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## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|The GMRES Algorithm

In this section, we consider a system of linear equations
$$A x=b$$
with a general real nonsingular $n \times n$ matrix $A$ which may be nonsymmetric, and solution $\bar{x}:=A^{-1} b$. There were many efforts to develop conjugategradient type algorithms for solving such systems [see Saad (1996) for a comprehensive representation] that, among others, lead to the generalized minimum residual method (GMRES) of Saad and Schultz (1986). It is a Krylov space method: Starting with any approximate solution $x_0 \neq \bar{x}$ with residual $r_0:=b-A x_0 \neq 0$, it generates subsequent approximations $x_k$ to $\bar{x}$ with the following properties:
$$\begin{gathered} x_k \in x_0+K_k\left(r_0, A\right), \ \left|b-A x_k\right|_2=\min \left{|b-A u|_2 \mid u \in x_0+K_k\left(r_0, A\right)\right} . \end{gathered}$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The Biorthogonalization Method of Lanczos and the QMR Algorithm

There are additional Krylov space methods for solving linear equations $A x=b$ with arbitrary real or complex nonsingular $n \times n$ matrices $A$. These methods work with pairs of Krylov spaces

\begin{aligned} K_k\left(v_1, A\right) & =\operatorname{span}\left[v_1, A v_1, \ldots, A^{k-1} v_1\right], \ K_k\left(w_1, A^T\right) & =\operatorname{span}\left[w_1, A^T w_1, \ldots,\left(A^T\right)^{k-1} w_1\right], \end{aligned}
and not with single spaces, as the methods considered so far. Even though these methods are applicable to systems with a complex matrix $A$, we will assume that $A$ is real.

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|The GMRES Algorithm

$$A x=b$$

\left 缺少或无法识别的分隔符

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The Biorthogonalization Method of Lanczos and the QMR Algorithm

$$K_k\left(v_1, A\right)=\operatorname{span}\left[v_1, A v_1, \ldots, A^{k-1} v_1\right], K_k\left(w_1, A^T\right) \quad=\operatorname{span}\left[w_1, A^T w_1, \ldots,\left(A^T\right)^{k-1} w_1\right],$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Error analysis of the finite element method

We begin with a fundamental result that underlies the error analysis of finite element methods.

Theorem 14.6 (Céa’s Lemma) Suppose that $u$ is the function that minimises $\mathcal{J}(u)$ over $\mathrm{H}{\mathrm{E}}^1(a, b)$ (or, equivalently, that $u$ satisfies (14.6)), and that $u^h$ is its Galerkin approximation obtained by minimising $\mathcal{J}($. ) over $S{\mathrm{E}}^h\left(\right.$ or, equivalently, that $u^h$ satisfies (14.14)). Then,
$$\mathcal{A}\left(u-u^h, v^h\right)=0 \quad \forall v^h \in S_0^h,$$
and
$$\mathcal{A}\left(u-u^h, u-u^h\right)=\min {v^h \in S{\mathrm{E}}^h} \mathcal{A}\left(u-v^h, u-v^h\right)$$

