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## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Return probability

Loosely speaking, in a network with a finite spectral dimension $D_s$, after a time $t$, a random walker browses a region of radius $r(t) \sim \sqrt{t}$ around the initial point of the walk, and so the number of accessible vertices $S(t)$ for a random walk of $t$ moves is ${ }^2$
$$S(t) \sim t^{D_s / 2}$$
The probability of return to the origin at time $t$ in an infinite network is inversely proportional to $S(t)$,
$$P(t) \equiv \frac{1}{N} \sum_i P_i(t) \sim t^{-D_s / 2} \sim \frac{1}{S(t)},$$
where $P_i(t)$ is the probability to find a walker at the initial vertex $i$ at time $t$. According to Eq. (10.16), when $D_s>2$, a random walk is transient,which means that in an infinite network, there is a finite probability that the walk never returns to the initial vertex. If $D_s \leq 2$, then a random walk is recurrent, that is, it surely returns to the initial point.

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Biased random walks

In the unbiased simple random walks on undirected networks discussed, the probability $p_i$ that a walker moves to a nearest neighbour of vertex $i$ with degree $q_i$ is the same for all the neighbours, $p_i=1 / q_i$. In general, a bias assumes that a set of probabilities for moves from neighbouring vertices, say the probability $p_{i j}$ of the move from $i$ to $j$, deviate from $1 / q_i$. This bias can markedly change the random walk (Fronczak and Fronczak, 2009). Let us touch upon one of the versions of biased random walks in which the bias is towards a target vertex. The presence of this bias means that the probability of a move from a vertex in the direction of the target exceeds the probability of a move from this node in the opposite direction, (see Figure 10.2 explaining the notations for the probabilities). ${ }^4$ Sood and Grassberger (2007) explored the interesting case of the exponential bias, that is the ratio of the probabilities was fixed:
$$\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell-1)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell)}=\sqrt{g}=\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell+1)},$$
where $g>1$. This equality assumes that
$$\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell-1)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell+1)}=g .$$

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Return probability

$$S(t) \sim t^{D_s / 2}$$

$$P(t) \equiv \frac{1}{N} \sum_i P_i(t) \sim t^{-D_s / 2} \sim \frac{1}{S(t)},$$

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Biased random walks

$$\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell-1)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell)}=\sqrt{g}=\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell+1)},$$

$$\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell-1)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell+1)}=g$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Resolution limit

Fortunato and Barthélemy (2007) (see also Lancichinetti and Fortunato, 2011) showed that optimizing modularity, defined by Eq. (9.42), cannot detect communities smaller than some resolution limit. More precisely, no optimization techniques based on this form of modularity can resolve communities with $E_a$ smaller than $O(\sqrt{E})$. To obtain this resolution limit, let us consider two modules, 1 and 2, in a network, which are weakly interconnected with each other and with the rest of the network. We explore the situation where these modules are most sharply distinguished, which should favour their detection, and hence we interconnect them together and with the rest of the network by single edges (Figure 9.11). The idea is to compare the modularities of two partitions, namely, (i) the partition of the network into three parts – module 1, module 2, and the remaining network, modularity $Q_{1,2}$, and (ii) the partition of the network into two parts – the
\begin{aligned} Q & =\frac{1}{3}\left[(1+1)-\frac{1}{2}\left(\frac{1^2+2^2+2 \times 1 \times 2}{6}+\frac{2^2+1^2+2 \times 2 \times 1}{6}\right)\right] \ & =\left(\frac{1}{3}-\frac{(1+2)^2}{6^2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{(2+1)^2}{6^2}\right)=\frac{1}{6} . \end{aligned}

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Detection of communities

One major difficulty in community detection is the absence of a unique definition of a community. Modularity provides only one of options for treating and distinguishing communities in networks. ${ }^{26}$ Furthermore, the direct optimization of modularity is very costly and usually infeasible, and hence extra ideas, a heuristic, or approximations have to be applied.

