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随机过程Stochastic Porcesses应用和对现象的研究反过来又激发了新的随机过程的提出。这类随机过程的例子包括维纳过程或布朗运动过程，路易-巴舍利耶用来研究巴黎证券交易所的价格变化，以及A.K.埃朗用来研究一定时期内发生的电话数量的泊松过程。 这两个随机过程被认为是随机过程理论中最重要和最核心的，并且在巴切莱特和埃朗之前和之后，在不同的环境和国家中被反复和独立地发现了。

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Non-ageing property of geometric distribution

For a geometric r.v. $X$, we have
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}{X & =s+r \mid X \geq s}=\frac{q^{s+r} p}{q^s} \
& =q^r p=\operatorname{Pr}{X=r} .
\end{aligned}
$$
This property, called non-ageing (or memoryless) property, characterizes geometric distribution among all distributions of discrete non-negative integral r.v.’s.
Note: If $Y_1, Y_2, \ldots$, is a sequence of independent Bernoulli r.v.s, then
$$
X_i=\min \left{i, Y_i=1\right}-1 \text { is a geometric r.v. }
$$
Example 1(e). Logarithmic Series Distribution:
The r.v. $X$ has logarithmic series distribution if
$$
\begin{aligned}
& p_k=\operatorname{Pr}{X=k}=\frac{\alpha q^k}{k}, k=1,2,3, \ldots \
& \alpha=-1 /(\log p) \
& 0<q=1-p<1 .
\end{aligned}
$$
The p.g.f. of $X$ is
$$
\begin{aligned}
P(s) & =\sum_{k=1}^{\infty} p_k s^k=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\alpha q^k}{k} s^k \
& =-\alpha \log (1-s q)=\frac{\log (1-s q)}{\log (1-q)} .
\end{aligned}
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Determination of $\left{p_k\right}$ from a given $P(s)$

From the above examples, we see how a single generating function $P(s)$ may be used to represent a whole set of probabilities
$$
p_k=\operatorname{Pr}{X=k}, \quad k=0,1,2, \ldots
$$
In these examples we were concerned with the problem of finding $P(s)$ for a given set of $p_k$ ‘s. In many cases the reverse problem arises: to determine $p_k$ from a given p.g.f. $P(s)$. Many situations arise, where it is easier to find the p.g.f. $P(s)$ of a variable rather than the probability distribution $\left{p_k\right}$ of the variable. One proceeds to find first the p.g.f. $P(s)$ and then to find the probability $p_k$ from the function $P(s)$. Even without finding the $p_k$ ‘s one can find the moments of the distribution from $P(s)$.
Again, $p_k$ can be (uniquely) determined from $P(s)$ as follows:
$p_k$ can be found from $P(s)$ by applying (1.2), i.e.
$$
p_k=\frac{1}{k !}\left[\frac{d^k P(s)}{d s^k}\right]_{s=0} ;
$$
$p_k$ is also given by the coefficient of $s^k$ in the expansion of $P(s)$ as a power series in $s$.
When $P(s)$ is of the form $P(s)=U(s) / V(s)$, it may be convenient to expand $P(s)$ in a power series in $s$ first by decomposing $P(s)$ into partial factions. Suppose that $s_1, \ldots, s_r$ are the distinct roots of $V(s)$, i.e. $V(s)=\left(s-s_1\right) \ldots\left(s-s_r\right)$ apart from a constant factor $c$, which, for simplicity, we take to be equal to $1)$, then $P(s)$ can be decomposed into partial fractions as
$$
P(s)=\frac{a_1}{s_1-s}+\cdots+\frac{a_r}{s_r-s},
$$
where $a_i$ ‘s can be determined. It may be verified that
$$
a_i=-U\left(s_i\right) / V^{\prime}\left(s_i\right) .
$$

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Non-ageing property of geometric distribution

对于几何rv $X$，我们有
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}{X & =s+r \mid X \geq s}=\frac{q^{s+r} p}{q^s} \
& =q^r p=\operatorname{Pr}{X=r} .
\end{aligned}
$$
这种性质称为非老化(或无记忆)性质，表征了离散非负积分rv的所有分布之间的几何分布。
注:若$Y_1, Y_2, \ldots$为独立伯努利rv序列，则
$$
X_i=\min \left{i, Y_i=1\right}-1 \text { is a geometric r.v. }
$$
例1(e)。对数级数分布:
r.v. $X$具有对数级数分布
$$
\begin{aligned}
& p_k=\operatorname{Pr}{X=k}=\frac{\alpha q^k}{k}, k=1,2,3, \ldots \
& \alpha=-1 /(\log p) \
& 0<q=1-p<1 .
\end{aligned}
$$
$X$的p.g.f.是
$$
\begin{aligned}
P(s) & =\sum_{k=1}^{\infty} p_k s^k=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\alpha q^k}{k} s^k \
& =-\alpha \log (1-s q)=\frac{\log (1-s q)}{\log (1-q)} .
\end{aligned}
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Determination of $\left{p_k\right}$ from a given $P(s)$

从上面的例子中，我们看到如何使用单个生成函数$P(s)$来表示一整套概率
$$
p_k=\operatorname{Pr}{X=k}, \quad k=0,1,2, \ldots
$$
在这些例子中，我们关心的是从一组给定的$p_k$中找到$P(s)$的问题。在许多情况下，会出现相反的问题:从给定的p.g.f. $P(s)$中确定$p_k$。在许多情况下，找到变量的p.g.f. $P(s)$比找到变量的概率分布$\left{p_k\right}$更容易。首先求出p.g.f. $P(s)$，然后从函数$P(s)$求出概率$p_k$。即使没有找到$p_k$，也可以从$P(s)$找到分布的矩。
同样，$p_k$可以(唯一地)从$P(s)$确定，如下所示:
通过应用(1.2)可以从$P(s)$找到$p_k$，即:
$$
p_k=\frac{1}{k !}\left[\frac{d^k P(s)}{d s^k}\right]_{s=0} ;
$$
$p_k$也由$P(s)$展开为$s$的幂级数时的$s^k$的系数给出。
当$P(s)$的形式为$P(s)=U(s) / V(s)$时，可以方便地将$P(s)$展开为$s$的幂级数，首先将$P(s)$分解为若干部分。假设$s_1, \ldots, s_r$是$V(s)$的不同根，即$V(s)=\left(s-s_1\right) \ldots\left(s-s_r\right)$除了常数因子$c$之外，为简单起见，我们取其等于$1)$，那么$P(s)$可以分解为部分分式为
$$
P(s)=\frac{a_1}{s_1-s}+\cdots+\frac{a_r}{s_r-s},
$$
其中$a_i$是可以确定的。可以证实
$$
a_i=-U\left(s_i\right) / V^{\prime}\left(s_i\right) .
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Processes with continuous time

Let $\xi(t), t \geqslant 0$, be a homogeneous Markov branching process with continuous time (parameter). Let $\mathscr{X}$ denote as above the phase space of the process $\xi(t)$ which is an $m$-dimensional lattice of vectors with non-negative integer-valued components. The transition probabilities of the process $\xi(t)$ will be denoted by $p_t(x, y)$ and, as before, in place of $p_t\left(e_i, y\right), p_t\left(x, e_j\right)$ and $p_t\left(e_i, e_j\right)$ we shall write $p_t(i, y), p_t(x, j), p_t(i, j)$ respectively. We shall assume that the transition probabilities satisfy the condition
$$
\lim {t \downarrow 0} p_t(x, y)=\delta(x, y) . $$ First we shall discuss Kolmogorov’s differential equations for branching processes. In accordance with the general theory of homogeneous Markov processes the limits $$ \lim {t \downarrow 0} \frac{p_t(x, y)-\delta(x, y)}{t}=q(x, y)
$$
exist. We shall consider only regular branching processes, i. e. we shall assume that the conditions
$$
-q(x, y)<\infty, \quad \sum_{y \in \mathcal{X}} q(x, y)=0
$$
are satisfied.

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Moments (continuous time)

Assume that
$$
\sum_{x \in \mathscr{X}} q(i, x) x^k=\alpha_i^k \neq \infty \quad(k, i=1, \ldots, m) .
$$
Since the functions $Q(i, w)$ are analytic in the domain $|w|<1$, one can differentiate equations (32) in this domain. We then obtain:
$$
\frac{d a_j^k(t, w)}{d t}=\sum_{r=1}^m Q_j^r\left(g_t(w)\right) a_r^k(t, w), \quad a_j^k(0, w)=\delta_j^k,
$$
where
$$
Q_j^k(t, w)=\frac{\partial Q(j, w)}{\partial w_k}=\sum_{x \in \mathscr{X}} q(j, x) x^k w^{x-e_k}
$$
and
$$
a_j^k(t, w)=\frac{\partial g_t(j, w)}{\partial w_k} .
$$
Assume that the components of the vector $w$ are positive and $w_k \uparrow 1$. Then, by Lebesgue’s theorem,
$$
\lim {w \uparrow 1} a_j^k(t, w)=\lim {w \uparrow 1} \mathrm{E}j \xi^k(t) w^{\xi(t)}=\mathrm{E}_j \xi^k(t)=a_j^k(t), $$ and, by Dini’s theorem, $g_t(w) \rightarrow 1$ uniformly in $t$. Approaching the limit as $w \uparrow 1$ in $$ a_j^k(t, w)=\delta_j^k+\int_0^t \sum{r=1}^m Q_j^r\left(g_s(w)\right) a_r^k(s, w) d s,
$$
we obtain
$$
a_j^k(t)=\delta_j^k+\int_0^t \sum_{r=1}^m \alpha_j^r a_r^k(s) d s .
$$

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Processes with continuous time

设$\xi(t), t \geqslant 0$为连续时间(参数)的齐次马尔可夫分支过程。如上所述，设$\mathscr{X}$表示过程$\xi(t)$的相空间，该过程是具有非负整数值分量的向量的$m$维晶格。过程$\xi(t)$的过渡概率将用$p_t(x, y)$表示，和以前一样，我们将分别用$p_t(i, y), p_t(x, j), p_t(i, j)$代替$p_t\left(e_i, y\right), p_t\left(x, e_j\right)$和$p_t\left(e_i, e_j\right)$。我们假定跃迁概率满足条件
$$
\lim {t \downarrow 0} p_t(x, y)=\delta(x, y) . $$首先，我们将讨论柯尔莫哥洛夫分支过程的微分方程。根据齐次马尔可夫过程的一般理论，极限$$ \lim {t \downarrow 0} \frac{p_t(x, y)-\delta(x, y)}{t}=q(x, y)
$$
存在。我们将只考虑规则的分支过程，也就是说，我们将假设条件
$$
-q(x, y)<\infty, \quad \sum_{y \in \mathcal{X}} q(x, y)=0
$$
我很满意。