v} u}{\mathrm{~d} x}\right)+r(x) u=f(x), \quad a0, r(x) \geq 0$for all$x \in[a, b]$, subject to the boundary conditions $$u(a)=A, \quad u(b)=B .$$Later on in the chapter, in Section 14.5, we shall also consider the ordinary differential equation$$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(p(x) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}\right)+q(x) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}+r(x) u=f(x), \quad a<x<b,$$subject to the boundary conditions (14.2). Indeed, much of the material discussed here can be extended to partial differential equations; for pointers to the relevant literature we refer to the Notes at the end of the chapter. ## 数值分析代写 ## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Error analysis of the finite element method 我们从一个基本结果开始，该结果是有限元方法误差分析的基础。 定理$14.6$(Céa 的引理) 假设$u$是最小化函数$\mathcal{J}(u)$超过$\mathrm{HE}^1(a, b)$（或者，等价地，$u$满足 (14.6))，并且$u^h$是通过最小化得到 的伽辽金近似$\mathcal{J}($.$) 超过 S \mathrm{E}^h$(或者，等价地，$u^h$满足 (14.14))。然后， $$\mathcal{A}\left(u-u^h, v^h\right)=0 \quad \forall v^h \in S_0^h,$$ $$\mathcal{A}\left(u-u^h, u-u^h\right)=\min v^h \in S \mathrm{E}^h \mathcal{A}\left(u-v^h, u-v^h\right)$$ ## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|A posteriori error analysis by duality $$u(a)=A, \quad u(b)=B .$$ 在本章后面的$14.5$节中，我们还将考虑常微分方程 $$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(p(x) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}\right)+q(x) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}+r(x) u=f(x), \quad a<x<b,$$ 受边界条件 (14.2) 约束。事实上，这里讨论的大部分材料都可以扩展到偏微分方程; 有关相关文献的指针，请参阅本章末尾的注 释。 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:LU分解代写, Numerical analysis, 多项式插值方法代写, 数值分析, 数值积分代写, 数学代写, 最小二乘法代写 ## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT7604 Boundary conditions involving a derivative 如果你也在 怎样代写数值分析Numerical analysis STAT7604这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数值分析Numerical analysis是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。 数值分析Numerical analysis是研究使用数值近似的算法（相对于符号操作）来解决数学分析的问题（区别于离散数学）。它是研究试图寻找问题的近似解而不是精确解的数值方法。数值分析在工程和物理科学的所有领域都有应用，在21世纪还包括生命科学和社会科学、医学、商业甚至艺术领域。目前计算能力的增长使得更复杂的数值分析的使用成为可能，在科学和工程中提供详细和现实的数学模型。数值分析的例子包括：天体力学中的常微分方程（预测行星、恒星和星系的运动），数据分析中的数值线性代数，以及用于模拟医学和生物学中活细胞的随机微分方程和马尔科夫链。 数值分析Numerical analysis代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的数值分析Numerical analysis作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此数值分析Numerical analysis作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在数值分析Numerical analysis代写方面经验极为丰富，各种数值分析Numerical analysis相关的作业也就用不着 说。 ## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Boundary conditions involving a derivative The same differential equation (13.1) may be associated with boundary conditions involving the first derivative of the solution. Suppose, for example, that we are given real numbers$\alpha>0, A$and$B$. Consider the differential equation (13.1) together with the boundary conditions $$y^{\prime}(a)-\alpha y(a)=A, \quad y(b)=B .$$ The condition at$x=a$may be approximated in various ways; we shall introduce an extra mesh point$x_{-1}$outside the interval and use the approximate version $$\frac{Y_1-Y_{-1}}{2 h}-\alpha Y_0=A$$ This gives $$Y_{-1}=Y_1-2 h \alpha Y_0-2 h A .$$ Writing the same central difference approximation (13.5) as before, but now for$j=0,1, \ldots, n-1$, we can eliminate the extra unknown$Y_{-1}$from the equation at$j=0$to give $$\left[\frac{2(1+\alpha h)}{h^2}+r_0\right] Y_0-\frac{2}{h^2} Y_1=f_0-\frac{2}{h} A$$ ## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Introduction: the model problem In Chapter 13 we explored finite difference methods for the numerical solution of two-point boundary value problems. The present chapter is devoted to the foundations of the theory of finite element methods. For the sake of simplicity the exposition will be, at least initially, confined to the second-order ordinary differential equation $$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(p(x) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}\right)+r(x) u=f(x), \quad a0, r(x) \geq 0 for all x \in[a, b], subject to the boundary conditions$$ u(a)=A, \quad u(b)=B . $$Later on in the chapter, in Section 14.5, we shall also consider the ordinary differential equation$$ -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(p(x) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}\right)+q(x) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}+r(x) u=f(x), \quad a<x<b, $$subject to the boundary conditions (14.2). Indeed, much of the material discussed here can be extended to partial differential equations; for pointers to the relevant literature we refer to the Notes at the end of the chapter. ## 数值分析代写 ## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Boundary conditions involving a derivative 相同的微分方程 (13.1) 可能与涉及解的一阶导数的边界条件相关联。例如，假设我们得到实数 \alpha>0, A 和 B. 考虑微分方程 (13.1) 和边界条件$$ y^{\prime}(a)-\alpha y(a)=A, \quad y(b)=B . $$条件在 x=a 可以用多种方式近似；我们将引入一个额外的网格点 x_{-1} 在区间之外并使用近似版本$$ \frac{Y_1-Y_{-1}}{2 h}-\alpha Y_0=A $$这给$$ Y_{-1}=Y_1-2 h \alpha Y_0-2 h A . $$编写与之前相同的中心差分近似 (13.5)，但现在对于 j=0,1, \ldots, n-1 ，我们可以消除多余的末知数 Y_{-1} 从 等式 j=0 给予$$ \left[\frac{2(1+\alpha h)}{h^2}+r_0\right] Y_0-\frac{2}{h^2} Y_1=f_0-\frac{2}{h} A $$## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|lntroduction: the model problem 在第 13 章中，我们探讨了两点边值问题的数值解的有限差分法。本章专门介绍有限元方法的理论基础。为了简 单起见，至少在开始时，阐述将限于二阶常微分方程$$ -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(p(x) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}\right)+r(x) u=f(x), \quad a 0, r(x) \geq 0 \$ \text { forall } \$x \in[a, b] \$, \text { subjecttotheboundaryconditions }
$$u(a)=A, \backslash quad u(b)=B 。 Lateroninthechapter, inSection 14.5, weshallalsoconsidertheordinarydifferentialequation • \backslash frac {\backslash \operatorname{mathrm}{\mathrm{d}}}{\backslash \operatorname{mathrm}{\mathrm{d}} \mathrm{x}} \backslash \operatorname{left}(\mathrm{p}(\mathrm{x}) \backslash \operatorname{frac}{\backslash \operatorname{mathrm}{\mathrm{d}} u }{\backslash \operatorname{mathrm}{\sim \mathrm{d}} \mathrm{x}} \backslash right )+\mathrm{q}(\mathrm{x}) \backslash \operatorname{frac}{\backslash \operatorname{mathrm}{\mathrm{d}} \mathrm{u}}{\backslash \operatorname{mathrm}{\sim \mathrm{d}} \mathrm{x}}+\mathrm{r}(\mathrm{x}) \mathrm{u}=\mathrm{f}(\mathrm{x}), \quad \mathrm{a}<\mathrm{x}<\mathrm{b}, \ \$$
服从边界条件 (14.2). 事实上，这里讨论的大部分材料都可以扩展到偏微分方程；有关相关文献的指针，请参 阅本章末尾的注释。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## avatest™帮您通过考试

