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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|EXPONENTIAL DISTRIBUTION

The pdf $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ of exponential distribution with location parameter $\mu$ and scale parameter $\sigma$ is given as

We denote $\mathrm{E}(\mu, \sigma)$ as the exponential distribution that has the above Pdf. The cumulative distribution function $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ is
$$\mathrm{F}(\mathrm{x})=1-e^{-\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}$$

The pdfs of $\mathrm{E}(0,1), \mathrm{E}(0,2)$ and $\mathrm{E}(0,4)$ are given in Figure 4.5.
Mean $\mu+\sigma$
Variance $\sigma^2$
Moment about zero $\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{\mathrm{k}}\right) \quad \sum_{l=0}^k \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(j+1)} \mu^j \sigma^{k-j}$
Moment generating function $\quad \frac{e^{\mu t}}{1-\sigma t}, t<\frac{1}{\sigma}$
Characteristic function $\frac{e^{i \mu t}}{1-\sigma i t}$.

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|GAMMA DISTRIBUTION

A random variable $\mathrm{X}$ is said to have gamma distribution with parameters $a$ and $b$ if its $\operatorname{pdf} f(x)$ is of the following form,
$$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-x / b}, x \geq 0, a>0, b>0,$$
The pdfs of $\mathrm{GA}(2,1), \mathrm{GA}(5.1)$ and $\mathrm{GA}(10,1)$ are given in Figure 4.6.
Mean $a b$
Variance $a \mathrm{~b}^2$
Moment about the origin $E\left(X^k\right)=\frac{\Gamma(a+k)}{\Gamma(a)} b^k$
Moment generating functionM(t) $=(1-b t)^{-a}, t<\frac{1}{b}$
Characteristic function $\quad \varphi(t)=(1-i b t)^{-a}$.

A random variable $\mathrm{X}$ is said to have inverse Gaussian e distribution if its $\operatorname{pdf} \mathrm{f}(\mathrm{x})$ is as follows.
$$f(x)=\left(\frac{\lambda}{2 \pi x^3}\right)^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2 \mu^2 x}}, \mathrm{x}>0, \lambda>0, \mu>0$$
We denote thee inverse Gaussian distribution with the above pdf as IG $(\lambda . \mu)$.
The pdfs of IG $(1,1)$, IG $(1,3)$ and IG $(3,2)$ are given in Figure 4.7.

# 概率论代写

## 数学代写概率论代考Probability Theory代写|EXPONENTIAL DISTRIBUTION

$\operatorname{pdff}(\mathrm{x})$ 具有位置参数的指数分布 $\mu$ 和尺度参数 $\sigma$ 给出为

$$\mathrm{F}(\mathrm{x})=1-e^{-\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|GAMMA DISTRIBUTION

$$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\Gamma(a) b^a} x^{a-1} e^{-x / b}, x \geq 0, a>0, b>0,$$

IG的 $\operatorname{pdf}(1,1)$, IG $(1,3)$ 和IG $(3,2)$ 在图 4.7 中给出。

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|THE GENERAL CONSTRUCTION OF THE PROBABILITY SPACE

We have considered the variants of probabilistic spaces in situations where the number of outcomes of some experiment is finite or even countable. It should be noted that such schemes are very popular. Elementary events in such situations may be, for example, the following:
“the appearance of the six when throwing a die,”
“getting a ticket with the number 7 during a random selection of 24 examination tickets,”
“three defeats of a football team before its first victory in the championship,”
“the five-time appearance of the letter ” $s$ ” on the first page of a readable newspaper,”
“the winning combination of numbers $(2,8,11,22,27,31)$ falls out in the draw of a lotttery.”
However, many experiments do not fit into these discrete schemes. For example, the result of some experiment may be the coordinate of a randomly thrown point on a real line or the coordinates of a randomly thrown point on a unit square. Therefore, a further generalization of our construction of probability spaces must be useful.

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|RANDOM VARIABLES AND DISTRIBUTION FUNCTIONS

Any probabilistic space constructed is inherently a card file in which a certain set of events and a set of probabilities corresponding to them are located, which determine the degrees of opportunities for the appearance of these events. In many cases, these probabilities could be found without building such heavy construction, which is a probabilistic space, but it turns out that this construction is necessary for defining and working with such important probabilistic object, which is a random variable.