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Moments (continuous time)

假设
$$
\sum_{x \in \mathscr{X}} q(i, x) x^k=\alpha_i^k \neq \infty \quad(k, i=1, \ldots, m) .
$$
由于函数$Q(i, w)$在$|w|<1$域中是解析的，因此可以在该域中微分方程(32)。我们得到:
$$
\frac{d a_j^k(t, w)}{d t}=\sum_{r=1}^m Q_j^r\left(g_t(w)\right) a_r^k(t, w), \quad a_j^k(0, w)=\delta_j^k,
$$
在哪里
$$
Q_j^k(t, w)=\frac{\partial Q(j, w)}{\partial w_k}=\sum_{x \in \mathscr{X}} q(j, x) x^k w^{x-e_k}
$$
和
$$
a_j^k(t, w)=\frac{\partial g_t(j, w)}{\partial w_k} .
$$
假设向量$w$的分量是正的，$w_k \uparrow 1$。然后，根据勒贝格定理，
$$
\lim {w \uparrow 1} a_j^k(t, w)=\lim {w \uparrow 1} \mathrm{E}j \xi^k(t) w^{\xi(t)}=\mathrm{E}j \xi^k(t)=a_j^k(t), $$，根据迪尼定理，$g_t(w) \rightarrow 1$均匀分布于$t$。接近$$ a_j^k(t, w)=\delta_j^k+\int_0^t \sum{r=1}^m Q_j^r\left(g_s(w)\right) a_r^k(s, w) d s, $$中的$w \uparrow 1$的极限 我们得到 $$ a_j^k(t)=\delta_j^k+\int_0^t \sum{r=1}^m \alpha_j^r a_r^k(s) d s .
$$

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博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Finite-Dimensional Homogeneous Processes with Independent Increments

In this section we shall discuss homogeneous processes with independent increments with values in $\mathscr{R}^m$. The characteristic function of such a process is of the form
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E} e^{i(z, \xi(t))} & =\exp {t K(z)} \
& =\exp \left{t\left[i(a, z)-\frac{1}{2}(B z, z)+\int\left(e^{i(z, x)}-1-\frac{i(z, x)}{1+|x|^2}\right) \Pi(d x)\right]\right},
\end{aligned}
$$
where $z \in \mathscr{R}^m$ and $(z, y)$ is the scalar product in $\mathscr{R}^m$. In formula (1) $a \in \mathscr{R}^m, B$ is a non-negative symmetric linear operator in $\mathscr{R}^m$, and the measure $\Pi$ is defined on Borel sets and is such that
$$
\int \frac{|x|^2}{1+|x|^2} \Pi(d x)<\infty .
$$
Analogously to the one-dimensional case the function $K(z)$ appearing in (1) is called the cumulant of the process; it completely determines the marginal distributions of the processes. The processes under consideration are assumed to be separable and thus have no discontinuities of the second kind. Sample functions of the processes are assumed to be continuous from the right.

One can associate uniquely a homogeneous Markov process $\left{\mathscr{F}, \mathscr{N}, \mathrm{P}_x\right}$ with a homogeneous process with independent increments $\xi(t)$. This Markov process is of the form: the set of functions of the type $x_t=\xi(s+t)-\xi(s)+x$, $s \geqslant 0, x \in \mathscr{R}^m$, where $\xi(\cdot)$ are various sample functions of the process $\xi(t)$, is chosen as the set $\mathscr{F}$; the set $\mathscr{N}$ is defined in the usual manner as the minimal $\sigma$-algebra containing all the cylinders in $\mathscr{F}$. For each cylinder $A$ we have
$$
\mathrm{P}x{A}=\mathrm{P}{x+\xi(\cdot) \in A} $$ (the probability on the r.h.s. is defined on the same probability space on which the process $\xi(t)$ is defined). The process is homogeneous Markov in view of the relation $$ \begin{aligned} \mathrm{P}{x+\xi(t+s) \in A \mid \xi(u), u \leqslant s} & =\mathrm{P}{x+\xi(s)+\xi(t+s)-\xi(s) \in A \mid \xi(u), u \leqslant s} \ & =\mathrm{P}{y+\xi(t+s)-\xi(s) \in A}{y=x+\xi(s)} \
& =\mathrm{P}{y+\xi(t) \in A}_{y=x+\xi(s)}=\mathrm{P}_{x(s)}{x(t) \in A} .
\end{aligned}
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Resolvent, characteristic and generating operators

Resolvent, characteristic and generating operators. Consider a resolvent of a Markov process associated with a process with independent increments (hereafter we shall refer to it as the resolvent of the process $\xi(t))$. Formula (3) implies
$$
\mathbf{R}\lambda f(x)=\int_0^{\infty} e^{-\lambda t} \mathrm{E} f(x+\xi(t)) d t . $$ Let $F(t, A)=\mathrm{P}{\xi(t) \in A}$. where $$ \mathbf{R}\lambda f(x)=\frac{1}{\lambda} \int f(x+y) F_\lambda(d y),
$$
$$
F_\lambda(A)=\lambda \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} F(t, A) d t .
$$
The function $F_\lambda(A)$ can be conveniently defined by means of the Fourier transform
$$
\Phi_\lambda(z)=\int e^{i(z, y)} F_\lambda(d y) .
$$
Utilizing (5) we obtain
$$
\Phi_\lambda(z)=\lambda \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} e^{t K(z)} d t=\frac{\lambda}{\lambda-K(z)} .
$$

Analogously to the one-dimensional case, it follows that $\Phi_\lambda(z)$, for $\lambda>0$, is the characteristic function of an infinitely divisible distribution since
$$
\Phi_\lambda(z)=\exp \left{\int_0^{\infty} e^{-\lambda t} \frac{e^{t \mathbf{K}(z)}-1}{t} d t\right},
$$
so that
$$
\Phi_\lambda(z)=\lim {\varepsilon \rightarrow 0} \exp \left{\int{\varepsilon}^{\infty} e^{-\lambda t} \frac{e^{t K(z)}-1}{t} d t\right}=\lim {\varepsilon \rightarrow 0} \exp \left{\int{\varepsilon}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t} e^{t K(z)}}{t} d t-\int_{\varepsilon}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t}}{t} d t\right} ;
$$
the function $\int_{\varepsilon}^{\infty}\left(e^{-\lambda t} e^{t K(z)} / t\right) d t$ is positive definite since $e^{t K(z)}$ is such a function. The compound function $\exp {\Phi(z)-\Phi(a)}$, where $\Phi(z)$ is positive definite, is infinitely divisible and finally the limit of infinitely divisible functions is also infinitely divisible. The infinite divisability of $\Phi_\lambda(z)$ implies the existence of $a_\lambda$, $B_\lambda$ and $\Pi_\lambda$ such that
$$
\Phi_\lambda(z)=\exp \left{K_\lambda(z)\right},
$$
where
$$
K_\lambda(z)=i\left(a_\lambda z\right)-\frac{1}{2}\left(B_\lambda z, z\right)+\int\left(e^{i(z, x)}-1-\frac{i(z, x)}{1+|x|^2}\right) \Pi_\lambda(d x) .
$$

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Finite-Dimensional Homogeneous Processes with Independent Increments

在本节中，我们将讨论具有$\mathscr{R}^m$值的独立增量的同构过程。这种过程的特征功能是形式
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E} e^{i(z, \xi(t))} & =\exp {t K(z)} \
& =\exp \left{t\left[i(a, z)-\frac{1}{2}(B z, z)+\int\left(e^{i(z, x)}-1-\frac{i(z, x)}{1+|x|^2}\right) \Pi(d x)\right]\right},
\end{aligned}
$$
其中$z \in \mathscr{R}^m$和$(z, y)$为$\mathscr{R}^m$的标量积。在式(1)中$a \in \mathscr{R}^m, B$是$\mathscr{R}^m$中的一个非负对称线性算子，且测度$\Pi$定义在Borel集合上，使得
$$
\int \frac{|x|^2}{1+|x|^2} \Pi(d x)<\infty .
$$
与一维情况类似，(1)中出现的函数$K(z)$称为过程的累积量;它完全决定了过程的边际分布。假设所考虑的过程是可分离的，因此没有第二类不连续。假设过程的样本函数从右开始连续。

可以唯一地将齐次马尔可夫过程$\left{\mathscr{F}, \mathscr{N}, \mathrm{P}x\right}$与具有独立增量的齐次过程$\xi(t)$联系起来。这个马尔可夫过程的形式是:选择类型为$x_t=\xi(s+t)-\xi(s)+x$, $s \geqslant 0, x \in \mathscr{R}^m$的函数集，其中$\xi(\cdot)$是过程$\xi(t)$的各种样本函数，作为集合$\mathscr{F}$;集合$\mathscr{N}$以通常的方式定义为包含$\mathscr{F}$中所有柱体的最小$\sigma$ -代数。对于每个圆柱体$A$我们有 $$ \mathrm{P}x{A}=\mathrm{P}{x+\xi(\cdot) \in A} $$ (R.H.S.上的概率与定义进程$\xi(t)$的概率空间相同)。考虑到这一关系，该过程是齐次马尔可夫过程 $$ \begin{aligned} \mathrm{P}{x+\xi(t+s) \in A \mid \xi(u), u \leqslant s} & =\mathrm{P}{x+\xi(s)+\xi(t+s)-\xi(s) \in A \mid \xi(u), u \leqslant s} \ & =\mathrm{P}{y+\xi(t+s)-\xi(s) \in A}{y=x+\xi(s)} \ & =\mathrm{P}{y+\xi(t) \in A}{y=x+\xi(s)}=\mathrm{P}_{x(s)}{x(t) \in A} .
\end{aligned}
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Resolvent, characteristic and generating operators

