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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Error Probabilities and the Power Function

A hypothesis test of $H_0: \theta \in \Theta_0$ versus $H_1: \theta \in \Theta_0^c$ might make one of two types of errors. These two types of errors traditionally have been given the non-mnemonic names, Type I Error and Type II Error. If $\theta \in \Theta_0$ but the hypothesis test incorrectly decides to reject $H_0$, then the test has made a Type I Error. If, on the other hand, $\theta \in \Theta_0^c$ but the test decides to accept $H_0$, a Type II Error has been made. These two different situations are depicted in Table 8.3.1.

Suppose $R$ denotes the rejection region for a test. Then for $\theta \in \Theta_0$, the test will make a mistake if $\mathbf{x} \in R$, so the probability of a Type I Error is $P_\theta(\mathbf{X} \in R)$. For $\theta \in \Theta_0^c$, the probability of a Type II Error is $P_\theta\left(\mathbf{X} \in R^{\mathrm{c}}\right)$. This switching from $R$ to $R^{\mathrm{c}}$ is a bit confusing, but, if we realize that $P_\theta\left(\mathbf{X} \in R^{\mathrm{c}}\right)=1-P_\theta(\mathbf{X} \in R)$, then the function of $\theta, P_\theta(\mathbf{X} \in R)$, contains all the information about the test with rejection region $R$. We have
$$
P_\theta(\mathbf{X} \in R)= \begin{cases}\text { probability of a Type I Error } & \text { if } \theta \in \Theta_0 \ \text { one minus the probability of a Type II Error } & \text { if } \theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}} .\end{cases}
$$
This consideration leads to the following definition.
Definition 8.3.1 The power function of a hypothesis test with rejection region $R$ is the function of $\theta$ defined by $\beta(\theta)=P_\theta(\mathbf{X} \in R)$.

The ideal power function is 0 for all $\theta \in \Theta_0$ and 1 for all $\theta \in \Theta_0^c$. Except in trivial situations, this ideal cannot be attained. Qualitatively, a good test has power function near 1 for most $\theta \in \Theta_0^c$ and near 0 for most $\theta \in \Theta_0$.

Example 8.3.2 (Binomial power function) Let $X \sim$ binomial $(5, \theta)$. Consider testing $H_0: \theta \leq \frac{1}{2}$ versus $H_1: \theta>\frac{1}{2}$. Consider first the test that rejects $H_0$ if and only if all “successes” are observed. The power function for this test is
$$
\beta_1(\theta)=P_\theta(X \in R)=P_\theta(X=5)=\theta^5 .
$$

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Most Powerful Tests

In previous sections we have described various classes of hypothesis tests. Some of these classes control the probability of a Type I Error; for example, level $\alpha$ tests have Type I Error probabilities at most $\alpha$ for all $\theta \in \Theta_0$. A good test in such a class would also have a small Type II Error probability, that is, a large power function for $\theta \in \Theta_0^c$. If one test had a smaller Type II Error probability than all other tests in the class, it would certainly be a strong contender for the best test in the class, a notion that is formalized in the next definition.

Definition 8.3.11 Let $\mathcal{C}$ be a class of tests for testing $H_0: \theta \in \Theta_0$ versus $H_1: \theta \in$ $\Theta_0^c$. A test in class $\mathcal{C}$, with power function $\beta(\theta)$, is a uniformly most powerful (UMP) class $\mathcal{C}$ test if $\beta(\theta) \geq \beta^{\prime}(\theta)$ for every $\theta \in \Theta_0^c$ and every $\beta^{\prime}(\theta)$ that is a power function of a test in class $\mathcal{C}$.

In this section, the class $\mathcal{C}$ will be the class of all level $\alpha$ tests. The test described in Definition 8.3.11 is then called a UMP level $\alpha$ test. For this test to be interesting, restriction to the class $\mathcal{C}$ must involve some restriction on the Type I Error probability. A minimization of the Type II Error probability without some control of the Type I Error probability is not very interesting. (For example, a test that rejects $H_0$ with probability 1 will never make a Type II Error. See Exercise 8.16.)

The requirements in Definition 8.3.11 are so strong that UMP tests do not exist in many realistic problems. But in problems that have UMP tests, a UMP test might well be considered the best test in the class. Thus, we would like to be able to identify UMP tests if they exist. The following famous theorem clearly describes which tests are UMP level $\alpha$ tests in the situation where the null and alternative hypotheses both consist of only one probability distribution for the sample (that is, when both $H_0$ and $H_1$ are simple hypotheses).

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Error Probabilities and the Power Function

$H_0: \theta \in \Theta_0$与$H_1: \theta \in \Theta_0^c$的假设检验可能会产生两种类型的错误之一。这两种类型的错误传统上被赋予了非助记性的名称，类型I错误和类型II错误。如果$\theta \in \Theta_0$但是假设检验错误地决定拒绝$H_0$，那么检验就犯了I型错误。另一方面，如果$\theta \in \Theta_0^c$，但测试决定接受$H_0$，则发生类型II错误。表8.3.1描述了这两种不同的情况。

假设$R$表示测试的拒绝区域。然后对于$\theta \in \Theta_0$，如果$\mathbf{x} \in R$，测试就会出错，所以I型错误的概率是$P_\theta(\mathbf{X} \in R)$。对于$\theta \in \Theta_0^c$，类型II错误的概率为$P_\theta\left(\mathbf{X} \in R^{\mathrm{c}}\right)$。从$R$到$R^{\mathrm{c}}$的转换有点令人困惑，但是，如果我们意识到$P_\theta\left(\mathbf{X} \in R^{\mathrm{c}}\right)=1-P_\theta(\mathbf{X} \in R)$，那么$\theta, P_\theta(\mathbf{X} \in R)$的函数包含有关拒绝区域$R$的测试的所有信息。我们有
$$
P_\theta(\mathbf{X} \in R)= \begin{cases}\text { probability of a Type I Error } & \text { if } \theta \in \Theta_0 \ \text { one minus the probability of a Type II Error } & \text { if } \theta \in \Theta_0^{\mathrm{c}} .\end{cases}
$$
这种考虑导致了以下定义。
8.3.1具有拒绝域$R$的假设检验的幂函数为$\beta(\theta)=P_\theta(\mathbf{X} \in R)$定义的$\theta$函数。

理想的幂函数对于所有$\theta \in \Theta_0$都是0，对于所有$\theta \in \Theta_0^c$都是1。除非在微不足道的情况下，这种理想是无法达到的。定性地说，一个好的测试的幂函数对大多数$\theta \in \Theta_0^c$接近于1，对大多数$\theta \in \Theta_0$接近于0。

例8.3.2(二项式幂函数)设$X \sim$二项式$(5, \theta)$。考虑测试$H_0: \theta \leq \frac{1}{2}$和$H_1: \theta>\frac{1}{2}$。首先考虑当且仅当观察到所有“成功”时拒绝$H_0$的测试。这个测试的幂函数是
$$
\beta_1(\theta)=P_\theta(X \in R)=P_\theta(X=5)=\theta^5 .
$$

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Most Powerful Tests

在前面的章节中，我们描述了不同类别的假设检验。其中一些类控制第一类错误的概率;例如，级别$\alpha$测试对于所有$\theta \in \Theta_0$最多具有类型I错误概率$\alpha$。在这样的类中，一个好的测试也应该具有较小的Type II Error概率，即$\theta \in \Theta_0^c$具有较大的幂函数。如果一个测试具有比类中所有其他测试更小的Type II错误概率，那么它肯定是类中最佳测试的有力竞争者，这个概念将在下一个定义中形式化。

定义8.3.11设$\mathcal{C}$为用于测试$H_0: \theta \in \Theta_0$与$H_1: \theta \in$$\Theta_0^c$的测试类。类$\mathcal{C}$中具有幂函数$\beta(\theta)$的测试对于每个$\theta \in \Theta_0^c$和每个$\beta^{\prime}(\theta)$都是一个统一最强大(UMP)类$\mathcal{C}$测试$\beta(\theta) \geq \beta^{\prime}(\theta)$，这是类$\mathcal{C}$中测试的幂函数。

在本节中，类$\mathcal{C}$将是所有级别$\alpha$测试的类。定义8.3.11中描述的测试称为UMP级别$\alpha$测试。为了使这个测试有趣，对类$\mathcal{C}$的限制必须包含对Type I Error概率的一些限制。在不控制第一类错误概率的情况下最小化第二类错误概率并不是很有趣。(例如，以1的概率拒绝$H_0$的测试永远不会犯类型II错误。参见练习8.16。)

定义8.3.11中的要求是如此强烈，以至于在许多现实问题中不存在UMP测试。但在有UMP测试的问题中，UMP测试很可能被认为是班上最好的测试。因此，我们希望能够识别UMP测试，如果它们存在的话。下面的著名定理清楚地描述了在零假设和备选假设都只包含一个样本概率分布的情况下(即$H_0$和$H_1$都是简单假设的情况下)哪些检验是UMP水平$\alpha$检验。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计推断Statistical Inference指的是一个研究领域，我们在面对不确定性的情况下，根据我们观察到的数据，试图推断世界的未知特性。它是一个数学框架，在许多情况下量化我们的常识所说的话，但在常识不够的情况下，它允许我们超越常识。对正确的统计推断的无知会导致错误的决策和浪费金钱。就像对其他领域的无知一样，对统计推断的无知也会让别人操纵你，让你相信一些错误的事情是正确的。

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Mean Squared Error

We first investigate finite-sample measures of the quality of an estimator, beginning with its mean squared error.