The fact is that very often random outcomes of some experiment completely unrelated to any numbers or numbering can determine certain numerical characteristics depending on these outcomes.

Let’s give the simplest example. The International Football Federation (FIFA) is going to use a lot to determine where the qualifying match of the world championship between the teams of Russia and Finland will take place. The drum contains three cards with the names of the stadiums in St. Petersburg, Helsinki and the neutral field in Berlin. A randomly selected card must determine the city in which this match will take place. A fan from St. Petersburg who is going to visit this game without fail assesses his future expenses (depending on the choice of one of these three stadiums), respectively, as 3,000, 10,000 and 20,000 rubles. For him, before the draw, the future cost is a random variable, taking one of these three values with equal probabilities $1 / 3$.

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|THE GENERAL CONSTRUCTION OF THE PROBABILITY SPACE

“掷骰子时出现 6″、
“在随机抽取 24 张考试票时得到一张数字为 7 的票”、
“足球输了 3 次”首胜前的球队”、
“五次出场的信” $s$ ” 在可读报纸的第一页上，”

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|RANDOMVARIABLES AND DISTRIBUTION FUNCTIONS

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Random Variables on Uncountable Sample Spaces

We end this first intermezzo with some more motivation for the next chapter. We have noted in this intermezzo that very natural sample spaces can be uncountable, and that in such an uncountable sample space, certain strange subsets can exist which we can not assign a probability. This leads to serious complications if we want to define random variables on such sample spaces. As in Chapter 2, we would like to define a random variable $X$ as a function
$$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$$
with the property that we can speak of the probability that $X$ takes a certain value $a$, or the probability that $a<X<b$, for instance. Hence, we would like, for instance, to assign a well defined probability to sets of the form
$${\omega \in \Omega: a<X(\omega)<b}$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Properties of Probability Measures

In the current continuous setting, probabilities are expressed in terms of Riemann integrals. It is perhaps a good idea to recall the dominated convergence theorem 3.2.4 in the higher dimensional setting, since we will use this result a number of times below.

Theorem 5.2.1 (Dominated convergence). Let $f, f_i, i=1,2, \ldots$ be positive integrable functions on $\mathbb{R}^d$, with $f_i(x) \rightarrow f(x)$ as $i \rightarrow \infty$, for all $x=\left(x_1, \ldots, x_d\right)$. Suppose in addition that there exists a function $g$ with $\int \cdots \int_{\mathbb{R}^d} g(x) d x<\infty$ such that $f_i(x) \leq g(x)$, for all $x$ and all $i$. Then
$$\lim {i \rightarrow \infty} \int \cdots \int{\mathbb{R}^d} f_i(x) d x=\int \cdots \int_{\mathbb{R}^d} f(x) d x .$$
In the following lemma we collect some properties of probability measures. In what follows, when we write $P(A)$, this implicitly means that the probability of $A$ is defined, that is, $\int_A f(x) d x$ exists for the appropriate density $f$. Recall the definition of the indicator function of an event $E$ :
$$\mathbf{1}_E(x)= \begin{cases}1 & \text { if } x \in E \ 0 & \text { if } x \notin E\end{cases}$$

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Random Variables on Uncountable Sample Spaces

$$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$$

$$\omega \in \Omega: a<X(\omega)<b$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Properties of Probability Measures

$$\lim i \rightarrow \infty \int \cdots \int \mathbb{R}^d f_i(x) d x=\int \cdots \int_{\mathbb{R}^d} f(x) d x$$

$$\mathbf{1}_E(x)={1 \quad \text { if } x \in E 0 \quad \text { if } x \notin E$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Separating Classes of Functions