解决、特征和生成操作符。考虑与具有独立增量的过程相关联的马尔可夫过程的解决方案(以下我们将其称为该过程的解决方案$\xi(t))$)。式(3)表示
$$
\mathbf{R}\lambda f(x)=\int_0^{\infty} e^{-\lambda t} \mathrm{E} f(x+\xi(t)) d t . $$让$F(t, A)=\mathrm{P}{\xi(t) \in A}$。在哪里$$ \mathbf{R}\lambda f(x)=\frac{1}{\lambda} \int f(x+y) F_\lambda(d y),
$$
$$
F_\lambda(A)=\lambda \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} F(t, A) d t .
$$
函数$F_\lambda(A)$可以通过傅里叶变换方便地定义
$$
\Phi_\lambda(z)=\int e^{i(z, y)} F_\lambda(d y) .
$$
利用(5)我们得到
$$
\Phi_\lambda(z)=\lambda \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} e^{t K(z)} d t=\frac{\lambda}{\lambda-K(z)} .
$$

与一维情况类似，可以得出$\Phi_\lambda(z)$，对于$\lambda>0$，是一个无限可分分布的特征函数，因为
$$
\Phi_\lambda(z)=\exp \left{\int_0^{\infty} e^{-\lambda t} \frac{e^{t \mathbf{K}(z)}-1}{t} d t\right},
$$
如此……以至于……
$$
\Phi_\lambda(z)=\lim {\varepsilon \rightarrow 0} \exp \left{\int{\varepsilon}^{\infty} e^{-\lambda t} \frac{e^{t K(z)}-1}{t} d t\right}=\lim {\varepsilon \rightarrow 0} \exp \left{\int{\varepsilon}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t} e^{t K(z)}}{t} d t-\int_{\varepsilon}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t}}{t} d t\right} ;
$$
函数$\int_{\varepsilon}^{\infty}\left(e^{-\lambda t} e^{t K(z)} / t\right) d t$是正定的，因为$e^{t K(z)}$就是这样一个函数。复合函数$\exp {\Phi(z)-\Phi(a)}$是无限可整除的，其中$\Phi(z)$是正定的，最后无限可整除函数的极限也是无限可整除的。$\Phi_\lambda(z)$的无穷可分性意味着$a_\lambda$, $B_\lambda$和$\Pi_\lambda$的存在，使得
$$
\Phi_\lambda(z)=\exp \left{K_\lambda(z)\right},
$$
在哪里
$$
K_\lambda(z)=i\left(a_\lambda z\right)-\frac{1}{2}\left(B_\lambda z, z\right)+\int\left(e^{i(z, x)}-1-\frac{i(z, x)}{1+|x|^2}\right) \Pi_\lambda(d x) .
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

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随机过程Stochastic Porcesses应用和对现象的研究反过来又激发了新的随机过程的提出。这类随机过程的例子包括维纳过程或布朗运动过程，路易-巴舍利耶用来研究巴黎证券交易所的价格变化，以及A.K.埃朗用来研究一定时期内发生的电话数量的泊松过程。 这两个随机过程被认为是随机过程理论中最重要和最核心的，并且在巴切莱特和埃朗之前和之后，在不同的环境和国家中被反复和独立地发现了。

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|INDEPENDENCE

Let $A$ and $B$ be two events of a sample space $S$, and assume that $P(A)>0$ and $P(B)>0$. We have seen that, in general, the conditional probability of $A$ given $B$ is not equal to the probability of $A$. However, if it is, that is, if $P(A \mid B)=P(A)$, we say that $A$ is independent of $B$. This means that if $A$ is independent of $B$, knowledge regarding the occurrence of $B$ does not change the chance of the occurrence of $A$. The relation $P(A \mid B)=P(A)$ is equivalent to the relations $P(A B) / P(B)=P(A), P(A B)=P(A) P(B), P(B A) / P(A)=P(B)$, and $P(B \mid A)=P(B)$. The equivalence of the first and last of these relations implies that if $A$ is independent of $B$, then $B$ is independent of $A$. In other words, if knowledge regarding the occurrence of $B$ does not change the chance of occurrence of $A$, then knowledge regarding the occurrence of $A$ does not change the chance of occurrence of $B$. Hence independence is a symmetric relation on the set of all events of a sample space. As a result of this property, instead of making the definitions ” $A$ is independent of $B$ ” and ” $B$ is independent of $A$,” we simply define the concept of the “independence of $A$ and $B$.” To do so, we take $P(A B)=$ $P(A) P(B)$ as the definition. We do this because a symmetrical definition relating $A$ and $B$ does not readily follow from either of the other relations given [i.e., $P(A \mid B)=P(A)$ or $P(B \mid A)=P(B)]$. Moreover, these relations require either that $P(B)>0$ or $P(A)>0$, whereas our definition does not.
Definition 3.3 Two events $A$ and $B$ are called independent if
$$
P(A B)=P(A) P(B) .
$$
If two events are not independent, they are called dependent. If $A$ and $B$ are independent, we say that ${A, B}$ is an independent set of events.

Note that in this definition we did not require $P(A)$ or $P(B)$ to be strictly positive. Hence by this definition any event $A$ with $P(A)=0$ or 1 is independent of every event $B$ (see Exercise 16).

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|RANDOM VARIABLES

In real-world problems we are often faced with one or more quantities that do not have fixed values. The values of such quantities depend on random actions, and they usually change from one experiment to another. For example, the number of babies born in a certain hospital each day is not a fixed quantity. It is a complicated function of many random factors that vary from one day to another. So are the following quantities: the arrival time of a bus at a station, the sum of the outcomes of two dice when thrown, the amount of rainfall in Seattle during a given year, the number of earthquakes that occur in California per month, and the weight of grains of wheat grown on a certain plot of land (it varies from one grain to another). In probability, quantities introduced in these diverse examples are called random variables. The numerical values of random variables are unknown. They depend on random elements occurring at the time of the experiment and over which we have no control. For example, if in rolling two fair dice, $X$ is the sum, then $X$ can only assume the values $2,3,4, \ldots, 12$ with the following probabilities:
$$
\begin{aligned}
& P(X=2)=P({(1,1)})=1 / 36, \
& P(X=3)=P({(1,2),(2,1)})=2 / 36, \
& P(X=4)=P({(1,3),(2,2),(3,1)})=3 / 36,
\end{aligned}
$$
and, similarly,
\begin{tabular}{c|cccccccc}
Sum, $i$ & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \
\hline$P(X=i)$ & $4 / 36$ & $5 / 36$ & $6 / 36$ & $5 / 36$ & $4 / 36$ & $3 / 36$ & $2 / 36$ & $1 / 36$
\end{tabular}
Clearly, ${2,3,4, \ldots, 12}$ is the set of possible values of $X$. Since $X \in{2,3,4, \ldots, 12}$, we should have $\sum_{i=2}^{12} P(X=i)=1$, which is readily verified. The numerical value of a random variable depends on the outcome of the experiment. In this example, for instance, if the outcome is $(2,3)$, then $X$ is 5 , and if it is $(5,6)$, then $X$ is $11 . X$ is not defined for points that do not belong to $S$, the sample space of the experiment. Thus $X$ is a real-valued function on $S$. However, not all real-valued functions on $S$ are considered to be random variables. For theoretical reasons, it is necessary that the inverse image of an interval in $\mathbf{R}$ be an event of $S$, which motivates the following definition.

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|INDEPENDENCE

设$A$和$B$为样本空间$S$的两个事件，并假设$P(A)>0$和$P(B)>0$。我们已经看到，一般情况下，给定$B$的$A$的条件概率不等于$A$的概率。然而，如果是，也就是说，如果$P(A \mid B)=P(A)$，我们说$A$独立于$B$。这意味着，如果$A$独立于$B$，那么关于$B$发生的知识不会改变$A$发生的几率。关系$P(A \mid B)=P(A)$等价于关系$P(A B) / P(B)=P(A), P(A B)=P(A) P(B), P(B A) / P(A)=P(B)$和$P(B \mid A)=P(B)$。第一个和最后一个关系的等价意味着，如果$A$独立于$B$，那么$B$独立于$A$。换句话说，如果关于$B$发生的知识不会改变$A$发生的机会，那么关于$A$发生的知识不会改变$B$发生的机会。因此独立性是样本空间中所有事件集合上的对称关系。由于这个特性，我们没有定义“$A$独立于$B$”和“$B$独立于$A$”，而是简单地定义了“$A$和$B$的独立性”的概念，为此，我们将$P(A B)=$$P(A) P(B)$作为定义。我们这样做是因为关于$A$和$B$的对称定义不容易从给出的其他关系中得到[即$P(A \mid B)=P(A)$或$P(B \mid A)=P(B)]$]。此外，这些关系需要$P(B)>0$或$P(A)>0$，而我们的定义不需要。
3.3两个事件$A$和$B$称为独立if
$$
P(A B)=P(A) P(B) .
$$
如果两个事件不是独立的，则称为依赖事件。如果$A$和$B$是独立的，我们说${A, B}$是一组独立的事件。

注意，在这个定义中，我们不要求$P(A)$或$P(B)$严格为正。因此，根据这个定义，任何带有$P(A)=0$或1的事件$A$都独立于每个事件$B$(参见练习16)。

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|RANDOM VARIABLES

在现实世界的问题中，我们经常面临一个或多个没有固定值的量。这些量的值取决于随机行为，并且它们通常从一个实验到另一个实验而改变。例如，某医院每天出生的婴儿数量不是一个固定的数量。它是许多随机因素的复杂函数，这些随机因素每天都在变化。以下的量也是如此:一辆公共汽车到达车站的时间，投掷两个骰子的结果的总和，给定年份西雅图的降雨量，加利福尼亚每月发生的地震次数，以及特定土地上种植的小麦籽粒的重量(每种籽粒的重量都不同)。在概率论中，在这些不同的例子中引入的量称为随机变量。随机变量的数值是未知的。它们取决于实验时出现的随机因素，而我们无法控制这些因素。例如，如果掷两个骰子，$X$是和，那么$X$只能以以下概率假设$2,3,4, \ldots, 12$的值:
$$
\begin{aligned}
& P(X=2)=P({(1,1)})=1 / 36, \
& P(X=3)=P({(1,2),(2,1)})=2 / 36, \
& P(X=4)=P({(1,3),(2,2),(3,1)})=3 / 36,
\end{aligned}
$$
同样的，
\begin{tabular}{c|cccccccc}
Sum, $i$ & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \hline$P(X=i)$ & $4 / 36$ & $5 / 36$ & $6 / 36$ & $5 / 36$ & $4 / 36$ & $3 / 36$ & $2 / 36$ & $1 / 36$
\end{tabular}
显然，${2,3,4, \ldots, 12}$是$X$的可能值的集合。由于$X \in{2,3,4, \ldots, 12}$，我们应该有$\sum_{i=2}^{12} P(X=i)=1$，这很容易验证。随机变量的数值取决于实验的结果。例如，在本例中，如果结果为$(2,3)$，则$X$为5，如果结果为$(5,6)$，则$X$ is $11 . X$对于不属于实验样本空间$S$的点没有定义。因此$X$是$S$上的实值函数。然而，并不是$S$上的所有实值函数都被认为是随机变量。由于理论原因，$\mathbf{R}$中区间的逆像必须是$S$的一个事件，由此产生如下定义。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|BASIC THEOREMS

To count the number of outcomes of an experiment or the number of possible ways an event can occur, it is often useful to look for special patterns. Sometimes patterns help us develop techniques for counting. Two simple cases in which patterns enable us to count easily are permutations and combinations. We study these two patterns in this section and the next.
Definition 2.1 An ordered arrangement of $r$ objects from a set A containing $n$ objects $(0<r \leq n)$ is called an r-element permutation of $A$, or a permutation of the elements of A taken $r$ at a time. The number of $r$-element permutations of a set containing $n$ objects is denoted by ${ }_n P_r$.