Definition 7.3.1 The mean squared error (MSE) of an estimator $W$ of a parameter $\theta$ is the function of $\theta$ defined by $\mathrm{E}_\theta(W-\theta)^2$.

Notice that the MSE measures the average squared difference between the estimator $W$ and the parameter $\theta$, a somewhat reasonable measure of performance for a point estimator. In general, any increasing function of the absolute distance $|W-\theta|$ would serve to measure the goodness of an estimator (mean absolute error, $\mathrm{E}\theta(|W-\theta|)$, is a reasonable alternative), but MSE has at least two advantages over other distance measures: First, it is quite tractable analytically and, second, it has the interpretation $$ \mathrm{E}\theta(W-\theta)^2=\operatorname{Var}\theta W+\left(\mathrm{E}\theta W-\theta\right)^2=\operatorname{Var}\theta W+\left(\operatorname{Bias}\theta W\right)^2,
$$
where we define the bias of an estimator as follows.
Definition 7.3.2 The bias of a point estimator $W$ of a parameter $\theta$ is the difference between the expected value of $W$ and $\theta$; that is, $\operatorname{Bias}\theta W=\mathrm{E}\theta W-\theta$. An estimator whose bias is identically (in $\theta$ ) equal to 0 is called unbiased and satisfies $\mathrm{E}_\theta W=\theta$ for all $\theta$.

Thus, MSE incorporates two components, one measuring the variability of the estimator (precision) and the other measuring its bias (accuracy). An estimator that has good MSE properties has small combined variance and bias. To find an estimator with good MSE properties, we need to find estimators that control both variance and bias. Clearly, unbiased estimators do a good job of controlling bias.
For an unbiased estimator we have
$$
\mathrm{E}\theta(W-\theta)^2=\operatorname{Var}\theta W
$$
and so, if an estimator is unbiased, its MSE is equal to its variance.

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Best Unbiased Estimators

As noted in the previous section, a comparison of estimators based on MSE considerations may not yield a clear favorite. Indeed, there is no one “best MSE” estimator. Many find this troublesome or annoying, and rather than doing MSE comparisons of candidate estimators, they would rather have a “recommended” one.

The reason that there is no one “best MSE” estimator is that the class of all estimators is too large a class. (For example, the estimator $\hat{\theta}=17$ cannot be beaten in MSE at $\theta=17$ but is a terrible estimator otherwise.) One way to make the problem of finding a “best” estimator tractable is to limit the class of estimators. A popular way of restricting the class of estimators, the one we consider in this section, is to consider only unbiased estimators.

If $W_1$ and $W_2$ are both unbiased estimators of a parameter $\theta$, that is, $\mathrm{E}\theta W_1=$ $\mathrm{E}\theta W_2=\theta$, then their mean squared errors are equal to their variances, so we should choose the estimator with the smaller variance. If we can find an unbiased estimator with uniformly smallest variance – a best unbiased estimator – then our task is done.
Before proceeding we note that, although we will be dealing with unbiased estimators, the results here and in the next section are actually more general. Suppose that there is an estimator $W^$ of $\theta$ with $\mathrm{E}\theta W^=\tau(\theta) \neq \theta$, and we are interested in investigating the worth of $W^*$. Consider the class of estimators
$$
\mathcal{C}\tau=\left{W: \mathrm{E}\theta W=\tau(\theta)\right} $$ For any $W_1, W_2 \in \mathcal{C}\tau, \operatorname{Bias}\theta W_1=\operatorname{Bias}\theta W_2$, so
$$
\mathrm{E}\theta\left(W_1-\theta\right)^2-\mathrm{E}\theta\left(W_2-\theta\right)^2=\operatorname{Var}\theta W_1-\operatorname{Var}\theta W_2,
$$
and MSE comparisons, within the class $\mathcal{C}_\tau$, can be based on variance alone. Thus, although we speak in terms of unbiased estimators, we really are comparing estimators that have the same expected value, $\tau(\theta)$.

The goal of this section is to investigate a method for finding a “best” unbiased estimator, which we define in the following way.

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Mean Squared Error

我们首先研究估计器质量的有限样本度量，从其均方误差开始。

7.3.1参数$\theta$的估计量$W$的均方误差(MSE)是$\mathrm{E}_\theta(W-\theta)^2$定义的$\theta$的函数。

注意，MSE测量估计器$W$和参数$\theta$之间的平均平方差，这是对点估计器性能的合理度量。一般来说，绝对距离$|W-\theta|$的任何递增函数都可以用来衡量估计器的优劣(平均绝对误差$\mathrm{E}\theta(|W-\theta|)$是一种合理的替代方法)，但是相对于其他距离度量，MSE至少有两个优点:首先，它在分析上很容易处理，其次，它具有解释$$ \mathrm{E}\theta(W-\theta)^2=\operatorname{Var}\theta W+\left(\mathrm{E}\theta W-\theta\right)^2=\operatorname{Var}\theta W+\left(\operatorname{Bias}\theta W\right)^2,
$$
其中我们定义估计量的偏差如下。
7.3.2参数$\theta$的点估计器$W$的偏差为$W$与$\theta$期望值之差;也就是$\operatorname{Bias}\theta W=\mathrm{E}\theta W-\theta$。偏差完全等于0的估计量(在$\theta$中)称为无偏估计量，并且对所有$\theta$都满足$\mathrm{E}_\theta W=\theta$。

因此，MSE包含两个组成部分，一个测量估计器的可变性(精度)，另一个测量其偏差(精度)。具有良好MSE特性的估计量具有较小的组合方差和偏差。为了找到具有良好MSE特性的估计量，我们需要找到既能控制方差又能控制偏差的估计量。显然，无偏估计器在控制偏倚方面做得很好。
对于无偏估计量我们有
$$
\mathrm{E}\theta(W-\theta)^2=\operatorname{Var}\theta W
$$
所以，如果一个估计量是无偏的，它的MSE等于它的方差。

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Best Unbiased Estimators

如前一节所述，基于MSE考虑的估算器的比较可能不会产生明确的偏好。事实上，没有一个“最好的MSE”估计器。许多人觉得这很麻烦或烦人，与其对候选估计器进行MSE比较，他们更愿意有一个“推荐的”估计器。

没有一个“最佳MSE”估计器的原因是所有估计器的类太大了。(例如，估计器$\hat{\theta}=17$在$\theta=17$的MSE中不能被打败，但在其他方面是一个糟糕的估计器。)使寻找“最佳”估计量的问题易于处理的一种方法是限制估计量的类别。限制估计量类别的一种流行方法，即我们在本节中考虑的，是只考虑无偏估计量。

如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是否都是一个参数的无偏估计量 $\theta$，也就是说， $\mathrm{E}\theta W_1=$ $\mathrm{E}\theta W_2=\theta$，则它们的均方误差等于方差，所以我们应该选择方差较小的估计量。如果我们能找到方差一致最小的无偏估计量，即最佳无偏估计量，那么我们的任务就完成了。
在继续之前，我们注意到，尽管我们将处理无偏估计量，但这里和下一节的结果实际上更一般。假设有一个估计量 $W^$ 的 $\theta$ 有 $\mathrm{E}\theta W^=\tau(\theta) \neq \theta$我们有兴趣调查的价值 $W^*$． 考虑一类估计量
$$
\mathcal{C}\tau=\left{W: \mathrm{E}\theta W=\tau(\theta)\right} $$ 对于任何 $W_1, W_2 \in \mathcal{C}\tau, \operatorname{Bias}\theta W_1=\operatorname{Bias}\theta W_2$所以
$$
\mathrm{E}\theta\left(W_1-\theta\right)^2-\mathrm{E}\theta\left(W_2-\theta\right)^2=\operatorname{Var}\theta W_1-\operatorname{Var}\theta W_2,
$$
和MSE比较，在班级内 $\mathcal{C}_\tau$，可以仅基于方差。因此，尽管我们说的是无偏估计量，我们实际上是在比较具有相同期望值的估计量， $\tau(\theta)$．

本节的目标是研究一种寻找“最佳”无偏估计量的方法，我们以以下方式定义它。

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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统计推断Statistical Inference指的是一个研究领域，我们在面对不确定性的情况下，根据我们观察到的数据，试图推断世界的未知特性。它是一个数学框架，在许多情况下量化我们的常识所说的话，但在常识不够的情况下，它允许我们超越常识。对正确的统计推断的无知会导致错误的决策和浪费金钱。就像对其他领域的无知一样，对统计推断的无知也会让别人操纵你，让你相信一些错误的事情是正确的。

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Sufficient Statistics

A sufficient statistic is formally defined in the following way.
Definition 6.2.1 $\quad$ A statistic $T(\mathbf{X})$ is a sufficient statistic for $\theta$ if the conditional distribution of the sample $\mathbf{X}$ given the value of $T(\mathbf{X})$ does not depend on $\theta$.

If $T(\mathbf{X})$ has a continuous distribution, then $P_\theta(T(\mathbf{X})=t)=0$ for all values of $t$. A more sophisticated notion of conditional probability than that introduced in Chapter 1 is needed to fully understand Definition 6.2.1 in this case. A discussion of this can be found in more advanced texts such as Lehmann (1986). We will do our calculations in the discrete case and will point out analogous results that are true in the continuous case.

