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物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Group theory
A group is a set of elements $\left{g_i\right}$ and a rule $g_i \times g_j=g_k$ which tells how each pair of elements is multiplied to get a third. The rule defines the group, independent of any particular way to write the group elements down as matrices. More precisely, the mathematical definition requires the rule to be associative $\left(g_i \times g_j\right) \times g_k=g_i \times\left(g_j \times g_k\right)$, there to be an identity element for which $\mathbb{1} \times g_i=g_i \times \mathbb{1}=g_i$, and for the group elements to have inverses, $g_i^{-1} \times g_i=1$. A representation is a particular embedding of these $g_i$ into operators that act on a vector space. For finite-dimensional representations, this means an embedding of the $g_i$ into matrices. Often we talk about the vectors on which the matrices act as being the representation, but technically the matrix embedding is the representation. Any group has the trivial representation $r: g_i \rightarrow 1$. A representation in which each group element gets its own matrix is called a faithful representation.
Recall that the Lorentz group is the set of rotations and boosts that preserve the Minkowski metric: $\Lambda^T g \Lambda=g$. The $\Lambda$ matrices in this equation are in the 4-vector representation under which
$$
X_\mu \rightarrow \Lambda_{\mu \nu} X_\nu
$$
Examples of Lorentz transformations are rotations around the $x, y$ or $z$ axes:
$$
\left(\begin{array}{llll}
1 & & & \
& 1 & & \
& & \cos \theta_x & \sin \theta_x \
& & -\sin \theta_x & \cos \theta_x
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}
1 & & & \
& \cos \theta_y & & -\sin \theta_y \
& \sin \theta_y & & \cos \theta_y
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}
1 & & & \
& \cos \theta_z & \sin \theta_z & \
& -\sin \theta_z & \cos \theta_z & \
& & & 1
\end{array}\right)
$$
and boosts in the $x, y$ or $z$ directions:
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
\cosh \beta_x & \sinh \beta_x & & \
\sinh \beta_x & \cosh \beta_x & & \
& & 1 & \
& & & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}
\cosh \beta_y & & \sinh \beta_y & \
& 1 & & \
\sinh \beta_y & & \cosh \beta_y & \
& & & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}
\cosh \beta_z & & & \sinh \beta_z \
& 1 & & \
& & 1 & \
\sinh \beta_z & & & \cosh \beta_z
\end{array}\right) .
$$
These matrices give an embedding of elements of the Lorentz group into a set of matrices. That is, they describe one particular representation of the Lorentz group (the 4-vector representation). We would now like to find all the representations.
物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|General representations of the Lorentz group
The irreducible representations of the Lorentz group can be constructed from irreducible representations of $\mathrm{SU}(2)$. To see how this works, we start with the rotation generators $J_i$ and the boost generators $K_j$. You can think of them as the matrices in Eq. (10.14), which is a particular representation, but the algebraic properties in Eqs. (10.17) to (10.19) are representation independent.
Now take the linear combinations
$$
J_i^{+} \equiv \frac{1}{2}\left(J_i+i K_i\right), \quad J_i^{-} \equiv \frac{1}{2}\left(J_i-i K_i\right)
$$
which satisfy
$$
\begin{aligned}
& {\left[J_i^{+}, J_j^{+}\right]=i \epsilon_{i j k} J_k^{+},} \
& {\left[J_i^{-}, J_j^{-}\right]=i \epsilon_{i j k} J_k^{-},} \
& {\left[J_i^{+}, J_j^{-}\right]=0 .}
\end{aligned}
$$
These commutation relations indicate that the Lie algebra for the Lorentz group has two commuting subalgebras. The algebra generated by $J_i^{+}$(or $J_i^{-}$) is the 3D rotation algebra, which has multiple names, $\operatorname{so}(3)=\operatorname{sl}(2, \mathbb{R})=\operatorname{so}(1,1)=\operatorname{su}(2)$, due to multiple Lie groups having the same algebra. So we have shown that
$$
\operatorname{so}(1,3)=\operatorname{su}(2) \oplus \operatorname{su}(2) .
$$
Thus, representations of $\mathrm{su}(2) \oplus \mathrm{su}(2)$ will determine representations of the Lorentz group.
The decomposition $\mathrm{so}(1,3)=\mathrm{su}(2) \oplus \mathrm{su}(2)$ makes studying the irreducible representations very easy. We already know from quantum mechanics what the representations of $\operatorname{su}(2)$ are, since $\mathrm{su}(2)=3$ ) is the algebra of Pauli matrices, which generates the 3D rotation group $\mathrm{SO}(3)$. Each irreducible representation of $\mathrm{su}(2)$ is characterized by a halfinteger $j$. The representation acts on a vector space with $2 j+1$ basis elements (see Problem 10.2). It follows that irreducible representations of the Lorentz group are characterized by two half-integers: $A$ and $B$. The $(A, B)$ representation has $(2 A+1)(2 B+1)$ degrees of freedom.