Let $(E, d)$ be a metric space with Borel $\sigma$-algebra $\mathcal{E}=\mathcal{B}(E)$.
Denote by $\mathbb{C}={u+i v: u, v \in \mathbb{R}}$ the field of complex numbers. Let
$$\operatorname{Re}(u+i v)=u \quad \text { and } \quad \operatorname{Im}(u+i v)=v$$
denote the real part and the imaginary part, respectively, of $z=u+i v \in \mathbb{C}$. Let $\bar{z}=u-i v$ be the complex conjugate of $z$ and $|z|=\sqrt{u^2+v^2}$ its modulus. A prominent role will be played by the complex exponential function exp : $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, which can be defined either by Euler’s formula $\exp (z)=\exp (u)(\cos (v)+i \sin (v))$ or by the power series $\exp (z)=\sum_{n=0}^{\infty} z^n / n$ !. It is well-known that $\exp \left(z_1+z_2\right)=$ $\exp \left(z_1\right) \cdot \exp \left(z_2\right)$. Note that $\operatorname{Re}(z)=(z+\bar{z}) / 2$ and $\operatorname{Im}(z)=(z-\bar{z}) / 2 i$ imply
$$\cos (x)=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2} \quad \text { and } \quad \sin (x)=\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i} \quad \text { for all } x \in \mathbb{R}$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Characteristic Functions: Examples

Recall that $\operatorname{Re}(z)$ is the real part of $z \in \mathbb{C}$. We collect some simple properties of characteristic functions.

Lemma $15.12$ Let $X$ be a random variable with values in $\mathbb{R}^d$ and characteristic function $\varphi_X(t)=\mathbf{E}\left[e^{i\langle t, X\rangle}\right]$. Then:
(i) $\left|\varphi_X(t)\right| \leq 1$ for all $t \in \mathbb{R}^d$ and $\varphi_X(0)=1$.
(ii) $\varphi_{a X+b}(t)=\varphi_X(a t) e^{i\langle b, t\rangle}$ for all $a \in \mathbb{R}$ and $b \in \mathbb{R}^d$.
(iii) $\mathbf{P}X=\mathbf{P}{-X}$ if and only if $\varphi$ is real-valued.
(iv) If $X$ and $Y$ are independent, then $\varphi_{X+Y}=\varphi_X \cdot \varphi_Y$.
(v) $0 \leq 1-\operatorname{Re}\left(\varphi_X(2 t)\right) \leq 4\left(1-\operatorname{Re}\left(\varphi_X(t)\right)\right)$ for all $t \in \mathbb{R}^d$.
Proof
(i) and (ii) are trivial.
(iii) $\overline{\varphi_X(t)}=\varphi_X(-t)=\varphi_{-X}(t)$.
(iv) As $e^{i\langle t, X\rangle}$ and $e^{i\langle t, Y\rangle}$ are independent random variables, we have
$$\varphi_{X+Y}(t)=\mathbf{E}\left[e^{i\langle t, X\rangle} \cdot e^{i\langle(t, Y\rangle}\right]=\mathbf{E}\left[e^{i\langle t, X\rangle}\right] \mathbf{E}\left[e^{i\langle t, Y\rangle}\right]=\varphi_X(t) \varphi_Y(t)$$
(v) By the addition theorem for trigonometric functions,
$$1-\cos (\langle 2 t, X\rangle)=2\left(1-(\cos (\langle t, X\rangle))^2\right) \leq 4(1-\cos (\langle t, X\rangle)) .$$

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Separating Classes of Functions

$$\operatorname{Re}(u+i v)=u \quad \text { and } \quad \operatorname{Im}(u+i v)=v$$

$$\cos (x)=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2} \quad \text { and } \quad \sin (x)=\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i} \quad \text { for all } x \in \mathrm{R}$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Characteristic Functions: Examples

(二) $\varphi_{a X+b}(t)=\varphi_X(a t) e^{i(b, t)}$ 对全部 $a \in R$ 和 $b \in \mathrm{R}^d$.
(三) $\mathbf{P} X=\mathbf{P}-X$ 当且仅当 $\varphi$ 是实值的。
(iv) 如果 $X$ 和 $Y$ 是独立的，那么 $\measuredangle \varphi_{X+Y}=\varphi_X \cdot \varphi_Y$.
(在) $0 \leq 1-\operatorname{Re}\left(\varphi_X(2 t)\right) \leq 4\left(1-\operatorname{Re}\left(\varphi_X(t)\right)\right)$ 对全部 $t \in \mathrm{R}^d$.

