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数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|MATH318 Positive Operators

如果你也在 怎样代写希尔伯特空间Hilbert Space MATH318这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。希尔伯特空间Hilbert Space在数学中，希尔伯特空间（以大卫-希尔伯特命名）允许将线性代数和微积分的方法从（有限维）欧几里得向量空间推广到可能是无限维的空间。希尔伯特空间在数学和物理学中自然而然地经常出现，通常作为函数空间。从形式上看，希尔伯特空间是一个配备有内积的向量空间，内积定义了一个距离函数，对于该空间来说，它是一个完整的度量空间。

希尔伯特空间Hilbert Space最早的希尔伯特空间是由大卫-希尔伯特（David Hilbert）、埃哈德-施密特（Erhard Schmidt）和弗里吉斯-里兹（Frigyes Riesz）在20世纪的第一个十年从这个角度研究的。它们是偏微分方程、量子力学、傅里叶分析（包括应用于信号处理和热传递）和遍历理论（构成热力学的数学基础）等理论中不可缺少的工具。约翰-冯-诺依曼（John von Neumann）为许多这些不同的应用所依据的抽象概念创造了希尔伯特空间这一术语。希尔伯特空间方法的成功为函数分析开创了一个非常富有成效的时代。除了经典的欧几里得向量空间之外，希尔伯特空间的例子还包括平方不可捉摸函数的空间、序列的空间、由广义函数组成的索博列夫空间和全形函数的哈代空间。

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数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|MATH318 Positive Operators

数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Positive Operators

An operator $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ is called positive if $x$ is self-adjoint and $\sigma(x) \subset \mathbb{R}{+}$. In this case we write $x \geq 0$. The set of positive operators on $\mathcal{H}$ will be denoted by the symbol $\mathrm{B}(\mathcal{H}){+}$
Theorem $3.1$
Let $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ be positive. Then there exists a unique positive a $\in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ such that $a^2=x$
Proof
The function $f: \lambda \mapsto \lambda^{\frac{1}{2}}$ is continuous on $\sigma(x)$. Put $a=f(x)$. Clearly
$$
a^2=f(x) f(x)=x,
$$
since $f(\lambda) f(\lambda)=\lambda$ for all $\lambda \in \sigma(x)$. Moreover $\sigma(a)=f(\sigma(x))$ is contained in $\mathbb{R}{+}$, so that $a \in \mathrm{B}(\mathcal{H}){+}$.

数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Projections

A projection is an operator $e \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ such that $e=e^2$ and $e=e^*$. We are using the term “projection” in a way which is slightly more restrictive than usual. More precisely, the term “projection” is often taken to mean “idempotent operator”, i.e. an $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ such that $x^2=x$. We have chosen to use the more restrictive definition requiring that all projection be self-adjoint, because the extra flexibility of working with general idempotents will not have any significance for the topics considered in this book. We leave it to the reader to check that an idempotent operator is self-adjoint if and only if its kernel and range are orthogonal.

Any projection $e$ is a positive operator of norm 1 or 0 . Moreover the operator $\mathbb{1}-e$ is also a projection. The set of all projections in $B(\mathcal{H})$ will be denoted by $\operatorname{Proj}(\mathrm{B}(\mathcal{H}))$. Note that an operator $e \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ is a projection if and only if it is self-adjoint and the two functions $\lambda \mapsto \lambda^2$ and $\lambda \mapsto \lambda$ coincide on $\sigma(e)$. It follows that $\sigma(e) \subset{0,1}$. Conversely, if $e \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ is self adjoint and $\sigma(e) \subset{0,1}$ then $e^2=e$ precisely because the functions $\lambda \mapsto \lambda^2$ and $\lambda \mapsto \lambda$ are equal on $\sigma(e)$.


