如果你也在 怎样代写遍历理论Ergodic theory MATH6720 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。遍历理论Ergodic theory（希腊语：ἔργον ergon “工作”，ὁδός hodos “方式”）是数学的一个分支，研究确定性动态系统的统计特性；它是遍历性的研究。在这里，统计属性是指通过各种函数沿动态系统轨迹的时间平均值的行为来表达的属性。确定性动态系统的概念假定决定动态的方程不包含任何随机扰动、噪声等。因此，我们所关注的统计数据是动力学的属性。
遍历理论Ergodic theory的一个核心问题是当一个动态系统被允许长期运行时的行为。这个方向的第一个结果是Poincaré递归定理，它声称相空间的任何子集中的几乎所有的点最终都会重访这个集合。庞加莱递归定理成立的系统是保守系统；因此所有的遍历系统都是保守的。更精确的信息由各种遍历定理提供，这些定理断言，在某些条件下，一个函数沿轨迹的时间平均值几乎到处存在，并与空间平均值有关。两个最重要的定理是Birkhoff (1931)和von Neumann的定理，它们断言沿每条轨迹的时间平均存在。对于特殊类别的遍历系统来说，这个时间平均数对几乎所有的初始点都是一样的：从统计学上讲，进化了很长时间的系统会 “忘记 “其初始状态。更强的属性，如混合和等分，也被广泛研究。
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数学代写|遍历理论代考Ergodic theory代考|Equilibrium States
In this chapter, we investigate the existence, uniqueness, and other properties of equilibrium states for an expanding Thurston map. The main tool for this chapter is the thermodynamical formalism. We record the main theorem of this chapter below.
Theorem 5.1 Let $f: S^2 \rightarrow S^2$ be an expanding Thurston map and $d$ be a visual metric on $S^2$ for $f$. Let $\phi$ be a real-valued Hölder continuous function on $S^2$ with respect to the metric $d$.
Then there exists a unique equilibrium state $\mu_\phi$ for the map $f$ and the potential $\phi$. If $\psi$ is another real-valued Hölder continuous function on $S^2$ with respect to the metric $d$, then $\mu_\phi=\mu_\psi$ if and only if there exists a constant $K \in \mathbb{R}$ such that $\phi-\psi$ and $K \mathbb{1}{S^2}$ are co-homologous in the space of real-valued continuous functions on $S^2$, i.e., $\phi-\psi-K \mathbb{1}{S^2}=u \circ f-u$ for some real-valued continuous function $u$ on $S^2$.
Moreover, $\mu_\phi$ is a non-atomic $f$-invariant Borel probability measure on $S^2$ and the measure-preserving transformation $f$ of the probability space $\left(S^2, \mu_\phi\right)$ is forward quasi-invariant, nonsingular, exact, and in particular, mixing and ergodic.
In addition, the preimages points of $f$ are equidistributed with respect to $\mu_\phi$, i.e., for each sequence $\left{x_n\right}_{n \in \mathbb{N}}$ of points in $S^2$, as $n \longrightarrow+\infty$,
$$
\begin{gathered}
\frac{1}{Z_n(\phi)} \sum_{y \in f^{-n}\left(x_n\right)} \operatorname{deg}{f^n}(y) \exp \left(S_n \phi(y)\right) \frac{1}{n} \sum{i=0}^{n-1} \delta_{f^i(y)} \stackrel{w^}{\longrightarrow} \mu_\phi, \ \frac{1}{Z_n(\widetilde{\phi})} \sum_{y \in f^{-n}\left(x_n\right)} \operatorname{deg}{f^n}(y) \exp \left(S_n \widetilde{\phi}(y)\right) \delta_y \stackrel{w^}{\longrightarrow} \mu\phi,
\end{gathered}
$$
where $Z_n(\psi)=\sum_{y \in f^{-n}\left(x_n\right)} \operatorname{deg}_{f^n}(y) \exp \left(S_n \psi(y)\right)$, for each $n \in \mathbb{N}$ andeach $\psi \in C\left(S^2\right)$.
数学代写|遍历理论代考Ergodic theory代考|The Assumptions
We state below the hypothesis under which we will develop our theory in most parts of this chapter and Chaps. 6 and 7. We will repeatedly refer to such assumptions in these chapters. We emphasize again that not all assumptions are assumed in all the statements in the subsequent chapters, and that in fact we have to gradually remove the dependence on some of the assumptions before establishing our main results.
The Assumptions
- $f: S^2 \rightarrow S^2$ is an expanding Thurston map.
- $\mathscr{C} \subseteq S^2$ is a Jordan curve containing post $f$ with the property that there exists $n_{\mathscr{C}} \in \mathbb{N}$ such that $f_{\mathscr{C}}(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{C}$ and $f^m(\mathscr{C}) \nsubseteq \mathscr{C}$ for each $m \in\left{1,2, \ldots, n_{\mathscr{C}}-\right.$ $1}$.
- $d$ is a visual metric on $S^2$ for $f$ with expansion factor $\Lambda>1$ and a linear local connectivity constant $L \geq 1$.