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Flipping a coin until a head appears

In this and subsequent sections of this chapter, we discuss a number of specific probabilistic algorithms.

Let us begin with the following simple algorithm (which was already presented in Example 7.1) that essentially flips a coin until a head appears:
\begin{aligned} \text { repeat } & \ b & \leftarrow R{0,1} \ \text { until } b & =1 \end{aligned}
Let $X$ be a random variable that represents the number of loop iterations made by the algorithm. It should be fairly clear that $X$ has a geometric distribution, where the associated probability of success is $1 / 2$ (see Example 6.30). However, let us derive this fact from more basic principles. Define random variables $B_1, B_2, \ldots$, where $B_i$ represents the value of the bit assigned to $b$ in the $i$ th loop iteration, if $X \geq i$, and $\star$ otherwise. Clearly, exactly one $B_i$ will take the value 1 , in which case $X$ takes the value $i$.
Evidently, for each $i \geq 1$, if the algorithm actually enters the $i$ th loop iteration, then $B_i$ is uniformly distributed over ${0,1}$, and otherwise, $B_i=\star$. That is:
$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left[B_i=0 \mid X \geq i\right]=1 / 2, \quad \mathrm{P}\left[B_i=1 \mid X \geq i\right]=1 / 2 \ \mathrm{P}\left[B_i=\star \mid X<i\right]=1 \end{gathered}$$

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Generating a random number from a given interval

Suppose we want to generate a number $n$ uniformly at random from the interval ${0, \ldots, M-1}$, for a given integer $M \geq 1$.

If $M$ is a power of 2 , say $M=2^k$, then we can do this directly as follows: generate a random $k$-bit string $s$, and convert $s$ to the integer $I(s)$ whose base-2 representation is $s$; that is, if $s=b_{k-1} b_{k-2} \cdots b_0$, where the $b_i$ are bits, then
$$I(s):=\sum_{i=0}^{k-1} b_i 2^i .$$
In the general case, we do not have a direct way to do this, since we can only directly generate random bits. However, suppose that $M$ is a $k$-bit number, so that $2^{k-1} \leq M<2^k$. Then the following algorithm does the job:

Algorithm RN:
repeat
\begin{aligned} & s \leftarrow R{0,1}^{\times k} \ & n \leftarrow I(s) \ & \text { until } n<M \ & \text { output } n\end{aligned}
Let $X$ denote the number of loop iterations of this algorithm, $Y$ its running time, and $N$ its output.

