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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Normed Vector Space Rn

The Euclidean norm of an element $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ of $\mathbb{R}^n$, also called just norm or modulus of $x$, is defined by
$$|x|=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1 / 2} .$$
We recall that, using the symbols for distances on metric spaces, in Sect. $2.2$ the Euclidean norm $|x|$ of $x$ was written $d_n(x, 0)$, which is the Euclidean distance of the point $x$ to 0 in $\mathbb{R}^n$.

More generally, for any $p \in[1,+\infty)$ we define the function $|\cdot|_p: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ (which we shall prove is a norm on $\mathbb{R}^n$ )
$$|x|_p=\left(\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|^p\right)^{1 / p} .$$
So we have, in particular, $|x|_p=|x|$ when $p=2$. Now let us define, for $p=+\infty$,
$$|x|_{\infty}=\max \left{\left|x_i\right| ; i=1,2, \ldots, n\right} .$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Young’s Inequality

Young’s Inequality Fix $p>1$ and let $p^{\prime}$ be the conjugated exponent, defined as
$$\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1 \quad \text { i.e. } \quad p^{\prime}=\frac{p}{p-1} .$$
Then for any pair of non-negative real numbers $a, b$,
$$a b \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^{p^{\prime}}}{p^{\prime}}$$
with equality if and only if $a^p=b^{p^{\prime}}$.
Proof Fix $b>0$ (when $b=0$ the claim is trivial) and consider the function $f$ : $[0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty)$ defined by
$$f(t)=\frac{t^p}{p}+\frac{b^{p^{\prime}}}{p^{\prime}}-t b .$$

## 数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Normed Vector Space Rn

$$|x|=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1 / 2} \text {. }$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Young’s Inequality

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1 \quad \text { i.e. } \quad p^{\prime}=\frac{p}{p-1}$$

$$a b \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^{p^{\prime}}}{p^{\prime}}$$

$$f(t)=\frac{t^p}{p}+\frac{b^{p^{\prime}}}{p^{\prime}}-t b$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Weierstrass Approximation Theorem

A frequent problem in Mathematical Analysis is the approximation of a given function $f(x)$ by functions of a special kind.

When $f(x)$ is a continuous function on a closed and bounded interval $[a, b]$, a classical theorem due to Weierstrass provides an exhaustive answer: the approximating functions are polynomials, as long as we interpret the word approximation in the sense of uniform convergence.

Weierstrass Approximation Theorem Any continuous function $f(x)$ on $[a, b]$ is a uniform limit of a sequence of polynomials.

Proof The variable change $x \rightarrow(x-a) /(b-a)$ maps polynomials to polynomials, and reduces us to consider the interval $[0,1]$.

We may also assume $f(0)=f(1)=0$; in fact, once the theorem is proved in that case, setting
$$g(x)=f(x)-f(0)-x[f(1)-f(0)], \quad x \in[0,1],$$
we have $g(0)=g(1)=0$, and the function $f(x)-g(x)$ is a polynomial. So if $g(x)$ is a uniform limit of polynomials, the same is true for $f(x)$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Abel’s Theorem on Power Series

Consider a power series
$$a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_k x^k+\ldots$$
whose convergence radius $\varrho$ is a positive real number, and suppose the series also converges at $x=\varrho$ (a similar reasoning holds at $x=-\varrho$ ). Abel’s theorem implies that the sum $f(x)$ of $(1.88)$ is continuous not just on $(-\varrho, \varrho)$, but at $x=\varrho$ as well. Hence the series’ sum at $x=\varrho$ can be computed using the values of $f$ in the limit $x \rightarrow \varrho^{-}$.

We shall discuss two versions of Abel’s theorem. They differ in the proof and in the conclusion. The thesis of Theorem 2 regards the series’ uniform convergence, which implies the sum’s continuity of Theorem 1.
To simplify the notation let us consider the case $\varrho=1$.
This does not affect the result’s generality. In fact, if (1.88) converges at $x=\varrho$, the series of general term $b_k=a_k \varrho^k$ clearly converges.
Since
$$\sum_{k=0}^{\infty} b_k \in \mathbb{R}$$

Abel’s theorem for the case $\varrho=1$ talks about the properties of the power series
$$\sum_{k=0}^{\infty} b_k x^k, \quad-1<x \leq 1,$$
i.e.
$$\sum_{k=0}^{\infty} a_k \varrho^k x^k, \quad-1<x \leq 1$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Weierstrass Approximation Theorem

Weierstrass Approximation Theorem 任意连续函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 是洦项式序列的一致极限。

$$g(x)=f(x)-f(0)-x[f(1)-f(0)], \quad x \in[0,1]$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Abel’s Theorem on Power Series

$$a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_k x^k+\ldots$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} b_k \in \mathbb{R}$$
㝔例的阿贝尔定理 $\varrho=1$ 谈谈帛级数的性质
$$\sum_{k=0}^{\infty} b_k x^k, \quad-1<x \leq 1$$
IE
$$\sum_{k=0}^{\infty} a_k \varrho^k x^k, \quad-1<x \leq 1$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。