Tag: PHYS777

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粒子物理Particle Physics夸克不能单独存在，而是形成强子。含有奇数夸克的强子被称为重子，含有偶数夸克的强子被称为介子。两个重子，质子和中子，构成了普通物质的大部分质量。介子是不稳定的，寿命最长的介子只持续了几百分之一微秒的时间。它们发生在由夸克组成的粒子之间的碰撞之后，例如宇宙射线中快速移动的质子和中子。介子也会在回旋加速器或其他粒子加速器中产生。

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物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|C P T symmetry

The Dirac equation is by construction invariant under space inversions, or parity transformations $(\mathcal{P})$. We just showed the existence of a second symmetry transformation, that of charge conjugation $(\mathcal{C})$. We wish to investigate here the consequences of time reversal $\mathcal{T}$, with $(\mathcal{T} x)^\mu=(-t, \boldsymbol{x})$. We can easily check that $\gamma^0 \gamma^5 \Psi^C(\mathcal{T} x)$, which is an anti-unitary operation, also satisfies the Dirac equation. It is interesting to consider the product of these three symmetries, namely the product of ${ }^5$
$$
\begin{gathered}
\mathcal{P}: \Psi(x) \rightarrow \mathrm{i} \gamma^0 \Psi(\mathcal{P} x) \
\mathcal{C}: \Psi(x) \rightarrow \Psi^C(x)=C \gamma^0 \Psi^(x) \end{gathered} $$ and $$ \mathcal{T}: \Psi(x) \rightarrow \gamma^0 \gamma^5 \Psi^C(\mathcal{T} x) $$ where $(\mathcal{P} x)^\mu=(t,-\boldsymbol{x})$ denotes space inversion. We can verify that the product $C P T$ of the three operators taken in any order is an invariance of the theory. Indeed, start with $$ \begin{aligned} P C T \Psi(x) & =\mathrm{i} \gamma^0\left(C \gamma^0\left[\gamma^0 \gamma^5 C \gamma^0 \Psi^(\mathcal{P} \mathcal{T} x)\right]^*\right) \
& =\mathrm{i} \gamma^0\left(C \gamma^0\left(\gamma^0 \gamma^5 C^{-1} \gamma^0 \Psi(-x)\right)\right) \
& =\mathrm{i} \gamma^5 \Psi(-x)
\end{aligned}
$$
and ask the following question: Given a wave function $\Psi(x)$, which satisfies the Dirac equation in an external electromagnetic field $A_\mu(x)$, can we find the equation satisfied by its $C P T$-transformed wave function $\mathrm{i} \gamma^5 \Psi(-x)$ ? The answer is simple:
$$
\begin{aligned}
0 & =\left[\mathrm{i} \not \partial_x-e \not A(x)-m\right] \Psi(x) \
& =\mathrm{i} \gamma^5\left[\mathrm{i} \not \partial_x-e \not A(x)-m\right] \Psi(x) \
& =\left[-\mathrm{i} \not \partial_x+e \not A(x)-m\right] \mathrm{i} \gamma^5 \Psi(x) \
& =\left[\mathrm{i} \not \partial_x+e \not A(-x)-m\right] C P T \Psi(x)
\end{aligned}
$$
where, in the last step, we have performed the change of variable $x^\mu \rightarrow-x^\mu$.

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|Chirality

In section 7.3.6 we introduced the so-called “standard” representation, which separates the components of a Dirac spinor that vanish in the $c \rightarrow \infty$ non-relativistic limit. At the other end, at the ultra-relativistic limit where the mass is negligible, we expect, at least in the absence of any external potential, the Dirac equation to split into a pair of Weyl equations. We shall introduce a formal way to demonstrate this fact.