To understand Definition 6.2.1, let $t$ be a possible value of $T(\mathbf{X})$, that is, a value such that $P_\theta(T(\mathbf{X})=t)>0$. We wish to consider the conditional probability $P_\theta(\mathbf{X}=$ $\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=t)$. If $\mathbf{x}$ is a sample point such that $T(\mathbf{x}) \neq t$, then clearly $P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=$ $t)=0$. Thus, we are interested in $P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$. By the definition, if $T(\mathbf{X})$ is a sufficient statistic, this conditional probability is the same for all values of $\theta$ so we have omitted the subscript.

A sufficient statistic captures all the information about $\theta$ in this sense. Consider Experimenter 1, who observes $\mathbf{X}=\mathbf{x}$ and, of course, can compute $T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$. To make an inference about $\theta$ he can use the information that $\mathbf{X}=\mathbf{x}$ and $T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$. Now consider Experimenter 2, who is not told the value of $\mathbf{X}$ but only that $T(\mathbf{X})=$ $T(\mathbf{x})$. Experimenter 2 knows $P(\mathbf{X}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$, a probability distribution on

$A_{T(\mathbf{x})}={\mathbf{y}: T(\mathbf{y})=T(\mathbf{x})}$, because this can be computed from the model without knowledge of the true value of $\theta$. Thus, Experimenter 2 can use this distribution and a randomization device, such as a random number table, to generate an observation $\mathbf{Y}$ satisfying $P(\mathbf{Y}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))=P(\mathbf{X}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$. It turns out that, for each value of $\theta, \mathbf{X}$ and $\mathbf{Y}$ have the same unconditional probability distribution, as we shall see below. So Experimenter 1, who knows $\mathbf{X}$, and Experimenter 2, who knows $\mathbf{Y}$, have equivalent information about $\theta$. But surely the use of the random number table to generate $\mathbf{Y}$ has not added to Experimenter 2’s knowledge of $\theta$. All his knowledge about $\theta$ is contained in the knowledge that $T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$. So Experimenter 2, who knows only $T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$, has just as much information about $\theta$ as does Experimenter 1 , who knows the entire sample $\mathbf{X}=\mathbf{x}$.

To complete the above argument, we need to show that $\mathbf{X}$ and $\mathbf{Y}$ have the same unconditional distribution, that is, $P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x})=P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x})$ for all $\mathbf{x}$ and $\theta$. Note that the events ${\mathbf{X}=\mathbf{x}}$ and ${\mathbf{Y}=\mathbf{x}}$ are both subsets of the event ${T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})}$. Also recall that
$$
P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))=P(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))
$$
and these conditional probabilities do not depend on $\theta$. Thus we have
$$
\begin{aligned}
P_\theta(\mathbf{X} & =\mathbf{x}) \
& =P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x} \text { and } T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) P_\theta(T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \quad\left(\begin{array}{c}
\text { definition of } \
\text { conditional probability }
\end{array}\right) \
& =P(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) P_\theta(T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \text { and } T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x}) .
\end{aligned}
$$

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Ancillary Statistics

In the preceding sections, we considered sufficient statistics. Such statistics, in a sense, contain all the information about $\theta$ that is available in the sample. In this section we introduce a different sort of statistic, one that has a complementary purpose.

Definition 6.2.16 A statistic $S(\mathbf{X})$ whose distribution does not depend on the parameter $\theta$ is called an ancillary statistic.

Alone, an ancillary statistic contains no information about $\theta$. An ancillary statistic is an observation on a random variable whose distribution is fixed and known, unrelated to $\theta$. Paradoxically, an ancillary statistic, when used in conjunction with other statistics, sometimes does contain valuable information for inferences about $\theta$. We will investigate this behavior in the next section. For now, we just give some examples of ancillary statistics.

Example 6.2.17 (Uniform ancillary statistic) As in Example 6.2.15, let $X_1, \ldots, X_n$ be iid uniform observations on the interval $(\theta, \theta+1),-\infty<\theta<\infty$. Let $X_{(1)}<\cdots<X_{(n)}$ be the order statistics from the sample. We show below that the range statistic, $R=X_{(n)}-X_{(1)}$, is an ancillary statistic by showing that the pdf of $R$ does not depend on $\theta$. Recall that the cdf of each $X_i$ is
$$
F(x \mid \theta)= \begin{cases}0 & x \leq \theta \ x-\theta & \theta<x<\theta+1 \ 1 & \theta+1 \leq x\end{cases}
$$
Thus, the joint pdf of $X_{(1)}$ and $X_{(n)}$, as given by (5.5.7), is
$$
g\left(x_{(1)}, \boldsymbol{x}{(n)} \mid \theta\right)= \begin{cases}n(n-1)\left(\boldsymbol{x}{(n)}-\boldsymbol{x}{(1)}\right)^{n-2} & \theta{(1)}<x_{(n)}<\theta+1 \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Sufficient Statistics

充分统计量的正式定义如下。
定义6.2.1 $\quad$如果给定$T(\mathbf{X})$值的样本$\mathbf{X}$的条件分布不依赖于$\theta$，则统计量$T(\mathbf{X})$是$\theta$的充分统计量。

如果$T(\mathbf{X})$是连续分布，那么对于$t$的所有值都是$P_\theta(T(\mathbf{X})=t)=0$。在这种情况下，需要一个比第一章中介绍的更复杂的条件概率概念来完全理解定义6.2.1。关于这一点的讨论可以在更高级的文本中找到，如Lehmann(1986)。我们将在离散情况下进行计算，并指出在连续情况下成立的类似结果。

为了理解定义6.2.1，设$t$为$T(\mathbf{X})$的一个可能值，即，使$P_\theta(T(\mathbf{X})=t)>0$。我们希望考虑条件概率$P_\theta(\mathbf{X}=$$\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=t)$。如果$\mathbf{x}$是一个类似$T(\mathbf{x}) \neq t$的样本点，那么显然是$P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=$$t)=0$。因此，我们对$P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$感兴趣。根据定义，如果$T(\mathbf{X})$是一个充分的统计量，则该条件概率对于$\theta$的所有值都是相同的，因此我们省略了下标。

在这个意义上，一个充分的统计数据捕获了关于$\theta$的所有信息。以实验者1为例，他观察$\mathbf{X}=\mathbf{x}$，当然也可以计算$T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$。为了对$\theta$做出推断，他可以使用$\mathbf{X}=\mathbf{x}$和$T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$的信息。现在考虑实验者2，他没有被告知$\mathbf{X}$的值，只知道$T(\mathbf{X})=$$T(\mathbf{x})$。实验者2知道$P(\mathbf{X}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$，一个概率分布

$A_{T(\mathbf{x})}={\mathbf{y}: T(\mathbf{y})=T(\mathbf{x})}$，因为这可以在不知道$\theta$的真实值的情况下从模型中计算出来。因此，实验者2可以使用这种分布和随机化设备，如随机数表，生成一个观察$\mathbf{Y}$满足$P(\mathbf{Y}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))=P(\mathbf{X}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$。事实证明，对于$\theta, \mathbf{X}$和$\mathbf{Y}$的每个值具有相同的无条件概率分布，如下所示。实验者1，他知道$\mathbf{X}$，实验者2，他知道$\mathbf{Y}$，他们对$\theta$有相同的信息。但可以肯定的是，使用随机数表生成$\mathbf{Y}$并没有增加实验者2对$\theta$的了解。他关于$\theta$的所有知识都包含在$T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$的知识中。所以实验者2，他只知道$T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$，和实验者1，他知道整个样本$\mathbf{X}=\mathbf{x}$一样多关于$\theta$的信息。

为了完成上述论证，我们需要证明$\mathbf{X}$和$\mathbf{Y}$具有相同的无条件分布，即对于所有$\mathbf{x}$和$\theta$都是$P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x})=P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x})$。注意，事件${\mathbf{X}=\mathbf{x}}$和${\mathbf{Y}=\mathbf{x}}$都是事件${T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})}$的子集。还记得吗
$$
P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))=P(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))
$$
这些条件概率不依赖于$\theta$。因此我们有
$$
\begin{aligned}
P_\theta(\mathbf{X} & =\mathbf{x}) \
& =P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x} \text { and } T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) P_\theta(T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \quad\left(\begin{array}{c}
\text { definition of } \
\text { conditional probability }
\end{array}\right) \
& =P(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) P_\theta(T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \text { and } T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x}) .
\end{aligned}
$$

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Ancillary Statistics

在前面的小节中，我们考虑了充分的统计数据。从某种意义上说，这些统计信息包含了样本中可用的关于$\theta$的所有信息。在本节中，我们将介绍一种不同的统计数据，它具有互补的目的。

定义6.2.16不依赖于$\theta$参数的统计量$S(\mathbf{X})$称为辅助统计量。

单独地，辅助统计数据不包含有关$\theta$的信息。辅助统计量是对随机变量的观测值，该随机变量的分布是固定且已知的，与$\theta$无关。矛盾的是，当辅助统计数据与其他统计数据结合使用时，有时确实包含有价值的信息来推断$\theta$。我们将在下一节中研究这种行为。现在，我们只给出一些辅助统计数据的例子。

例6.2.17(统一辅助统计)例6.2.15中，设$X_1, \ldots, X_n$为区间$(\theta, \theta+1),-\infty<\theta<\infty$上的统一观测值。设$X_{(1)}<\cdots<X_{(n)}$为样本的顺序统计量。下面我们通过显示$R$的pdf不依赖于$\theta$来说明范围统计量$R=X_{(n)}-X_{(1)}$是一个辅助统计量。回想一下，每个$X_i$的cdf是
$$
F(x \mid \theta)= \begin{cases}0 & x \leq \theta \ x-\theta & \theta<x<\theta+1 \ 1 & \theta+1 \leq x\end{cases}
$$
因此，根据式(5.5.7)，$X_{(1)}$和$X_{(n)}$的联合pdf为
$$
g\left(x_{(1)}, \boldsymbol{x}{(n)} \mid \theta\right)= \begin{cases}n(n-1)\left(\boldsymbol{x}{(n)}-\boldsymbol{x}{(1)}\right)^{n-2} & \theta{(1)}<x_{(n)}<\theta+1 \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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统计推断Statistical Inference（可以与描述性统计进行对比。描述性统计只关注观察到的数据的属性，它并不依赖于数据来自一个更大的群体的假设。在机器学习中，推理一词有时被用来代替 “通过评估一个已经训练好的模型来进行预测”；在这种情况下，推断模型的属性被称为训练或学习（而不是推理），而使用模型进行预测被称为推理（而不是预测）；另见预测推理。

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Order Statistics

Sample values such as the smallest, largest, or middle observation from a random sample can provide additional summary information. For example, the highest flood waters or the lowest winter temperature recorded during the last 50 years might be useful data when planning for future emergencies. The median price of houses sold during the previous month might be useful for estimating the cost of living. These are all examples of order statistics.