By this definition, if three people, Brown, Smith, and Jones, are to be scheduled for job interviews, any possible order for the interviews is a three-element permutation of the set {Brown, Smith, Jones}.

If, for example, $A={a, b, c, d}$, then $a b$ is a two-element permutation of $A, a c d$ is a three-element permutation of $A$, and $a d c b$ is a four-element permutation of $A$. The order in which objects are arranged is important. For example, $a b$ and $b a$ are considered different twoelement permutations, $a b c$ and $c b a$ are distinct three-element permutations, and $a b c d$ and $c b a d$ are different four-element permutations.

To compute ${ }_n P_r$, the number of permutations of a set $A$ containing $n$ elements taken $r$ at a time $(1 \leq r \leq n)$, we use the generalized counting principle: Since $A$ has $n$ elements, the number of choices for the first object in the $r$-element permutation is $n$. For the second object, the number of choices is the remaining $n-1$ elements of $A$. For the third one, the number of choices is the remaining $n-2, \ldots$, and, finally, for the $r$ th object the number of choices is $n-(r-1)=n-r+1$. Hence
$$
{ }_n P_r=n(n-1)(n-2) \cdots(n-r+1) .
$$
An $n$-element permutation of a set with $n$ objects is simply called a permutation. The number of permutations of a set containing $n$ elements, ${ }_n P_n$, is evaluated from (2.1) by putting $r=n$.
$$
{ }_n P_n=n(n-1)(n-2) \cdots(n-n+1)=n ! .
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|COMBINATIONS

In many combinatorial problems, unlike permutations, the order in which elements are arranged is immaterial. For example, suppose that in a contest there are 10 semifinalists and we want to count the number of possible ways that three contestants enter the finals. If we argue that there are $10 \times 9 \times 8$ such possibilities, we are wrong since the contestants cannot be ordered. If $A$, $B$, and $C$ are three of the semifinalists, then $A B C, B C A, A C B, B A C, C A B$, and $C B A$ are all the same event and have the same meaning: ” $A, B$, and $C$ are the finalists.” The technique known as combinations is used to deal with such problems.

Definition 2.2 An unordered arrangement of $r$ objects from a set A containing $n$ objects $(r \leq n)$ is called an $r$-element combination of $A$, or a combination of the elements of A taken $r$ at a time.

Therefore, two combinations are different only if they differ in composition. Let $x$ be the number of $r$-element combinations of a set $A$ of $n$ objects. If all the permutations of each $r$-element combination are found, then all the $r$-element permutations of $A$ are found. Since for each $r$-element combination of $A$ there are $r$ ! permutations and the total number of $r$-element permutations is ${ }_n P_r$, we have
$$
x \cdot r !={ }_n P_r .
$$
Hence $x \cdot r !=n ! /(n-r) !$, so $x=n ! /[(n-r) ! r !]$. Therefore, we have shown that
The number of $r$-element combinations of $n$ objects is given by
$$
{ }_n C_r=\frac{n !}{(n-r) ! r !} \text {. }
$$
Historically, a formula equivalent to $n ! /[(n-r) ! r !]$ turned up in the works of the Indian mathematician Bhaskara II (1114-1185) in the middle of the twelfth century. Bhaskara II used his formula to calculate the number of possible medicinal preparations using six ingredients. Therefore, the rule for calculation of the number of $r$-element combinations of $n$ objects has been known for a long time.

It is worthwhile to observe that ${ }_n C_r$ is the number of subsets of size $r$ that can be constructed from a set of size $n$. By Theorem 2.3, a set with $n$ elements has $2^n$ subsets. Therefore, of these $2^n$ subsets, the number of those that have exactly $r$ elements is ${ }_n C_r$.

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|BASIC THEOREMS

为了计算实验结果的数量或事件发生的可能方式的数量，寻找特殊模式通常是有用的。有时模式帮助我们发展计数的技巧。有两个简单的例子可以让我们很容易地计数:排列和组合。我们将在本节和下一节中研究这两种模式。
定义2.1从包含$n$对象$(0<r \leq n)$的集合a中对$r$对象的有序排列称为$A$的r元素排列，或者一次取$r$的a元素的排列。包含$n$对象的集合中$r$元素排列的个数用${ }_n P_r$表示。

根据这个定义，如果三个人，布朗，史密斯和琼斯，被安排参加面试，那么任何可能的面试顺序都是集合{布朗，史密斯，琼斯}的三元素排列。

例如，如果是$A={a, b, c, d}$，那么$a b$是两个元素的排列，$A, a c d$是三个元素的排列，$A$是四个元素的排列，$a d c b$是$A$。物品摆放的顺序很重要。例如，$a b$和$b a$被认为是不同的两元素排列，$a b c$和$c b a$是不同的三元素排列，$a b c d$和$c b a d$是不同的四元素排列。

计算 ${ }_n P_r$，一个集合的排列数 $A$ 包含 $n$ 所采用的元素 $r$ 一次 $(1 \leq r \leq n)$，我们使用广义计数原理 $A$ 有 $n$ 元素中第一个对象的选择数 $r$-元素排列是 $n$． 对于第二个对象，选择的数量是剩余的 $n-1$ 的要素 $A$． 对于第三个选项，选择的数量是剩余的 $n-2, \ldots$，最后，对于 $r$ 选择的数量是多少 $n-(r-1)=n-r+1$． 因此
$$
{ }_n P_r=n(n-1)(n-2) \cdots(n-r+1) .
$$
a $n$的集合的-元素置换 $n$ 对象被简单地称为排列。集合中包含的排列的数目 $n$ 元素， ${ }_n P_n$，由式(2.1)求值 $r=n$．
$$
{ }_n P_n=n(n-1)(n-2) \cdots(n-n+1)=n ! .
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|COMBINATIONS

在许多组合问题中，与排列不同，元素排列的顺序是无关紧要的。例如，假设在一场比赛中有10名半决赛选手，我们想要计算三名选手进入决赛的可能方法的数量。如果我们认为存在$10 \times 9 \times 8$这样的可能性，我们就错了，因为参赛者不能被排序。如果$A$、$B$和$C$是三个半决赛选手，那么$A B C, B C A, A C B, B A C, C A B$和$C B A$都是同一事件，具有相同的含义:“$A, B$和$C$是决赛选手。”被称为组合的技术被用来处理这类问题。

定义2.2从包含$n$对象$(r \leq n)$的集合a中无序排列$r$对象称为$A$的$r$ -元素组合，或者一次取$r$的a元素的组合。

因此，两个组合只有在组成上不同时才不同。设$x$为一组$A$的$n$对象中$r$元素组合的个数。如果找到每个$r$ -元素组合的所有排列，则找到$A$的所有$r$ -元素排列。因为对于$A$的每个$r$ -元素组合，都有$r$ !排列和$r$ -元素排列的总数是${ }_n P_r$，我们有
$$
x \cdot r !={ }_n P_r .
$$
所以是$x \cdot r !=n ! /(n-r) !$，所以是$x=n ! /[(n-r) ! r !]$。因此，我们已经证明了
$n$对象的$r$元素组合的个数由
$$
{ }_n C_r=\frac{n !}{(n-r) ! r !} \text {. }
$$
历史上，一个相当于$n ! /[(n-r) ! r !]$的公式出现在12世纪中期印度数学家巴斯卡拉二世(1114-1185)的著作中。Bhaskara II使用他的公式计算了使用六种成分的可能药物制剂的数量。因此，计算$n$对象的$r$ -元素组合个数的规则早已为人所知。

值得注意的是，${ }_n C_r$是大小为$r$的子集的数量，这些子集可以从大小为$n$的集合中构造出来。根据定理2.3，一个包含$n$个元素的集合有$2^n$个子集。因此，在这些$2^n$子集中，恰好拥有$r$个元素的子集的数量是${ }_n C_r$。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|BASIC THEOREMS

In Section 4.1 we observed that the set of possible values of a random variable might be finite, infinite but countable, or uncountable. For example, let $X, Y$, and $Z$ be three random variables representing the respective number of tails in flipping a coin twice, the number of flips until the first heads, and the amount of next year’s rainfall. Then the sets of possible values for $X, Y$, and $Z$ are the finite set ${0,1,2}$, the countable set ${1,2,3,4, \ldots}$, and the uncountable set ${x: x \geq 0}$, respectively. Whenever the set of possible values that a random variable $X$ can assume is at most countable, $X$ is called discrete. Therefore, $X$ is discrete if either the set of its possible values is finite or it is countably infinite. To each discrete random variable, a real-valued function $p: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, defined by $p(x)=P(X=x)$, is assigned and is called the probability mass function of $X$. (It is also called the probability function of $X$ or the discrete probability function of $X$.) Since the set of values of $X$ is countable, $p(x)$ is positive at most for a countable set. It is zero elsewhere; that is, if possible values of $X$ are $x_1, x_2, x_3, \ldots$, then $p\left(x_i\right) \geq 0(i=1,2,3, \ldots)$ and $p(x)=0$ if $x \notin\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$. Now, clearly, the occurrence of the event $\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$ is certain. Therefore, we have that $\sum_{i=1}^{\infty} P\left(X=x_i\right)=1$ or, equivalently, $\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right)=1$.