We define two orthogonal projectors $P_L$ and $P_R, L$ and $R$ standing for “left” and “right” respectively, by
$$
P_L=\frac{1+\gamma^5}{2}, \quad P_R=\frac{1-\gamma^5}{2}
$$
They are Hermitian operators and satisfy the projection, orthogonality and completeness relations: $P_{L, R}^2=P_{L, R}, P_L P_R=P_R P_L=0$ and $P_L+P_R=1$. With the help of these projectors we define the “left” and “right” components of a general Dirac spinor $\Psi(x)$ by
$$
\Psi_{L, R}(x)=P_{L, R} \Psi(x), \quad \Psi(x)=\Psi_L(x)+\Psi_R(x)
$$
In the Weyl basis we used in equation (7.38), in which $\gamma^5$ is diagonal, $P_L$ and $P_R$ project onto the $\xi$ and $\eta$ spinors, respectively. Using $\Psi_L$ and $\Psi_R$, the free Dirac action (7.61) becomes
$$
S=\int \mathrm{d}^4 x\left[\bar{\Psi}_L \mathrm{i} \not \partial \Psi_L+\bar{\Psi}_R \mathrm{i} \not \partial \Psi_R-m\left(\bar{\Psi}_L \Psi_R+\bar{\Psi}_R \Psi_L\right)\right]
$$

粒子物理代写

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|C P T symmetry

狄拉克方程在空间反演或奇偶变换下具有构造不变性 $(\mathcal{P})$. 我们刚刚展示了第二个对称变换的存在，即电荷共轭 $(\mathcal{C})$. 我们想在这里 调育时间逆转的后果 $\mathcal{T}$ ，和 $(\mathcal{T} x)^\mu=(-t, \boldsymbol{x})$. 我们可以很容易地检龺 $\gamma^0 \gamma^5 \Psi^C(\mathcal{T} x)$ ，这是一个反酉操作，也满足狄拉克方 程。考虑这三个对称性的乘积很有趣，即
$$
\left.\mathcal{P}: \Psi(x) \rightarrow \mathrm{i} \gamma^0 \Psi(\mathcal{P} x) \mathcal{C}: \Psi(x) \rightarrow \Psi^C(x)=C \gamma^0 \Psi^{(} x\right)
$$
和
$$
\mathcal{T}: \Psi(x) \rightarrow \gamma^0 \gamma^5 \Psi^C(\mathcal{T} x)
$$
在哪里 $(\mathcal{P} x)^\mu=(t,-\boldsymbol{x})$ 表示空间反转。我们可以验证产品 $C P T$ 以任何顺序采用的三个运算符是该理论的不变性。确实，从
$$
\left.P C T \Psi(x)=\mathrm{i} \gamma^0\left(C \gamma^0\left[\gamma^0 \gamma^5 C \gamma^0 \Psi^{(\mathcal{P} T} x\right)\right]^*\right) \quad=\mathrm{i} \gamma^0\left(C \gamma^0\left(\gamma^0 \gamma^5 C^{-1} \gamma^0 \Psi(-x)\right)\right)=\mathrm{i} \gamma^5 \Psi(-x)
$$
并提出以下问题: 给定一个波函数 $\Psi(x)$, 在外部电磁场中满足狄拉克方程 $A_\mu(x)$, 我们能找到它满足的方程吗 $C P T$-变换波函数 $\mathrm{i} \gamma^5 \Psi(-x)$ ? 答穼即简单:
$$
0=\left[\mathrm{i}, \partial_x-e A(x)-m\right] \Psi(x) \quad=\mathrm{i} \gamma^5\left[\mathrm{i} \partial \partial_x-e A(x)-m\right] \Psi(x)=\left[-\mathrm{i} \partial \partial_x+e A(x)-m\right] \mathrm{i} \gamma^5 \Psi(x) \quad=\left[\mathrm{i}, \partial_x+e A(-x)-m\right] C P T \Psi(x)
$$
其中，在最后一步中，我们执行了变量的更改 $x^\mu \rightarrow-x^\mu$.