Definition 5.4.1 The order statistics of a random sample $X_1, \ldots, X_n$ are the sample values placed in ascending order. They are denoted by $X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}$.

The order statistics are random variables that satisfy $X_{(1)} \leq \cdots \leq X_{(n)}$. In particular,
$$
\begin{aligned}
X_{(1)} & =\min {1 \leq i \leq n} X_i, \ X{(2)} & =\text { second smallest } X_i, \
& \vdots \
X_{(n)} & =\max _{1 \leq i \leq n} X_i .
\end{aligned}
$$
Since they are random variables, we can discuss the probabilities that they take on various values. To calculate these probabilities we need the pdfs or pmfs of the order statistics. The formulas for the pdfs of the order statistics of a random sample from a continuous population will be the main topic later in this section, but first, we will mention some statistics that are easily defined in terms of the order statistics.

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Convergence in Probability

This type of convergence is one of the weaker types and, hence, is usually quite easy to verify.

Definition 5.5.1 A sequence of random variables, $X_1, X_2, \ldots$, converges in probability to a random variable $X$ if, for every $\epsilon>0$,
$$
\lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_n-X\right| \geq \epsilon\right)=0 \quad \text { or, equivalently, } \quad \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_{n^{-}}-X\right|<\epsilon\right)=1
$$
The $X_1, X_2, \ldots$ in Definition 5.5.1 (and the other definitions in this section) are typically not independent and identically distributed random variables, as in a random sample. The distribution of $X_n$ changes as the subscript changes, and the convergence concepts discussed in this section describe different ways in which the distribution of $X_n$ converges to some limiting distribution as the subscript becomes large.

Frequently, statisticians are concerned with situations in which the limiting random variable is a constant and the random variables in the sequence are sample means (of some sort). The most famous result of this type is the following.

Theorem 5.5.2 (Weak Law of Large Numbers) Let $X_1, X_2, \ldots$ be iid random variables with $\mathrm{E} X_i=\mu$ and $\operatorname{Var} X_i=\sigma^2<\infty$. Define $\bar{X}n=(1 / n) \sum{i=1}^n X_i$. Then,

for every $\epsilon>0$,
$$
\lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left|\bar{X}_n-\mu\right|<\epsilon\right)=1 $$ that is, $\bar{X}_n$ converges in probability to $\mu$. Proof: The proof is quite simple, being a straightforward application of Chebychev’s Inequality. We have, for every $\epsilon>0$, $$ P\left(\left|\bar{X}_n-\mu\right| \geq \epsilon\right)=P\left(\left(\bar{X}_n-\mu\right)^2 \geq \epsilon^2\right) \leq \frac{\mathrm{E}\left(\bar{X}_n-\mu\right)^2}{\epsilon^2}=\frac{\operatorname{Var} \bar{X}{\backsim}}{\epsilon^2}=\frac{\sigma^2}{n \epsilon^2}
$$
Hence, $P\left(\left|\bar{X}_n-\mu\right|<\epsilon\right)=1-P\left(\left|\bar{X}_n-\mu\right| \geq \epsilon\right) \geq 1-\sigma^2 /\left(n \epsilon^2\right) \rightarrow 1$, as $n \rightarrow \infty$.

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Order Statistics

样本值，如随机样本中的最小、最大或中间观测值，可以提供额外的汇总信息。例如，在过去50年中记录的最高洪水或最低冬季温度可能是规划未来紧急情况时有用的数据。前一个月售出房屋的中间价格可能有助于估计生活成本。这些都是顺序统计的例子。

5.4.1随机样本的有序统计量$X_1, \ldots, X_n$是按升序排列的样本值。它们用$X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}$表示。

顺序统计量是满足$X_{(1)} \leq \cdots \leq X_{(n)}$的随机变量。特别是，
$$
\begin{aligned}
X_{(1)} & =\min {1 \leq i \leq n} X_i, \ X{(2)} & =\text { second smallest } X_i, \
& \vdots \
X_{(n)} & =\max _{1 \leq i \leq n} X_i .
\end{aligned}
$$
由于它们是随机变量，我们可以讨论它们取不同值的概率。为了计算这些概率，我们需要阶统计量的pdf或pmfs。连续总体随机样本的顺序统计量的pdf公式将是本节后面的主要主题，但首先，我们将提到一些很容易用顺序统计量定义的统计量。

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Convergence in Probability

这种类型的收敛是较弱的类型之一，因此通常很容易验证。

5.5.1随机变量序列$X_1, X_2, \ldots$在概率上收敛于随机变量$X$，如果，对于每一个$\epsilon>0$，
$$
\lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_n-X\right| \geq \epsilon\right)=0 \quad \text { or, equivalently, } \quad \lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_{n^{-}}-X\right|<\epsilon\right)=1
$$
定义5.5.1中的$X_1, X_2, \ldots$(以及本节中的其他定义)通常不是独立且同分布的随机变量，就像在随机样本中一样。$X_n$的分布随着下标的变化而变化，本节中讨论的收敛概念描述了当下标变大时$X_n$的分布收敛到某个极限分布的不同方式。

通常，统计学家关心的情况是，极限随机变量是一个常数，序列中的随机变量是样本均值(某种形式)。这种类型最著名的结果如下。

定理5.5.2(弱大数定律)设$X_1, X_2, \ldots$为两个随机变量，分别为$\mathrm{E} X_i=\mu$和$\operatorname{Var} X_i=\sigma^2<\infty$。定义$\bar{X}n=(1 / n) \sum{i=1}^n X_i$。然后，

对于每个$\epsilon>0$，
$$
\lim {n \rightarrow \infty} P\left(\left|\bar{X}_n-\mu\right|<\epsilon\right)=1 $$即$\bar{X}_n$在概率上收敛于$\mu$。证明:证明很简单，就是直接应用Chebychev不等式。对于每一个$\epsilon>0$$$ P\left(\left|\bar{X}_n-\mu\right| \geq \epsilon\right)=P\left(\left(\bar{X}_n-\mu\right)^2 \geq \epsilon^2\right) \leq \frac{\mathrm{E}\left(\bar{X}_n-\mu\right)^2}{\epsilon^2}=\frac{\operatorname{Var} \bar{X}{\backsim}}{\epsilon^2}=\frac{\sigma^2}{n \epsilon^2}
$$
因此，$P\left(\left|\bar{X}_n-\mu\right|<\epsilon\right)=1-P\left(\left|\bar{X}_n-\mu\right| \geq \epsilon\right) \geq 1-\sigma^2 /\left(n \epsilon^2\right) \rightarrow 1$即$n \rightarrow \infty$。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写统计推断Statistical Inference 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。统计推断Statistical Inference是利用数据分析来推断概率基础分布的属性的过程。推断性统计分析推断人口的属性，例如通过测试假设和得出估计值。假设观察到的数据集是从一个更大的群体中抽出的。

统计推断Statistical Inference（可以与描述性统计进行对比。描述性统计只关注观察到的数据的属性，它并不依赖于数据来自一个更大的群体的假设。在机器学习中，推理一词有时被用来代替 “通过评估一个已经训练好的模型来进行预测”；在这种情况下，推断模型的属性被称为训练或学习（而不是推理），而使用模型进行预测被称为推理（而不是预测）；另见预测推理。