(i) 和 (ii) 是微不足道的。
(三) $\overline{\varphi_X(t)}=\varphi_X(-t)=\varphi_{-X}(t)$.
$$\varphi_{X+Y}(t)=\mathbf{E}\left[e^{i\langle t, X\rangle} \cdot e^{i\langle(t, Y\rangle}\right]=\mathbf{E}\left[e^{i\langle t, X\rangle}\right] \mathbf{E}\left[e^{i\langle t, Y\rangle}\right]=\varphi_X(t) \varphi_Y(t)$$
(v) 由三角函数的加法定理，
$$1-\cos (\langle 2 t, X\rangle)=2\left(1-(\cos (\langle t, X\rangle))^2\right) \leq 4(1-\cos (\langle t, X\rangle)) .$$

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Prohorov’s Theorem

In the following, let $E$ be a Polish space with Borel $\sigma$-algebra $\mathcal{E}$. A fundamental question is: When does a sequence $\left(\mu_n\right){n \in \mathbb{N}}$ of measures on $(E, \mathcal{E})$ converge weakly or does at least have a weak limit point? Evidently, a necessary condition is that $\left(\mu_n(E)\right){n \in \mathbb{N}}$ is bounded. Hence, without loss of generality, we will consider only sequences in $\mathcal{M}{\leq 1}(E)$. However, this condition is not sufficient for the existence of weak limit points, as for example the sequence $\left(\delta_n\right){n \in \mathbb{N}}$ of probability measures on $\mathbb{R}$ does not have a weak limit point (although it converges vaguely to the zero measure). This example suggests that we also have to make sure that no mass “vanishes at infinity”. The idea will be made precise by the notion of tightness.

We start this section by presenting as the main result Prohorov’s theorem [136]. We give the proof first for the special case $E=\mathbb{R}$ and then come to a couple of applications. The full proof of the general case is deferred to the end of the section.
Definition 13.26 (Tightness) A family $\mathcal{F} \subset \mathcal{M}_f(E)$ is called tight if, for any $\varepsilon>0$, there exists a compact set $K \subset E$ such that
$$\sup {\mu(E \backslash K): \mu \in \mathcal{F}}<\varepsilon$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Application: A Fresh Look at de Finetti’s Theorem

(After an idea of Götz Kersting.) Let $E$ be a Polish space and let $X_1, X_2, \ldots$ be an exchangeable sequence of random variables with values in $E$. As an alternative to the backwards martingale argument of Sect. 12.3, here we give a different proof of de Finetti’s theorem (Theorem 12.26). Recall that de Finetti’s theorem states that there exists a random probability measure $\Xi$ on $E$ such that, given $\Xi$, the random variables $X_1, X_2, \ldots$ are independent and $\Xi$-distributed. For $x=\left(x_1, x_2, \ldots\right) \in$ $E^{\mathbb{N}}$, let $\xi_n(x):=\frac{1}{n} \sum_{l=1}^n \delta_{x_l}$ be the empirical distribution of $x_1, \ldots, x_n$. Let
$$\mu_{n, k}(x):=\xi_n(x)^{\otimes k}=n^{-k} \sum_{i_1, \ldots, i_k=1}^n \delta_{\left(x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}\right)}$$
be the distribution on $E^k$ that describes $k$-fold independent sampling with replacement (respecting the order) from $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$. Let
$$v_{n, k}(x):=\frac{(n-k) !}{n !} \sum_{\substack{i_1, \ldots, i_k=1 \ #\left(i_1, \ldots, i_k\right]=k}}^n \delta_{\left(x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}\right)}$$

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Prohorov’s Theorem

$$\sup \mu(E \backslash K): \mu \in \mathcal{F}<\varepsilon$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Application: A Fresh Look at de Finetti’s Theorem

(根据 Götz Kersting 的相法。) 让 $E$ 是一个波兰空间，让 $X_1, X_2, \ldots$ 是一个可交换的随机变量序列，其值在 $E$. 作为 Sect 的向 测度 $\Xi$ 在 $E$ 这样，给定 $\Xi$, 随机变量 $X_1, X_2, \ldots$ 是独立的和 $\Xi$-分敖式。为了的 $=\left(x_1, x_2, \ldots\right) \in E^{\mathbb{N}}$ ，让 $\xi_n(x):=\frac{1}{n} \sum_{l-1}^n \delta_{x_l}$ 是经验分布 $x_1, \ldots, x_n$. 让
$$\mu_{n, k}(x):=\xi_n(x)^{\otimes k}=n^{-k} \sum_{i_1, \ldots, i_k=1}^n \delta_{\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i k}\right)}$$

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