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|Chirality

在 7.3.6 节中，我们介绍了所谓的“标准”表示，它将 Dirac 旋量的分量分开，这些分量在 $c \rightarrow \infty$ 非相对论极 限。另一方面，在质量可以忽略不计的超相对论极限下，我们预计，至少在没有任何外部势能的情况下，狄拉 克方程会分裂成一对外尔方程。我们将引入一种正式的方式来证明这一事实。
我们定义两个正交投影仪 $P_L$ 和 $P_R, L$ 和 $R$ 分别代表“左“和“右”，由
$$
P_L=\frac{1+\gamma^5}{2}, \quad P_R=\frac{1-\gamma^5}{2}
$$
它们是 Hermitian 算子并且满足投影、正交性和完备性关系: $P_{L, R}^2=P_{L, R}, P_L P_R=P_R P_L=0$ 和 $P_L+P_R=1$. 在这些投影仪的帮助下，我们定义了一般狄拉克旋量的“左”和“右”分量 $\Psi(x)$ 经过
$$
\Psi_{L, R}(x)=P_{L, R} \Psi(x), \quad \Psi(x)=\Psi_L(x)+\Psi_R(x)
$$
在 Weyl 基础中，我们在等式 (7.38) 中使用，其中 $\gamma^5$ 是对角线， $P_L$ 和 $P_R$ 投射到 $\xi$ 和 $\eta$ 旋量，分别。使用 $\Psi_L$ 和 $\Psi_R$ ，自由狄拉克作用 (7.61) 变为
$$
S=\int \mathrm{d}^4 x\left[\bar{\Psi}_L \mathrm{i} \not \partial \Psi_L+\bar{\Psi}_R \mathrm{i} \not \partial \Psi_R-m\left(\bar{\Psi}_L \Psi_R+\bar{\Psi}_R \Psi_L\right)\right]
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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粒子物理Particle Physics夸克不能单独存在，而是形成强子。含有奇数夸克的强子被称为重子，含有偶数夸克的强子被称为介子。两个重子，质子和中子，构成了普通物质的大部分质量。介子是不稳定的，寿命最长的介子只持续了几百分之一微秒的时间。它们发生在由夸克组成的粒子之间的碰撞之后，例如宇宙射线中快速移动的质子和中子。介子也会在回旋加速器或其他粒子加速器中产生。

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物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The Klein-Gordon Equation

We start with the simplest Lorentz covariant wave equation, namely the Klein-Gordon equation. From our study of the Lorentz group, we expect it a priori to be relevant to the description of the quantum mechanics of a spinless particle. Since the wave function in quantum mechanics is complex valued, it is natural to start with the Klein-Gordon equation (7.1) for a complex function $\Phi(x)$
$$
\left(\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta+m^2\right) \Phi(t, \boldsymbol{x})=0
$$
It is straightforward to verify that in the non relativistic limit, $c \rightarrow+\infty$, the KleinGordon equation reduces to the Schrödinger equation. To show this it is enough to extract the mass from the energy dependence of $\Phi(x)$. This is obtained by parametrising $\Phi$ in the following way:
$$
\Phi(t, \boldsymbol{x})=\exp \left(-\frac{\mathrm{i} m c^2}{\hbar} t\right) \Psi(t, \boldsymbol{x})
$$

Then, the Klein-Gordon equation becomes
$$
\left(\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^2-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} 2 m \frac{\partial}{\partial t}-\Delta\right) \Psi(x)=0 .
$$
In the non-relativistic approximation, $c \rightarrow+\infty$, the first term can be neglected, and we recover the free Schrödinger equation
$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \Psi(x)
$$
So, at first sight, the Klein-Gordon equation seems to have the right properties to give the relativistic generalisation of the Schrödinger equation. We suspect though that this could not be right because, if it were that simple, Schrödinger would have written directly this more general relativistic equation. Let us show that, indeed, interpreting $\Phi(x)$ as the particle wave function, does lead to physical inconsistencies.