Definition 4.3 The probability mass function $p$ of a random variable $X$ whose set of possible values is $\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$ is a function from $\mathbf{R}$ to $\mathbf{R}$ that satisfies the following properties.
(a) $p(x)=0$ if $x \notin\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$.
(b) $p\left(x_i\right)=P\left(X=x_i\right)$ and hence $p\left(x_i\right) \geq 0(i=1,2,3, \ldots)$.
(c) $\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right)=1$.

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|EXPECTATIONS OF DISCRETE RANDOM VARIABLES

Theorem 1.4 For any event $A, P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
Proof: $\quad$ Since $A A^c=\emptyset, A$ and $A^c$ are mutually exclusive. Thus
$$
P\left(A \cup A^c\right)=P(A)+P\left(A^c\right)
$$
But $A \cup A^c=S$ and $P(S)=1$, so
$$
1=P(S)=P\left(A \cup A^c\right)=P(A)+P\left(A^c\right)
$$
Therefore, $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
This theorem states that the probability of nonoccurrence of the event $A$ is 1 minus the probability of its occurrence. For example, consider $S={(i, j): 1 \leq i \leq 6,1 \leq j \leq 6}$, the sample space of tossing two fair dice. If $A$ is the event of getting a sum of 4 , then $A={(1,3),(2,2),(3,1)}$ and $P(A)=3 / 36$. Theorem 1.4 states that the probability of $A^c$, the event of not getting a sum of 4 , which is harder to count, is $1-3 / 36=33 / 36$. As another example, consider the experiment of selecting a random number from the set ${1,2,3, \ldots, 1000}$. By Example 1.14, the probability that the number selected is divisible by 3 is $333 / 1000$. Thus by Theorem 1.4 , the probability that it is not divisible by 3 , a quantity harder to find directly, is $1-333 / 1000=667 / 1000$.
Theorem 1.5 If $A \subseteq B$, then
$$
P(B-A)=P\left(B A^c\right)=P(B)-P(A)
$$
Proof: $A \subseteq B$ implies that $B=(B-A) \cup A$ (see Figure 1.4). But $(B-A) A=\emptyset$. So the events $B-A$ and $A$ are mutually exclusive, and $P(B)=P((B-A) \cup A)=$ $P(B-A)+P(A)$. This gives $P(B-A)=P(B)-P(A)$.

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|BASIC THEOREMS

在第4.1节中，我们观察到随机变量的可能值的集合可能是有限的、无限的但可数的或不可数的。例如，设$X, Y$和$Z$为三个随机变量，分别表示两次抛硬币时出现反面的次数、第一次出现正面的次数以及下一年的降雨量。那么$X, Y$和$Z$的可能值的集合分别是有限集${0,1,2}$、可数集${1,2,3,4, \ldots}$和不可数集${x: x \geq 0}$。当一个随机变量$X$所能假设的可能值的集合最多是可数的时候，$X$就被称为离散的。因此，$X$是离散的，如果它的可能值的集合是有限的或者它是可数无限的。对于每个离散随机变量，分配一个由$p(x)=P(X=x)$定义的实值函数$p: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$，称为$X$的概率质量函数。(也称为$X$的概率函数或$X$的离散概率函数)因为$X$的值集合是可数的，所以对于可数集合，$p(x)$最多是正的。其他地方是零;也就是说，如果可能，$X$的值是$x_1, x_2, x_3, \ldots$，那么$p\left(x_i\right) \geq 0(i=1,2,3, \ldots)$和$p(x)=0$如果$x \notin\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$。现在，很明显，事件$\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$的发生是确定的。因此，我们得到$\sum_{i=1}^{\infty} P\left(X=x_i\right)=1$或$\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right)=1$。

4.3随机变量$X$的可能值集为$\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$，其概率质量函数$p$是一个从$\mathbf{R}$到$\mathbf{R}$的函数，满足以下性质。
(a) $p(x)=0$如果$x \notin\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$。
(b) $p\left(x_i\right)=P\left(X=x_i\right)$，因此$p\left(x_i\right) \geq 0(i=1,2,3, \ldots)$。
(c) $\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right)=1$。

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|EXPECTATIONS OF DISCRETE RANDOM VARIABLES

定理1.4对于任何事件$A, P\left(A^c\right)=1-P(A)$。
证明:$\quad$因为$A A^c=\emptyset, A$和$A^c$是互斥的。因此
$$
P\left(A \cup A^c\right)=P(A)+P\left(A^c\right)
$$
但是$A \cup A^c=S$和$P(S)=1$
$$
1=P(S)=P\left(A \cup A^c\right)=P(A)+P\left(A^c\right)
$$
因此，$P\left(A^c\right)=1-P(A)$。
这个定理表明事件$A$不发生的概率等于1减去它发生的概率。例如，考虑$S={(i, j): 1 \leq i \leq 6,1 \leq j \leq 6}$，投掷两个均匀骰子的样本空间。如果$A$是得到4的和的事件，那么$A={(1,3),(2,2),(3,1)}$和$P(A)=3 / 36$。定理1.4指出$A^c$的概率，不等于4的事件，更难计数，是$1-3 / 36=33 / 36$。作为另一个例子，考虑从集合${1,2,3, \ldots, 1000}$中随机选择一个数字的实验。在例1.14中，所选数字能被3整除的概率为$333 / 1000$。因此，根据定理1.4，它不能被3整除的概率是$1-333 / 1000=667 / 1000$, 3是一个很难直接找到的量。
定理1.5如果$A \subseteq B$，则
$$
P(B-A)=P\left(B A^c\right)=P(B)-P(A)
$$
证明:$A \subseteq B$意味着$B=(B-A) \cup A$(见图1.4)。但是$(B-A) A=\emptyset$。所以事件$B-A$和$A$是互斥的，而$P(B)=P((B-A) \cup A)=$$P(B-A)+P(A)$。这就是$P(B-A)=P(B)-P(A)$。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写随机过程Stochastic Porcesses 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。随机过程Stochastic Porcesses在概率论和相关领域，是一个数学对象，通常被定义为一个随机变量系列。随机过程被广泛用作系统和现象的数学模型，这些系统和现象似乎以随机的方式变化。这方面的例子包括细菌种群的生长，由于热噪声而波动的电流，或气体分子的运动。随机过程在许多学科中都有应用，如生物学、化学、生态学、 神经科学、 物理学、图像处理、信号处理、控制理论、信息理论、计算机科学、密码学和电信。 此外，金融市场中看似随机的变化也促使人们在金融领域广泛使用随机过程。

随机过程Stochastic Porcesses应用和对现象的研究反过来又激发了新的随机过程的提出。这类随机过程的例子包括维纳过程或布朗运动过程，路易-巴舍利耶用来研究巴黎证券交易所的价格变化，以及A.K.埃朗用来研究一定时期内发生的电话数量的泊松过程。 这两个随机过程被认为是随机过程理论中最重要和最核心的，并且在巴切莱特和埃朗之前和之后，在不同的环境和国家中被反复和独立地发现了。

随机过程Stochastic Porcesses代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的随机过程Stochastic Porcesses作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此随机过程Stochastic Porcesses作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|DISCRETE RANDOM VARIABLES

In Section 4.1 we observed that the set of possible values of a random variable might be finite, infinite but countable, or uncountable. For example, let $X, Y$, and $Z$ be three random variables representing the respective number of tails in flipping a coin twice, the number of flips until the first heads, and the amount of next year’s rainfall. Then the sets of possible values for $X, Y$, and $Z$ are the finite set ${0,1,2}$, the countable set ${1,2,3,4, \ldots}$, and the uncountable set ${x: x \geq 0}$, respectively. Whenever the set of possible values that a random variable $X$ can assume is at most countable, $X$ is called discrete. Therefore, $X$ is discrete if either the set of its possible values is finite or it is countably infinite. To each discrete random variable, a real-valued function $p: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, defined by $p(x)=P(X=x)$, is assigned and is called the probability mass function of $X$. (It is also called the probability function of $X$ or the discrete probability function of $X$.) Since the set of values of $X$ is countable, $p(x)$ is positive at most for a countable set. It is zero elsewhere; that is, if possible values of $X$ are $x_1, x_2, x_3, \ldots$, then $p\left(x_i\right) \geq 0(i=1,2,3, \ldots)$ and $p(x)=0$ if $x \notin\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$. Now, clearly, the occurrence of the event $\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$ is certain. Therefore, we have that $\sum_{i=1}^{\infty} P\left(X=x_i\right)=1$ or, equivalently, $\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right)=1$.

Definition 4.3 The probability mass function $p$ of a random variable $X$ whose set of possible values is $\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$ is a function from $\mathbf{R}$ to $\mathbf{R}$ that satisfies the following properties.
(a) $p(x)=0$ if $x \notin\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$.
(b) $p\left(x_i\right)=P\left(X=x_i\right)$ and hence $p\left(x_i\right) \geq 0(i=1,2,3, \ldots)$.
(c) $\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right)=1$.

