{i}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} \ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{\Omega}{+} \ \boldsymbol{\Omega}0 \ \boldsymbol{\Omega}{-} \end{array}\right) \end{aligned} ## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Radial & angular equations in d-dims It is possible to generalize all the results tod$-dimensions by following the general operator approach. In$d$-dimensions the generator of rotations in the$(I, J)$plane is written as $$L_{I J}=r_I p_J-r_J p_I, \quad I, J=1,2, \cdots d .$$ The$L_{I J}$commute with all dot products constructed from$(\mathbf{r}, \mathbf{p})$. The commutators of these operators close into the same set (see problem) $$\left[L_{I J}, L_{K L}\right]=\delta_{J K} L_{I L}-\delta_{I K} L_{J L}-\delta_{I L} L_{J K}+\delta_{J L} L_{I K} .$$ This set of commutation rules is the Lie algebra for$S O(d)$. Note that the$3-$dimensional case is a special case that permits the rewriting in terms of the familiar$L_{1,2,3}$as$L_{I J}=\epsilon_{I J K} L_K. The quadratic Casimir operator is defined by \begin{aligned} L^2 & =\frac{1}{2} \sum_{I, J=1}^d L_{I J}^2 \ & =\mathbf{r}^2 \mathbf{p}^2-(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p})(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r})-2 i \hbar \mathbf{r} \cdot \mathbf{p} \end{aligned} Since it is constructed from dot products it must commute with allL_{I J}$; this result may also be verified abstractly by only using the commutation rules of the$S O(d)$Lie algebra. The combination$(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p})(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r})+2 i \hbar \mathbf{r} \cdot \mathbf{p}$may be rewritten in terms of the Hermitian operator$p_r=\sum_I\left(\frac{1}{r} r_I p_I+p_I r_I \frac{1}{r}\right)$and then solve for$\mathbf{p}^2$in the form (see problem) $$\mathbf{p}^2=p_r^2+\frac{1}{r^2}\left[L^2+\frac{\hbar^2}{4}(d-1)(d-3)\right] .$$ ## 量子力学代写 ## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Tensors and spherical harmonics 了解以下内容也很有用$Y_{l m}$代表秩张量$l$, 由单位向量构成$\Omega$. 例如，忽略整体归一化可以验证对于$l=1$这$Y_{1 m}$被重写为 $$Y_{10} \sim \cos \theta=\frac{z}{r}=\boldsymbol{\Omega} 3 \equiv \boldsymbol{\Omega}0 Y 1, \pm 1 \quad \sim \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta e^{\pm i \theta}=\frac{x \pm i y}{r \sqrt{2}}=\frac{\boldsymbol{\Omega} 1 \pm i \boldsymbol{\Omega}_2}{\sqrt{2}} \equiv \boldsymbol{\Omega} \pm$$ 因此，人们可能会想到$Y{1 m}$作为向量的 3 个分量$\Omega I$采取的甚础$I=(+, 0,-)$而不是标记为的传统笛卡尔甚$1,2,3$. 碱基之间的 关系$(1,2,3)$和$(+, 0,-)$由酉音抬给出$U$满足$U U^{\dagger}=1$如下 ## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Radial \& angular equations in d-dims 可以将所有结果推广到$d-$䢙循一般操作员方法的尺寸。在$d$– 维度中的放转生成器$(I, J)$飞机写成 $$L_{I J}=r_I p_J-r_J p_I, \quad I, J=1,2, \cdots d .$$ 这$L_{I J}$与从构造的所有点积通勤$(\mathbf{r}, \mathbf{p})$. 这些运算符的换向㗁㢺近同一个集合 (见问题) $$\left[L_{I J}, L_{K L}\right]=\delta_{J K} L_{I L}-\delta_{I K} L_{J L}-\delta_{I L} L_{J K}+\delta_{J L} L_{I K} .$$ 这组交换规则是李代数$S O(d)$. 请注意，3-dimensional case 是一种特殊情况，它允许用孰急的术语重写$L_{1,2,3}$作为$L_{I J}=\epsilon_{I J K} L_K$. 二次卡西米尔算子定义为 $$L^2=\frac{1}{2} \sum_{I, J=1}^d L_{I J}^2 \quad=\mathbf{r}^2 \mathbf{p}^2-(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p})(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r})-2 i \hbar \mathbf{r} \cdot \mathbf{p}$$ 因为它是由点积构成的，所以它必须与所有$L_{I J}$；这个結果也可以通过仅使用的换向规则抽冡地验证$S O(d)$谎言代数。 组合$(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p})(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r})+2 i \hbar \mathbf{r} \cdot \mathbf{p}$可以根据 Hermitian 算子重写$p_r=\sum_I\left(\frac{1}{r} r_I p_I+p_I r_I \frac{1}{r}\right)$然后解快$\mathbf{p}^2\$ 在表格中 (见问题)
$$\mathbf{p}^2=p_r^2+\frac{1}{r^2}\left[L^2+\frac{\hbar^2}{4}(d-1)(d-3)\right] .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。