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|The Exchange Paradox

The “Exchange Paradox” (Christensen and Utts 1992) has generated a lengthy dialog among statisticians. The problem (or the paradox) goes as follows:
A swami puts $m$ dollars in one envelope and $2 m$ dollars in another. You and your opponent each get one of the envelopes (at random). You open your envelope and find $x$ dollars, and then the swami asks you if you want to trade envelopes. You reason that if you switch, you will get either $x / 2$ or $2 x$ dollars, each with probability $1 / 2$. This makes the expected value of a switch equal to $(1 / 2)(x / 2)+(1 / 2)(2 x)=5 x / 4$, which is greater than the $x$ dollars that you hold in your hand. So you offer to trade.
The paradox is that your opponent has done the same calculation. How can the trade be advantageous for both of you?
(i) Christensen and Utts say, “The conclusion that trading envelopes is always optimal is based on the assumption that there is no information obtained by observing the contents of the envelope,” and they offer the following resolution. Let $M \sim \pi(m)$ be the pdf for the amount of money placed in the first envelope, and let $X$ be the amount of money in your envelope. Then $P(X=m \mid M=$ $m)=P(X=2 m \mid M=m)=1 / 2$, and hence
$$
P(M=x \mid X=x)=\frac{\pi(x)}{\pi(x)+\pi(x / 2)} \text { and } P(M=x / 2 \mid X=x)=\frac{\pi(x / 2)}{\pi(x)+\pi(x / 2)}
$$
It then follows that the expected winning from a trade is
$$
\frac{\pi(x)}{\pi(x)+\pi(x / 2)} 2 x+\frac{\pi(x / 2)}{\pi(x)+\pi(x / 2)} \frac{x}{2},
$$
and thus you should trade only if $\pi(x / 2)<2 \pi(x)$. If $\pi$ is the exponential $(\lambda)$ density, it is optimal to trade if $x<2 \log 2 / \lambda$.
(ii) A more classical approach does not assume that there is a pdf on the amount of money placed in the first envelope. Christensen and Utts also offer an explanation here, noting that the paradox occurs if one incorrectly assumes that $P(Y=y \mid X=x)=1 / 2$ for all values of $X$ and $Y$, where $X$ is the amount in your envelope and $Y$ is the amount in your opponent’s envelope. They argue that the correct conditional distributions are $P(Y=2 x \mid X=m)=1$ and $P(Y=x / 2 \mid X=2 m)=1$ and that your expected winning if you trade is $E(Y)=3 m / 2$, which is the same as your expected winning if you keep your envelope.

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|More on the Arithmetic-Geometric-Harmonic Mean Inequality

The arithmetic-geometric-harmonic mean inequality is a special case of a general result about power means, which are defined by
$$
A_r=\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^r\right]^{1 / r}
$$
for $x_i \geq 0$. Shier (1988) shows that $A_r$ is a nondecreasing function of $r$; that is, $A_r \leq A_{r^{\prime}}$ if $r \leq r^{\prime}$ or
$$
\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^r\right]^{1 / r} \leq\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^{r^{\prime}}\right]^{1 / r^{\prime}} \quad \text { for } r \leq r^{\prime} .
$$
It should be clear that $A_1$ is the arithmetic mean and $A_{-1}$ is the harmonic mean. What is less clear, but true, is that $A_0=\lim _{r \rightarrow 0} A_r$ is the geometric mean. Thus, the arithmetic-geometric-harmonic mean inequality follows as a special case of the power mean inequality (see Exercise 4.57 ).

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|The Exchange Paradox

“交换悖论”(Christensen and Utts 1992)在统计学家之间引发了一场冗长的对话。问题(或悖论)如下:
师傅把$m$美元放在一个信封里，$2 m$美元放在另一个信封里。你和你的对手各得到一个信封(随机)。你打开信封，找到$x$美元，然后师父问你是否想要交换信封。你的理由是，如果你交换，你将得到$x / 2$或$2 x$美元，每一个的概率是$1 / 2$。这使得一个开关的期望值等于$(1 / 2)(x / 2)+(1 / 2)(2 x)=5 x / 4$，它大于你手中的$x$美元。所以你提出交易。
矛盾的是，你的对手也做了同样的计算。这笔交易怎样才能对你们双方都有利?
(i) Christensen和Utts说:“交易信封总是最优的结论是建立在观察信封内容无法获得信息的假设基础上的。”他们给出了以下解决方案。设$M \sim \pi(m)$为第一个信封中的钱数的pdf，设$X$为信封中的钱数。然后$P(X=m \mid M=$$m)=P(X=2 m \mid M=m)=1 / 2$，以此类推
$$
P(M=x \mid X=x)=\frac{\pi(x)}{\pi(x)+\pi(x / 2)} \text { and } P(M=x / 2 \mid X=x)=\frac{\pi(x / 2)}{\pi(x)+\pi(x / 2)}
$$
因此，交易的预期收益是
$$
\frac{\pi(x)}{\pi(x)+\pi(x / 2)} 2 x+\frac{\pi(x / 2)}{\pi(x)+\pi(x / 2)} \frac{x}{2},
$$
因此，您应该只交易$\pi(x / 2)<2 \pi(x)$。如果$\pi$是指数$(\lambda)$密度，交易$x<2 \log 2 / \lambda$是最优的。
更经典的方法不假设第一个信封里的钱数有pdf格式。克里斯滕森和乌茨在这里也提供了一个解释，他们指出，如果一个人错误地假设$X$和$Y$的所有值都是$P(Y=y \mid X=x)=1 / 2$，那么悖论就会发生，其中$X$是你信封里的金额，$Y$是你对手信封里的金额。他们认为，正确的条件分布是$P(Y=2 x \mid X=m)=1$和$P(Y=x / 2 \mid X=2 m)=1$，如果你交易，你的预期盈利是$E(Y)=3 m / 2$，这与你保留信封的预期盈利是一样的。

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|More on the Arithmetic-Geometric-Harmonic Mean Inequality

算术-几何-调和均值不等式是幂均值的一般结果的一种特殊情况
$$
A_r=\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^r\right]^{1 / r}
$$
为了 $x_i \geq 0$． Shier(1988)证明了这一点 $A_r$ 一个非递减函数是 $r$;也就是说， $A_r \leq A_{r^{\prime}}$ 如果 $r \leq r^{\prime}$ 或
$$
\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^r\right]^{1 / r} \leq\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^{r^{\prime}}\right]^{1 / r^{\prime}} \quad \text { for } r \leq r^{\prime} .
$$
应该很清楚 $A_1$ 算术平均值是和吗 $A_{-1}$ 是调和均值。什么不太清楚，但却是真的 $A_0=\lim _{r \rightarrow 0} A_r$ 是几何均值。因此，算术-几何-调和平均不等式是幂平均不等式的一个特例(见练习4.57)。

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统计推断Statistical Inference（可以与描述性统计进行对比。描述性统计只关注观察到的数据的属性，它并不依赖于数据来自一个更大的群体的假设。在机器学习中，推理一词有时被用来代替 “通过评估一个已经训练好的模型来进行预测”；在这种情况下，推断模型的属性被称为训练或学习（而不是推理），而使用模型进行预测被称为推理（而不是预测）；另见预测推理。

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Joint and Marginal Distributions

In previous chapters, we have discussed probability models and computation of probability for events involving only one random variable. These are called univariate models. In this chapter, we discuss probability models that involve more than one random variable – naturally enough, called multivariate models.

In an experimental situation, it would be very unusual to observe only the value of one random variable. That is, it would be an unusual experiment in which the total data collected consisted of just one numeric value. For example, consider an experiment designed to gain information about some health characteristics of a population of people. It would be a modest experiment indeed if the only datum collected was the body weight of one person. Rather, the body weights of several people in the population might be measured. These different weights would be observations on different random variables, one for each person measured. Multiple observations could also arise because several physical characteristics were measured on each person. For example, temperature, height, and blood pressure, in addition to weight, might be measured. These observations on different characteristics could also be modeled as observations on different random variables. Thus, we need to know how to describe and use probability models that deal with more than one random variable at a time. For the first several sections we will discuss mainly bivariate models, models involving two random variables.

Recall that, in Definition 1.4.1, a (univariate) random variable was defined to be a function from a sample space $S$ into the real numbers. A random vector, consisting of several random variables, is defined similarly.

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Conditional Distributions and Independence

Oftentimes when two random variables, $(X, Y)$, are observed, the values of the two variables are related. For example, suppose that, in sampling from a human population, $X$ denotes a person’s height and $Y$ denotes the same person’s weight. Surely we would think it more likely that $Y>200$ pounds if we were told that $X=73$ inches than if we were told that $X=41$ inches. Knowledge about the value of $X$ gives us some information about the value of $Y$ even if it does not tell us the value of $Y$ exactly. Conditional probabilities regarding $Y$ given knowledge of the $X$ value can be computed using the joint distribution of $(X, Y)$. Sometimes, however, knowledge about $X$ gives us no information about $Y$. We will discuss these topics concerning conditional probabilities in this section.

If $(X, Y)$ is a discrete random vector, then a conditional probability of the form $P(Y=y \mid X=x)$ is interpreted exactly as in Definition 1.3.2. For a countable (maybe finite) number of $x$ values, $P(X=x)>0$. For these values of $x, P(Y=y \mid X=x)$ is simply $P(X=x, Y=y) / P(X=x)$, according to the definition. The event ${Y=y}$ is the event $A$ in the formula and the event ${X=x}$ is the event $B$. For a fixed value of $x, P(Y=y \mid X=x)$ could be computed for all possible values of $y$. In this way the probability of various values of $y$ could be assessed given the knowledge that $X=x$ was observed. This computation can be simplified by noting that in terms of the joint and marginal pmfs of $X$ and $Y$, the above probabilities are $P(X=x, Y=y)=f(x, y)$ and $P(X=x)=f_X(x)$. This leads to the following definition.