Optimization of modularity
Section $4.12$ outlined Granovetter’s hypothesis stating that in social networks main informations flows run through links between different ‘densely knit clumps of close friends’. In fact, the same should be true for general networks with modular structure. This observation was exploited in the Girvan-Newman algorithm for community detection (Girvan and Newman, 2002; Newman and Girvan, 2004):
(i) Compute the betweenness for each edge of the network.
(ii) Remove the edge with the largest betweenness.
(iii) Recalculate betweennesses of all edges affected by the removal.
(iv) Repeat (ii)-(iv) until no edges remain.
Along this process, the network progressively splits into a growing set of diminishing disconnected clusters, with $N$ bare vertices in the finite state. The process can be depicted as a hierarchical tree of partitions – a dendrogramshown in Figure 9.12. The evolution proceeds from the left to the right. A
${ }^{26}$ In particular, the following two definitions of a community in a strong and a weak sense are among other options (Radicchi, Castellano, Cecconi, Loreto, and Parisi, 2004). Let $C$ be a subgraph of a graph $G$, and $q_i, i=1,2, \ldots,|C|$, be the degrees of vertices in this subgraph. Each of these degrees is the sum of two numbers, $q_i=q_i^{(\mathrm{in})}+q_i^{\text {(out) }}$, namely the number of connections $q_i^{(\mathrm{in})}$ of this vertex to vertices in the community and the number of connections $q_i^{(\text {out })}$ to other vertices within the graph.

• The subgraph $C$ is a community in a strong sense if
$$q_i^{(\mathrm{in})}>q_i^{\text {(out) }} \text { for any vertex } i \text { in } C,$$
see also Flake, Lawrence, Giles, and Coetzee (2002).
• The subgraph $C$ is a community in a weak sense if
$$\sum_{i \in C} q_i^{(\mathrm{in})}>\sum_{i \in C} q_i^{(\mathrm{out})}$$

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Resolution limit

Fortunato 和 Barthélemy (2007 年) (另见 Lancichinetti 和 Fortunato，2011 年) 表明，优化模块化， 由方程式定义。(9.42)，无法检测到小于某些分辨率限制的社区。更准确地说，没有任何基于这种模块化形式 的优化技术可以解决社区问题 $E_a$ 小于 $O(\sqrt{E})$. 为获得此分辨率限制，让我们考虑网络中的两个模块 1 和 2 ，它 们彼此之间以及与网络的其余部分之间的互连较弱。我们探索了这些模块最明显区分的情况，这应该有利于它 们的检测，因此我们将它们互连在一起，并通过单边与网络的其余部分互连 (图 9.11)。这个想法是比较两个 分区的模块性，即 (i) 将网络分为三个部分 $-一$ 模块 1 、模块 2 和其余网络，模块性 $Q_{1,2}$ ，以及 (ii) 将网络分 成两部分–
$$Q=\frac{1}{3}\left[(1+1)-\frac{1}{2}\left(\frac{1^2+2^2+2 \times 1 \times 2}{6}+\frac{2^2+1^2+2 \times 2 \times 1}{6}\right)\right]=\left(\frac{1}{3}-\frac{(1+2)^2}{6^2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{(2+1)^2}{6^2}\right)=\frac{1}{6}$$

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Detection of communities

i) 计算网络每个边缘的介数。
(ii) 删除介数最大的边。
(iii) 重新计算受移除影响的所有边的介数。
(iv) 重复 (ii)-(iv) 直到没有边缘。

${ }^{26}$ 特别是，以下两个强和弱社区的定义是其他选择 (Radicchi、Castellano、Cecconi、Loreto 和 Parisi， 2004 年) 。让 $C$ 是图的子图 $G$ ，和 $q_i, i=1,2, \ldots,|C|$ ，是该子图中顶点的度数。这些度数中的每一个都是 两个数字的总和， $q_i=q_i^{(\mathrm{in})}+q_i^{(\mathrm{out})}$ ，即连接数 $q_i^{(\mathrm{in})}$ 这个顶点到社区中的顶点和连接数 $q_i^{(\text {out })}$ 到图中的其他 顶点。

• 子图 $C$ 是一个强烈意义上的共同体，如果
$q_i^{(\text {in) }}>q_i^{(\mathrm{out})}$ for any vertex $i$ in $C$
另见 Flake、Lawrence、Giles 和 Coetzee (2002)。
• 子图 $C$ 是一个弱意义上的共同体，如果
$$\sum_{i \in C} q_i^{(\mathrm{in})}>\sum_{i \in C} q_i^{\text {(out) }}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。