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## 物理代写|电动力学作业代写Electrodynamics代考|PHYS831 Vector and scalar potentials

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## 物理代写|电动力学作业代写Electrodynamics代考|Vector and scalar potentials

Consider equations (2.29) and (2.31). Taking into account that $\nabla \cdot \vec{B}=0$, the field $\vec{B}$ may be expressed by means of an auxiliary vector field usually named as the vector potential $\vec{A}$, that is defined by the implicit relation
$2-12$
$$\vec{B}=\nabla \times \vec{A},$$
which automatically gives $\nabla \cdot[\nabla \times \vec{A}]=0$. Let us substitute the vector potential $\vec{A}$ into the Faraday equation (2.30):
$$\nabla \times \vec{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}[\nabla \times \vec{A}] \quad \Longrightarrow \quad \nabla \times\left(\vec{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\right)=0 .$$
In electrostatics we defined a potential $\varphi_{e}$ via:
$$\vec{E}=-\nabla \varphi_{e} .$$
On the basis of equations (2.38) and (2.39) we now introduce the general definition of scalar potential $\varphi$
$$\vec{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}=-\nabla \varphi,$$
that guarantees equation (2.38) identically, or:
$$\vec{E}=-\nabla \varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} .$$

## 物理代写|电动力学作业代写Electrodynamics代考|What possibilities give us the gauge choice?—Theoretic investigation

The condition for Lorentz gauge is often used because of two very important properties. First of all we can get independent wave equations satisfied by $\vec{A}$ and $\varphi$ : equation (2.42) and relation $(2.45)$ are simplified
\begin{aligned} &\square \vec{A}=-\frac{4 \pi}{c} \vec{j} \ &\square \varphi=-4 \pi \rho, \end{aligned}
where: $\square=-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+\Delta$. It can always be chosen so that $\vec{A}$ and $\varphi$ get this marking. Second property-an invariance of this condition (2.51) with respect to the Lorentz transformation (chapter 4)-conventionally used in the theory of relativity.

In the Coulomb gauge it is convenient to use when we can use the Poisson equation for the potential $\varphi$ :
$$\frac{1}{c} \nabla \varphi=\square \vec{A}+\frac{4 \pi}{c} \vec{j}$$
and
$$\Delta \varphi=-4 \pi \rho .$$
After solving the above equations, we can calculate $\vec{A}$.

## 物理代写|电动力学作业代写Electrodynamics代考|What possibilities give us the gauge choice?—Theoretic investigation

Another popular example is the Hertz potential vector $\vec{Z}$, which is determined on the basis of the potentials $\varphi, \vec{A}$ via relationships:
$$\varphi=\operatorname{div} \vec{Z}, \quad \vec{A}=\frac{\partial \vec{Z}}{\partial t} .$$
$2-15$
Its introduction shortens the description of electromagnetic field to one vector function, and therefore it is used in the theory of wave propagation, for example, in waveguides and resonators [27]. The choice of vector $\vec{Z}$ allows even greater freedom compared to the $\varphi, \vec{A}$ potentials.

## 物理代写|电动力学作业代写Electrodynamics代考|Vector and scalar potentials

$2-12$ 具有高级应用的实用电动力学
$$\vec{B}=\nabla \times \vec{A},$$

$$\nabla \times \vec{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}[\nabla \times \vec{A}] \Longrightarrow \quad \nabla \times\left(\vec{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\right)=0 .$$

$$\vec{E}=-\nabla \varphi_{e} .$$

$$\vec{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}=-\nabla \varphi,$$

$$\vec{E}=-\nabla \varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} .$$

## 物理代写|电动力学作业代写Electrodynamics代考|What possibilities give us the gauge choice?-Theoretic investigation

$$\square \vec{A}=-\frac{4 \pi}{c} \vec{j} \quad \square \varphi=-4 \pi \rho,$$

$$\frac{1}{c} \nabla \varphi=\square \vec{A}+\frac{4 \pi}{c} \vec{j}$$

$$\Delta \varphi=-4 \pi \rho$$

Electrodynamics代考|What possibilities give us the gauge choice?-Theoretic investigation

$$\varphi=\operatorname{div} \vec{Z}, \quad \vec{A}=\frac{\partial \vec{Z}}{\partial t} .$$
$2-15$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。