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Joint and Marginal Distributions

在前面的章节中，我们讨论了概率模型和只涉及一个随机变量的事件的概率计算。这些被称为单变量模型。在本章中，我们将讨论涉及多个随机变量的概率模型——很自然地被称为多变量模型。

在实验情况下，只观察一个随机变量的值是非常不寻常的。也就是说，这将是一个不寻常的实验，其中收集的全部数据仅由一个数值组成。例如，考虑一个旨在获得有关人群的某些健康特征的信息的实验。如果收集的唯一数据是一个人的体重，这将是一个适度的实验。相反，可以测量人群中几个人的体重。这些不同的权重将是对不同随机变量的观察，每个被测量的人一个。由于测量了每个人的几种身体特征，也可能产生多种观察结果。例如，除了体重之外，还可以测量温度、身高和血压。这些对不同特征的观察结果也可以建模为对不同随机变量的观察结果。因此，我们需要知道如何描述和使用一次处理多个随机变量的概率模型。在前几节中，我们将主要讨论二元模型，即涉及两个随机变量的模型。

回想一下，在定义1.4.1中，(单变量)随机变量被定义为从样本空间$S$到实数的函数。由几个随机变量组成的随机向量的定义与此类似。

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Conditional Distributions and Independence

通常，当观察到两个随机变量$(X, Y)$时，这两个变量的值是相关的。例如，假设从一个人群中抽样，X表示一个人的身高，Y表示同一个人的体重。当然，如果我们被告知X=73美元英寸，我们会认为Y大于200美元磅的可能性要大于X=41美元英寸。关于$X$的值的知识给了我们关于$Y$的值的一些信息，即使它不能准确地告诉我们$Y$的值。给定$X$值的知识，关于$Y$的条件概率可以使用$(X, Y)$的联合分布计算。然而，有时候，关于X的知识并没有给我们关于Y的信息。我们将在本节中讨论有关条件概率的这些主题。

如果$(X, Y)$是一个离散的随机向量，那么形式为$P(Y= Y \mid X= X)$的条件概率被完全解释为定义1.3.2。对于一个可数(可能有限)的$x$值，$P(x =x)>0$。对于这些$x的值，根据定义，P(Y= Y \mid x =x)$就是$P(x =x, Y= Y) / P(x =x)$。事件${Y= Y}$是公式中的事件$A$，事件${X= X}$是事件$B$。对于一个固定的$x值，P(Y= Y \mid x =x)$可以计算出$ Y $的所有可能值。在已知X= X的情况下，通过这种方法可以评估y的不同值的概率。这个计算可以通过注意$X$和$Y$的联合和边际pmfs来简化，上述概率为$P(X= X, Y= Y)=f(X, Y)$和$P(X= X)=f_X(X)$。这导致了以下定义。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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MATLAB代写

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|ContinuouS Distributions

In this section we will discuss some of the more common families of continuous distributions, those with well-known names. The distributions mentioned here by no means constitute all of the distributions used in statistics. Indeed, as was seen in Section 1.6, any nonnegative, integrable function can be transformed into a pdf.
Uniform Distribution
The continuous uniform distribution is defined by spreading mass uniformly over an interval $[a, b]$. Its pdf is given by
$$
f(x \mid a, b)= \begin{cases}\frac{1}{b-a} & \text { if } x \in[a, b] \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
It is easy to check that $\int_a^b f(x) d x=1$. We also have
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E} X & =\int_a^b \frac{x}{b-a} d x=\frac{b+a}{2} ; \
\operatorname{Var} X & =\int_a^b \frac{\left(x-\frac{b+a}{2}\right)^2}{b-a} d x=\frac{(b-a)^2}{12}
\end{aligned}
$$
Gamma Distribution
The gamma family of distributions is a flexible family of distributions on $[0, \infty)$ and can be derived by the construction discussed in Section 1.6. If $\alpha$ is a positive constant, the integral
$$
\int_0^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} d t
$$
is finite. If $\alpha$ is a positive integer, the integral can be expressed in closed form; otherwise, it cannot. In either case its value defines the gamma function,
$$
\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} d t
$$
The gamma function satisfies many useful relationships, in particular,
$$
\Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha), \quad \alpha>0
$$
which can be verified through integration by parts. Combining (3.3.3) with the easily verified fact that $\Gamma(1)=1$, we have for any integer $n>0$,
$$
\Gamma(n)=(n-1) !
$$

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Normal Distribution

The normal distribution (sometimes called the Gaussian distribution) plays a central role in a large body of statistics. There are three main reasons for this. First, the normal distribution and distributions associated with it are very tractable analytically (although this may not seem so at first glance). Second, the normal distribution has the familiar bell shape, whose symmetry makes it an appealing choice for many population models. Although there are many other distributions that are also bellshaped, most do not possess the analytic tractability of the normal. Third, there is the Central Limit Theorem (see Chapter 5 for details), which shows that, under mild conditions, the normal distribution can be used to approximate a large variety of distributions in large samples.

The normal distribution has two parameters, usually denoted by $\mu$ and $\sigma^2$, which are its mean and variance. The pdf of the normal distribution with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$ (usually denoted by $\mathrm{n}\left(\mu, \sigma^2\right)$ ) is given by
$$
f\left(x \mid \mu, \sigma^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-(x-\mu)^2 /\left(2 \sigma^2\right)}, \quad-\infty<x<\infty .
$$
If $X \sim \mathrm{n}\left(\mu, \sigma^2\right)$, then the random variable $Z=(X-\mu) / \sigma$ has a $\mathrm{n}(0,1)$ distribution, also known as the standard normal. This is easily established by writing
$$
\begin{aligned}
P(Z \leq z) & =P\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \leq z\right) \
& =P(X \leq z \sigma+\mu) \
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{z \sigma+\mu} e^{-(x-\mu)^2 /\left(2 \sigma^2\right)} d x \
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^z e^{-t^2 / 2} d t, \quad\left(\text { substitute } t=\frac{x-\mu}{\sigma}\right)
\end{aligned}
$$
showing that $P(Z \leq z)$ is the standard normal cdf.

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|ContinuouS Distributions

在本节中，我们将讨论一些更常见的连续分布家族，它们都是众所周知的名字。这里提到的分布绝不是统计中使用的所有分布。实际上，正如在1.6节中所看到的，任何非负的、可积的函数都可以被转换成pdf。
均匀分布
连续均匀分布的定义是质量在一个间隔$[a, b]$上均匀分布。它的pdf由
$$
f(x \mid a, b)= \begin{cases}\frac{1}{b-a} & \text { if } x \in[a, b] \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
很容易检查$\int_a^b f(x) d x=1$。我们还有
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E} X & =\int_a^b \frac{x}{b-a} d x=\frac{b+a}{2} ; \
\operatorname{Var} X & =\int_a^b \frac{\left(x-\frac{b+a}{2}\right)^2}{b-a} d x=\frac{(b-a)^2}{12}
\end{aligned}
$$
伽马分布
gamma族分布是$[0, \infty)$上的一个灵活的分布族，可以通过1.6节中讨论的构造推导出来。如果$\alpha$是一个正常数，积分
$$
\int_0^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} d t
$$
是有限的。如果$\alpha$是正整数，则积分可以用封闭形式表示;否则，它不能。在这两种情况下，它的值定义了函数，
$$
\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} d t
$$
函数满足很多有用的关系，特别是，
$$
\Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha), \quad \alpha>0
$$
这可以通过分部积分来验证。结合(3.3.3)式和易于验证的事实$\Gamma(1)=1$，对于任意整数$n>0$，
$$
\Gamma(n)=(n-1) !
$$

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Normal Distribution

正态分布(有时称为高斯分布)在大量统计数据中起着中心作用。这主要有三个原因。首先，正态分布和与之相关的分布在分析上是非常容易处理的(尽管乍一看可能不是这样)。其次，正态分布具有熟悉的钟形，其对称性使其成为许多人口模型的诱人选择。虽然还有许多其他的分布也是钟形分布，但大多数不具备正态分布的分析可追溯性。第三，中心极限定理(详见第5章)，它表明，在温和的条件下，正态分布可以用来近似大样本中的各种分布。

正态分布有两个参数，通常用$\mu$和$\sigma^2$表示，分别是均值和方差。均值$\mu$和方差$\sigma^2$(通常用$\mathrm{n}\left(\mu, \sigma^2\right)$表示)的正态分布的pdf由式给出
$$
f\left(x \mid \mu, \sigma^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-(x-\mu)^2 /\left(2 \sigma^2\right)}, \quad-\infty<x<\infty .
$$
如果$X \sim \mathrm{n}\left(\mu, \sigma^2\right)$，则随机变量$Z=(X-\mu) / \sigma$的分布为$\mathrm{n}(0,1)$，也称为标准正态分布。这很容易通过写作建立起来
$$
\begin{aligned}
P(Z \leq z) & =P\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \leq z\right) \
& =P(X \leq z \sigma+\mu) \
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{z \sigma+\mu} e^{-(x-\mu)^2 /\left(2 \sigma^2\right)} d x \
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^z e^{-t^2 / 2} d t, \quad\left(\text { substitute } t=\frac{x-\mu}{\sigma}\right)
\end{aligned}
$$
表明$P(Z \leq z)$是标准的正规cdf。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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统计推断Statistical Inference（可以与描述性统计进行对比。描述性统计只关注观察到的数据的属性，它并不依赖于数据来自一个更大的群体的假设。在机器学习中，推理一词有时被用来代替 “通过评估一个已经训练好的模型来进行预测”；在这种情况下，推断模型的属性被称为训练或学习（而不是推理），而使用模型进行预测被称为推理（而不是预测）；另见预测推理。

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Moments and Moment Generating Functions

The elementary process of counting can become quite sophisticated when placed in the hands of a statistician. Most often, methods of counting are used in order to construct probability assignments on finite sample spaces, although they can be used to answer other questions also.

Example 1.2.12 (Lottery-I) For a number of years the New York state lottery operated according to the following scheme. From the numbers $1,2, \ldots, 44$, a person may pick any six for her ticket. The winning number is then decided by randomly selecting six numbers from the forty-four. To be able to calculate the probability of winning we first must count how many different groups of six numbers can be chosen from the forty-four.

