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## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Proof of Lemma 1

Since the support of the probability distribution $v$ of $\epsilon_{k}$ is $\mathbb{R}^{d}$, we notice that the law of the random vector $Y_{k}:=e^{R_{k}}-\mathbb{1}{d}$ has support equal to $(-1, \infty)^{d}$. Recall from (7) that $a \in A{k}^{q}(x, z)$ iff
$$1+a^{\prime} Y_{k+1} \geq q \max \left[\frac{z}{x}, 1+a^{\prime} Y_{k+1}\right], \quad a . s .$$
(i) Take some $a \in A_{k}^{q}(x, z)$, and assume that $a^{i}<0$ for some $i \in \llbracket 1, d \rrbracket$. Let us then define the event $\Omega_{M}^{i}=\left{Y_{k+1}^{i} \geq M, Y_{k+1}^{M} \in[0,1], j \neq i\right}$, for $M>0$, and observe that $\mathbb{P}\left[\Omega_{M}^{i}\right]>0$. It follows from (21) that
$$1+a_{i} M+\max {j \neq i}\left|a{j}\right| \geq q \frac{z}{x}, \quad \text { on } \Omega_{M}^{i}$$
which leads to a contradiction for $M$ large enough. This shows that $a^{i} \geq 0$ for all $i \in \llbracket 1, d \rrbracket$, i.e. $A_{k}^{q}(x, z) \subset \mathbb{R}{+}^{d}$. (ii) For $\varepsilon \in(0,1)$, let us define the event $\Omega{\varepsilon}=\left{Y_{k+1}^{i} \leq-1+\varepsilon, i=1, \ldots, d\right}$, which satisfies $\mathbb{P}\left[\Omega_{\varepsilon}\right]>0$. For $a \in A^{q}(x, z)$, we get from (21), and since $a \in \mathbb{R}{+}^{d}$ by Step (i): $$1-(1-\varepsilon) a^{\prime} \mathbb{1}{d} \geq q \frac{z}{x}, \quad \text { on } \Omega_{\varepsilon}$$

## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Proof of Proposi

For any borelian function $f: \mathbb{R}^{d} \mapsto \mathbb{R}$ we have, on one hand, by definition of $\pi_{k+1}$ :
$$\overline{\mathbb{E}}\left[\bar{\Lambda}{k+1} f(B) \mid \mathcal{F}{k+1}^{o}\right]=\int_{\mathbb{R}^{d}} f(b) \pi_{k+1}(d b),$$
and, on the other hand, by definition of $\bar{\Lambda}{k}$ : \begin{aligned} \overline{\mathbb{E}}\left[\bar{\Lambda}{k+1} f(B) \mid \mathcal{F}{k+1}^{o}\right] &=\overline{\mathbb{E}}\left[\bar{\Lambda}{k} f(B) \frac{g\left(R_{k+1}-B\right)}{g\left(R_{k+1}\right)} \mid \mathcal{F}{k+1}^{o}\right] \ &=\overline{\mathbb{E}}\left[\bar{\Lambda}{k} f(B) g\left(R_{k+1}-B\right) \mid \mathcal{F}{k+1}^{o}\right]\left(g\left(R{k+1}\right)\right)^{-1} \ &=\int_{\mathbb{R}^{d}} f(b) \frac{g\left(R_{k+1}-b\right)}{g\left(R_{k+1}\right)} \pi_{k}(d b), \end{aligned}
where we use in the last equality the fact that $R_{k+1}$ is independent of $B$ under $\bar{P}$ (recall Proposition 1). By identification, we obtain the expected relation.

## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Proof of Lemma 1

$a \in A k^{q}(x, z)$ 当且当
$$1+a^{\prime} Y_{k+1} \geq q \max \left[\frac{z}{x}, 1+a^{\prime} Y_{k+1}\right], \quad a . s .$$
$(-)$ 拿一些 $a \in A_{k}^{q}(x, z)$ ，并假设 $a^{i}<0$ 对于一些 $i \in \backslash$ llbracket1, $d \backslash$ rrbracket. 然后让㧴们定义事件 \left 的分隔符缺失或无法识别 $$1+a_{i} M+\max j \neq i|a j| \geq q \frac{z}{x}, \quad \text { on } \Omega_{M}^{i}$$ 这导致了一个矛盾 $M$ 足够大。这表明 $a^{i} \geq 0$ 对所有人 $i \in \backslash$ llbracket1, $d \backslash$ rrbracket， $\mathbb{E} A_{k}^{q}(x, z) \subset \mathbb{R}+{ }^{d}$. (ii) 为 $\varepsilon \in(0,1)$ ，让找们定义事件\left 的分隔符缺失或无法识别 ，满足 $\mathbb{P}\left[\Omega_{\varepsilon}\right]>0$. 为了 $a \in A^{q}(x, z)$ ，我们从 (21) 得到，并 且因为 $a \in \mathbb{R}+{ }^{d}$ 按步䖰 (i):
$$1-(1-\varepsilon) a^{\prime} 1 d \geq q \frac{z}{x}, \quad \text { on } \Omega_{\varepsilon}$$

## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Proof of Proposi

$$\overline{\mathbb{E}}\left[\bar{\Lambda} k+1 f(B) \mid \mathcal{F} k+1^{o}\right]=\int_{\mathbb{R}^{d}} f(b) \pi_{k+1}(d b),$$

$$\overline{\mathbb{E}}\left[\bar{\Lambda} k+1 f(B) \mid \mathcal{F} k+1^{o}\right]=\overline{\mathbb{E}}\left[\bar{\Lambda} k f(B) \frac{g\left(R_{k+1}-B\right)}{g\left(R_{k+1}\right)} \mid \mathcal{F} k+1^{o}\right]=\overline{\mathbb{E}}\left[\bar{\Lambda} k f(B) g\left(R_{k+1}-B\right) \mid \mathcal{F} k+1^{o}\right](g(R k+1))^{-1}=\int_{\mathbb{R}^{d}} f(b) \frac{g\left(R_{k+1}-1\right.}{g\left(R_{k+1}\right)}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|STAT3004 Local Time Solution

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## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Fixed Point Approach

We want to solve (12) by a fixed point approach. Suppose we have a function $\lambda(x, t)$ with values in $\mathcal{H}$ such that:
$$\left{\begin{array}{l} |\lambda(x, t)| \leq \mu_{t}|x|, \ \left|D_{x} \lambda(x, t)\right| \leq \rho_{t}, \end{array}\right.$$
where $\mu_{t}$ and $\rho_{t}$ are bounded functions on $[T-h, T]$, for some convenient $h$. These functions will be chosen conveniently in the sequel, with $\mu_{t}<\rho_{t}$. We then solve
$$\left{\begin{array}{l} \frac{d}{d s} y(s)=A(y(s))-B N^{-1} B^{} \lambda(y(s), s), \ y(t)=x \end{array}\right.$$ This differential equation defines uniquely $y(s)$, thanks to the assumptions (35). We then define $$\Lambda(x, t):=D_{x} F_{T}(y(T))+\int_{t}^{T}(D A(y(s)))^{} \lambda(y(s), s) d s+\int_{t}^{T} D_{x} F(y(s)) d s .$$
We want to show that $\mu_{t}$ and $\rho_{t}$ can be chosen such that
$$|\Lambda(x, t)| \leq \mu_{t}|x|,\left|D_{x} \Lambda(x, t)\right| \leq \rho_{t},$$
and that the map $\lambda \mapsto \Lambda$ has a fixed point. This will be only possible when $t$ remains close to $T$, namely $T-h<t<T$, with $h$ small.

## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Choice of Functions μt and ρt

From (36), we obtain:
$$\frac{d}{d s}|y(s)| \leq\left|\frac{d}{d s} y(s)\right| \leq\left(\gamma+| B N^{-1} B^{}|| \mu_{s}\right)|y(s)|,$$ which implies $$|y(s)| \leq|x| \exp \left(\int_{t}^{s}\left(\gamma+|| B N^{-1} B^{}|| \mu_{\tau}\right) d \tau\right),$$
and thus from (37) it follows that
$$|\Lambda(x, t)| \leq M_{T}|y(T)|+\int_{t}^{T}\left(M+\gamma \mu_{s}\right)|y(s)| d s .$$
Using (39), we obtain:
\begin{aligned} |\Lambda(x, t)| \leq &|x|\left(M_{T} \exp \left(\int_{t}^{T}\left(\gamma+\left|B N^{-1} B^{}\right| \mu_{\tau}\right) d \tau\right)\right.\ &\left.+\int_{t}^{T}\left(M+\gamma \mu_{s}\right) \exp \left(\int_{t}^{s}\left(\gamma+\left|B N^{-1} B^{}\right| \mu_{\tau}\right) d \tau\right) d s\right) \end{aligned}
To obtain the first inequality (38), we must choose the function $\mu_{t}$ such that
\begin{aligned} \mu_{t}=& M_{T} \exp \left(\int_{t}^{T}\left(\gamma+\left|B N^{-1} B^{}\right| \mu_{\tau}\right) d \tau\right) \ &+\int_{t}^{T}\left(M+\gamma \mu_{s}\right) \exp \left(\int_{t}^{s}\left(\gamma+\left|B N^{-1} B^{}\right| \mu_{\tau}\right) d \tau\right) d s . \end{aligned}
So $\mu_{t}$ must be solution of the differential equation of Riccati type:
\left{\begin{aligned} \frac{d}{d t} \mu_{t} &=-\left|B N^{-1} B^{*}\right| \mu_{t}^{2}-2 \gamma \mu_{t}-M, \ \mu_{T} &=M_{T} \end{aligned}\right.

## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Fixed Point Approach

$\$ \$$lleft {$$
|\lambda(x, t)| \leq \mu_{t}|x|,\left|D_{x} \lambda(x, t)\right| \leq \rho_{t},

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。