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## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Coset Representatives

The proper way of thinking of the quotient group $G / H$ is as the set of cosets $g H$. However, this is a bit unwieldy at times: for example, we like to think of $\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ as ${0,1,2}$ with a suitable addition law, and not as ${3 \mathbb{Z}, 1+3 \mathbb{Z}, 2+3 \mathbb{Z}}$. We can do something similar in general, as follows:

Definition 7.26 Let $H \triangleleft G$, and let $G / H$ be the quotient group. Let $\mathcal{A}=\left{a_i: i \in\right.$ $I} \subset G$ be a set of elements with the following property: for every $g \in G$, there is a unique $i \in I$ for which $g \in a_i H$. Then we say that $\mathcal{A}$ is a set of coset representatives for $H$ in $G$.

Note that coset representatives are not unique. For example, we can take ${0,1,2}$ to be a set of coset representatives for $\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$, but we could also take ${36,-11,5}$. In general, there is no “preferred” choice of coset representatives: any choice works equally well.

It is also worth noting that coset representatives do not usually form a group themselves-although they occasionally do, in exceptional circumstances, and it says something interesting when it does happen. For example $\mathcal{A}={0,1,2} \subset \mathbb{Z}$ does not form a group, because $1+2=3 \notin \mathcal{A}$.

## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|A Quotient of a Dihedral Group

In this section, we will look carefully at an example of a normal subgroup and the corresponding quotient group of the dihedral group $D_3$. Recall that $D_3$ has 6 elements,
$$e, \rho, \rho^2, \sigma, \rho \sigma, \rho^2 \sigma,$$
where $\rho$ denotes a counterclockwise rotation by $2 \pi / 3$, and $\sigma$ denotes a reflection about the $y$-axis. Let us recall the multiplication table for $D_3$.

\begin{tabular}{c|cccccc}
$D_3$ & $e$ & $\rho$ & $\rho^2$ & $\sigma$ & $\rho \sigma$ & $\rho^2 \sigma$ \
\hline$e$ & $e$ & $\rho$ & $\rho^2$ & $\sigma$ & $\rho \sigma$ & $\rho^2 \sigma$ \
$\rho$ & $\rho$ & $\rho^2$ & $e$ & $\rho \sigma$ & $\rho^2 \sigma$ & $\sigma$ \
$\rho^2$ & $\rho^2$ & $e$ & $\rho$ & $\rho^2 \sigma$ & $\sigma$ & $\rho \sigma$ \
$\sigma$ & $\sigma$ & $\rho^2 \sigma$ & $\rho \sigma$ & $e$ & $\rho^2$ & $\rho$ \
$\rho \sigma$ & $\rho \sigma$ & $\sigma$ & $\rho^2 \sigma$ & $\rho$ & $e$ & $\rho^2$ \
$\rho^2 \sigma$ & $\rho^2 \sigma$ & $\rho \sigma$ & $\sigma$ & $\rho^2$ & $\rho$ & $e$
\end{tabular}
$D_3$ has a normal subgroup $H$, which consists of the elements $\left{e, \rho, \rho^2\right}$. We could verify this directly by writing out a multiplication table, but we can do it more directly with some geometric thinking. We need to check that, for every $g \in D_3$ and $h \in H, g^{-1} h g \in H$. If $g \in H$, then we’re multiplying together three elements in $H$, so the result is still in $H$. If $g \notin H$, then $g$ contains a reflection and hence reverses orientations. But $g^{-1}$ also contains a reflection, so it also reverses orientation. But $h$ doesn’t reverse orientation, so $g^{-1} h g$ reverses orientation exactly twice. If we reverse orientation an even number of times, then we have preserved the original orientation. The only elements of $D_3$ that preserve orientation are the rotations $e, \rho, \rho^2$. Hence $g^{-1} h g \in H$. (More abstractly, this follows from Theorem 7.24.)

## 数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|A Quotient of a Dihedral Group

$$e, \rho, \rho^2, \sigma, \rho \sigma, \rho^2 \sigma,$$

$D_3$ 有正规子群 $H$ ，它由元素组成 $\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符 . 我们可以通过 写出乘法表来直接验证这一点，但我们可以通过一些几何思维来更直接地做到这一点。我们需要检 查，对于每一个 $g \in D_3$ 和 $h \in H, g^{-1} h g \in H$. 如果 $g \in H$ ，然后我们将三个元素相乘 $H$, 所以结 果还在 $H$. 如果 $g \notin H$ ，然后 $g$ 包含反射，因此反转方向。但 $g^{-1}$ 也包含反射，因此它也反转方向。 但 $h$ 不会反转方向，所以 $g^{-1} h g$ 恰好两次反转方向。如果我们反转偶数次方向，那么我们就保留了原 来的方向。的唯一元素 $D_3$ 保持方向的是旋转 $e, \rho, \rho^2$. 因此 $g^{-1} h g \in H$. (更抽象地说，这是从定理 $7.24$ 得出的。)

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。