Example 1.2.13 (Tournament) In a single-elimination tournament, such as the U.S. Open tennis tournament, players advance only if they win (in contrast to doubleelimination or round-robin tournaments). If we have 16 entrants, we might be interested in the number of paths a particular player can take to victory, where a path is taken to mean a sequence of opponents.

Counting problems, in general, sound complicated, and often we must do our counting subject to many restrictions. The way to solve such problems is to break them down into a series of simple tasks that are easy to count, and employ known rules of combining tasks. The following theorem is a first step in such a process and is sometimes known as the Fundamental Theorem of Counting.

Theorem 1.2.14 If a job consists of $k$ separate tasks, the ith of which can be done in $n_i$ ways, $i=1, \ldots, k$, then the entire $j o b$ can be done in $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$ ways.

Proof: It suffices to prove the theorem for $k=2$ (see Exercise 1.15). The proof is just a matter of careful counting. The first task can be done in $n_1$ ways, and for each of these ways we have $n_2$ choices for the second task. Thus, we can do the job in
$$
\underbrace{\left(1 \times n_2\right)+\left(1 \times n_2\right)+\cdots+\left(1 \times n_2\right)}_{n_1 \text { terms }}=n_1 \times n_2
$$
ways, establishing the theorem for $k=2$.

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Differentiating Under an Integral Sign

In the previous section we encountered an instance in which we desired to interchange the order of integration and differentiation. This situation is encountered frequently in theoretical statistics. The purpose of this section is to characterize conditions under which this operation is legitimate. We will also discuss interchanging the order of differentiation and summation.

Many of these conditions can be established using standard theorems from calculus and detailed proofs can be found in most calculus textbooks. Thus, detailed proofs will not be presented here.
We first want to establish the method of calculating
$$
\frac{d}{d \theta} \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(x, \theta) d x
$$
where $-\infty<a(\theta), b(\theta)<\infty$ for all $\theta$. The rule for differentiating (2.4.1) is called Leibnitz’s Rule and is an application of the Fundamental Theorem of Calculus and the chain rule.

Theorem 2.4.1 (Leibnitz’s Rule) If $f(x, \theta), a(\theta)$, and $b(\theta)$ are differentiable with respect to $\theta$, then
$$
\frac{d}{d \theta} \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(x, \theta) d x=f(b(\theta), \theta) \frac{d}{d \theta} b(\theta)-f(a(\theta), \theta) \frac{d}{d \theta} a(\theta)+\int_{a(\theta)}^{b(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} f(x, \theta) d x .
$$
Notice that if $a(\theta)$ and $b(\theta)$ are constant, we have a special case of Leibnitz’s Rule:
$$
\frac{d}{d \theta} \int_a^b f(x, \theta) d x=\int_a^b \frac{\partial}{\partial \theta} f(x, \theta) d x
$$

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Moments and Moment Generating Functions

在统计学家手中，最基本的计数过程可以变得相当复杂。大多数情况下，计数方法用于在有限样本空间上构造概率分配，尽管它们也可用于回答其他问题。

例1.2.12(彩票- i)多年来，纽约州彩票按照以下方案运作。从数字$1,2, \ldots, 44$中，一个人可以为她的彩票选择任何六个。然后从44个数字中随机选择6个数字来决定中奖号码。为了能够计算获胜的概率，我们首先必须计算从44个数字中可以选择多少组不同的6个数字。

例1.2.13(锦标赛)在单淘汰赛中，如美国网球公开赛，选手只有获胜才能晋级(与双淘汰赛或循环赛相反)。如果我们有16个参与者，我们可能会对特定玩家通往胜利的路径数量感兴趣，其中路径意味着一系列对手。

一般来说，计数问题听起来很复杂，而且我们常常必须在许多限制条件下进行计数。解决这类问题的方法是将它们分解成一系列容易计算的简单任务，并采用已知的任务组合规则。下面的定理是这个过程的第一步，有时被称为计数基本定理。

定理1.2.14如果一个作业由$k$个独立的任务组成，其中第i个任务可以用$n_i$种方法$i=1, \ldots, k$完成，那么整个$j o b$个任务可以用$n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$种方法完成。

证明:证明$k=2$的定理就足够了(参见练习1.15)。证明只是一个仔细计算的问题。第一个任务有$n_1$种方法可以完成，对于第二个任务，我们有$n_2$种方法可供选择。因此，我们可以在
$$
\underbrace{\left(1 \times n_2\right)+\left(1 \times n_2\right)+\cdots+\left(1 \times n_2\right)}_{n_1 \text { terms }}=n_1 \times n_2
$$
方法，建立$k=2$的定理。

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Differentiating Under an Integral Sign

在前一节中，我们遇到了一个需要交换积分和微分顺序的实例。这种情况在理论统计学中经常遇到。本节的目的是描述该操作合法的条件。我们还将讨论微分和求和的交换顺序。

这些条件中的许多都可以用微积分中的标准定理来建立，在大多数微积分教科书中都可以找到详细的证明。因此，这里不提供详细的证明。
我们首先要建立计算方法
$$
\frac{d}{d \theta} \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(x, \theta) d x
$$
其中$-\infty<a(\theta), b(\theta)<\infty$代表所有$\theta$。微分规则(2.4.1)被称为莱布尼茨规则，是微积分基本定理和链式法则的应用。

定理2.4.1(莱布尼茨规则)如果$f(x, \theta), a(\theta)$，和$b(\theta)$对$\theta$可微，则
$$
\frac{d}{d \theta} \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(x, \theta) d x=f(b(\theta), \theta) \frac{d}{d \theta} b(\theta)-f(a(\theta), \theta) \frac{d}{d \theta} a(\theta)+\int_{a(\theta)}^{b(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} f(x, \theta) d x .
$$
注意，如果$a(\theta)$和$b(\theta)$是常数，我们有一个莱布尼茨规则的特殊情况:
$$
\frac{d}{d \theta} \int_a^b f(x, \theta) d x=\int_a^b \frac{\partial}{\partial \theta} f(x, \theta) d x
$$

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Counting

The elementary process of counting can become quite sophisticated when placed in the hands of a statistician. Most often, methods of counting are used in order to construct probability assignments on finite sample spaces, although they can be used to answer other questions also.

Example 1.2.12 (Lottery-I) For a number of years the New York state lottery operated according to the following scheme. From the numbers $1,2, \ldots, 44$, a person may pick any six for her ticket. The winning number is then decided by randomly selecting six numbers from the forty-four. To be able to calculate the probability of winning we first must count how many different groups of six numbers can be chosen from the forty-four.

Example 1.2.13 (Tournament) In a single-elimination tournament, such as the U.S. Open tennis tournament, players advance only if they win (in contrast to doubleelimination or round-robin tournaments). If we have 16 entrants, we might be interested in the number of paths a particular player can take to victory, where a path is taken to mean a sequence of opponents.

Counting problems, in general, sound complicated, and often we must do our counting subject to many restrictions. The way to solve such problems is to break them down into a series of simple tasks that are easy to count, and employ known rules of combining tasks. The following theorem is a first step in such a process and is sometimes known as the Fundamental Theorem of Counting.

Theorem 1.2.14 If a job consists of $k$ separate tasks, the ith of which can be done in $n_i$ ways, $i=1, \ldots, k$, then the entire $j o b$ can be done in $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$ ways.

Proof: It suffices to prove the theorem for $k=2$ (see Exercise 1.15). The proof is just a matter of careful counting. The first task can be done in $n_1$ ways, and for each of these ways we have $n_2$ choices for the second task. Thus, we can do the job in
$$
\underbrace{\left(1 \times n_2\right)+\left(1 \times n_2\right)+\cdots+\left(1 \times n_2\right)}_{n_1 \text { terms }}=n_1 \times n_2
$$
ways, establishing the theorem for $k=2$.

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Enumerating Outcomes

The counting techniques of the previous section are useful when the sample space $S$ is a finite set and all the outcomes in $S$ are equally likely. Then probabilities of events can be calculated by simply counting the number of outcomes in the event. To see this, suppose that $S=\left{s_1, \ldots, s_N\right}$ is a finite sample space. Saying that all the outcomes are equally likely means that $P\left(\left{s_i\right}\right)=1 / N$ for every outcome $s_i$. Then, using Axiom 3 from Definition 1.2.4, we have, for any event $A$,
$$
P(A)=\sum_{s_i \in A} P\left(\left{s_i\right}\right)=\sum_{s_i \in A} \frac{1}{N}=\frac{# \text { of elements in } A}{# \text { of elements in } S} .
$$
For large sample spaces, the counting techniques might be used to calculate both the numerator and denominator of this expression.

Example 1.2.18 (Poker) Consider choosing a five-card poker hand from a standard deck of 52 playing cards. Obviously, we are sampling without replacement from the deck. But to specify the possible outcomes (possible hands), we must decide whether we think of the hand as being dealt sequentially (ordered) or all at once (unordered). If we wish to calculate probabilities for events that depend on the order, such as the probability of an ace in the first two cards, then we must use the ordered outcomes. But if our events do not depend on the order, we can use the unordered outcomes. For this example we use the unordered outcomes, so the sample space consists of all the five-card hands that can be chosen from the 52-card deck. There are $\left(\begin{array}{c}52 \ 5\end{array}\right)=2,598,960$ possible hands. If the deck is well shuffled and the cards are randomly dealt, it is reasonable to assign probability $1 / 2,598,960$ to each possible hand.