量子场论代考
物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Group theory
组是一组元素$\left{g_i\right}$和一条规则$g_i \times g_j=g_k$，该规则告诉我们如何将每对元素相乘以得到第三对元素。这个规则定义了群，与任何将群元素写成矩阵的特定方式无关。更准确地说，数学定义要求规则是结合的$\left(g_i \times g_j\right) \times g_k=g_i \times\left(g_j \times g_k\right)$，有一个单位元素$\mathbb{1} \times g_i=g_i \times \mathbb{1}=g_i$，对于群元素有逆，$g_i^{-1} \times g_i=1$。表示是将这些$g_i$嵌入到作用于向量空间的运算符中。对于有限维表示，这意味着将$g_i$嵌入到矩阵中。我们经常讨论矩阵作为表示法的向量，但从技术上讲，矩阵嵌入才是表示法。任何组都有平凡表示$r: g_i \rightarrow 1$。其中每个群元素都有自己的矩阵的表示称为忠实表示。
回想一下，洛伦兹群是保持闵可夫斯基度规的旋转和推进的集合:$\Lambda^T g \Lambda=g$。这个方程中的$\Lambda$矩阵是4向量表示
$$
X_\mu \rightarrow \Lambda_{\mu \nu} X_\nu
$$
洛伦兹变换的例子是围绕$x, y$或$z$轴的旋转:
$$
\left(\begin{array}{llll}
1 & & & \
& 1 & & \
& & \cos \theta_x & \sin \theta_x \
& & -\sin \theta_x & \cos \theta_x
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}
1 & & & \
& \cos \theta_y & & -\sin \theta_y \
& \sin \theta_y & & \cos \theta_y
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}
1 & & & \
& \cos \theta_z & \sin \theta_z & \
& -\sin \theta_z & \cos \theta_z & \
& & & 1
\end{array}\right)
$$
并在$x, y$或$z$方向上进行提升:
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
\cosh \beta_x & \sinh \beta_x & & \
\sinh \beta_x & \cosh \beta_x & & \
& & 1 & \
& & & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}
\cosh \beta_y & & \sinh \beta_y & \
& 1 & & \
\sinh \beta_y & & \cosh \beta_y & \
& & & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}
\cosh \beta_z & & & \sinh \beta_z \
& 1 & & \
& & 1 & \
\sinh \beta_z & & & \cosh \beta_z
\end{array}\right) .
$$
这些矩阵将洛伦兹群的元素嵌入到矩阵集合中。也就是说，它们描述了洛伦兹群的一种特殊表示(4向量表示)。我们现在想找到所有的陈述。
物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|General representations of the Lorentz group
洛伦兹群的不可约表示可以由$\mathrm{SU}(2)$的不可约表示构造。为了了解这是如何工作的，我们从旋转生成器$J_i$和升压生成器$K_j$开始。你可以把它们想象成方程(10.14)中的矩阵，这是一种特殊的表示，但是方程中的代数性质。(10.17)至(10.19)是独立于表示的。
现在来看线性组合
$$
J_i^{+} \equiv \frac{1}{2}\left(J_i+i K_i\right), \quad J_i^{-} \equiv \frac{1}{2}\left(J_i-i K_i\right)
$$
这就满足了
$$
\begin{aligned}
& {\left[J_i^{+}, J_j^{+}\right]=i \epsilon_{i j k} J_k^{+},} \
& {\left[J_i^{-}, J_j^{-}\right]=i \epsilon_{i j k} J_k^{-},} \
& {\left[J_i^{+}, J_j^{-}\right]=0 .}
\end{aligned}
$$
这些交换关系表明洛伦兹群的李代数有两个交换子代数。由$J_i^{+}$(或$J_i^{-}$)生成的代数是三维旋转代数，它有多个名称$\operatorname{so}(3)=\operatorname{sl}(2, \mathbb{R})=\operatorname{so}(1,1)=\operatorname{su}(2)$，因为多个李群具有相同的代数。我们已经证明了这一点
$$
\operatorname{so}(1,3)=\operatorname{su}(2) \oplus \operatorname{su}(2) .
$$
因此，$\mathrm{su}(2) \oplus \mathrm{su}(2)$的表示将决定洛伦兹群的表示。
分解$\mathrm{so}(1,3)=\mathrm{su}(2) \oplus \mathrm{su}(2)$使得研究不可约表示非常容易。我们已经从量子力学中知道$\operatorname{su}(2)$的表示是什么，因为$\mathrm{su}(2)=3$)是泡利矩阵的代数，它产生了三维旋转群$\mathrm{SO}(3)$。$\mathrm{su}(2)$的每个不可约表示都用半指$j$表示。该表示作用于具有$2 j+1$基元素的向量空间(参见问题10.2)。由此可见，洛伦兹群的不可约表示由两个半整数表征:$A$和$B$。$(A, B)$表示的自由度为$(2 A+1)(2 B+1)$。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