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The Dirac Equation

Dirac derived his equation in 1928 as a relativistic generalisation of Schrödinger’s equation for the electron. Schrödinger’s equation is first order in time derivatives, but second order in derivatives with respect to the spatial coordinates. It does have a conserved probability current with positive definite density. We just saw that this property is lost in the obvious relativistic extension, the Klein-Gordon equation, which has second order derivatives with respect to both time and space. It is this difference, which motivated Dirac to look for an equation with first order derivatives. For a single scalar function there is no such non-trivial Lorentz covariant first order differential equation, so Dirac assumed a multi-component wave function and looked for a matrix equation. In doing so, he discovered the spinorial representations of the Lorentz group. In the notation we used in section 7.3 the equation reads
$$
(\mathrm{i} \not \partial-m) \Psi(x)=0
$$
As we have shown already, this equation is Lorentz covariant, provided the $\gamma$ matrices satisfy the Clifford algebra relation (7.41). It is obtained from the Lagrangian density given in equation (7.60).

粒子物理代写

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The Klein-Gordon Equation

我们从最简单的洛伦兹协变波动方程开始，即克莱因-戈登方程。根据我们对洛伦兹群的研究，我们期望它先验 地与无自旋粒子的量子力学描述相关。由于量子力学中的波函数是复值的，因此很自然地从复函数的 KleinGordon 方程 (7.1) 开始 $\Phi(x)$
$$
\left(\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta+m^2\right) \Phi(t, \boldsymbol{x})=0
$$
可以直接验证在非相对论极限下， $c \rightarrow+\infty$ ，克莱因戈登方程简化为薛定遌方程。为了证明这一点，从能量 依赖性中提取质量就足够了 $\Phi(x)$. 这是通过参数化获得的 $\Phi$ 通过以下方式:
$$
\Phi(t, \boldsymbol{x})=\exp \left(-\frac{\mathrm{i} m c^2}{\hbar} t\right) \Psi(t, \boldsymbol{x})
$$
然后，克莱因-戈登方程变为
$$
\left(\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^2-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} 2 m \frac{\partial}{\partial t}-\Delta\right) \Psi(x)=0 .
$$
在非相对论近似中， $c \rightarrow+\infty$ ，第一项可以忽略，我们恢复自由薛定谔方程
$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \Psi(x)
$$
因此，乍一看，Klein-Gordon 方程似乎具有正确的性质，可以给出薛定谔方程的相对论推广。我们怀疑这可 能是不对的，因为如果真的那么简单，薛定谔会直接写出这个更一般的相对论方程。让我们证明，实际上，解 释 $\Phi(x)$ 作为粒子波函数，确实会导致物理上的不一致。

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The Dirac Equation

狄拉克在 1928 年推导出他的方程作为薛定谔电子方程的相对论推广。薛定谔方程在时间上是一阶合数，但在空 间坐标上是二阶导数。它确实具有正定密度的守恒概率流。我们刚刚看到，这个属性在明显的相对论扩展中丢 失了，即 Klein-Gordon 方程，它在时间和空间上都具有二阶导数。正是这种差异，促使狄拉克寻找具有一阶 导数的方程。对于单个标量函数，不存在这种非平凡的洛伦兹协变一阶微分方程，因此狄拉克假设一个多分量 波函数并寻找矩阵方程。在这样做，他发现了洛伦兹群的旋量表示。在我们在第 7.3 节中使用的符号中，等式 为
$$
(\mathrm{i} \partial \partial-m) \Psi(x)=0
$$
正如我们已经表明的，这个方程是洛伦兹协变的，前提是 $\gamma$ 矩阵满足 Clifford 代数关系 (7.41)。它是从等式 (7.60) 中给出的拉格朗日密度获得的。

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微观经济学代写

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
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MATLAB代写

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物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|Lagrangian, Hamiltonian and Green functions

The Lagrangian formulation of the Dirac equation presents some subtleties, because the latter is a first order differential equation. Recall the results we obtained for the case of a complex scalar field. The Lagrangian density (7.27) depends on the fields $\phi$ and $\phi^*$ as well as their first derivatives. This is consistent with the fact that the equations of motion are second order differential equations and we must assign initial values for the fields and their first derivatives. When we vary with respect to the field $\phi$ in order to obtain the Euler-Lagrange equations, we must also take into account the variation of $\partial \phi$. For the Dirac equation, however, which is a first order equation, we can vary only with respect to $\psi$ and $\bar{\psi}$, not to their derivatives. This implies in turn that the standard way to obtain the Hamiltonian through a Legendre transformation should be reformulated. In this section we want to present the rules which will make it possible for us to use the Lagrangian and Hamiltonian formalisms, without attempting a mathematically rigorous justification.

