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## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Calculation of the propagator

Let us now calculate the 2-point function, or propagator, $G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)$ for infinite Euclidean space. This is the case of interest in QFT at $T=0$. In section $5.8$, we will calculate the propagator at finite temperature.

Eq. (5.139) tells us that $G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)$ is the Green function of the operator $-\partial^{2}+m^{2}$. We will use Fourier transform methods and write $G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)$ in the form
$$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\int \frac{d^{D} p}{(2 \pi)^{D}} G_{0}^{E}(p) e^{i p_{\mu}\left(x_{\mu}-x_{\mu}^{\prime}\right)}$$
which is a solution of eq. (5.139) if
$$G_{E}^{(0)}(p)=\frac{1}{p^{2}+m^{2}}$$
Therefore, the correlation function in real (Euclidean!) space is the integral
$$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\int \frac{d^{D} p}{(2 \pi)^{D}} \frac{e^{i p_{\mu}\left(x_{\mu}-x_{\mu}^{\prime}\right)}}{p^{2}+m^{2}}$$
We will often encounter integrals of this type and for that reason, let us evaluate this one in some detail. We begin by using the identity
$$\frac{1}{A}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} d \alpha e^{-\frac{A}{2} \alpha}$$
where $A>0$ is a positive real number. The variable $\alpha$ is called a “Feynman-Schwinger parameter.”

Now choose $A=p^{2}+m^{2}$, and substitute this expression back in eq. (5.160), which takes the form
$$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} d \alpha \int \frac{d^{D} p}{(2 \pi)^{D}} e^{-\frac{\alpha}{2}\left(p^{2}+m^{2}\right)+i p_{\mu}\left(x_{\mu}-x_{\mu}^{\prime}\right)}$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Behavior of the propagator in Minkowski spacetime

Let us find the behavior of the propagator in real time. Now we must do the analytic continuation back to real time.

Recall that in going from Minkowski to Euclidean space, we continued $x_{0} \rightarrow-i x_{4}$. In addition, there is also a factor of $i$ difference in the definition of the propagator. Thus, the propagator in Minkowski spacetime, $G^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)$, is the expression that results from the analytic continuation:
$$G^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\left.i G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)\right|{x{4} \rightarrow i x_{0}}$$
We can also obtain this result from the path integral formulation in Minkowski spacetime. Indeed, the generating functional for a free real massive scalar field $Z[J]$ in $D=(d+1)$-dimensional Minkowski spacetime is
$$Z[J]=\int \mathcal{D} \phi e^{i \int d^{D} x\left[\frac{1}{2}(\partial \phi)^{2}-\frac{m^{2}}{2} \phi^{2}+J \phi\right]}$$
Hence, the expectation value of the time-ordered product of two fields is
$$\langle 0|T \phi(x) \phi(y)| 0\rangle=-\left.\frac{1}{Z[J]} \frac{\delta Z[J]}{\delta J(x) \delta J(y)}\right|{J=0}$$ In contrast, for a free field, the generating function is given by (up to a normalization constant $\mathcal{N})$ $$Z[J]=\mathcal{N}\left[\operatorname{Det}\left(\partial^{2}+m^{2}\right)\right]^{-1 / 2} e^{\frac{i}{2}} \int d^{D} x \int d^{D} y J(x) G^{(0)}(x-y) J(y)$$ where $G{0}(x-y)$ is the Green function of the Klein-Gordon operator and satisfies
$$\left(\partial^{2}+m^{2}\right) G^{(0)}(x-y)=\delta^{D}(x-y)$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Calculation of the propagator

$$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\int \frac{d^{D} p}{(2 \pi)^{D}} G_{0}^{E}(p) e^{i p_{\mu}\left(x_{\mu}-x_{\mu}^{\prime}\right)}$$

$$G_{E}^{(0)}(p)=\frac{1}{p^{2}+m^{2}}$$

$$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\int \frac{d^{D} p}{(2 \pi)^{D}} \frac{e^{i p_{\mu}\left(x_{\mu}-x_{\mu}^{\prime}\right)}}{p^{2}+m^{2}}$$