In every loop iteration, $n$ is uniformly distributed over $\left{0, \ldots, 2^k-1\right}$, and the event $n<M$ occurs with probability $M / 2^k$; moreover, conditioning on the latter event, $n$ is uniformly distributed over ${0, \ldots, M-1}$. It follows that $X$ has a geometric distribution with an associated success probability $p:=M / 2^k \geq 1 / 2$, and that $N$ is uniformly distributed over ${0, \ldots, M-1}$. We have $\mathrm{E}[X]=1 / p \leq 2$ (see Example 6.35) and $Y \leq c k X$ for some implementation-dependent constant $c$, from which it follows that
$$\mathrm{E}[Y] \leq c k \mathrm{E}[X] \leq 2 c k$$

## 数学代写|数论代写数论代考|投掷硬币直至出现头像

$$\纹理 { repeat } b {quad {leftarrow R 0,1 {text { until } b=1$$

$s\leftarrow R 0,1^{times k}。\夸父 n /leftarrow I(s)$ 直到 $n<M /quad$ 输出 $n$

$$y]\mathrm{E}[Y]\leq c k\mathrm{E}[X]\leq 2 c k$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Measures of randomness and the leftover hash lemma

In this section, we discuss different ways to measure “how random” a probability distribution is, and relations among them. Consider a distribution defined on a finite sample space $\mathcal{V}$. In some sense, the “most random” distribution on $\mathcal{V}$ is the uniform distribution, while the least random would be a “point mass” distribution, that is, a distribution where one point $v \in \mathcal{V}$ in the sample space has probability 1 , and all other points have probability 0.
We define three measures of randomness. Let $X$ be a random variable taking values on a set $\mathcal{V}$ of size $N$.

We say $X$ is $\delta$-uniform on $\mathcal{V}$ if the statistical distance between $X$ and the uniform distribution on $\mathcal{V}$ is equal to $\delta$; that is,
$$\delta=\frac{1}{2} \sum_{v \in \mathcal{V}}|\mathrm{P}[X=v]-1 / N| .$$

The guessing probability $\gamma(X)$ of $X$ is defined to be
$$\gamma(X):=\max {\mathrm{P}[X=v]: v \in \mathcal{V}} .$$

The collision probability $\kappa(X)$ of $X$ is defined to be
$$\kappa(X):=\sum_{v \in \mathcal{V}} \mathrm{P}[X=v]^2 .$$

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Basic definitions

To say that the sample space $\mathcal{U}$ is countably infinite simply means that there is a bijection $f$ from the set of positive integers onto $\mathcal{U}$; thus, we can enumerate the elements of $\mathcal{U}$ as $u_1, u_2, u_3, \ldots$, where $u_i=f(i)$.

As in the finite case, the probability function assigns to each $u \in \mathcal{U}$ a value $\mathrm{P}[u] \in[0,1]$. The basic requirement that the probabilities sum to one (equation (6.1)) is the requirement that the infinite series $\sum_{i=1}^{\infty} \mathrm{P}\left[u_i\right]$ converges to one. Luckily, the convergence properties of an infinite series whose terms are all non-negative is invariant under a re-ordering of terms (see §A4), so it does not matter how we enumerate the elements of $\mathcal{U}$.
Example 6.29. Suppose we flip a fair coin repeatedly until it comes up “heads,” and let the outcome $u$ of the experiment denote the number of coins flipped. We can model this experiment as a discrete probability distribution $\mathbf{D}=(\mathcal{U}, \mathrm{P})$, where $\mathcal{U}$ consists of the set of all positive integers, and where for $u \in \mathcal{U}$, we set $\mathrm{P}[u]=2^{-u}$. We can check that indeed $\sum_{u=1}^{\infty} 2^{-u}=1$, as required.