数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|MATH318 Positive Operators

希尔伯特空间代写

数学代写|希尔伯特空间代写|希尔伯特空间代考|正向算子

在mathrm{B}(\mathcal{H})$中，如果$x$是自交的，并且$sigma(x)\subset\mathbb{R}+$，一个算子$x\geq 0$被称为正数。在这种情况下，我们写$x geq 0$。$mathcal{H}$上的正算子集合将用符号$mathrm{B}(\mathcal{H})+$来表示。
定理3.1$
让$x\in mathrm{B}(\mathcal{H})$为正数。那么，存在一个唯一的正$mathrm{a}\in \mathrm{B}(\mathcal{H})$，使得$a^2=x$
证明
函数$f: \lambda\mapst to \lambda^{frac{1}{2}}}$在$sigma(x)$上是连续的。将$a=f(x)$。显然
$$
a^2=f(x) f(x)=x。
$$
因为$f(\lambda) f(\lambda)=\lambda$对于所有$lambda\在sigma(x)$中。此外，$sigma(a)=f(\sigma(x))$包含在$mathbb{R}+$中，因此$a\in \mathrm{B}(\mathcal{H})+$。

数学代写|希尔伯特空间代写|投影

投射是在\mathrm{B}(\mathcal{H})$中的一个算子$e\，使得$e=e^2$和$e=e^*$。我们在使用 “投影 “这个术语时，比通常的限制性更强。更确切地说，”投影 “一词通常被认为是指 “等值算子”，即在Mathrm{B}(\mathcal{H})$中的$x\，使得$x^2=x$。我们选择使用更严格的定义，要求所有的投影都是自交的，因为使用一般的等价物的额外灵活性对于本书所考虑的主题不会有任何意义。我们让读者自己去检查，当且仅当一个同位素算子的内核和范围是正交的，它才是自交的。
任何投影$e$都是规范为1或0的正算子。此外，算子1-e$也是一个投影。$B(\mathcal{H})$中所有投影的集合将用$operatorname{Proj}(\mathrm{B}(\mathcal{H})$ )表示。请注意，当且仅当它是自交的，并且两个函数$lambda \mapst to \lambda^2$和$lambda \mapst to \lambda$在$sigma(e)$上是重合的，则$e是一个投影。由此可见，$sigma(e) \subset 0,1$。反过来说，如果$e/in \mathrm{B}(\mathcal{H})$是自邻接的，并且$sigma(e) \subset 0,1$那么$e^2=e$正是因为$lambda \mapst to \lambda^2$和$lambda \mapst to \lambda$在$sigma(e)$上相等

数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|TMA4225 Hilbert Space

如果你也在 怎样代写勒贝格积分Lebesgue Integration TMA4225这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。勒贝格积分Lebesgue Integration在数学中，一个非负的单变量函数的积分，在最简单的情况下，可以被视为该函数的图形与X轴之间的面积。以法国数学家亨利-勒贝斯格（Henri Lebesgue）命名的勒贝斯格积分（Lebesgue integral）将积分扩展到更多的函数类别。它还扩展了这些函数可以被定义的领域。

勒贝格积分Lebesgue Integration早在20世纪之前，数学家们就已经明白，对于具有足够平滑图形的非负函数–如封闭有界区间上的连续函数–曲线下的面积可以被定义为积分，并通过多边形的区域近似技术进行计算。然而，当需要考虑更多的不规则函数时–例如，由于数学分析和概率的数学理论的限制过程–显然需要更仔细的近似技术来定义一个合适的积分。此外，人们可能希望在比实线更普遍的空间上进行积分。Lebesgue积分为此提供了必要的抽象。

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数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|TMA4225 Hilbert Space

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Hilbert Space

In this chapter we want to define the Lebesgue integral in a fashion which is analogous to our definitions of regulated integral and Riemann integral from Chapter 1. The difference is that we will no longer use step functions to approximate a function we want to integrate, but instead will use a much more general class called simple functions.
Definition 3.1.1. (Characteristic function). If $A \subset[0,1]$, its characteristic function $\mathfrak{X}A(x)$ (sometimes called the indicator function) is defined by $$ \mathfrak{X}_A(x)= \begin{cases}1, & \text { if } x \in A ; \ 0, & \text { otherwise } .\end{cases} $$ Definition 3.1.2. (Measurable partition). A finite measurable partition of $[0,1]$ is a collection $\left{A_i\right}{i=1}^n$ of measurable subsets which are pairwise disjoint and whose union is $[0,1]$.