$$\frac{1}{A}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} d \alpha e^{-\frac{A}{2} \alpha}$$

$$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} d \alpha \int \frac{d^{D} p}{(2 \pi)^{D}} e^{-\frac{\alpha}{2}\left(p^{2}+m^{2}\right)+i p_{\mu}\left(x_{\mu}-x_{\mu}^{\prime}\right)}$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Behavior of the propagator in Minkowski spacetime

$$G^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=i G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right) \mid x 4 \rightarrow i x_{0}$$

$$Z[J]=\int \mathcal{D} \phi e^{i \int d^{D}\left[\frac{1}{2}(\partial \phi)^{2}-\frac{\pi^{2}}{2} \phi^{2}+J \phi\right]}$$

$$\langle 0|T \phi(x) \phi(y)| 0\rangle=-\frac{1}{Z[J]} \frac{\delta Z[J]}{\delta J(x) \delta J(y)} \mid J=0$$

$$Z[J]=\mathcal{N}\left[\operatorname{Det}\left(\partial^{2}+m^{2}\right)\right]^{-1 / 2} e^{\frac{i}{2}} \int d^{D} x \int d^{D} y J(x) G^{(0)}(x-y) J(y)$$

$$\left(\partial^{2}+m^{2}\right) G^{(0)}(x-y)=\delta^{D}(x-y)$$

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## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|TFYS7030 Field expansions

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## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Field expansions

We can construct the spectrum of states by inspecting the normal-ordered Hamiltonian:
$$: \widehat{H}:=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3} 2 \omega(\boldsymbol{k})} \omega(\boldsymbol{k}) \hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k}) \hat{a}(\boldsymbol{k})$$
This Hamiltonian commutes with the linear momentum $\widehat{\boldsymbol{P}}$
$$\widehat{\boldsymbol{P}}=\int_{x_{0} \text { fixed }} d^{3} x \widehat{\Pi}\left(x, x_{0}\right) \nabla \hat{\phi}\left(x, x_{0}\right)$$
which, up to operator ordering ambiguities, is the quantum mechanical version of the classical linear momentum $\boldsymbol{P}$ :
$$\boldsymbol{P}=\int_{x_{0}} d^{3} x T^{0 j} \equiv \int_{x_{0}} d^{3} x \Pi\left(x, x_{0}\right) \nabla \phi\left(x, x_{0}\right)$$

## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|The Hamiltonian and its spectrum

Let us now write the Hamiltonian in terms of the operators $\hat{a}(\boldsymbol{k})$ and $\hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k})$. The result is
$$\widehat{H}=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3} 2 \omega(\boldsymbol{k})} \frac{1}{2} \omega(\boldsymbol{k})\left(\hat{a}(\boldsymbol{k}) \hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k})+\hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k}) \hat{a}(\boldsymbol{k})\right)$$
This Hamiltonian needs to be normal-ordered relative to a ground state, which we will now define.
A: Vacuum state Let $|0\rangle$ be the state that is annihilated by all the operators $\hat{a}(\boldsymbol{k})$ :
$$\hat{a}(\boldsymbol{k})|0\rangle=0$$
Relative to this state, which we will call the vacuum state, the Hamiltonian can be written in the form
$$\widehat{H}=: \widehat{H}:+E_{0}$$
where : $\widehat{H}$ : is normal ordered relative to the state $|0\rangle$. In other words, in : $\widehat{H}$ :, all the destruction operators appear to the right of all the creation operators. Therefore, the normal-ordered operator : $\widehat{H}$ : annihilates the vacuum state
$$: \widehat{H}:|0\rangle=0$$

## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Field expansions

:H^:=∫d3ķ(2圆周率)32ω(ķ)ω(ķ)一个^†(ķ)一个^(ķ)

## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|The Hamiltonian and its spectrum

H^=∫d3ķ(2圆周率)32ω(ķ)12ω(ķ)(一个^(ķ)一个^†(ķ)+一个^†(ķ)一个^(ķ))

A：真空状态 Let|0⟩成为被所有算子消灭的状态一个^(ķ):

H^=:H^:+和0

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。