One may be tempted to model this experiment by setting up a probability distribution on the sample space of all infinite sequences of coin tosses; however, this sample space is not countably infinite, and so we cannot construct a discrete probability distribution on this space. While it is possible to extend the notion of a probability distribution to such spaces, this would take us too far afield.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Random variables

$$\text { 让 } \mathbf{D}=(\mathcal{U}, \mathrm{P}) \text { 是一个概率分布。 }$$

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Expectation and variance

$$\mathrm{E}[X]:=\sum_{u \in \mathcal{U}} X(u) \cdot \mathrm{P}[u] .$$

$$\mathrm{E}[X]=\sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{u \in X^{-1}(x)} x \mathrm{P}[u]=\sum_{x \in \mathcal{X}} x \cdot \mathrm{P}[X=x] .$$

$$\mathrm{E}[f(X)]=\sum_{x \in \mathcal{X}} f(x) \mathrm{P}[X=x] .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Most powerful tests

Setting: In the large-sample scenarios considered in this section, suppose we would test
$$\begin{gathered} H_0: \theta=\theta_0 \ \quad \text { versus } \ H_a: \theta>\theta_0 \end{gathered}$$
using a rejection region of the form
$$\mathrm{RR}={\widehat{\theta}>k},$$
where $k$ is chosen to ensure the test is (approximately) level $\alpha$; i.e., $\alpha \approx P_{H_0}(\widehat{\theta}>k)$. Our goal is to determine the sample size $n$ that confers a Type II Error probability equal to $\beta$ for a pre-specified value $\theta_a>\theta_0$, that is,
$$\theta_a=\theta_0+\Delta,$$
where $\Delta>0$ is the practically important difference we wish to detect. The Type I Error probability request implies
$$\alpha \approx P_{H_0}(\widehat{\theta}>k)=P_{H_0}\left(Z>\frac{k-\theta_0}{\sigma_{\widehat{\theta}}}\right) \Longrightarrow \frac{k-\theta_0}{\sigma_{\widehat{\theta}}}=z_\alpha .$$

## 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Hypothesis tests arising from normal populations

Preview: We now derive hypothesis tests for means and variances when the population distribution is $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$. We consider one and two populations. Given the duality between hypothesis tests and interval estimators, one should compare this section with Section $8.7$ (notes) in STAT 512. All hypothesis tests in this section are exact; i.e., we are not appealing to large-sample arguments like we did in the last section. Rejection regions come from the $t, \chi^2$, and $F$ distributions, and they have Type I Error probability equal to $\alpha$ exactly.

Remark: Test statistics for all scenarios considered this section are given without proof. This is because we have derived all relevant sampling distributions in STAT 512 (see Chapters 7-8). All tests presented will assume a two-sided alternative (so that the rejection region is two-sided). Rejection regions for one-sided alternatives are formed in the obvious way.
10.4.1 Population mean $\mu$
Setting: Suppose $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ is an iid sample from a $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ population distribution, where both $\mu$ and $\sigma^2$ are unknown. The goal is to construct a level $\alpha$ test for
$$\begin{gathered} H_0: \mu=\mu_0 \ \quad \text { versus } \ H_a: \mu \neq \mu_0 . \end{gathered}$$

When $H_0$ is true, we know
$$T=\frac{\bar{Y}-\mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) .$$
Therefore, a level $\alpha$ test uses the rejection region
$$\mathrm{RR}=\left{t<-t_{n-1, \alpha / 2} \text { or } t>t_{n-1, \alpha / 2}\right}=\left{|t|>t_{n-1, \alpha / 2}\right},$$
where
\begin{aligned} -t_{n-1, \alpha / 2} & =\text { lower } \alpha / 2 \text { quantile of } t(n-1) \ t_{n-1, \alpha / 2} & =\text { upper } \alpha / 2 \text { quantile of } t(n-1) \end{aligned}
see Figure $10.13$ (above). This inference procedure is called a one-sample $t$ test.

# 统计推断代写

## 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Most powerful tests

$$H_0: \theta=\theta_0 \quad \text { versus } H_a: \theta>\theta_0$$

$$\mathrm{RR}=\hat{\theta}>k,$$

$$\theta_a=\theta_0+\Delta,$$

$$\alpha \approx P_{H_0}(\hat{\theta}>k)=P_{H_0}\left(Z>\frac{k-\theta_0}{\sigma_{\hat{\theta}}}\right) \Longrightarrow \frac{k-\theta_0}{\sigma_{\hat{\theta}}}=z_\alpha .$$

## 统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Hypothesis tests arising from normal populations

$$H_0: \mu=\mu_0 \quad \text { versus } H_a: \mu \neq \mu_0 \text {. }$$

$$T=\frac{\bar{Y}-\mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) .$$

〈left 缺分或无法识别的分隔符

$$-t_{n-1, \alpha / 2}=\text { lower } \alpha / 2 \text { quantile of } t(n-1) t_{n-1, \alpha / 2}=\text { upper } \alpha / 2 \text { quantile of } t(n-1)$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。