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|EXPECTATIONS OF DISCRETE RANDOM VARIABLES

To clarify the concept of expectation, consider a casino game in which the probability of losing $\$ 1$ per game is 0.6 , and the probabilities of winning $\$ 1, \$ 2$, and $\$ 3$ per game are $0.3,0.08$, and 0.02 , respectively. The gain or loss of a gambler who plays this game only a few times depends on his luck more than anything else. For example, in one play of the game, a lucky gambler might win $\$ 3$, but he has a $60 \%$ chance of losing $\$ 1$. However, if a gambler decides to play the game a large number of times, his loss or gain depends more on the number of plays than on his luck. A calculating player argues that if he plays the game $n$ times, for a large $n$, then in approximately $(0.6) n$ games he will lose $\$ 1$ per game, and in approximately $(0.3) n,(0.08) n$, and $(0.02) n$ games he will win $\$ 1, \$ 2$, and $\$ 3$, respectively. Therefore, his total gain is
$$
(0.6) n \cdot(-1)+(0.3) n \cdot 1+(0.08) n \cdot 2+(0.02) n \cdot 3=(-0.08) n .
$$
This gives an average of $\$-0.08$, or about 8 cents of loss per game. The more the gambler plays, the less luck interferes and the closer his loss comes to $\$ 0.08$ per game. If $X$ is the random variable denoting the gain in one play, then the number -0.08 is called the expected value of $X$. We write $E(X)=-0.08 . E(X)$ is the average value of $X$. That is, if we play the game $n$ times and find the average of the values of $X$, then as $n \rightarrow \infty, E(X)$ is obtained. Since, for this game, $E(X)<0$, we have that, on the average, the more we play, the more we lose. If for some game $E(X)=0$, then in the long run the player neither loses nor wins. Such games are called fair. In this example, $X$ is a discrete random variable with the set of possible values ${-1,1,2,3}$. The probability mass function of $X, p(x)$, is given by
\begin{tabular}{c|cccc}
$i$ & -1 & 1 & 2 & 3 \
\hline$p(i)=P(X=i)$ & 0.6 & 0.3 & 0.08 & 0.02
\end{tabular}
and $p(x)=0$ if $x \notin{-1,1,2,3}$. Dividing both sides of (4.1) by $n$, we obtain
$$
(0.6) \cdot(-1)+(0.3) \cdot 1+(0.08) \cdot 2+(0.02) \cdot 3=-0.08 \text {. }
$$

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|DISCRETE RANDOM VARIABLES

在第4.1节中，我们观察到随机变量的可能值的集合可能是有限的、无限的但可数的或不可数的。例如，设$X, Y$和$Z$为三个随机变量，分别表示两次抛硬币时出现反面的次数、第一次出现正面的次数以及下一年的降雨量。那么$X, Y$和$Z$的可能值的集合分别是有限集${0,1,2}$、可数集${1,2,3,4, \ldots}$和不可数集${x: x \geq 0}$。当一个随机变量$X$所能假设的可能值的集合最多是可数的时候，$X$就被称为离散的。因此，$X$是离散的，如果它的可能值的集合是有限的或者它是可数无限的。对于每个离散随机变量，分配一个由$p(x)=P(X=x)$定义的实值函数$p: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$，称为$X$的概率质量函数。(也称为$X$的概率函数或$X$的离散概率函数)因为$X$的值集合是可数的，所以对于可数集合，$p(x)$最多是正的。其他地方是零;也就是说，如果可能，$X$的值是$x_1, x_2, x_3, \ldots$，那么$p\left(x_i\right) \geq 0(i=1,2,3, \ldots)$和$p(x)=0$如果$x \notin\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$。现在，很明显，事件$\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$的发生是确定的。因此，我们得到$\sum_{i=1}^{\infty} P\left(X=x_i\right)=1$或$\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right)=1$。

4.3随机变量$X$的可能值集为$\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$，其概率质量函数$p$是一个从$\mathbf{R}$到$\mathbf{R}$的函数，满足以下性质。
(a) $p(x)=0$如果$x \notin\left{x_1, x_2, x_3, \ldots\right}$。
(b) $p\left(x_i\right)=P\left(X=x_i\right)$，因此$p\left(x_i\right) \geq 0(i=1,2,3, \ldots)$。
(c) $\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right)=1$。

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|EXPECTATIONS OF DISCRETE RANDOM VARIABLES

为了阐明期望的概念，考虑一个赌场游戏，其中每场比赛输掉$\$ 1$的概率是0.6，每场比赛赢$\$ 1, \$ 2$和$\$ 3$的概率分别是$0.3,0.08$和0.02。一个只玩几次这个游戏的赌徒的输赢主要取决于他的运气。例如，在一次游戏中，一个幸运的赌徒可能赢$\$ 3$，但他输$\$ 1$的几率是$60 \%$。然而，如果一个赌徒决定玩这个游戏很多次，他的输赢更多地取决于玩的次数，而不是他的运气。一个善于计算的玩家认为，如果他玩游戏$n$次，对于一个较大的$n$，那么在大约$(0.6) n$局中，他每场将输$\$ 1$，在大约$(0.3) n,(0.08) n$和$(0.02) n$局中，他将分别赢$\$ 1, \$ 2$和$\$ 3$。因此，他的总收益是
$$
(0.6) n \cdot(-1)+(0.3) n \cdot 1+(0.08) n \cdot 2+(0.02) n \cdot 3=(-0.08) n .
$$
这就得出了$\$-0.08$的平均值，即每场比赛损失8美分。赌徒玩得越多，运气的干扰就越少，他的每场损失就越接近$\$ 0.08$。如果$X$是表示一次游戏收益的随机变量，则数字-0.08称为$X$的期望值。我们写$E(X)=-0.08 . E(X)$是$X$的平均值。也就是说，如果我们玩游戏$n$次并找到$X$值的平均值，那么得到$n \rightarrow \infty, E(X)$。因为，对于这个游戏$E(X)<0$，我们知道，平均来说，我们玩得越多，输得越多。如果对于某些游戏$E(X)=0$，那么从长远来看，玩家既不输也不赢。这样的游戏叫做公平游戏。在本例中，$X$是一个离散随机变量，其可能值集为${-1,1,2,3}$。$X, p(x)$的概率质量函数由
\begin{tabular}{c|cccc}
$i$ & -1 & 1 & 2 & 3 \hline$p(i)=P(X=i)$ & 0.6 & 0.3 & 0.08 & 0.02
\end{tabular}
如果是$x \notin{-1,1,2,3}$，就是$p(x)=0$。式(4.1)的两边除以$n$，得到
$$
(0.6) \cdot(-1)+(0.3) \cdot 1+(0.08) \cdot 2+(0.02) \cdot 3=-0.08 \text {. }
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机过程Stochastic Porcesses应用和对现象的研究反过来又激发了新的随机过程的提出。这类随机过程的例子包括维纳过程或布朗运动过程，路易-巴舍利耶用来研究巴黎证券交易所的价格变化，以及A.K.埃朗用来研究一定时期内发生的电话数量的泊松过程。 这两个随机过程被认为是随机过程理论中最重要和最核心的，并且在巴切莱特和埃朗之前和之后，在不同的环境和国家中被反复和独立地发现了。

随机过程Stochastic Porcesses代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的随机过程Stochastic Porcesses作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此随机过程Stochastic Porcesses作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|THE MULTIPLICATION RULE

The relation
$$
P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}
$$
is also useful for calculating $P(A B)$. If we multiply both sides of this relation by $P(B)$ [note that $P(B)>0]$, we get
$$
P(A B)=P(B) P(A \mid B)
$$
which means that the probability of the joint occurrence of $A$ and $B$ is the product of the probability of $B$ and the conditional probability of $A$ given that $B$ has occurred. If $P(A)>0$, then by letting $A=B$ and $B=A$ in (3.4), we obtain
$$
P(B A)=P(A) P(B \mid A)
$$
Since $P(B A)=P(A B)$, this relation gives
$$
P(A B)=P(A) P(B \mid A)
$$
Thus, to calculate $P(A B)$, depending on which of the quantities $P(A \mid B)$ and $P(B \mid A)$ is known, we may use (3.4) or (3.5), respectively. The following example clarifies the usefulness of these relations.

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|LAW OF TOTAL PROBABILITY

Sometimes it is not possible to calculate directly the probability of the occurrence of an event $A$, but it is possible to find $P(A \mid B)$ and $P\left(A \mid B^c\right)$ for some event $B$. In such cases, the following theorem, which is conceptually rich and has widespread applications, is used. It states that $P(A)$ is the weighted average of the probability of $A$ given that $B$ has occurred and probability of $A$ given that it has not occurred.

Theorem 3.3 (Law of Total Probability) Let $B$ be an event with $P(B)>0$ and $P\left(B^c\right)>0$. Then for any event $A$,
$$
P(A)=P(A \mid B) P(B)+P\left(A \mid B^c\right) P\left(B^c\right)
$$
Proof: By Theorem 1.7,
$$
P(A)=P(A B)+P\left(A B^c\right)
$$
Now $P(B)>0$ and $P\left(B^c\right)>0$. These imply that $P(A B)=P(A \mid B) P(B)$ and $P\left(A B^c\right)=P\left(A \mid B^c\right) P\left(B^c\right)$. Putting these in (3.7), we have proved the theorem.

Example 3.13 An insurance company rents $35 \%$ of the cars for its customers from agency I and $65 \%$ from agency II. If $8 \%$ of the cars of agency I and $5 \%$ of the cars of agency II break down during the rental periods, what is the probability that a car rented by this insurance company breaks down?

Solution: Let $A$ be the event that a car rented by this insurance company breaks down. Let I and II be the events that it is rented from agencies I and II, respectively. Then by the law of total probability,
$$
\begin{aligned}
P(A) & =P(A \mid \mathrm{I}) P(\mathrm{I})+P(A \mid \mathrm{II}) P(\mathrm{II}) \
& =(0.08)(0.35)+(0.05)(0.65)=0.0605 .
\end{aligned}
$$
Tree diagrams facilitate solutions to this kind of problem. Let $B$ and $B^c$ stand for breakdown and not breakdown during the rental period, respectively. Then, as Figure 3.2 shows, to find the probability that a car breaks down, all we need to do is to compute, by multiplication, the probability of each path that leads to a point $B$ and then add them up. So, as seen from the tree, the probability that the car breaks down is $(0.35)(0.08)+(0.65)(0.05)=0.06$, and the probability that it does not break down is $(0.35)(0.92)+(0.65)(0.95)=0.94$.

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|THE MULTIPLICATION RULE

关系
$$
P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}
$$
也可用于计算$P(A B)$。如果我们在等式两边同时乘以$P(B)$[注意$P(B)>0]$]，我们得到
$$
P(A B)=P(B) P(A \mid B)
$$
这意味着$A$和$B$同时出现的概率是$B$的概率和$A$的条件概率的乘积，假设$B$已经出现。如果$P(A)>0$，则在(3.4)中取$A=B$和$B=A$，我们得到
$$
P(B A)=P(A) P(B \mid A)
$$
由于$P(B A)=P(A B)$，这个关系给出
$$
P(A B)=P(A) P(B \mid A)
$$
因此，要计算$P(A B)$，取决于已知的量$P(A \mid B)$和$P(B \mid A)$，我们可以分别使用(3.4)或(3.5)。下面的示例说明了这些关系的有用性。

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|LAW OF TOTAL PROBABILITY

有时不可能直接计算某个事件$A$发生的概率，但是对于某些事件$B$，可以找到$P(A \mid B)$和$P\left(A \mid B^c\right)$。在这种情况下，使用以下定理，它概念丰富，应用广泛。它指出$P(A)$是$A$在$B$发生的情况下的概率和$A$在未发生的情况下的概率的加权平均值。

定理3.3(全概率定律)设$B$为具有$P(B)>0$和$P\left(B^c\right)>0$的事件。对于任何事件$A$，
$$
P(A)=P(A \mid B) P(B)+P\left(A \mid B^c\right) P\left(B^c\right)
$$
证明:定理1.7，
$$
P(A)=P(A B)+P\left(A B^c\right)
$$
现在是$P(B)>0$和$P\left(B^c\right)>0$。这意味着$P(A B)=P(A \mid B) P(B)$和$P\left(A B^c\right)=P\left(A \mid B^c\right) P\left(B^c\right)$。把这些代入(3.7)，我们就证明了定理。

例3.13保险公司从代理机构I和代理机构II分别为其客户租用$35 \%$和$65 \%$辆汽车。如果代理I的汽车$8 \%$和代理II的汽车$5 \%$在租赁期间发生故障，该保险公司租赁的汽车发生故障的概率是多少?

