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## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Holomorphic Functional Calculus

Let $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ be an arbitrary operator. In particular, $x$ is not assumed to be self-adjoint. The algebra of functions holomorphic on a neighborhood of $\sigma(x)$ will be denoted by the symbol $\mathscr{H}(\sigma(x)) .^4$

Let $f \in \mathscr{H}(\sigma(x))$ and let $\Gamma$ be a positively oriented curve surrounding $\sigma(x)$ contained in the domain of holomorphy of $f$. Define
$$f(x)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{\Gamma} f(\lambda)(\lambda \mathbb{1}-x)^{-1} d \lambda$$
(the integral is of a continuous Banach space-valued function over a compact set). As usual, the value of the integral is independent of the choice of the curve $\Gamma$. Moreover, it is easy to see that $f(x)$ commutes with $x$.

## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Theorems of Fuglede and Putnam

Theorem $4.18$ (Fuglede’s Theorem)
Let $x$ and $y$ be commuting elements of $\mathrm{B}(\mathcal{H})$. Assume further that $x$ is normal. Then $y x^=x^ y$.
Proof
For $\lambda \in \mathbb{C}$ and let
$$u(\lambda)=\exp \left(\lambda x^-\bar{\lambda} x\right) .$$ Then $u(\lambda)$ is a unitary operator, since we can easily check that $u(\lambda)^=u(-\lambda)$ for all $\lambda$ and
$$u(\lambda) u(\mu)=u(\lambda+\mu), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{C} .$$
Moreover $u(0)=\mathbb{1}$ and
$$u(\lambda)=\exp \left(\lambda x^\right) \exp (-\bar{\lambda} x)=\exp (-\bar{\lambda} x) \exp \left(\lambda x^\right)$$
(as $x$ is normal), so since $x$ commutes with $y$, we see that
\begin{aligned} \exp \left(-\lambda x^\right) y \exp \left(\lambda x^\right) & =\exp \left(-\lambda x^\right) \exp (\bar{\lambda} x) y \exp (-\bar{\lambda} x) \exp \left(\lambda x^\right) \ & =u(-\lambda) y u(\lambda) . \end{aligned}

## 数学代写|桸尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Holomorphic Functional Calculus

$$f(x)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{\Gamma} f(\lambda)(\lambda \mathbb{1}-x)^{-1} d \lambda$$
(积分是䋈集上的连续 Banach 空间值函数) 。和往常一样，积分的值与曲线的选兟无关 $\Gamma$. 此外，不难看出 $f(x)$ 上下班 $x$.

## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Theorems of Fuglede and Putnam

$-\lambda \in \mathbb{C}$ 然后让
$$u(\lambda)=\exp \left(\lambda x^{-} \bar{\lambda} x\right) .$$

$$u(\lambda) u(\mu)=u(\lambda+\mu), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{C} .$$

(作为 $x$ 是正常的)，所以既然 $x$ 上卜班 $y$ ，我们看到

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。