- $\phi \in C^{0, \alpha}\left(S^2, d\right)$ is a real-valued Hölder continuous function with an exponent $\alpha \in(0,1]$
Observe that by Theorem 2.16, for each $f$ in (1), there exists at least one Jordan curve $\mathscr{C}$ that satisfies (2). Since for a fixed $f$, the number $n \mathscr{C}$ is uniquely determined by $\mathscr{C}$ in (2), in the remaining part of the paper we will say that a quantity depends on $\mathscr{C}$ even if it also depends on $n_{\mathscr{C}}$.
Recall that the expansion factor $\Lambda$ of a visual metric $d$ on $S^2$ for $f$ is uniquely determined by $d$ and $f$. We will say that a quantity depends on $f$ and $d$ if it depends on $\Lambda$.
Note that even though the value of $L$ is not uniquely determined by the metric $d$, in the remainder of this paper, for each visual metric $d$ on $S^2$ for $f$, we will fix a choice of linear local connectivity constant $L$. We will say that a quantity depends on the visual metric $d$ without mentioning the dependence on $L$, even though if we had not fixed a choice of $L$, it would have depended on $L$ as well.
In the discussion below, depending on the conditions we will need, we will sometimes say “Let $f, \mathscr{C}, d, \phi, \alpha$ satisfy the Assumptions.”, and sometimes say “Let $f$ and $d$ satisfy the Assumptions.”, etc.
遍历理论代考
数学代写|遍历理论代考Ergodic theory代考|Equilibrium States
在本章中，我们研究了扩展 Thurston 映射的平衡状态的存在性、唯一性和其他性质。本章的主要工具是热力学形式主义。下面记 录本章的主要定理。
定理 $5.1$ 让 $f: S^2 \rightarrow S^2$ 是一个不断扩大的瑟斯邨地图，并且 $d$ 成为枧觉指标 $S^2$ 为了 $f$. 让 $\phi$ 是上的实值 Hölder 连绞函数 $S^2$ 关于 公制d.
则存在唯一的平衡态 $\mu_\phi$ 对于地图 $f$ 和潜力 $\phi$. 如果 $\psi$ 是上的另一个实值 Hölder 连续函数 $S^2$ 关于公制 $d$ ，然后 $\mu_\phi=\mu_\psi$ 当且仅当存 函数 $u$ 上 $S^2$.
而且， $\mu_\phi$ 是非原子的 $f$-不新的 Borel 概率测度 $S^2$ 和保测新㛟 $f$ 概率空间 $\left(S^2, \mu_\phi\right)$ 是前向准不变的、非奇异的、精确的，特别是 混合和遍历的。
此外，原像点 $f$ 相对于均匀分布 $\mu_\phi$ ，即对于每个序列〈left 缺少或无法识别的分隔符
的点数 $S^2$ ，作为 $n \longrightarrow+\infty$,
额外的闭式大括号或缺少开式大括号
在哪里 $Z_n(\psi)=\sum_{y \in f-n\left(x_n\right)} \operatorname{deg}_{f^n}(y) \exp \left(S_n \psi(y)\right)$, 对于每个 $n \in \mathbb{N}$ 安第斯 $\psi \in C\left(S^2\right)$.
数学代写|遍历理论代考Ergodic theory代考|The Assumptions
我们将在下面陈述我们将在本章和第 1 章的大部分内容中发展我们的理论的假设。 6 和 7 。我们将在这些章节中反复提及此美假
设。我们再次强调，并不是所有的假设都在启续章节的所有陈述中都陂假定，事实上我们必须在建立我们的主要结果之前逐斩去除 对某些假设的依赖。
假设
- $f: S^2 \rightarrow S^2$ 是一个扩展的瑟斯顿地图。
- $\mathscr{C} \subseteq S^2$ 是一条包含柱子的乔丹曲线 $f$ 具有存在的属性 $n \mathscr{C} \in \mathbb{N}$ 这样 $f_{\mathscr{C}}(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{C}$ 和 $f^m(\mathscr{C}) \nsubseteq \mathscr{C}$ 每个
〈left 缺少或无法识别的分隔符 - $\phi \in C^{0, \alpha}\left(S^2, d\right)$ 是具有指数的实值 Hölder 连紏函数 $\alpha \in(0,1]$
观察定理 2.16，对于每个 $f(1)$ 中，至少存在一条若尔当曲线 $\mathscr{C}$ 满足 (2) 。因为对于一个固定的 $f$ ，号码 $n \mathscr{C}$ 唯一地由 $\mathscr{C}$ 在 (2) 中，在本文的其余部分，我们将涚数量取决于 $\mathscr{C}$ 即使它也取决于 $n \mathscr{E}$.
回想一下扩展因子 $\Lambda$ 视觉指标 $d$ 上 $S^2$ 为了 $f$ 唯一地由 $d$ 和 $f$. 我们会说数量取决于 $f$ 和 $d$ 如果这取决于 $\Lambda$.
请注意，即使值 $L$ 不是由度量唯一确定的 $d$ ，在本文的其余部分，对于每个视觉指标 $d$ 上 $S^2$ 为了 $f$ ，我们将修复线性局部连接営数 的选择 $L$. 我们会说数量取决于视觉指标 $d$ 更不用说依赖 $L$ ，即使我们没有固定选择 $L$ ，这将取决于 $L$ 以及。
在下面的讨论中，根据我们需要的条件，我们有时会说”让 $f, \mathscr{C}, d, \phi, \alpha$ 满足假设。”，有时会说”让 $f$ 和 $d$ 满足假设。”等。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。