解决方案:设$A$为该保险公司租用的汽车发生故障的事件。设I和II分别为从机构I和II租用的事件。那么根据全概率定律，
$$
\begin{aligned}
P(A) & =P(A \mid \mathrm{I}) P(\mathrm{I})+P(A \mid \mathrm{II}) P(\mathrm{II}) \
& =(0.08)(0.35)+(0.05)(0.65)=0.0605 .
\end{aligned}
$$
树形图有助于解决这类问题。让$B$和$B^c$分别代表租赁期间的故障和未故障。然后，如图3.2所示，要找到汽车抛锚的概率，我们所需要做的就是通过乘法计算通向一个点$B$的每条路径的概率，然后将它们相加。因此，从树中可以看出，汽车抛锚的概率是$(0.35)(0.08)+(0.65)(0.05)=0.06$，不抛锚的概率是$(0.35)(0.92)+(0.65)(0.95)=0.94$。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写随机过程Stochastic Porcesses 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。随机过程Stochastic Porcesses在概率论和相关领域，是一个数学对象，通常被定义为一个随机变量系列。随机过程被广泛用作系统和现象的数学模型，这些系统和现象似乎以随机的方式变化。这方面的例子包括细菌种群的生长，由于热噪声而波动的电流，或气体分子的运动。随机过程在许多学科中都有应用，如生物学、化学、生态学、 神经科学、 物理学、图像处理、信号处理、控制理论、信息理论、计算机科学、密码学和电信。 此外，金融市场中看似随机的变化也促使人们在金融领域广泛使用随机过程。

随机过程Stochastic Porcesses应用和对现象的研究反过来又激发了新的随机过程的提出。这类随机过程的例子包括维纳过程或布朗运动过程，路易-巴舍利耶用来研究巴黎证券交易所的价格变化，以及A.K.埃朗用来研究一定时期内发生的电话数量的泊松过程。 这两个随机过程被认为是随机过程理论中最重要和最核心的，并且在巴切莱特和埃朗之前和之后，在不同的环境和国家中被反复和独立地发现了。

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|CONTINUITY OF PROBABILITY FUNCTIONS

Let $\mathbf{R}$ denote (here and everywhere else throughout the book) the set of all real numbers. We know from calculus that a function $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ is called continuous at a point $c \in \mathbf{R}$ if $\lim {x \rightarrow c} f(x)=f(c)$. It is called continuous on $\mathbf{R}$ if it is continuous at all points $c \in \mathbf{R}$. We also know that this definition is equivalent to the sequential criterion $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ is continuous on $\mathbf{R}$ if and only if, for every convergent sequence $\left{x_n\right}{n=1}^{\infty}$ in $\mathbf{R}$,
$$
\lim {n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=f\left(\lim {n \rightarrow \infty} x_n\right)
$$
This property, in some sense, is shared by the probability function. To explain this, we need to introduce some definitions. But first recall that probability is a set function from $\mathcal{P}(S)$, the set of all possible events of the sample space $S$, to $[0,1]$.
A sequence $\left{E_n, n \geq 1\right}$ of events of a sample space is called increasing if
$$
E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq E_{n+1} \cdots ;
$$

it is called decreasing if
$$
E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1} \supseteq \cdots
$$
For an increasing sequence of events $\left{E_n, n \geq 1\right}$, by $\lim {n \rightarrow \infty} E_n$ we mean the event that at least one $E_i, 1 \leq i<\infty$ occurs. Therefore, $$ \lim {n \rightarrow \infty} E_n=\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i .
$$
Similarly, for a decreasing sequence of events $\left{E_n, n \geq 1\right}$, by $\lim {n \rightarrow \infty} E_n$ we mean the event that every $E_i$ occurs. Thus in this case $$ \lim {n \rightarrow \infty} E_n=\bigcap_{i=1}^{\infty} E_i .
$$
The following theorem expresses the property of probability function that is analogous to (1.4).

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|PROBABILITIES 0 AND 1

Events with probabilities 1 and 0 should not be misinterpreted. If $E$ and $F$ are events with probabilities 1 and 0 , respectively, it is not correct to say that $E$ is the sample space $S$ and $F$ is the empty set $\emptyset$. In fact, there are experiments in which there exist infinitely many events each with probability 1 , and infinitely many events each with probability 0 . An example follows.
Suppose that an experiment consists of selecting a random point from the interval $(0,1)$. Since every point in $(0,1)$ has a decimal representation such as
$0.529387043219721 \cdots$,
the experiment is equivalent to picking an endless decimal from $(0,1)$ at random (note that if a decimal terminates, all of its digits from some point on are 0 ). In such an experiment we want to compute the probability of selecting the point $1 / 3$. In other words, we want to compute the probability of choosing $0.333333 \cdots$ in a random selection of an endless decimal. Let $A_n$ be the event that the selected decimal has 3 as its first $n$ digits; then
$$
A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset A_4 \supset \cdots \supset A_n \supset A_{n+1} \supset \cdots
$$

since the occurrence of $A_{n+1}$ guarantees the occurrence of $A_n$. Now $P\left(A_1\right)=1 / 10$ because there are 10 choices $0,1,2, \ldots, 9$ for the first digit, and we want only one of them, namely 3 , to occur. $P\left(A_2\right)=1 / 100$ since there are 100 choices $00,01, \ldots, 09,10,11, \ldots, 19,20$, $\ldots, 99$ for the first two digits, and we want only one of them, 33, to occur. $P\left(A_3\right)=1 / 1000$ because there are 1000 choices $000,001, \ldots, 999$ for the first three digits, and we want only one of them, 333, to occur. Continuing this argument, we have $P\left(A_n\right)=(1 / 10)^n$. Since $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n={1 / 3}$, by Theorem 1.8 ,
$$
P\left(\frac{1}{3} \text { is selected }\right)=P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} P\left(A_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n=0 .
$$
Note that there is nothing special about the point $1 / 3$. For any other point $0 . \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \cdots$ from $(0,1)$, the same argument could be used to show that the probability of its occurrence is 0 (define $A_n$ to be the event that the first $n$ digits of the selected decimal are $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$, respectively, and repeat the same argument). We have shown that in random selection of points from $(0,1)$, the probability of the occurrence of any particular point is 0 . Now for $t \in(0,1)$, let $B_t=(0,1)-{t}$. Then $P({t})=0$ implies that
$$
P\left(B_t\right)=P\left({t}^c\right)=1-P({t})=1
$$

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|CONTINUITY OF PROBABILITY FUNCTIONS

设$\mathbf{R}$表示所有实数的集合(此处和本书的其他地方)。从微积分中我们知道一个函数$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$在一点$c \in \mathbf{R}$ if $\lim {x \rightarrow c} f(x)=f(c)$处是连续的。如果在所有点$c \in \mathbf{R}$连续，则在$\mathbf{R}$上称为连续。我们还知道这个定义等价于顺序准则$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$在$\mathbf{R}$上连续当且仅当，对于$\mathbf{R}$上的每一个收敛序列$\left{x_n\right}{n=1}^{\infty}$，
$$
\lim {n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=f\left(\lim {n \rightarrow \infty} x_n\right)
$$
这个性质，在某种意义上，是由概率函数共享的。为了解释这一点，我们需要引入一些定义。但首先回想一下，概率是一个集合函数，从$\mathcal{P}(S)$，样本空间$S$中所有可能事件的集合，到$[0,1]$。
一个样本空间的事件序列$\left{E_n, n \geq 1\right}$称为递增if
$$
E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq E_{n+1} \cdots ;
$$

这叫做if递减
$$
E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1} \supseteq \cdots
$$
对于一个不断增加的事件序列$\left{E_n, n \geq 1\right}$，这里的$\lim {n \rightarrow \infty} E_n$指的是至少发生一个$E_i, 1 \leq i<\infty$的事件。因此，$$ \lim {n \rightarrow \infty} E_n=\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i .
$$
类似地，对于一个递减的事件序列$\left{E_n, n \geq 1\right}$，我们用$\lim {n \rightarrow \infty} E_n$表示每个$E_i$发生的事件。因此在这种情况下$$ \lim {n \rightarrow \infty} E_n=\bigcap_{i=1}^{\infty} E_i .
$$
下面的定理表示与式(1.4)类似的概率函数的性质。

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|PROBABILITIES 0 AND 1

概率为1和0的事件不应被误解。如果$E$和$F$分别是概率为1和0的事件，那么说$E$是样本空间$S$, $F$是空集$\emptyset$是不正确的。事实上，在一些实验中存在无限多个事件，每个事件的概率为1，也存在无限多个事件，每个事件的概率为0。下面是一个例子。
假设一个实验包括从$(0,1)$区间中随机选择一个点。因为$(0,1)$中的每个点都有十进制表示，例如
$0.529387043219721 \cdots$，
这个实验相当于从$(0,1)$中随机选择一个无限大的小数(注意，如果小数终止，则从某一点开始的所有数字都为0)。在这样一个实验中，我们想要计算选择点$1 / 3$的概率。换句话说，我们想要计算在无限小数的随机选择中选择$0.333333 \cdots$的概率。设$A_n$为所选小数的第一个$n$位为3的事件;然后
$$
A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset A_4 \supset \cdots \supset A_n \supset A_{n+1} \supset \cdots
$$