We can now define simple functions. Like step functions these functions have only finitely many values, but unlike step functions the set on which a simple function assumes a given value is no longer an interval. Instead, a simple function is constant on each subset of a finite measurable partition of $[0,1]$.

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Fourier Series

As always we would like to reproduce for a Hilbert space as many properties of $\mathbb{R}^n$ with its usual “dot product” as possible. In $\mathbb{R}^n$ it is very useful to have an orthonormal basis, i.e., a set of $n$ unit vectors $\left{u_i\right}_{i=1}^n$ which are pairwise perpendicular (and which necessarily then span $\mathbb{R}^n$ and are necessarily linearly independent). If we have such an orthonormal basis then it is not difficult to show (see Proposition A.9.8) that if we denote the dot product of $u$ and $v$ by $\langle u, v\rangle$, then for any $v \in \mathbb{R}^n$,
$$
v=\sum_{i=1}^n\left\langle v, u_i\right\rangle u_i .
$$
Moreover, this expression is unique, i.e., if
$$
v=\sum_{i=1}^n a_i u_i
$$
for some real numbers $a_i$, then $a_i=\left\langle v, u_i\right\rangle$.


数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|TMA4225 Hilbert Space

勒贝格积分代写

数学代写|勒贝格积分代写|勒贝格积分代考|希尔伯特空间

在这一章中，我们要定义勒贝斯格积分，其方式类似于第一章中的调节积分和黎曼积分的定义。不同的是，我们将不再使用阶梯函数来近似我们想要积分的函数，而是使用一个更为普遍的类别，即简单函数。
定义3.1.1. (特征函数）。如果$A\subset[0,1]$，它的特征函数$\mathfrak{X} A(x)$（有时称为指标函数）定义为
$$
\mathfrak{X}_A(x)={1, \quad \text { if } x 处于A中；0, 夸张的文字 { 否则。}
$$
定义3.1.2. (可测分区)。$[0,1]$的有限可测分区是一个缺失或不被认可的分界符的集合，是成对不相交的可测子集，其联合体是$[0,1]$。

我们现在可以定义简单函数。与阶梯函数一样，这些函数只有有限的值，但与阶梯函数不同的是，一个简单函数在其上假定一个给定的值的集合不再是一个区间。相反，简单函数在$[0,1]$的有限可测量分区的每个子集上是常数。

数学代写|勒贝格积分代写|勒贝格积分代考|傅里叶数列


像往常一样，我们希望在希尔伯特空间中尽可能多地重现$mathbb{R}^n$及其通常的 “点积 “的属性。在$mathbb{R}^n$中，有一个正态基础是非常有用的，也就是说，一组$n$单位向量的缺失或不被认可的分界符为$left，它们是成对垂直的（而且它们必然横跨$mathbb{R}^n$并且必然是线性独立的）。如果我们有这样一个正态基础，那么不难证明（见命题A.9.8），如果我们用$langle u, v\rangle$来表示$u$和$v$的点积，那么对于任何$v\in \mathbb{R}^n$。
$$
v=sum_{i=1}^n\left\langle v, u_i\right\rangle u_i
$$
此外，这个表达式是唯一的，也就是说，如果
$$
v=sum_{i=1}^n a_i u_i
$$
为一些实数$a_i$，则$a_i=left/langle v, u_i/right/rangle$。

数学代写|表示论代写Representation Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。