We choose the Lagrangian density corresponding to the Dirac equation in the form
$$
\mathcal{L}{\mathrm{D}}=\frac{\mathrm{i}}{2}\left(\bar{\psi} \gamma^\mu \partial\mu \psi-\partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi\right)-m \bar{\psi} \psi
$$
This is justified by the fact that we obtain the Dirac equations for $\psi$ and $\bar{\psi}$ as a consequence of the stationarity requirement of the action $S=\int \mathcal{L}{\mathrm{D}} d^4 x$ under independent variations of $\bar{\psi}$ and $\psi$, respectively. Because of the linear dependence of $\mathcal{L}{\mathrm{D}}$ on $\psi$ or $\bar{\psi}$, the action has neither a minimum nor a maximum. Thus, the overall sign of the action can be chosen at will. Provided that the field vanishes at infinity, we can rewrite the action as
$$
S=\int \mathrm{d}^4 x(\mathrm{i} \bar{\psi} \not \partial \psi-m \bar{\psi} \psi)
$$

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The plane wave solutions

We have shown that the solutions of the Dirac equation are solutions of the KleinGordon equation $\left(\square+m^2\right) \psi=0$ as well. Consequently, a plane wave solution $\psi(x) \sim$ $\exp (-\mathrm{i} k \cdot x)$ of the Dirac equation has to satisfy the condition $k^2=k_0^2-\boldsymbol{k}^2=m^2$, which means that its energy $k_0$ can have either sign. We shall be interested in the full set of plane wave solutions of both positive and negative energies, since only their union forms a basis. We fix the zero component of the wave vector $k^\mu$ to $k_0=+\sqrt{\boldsymbol{k}^2+m^2} \equiv E_k$. Then, we denote the positive energy solution of wave vector $\boldsymbol{k}$ by
$$
\psi^{(+)}(x)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k \cdot x} u(\boldsymbol{k})
$$
and the negative energy one by
$$
\psi^{(-)}(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot x} v(\boldsymbol{k})
$$
where $u$ and $v$ are four-component spinors, whose components are labelled $u_r$ and $v_r$, $r=\mathbf{1}, \ldots, 4$
From $\left(\mathrm{i} \gamma^\mu \partial_\mu-m\right) \psi^{( \pm)}(x)=0$, we obtain
$$
(\not k-m) u(\boldsymbol{k})=0 \text { and }(\not k+m) v(\boldsymbol{k})=0
$$
Let us choose the $\gamma$ matrices in the standard representation. For $k=0$, the equations (7.72) simplify to
$$
\left(\gamma^0-1\right) u(\mathbf{0})=0 \quad \text { and }\left(\gamma^0+1\right) v(\mathbf{0})=0
$$
and lead to $u_3=u_4=v_1=v_2=0$. A possible basis of the solutions is
$$
\hat{u}^{(1)}(m, \mathbf{0})=\left(\begin{array}{l}
1 \
0 \
0 \
0
\end{array}\right), \quad \hat{u}^{(2)}(m, \mathbf{0})=\left(\begin{array}{l}
0 \
1 \
0 \
0
\end{array}\right), \quad \hat{v}^{(1)}(m, \mathbf{0})=\left(\begin{array}{l}
0 \
0 \
1 \
0
\end{array}\right), \quad \hat{v}^{(2)}(m, \mathbf{0})=\left(\begin{array}{l}
0 \
0 \
0 \
1
\end{array}\right)
$$

粒子物理代写

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|Lagrangian, Hamiltonian and Green functions