因为$A_{n+1}$的出现保证了$A_n$的出现。现在$P\left(A_1\right)=1 / 10$因为第一个数字有10个选择$0,1,2, \ldots, 9$，我们只希望出现其中一个，即3。$P\left(A_2\right)=1 / 100$因为有100个选项$00,01, \ldots, 09,10,11, \ldots, 19,20$, $\ldots, 99$是前两位数字，我们只希望出现其中一个，33。$P\left(A_3\right)=1 / 1000$因为前三位数字有1000个选项$000,001, \ldots, 999$，我们只希望出现其中一个，333。继续这个论证，我们有$P\left(A_n\right)=(1 / 10)^n$。因为$\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n={1 / 3}$，根据定理1.8，
$$
P\left(\frac{1}{3} \text { is selected }\right)=P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} P\left(A_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n=0 .
$$
请注意，$1 / 3$点没有什么特别之处。对于来自$(0,1)$的任何其他点$0 . \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \cdots$，可以使用相同的参数来显示其出现的概率为0(将$A_n$定义为所选小数的前$n$位分别为$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$的事件，并重复相同的参数)。我们已经证明，在$(0,1)$中随机选择点时，任何特定点出现的概率为0。现在对于$t \in(0,1)$，让$B_t=(0,1)-{t}$。那么$P({t})=0$意味着
$$
P\left(B_t\right)=P\left({t}^c\right)=1-P({t})=1
$$

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微观经济学代写

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Definitions. General Properties

Let $\mathscr{X}$ be a linear space with $\sigma$-algebra $\mathfrak{B}$ possessing the following properties: a) for all $x \in \mathscr{X}$ and $A \in \mathfrak{B}$ the set $A_x={y: y-x \in A}$ belongs to $\mathfrak{B}$ (i. e. $\sigma$-algebra $\mathfrak{B}$ is such that all the shifts in $\mathscr{X}$ are measurable with respect to $\mathfrak{B}) ;$ b) for any $A \in \mathfrak{B}$ the set ${(x+y): x+y \in A}$ is $\mathfrak{B} \times \mathfrak{B}$-measurable in $\mathscr{X} \times \mathscr{X}$.

A process $\xi(t)$ defined on a set $T \subset \mathscr{R}$ and taking values in $\mathscr{X}$ is called a process with independent increments if, for all $t_0<t_1<\cdots<t_n$ belonging to $T$, the random variables $\xi\left(t_0\right), \xi\left(t_1\right)-\xi\left(t_0\right), \ldots, \xi\left(t_n\right)-\xi\left(t_{n-1}\right)$ are independent. Conditions imposed on $\mathfrak{B}$ assure that $\xi(t)-\xi\left(t_1\right)$ is a random variable.

Marginal distributions of a process with independent increments are determined by the one-dimensional distributions and the distributions of the increments of the process. Let
$$
\mu_t(A)=\mathrm{P}{\xi(t) \in A}, \quad \Phi_{t_1, t_2}(A)=\mathrm{P}\left{\xi\left(t_2\right)-\xi\left(t_1\right) \in A\right}
$$
Then
$$
\mathrm{P}\left{\xi\left(t_0\right) \in A_0, \xi\left(t_1\right) \in A_1, \ldots, \xi\left(t_n\right) \in A_n\right}=\int \cdots \int \mu_{t_0}\left(d x_0\right) \Phi_{t_0, t_1}\left(d x_1\right), \ldots, \Phi_{t_{n-1}, t_n}\left(d x_n\right),
$$
where integration is carried out over the set
$$
\left{\left(x_0, \ldots, x_n\right): x_0 \in A_0, x_0+x_1 \in A_1, \ldots, x_0+\cdots+x_n \in A_n\right}
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|One-dimensional processes with independent increments

One-dimensional processes with independent increments. Note that for any $\mathfrak{B}$-measurable linear functional $l(x)$ the process $\eta(t)=l(\xi(t))$ will be a onedimensional process with independent increments. Therefore a study of onedimensional processes with independent increments may supply (and, as we shall see in the sequel, indeed does supply) non-trivial information about processes in more complex spaces. On the other hand, the space $\mathscr{R}^1$ is the simplest linear space so that processes in this space are also the simplest in a certain sense.
Thus we shall consider a process $\xi(t)$ taking on real values; the $\sigma$-algebra of all Borel sets on $\mathscr{R}^1$ will serve as the $\sigma$-algebra $\mathfrak{B}$. We shall assume that the process is defined on a set $T$.

Let $\varphi_t(\lambda)$ and $\varphi_{t_1, t_2}(\lambda)$ be characteristic functions of $\xi(t)$ and $\xi\left(t_2\right)-\xi\left(t_1\right)$ respectively. The functions $h_t(\lambda)=\left|\varphi_t(\lambda)\right|^2$ and $h_{t_1, t_2}(\lambda)=\left|\varphi_{t_1, t_2}(\lambda)\right|^2$ are non-negative and, moreover, $h_{t_1, t_2}(\lambda) \leqslant 1$. It follows from the relation
$$
h_s(\lambda)=h_t(\lambda) h_{t, s}(\lambda), \quad t<s
$$

that $h_s(\lambda)$ is a monotonically non-increasing bounded function of $s$. Consequently the limits $h_{t-0}(\lambda)$ and $h_{t+0}(\lambda)$ exist for $t$ belonging to the closure of $T$ (or only one limit exists if $t$ is a one-sided limit point; these limits are not defined for isolated points).

Consider in addition to $\xi(t)$ a process $\tilde{\xi}(t)$ with the same finite-dimensional distributions as those of $\xi(t)$ but independent of $\xi(t)$. To construct such a process, we take two copies of the same probability space and view the process $\xi(t)$ on the first space and the identical process $\tilde{\xi}(t)$ on the second as processes on the product of these probability spaces. Next set $\xi^(t)=\xi(t)-\tilde{\xi}(t)$. It is easy to see that $$ \mathrm{E} e^{i \lambda \xi^(t)}=h_t(\lambda), \quad \mathrm{E} e^{i \lambda\left[\xi^\left(t_2\right)-\xi^\left(t_1\right)\right]}=h_{t_1, t_2}(\lambda)
$$

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Definitions. General Properties

设$\mathscr{X}$是一个线性空间，其中$\sigma$ -algebra $\mathfrak{B}$具有以下性质:a)对于所有$x \in \mathscr{X}$和$A \in \mathfrak{B}$，集合$A_x={y: y-x \in A}$属于$\mathfrak{B}$(即$\sigma$ -algebra $\mathfrak{B}$使得$\mathscr{X}$中的所有移位都可以相对于$\mathfrak{B}) ;$测量;b)对于任何$A \in \mathfrak{B}$，集合${(x+y): x+y \in A}$是$\mathfrak{B} \times \mathfrak{B}$ -可测量于$\mathscr{X} \times \mathscr{X}$。

在集合$T \subset \mathscr{R}$上定义并在$\mathscr{X}$中取值的进程$\xi(t)$，如果对于所有属于$T$的$t_0<t_1<\cdots<t_n$，随机变量$\xi\left(t_0\right), \xi\left(t_1\right)-\xi\left(t_0\right), \ldots, \xi\left(t_n\right)-\xi\left(t_{n-1}\right)$都是独立的，则称为具有独立增量的进程。施加在$\mathfrak{B}$上的条件保证$\xi(t)-\xi\left(t_1\right)$是一个随机变量。

具有独立增量的过程的边际分布由过程的一维分布和增量的分布决定。让
$$
\mu_t(A)=\mathrm{P}{\xi(t) \in A}, \quad \Phi_{t_1, t_2}(A)=\mathrm{P}\left{\xi\left(t_2\right)-\xi\left(t_1\right) \in A\right}
$$
然后
$$
\mathrm{P}\left{\xi\left(t_0\right) \in A_0, \xi\left(t_1\right) \in A_1, \ldots, \xi\left(t_n\right) \in A_n\right}=\int \cdots \int \mu_{t_0}\left(d x_0\right) \Phi_{t_0, t_1}\left(d x_1\right), \ldots, \Phi_{t_{n-1}, t_n}\left(d x_n\right),
$$
在哪里对集合进行积分
$$
\left{\left(x_0, \ldots, x_n\right): x_0 \in A_0, x_0+x_1 \in A_1, \ldots, x_0+\cdots+x_n \in A_n\right}
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|One-dimensional processes with independent increments

具有独立增量的一维过程。注意，对于任何$\mathfrak{B}$ -可测量的线性泛函$l(x)$，过程$\eta(t)=l(\xi(t))$将是具有独立增量的一维过程。因此，对具有独立增量的一维过程的研究可以提供(并且，正如我们将在后续中看到的，确实提供)关于更复杂空间中的过程的非平凡信息。另一方面，$\mathscr{R}^1$空间是最简单的线性空间，所以这个空间中的过程在某种意义上也是最简单的。
因此，我们将考虑一个具有实际价值的过程$\xi(t)$;$\mathscr{R}^1$上所有Borel集合的$\sigma$ -代数将作为$\sigma$ -代数$\mathfrak{B}$。我们假定流程是在集合$T$上定义的。

设$\varphi_t(\lambda)$和$\varphi_{t_1, t_2}(\lambda)$分别为$\xi(t)$和$\xi\left(t_2\right)-\xi\left(t_1\right)$的特征函数。函数$h_t(\lambda)=\left|\varphi_t(\lambda)\right|^2$和$h_{t_1, t_2}(\lambda)=\left|\varphi_{t_1, t_2}(\lambda)\right|^2$是非负的，此外，$h_{t_1, t_2}(\lambda) \leqslant 1$。这是由关系得出的
$$
h_s(\lambda)=h_t(\lambda) h_{t, s}(\lambda), \quad t<s
$$

即$h_s(\lambda)$是$s$的单调不递增有界函数。因此，对于属于$T$闭包的$t$，存在极限$h_{t-0}(\lambda)$和$h_{t+0}(\lambda)$(或者如果$t$是单侧极限点，则只存在一个极限;这些极限对孤立点没有定义)。

除了$\xi(t)$之外，还要考虑一个进程$\tilde{\xi}(t)$，它具有与$\xi(t)$相同的有限维分布，但独立于$\xi(t)$。为了构造这样一个过程，我们取相同概率空间的两个副本，并将第一个空间上的过程$\xi(t)$和第二个空间上的相同过程$\tilde{\xi}(t)$视为这些概率空间积上的过程。下一组$\xi^(t)=\xi(t)-\tilde{\xi}(t)$。这一点很容易看出 $$ \mathrm{E} e^{i \lambda \xi^(t)}=h_t(\lambda), \quad \mathrm{E} e^{i \lambda\left[\xi^\left(t_2\right)-\xi^\left(t_1\right)\right]}=h_{t_1, t_2}(\lambda)
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。