We now calculate some probabilities by counting outcomes in events. What is the probability of having four aces? How many different hands are there with four aces? If we specify that four of the cards are aces, then there are 48 different ways of specifying the fifth card. Thus,
$$
P(\text { four aces })=\frac{48}{2,598,960}
$$
less than 1 chance in 50,000 . Only slightly more complicated counting, using Theorem 1.2.14, allows us to calculate the probability of having four of a kind. There are 13 ways to specify which denomination there will be four of. After we specify these four cards, there are 48 ways of specifying the fifth. Thus, the total number of hands with four of a kind is $(13)(48)$ and
$$
P(\text { four of a kind })=\frac{(13)(48)}{2,598,960}=\frac{624}{2,598,960}
$$

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Counting

在统计学家手中，最基本的计数过程可以变得相当复杂。大多数情况下，计数方法用于在有限样本空间上构造概率分配，尽管它们也可用于回答其他问题。

例1.2.12(彩票- i)多年来，纽约州彩票按照以下方案运作。从数字$1,2, \ldots, 44$中，一个人可以为她的彩票选择任何六个。然后从44个数字中随机选择6个数字来决定中奖号码。为了能够计算获胜的概率，我们首先必须计算从44个数字中可以选择多少组不同的6个数字。

例1.2.13(锦标赛)在单淘汰赛中，如美国网球公开赛，选手只有获胜才能晋级(与双淘汰赛或循环赛相反)。如果我们有16个参与者，我们可能会对特定玩家通往胜利的路径数量感兴趣，其中路径意味着一系列对手。

一般来说，计数问题听起来很复杂，而且我们常常必须在许多限制条件下进行计数。解决这类问题的方法是将它们分解成一系列容易计算的简单任务，并采用已知的任务组合规则。下面的定理是这个过程的第一步，有时被称为计数基本定理。

定理1.2.14如果一个作业由$k$个独立的任务组成，其中第i个任务可以用$n_i$种方法$i=1, \ldots, k$完成，那么整个$j o b$个任务可以用$n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$种方法完成。

证明:证明$k=2$的定理就足够了(参见练习1.15)。证明只是一个仔细计算的问题。第一个任务有$n_1$种方法可以完成，对于第二个任务，我们有$n_2$种方法可供选择。因此，我们可以在
$$
\underbrace{\left(1 \times n_2\right)+\left(1 \times n_2\right)+\cdots+\left(1 \times n_2\right)}_{n_1 \text { terms }}=n_1 \times n_2
$$
方法，建立$k=2$的定理。

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Enumerating Outcomes

前一节的计数技术在样本空间$S$是一个有限集合并且$S$中的所有结果都是等可能的情况下非常有用。然后，可以通过简单地计算事件中结果的数量来计算事件的概率。为了理解这一点，假设$S=\left{s_1, \ldots, s_N\right}$是一个有限样本空间。说所有的结果都是等可能的意味着$P\left(\left{s_i\right}\right)=1 / N$对于每一个结果$s_i$。然后，使用定义1.2.4中的公理3，对于任何事件$A$，
$$
P(A)=\sum_{s_i \in A} P\left(\left{s_i\right}\right)=\sum_{s_i \in A} \frac{1}{N}=\frac{# \text { of elements in } A}{# \text { of elements in } S} .
$$
对于较大的样本空间，计数技术可用于计算该表达式的分子和分母。

例1.2.18(扑克)考虑从一副标准的52张扑克牌中选择一张5张牌。很明显，我们是抽样而不是从甲板上更换。但是要指定可能的结果(可能的手牌)，我们必须决定我们是将手牌视为顺序发牌(有序发牌)还是一次性发牌(无序发牌)。如果我们希望计算依赖于顺序的事件的概率，例如前两张牌中出现a的概率，那么我们必须使用有序的结果。但是如果我们的事件不依赖于顺序，我们可以使用无序的结果。在这个例子中，我们使用无序的结果，所以样本空间由所有可以从52张牌中选择的5张牌组成。有$\left(\begin{array}{c}52 \ 5\end{array}\right)=2,598,960$种可能的手。如果这副牌洗得很好，并且牌是随机发的，那么将概率$1 / 2,598,960$分配给每只可能的手牌是合理的。

我们现在通过计算事件的结果来计算一些概率。得到4张a的概率是多少?四张a有多少不同的手牌?如果我们指定其中四张牌是a，那么有48种不同的方法来指定第五张牌。因此，
$$
P(\text { four aces })=\frac{48}{2,598,960}
$$
不到五万分之一的几率。只有稍微复杂一点的计数，使用定理1.2.14，允许我们计算一种有四个的概率。有13种方法可以指定将有四种面额。在我们指定了这四张牌之后，有48种方法可以指定第五张牌。因此，四手牌的总数为$(13)(48)$和
$$
P(\text { four of a kind })=\frac{(13)(48)}{2,598,960}=\frac{624}{2,598,960}
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计推断Statistical Inference（可以与描述性统计进行对比。描述性统计只关注观察到的数据的属性，它并不依赖于数据来自一个更大的群体的假设。在机器学习中，推理一词有时被用来代替 “通过评估一个已经训练好的模型来进行预测”；在这种情况下，推断模型的属性被称为训练或学习（而不是推理），而使用模型进行预测被称为推理（而不是预测）；另见预测推理。

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|z-test

The $z$-test is the simplest test to use, and is perhaps the most common. It is used when we have the following assumptions:
${ }_1$ We are modeling the data as a true value, $\mu$, with uncertainty
2 We are modeling the as a Normal distribution with known deviation, $\sigma$, as in $\operatorname{Normal}(0, \sigma)$.
3 We are assuming independence between the measurements.
The model of the data is
data $=\mu+$ uncertainty with probability $\operatorname{Normal}(\mu=0, \operatorname{known} \sigma)$
where $\mu$ represents the “true” value. The posterior distribution for $\mu$ also follows a Normal distribution, with a smaller uncertainty, $\sigma / \sqrt{N}$ where $N$ is the number of data points.
To use the $z$-test, we perform the following steps:
1 Calculate our best estimate for $\mu$, denoted as $\hat{\mu}$.
2 Given the known uncertainty, $\sigma$ of a single measurement, determine the range of credible values for $\mu$ within the uncertainty of the estimate for the $N$ observations, $\sigma / \sqrt{N}$.
3 Test to see if the credible range includes zero.
4 If so, then the test passes, and we can be reasonably confident that the parameter is non-zero – that the effect is real.
5 If the test fails, i.e. the credible range does not include zero, then under the model the possibility of a zero-effect cannot be reasonably excluded.

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|What it means and doesn’t mean

For all of these tests, we use the vocabulary of “statistical significance”, which needs to be further clarified.
Significance
There is a term used in the literature called statistical significance. ${ }^1$ Roughly it means a value that is very unlikely to be zero (see Table 1.1 on page ${ }^{11}$ ), or in other words, the value of zero is not within the $95 \%$ percentile. This is within 2 standard deviations of the value, so the following estimated values are not statistically significant:

• $5 \pm 3$ – the two-deviation range is $[-1,11]$ contains the value o
• $7 \pm 4$
  $-3 \pm 2$
  but the following are statistically significant:
• $5 \pm 2$ – the two-deviation range is [1,9] does not contain the value o
• $7 \pm 3$
  $-3 \pm 1$
  Statistical significance, at the very unlikely level (i.e. $95 \%$ percentile) is often used as a rough guideline to publish a positive effect.

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|z-test

$z$ -测试是使用最简单的测试，可能也是最常见的。当我们有以下假设时使用:
${ }_1$我们将数据建模为具有不确定性的真实值$\mu$
我们将其建模为具有已知偏差的正态分布$\sigma$，如$\operatorname{Normal}(0, \sigma)$。
我们假定这些测量之间是独立的。
数据的模型是
数据$=\mu+$不确定性与概率$\operatorname{Normal}(\mu=0, \operatorname{known} \sigma)$
其中$\mu$表示“真实”值。$\mu$的后验分布也遵循正态分布，不确定性较小，$\sigma / \sqrt{N}$中$N$为数据点数。
要使用$z$ -test，我们执行以下步骤:
计算$\mu$的最佳估计值，记为$\hat{\mu}$。
2给定一次测量的已知不确定度$\sigma$，在$N$观测值$\sigma / \sqrt{N}$的估计不确定度范围内确定$\mu$的可信值范围。
3测试可信范围是否包括零。
如果是这样，那么测试通过了，我们可以合理地确信参数是非零的-效果是真实的。
如果检验不通过，即可信范围不包括零，则在该模型下不能合理地排除零效应的可能性。

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|What it means and doesn’t mean

对于所有这些测试，我们使用“统计显著性”的词汇，这需要进一步澄清。
意义
文献中有一个术语叫做统计显著性。${ }^1$粗略地说，它表示一个非常不可能为零的值(参见${ }^{11}$页上的表1.1)，或者换句话说，零的值不在$95 \%$百分位数内。在2个标准差范围内，因此以下估计值不具有统计学意义:

$5 \pm 3$ —两次偏差范围为$[-1,11]$，取值为0

$7 \pm 4$
$-3 \pm 2$
但以下数据具有统计学意义:

$5 \pm 2$ —两次偏差范围为[1,9]，不包含0

$7 \pm 3$
$-3 \pm 1$
统计显著性，在非常不可能的水平(即$95 \%$百分位数)经常被用作公布积极影响的粗略指南。

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其中代写论文大多数都能达到A，B 的成绩， 从而实现了零失败的目标。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。