狄拉克方程的拉格朗日公式有一些微妙之处，因为后者是一阶微分方程。回想一下我们在复数标量场 的情况下得到的结果。拉格朗日密度 (7.27) 取决于场 $\phi$ 和 $\phi^*$ 以及它们的一阶导数。这与运动方程是 二阶微分方程的事实一致，我们必须为场及其一阶导数分配初始值。当我们在场上有所不同时 $\phi$ 为了 获得欧拉-拉格朗日方程，我们还必须考虑 $\partial \phi$. 然而，对于狄拉克方程，它是一阶方程，我们只能改 变 $\psi$ 和 $\bar{\psi}$ ，而不是他们的衍生物。这反过来意味着应该重新制定通过勒让德变换获得哈密顿量的标准 方法。在本节中，我们想介绍使我们能够使用拉格朗日和哈密顿形式主义的规则，而无需尝试进行数 学上严格的证明。
我们选择与形式中狄拉克方程对应的拉格朗日密度
$$
\mathcal{L D}=\frac{\mathrm{i}}{2}\left(\bar{\psi} \gamma^\mu \partial \mu \psi-\partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi\right)-m \bar{\psi} \psi
$$
这是因为我们获得了狄拉克方程的事实 $\psi$ 和 $\bar{\psi}$ 由于动作的平稳性要求 $S=\int \mathcal{L D} d^4 x$ 在的独立变化 $下 \bar{\psi}$ 和 $\psi$ ，分别。由于线性相关性 $\mathcal{L}$ 在 $\psi$ 或者 $\bar{\psi}$ ，动作既没有最小值也没有最大值。因此，可以随 意选择动作的整体符号。如果场在无穷远处消失，我们可以将动作重写为
$$
S=\int \mathrm{d}^4 x(\mathrm{i} \bar{\psi} \partial \partial-m \bar{\psi} \psi)
$$

物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The plane wave solutions

我们已经证明 Dirac 方程的解是 KleinGordon 方程的解 $\left(\square+m^2\right) \psi=0$ 以及。因此，平面波解 决方案 $\psi(x) \sim \exp (-\mathrm{i} k \cdot x)$ 狄拉克方程的必须满足条件 $k^2=k_0^2-\boldsymbol{k}^2=m^2$ ，这意味着它的 能量 $k_0$ 可以有任何一个标志。我们将对正能量和负能量的全套平面波解感兴趣，因为只有它们的并 集才构成基础。我们固定波矢量的零分量 $k^\mu$ 到 $k_0=+\sqrt{\boldsymbol{k}^2+m^2} \equiv E_k$. 然后，我们表示波矢量 的正能量解 $\boldsymbol{k}$ 经过
$$
\psi^{(+)}(x)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k \cdot x} u(\boldsymbol{k})
$$
和负能量一个
$$
\psi^{(-)}(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot x} v(\boldsymbol{k})
$$
在哪里 $u$ 和 $v$ 是四分量旋量，其分量标记为 $u_r$ 和 $v_r, r=\mathbf{1}, \ldots, 4$ $从\left(\mathrm{i} \gamma^\mu \partial_\mu-m\right) \psi^{( \pm)}(x)=0$ ，我们获得
$$
(k-m) u(\boldsymbol{k})=0 \text { and }(k+m) v(\boldsymbol{k})=0
$$
让我们选择 $\gamma$ 标准表示中的矩阵。为了 $k=0$, 等式 (7.72) 简化为
$$
\left(\gamma^0-1\right) u(\mathbf{0})=0 \quad \text { and }\left(\gamma^0+1\right) v(\mathbf{0})=0
$$
并导致 $u_3=u_4=v_1=v_2=0$. 解诀方案的可能基础是

$$
\hat{u}^{(1)}(m, \mathbf{0})=\left(\begin{array}{l}
1 \
0 \
0 \
0
\end{array}\right), \quad \hat{u}^{(2)}(m, \mathbf{0})=\left(\begin{array}{l}
0 \
1 \
0 \
0
\end{array}\right), \quad \hat{v}^{(1)}(m, \mathbf{0})=\left(\begin{array}{l}
0 \
0 \
1 \
0
\end{array}\right), \quad \hat{v}^{(2)}(m, \mathbf{0})=\left(\begin{array}{l}
0 \
0 \
0 \
1
\end{array}\right)
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。